Este documento descreve um modelo matemático para calcular tensões tridimensionais em maciços rochosos. O modelo usa equações da mecânica dos sólidos para descrever o estado de tensão em torno de um furo realizado no maciço, considerando pressupostos como tensões e deformações que dependem apenas das coordenadas cilíndricas r e θ. O problema é equacionado usando leis de Hooke e equações de compatibilidade em coordenadas cilíndricas, com condições de contorno apropriadas.

1. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 01
COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS
XXVIII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS
RIO DE JANEIRO – RJ, 25 A 28 DE OUTUBRO DE 2011
CÁLCULO 3D DE TENSÕES IN SITU EM MACIÇOS ROCHOSOS
Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI
Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas SA
Flávio Mamede Pereira GOMES
Engenheiro Civil, M. Sc. – Furnas Centrais Elétricas SA
RESUMO
ABSTRACT

2. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 02
1. INTRODUÇÃO.
1.1 SOBRE O MACIÇO.
Um maciço rochoso, no contexto deste artigo, é uma massa de rocha de grandes
dimensões dotada de tensões iniciais em estado natural, sem forma exterior
especial, cujo comportamento mecânico tridimensional pode ser descrito pela teoria
da elasticidade clássica para corpos homogêneos, isotrópicos, lineares (dos pontos
de vista físico e geométrico) e elásticos.
No maciço em pauta será executado um furo cuja seção, de plano , é uma
circunferência de raio a e cujo centro O pertencerá a uma curva, o eixo do furo,
suposta dada em relação a algum sistema de coordenadas fixado.
1.2 SISTEMAS DE COORDENADAS.
1.2.1 Sistema O-XYZ.
O plano horizontal h conduzido por O e o plano  formam o ângulo diedro ' e a
interseção deles define a direção do eixo OX, com vetor unitário Iˆ e sentido
arbitrário. O eixo OZ será a normal descendente do plano horizontal e seu vetor de
base é o unitário Kˆ . O eixo (horizontal) OY, com unitário Jˆ , deve ser escolhido de
forma que o sistema O-XYZ seja direto (Figura 1).
1.2.2 Sistemas ligados ao furo: cilíndrico O-r e cartesiano: O-xyz
Liga-se ao furo um sistema cilíndrico de referência com eixo O tangente ao eixo da
curva em O e vetor unitário ˆ . Esse vetor é, pois, normal ao plano da seção reta do
furo, está contido no plano vertical OZY e sua inclinação sobre OY é igual ao
complemento  de ' (Figura 1). Por ser O tangente ao eixo da curva em O, a
variável  só pode assumir valores próximos de zero.
No plano  (Figura 2) os ângulos polares , de vértice O, terão por lado inicial a reta
suporte do unitário Iˆ e serão considerados positivos quando medidos no sentido
anti-horário para quem observa  do semi-espaço que contém ˆ (vista no sentido
contrário ao de ˆ ). O sistema polar em  terá rˆ e ˆ por vetores unitários ortogonais
de base, o primeiro tendo a direção de um raio inclinado de  sobre Iˆ e apontando
para o interior do maciço, o sentido do segundo sendo tal que o triedro }ˆ,ˆ,ˆ{ r seja
positivo. Em  define-se ainda um sistema cartesiano de eixos OxOX (com unitário
Ii ˆˆ  ), OzO (com  ˆˆk ) e Oy, de unitário jˆ , tal que O-xyz seja direto (Figura 2). No
plano vertical OYZOy os eixos OY, Oy, OZ e Oz se posicionam conforme indicado
na Figura 3.
Figura 1 - Sistema de eixos O-
XYZ
Figura 2 Sistema cilíndrico
ligado ao furo
Figura 3 – Eixos no plano OYZ

3. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 03
1.2.3 Sistema principal de O
Esse é um sistema triortogonal, O-x’y’z’, com vetores unitários lˆ , mˆ e nˆ definidos
pelas direções principais do tensor de tensões de O existente antes da execução do
furo, ou seja, o tensor in situ do ponto O. Essas direções e as tensões principais
correspondentes, pl, pm e pn são as incógnitas do problema que será posto na seção
2 e equacionado e resolvido na seção 3.
1.3 NOTAÇÕES.
No ponto genérico P de , o tensor de tensões  é representado na forma de uma
matriz simétrica. Em coordenadas cilíndricas (r,,) e cartesianas O-xyz e O-x'y'z',
essas matrizes são:


















r
r
rrr
r ,











zyzxz
yzyxy
xzxyx
xyz
σσσ
σσσ
σσσ
][σ , e











n
m
l
lmn
p00
0p0
00p
][σ , (1.1).
Não obedecendo às notações clássicas, o vetor deslocamento u de P, conseqüente
à execução do furo, terá u, v e w por componentes no sistema cilíndrico, ou melhor,
nas direções de rˆ , ˆ e ˆ , respectivamente.
O tensor das deformações é denotado por  e suas componentes são denotadas tal
como as correspondes ao tensor de tensões (r, , , ..., ou x, y, z, yz...).
2. POSIÇÃO DO PROBLEMA
2.1 ESTABELECIMENTO DE UM PRINCÍPIO PRÁTICO
O elemento de volume representativo (EVR) de um maciço é o menor volume de
maciço que pode representá-lo em termos de valores médios de propriedades
(especialmente as mecânicas). Em torno de cada ponto de um maciço intato pode
ser considerado um EVR, nas proximidades da superfície imaginária do qual atuam
as tensões in situ. Assim, tais tensões, relativas a um ponto O, ocorrendo segundo
as direções principais do tensor de O, são praticamente as mesmas que as relativas
a qualquer outro ponto P do EVR de O.
A dimensão característica do EVR de um maciço pode ser maior ou menor do que o
diâmetro 2a da seção circular de um furo executado no maciço, cujo eixo contenha o
centro O. Em qualquer um dos casos os tensores de tensão in situ dos EVR's
atingidos, relativos a pontos O', O" etc., inicialmente todos idênticos em cada EVR
(mas diferentes de um EVR para outro), assumem agora um valor em cada ponto
dos mesmos desde que esses pontos O', O" ... estejam situados até uma "distância
crítica" de O.
Em estudos com chapas metálicas (em que os EVR's são muito pequenos) a
experiência mostra que, nos pontos situados a distâncias maiores que 5a de O, essa
mudança nos valores dos tensores pós-furo é desprezível em relação aos valores

4. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 04
dos mesmos tensores relativos à chapa original intata. Esse valor 5a apenas sugere
um valor de referência para a distância crítica mencionada para os maciços
rochosos porque não é possível estabelecer para estes um valor mais rigoroso. A
sugestão pode ser aceitável com alguma reserva, especialmente quando se vão
executar furos muito próximos nos maciços rochosos.
Desta forma, pode ser aceita a idéia aproximada de que, nos maciços rochosos em
estado natural (não sujeitos à ação de esforços exteriores), os tensores de tensão
em pontos do plano da seção reta de um furo praticado no mesmo se modificam
aproximadamente até as fronteiras dos EVR's dos pontos mais distantes de O (como
O', O" ...) nos quais o equilíbrio original possa ter sido modificado (onde as tensões
in situ eram diferentes daquelas de O). A partir das fronteiras dos EVR's de O', O" ...,
no sentido radial de O, os tensores originais nos EVR's desses pontos atingidos
estarão praticamente mantidos. Logo, podemos aceitar o seguinte princípio:
em pontos suficientemente afastados de um ponto qualquer de um
maciço os tensores de tensão in situ (originais) são invariantes com
qualquer furo cujo eixo contenha o ponto.
2.2 PRESSUPOSTOS PARA A SOLUÇÃO
As equações da elasticidade linear para corpos isotrópicos, supostas aplicáveis ao
problema aqui abordado, constituem um sistema compatível de 15 equações
diferenciais parciais de primeira ordem e de segunda, com 15 funções incógnitas (6
tensões, 6 deformações e 3 deslocamentos), que devem satisfazer condições no
contorno e condições de compatibilidade das deformações. Esse sistema, para o
presente problema, foi resolvido por HIRAMATSU e OKA [1] com base em alguns
pressupostos; algumas das notações expostas em [1] foram aqui conservadas, mas
pormenores relativos a interpretações e modo de abordagem são dos autores.
Quando se dá um acréscimo à variável  em P, mantendo-se r e  fixos, obtém-se
uma seção do furo, paralela à anterior, que contém o ponto P’ correspondente de P
(o segmento PP’ é paralelo ao eixo). Nestas condições, tensões, deformações e
deslocamentos sofrem acréscimos de P para P’ conforme os pressupostos seguintes
(que não são condições de contorno, pois são verificados no ponto genérico interior
ao maciço).
Primeiro pressuposto:
- em P, são nulas as razões dos acréscimos das componentes u e v do
deslocamento para o acréscimo de , isto é:
0
vu






(2.1.a),
o que significa que u e v só podem depender de r e .
Segundo pressuposto:
- em P, é nula a razão do acréscimo do tensor  de tensões para o acréscimo
de , ou seja,





, (2.1.b),

5. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 05
o que também significa que  só depende de r e .
Terceiro pressuposto:
- em P, é constante a razão do acréscimo de deslocamento w para o acréscimo
de , ou seja,
K
w



 , (2.1.c),
o que significa que w varia linearmente com  além de variar com r e .
Desses pressupostos se deduz que:
),r(uu  , ),r(vv  ,  K),r(ww e ),r(   , (2.2).
3. EQUACIONAMENTO
Em P (ponto genérico da seção do furo), a equação de equilíbrio estático é odiv ,
desde que se desprezem os efeitos de forças mássicas. A conexão entre os
tensores  e  é dada pela lei de Hooke: =2+(Tr)I, em que  e  são as
constantes de Lamé da rocha, Tr é o traço de  (a dilatação cúbica) e I o tensor
unidade. O tensor  se expressa em função do vetor deslocamento u de P na forma
2/)( T
uu  . Em resumo, as equações simultâneas determinantes do estado de
tensão/deformação do maciço são:










)(
2
1
)Tr(2
div
T
uu
o



, (3.1).
Há que se juntar às equações (3.1) as equações de compatibilidade das
deformações, sintetizadas na forma:
T
rotrot , (3.1-a),
e as condições de contorno, sintetizadas nas formas seguintes:
- para r=a, são: (r)r=a=(r)r=a=(r)r=a=0, (3.1-b),
e
- para as direções (principais) lˆ , mˆ e nˆ do ponto O: x’y’=y’z’=z’x’=0, (3.1-c).
3.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E DESLOCAMENTO W.
Para equacionar o problema (de natureza cilíndrica) e expressar suas
particularidades definidas pelas expressões (2.1-a), (2.1-b), (2.1-c), (3.1-b) e (3.1-c),
é conveniente representar as leis em coordenadas cilíndricas (ver [2], Chapter 2).
Assim, já considerando os pressupostos, a equação odiv equivale ao sistema:

6. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 06




































(c),0
rr
1
r
(b),0
r
2
r
1
r
(a),0
rr
1
r
rr
rr
rrr
, (3.2);
a equação =2+(Tr)I equivale a um sistema único de equações, mas que, por
conveniência, se apresenta desdobrado nas formas:



















(c),K2e
(b)),
r
uv
r
1
(2e
(a),
r
u
2er
, (3.3) e
























(c)),
u
r
1
r
v
r
v
(
(b),
r
w
(a),
w
r
1
r
r , (3.4);
em que K é dada por (2.1-c) e
K
v
r
1
r
u
r
u
eTr 





 , (3.5),
de onde deduzimos, para uso futuro,
)
r
u
ru()Ke(r
v





(3.5-a) e )
r
u
r
u
()Ke(
v
r
1





, (3.5-b).
Por (3.3) e (3.4) podemos calcular as derivadas necessárias para posterior
substituição de resultados em (3.2). Assim procedendo, operando e simplificando,
encontram-se as equações:


















































(c),0
w
r
1
r
w
r
1
r
w
(b),0)
u
r
2v
r
1
r
v
r
v
r
1
r
v
(
e
r
1
)(
(a),0)
v
r
2u
r
1
r
u
r
u
r
1
r
u
(
r
e
)(
2
2
22
2
22
2
222
2
22
2
222
2
, (3.6).
Note-se que a equação (c) em (3.6) pode ser integrada imediatamente. Entretanto,
considerando (3.5), vê-se que a equação (a) em (3.6) apresenta derivada de v em
relação a , bem como a equação (b) apresenta derivada de u em relação . A
eliminação dessas derivadas poderá gerar equações em que apenas as letras u e v
estejam submetidas às derivações parciais; a integração dessas equações será
realizada no item 3.4.
3.2 UM MESMO TENSOR DE TENSÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS
Os três vetores de uma base ortonormada são ligados aos vetores de outra base
ortonormada mediante uma matriz de rotação. Vamos considerar todas as relações
matriciais entre os vetores de cada par de bases vetoriais dentre os quatro sistemas
de coordenadas considerados no item 1.2. Tem-se:
- por serem lˆ , mˆ e nˆ os unitários das direções principais:

7. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 07





















k
j
i
n
m
l
ˆ
ˆ
ˆ
R.
ˆ
ˆ
ˆ
, com











zyx
zyx
zyx
nnn
mmm
lll
R , (3.7),
lx, ly e lz sendo os co-senos diretores de lˆ , mx, ...os de mˆ e nx, ... os de nˆ ;
- da Figura 2: jir ˆsenˆcosˆ  , ji ˆcosˆsenˆ  e kˆˆ  , donde:





























k
j
ir
ˆ
ˆ
ˆ
.Pˆ
ˆ

 , com













 cossen
sencos
P , (3.8);
- da Figura 3: Ii ˆˆ  , KJj ˆcosˆsenˆ  e KJk ˆsenˆcosˆ  , donde:





























K
J
I
.
k
j
i
ˆ
ˆ
ˆ
T
ˆ
ˆ
ˆ
, com














sencos
cossen0
01
T , (3.9).
Por substituição de (3.9) em (3.8) resulta:





























K
J
Ir
ˆ
ˆ
ˆ
.Mˆ
ˆ

 , donde






























ˆ
ˆ
M
ˆ
ˆ
ˆ
T
r
.
K
J
I
com .
sencos
coscossencossen
cossensensencos
TPM













 . , (3.10),
Como o tensor  pode ser escrito nas formas
    etc.][...ˆˆˆ[
ˆ
ˆ
ˆ
.
p00
0p0
00p
.ˆˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
..ˆˆˆ
3
2
1
r
r
rrr
kji
n
m
l
nml
r
r 

















































 , (3.11),
são deduzidas, por consideração das expressões (3.7), (3.8), (3.9) e (3.10):
T
lmn
TT
xyz
T
XYZr P.R]..[R.PP]..[PM]..[M][   , (3.12.a),
R]..[RP]..[PT]..[T][ lmn
T
r
TT
XYZxyz   , (3.12.b),
T.R]..[R.TT]..[TM]..[M][ lmn
TT
xyz
T
r
T
XYZ   (3.12.c).
Tem-se, então, desenvolvendo o último membro de (3.12.b), lembrando (3.7):

8. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 08






























n
2
zm
2
zl
2
znzymzylzynzxmzxlzx
nzymzylzyn
2
ym
2
yl
2
ynxxmyxlyx
nzxmzxlzxnxxmyxlyxn
2
xm
2
xl
2
x
zyzxz
yzyxy
xzxyx
pnpmplpnnpmmpllpnnpmmpll
pnnpmmpllpnpmplpnnpmmpll
pnnpmmpllpnnpmmpllpnpmpl
, (3.13).
Desenvolvendo o terceiro membro de (3.12.a), lembrando a matriz em (3.8), tem-se:



































 
zyzxzyzxz
yzxz
xy
2
x
2
y
xy
yx
yzxz
xy
yx
xy
2
y
2
x
r
cossensencos
cossen
2sen
sencos
2cos
)(2sen
2
1
sencos
2cos
)(2sen
2
1
2sen
sencos
][ , (3.14);
donde, pelas substituições sen2
=(1-cos2)/2 e cos2
=(1+cos2)/2:













 
45656
5632132
5632321
r
sencossencos
oscsen2sen2cos2cos2sen
sencos2cos2sen2sen2cos
][ , (3.15),
com tensões
)(
2
1
yx1  , z4  ,
)(
2
1
yx2  , yz5  , (3.16).
xy3  , xz6  ,
Pelo princípio estabelecido na seção 2.1, para pontos afastados de O, mas próximos
da fronteira do EVR, o tensor de tensões é único (pois, longe de O, tudo se passa
como se o maciço estivesse intato e a distribuição das tensões fosse uniforme). Isto
significa que, para pontos distantes de O, as tensões 1, 2 etc. são constantes, ou
seja, que a matriz [xyz] é constante, bem como [lmn].
3.3 AS TENSÕES  E R.
A equação (c) em (3.6), equivalente a lap w=0 (ou 2
w=0), pode ser resolvida
imediatamente, a sua integral podendo ser posta na forma:
 sen)
r
D
Cr(cos)
r
B
Ar(w , (3.17),

9. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 09
em que A, B, C e D são constantes não nulas de integração. Logo, as equações (a)
e (b) em (3.4) podem ser escritas nas formas:
]cos)
r
D
C(sen)
r
B
A([ 22
 (3.18),
e
]sen)
r
D
C(cos)
r
B
A[( 22r  , (3.19).
Impondo que (3.19) satisfaça as condições de contorno (3.1-b), obtém-se:
 sen)
a
C/D
1(Ccos)
a
A/B
1(A0 22
,
para qualquer , ou seja: 2
a
C
D
A
B
 . Impondo que (3.18) satisfaça as condições de
contorno (3.1-c), vem: )cosCAsen(  . Lembrando que  pode ser extraída do
sistema (3.16), deve ser:  sencos)cosCAsen( 65 . Então: C5  e
A6  . Em resumo:


 6
A , 26
aB


 ,


 5
C , e 25
aD


 , (3.20).
Substituindo-se em (3.18) e (3.19) os valores (3.20) encontrados para as constantes
resultam, finalmente:
)sencos)(
r
a
1( 652
2
 , (3.21),
)cossen)(
r
a
1( 652
2
r  , (3.22),
e
)enscos)(
r
a
1(
1
r
w
562
2


 , (3.23).
3.4 OS DESLOCAMENTOS u E v, E A DILATÂNCIA e.
Com as equações (3.6-(a)), (3.6-(b)) e (3.5) é possível eliminar todas as derivadas
parciais de u e v em relação a r e a  para obter-se uma equação em e apenas.
Derivando (3.5) em relação a r, tem-se:
r
u
r
1
r
v
r
1v
r
1
r
u
r
u
r
e 2
22
2
2 













, (3.24),
entrevendo-se parcelas comuns nos segundos membros de (3.25) e (3.6-a). Por
substituição dessas parcelas de (3.25) em (3.6-a) resulta:

10. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 010
0)
u
r
1v
r
1
r
v
r
1
(
r
e
)2( 2
2
22
2












 , (3.25).
Analogamente, derivando-se (3.5) em relação a  e depois dividindo-se ambos os
membros por r, tem-se:
2
2
2
2
2
v
r
1
r
u
r
1u
r
1e
r
1











, (3.26),
entrevendo-se agora parcelas comuns nos segundos membros de (3.26) e de (3.6-
(b)). Por substituição, obtém-se:
0)
r
u
r
1u
r
1
r
v
r
v
r
1
r
v
(
e
r
1
)2(
2
222
2















 , (3.27).
Derivando-se parcialmente (3.25) em relação a r e cancelando termos, obtém-se:
0)
r
u
r
1u
r
2v
r
2
r
v
(
rr
e
)2( 2
3
2
2
222
3
2
2

















 , (3.28).
Derivando-se parcialmente a equação (3.27) em relação a  e depois dividindo
ambos os membros por r, obtém-se:
0)
r
u
r
1u
r
1v
r
1
r
v
r
1
r
v
(
r
e
r
1
)2( 2
3
2
2
22
2
2
3
2
2
2


















 , (3.29).
Somando-se membro a membro as equações (3.28) e (3.29), cancelando termos e
simplificando, vem:
0)
u
r
1v
r
1
r
v
r
1
(
r
)
e
r
1
r
e
)(2( 2
2
22
2
2
2
22
2















 , (3.30),
donde, por consideração de (3.25) e observando-se que +20:
0
e
r
1
r
e
r
1
r
e
2
2
22
2









(3.31),
equação que equivale a lap e=0 (ou 2
e=0). Embora esta equação (3.31) seja do
mesmo tipo que a equação (3.6-(c)), cuja solução geral é dada pela equação (3.19),
sua integral geral pode ser escrita na forma mais conveniente:
)2Gsen2cosF(
r
1
Ue 2
 , (3.32),
em que U, F e G são constantes de integração e da qual deduzimos, para uso
futuro,
)2senG2cosF(
r
2
)KU(
r
2
)Ke(
r
2
3
 , (3.32.a),

11. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 011
e
)2senG2cosF(
r
1
r)KU(r)Ke(  (3.32.b).
Agora pode ser calculada a derivada parcial de e em relação a r,
)2Gsen2cosF(
r
2
r
e
3



,
para substituição do resultado na equação (a) em (3.6). Obtém-se:
0)]
v
r
1
(
r
2u
r
1
r
u
r
u
r
1
r
u
[)2Gsen2cosF(
r
2
)( 2
2
222
2
3












 , (3.33),
donde, lembrando a equação (3.5-b) e simplificando:
)Ke(
r
2u
r
1
r
u
r
u
r
3
r
u
)2Gsen2cosF(
r
2
2
2
222
2
3












, (3.34).
A equação (3.34), gerada de (3.33) por eliminação da derivada de e em relação a r e
da derivada de v em relação a , só contém as derivadas de u em relação a r e a .
Agora, considerando a equação (3.32-a), tem-se, por substituição em (3.34) e após
simplificações:
2
2
222
2
3
u
r
1
r
u
r
u
r
3
r
u
r
)KU(2
)2Gsen2cosF(
r
12
2













, (3.35).
A solução geral da equação (3.35) pode ser escrita na forma:






 2sen)
r
G
2
2
r
N
Mr(2cos)
r
F
2
2
r
L
Jr(
r
H
r)KU(
2
1
u 33
, (3.36),
em que H, J, L, M, N e G são novas constantes de integração.
Por procedimento análogo, calculando-se a derivada parcial de e em relação a  e
substituição na equação (b) em (3.6) etc., é possível encontrar-se uma equação com
derivadas parciais de v e integrá-la. Entretanto, como de (3.36) se deduza
facilmente:









2sen)
r
G
2
2
r
N3
Mr(2cos)
r
F
2
2
r
L3
Jr(
r
H
r)KU(
2
1
r
u
r 33
,
tem-se, logo:



 2sen)
r
N
Mr(22cos)
r
L
Jr(2r)KU(
r
u
ru 33
, (3.37).
Substituindo-se (3.37) na equação (3.5-a), bem como a parcela r(e-K) pelo seu valor
exposto em (3.32-b); obtém-se:

12. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 012



2sen)]
r
N
Mr(2
r
G
[2cos)]
r
L
Jr(2
r
F
[
v
33
, (3.38),
cuja solução geral é
 2cos)
r2
G
r
N
Mr(2sen)
r2
F
r
L
Jr(v 33
, (3.39).
Deve ser observado que a função arbitrária de r, (r), que deveria ser somada ao
segundo membro de (3.39), é desnecessária uma vez que, devendo ela subsistir
para qualquer valor de , deveria ser, para =0 e =/2: )r()
r2
G
r
N
Mr(v 3
 e
)r()
r2
G
r
N
Mr(v 3
 . Então, para aqueles valores de , deve ser necessariamente
v=(r); o que é absurdo, pois
r2
G
r
N
Mr 3
 não é nulo em geral.
As equações (3.32), (3.36) e (3.39) dão os valores de e, u e v como funções de r,  e
constantes que podem ser determinadas em função das condições de contorno
(3.1.b) e (3.1.c).
3.5 AS EQUAÇÕES FINAIS DE TENSÕES E DESLOCAMENTOS.
Com as equações (3.36) e (3.39) pode ser obtida uma expressão para a tensão r
conforme (3.4.(c)). Tem-se:



2sen)
r2
F
r
L3
J(2cos)
r2
G
r
N3
M(
r
v
2424
,
 2sen)
r2
F
r
L
J(2cos)
r2
G
r
N
M(
r
v
2424
, (3.39.a),
e









2sen)
r
F2
r
L2
J2(2cos)
r
G2
r
N2
M2(
u
r
1
2424
,
donde








 2sen)
r
F
r
L6
J2(2cos)
r
G
r
N6
M2(
1
2424r , (3.40).
Lembrando que o elemento da primeira linha e segunda coluna de (3.15) deve ser
equivalente a (3.40) para r, tem-se:


 2sen2cos)2senJ2cosM(2
1
23r ,
donde



2
M 3
e



2
J 2
, (3.41).

13. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 013
Tem-se de (3.40), para r=a, considerando a condição de contorno (3.1-b):
02sen)
a
F
a
L6
J2(2cos)
a
G
a
N6
M2( 2424






 ,
donde, por ser  arbitrário e levando-se em conta as constantes dadas por (3.41):
0
a
G
a
N6
24
3






e 0
a
F
a
L6
24
2






 , (3.42).
As igualdades (3.41) serão utilizadas oportunamente.
*
Com as equações (3.32) e (3.36) calcula-se r dada por (3.3.(a)). De (3.32), vem:




 2sen
r
G
2cos
r
F
Ue 22
;
e de (3.36):









 2sen)
r
G
2
2
r
N3
M(22cos)
r
F
2
2
r
L3
J(2
r
H
2)KU(
r
u
2 24242
.
Por substituição desses resultados em (3.3.a) resulta, após simplificações:
 2sen]
r
G
)(2)
r
N3
M(2[2cos]
r
F
)(2)
r
L3
J(2[
r
H
2KU)( 24242r , (3.43).
Lembrando que o elemento da primeira linha e primeira coluna de (3.16) deve ser
equivalente a (3.43) para r, vem:
  2sen2cos)2Msen2cosJ(2KU)( 321r , (3.44),
donde
KU)(1  , (3.45).
Como para r é e=U e, conforme a terceira linha e terceira coluna de (3.16), é
=4, a equação (3.3.(c)) é escrita na forma K2U4  . Então, extraindo desta
igualdade o valor de U, substituindo-o na equação (3.45) e multiplicando por 
ambos os membros da expressão formada, tem-se: K)K2)(( 41  .
Explicitando-se o valor de K, vem:
14
)23()23(
)(
K 





 , (3.46).
Lembrando as fórmulas clássicas: )23(E)(  , )23(2E  e  2)21( ,
K e U podem ser explícitas em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente

14. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 014
de Poisson  (além de 4 e 1):
)2(
E
1
K 14  , )2(
E
21
U 14 

 (3.47),
das quais se deduz, para uso futuro,
])1[(
E
1
)KU(
2
1
41  , (3.47.a).
*
Tem-se de (3.43), para r=a, considerando (3.1-b) e (3.41):






 2sen]
a
G
M2
)(2
)
Ma
N3
1[(2cos]
a
F
J2
)(2
)
Ja
L3
1[(
a
H
20 24324221 .
Por ser  arbitrário, devem ser:
0
a
H
2 21  , 0
a
F
J2
)(2
Ja
L3
1 24



 e 0
a
G
M2
)(2
Ma
N3
1 24



 .
Da primeira igualdade resulta:
1
2
2
a
H 

 , (3.48).
Das duas outras igualdades e das igualdades (3.42) resultam os sistemas















0
a
F
a
L6
J2
0
a
F)(2
aJ
L3
1
24
2
2
4
e















0
a
G
a
N6
M2
0
a
G)(2
aM
N3
1
24
2
3
4
que resolvidos acarretam
2
4
2
a
L 

 , 3
4
2
a
N 

 , 2
2
a2
F 

 e 3
2
a2
G 

 , (3.49).
Substituindo as constantes M e J, dadas por (3.41), U dada por (3.47), H dada por
(3.48) e L, N, F e G dadas por (3.49) nas equações (3.40) e (3.43) que definem as
tensões r e r, respectivamente, resultam:
)2sen2cos)(
r
a
3
r
a
41()
r
a
1( 324
4
2
2
12
2
r  , (3.50),
e
)2sen2cos)(
r
a
3
r
a
21( 234
4
2
2
r   , (3.51).

15. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 015
Considerando as igualdades (3.47) e (3.47.a), as expressões (3.32), (3.36) de e e u
passam a ser:
)]2sen2cos(
r
a
)1(42[
E
21
e 322
2
14 

 (3.52),
)2sen2cos(]
r
a
)1(4
r
a
1[
E
1
E
1
]
r
a
)1()1[(
E
1
r
u
422
2
4
4
412
2


 , (3.53).
Considerando as expressões de J e M dadas por (3.41) e as de L, N, F e G dadas
por (3.49), obtém-se, por substituição em (3.39.a) e em (3.38), após simplificações:
)2sen2cos(]
r
a
)21(2
r
a
1[
E
1
r
v
232
2
4
4


 , (3.54),
e
)2cos2sen(]
r
a
)21(2
r
a
1[
E
)1(2v
r
1
232
2
4
4





, (3.54.a),
Finalmente comprova-se, não sem muito trabalho, por substituição de (3.52), (3.53)
e (3.54.a) em (3.3.b) que
)2sen2cos)(
r
a
31()
r
a
1( 324
4
12
2
 , (3.55);
e por substituição de (3.52) e (3.46) em (3.3.(c)):
)2sen2cos(
r
a
4 322
2
4  , (3.56).
3.6 AS EQUAÇÕES DE DEFORMAÇÕES.
As expressões das componentes de deformações podem ser rapidamente obtidas
em função das componentes de tensões por aplicação da lei de Hooke:
[I]][Tr
E
][
E
1
][ rrr  



 , (3.57),
a matriz [r] sendo dada por (3.16) e as expressões das tensões por (3.21), (3.22),
(3.50), (3.51), (3.55) e (3.56).
Como (3.57) é válida também entre sistemas cartesianos, ou seja,
[I]][Tr
E
][
E
1
][ xyzxyzxyz 



 , (3.58),
pode obter-se também, se necessário, a expressão de [xyz] em função de [xyz].
De (3.57) tem-se:

16. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 016
)]2sen2cos)(
r
a
1(
r
a
[)1()(E 424
4
12
2
411r  , (3.59),
)2sen2cos)(
r
a
4
r
a
31()1(]
r
a
)1(1[E 322
2
4
4
412
2
 , (3.60),
e
K)2(
E
1
14  , (3.61),
este último resultado já conhecido por (3.47). Considerando (3.51), (3.21) e (3.22),
obtêm-se, respectivamente:
)2sen2cos)(
r
a
3
r
a
21)(1(E 234
4
2
2
r   , (3.62).
)sencos)(
r
a
1)(1(E 652
2
 , (3.63),
e
)cossen)(
r
a
1)(1(E 652
2
r  , (3.64).
4. AS TENSÕES IN SITU
4.1 A EQUAÇÃO FINAL.
As tensões definidas por (3.16) podem ser postas na forma matricial









































































xy
zx
yz
z
y
x
6
5
4
3
2
1
].2/1[ , com .
010000
001000
000100
100000
00005,05,0
00005,05,0
]2/1[































 (4.1),
em que a coluna do segundo membro, também denotada pela forma compacta
{xyz}, é formada com as componentes do tensor de tensões in situ referido ao
sistema cartesiano O-xyz ligado ao furo.
Com a representação (4.1), as equações que representam a solução do problema
em apreço, em conformidade com a teoria da elasticidade, são resumidas nas
equações (3.50), (3.51), (3.55), (3.56), (3.62), (3.64). Estas, para efeito de cálculos
computacionais, ficam mais bem expressas na forma equivalente matricial:

17. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 017
}).{,,(M}{ xyzr   , (4.2),
em que, em forma transposta,
   rrr
T
r }{ , (4.3),
e, para =a/r, M(,,) é a matriz 6x6,






































2cos)321(0002sen)321(5,02sen)321(5,0
0cos)1(sen)1(000
0sen)1(cos)1(000
2sen40012cos22cos2
2sen)31(000
]2cos)31(
)1[(5,0
]2cos)31(5,0
)1[(5,0
2sen)341(000
]2cos)341(
)1[(5,0
]2cos)341(
)1[(5,0
424242
22
22
222
4
4
2
4
2
42
42
2
42
2
, (4.4).
A equação (4.1) estabelece a relação (direta) entre o tensor de tensões pós-furo,
[r], do ponto de coordenadas (r,) de , referido à base {  ˆ,ˆ,ˆr }, com o tensor in
situ do ponto (,) de , [xyz], referido aos vetores de base { kji ˆ,ˆ,ˆ }.
A matriz M(,,) é fundamental para o cálculo do tensor in situ. Observando-se que
)31)(1(341 2242
 e )31)(1(321 2242
 , (4.5),
M pode ser escrita como o produto das matrizes 6x6:
M(,,)=L(,) . Q() . [1/2], (4.5.a),
sendo



























000)31)(1()31)(1(0
010000
100000
001440
000)31()31(1
000)31)(1()31)(1(1
),(L
2222
2
2
22
442
22222
, (4.6),
e

























sencos0000
cossen0000
001000
000)2sen2(cos5,0)2sen2(cos5,00
000)2sen2(cos5,0)2sen2(cos5,00
000001
)(Q , (4.7),
Pode comprovar-se, não sem algum trabalho, que

18. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 018
)31()1)(1(4),(Ldet 2422
 ,
2
1
)(Qdet  e
2
1
]2/1det[  (4.8),
o que acarreta
)31()1)(1(),,(Mdet 2422
 , (4.9).
Fica assim comprovado que a matriz M é sempre invertivel para qualquer ,
qualquer 1 e qualquer . Particularmente, 00364,0)92,0(Mdet  .
Então, se, por algum meio, for possível determinar o tensor do ponto (r,), para o
qual 1, poder-se-á calcular o tensor in situ, pois será:
}).{,,(M}{ r
1
xyz 
  , (4.10).
Conhecida a coluna {xyz}, escrever-se-á a matriz simétrica 3x3 representante do
tensor in situ (o tensor original relativo a qualquer ponto do EVR de O, ver seção 2).
Os autovalores dessa matriz são as tensões principais in situ, e seus autovetores as
direções em que ocorrem.
É conveniente observar-se que, embora as matrizes do segundo membro de (4.10)
sejam variáveis com  (1),  (0) e , o produto delas é uma constante.
Obviamente essa conclusão deve ser verdadeira dentro das condições admitidas
para a solução do problema e expostas na seção 2.
4.2 A DETERMINAÇÃO DE {R}.
Conforme o método dos macacos planos de pequena área [3], é possível a
determinação do tensor de tensões [r] em qualquer "ponto da parede" do furo
correspondente a =0,92 e qualquer , ou seja, ponto situado a aproximadamente
r=1,087a de O. Por exemplo, para uma seção com 3,0m de diâmetro o ponto estaria
cerca de 13 cm para dentro do maciço.
Deve ser observado que a forma do furo não teve nenhuma influência direta na
obtenção das equações componentes de (4.1), mas toda a solução foi encontrada
em relação ao sistema cilíndrico. Para simplificar a análise, é desejável que o ponto
O, fixo, seja centro de simetria da seção, caso em que a equação polar do furo deve
ser da forma: )()(  .
Não se consegue determinar as componentes do tensor de tensões em (r,),
contendo o índice r. De fato, conforme o método dos macacos planos [3], tais
cálculos são feitos a partir de uma lista de medidas de tensões normais segundo
dois pares de direções ortogonais (a cada direção correspondendo um rasgo na
rocha). Refere-se ao unitário relativo ao rasgo q (para q = 1, 2, 3, 4) no painel da
geratriz do ponto R pela notação qˆn . Em relação ao referencial }ˆ,ˆ,ˆ{ r , em que kˆˆ  ,
tal unitário, conforme Figura 4, é escrito na forma
kn ˆsenˆcosˆ qqq   , (4.11),
o ângulo q de qˆn com ˆ devendo ser medido no sentido positivo (a partir de ˆ e no

19. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 019
sentido de ˆ para ˆ ). Tem-se sempre: 1+2=180=3+4 e 31.
Figura 4 – Disposição dos rasgos em um painel, dos unitários das normais
aos seus planos e os ângulos dessas normais com o unitário kˆ .
O tensor de tensões é um tensor pleno porque não é nulo o vetor tensão (que é
paralelo ao unitário rˆ ) relativo à face da galeria. Assim, o valor da tensão normal
medida, medq, sobre um elemento plano (almofada) ortogonal ao vetor unitário qˆn
pode ser escrito na forma
 





























q
q
r
r
rrr
qqmedq
sen
cos
0
..sencos0 ,
ou, operando, na forma
  2sensencos qq
2
q
2
medq .
Como se vê, esta expressão não envolve as componentes do tensor com índice r.
Dispõe-se, então, para cada painel, de um conjunto de quatro equações envolvendo
apenas três das seis incógnitas.
Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escritas de uma só vez na
forma matricial seguinte:
})].{(N[}{ medrmed  , (4.12),
em que

















4med
3med
2med
1med
med }{ ,



















44
2
4
2
33
2
3
2
22
2
2
2
11
2
1
2
2sensencos
2sensencos
2sensencos
2sensencos
)](N[ e

















 }{ medr , (4.13).
De (4.12) deduz-se facilmente:
}.{)](N)].[(A[}{ med
T
 , (4.14),
onde
1T
)])(N.[)](N([)](A[ 
 , (4.15).

20. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 020
Lembrando que os pares 1 e 2, bem como 3 e 4 são suplementares e que o
ensaio só faz sentido se 31, a inversão de NT
.N será sempre possível porque,
nesse caso, o posto de matriz é igual a 3.
4.3 O CÁLCULO DOS TENSORES: IN SITU E LOCAL.
A coluna do tensor de tensões do ponto R é escrita na forma (4.3) em que r, kr e r
são as tensões desconhecidas e sem as quais não se calcula diretamente o tensor
de tensões in situ. Apenas por conveniência é interessante trabalhar-se não com a
coluna (4.3), mas com a coluna {r} definida pela expressão:
 
  }{.
000001
100000
010000
001000
000100
000010
r
incr
med
r
r
r
r
r
r































































































, (4.16),
destacando-se nas três primeiras linhas da coluna do segundo membro os valores
do tensor de tensões {rk} calculáveis por (4.14) e no terceiro membro indicado pela
coluna 3x1 {med}, e nas três outras as tensões incógnitas indicadas por {rinc}.
Sendo, evidentemente,





























































100000
010000
001000
000100
000010
000001
000001
100000
010000
001000
000100
000010
.
010001
001000
000100
000010
000001
100000
, (4.16.a),
então a operação que consiste em intercalar as matrizes fatores de (4.16.a) entre as
matrizes do segundo membro de (4.10) mantém a validade desta expressão. Mas
agora ela deverá ser escrita na forma:
 
1x36x66x1
r6cc1
1
xyz }.{),,(M}{ 


, (4.17),
em que M-1
(,,)1c6c é o produto da matriz M-1
(,,) em (4.10) pela primeira
matriz fator no primeiro membro de (4.16.a), ou seja, é a própria M-1
(,,) em que
se passe a primeira coluna para a posição de sexta coluna.
A matriz M-1
(,,)1c6c deve, agora, ser decomposta em duas submatrizes 6x3, da
esquerda para a direita, denotadas por M1 e M2, respectivamente, escrevendo-se,
pois:

]]M][M[[]M[
6x36x36x6
21
1


.

21. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 021
Definindo-se a transposta da coluna de todas as incógnitas por
 

1x61x3
TT
xyz
T
incr }{}{   , (4.18),
a equação (4.17) é escrita na forma equivalente:
      

6x9
6x19x16x66x33x16x3
inc2med1 }0{}{.]I[]M[}]{M[  ,
em que a matriz 6x6, [-I], é a matriz unidade 6x6 multiplicada por (-1). Transpondo a
primeira parcela para o segundo membro resulta, então:
     

6x9
3x16x39x16x66x3
med1inc2 }{.]M[}{.]I[]M[  , (4.19),
Em (4.19) todas as matrizes são conhecidas, exceto a coluna das incógnitas que foi
definida em (4.18), suas três primeiras linhas contendo as componentes
desconhecidas do tensor de tensões do ponto (r,), as demais linhas contendo as
componentes do tensor in situ.
Havendo 6 equações e 9 incógnitas em (4.19), conclui-se que o sistema é
indeterminado. Como a equação (4.19) pode ser aplicada para diferentes pontos do
maciço com os mesmos  e  (=a/r), é prudente escrevê-la na forma
     }].{M[}{.IM )(med)(1)(inc)(2   , (4.20),
Para o par de pontos (r,1) e (r,2) devem subsistir simultaneamente:
    
     }].{M[}{.IM
}].{M[}{.IM
)(med)(1)(inc)(2
)(med)(1)(inc)(2
2222
1111








,
sistema esse que pode ser escrito como uma única expressão matricial:
     
     
   
    











































}{
}{
.
M0
0M
}{
}{
}{
.
IM0
I0M
)med(
)med(
)(1
)(1
xyz
)inc(
)inc(
)(2
)(2
2
1
2
1
2
1
2
1
, (4.21),
representando, assim, um sistema de 12 equações com 12 incógnitas. Esse
sistema, entretanto é impossível porque sua matriz (quadrada) das incógnitas é
singular. De fato, o valor do determinante do sistema não muda se subtrairmos a
sexta linha da primeira linha, a sétima linha da segunda etc. e a décima segunda da
sexta. Assim,
     
     
     
          0MM
IM0
0MM
IM0
I0M
)(2)(2
)(2
)(2)(2
)(2
)(2
21
2
21
2
1











.

22. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 022
Relembrando que o tensor in situ em (4.10) deve ser o mesmo qualquer que seja a
medição feita, então, para uma série de N medições feitas:
}).{,,(M...}).{,,(M
}).{,,(M}).{,,(M}{
N3
21
rN
1
r3
1
r2
1
r1
1
xyz










, (4.22).
Como a cada par de geratrizes (no ensaio com almofadas) corresponde um conjunto
de seis equações independentes, dispõe-se, em resumo, de um conjunto de 6(N-1)
equações independentes e 3N incógnitas (3 em cada medição) para as N medições.
Com duas medições apenas seria aparentemente possível calcular-se o tensor in
situ uma vez que, para que 6(N-1)=3N basta que N=2; mas a matriz do sistema
formado, conforme demonstrado, é singular.
Ter-se à disposição um número N>2 de medições pode ser vantajoso do ponto de
vista estatístico, pois, nesse caso, existirão mais equações que incógnitas. De fato,
as equações excedentes são em número de 6(N-1)-3N=3(N-2), ou seja: 3 para N=3,
6 para N=4 etc.. É evidente que se as medições são confiáveis é desejável N>2,
apesar do aumento da quantidade de medições acarretar mais incerteza no valor
final do tensor in situ.

23. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 023
Exemplos.
Serão utilizados para cálculos numéricos os tensores registrados no artigo [3]
relativos ao maciço da UHE de Serra da Mesa, que se transcreve a seguir, as
componentes do tensor estando apresentadas na seqüência r,, , , , r e r:
Geratriz Inclinação  (em ) Tensor referido ao sistema }ˆˆˆ{ kr  . Valores em 10 MPa (ou kgf/cm2
).
1 2230'  1r1r1r 47,2542,2634,38  
2 11230'  2r2r2r 27,2895,6011,334  
3 135  3r3r3r 96,282,7893,215  
4 180  4r4r4r 73,166,5158,3  
5 210  5r5r5r 58,404,4633,0  
6 236  6r6r6r 08,1980,6736,97  
7 301  7r7r7r 65,4161,15224,476  
8 33430'  8r8r8r 86,2027,7084,188  
No que seguirá, valerão: =0,92 e =0,15.
- Para 1=2230' tem-se para M-1
(,,1), conforme (4.3):
0.00678749 0.160387 0. 0. 0. 0.167175
0.190203 1.1902 0. 0. 0. 2.22681
0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097
0. 0. 0. 1.70585 0.706587 0.
0. 0. 0. 0.0587802 0.141908 0.
0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398 .
cujo determinante vale .......
- Para 2=11230' tem-se para M-1
(,,2),
0.160387 0.00678749 0. 0. 0. 0.167175
2.0366 1.0366 0. 0. 0. 2.22681
0.179549 0.179549 1. 0. 0. 0.359097
0. 0. 0. 0.706587 1.70585 0.
0. 0. 0. 0.141908 0.0587802 0.
0.192199 0.192199 0. 0. 0. 0.384398

24. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 024
resultando as equações:
























































































8027,26
27889,5
7444,12
17047,7
5403,31
1456,85
.
053109,055129,4
01484,600
49143,200
0552755,026871,3
0395049,08662,11
074571,39688,20
r
r
1r
=






















































































975,106
1454,14
85922,5
8788,15
834,339
884,125
.
00845,2975,106
49143,200
01484,600
0253162,049707,1
0180933,01324,13
071554,196337,8
2r
2r
2r
.
Tais equações podem ser escritas na forma compacta
S . {s} = {A}, (4.11),
em que S é a matriz 6x6 (cujo determinante é igual a –0,591039),





































00845,2975,106053109,055129,4
49143,20001484,600
01484,60049143,200
0253162,049707,10552755,026871,3
0180933,01324,130395049,08662,11
071554,196337,8074571,39688,20
S , (4.12),
{s} é a coluna de seis linhas que, transposta, é escrita na forma
 2r2r2r1r1r1r
T
}s{   ,
e {A} a coluna de 6 linhas cuja transposta é:
 7777,13342429,1988518,604927,232937,3087384,40  .
Encontram-se os seguintes valores (em kgf/cm2
):
r1=-536.995,0 r1=11.731.900,0 r1=-2,35175
e
r2=-536.995,0 r2=29.373.500,0 r2=-2,11883
1.12602 10
7
, 6.37212 10
6
, 1.75527 10
6
, 2.92292 10
7
, 7.05655 10
7
, 2.44405 10
6
4.81341 10
6
, 7.05235 10
6
, 803938. , 1.76677 10
8
, 7.3182 10
7
, 1.11948 10
6

25. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 025

26. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 026
11 CONCLUSÕES
12 PALAVRAS-CHAVE
Tensões in situ, maciços rochosos, medição de tensões
13 AGRADECIMENTOS
Gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA.
14 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS
[1] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – "Stress around a shaft ou level in
ground with a three-dimensional stress state", Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part
1, Jan. 1962, pp. 56-76.
[2].....HUGHES, W. F. and GAYLORD, E. W. (1964) – "Basic Equations of
Engineering Science", Schaum Publishing Company, New York.
[3] RUGGERI, E. R. F. e PORFÌRIO, N. T. = "
[4] RUGGERI, E. R. F. (2005) – "Tensões in situ, em estado triplo" (Uma
aplicação ao maciço rochoso da UHE de Serra da Mesa), Comitê Brasileiro de
Barragens. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens, Goiânia – GO, 11 a 15
de abril de 2005.

27. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 027
1.1.A SOBRE OS MACIÇOS ROCHOSOS.
Um maciço rochoso é uma massa de rocha de grandes dimensões ligada à terra,
dotada de tensões iniciais em estado natural e sem forma exterior especial. Um
maciço é uma pequena parte do planeta do qual se originou. O tamanho a
considerar de um maciço é relativo a algum problema que o envolva, sendo, em
geral, infinito em relação à dimensão linear característica do problema.
Quando se pretende, por exemplo, abrir um túnel com certa pretensão de eixo e com
seção circular de raio a, toda a parte do maciço, em cada seção, à distância maior
que 6a digamos, poderá ser dita infinitamente distante do túnel. A essa distância os
pontos do maciço estarão nas mesmas posições iniciais. Da mesma forma, ao
construir-se uma barragem sobre um maciço rochoso, toda a parte deste distante
em profundidade cerca de uma vez a altura da barragem pode ser considerada
infinitamente afastada da mesma, pois daí em diante, na vertical, os pontos estarão
nas mesmas posições iniciais.
Em geral, a fronteira de um maciço terá uma parte livre, exposta ao ar, e uma parte
rígida que não sofre quaisquer deslocamentos quaisquer que sejam as ações sobre
ele. Pela parte exposta o maciço poderá receber a ação de esforços: como o peso
de uma barragem e o da água de um reservatório, a pressão de fluidos no interior de
um furo nele executado, a passagem de um trem de carga por um túnel etc. Pela
parte não exposta, um dos esforços ativos está ligado à construção de furos.
O estado de tensões iniciais de um maciço (intato) variará certamente de uma região
para outra do mesmo. Dependendo da formação geológica do maciço e das
dimensões consideradas para estudo, as tensões iniciais poderão variar entre a
constância, a ligeira variância a extrema variância, a ponto de não se conseguir
enquadrá-lo em nenhum tipo de material de comportamento aproximado conhecido.
Procurar entender o comportamento mecânico de um maciço rochoso é como
procurar as propriedades de um número inteiro dado ao acaso: deste não será
possível saber mais que sua paridade, daquele ... praticamente nada.
Na maioria dos casos, entretanto, pretende-se ver o maciço como um elemento
estrutural, isto é, como um corpo cujo comportamento mecânico deva ser previsto
em relação à função que lhe caberá desempenhar. Mas esse enfoque deve ser
entendido de forma bem ampla, pois na operação de escavação se descalça
(material é retirado), enquanto na operação de construção, contrariamente, se calça
(material é posto). Em ambas as operações o corpo (escavado ou construído) estará
submetido à ação de esforços e deverá resisti-los sempre da forma mais econômica
possível.
1.1.B OUTROS MACIÇOS.
Do ponto de vista conceitual, entretanto, outros corpos materiais podem ser
considerados maciços, estejam eles submetidos a tensões iniciais ou não, podendo
ser naturais ou artificiais. Nesses casos podem ser enquadrados os blocos
estruturais, sejam eles de concreto, de metais, ou outros materiais, como uma
porção de osso.

28. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 028
Assim, quando possível, o comportamento mecânico tridimensional de um maciço
poderá ser descrito pela teoria da elasticidade clássica para corpos homogêneos,
isotrópicos, lineares (dos pontos de vista físico e geométrico) e elásticos. Nesse
caso o presente trabalho poderá ser útil.
1.1.C TRABALHABILIDADE COM OS MACIÇOS.
As tensões iniciais em um maciço são, em geral, desconhecidas; e qualquer
operação utilizada para detectá-las, ou acarreta modificação das mesmas, ou falseia
os valores medidos.
Algumas situações importantes podem ser citadas.
No caso dos maciços rochosos, ou se abrem furos circulares de pequeno diâmetro
(até 5 cm) para investigação, ou se abrem galerias, em geral com seções também
circulares de não menos que 3 m de diâmetro, para recepção de pessoas,
equipamentos, instrumentos etc., com a mesma finalidade. Em qualquer um dos
casos a perturbação é evidente, mas algumas medições poderão orientar trabalhos
a serem realizados no futuro. No caso de galerias antigas o objetivo poderá ser a
avaliação do estado de tensões reinante, desconhecendo-se eventualmente as
características mecânicas do material onde fora executada a galeria (nas
minerações, em escavações arqueológicas etc.).
Uma situação que apresenta interesse para efeito de aprendizado pode ser gerada
em laboratório; nesta, o corpo é um cubo, feito com algum material de características
mecânicas conhecidas, dotado de um furo cilíndrico com eixo em posição
conhecida, sobre as faces do qual se vão aplicar cargas conhecidas. Havendo
possibilidade de se medirem grandezas físicas (em geral, deformações) será
possível testar modelos explicativos de comportamento e procurar condições
adequadas para se apreenderem resultados úteis em outras situações.
No caso dos ossos esta-se diante de situação um pouco diferente, pois suas
propriedades mecânicas mudam com a idade e não são materiais isotrópicos. A
ortotropia dos ossos ainda é fator complicador para estudo de seu comportamento
mecânico. Por outro lado, embora apresentem pequenas dimensões, se apresentam
na forma natural aproximada de um tubo cilíndrico oco, que pode ser investigado
pela instalação de instrumentos (em geral, extensômetros) nas suas superfícies
interna e externa. Na impossibilidade do uso de osso propriamente, pode ser
utilizado algum corpo em forma de anel cilíndrico com parede espessa e material
conhecido (argamassa, por exemplo).
Finalmente, apesar de todas as complicações em termos das formas dos corpos e
de suas características mecânicas, deve ser lembrado que muitos desses problemas
podem ser contornados com a utilização da mecânica computacional, ou seja, de
modelagem mecânica processada com computadores, não sem o competente
respaldo das medições em laboratório ou "em campo".
Vislumbradas

29. XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens 029