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1. Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pós-Graduação em Física
Exame de Seleção - Data: 25/01/2011
Nome do Candidato:
Nível: Mestrado Doutorado
1. Seja uma partícula com energia potencial dada pela função V (r). Mos-
tre que é possível definir uma densidade de corrente de probabilidade
j(r, t), de tal modo que, quando é medida a posição da partícula, a
derivada temporal da probabilidade de obter um valor dentro de uma
dada região compacta v é sempre igual ao fluxo de probabilidade que
entra na região v através da sua fronteira s. (Assuma que s, a fronteira
de v, é uma superfície suave).
2. Usando a descrição de Heisenberg para uma partícula com energia po-
tencial V (r), (a) mostre que a derivada temporal do valor médio do
momento é igual ao valor médio da força clássica no estado quântico,
i.e.
d
dt
p (t) = − V (t),
onde A ≡ ψ|A|ψ . Assuma que a energia potencial V (r) é uma
função analítica em todo o espaço, isto é, pode ser expandida em série
de potências, por exemplo:
V (x, y, z) =
nx,ny,nz
anxnynz xnx
yny
znz
.
i

2. (b) Mostre também que se a força for constante ( V = const.), ou
elástica ( V = kr), então o valor médio da força clássica no estado
quântico é igual à força clássica no valor médio da posição da partícula,
i.e.
− V (t) = − V ( r (t)).
3. Considere os campos vetoriais
• v1(r) = α[2y2ˆi + (4xy + 2z2
)ˆj] + [α4yz + 2βsinal(z)]ˆk,
• v2(r) = α[4xyˆi + 6yzˆj] + [α3xz + βsinal(z)]ˆk,
sendo que α e β são constantes com unidades apropriadas para que
esses campos tenham a mesma dimensão de um campo elétrico, e a
função sinal definimos como:
sinal(z) =
1, se z > 0
−1, se z < 0
.
Responda as questões formuladas nos itens a seguir, justificando, com
base nos seus cálculos explicitados, cada uma de suas respostas.
(a) Um dos campos mencionados (v1 ou v2) representa um certo campo
eletrostático E(r) (considere o campo magnético nulo). Qual dos
dois campos vetoriais listados representa E?
(b) Considerando o campo E identificado no item anterior, calcule
as densidades superficiais de carga localizadas em cada uma das
seguintes superfícies:
• z = 0;
ii

3. • z = 1.
(c) Defina uma função potencial ϕ(r) associada ao campo elétrico
E(r), assumindo ϕ(0, 0, 0) = 0.
(d) Calcule o mínimo trabalho envolvido para movermos uma carga
elétrica q do ponto (a, a, a) ao ponto (b, b, b), na presença de E.
4. Considere uma superfície em forma de casca esférica, definida pela
equação r = Rˆr, imersa no vácuo, com uma densidade superficial
de carga elétrica uniforme prescrita σ, girando com velocidade an-
gular constante ω = ωˆk, sendo ˆi, ˆj,ˆk os vetores da base cartesiana.
Para esse modelo, o potencial vetor A na região r ≤ R é dado por
A(r, θ, φ) = ˆφµ0Rωσ
3
rsenθ, onde r, θ, φ são as coordenadas esféricas, e
µ0 é a permissividade magnética do vácuo. Responda as questões for-
muladas nos itens a seguir, justificando, com base nos seus cálculos
explicitados, cada uma de suas respostas.
(a) Escreva a expressão para o campo elétrico E na região r < R.
(b) Escreva a expressão para o campo magnético B na região r < R
(dica: ˆrcosθ − ˆθsenθ = ˆk).
(c) Suponha que num instante t0 uma partícula puntiforme de massa
m e carga q encontra-se na origem do sistema de coordenadas,
com uma velocidade v dada por v = vˆj. Escreva a expressão para
a força eletromagnética F que atua sobre a partícula no instante
t0.
(d) Considerando a situação da partícula mencionada no item ante-
rior, escreva, em função dos dados do problema, o limite máximo
para |v|, de modo que, a partir do instante t0, a partícula descreva
iii

4. sua trajetória sem chocar-se contra a casca esférica (despreze em
sua análise a radiação emitida pela carga q ao se mover sob a ação
da força).
5. Considere uma tira elástica de comprimento L submetida a uma tensão
f. Sejam ainda U, N, S e T, respectivamente, a energia interna da tira,
o número de moléculas que a compõem, sua entropia e sua temperatura.
Num processo quase estático com N constante, podemos escrever
dU = TdS + fdL.
Suponha que
U = cL0T,
onde c é uma constante e L0, também constante, é o comprimento de
repouso da tira (quando não submetida a nenhuma tensão). Suponha
ainda que a linearidade do comprimento com a tensão, entre o compri-
mento de repouso e o comprimento-limite L1 do regime elástico, possa
ser escrito como
f = g(T)
L − L0
L1 − L0
, L0 < L < L1,
onde L1 é constante e g(T) é uma função da temperatura.
Determine, a menos de constantes multiplicativas, a função g(T).
BOA PROVA !
iv

5. Formulário
i
∂Ψ(r, t)
∂t
= HΨ(r, t) H = −
2
2mr
∂2
∂r2
+
L2
2mr2
+ V (r)
−
2
2m
2
ψ(r)+V (r)ψ(r) = Eψ(r) j = −
i
2m
[ψ∗
( ψ)−( ψ∗
)ψ]
dx
dt
=
1
i
[x, H]
dp
dt
=
1
i
[p, H]
px = −i
∂
∂x
[x, px] = i Lz = xpy − ypx
L± = Lx ± iLy [Lx, Ly] = i Lz Lz = −i
∂
∂ϕ
L±Ylm(θ, ϕ) = l(l + 1) − m(m ± 1) Ylm±1(θ, ϕ)
· D = ρ · B = 0
× E = −
∂B
∂t
× H = J +
∂D
∂t
D = ε0E + P = εE B = µ0(H + M) = µH
E = − ϕ B = × A
ϕ(r) = [1/(4π 0)] dv ρ(r )/|r − r | u =
1
2
( 0E2
+
1
µ0
B2
)
W = [1/(8π 0)]
N
i=1
N
j=1;j=i
qiqj/|ri − rj| c = 1/
√
µ0 0
F = q E + v × B
v

6. S = kB ln Ω ∂V
∂N T,p
= ∂µ
∂p
T,N
H(S, p, N) = U + pV F(T, V, N) = U − TS
f[1](S, V, µ) = U − Nµ f[2](S, p, µ) = U − Nµ + pV
G(T, p, N) = U − TS + pV Φ(T, V, µ) = U − TS − Nµ
1
T
= ∂S
∂U V,N
p
T
= ∂S
∂V U,N
µ
T
= − ∂S
∂N U,V
T = ∂U
∂S V,N
µ = ∂U
∂N V,S
p = − ∂U
∂V S,N
−S = ∂F
∂T V,N
− p = ∂F
∂V T,N
∂S
∂V T,N
= ∂p
∂T V,N
− ∂S
∂p
T,N
= ∂V
∂T p,N
• Expressões em coordenadas esféricas
= ˆr
∂
∂r
+
ˆθ
r
∂
∂θ
+
ˆϕ
r senθ
∂
∂ϕ
· A =
1
r2
∂
∂r
r2
Ar +
1
rsenθ
∂
∂θ
(senθAθ) +
1
rsenθ
∂Aϕ
∂ϕ
× A =
1
rsenθ
∂
∂θ
(senθAφ) −
∂Aθ
∂φ
ˆr +
1
r
1
senθ
∂Ar
∂φ
−
∂ (rAφ)
∂r
ˆθ+
1
r
∂ (rAθ)
∂r
−
∂Ar
∂θ
ˆφ
2
ψ =
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ψ
∂r
+
1
r2senθ
∂
∂θ
senθ
∂ψ
∂θ
+
1
r2sen2θ
∂2
ψ
∂ϕ2
• Relações envolvendo
· (ψA) = ψ · A + ψ · A × (ψA) = ψ × A + ψ × A
(A · B) = (A · )B + A × ( × B) + (B · )A + B × ( × A)
× (A × B) = A( · B) − B( · A) + (B · )A − (A · )B
× × A = ( · A) − 2
A
vi