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O
CÁLCULO POLIÁDICO
PARA
CIENTISTAS DE ENGENHARIA
(The Polyadic Calculus for engineering scientists)
Elysio R. F. Ruggeri
Engenheiro civil
RESUMO
Distinguindo as preocupações e as atividades do engenheiro daquelas do cientista de engenharia
(mestrandos e doutorandos), o autor pondera sobre a formação destes como uma continuidade da
formação daqueles; e discordando dos procedimentos atuais, aponta defeitos facilmente reparáveis.
Justifica-se, apoiado por dois princípios que, eventualmente indiscutíveis, não são em geral
compreendidos nem sequer respeitados por alguns bem intencionados dirigentes de ensino. Alerta sobre e
condena o conteúdo imposto e a didática de parte da Matemática hoje ensinada, sem objetivo imediato, a
altos custos, tanto em graduação quanto em pós-graduação, em prejuízo do estudo pormenorizado de
temas ricos em aplicações. Propõe inserir nos programas de pós-graduação de engenharia, o ensino da
Mecânica dos Meios Contínuos e do Cálculo Poliádico de GIBBS em substituição ao Cálculo Tensorial
(este, em geral, grosseira e inescrupulosamente despejado sobre o aluno). Entreve para muito breve, a
barganha que os engenheiros naturalmente farão do tedioso e obscuro algebrismo cartesiano característico
do Cálculo Tensorial, pela agradável, elegante e transparente geometrização gibbsiana propiciada pelo
Cálculo Poliádico.
ABSTRACT
Although engineers and scientists have distinct concerns and activities, the author reminds that latter
education should be a deeper natural sequence of the graduation studies. In this work the author shows
faults in nowadays educational procedures and suggests solutions. As a justification the author recalls two
major principles that generally are neither understood nor respected by well-meaning educational
managers. The author warns and blames the imposed subject and the didactic applied to some
mathematical fields without a straight practical application, both in graduation and pos-graduation
courses; suggests the teaching of Continuum Mechanics and Gibb’s Polyadic Calculus instead of
Tensorial Calculus. As the Polyadic Calculus allows an elegant, pleasant and transparent gibbsian
geometrization that exceeds the tedious and obscure Cartesian algebrism present in Tensorial Calculus,
the first will be the natural choice for engineers.
Artigo publicado pela Revista da Escola de Minas REM vol. 49, n° 2 Abr/Mai/Jun 96
2
1- O cientista de engenharia e seus parceiros.
Recorrendo ao "Aurélio", Ciência é o "processo pelo qual o homem se relaciona com a natureza
visando a dominação dela em seu próprio benefício "; Arte é a "capacidade que tem o homem de pôr em
prática uma idéia ... "; Engenharia é a "arte de aplicar conhecimentos científicos ... ". Então o físico, o
químico, o biólogo, dentre outros cientistas, em diferentes doses, são os grandes aliados do cientista de
engenharia. Como a Matemática, muito longe de ser apenas um meio de expressão, é uma das alavancas
do desenvolvimento da Física e da Química notadamente, o matemático, por transitividade, é um terceiro
aliado do cientista de engenharia; e, reconheçamos, o mais forte.
Tudo isso pode ser óbvio para uns, didático simplesmente para outros e totalmente errado para
uns poucos1
. Entretanto, nada disso é óbvio - ao contrário, até muito polêmico - se formos avaliar as
"diferentes doses", atrás assinaladas, com que a ciência da engenharia vai se valer da Matemática, da
Física, da Química e outras ciências.
2- Princípios básicos do cientista da engenharia
Por questão de lógica, para atender o princípio aparentemente genético da menor ação, o ensino
da ciência da engenharia deve ser orientado por dois princípios básicos, independentes mas
inseparáveis: o da objetividade - que postula importar o mínimo das ciências básicas de que depende para
produzir o máximo do que se almeja (uma questão de custo, em muitos casos); e o da praticidade - que
postula a convergência de todos os esforços para a solução de um problema concreto relevante (ligado
indiretamente a uma questão comercial na maioria dos casos). Problema relevante é aquele que, resolvido,
pode transformar-se em benefício imediato para a sociedade (e que na maioria dos casos gera lucro). Para
custar o mínimo, esta resolução - devendo ser aplicada repetidas vezes - será sempre desenvolvida com
base numa teoria convincente e bem dosada em generalidade2
.
A espada da verificação experimental será sempre a chancela da "teoria convincente" com que se
desvenda o mistério de um problema; com efeito, a teoria convincente é aquela que faz previsões que se
confirmam experimentalmente, qualitativa e quantitativamente, repetidas vezes, em qualquer tempo.
3- A Física, como toda ciência, gera sua própria matemática !
Se dividirmos a Física entre a Clássica (anterior a 1900) e a Moderna, a Engenharia fica na quase
total dependência da Física Clássica3
. Esta é desenvolvida dentro das noções primárias e absolutas4
que
foram denominadas: espaço, dentro do qual se desenvolveu a geometria denominada Euclidiana; matéria,
que são as coisas existentes e que adquirem formas geométricas euclidianas; e tempo.
Sendo possível desenvolver logicamente a geometria euclidiana (aliás, de fato, qualquer outra
geometria) a partir de postulados independentes de realidades, a Geometria é um ramo da Matemática (já
que é lógica combinada com abstração). Poderíamos dizer, sem perigo de erro, que a Geometria foi uma
condição necessária para o desenvolvimento da Física. Mas se entendermos que a Física é o conhecimento
(de parte) da Natureza, então poderemos também concluir, sem erro, que a Geometria é um ramo da
Física porque parece ser impossível entender a Natureza sem a Geometria. Por conseqüência, a Geometria
1
Não importa abrir, aqui, discussão sobre essa interessante questão. Tenho certeza que agrado a maioria dos
leitores.
2
Em tese, é possível que todos concordem com essa assertiva. Sobre esse assunto, Bacon foi implacável, quando
afirmou: "a teoria sem a prática é míope; a prática sem a teoria é cega". O que pode ser polêmico (por ser
antieconômico, principalmente) é o "quão geral é a teoria".
3
É óbvio que devemos excluir as engenharias (como a Nuclear, a Eletrônica e outras) nascidas neste século dentro
da Física Moderna.
4
Por absoluto estamos entendendo, aqui, tudo aquilo que é "a mesma coisa", para qualquer indivíduo,
independentemente da sua posição ou do seu movimento. Em linguagem técnica, na Física, o absoluto é dito, também
um "invariante".
3
é um ramo da Química, também da Biologia etc. Então, sobre a questão "quem veio primeiro ?" será a
Geometria o ovo ou a galinha ?
Ora, se o que importa à Ciência é a geração de conhecimento (eventualmente para tornar a vida
mais suportável), a exatidão da Geometria (como Matemática que pode ser) torna-se irrelevante. Isto é, o
exato, a menos de um certo erro, pode ser de grande valor prático. Assim entendo, como engenheiro e
mortal comum, o valor da Matemática para a Física e, por conseqüência, para a Engenharia.
O desenvolvimento da Física - fruto da busca de conhecimento cada vez mais profundo da
Natureza - acarretou, em muitas situações, o desenvolvimento das Matemáticas, em diferentes áreas.
Citemos um primeiro exemplo. Uma das operações fundamentais da Álgebra (Elementar) dos
Vetores, que hoje estudamos como Matemática, foi herdada dos gregos antigos que, empiricamente,
compunham forças e velocidades5
. Desde cerca de 170 anos uma "teoria de vetores", parte desenvolvida
com pistas obtidas nos laboratórios de física ou nos fenômenos naturais, parte desenvolvida nas tentativas
de encontrar números complexos (mais gerais que aqueles conhecidos nos cursos colegiais) para a análise
do espaço, vem se impondo como uma teoria matemática[1]. Pelas mentes argutas e criativas de
matemáticos geniais, essa teoria e outras estruturalmente muito parecidas foram unificadas, generalizadas
e arquitetadas em abstrações para constituírem uma nova teoria, absurdamente geral, esotérica: a Álgebra
Linear, hoje lecionada em "pretensos bons cursos de engenharia"6
. A rigor, o princípio da objetividade,
por outro lado, afasta-a completamente dos interesses da ciência da engenharia. Essa questão costuma
gerar polêmica quando levantada. Seus defensores não se apercebem de que operar com vetores (flechas
ou setas, como eles costumam talvez jocosamente denominá-los) determinando-lhes somas e outros
resultados (fazendo uso da Trigonometria, da Geometria Elementar etc), operar objetivamente com
matrizes etc, é muito mais significativo que consumir tempo (aliás, o pouco tempo que os engenheiros
dispõem) em distinguir as noções de variedades lineares e espaços vetoriais, introduzir os conceitos de
isomorfismo, produto interno etc. O que entendo fantástico, entretanto, é que, debaixo de toda essa pompa
intelectual, em geral só operam com bases particulares: as ortonormadas, desconhecendo que em muitas
situações, na Engenharia ou na Física, bases quaisquer são extremamente relevantes.
O exemplo de maior vulto, entretanto, - para ficarmos com os pés no chão sobre essa questão -
pode ser apreciado nos trabalhos independentemente produzidos por Newton e Leibnitz (e, em parte,
também por Fermat), que culminaram com a criação do Cálculo Infinitesimal. Causas da criação: foram as
relacionadas com os problemas de movimento (mecânica) e com a interpretação das tangentes e máximos
e mínimos (geometria).
O exemplo mais espetacular, por outro lado, de causar êxtase, veio por via indireta, quando
Einstein juntou o generalíssimo Cálculo Tensorial dos italianos Ricci e Civita com a então esotérica
Geometria de Riemann (que generalizou as criações e descobertas de Gauss, no que hoje denominamos
Geometria Diferencial7
) para formular uma teoria de gravitação mais exata que a de Newton8
.
5
"Compunham" no sentido de determinar a resultante da velocidade das águas, por onde navegavam as suas
embarcações, com a velocidade dos ventos.
6
Que não me entendam mal os matemáticos. Digo esotérica porque, de fato, apenas depois de muito esforço
intelectual, alguns poucos iniciados, na verdade privilegiados, conseguem realmente entender com plenitude os seus
conceitos soberbos.
7
Repito que não condeno o esoterismo de alguns matemáticos; pelo contrário, aplaudo e admiro. O que eu
condenaria seria a febre eufórica de, por exemplo: impor aos físicos a abrigação de entender uma geometria que não
tivesse utilidade prática na Física, ou até, a obrigação de entendê-la acima do estritamente necessário; do
desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal pela Álgebra Linear, por irrelevante que é etc.
8
Com efeito, por essa teoria, Einstein explicou o movimento "anômalo" do periélio de Mercúrio, já conhecido muitos
anos antes dele, mas nunca justificado. Esse ponto devia ser fixo como os seus correspondentes dos demais planetas
do sistema solar e não estar em rotação (com a velocidade muito pequena de 574 segundos de arco em 100 anos) em
torno do sol, conforme medições astronômicas. Esse foi o valor calculado por Einstein e publicado, em 1915, numa
conferência na Academia Prussiana de Ciências. Pelas equações de Newton não se justificava a diferença (de 43
segundos) entre o valor calculado (de 531 segundos) e o medido [8, pag. 275]. Isto, hoje entendemos, é natural, pois a
Mecânica Einsteiniana é mais geral que a Newtoniana. Conforme comprovou I. I. Shapiro [7, pag. 208], o mesmo se
dá com o periélio de todos os planetas, apenas com efeitos bem menores por estarem estes mais distantes do Sol.
4
O desenvolvimento ou a busca de ferramentas matemáticas para atender as necessidades da
Física gerou o inevitável, o sublime: a possibilidade do estabelecimento de efemérides, isto é, a previsão
de eventos.
Dois exemplos clássicos na área da Teoria da Relatividade Geral podem ser citados [8]: 1) -
pelas equações de Einstein, da gravitação, um raio de luz deveria curvar-se de 1,75" ao passar nas
proximidades do Sol9
, previsão essa, feita pelo próprio Einstein alguns anos após a publicação da sua
teoria, praticamente concordante com as medições astronômicas; 2) - outra previsão, publicada em 1917,
já conhecida experimentalmente pelo astrônomo Slipher em 1912, foi o pequeno deslocamento das linhas
do espectro de um átomo situado nas proximidades do Sol, em direção ao vermelho.
Um outro exemplo (forte o suficiente para comprovar que Geometria é Física) pode ser citado no
campo da Física dos Cristais: a complexa "Teoria da Simetria" - uma teoria essencialmente geométrica -,
além de explicar os sistemas cristalinos, previa (teoricamente) a existência de sistemas com simetria
helicoidal, mais tarde descoberto em certos cristais.
4- Cálculo Poliádico X Cálculo Tensorial
O estudo dos altos problemas de engenharia pelo Cálculo Tensorial é uma necessidade
imperiosa, requerida para um estudo consciente. O estudo deste cálculo, além de ferir mortalmente o
princípio de objetividade pela sua generalidade exagerada, implica um hiato na formação matemática
gradativa do cientista de engenharia; o que, evidentemente, é econômica e didaticamente indesejável.
Com efeito, somente depois de uma farta e massacrante iniciação é que se vai descobrir, pelas vias
esotéricas, que os gloriosos vetoresinhos da Mecânica Racional, da Mecânica dos Fluidos, do
Eletromagnetismo etc, são tensores de ordem um. Que caminho longo ! Que preço alto !
O Cálculo Poliádico é o próprio Cálculo Tensorial filtrado pelos dois princípios enunciados.
Embora assim possa ser compreendido (como um Cálculo Tensorial particularizado !), tem estrutura
própria, que pode ser montada gradativamente, mais ou menos como na álgebra colegial evoluímos, por
necessidade prática, do número inteiro ao número complexo. Com efeito, a sua unidade básica é o clássico
e o já dito glorioso vetor que, nesse cálculo, passa a se chamar monádico ou uniádico; com monádicos
formam-se diádicos, com diádicos e monádicos, triádicos etc. Assim, fica fácil entender que o Cálculo
Poliádico é uma ampliação metódica e gradativa do Cálculo Vetorial; o tem como ponto de partida e
conserva, ainda, todo o seu charme [2,6,9].
5-O Cálculo Poliádico para formular a Física
Conforme se aprende nos bons cursos de graduação em engenharia, os vetores podem representar
as grandezas vetoriais, como: as forças, os momentos de forças, as velocidades, os campos elétricos,
magnéticos etc. Apenas com os vetores, entretanto, não se consegue representar os tensores (de 2ª ordem)
denominados: momento de inércia, tensão, deformação ..., nem tão pouco os de 3ª ordem como o módulo
piezoelétrico e outros mais; para tal podemos usar, respectivamente, os diádicos, os triádicos e, de um
modo geral, os poliádicos. Constata-se, assim, a aptidão dos poliádicos para estudar toda a Física
Clássica, isto é, a Física de que depende a resolução dos problemas de engenharia.
Não precisamos, e nem devemos, nos contentar apenas com isso. O entendimento da Física
Moderna requer o conhecimento de novas geometrias porque o espaço físico, para grandes distâncias
relativas, é curvo. Nestas condições o uso dos vetores, ainda possível, não pode ser utilizado
inadvertidamente porque a menor distância (possível) entre dois pontos é um arco de geodésica e não um
segmento de reta. Quando nas vizinhanças de um ponto do espaço curvo, o espaço (denominado tangente)
é chato (ou flat) - e isso em geral acontece -, nessas vizinhanças é válida a Geometria Minkowskiana de 4
dimensões e o uso dos vetores volta a ter validade (agora, em 4 dimensões e com um conceito diferente de
9
Pelas equações de Newton seria a metade, ou seja, 0,87".
5
módulo). O uso do Cálculo Poliádico nesses domínios implica, pois, em lhe acrescentar novos capítulos,
novos desenvolvimentos. Esses vislumbres, já na mira do autor, estão todos em lento desenvolvimento10
.
6- A Mecânica do engenheiro do século XXI
O Cálculo Poliádico situa-se acima do nível de graduação em engenharia pois se destina,
precisamente, aos cientistas de engenharia, isto é, àqueles engenheiros que desejem uma ampliação de
conhecimentos, o que requer, necessariamente, a construção de bases sólidas. Estes, então, certamente,
estarão se defrontando com problemas mais complexos, para o equacionamento dos quais necessitarão de
um ferramental matemático apropriado. Assim, nessas alturas, esses engenheiros estarão aptos para
estudar a mecânica, nascida neste século XX, que unifica o trato dos comportamentos de todos os corpos
conhecidos, sólidos (como as rochas, os aços, os concretos, as cerâmicas, os minerais etc), fluidos (como
as soluções, as emulsões, os metais fundidos etc), plásticos, polímeros, compósitos etc, homogêneos ou
não, isótropos ou anisótropos, com memória ou sem memória, quando sujeitos à ação de campos de:
temperatura, de força, elétrico, magnético etc; tal é a Mecânica dos Meios Contínuos, a mecânica do
engenheiro do século XXI [3].
Quando, nesta mecânica, ao meio contínuo se agrega "uma porosidade em cada ponto", cria-se a
Mecânica dos Meios Porosos. O meio poroso, uma rocha por exemplo, poderá estar saturado ou não com
fluidos (gasosos ou líquidos), que por ele circulam (estabelecendo um fluxo multifásico) e entre os quais,
inclusive, poderão ocorrer reações químicas. Deve-se, ainda, acrescentar a essas questões, de formulação
matemática complexa, a alteração da forma do meio poroso uma vez que, estando ele sujeito à ação de
esforços, pode se deformar elasticamente, visco-elasticamente etc. Não é necessária muita perspicácia
para inferir que o estudo desta classe de problemas (altamente complexa do ponto de vista matemático)
pode ser de alto valor na engenharia do petróleo. No Cálculo Poliádico, certamente, encontra-se um bom e
adequado amparo para a abordagem e a formulação matemática desses problemas [4].
Quando, nesta mesma mecânica (do contínuo), um elemento de volume é da ordem de grandeza
da célula cristalina, pode-se desenvolver macroscopicamente a Física dos Cristais, disciplina certamente
básica (como a Cristaloquímica) nos bons cursos de Gemologia, Ciência dos Materiais etc. No Cálculo
Poliádico, mais uma vez, encontra-se todo o amparo para um tal estudo, sendo necessárias, aliás, até
operações com pentádicos (raramente necessárias, nas aplicações) se vão ser analisados efeitos não
lineares [5].
Resumo e conclusão
O Cálculo Poliádico é, pois, bem dimensionado e bastante apropriado para o estudo de sistemas
físicos que envolvam grandezas físicas complexas; atua desde a formulação e o trato das inter-relações de
leis naturais correspondentes (em geral, matematicamente complexas), até a obtenção da equação
poliádica conclusiva do problema, ponto final da atividade do engenheiro. Esta equação, em geral, se
desdobra em um sistema de equações algébricas, num sistema de equações diferenciais ordinárias ou num
sistema de equações com derivadas parciais, eventualmente não lineares, cuja solução é da alçada de outro
ramo da Matemática. Deste ramo os engenheiros devem ter boas noções para, eles próprios, resolverem os
casos mais simples. Nos casos mais complexos - e hoje em dia essa situação é muito comum - apenas os
matemáticos especializados terão condições de abordar tais problemas; e nem sempre encontrarão
soluções exatas (analíticas), apenas numéricas, eventualmente.
Particularmente, na Mecânica dos Meios Contínuos, ou seja, em todas as mecânicas do âmbito da
Engenharia, as equações gerais, formuladas puntualmente com a universal conceituação poliádica, são
válidas em qualquer sistema de coordenadas. Distinguindo conceitual e rigorosamente as entidades
matemáticas poliádico e matriz, o Cálculo Poliádico permite, ainda, em relação a um particular sistema de
10
Embora o texto ainda não seja do conhecimento do autor, parte dessa tarefa já foi desenvolvida. Veja WILSON and
LEWIS, Proc. Acad. of Arts and Sciences, vol 48, 1912, pp. 391 - 507.
6
coordenadas, uma formulação computacional fácil, rápida e didática das operações definidas na sua
álgebra e presentes nas equações da Mecânica.
Deste modo, o Cálculo Poliádico pode transferir para o "método dos elementos finitos", por
exemplo, o problema da resolução ponto a ponto (elemento por elemento), para todo o meio, da equação
poliádica correspondente. Esse é o método a seguir, conceitual e didaticamente perfeito. No
desenvolvimento didático dos elementos finitos pelos métodos poliádicos, os tensores do espaço físico
(euclideano) continuam tensores até o final. Esses tensores não são "mutilados" em vetores de 6 linhas, ou
de 18 linhas etc como sói acontecer nos melhores tratados; as tarefas são bem separadas: teoria e
equacionamento de um lado, resolução de equações e métodos numéricos de outro, exatamente como
aprendemos a fazer desde os primórdios da nossa formação.
Em resumo: os métodos poliádicos sugerem economia de tempo, pensamento e dinheiro, porque:
1°) - em estrita obediência aos postulados da objetividade e da praticidade, preenchem as necessidades
técnicas (fisico-matemáticas) dos estudiosos dos altos problemas de engenharia; 2°)- têm grande valor
didático porque possibilitam um progresso contínuo de estudos sem prejuízo do trabalho despendido nos
cursos de graduação; 3°) - enxugando as expressões matemáticas, facilitam o entendimento dos
fenômenos, mostram claramente a conexão das grandezas físicas e, principalmente, permitem levantar
novas questões, estimulando a pesquisa.
Junte-se agora, a esses ganhos, o prazer de ver uma teoria matemática estruturalmente simples,
bem arranjada, que resolve problemas concretos de física e de engenharia, que deixa pistas para esoterisar
um pouco mais os matemáticos e que, principalmente, pode colocar questões teóricas geométrico-
mecânicas inéditas. Essa é a chave de ouro com que se pode fechar brilhantemente essa "matemática
poliádica" cujas idéias iniciais foram estabelecida por J. W. Gibbs [6] durante a sua longa discussão
técnica (entre 1880 e 1900) com os quaternionistas seguidores de Hamilton [1, pag. 150 e seguintes].
Que os leitores dirigentes do ensino nesse país, ao lerem esse artigo, se instruam a respeito. Os
métodos poliádicos, aqui propostos, foram respaldados por Heaviside, Föppl e, principalmente, por
Maxwell (embora matemático, o maior dos físicos teóricos da época); de índole essencialmente
geométrica, satisfizeram plenamente as necessidades da física-matemática, proporcionando-lhe mais
harmonia, síntese e elegância. Esses ensinamentos, ainda extremamente úteis para a Física Clássica, foram
despretensiosamente soterrados pela avalanche modista provocada pela Relatividade Geral que se valeu
dos recém-nascidos métodos tensoriais, de índole algébrica e esfericamente cartesianos. É bem provável
que Einstein - inclusive Minkowski, o intérprete-geometra da Relatividade - nem os tenha conhecido11
; do
contrário teriam caminhado em outra direção, a direção em que a geometria, como física que é, predomina
no conhecimento da natureza ... e, quem sabe, por isso mesmo, poderiam ter ido mais longe !. Essa é a
tendência que vem se manifestando dos escritos dos estudiosos modernos da relatividade. Apesar dos
desenvolvimentos matemáticos desnecessariamente complicados observados nesses escritos 12
, pode-se
perceber o forte toque analítico-vetorial combinado com interpretações e ilustrações geométricas. O nome
tensorial está consagrado pelo uso, mas o estilo, que poderíamos denominar de moderno, é o poliádico.
Na Física e na Engenharia, muito em breve, os métodos poliádicos, apesar de terem de suportar,
eventualmente, o nome de tensoriais, comporão os textos daqueles que se preocuparem em equilibrar
judiciosamente tratamento rigoroso e objetividade com a finalidade de ensinar, desenvolver tecnologia e
pesquisar.
... E o nome de GIBBS, esse imortal, mais uma vez será exultado !
11
Com efeito, somente tempos depois de ter definido as bases da Mecânica Estatística é que Einstein tomou
conhecimento do nome de Gibbs que, bem antes dele, já teria executado tal proeza [7, pag. 102]. Que pensar, então,
dos métodos poliádicos ?
12
É bem provável que o próprio Einstein os considerasse esotéricos. Ao ler uma exposição de Max von Laue sobre a
Relatividade (aliás, o primeiro a publicar sobre o assunto), declarou ter tido "dificuldade em entender o trabalho de
Laue", proveniente de virtuosismo e tecnicismo matemáticos empregados de forma excessiva [7, pag. 15].
7
BIBLIOGRAFIA
[1] - CROWE, M.J., A history of Vector Analysis (The evolution of the idea of a vectorial system), Dover
Publications, 1967, 270 p..
[2] - RUGGERI, E. R. F.,Fundamentos de Cálculo Poliádico, em preparação, 800p..
[3] - SEDOV, L. I. A course in continuum mechanics, Wolters-Noordhoff, 1971, 4 volumes, 996 p..
--- Non-linear mechanics of continua, Pergamon Press, 1965, 252 p..
[4] - COUSSY, O., Mécanique des milieux poreux, Editions Technip, Paris, 1991, 437 p..
[5] - SIROTIN, Yu. I. e M. P. SHASKOLSKAYA, Acoustic Activity of Crystals. In: Fundamentals os
Crystal Physics, Mir Publishers Moscow, 1982, 654 p., Cap. IX, sec 83.
[6] - GIBBS, J. W. e E. B. WILSON, Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901, 436 p..
[7] - GOLGHER, I., O universo físico e humano de Albert Einstein, Oficina de Livros, 1991, Belo Horizonte,
329 p.
[8] - LIEBER, L. R., The Einstein Theory of Relativity, Dennis Dobson Ltd, London., 1949, 324 p..
[9] - MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata, vol. XXV n° 2 e 3,
Ouro Preto, 1966, 39 p..
Endereço de trabalho:
Elysio R. F. Ruggeri
Furnas Centrais Elétricas S.A.
Rodovia BR 153, km 1290, Caixa Postal 457
CEP 74001-970
Goiânia - GO
Fones: 62 239-6375
Email: ruggeri@furnas.com.br

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  • 1. O CÁLCULO POLIÁDICO PARA CIENTISTAS DE ENGENHARIA (The Polyadic Calculus for engineering scientists) Elysio R. F. Ruggeri Engenheiro civil RESUMO Distinguindo as preocupações e as atividades do engenheiro daquelas do cientista de engenharia (mestrandos e doutorandos), o autor pondera sobre a formação destes como uma continuidade da formação daqueles; e discordando dos procedimentos atuais, aponta defeitos facilmente reparáveis. Justifica-se, apoiado por dois princípios que, eventualmente indiscutíveis, não são em geral compreendidos nem sequer respeitados por alguns bem intencionados dirigentes de ensino. Alerta sobre e condena o conteúdo imposto e a didática de parte da Matemática hoje ensinada, sem objetivo imediato, a altos custos, tanto em graduação quanto em pós-graduação, em prejuízo do estudo pormenorizado de temas ricos em aplicações. Propõe inserir nos programas de pós-graduação de engenharia, o ensino da Mecânica dos Meios Contínuos e do Cálculo Poliádico de GIBBS em substituição ao Cálculo Tensorial (este, em geral, grosseira e inescrupulosamente despejado sobre o aluno). Entreve para muito breve, a barganha que os engenheiros naturalmente farão do tedioso e obscuro algebrismo cartesiano característico do Cálculo Tensorial, pela agradável, elegante e transparente geometrização gibbsiana propiciada pelo Cálculo Poliádico. ABSTRACT Although engineers and scientists have distinct concerns and activities, the author reminds that latter education should be a deeper natural sequence of the graduation studies. In this work the author shows faults in nowadays educational procedures and suggests solutions. As a justification the author recalls two major principles that generally are neither understood nor respected by well-meaning educational managers. The author warns and blames the imposed subject and the didactic applied to some mathematical fields without a straight practical application, both in graduation and pos-graduation courses; suggests the teaching of Continuum Mechanics and Gibb’s Polyadic Calculus instead of Tensorial Calculus. As the Polyadic Calculus allows an elegant, pleasant and transparent gibbsian geometrization that exceeds the tedious and obscure Cartesian algebrism present in Tensorial Calculus, the first will be the natural choice for engineers. Artigo publicado pela Revista da Escola de Minas REM vol. 49, n° 2 Abr/Mai/Jun 96
  • 2. 2 1- O cientista de engenharia e seus parceiros. Recorrendo ao "Aurélio", Ciência é o "processo pelo qual o homem se relaciona com a natureza visando a dominação dela em seu próprio benefício "; Arte é a "capacidade que tem o homem de pôr em prática uma idéia ... "; Engenharia é a "arte de aplicar conhecimentos científicos ... ". Então o físico, o químico, o biólogo, dentre outros cientistas, em diferentes doses, são os grandes aliados do cientista de engenharia. Como a Matemática, muito longe de ser apenas um meio de expressão, é uma das alavancas do desenvolvimento da Física e da Química notadamente, o matemático, por transitividade, é um terceiro aliado do cientista de engenharia; e, reconheçamos, o mais forte. Tudo isso pode ser óbvio para uns, didático simplesmente para outros e totalmente errado para uns poucos1 . Entretanto, nada disso é óbvio - ao contrário, até muito polêmico - se formos avaliar as "diferentes doses", atrás assinaladas, com que a ciência da engenharia vai se valer da Matemática, da Física, da Química e outras ciências. 2- Princípios básicos do cientista da engenharia Por questão de lógica, para atender o princípio aparentemente genético da menor ação, o ensino da ciência da engenharia deve ser orientado por dois princípios básicos, independentes mas inseparáveis: o da objetividade - que postula importar o mínimo das ciências básicas de que depende para produzir o máximo do que se almeja (uma questão de custo, em muitos casos); e o da praticidade - que postula a convergência de todos os esforços para a solução de um problema concreto relevante (ligado indiretamente a uma questão comercial na maioria dos casos). Problema relevante é aquele que, resolvido, pode transformar-se em benefício imediato para a sociedade (e que na maioria dos casos gera lucro). Para custar o mínimo, esta resolução - devendo ser aplicada repetidas vezes - será sempre desenvolvida com base numa teoria convincente e bem dosada em generalidade2 . A espada da verificação experimental será sempre a chancela da "teoria convincente" com que se desvenda o mistério de um problema; com efeito, a teoria convincente é aquela que faz previsões que se confirmam experimentalmente, qualitativa e quantitativamente, repetidas vezes, em qualquer tempo. 3- A Física, como toda ciência, gera sua própria matemática ! Se dividirmos a Física entre a Clássica (anterior a 1900) e a Moderna, a Engenharia fica na quase total dependência da Física Clássica3 . Esta é desenvolvida dentro das noções primárias e absolutas4 que foram denominadas: espaço, dentro do qual se desenvolveu a geometria denominada Euclidiana; matéria, que são as coisas existentes e que adquirem formas geométricas euclidianas; e tempo. Sendo possível desenvolver logicamente a geometria euclidiana (aliás, de fato, qualquer outra geometria) a partir de postulados independentes de realidades, a Geometria é um ramo da Matemática (já que é lógica combinada com abstração). Poderíamos dizer, sem perigo de erro, que a Geometria foi uma condição necessária para o desenvolvimento da Física. Mas se entendermos que a Física é o conhecimento (de parte) da Natureza, então poderemos também concluir, sem erro, que a Geometria é um ramo da Física porque parece ser impossível entender a Natureza sem a Geometria. Por conseqüência, a Geometria 1 Não importa abrir, aqui, discussão sobre essa interessante questão. Tenho certeza que agrado a maioria dos leitores. 2 Em tese, é possível que todos concordem com essa assertiva. Sobre esse assunto, Bacon foi implacável, quando afirmou: "a teoria sem a prática é míope; a prática sem a teoria é cega". O que pode ser polêmico (por ser antieconômico, principalmente) é o "quão geral é a teoria". 3 É óbvio que devemos excluir as engenharias (como a Nuclear, a Eletrônica e outras) nascidas neste século dentro da Física Moderna. 4 Por absoluto estamos entendendo, aqui, tudo aquilo que é "a mesma coisa", para qualquer indivíduo, independentemente da sua posição ou do seu movimento. Em linguagem técnica, na Física, o absoluto é dito, também um "invariante".
  • 3. 3 é um ramo da Química, também da Biologia etc. Então, sobre a questão "quem veio primeiro ?" será a Geometria o ovo ou a galinha ? Ora, se o que importa à Ciência é a geração de conhecimento (eventualmente para tornar a vida mais suportável), a exatidão da Geometria (como Matemática que pode ser) torna-se irrelevante. Isto é, o exato, a menos de um certo erro, pode ser de grande valor prático. Assim entendo, como engenheiro e mortal comum, o valor da Matemática para a Física e, por conseqüência, para a Engenharia. O desenvolvimento da Física - fruto da busca de conhecimento cada vez mais profundo da Natureza - acarretou, em muitas situações, o desenvolvimento das Matemáticas, em diferentes áreas. Citemos um primeiro exemplo. Uma das operações fundamentais da Álgebra (Elementar) dos Vetores, que hoje estudamos como Matemática, foi herdada dos gregos antigos que, empiricamente, compunham forças e velocidades5 . Desde cerca de 170 anos uma "teoria de vetores", parte desenvolvida com pistas obtidas nos laboratórios de física ou nos fenômenos naturais, parte desenvolvida nas tentativas de encontrar números complexos (mais gerais que aqueles conhecidos nos cursos colegiais) para a análise do espaço, vem se impondo como uma teoria matemática[1]. Pelas mentes argutas e criativas de matemáticos geniais, essa teoria e outras estruturalmente muito parecidas foram unificadas, generalizadas e arquitetadas em abstrações para constituírem uma nova teoria, absurdamente geral, esotérica: a Álgebra Linear, hoje lecionada em "pretensos bons cursos de engenharia"6 . A rigor, o princípio da objetividade, por outro lado, afasta-a completamente dos interesses da ciência da engenharia. Essa questão costuma gerar polêmica quando levantada. Seus defensores não se apercebem de que operar com vetores (flechas ou setas, como eles costumam talvez jocosamente denominá-los) determinando-lhes somas e outros resultados (fazendo uso da Trigonometria, da Geometria Elementar etc), operar objetivamente com matrizes etc, é muito mais significativo que consumir tempo (aliás, o pouco tempo que os engenheiros dispõem) em distinguir as noções de variedades lineares e espaços vetoriais, introduzir os conceitos de isomorfismo, produto interno etc. O que entendo fantástico, entretanto, é que, debaixo de toda essa pompa intelectual, em geral só operam com bases particulares: as ortonormadas, desconhecendo que em muitas situações, na Engenharia ou na Física, bases quaisquer são extremamente relevantes. O exemplo de maior vulto, entretanto, - para ficarmos com os pés no chão sobre essa questão - pode ser apreciado nos trabalhos independentemente produzidos por Newton e Leibnitz (e, em parte, também por Fermat), que culminaram com a criação do Cálculo Infinitesimal. Causas da criação: foram as relacionadas com os problemas de movimento (mecânica) e com a interpretação das tangentes e máximos e mínimos (geometria). O exemplo mais espetacular, por outro lado, de causar êxtase, veio por via indireta, quando Einstein juntou o generalíssimo Cálculo Tensorial dos italianos Ricci e Civita com a então esotérica Geometria de Riemann (que generalizou as criações e descobertas de Gauss, no que hoje denominamos Geometria Diferencial7 ) para formular uma teoria de gravitação mais exata que a de Newton8 . 5 "Compunham" no sentido de determinar a resultante da velocidade das águas, por onde navegavam as suas embarcações, com a velocidade dos ventos. 6 Que não me entendam mal os matemáticos. Digo esotérica porque, de fato, apenas depois de muito esforço intelectual, alguns poucos iniciados, na verdade privilegiados, conseguem realmente entender com plenitude os seus conceitos soberbos. 7 Repito que não condeno o esoterismo de alguns matemáticos; pelo contrário, aplaudo e admiro. O que eu condenaria seria a febre eufórica de, por exemplo: impor aos físicos a abrigação de entender uma geometria que não tivesse utilidade prática na Física, ou até, a obrigação de entendê-la acima do estritamente necessário; do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal pela Álgebra Linear, por irrelevante que é etc. 8 Com efeito, por essa teoria, Einstein explicou o movimento "anômalo" do periélio de Mercúrio, já conhecido muitos anos antes dele, mas nunca justificado. Esse ponto devia ser fixo como os seus correspondentes dos demais planetas do sistema solar e não estar em rotação (com a velocidade muito pequena de 574 segundos de arco em 100 anos) em torno do sol, conforme medições astronômicas. Esse foi o valor calculado por Einstein e publicado, em 1915, numa conferência na Academia Prussiana de Ciências. Pelas equações de Newton não se justificava a diferença (de 43 segundos) entre o valor calculado (de 531 segundos) e o medido [8, pag. 275]. Isto, hoje entendemos, é natural, pois a Mecânica Einsteiniana é mais geral que a Newtoniana. Conforme comprovou I. I. Shapiro [7, pag. 208], o mesmo se dá com o periélio de todos os planetas, apenas com efeitos bem menores por estarem estes mais distantes do Sol.
  • 4. 4 O desenvolvimento ou a busca de ferramentas matemáticas para atender as necessidades da Física gerou o inevitável, o sublime: a possibilidade do estabelecimento de efemérides, isto é, a previsão de eventos. Dois exemplos clássicos na área da Teoria da Relatividade Geral podem ser citados [8]: 1) - pelas equações de Einstein, da gravitação, um raio de luz deveria curvar-se de 1,75" ao passar nas proximidades do Sol9 , previsão essa, feita pelo próprio Einstein alguns anos após a publicação da sua teoria, praticamente concordante com as medições astronômicas; 2) - outra previsão, publicada em 1917, já conhecida experimentalmente pelo astrônomo Slipher em 1912, foi o pequeno deslocamento das linhas do espectro de um átomo situado nas proximidades do Sol, em direção ao vermelho. Um outro exemplo (forte o suficiente para comprovar que Geometria é Física) pode ser citado no campo da Física dos Cristais: a complexa "Teoria da Simetria" - uma teoria essencialmente geométrica -, além de explicar os sistemas cristalinos, previa (teoricamente) a existência de sistemas com simetria helicoidal, mais tarde descoberto em certos cristais. 4- Cálculo Poliádico X Cálculo Tensorial O estudo dos altos problemas de engenharia pelo Cálculo Tensorial é uma necessidade imperiosa, requerida para um estudo consciente. O estudo deste cálculo, além de ferir mortalmente o princípio de objetividade pela sua generalidade exagerada, implica um hiato na formação matemática gradativa do cientista de engenharia; o que, evidentemente, é econômica e didaticamente indesejável. Com efeito, somente depois de uma farta e massacrante iniciação é que se vai descobrir, pelas vias esotéricas, que os gloriosos vetoresinhos da Mecânica Racional, da Mecânica dos Fluidos, do Eletromagnetismo etc, são tensores de ordem um. Que caminho longo ! Que preço alto ! O Cálculo Poliádico é o próprio Cálculo Tensorial filtrado pelos dois princípios enunciados. Embora assim possa ser compreendido (como um Cálculo Tensorial particularizado !), tem estrutura própria, que pode ser montada gradativamente, mais ou menos como na álgebra colegial evoluímos, por necessidade prática, do número inteiro ao número complexo. Com efeito, a sua unidade básica é o clássico e o já dito glorioso vetor que, nesse cálculo, passa a se chamar monádico ou uniádico; com monádicos formam-se diádicos, com diádicos e monádicos, triádicos etc. Assim, fica fácil entender que o Cálculo Poliádico é uma ampliação metódica e gradativa do Cálculo Vetorial; o tem como ponto de partida e conserva, ainda, todo o seu charme [2,6,9]. 5-O Cálculo Poliádico para formular a Física Conforme se aprende nos bons cursos de graduação em engenharia, os vetores podem representar as grandezas vetoriais, como: as forças, os momentos de forças, as velocidades, os campos elétricos, magnéticos etc. Apenas com os vetores, entretanto, não se consegue representar os tensores (de 2ª ordem) denominados: momento de inércia, tensão, deformação ..., nem tão pouco os de 3ª ordem como o módulo piezoelétrico e outros mais; para tal podemos usar, respectivamente, os diádicos, os triádicos e, de um modo geral, os poliádicos. Constata-se, assim, a aptidão dos poliádicos para estudar toda a Física Clássica, isto é, a Física de que depende a resolução dos problemas de engenharia. Não precisamos, e nem devemos, nos contentar apenas com isso. O entendimento da Física Moderna requer o conhecimento de novas geometrias porque o espaço físico, para grandes distâncias relativas, é curvo. Nestas condições o uso dos vetores, ainda possível, não pode ser utilizado inadvertidamente porque a menor distância (possível) entre dois pontos é um arco de geodésica e não um segmento de reta. Quando nas vizinhanças de um ponto do espaço curvo, o espaço (denominado tangente) é chato (ou flat) - e isso em geral acontece -, nessas vizinhanças é válida a Geometria Minkowskiana de 4 dimensões e o uso dos vetores volta a ter validade (agora, em 4 dimensões e com um conceito diferente de 9 Pelas equações de Newton seria a metade, ou seja, 0,87".
  • 5. 5 módulo). O uso do Cálculo Poliádico nesses domínios implica, pois, em lhe acrescentar novos capítulos, novos desenvolvimentos. Esses vislumbres, já na mira do autor, estão todos em lento desenvolvimento10 . 6- A Mecânica do engenheiro do século XXI O Cálculo Poliádico situa-se acima do nível de graduação em engenharia pois se destina, precisamente, aos cientistas de engenharia, isto é, àqueles engenheiros que desejem uma ampliação de conhecimentos, o que requer, necessariamente, a construção de bases sólidas. Estes, então, certamente, estarão se defrontando com problemas mais complexos, para o equacionamento dos quais necessitarão de um ferramental matemático apropriado. Assim, nessas alturas, esses engenheiros estarão aptos para estudar a mecânica, nascida neste século XX, que unifica o trato dos comportamentos de todos os corpos conhecidos, sólidos (como as rochas, os aços, os concretos, as cerâmicas, os minerais etc), fluidos (como as soluções, as emulsões, os metais fundidos etc), plásticos, polímeros, compósitos etc, homogêneos ou não, isótropos ou anisótropos, com memória ou sem memória, quando sujeitos à ação de campos de: temperatura, de força, elétrico, magnético etc; tal é a Mecânica dos Meios Contínuos, a mecânica do engenheiro do século XXI [3]. Quando, nesta mecânica, ao meio contínuo se agrega "uma porosidade em cada ponto", cria-se a Mecânica dos Meios Porosos. O meio poroso, uma rocha por exemplo, poderá estar saturado ou não com fluidos (gasosos ou líquidos), que por ele circulam (estabelecendo um fluxo multifásico) e entre os quais, inclusive, poderão ocorrer reações químicas. Deve-se, ainda, acrescentar a essas questões, de formulação matemática complexa, a alteração da forma do meio poroso uma vez que, estando ele sujeito à ação de esforços, pode se deformar elasticamente, visco-elasticamente etc. Não é necessária muita perspicácia para inferir que o estudo desta classe de problemas (altamente complexa do ponto de vista matemático) pode ser de alto valor na engenharia do petróleo. No Cálculo Poliádico, certamente, encontra-se um bom e adequado amparo para a abordagem e a formulação matemática desses problemas [4]. Quando, nesta mesma mecânica (do contínuo), um elemento de volume é da ordem de grandeza da célula cristalina, pode-se desenvolver macroscopicamente a Física dos Cristais, disciplina certamente básica (como a Cristaloquímica) nos bons cursos de Gemologia, Ciência dos Materiais etc. No Cálculo Poliádico, mais uma vez, encontra-se todo o amparo para um tal estudo, sendo necessárias, aliás, até operações com pentádicos (raramente necessárias, nas aplicações) se vão ser analisados efeitos não lineares [5]. Resumo e conclusão O Cálculo Poliádico é, pois, bem dimensionado e bastante apropriado para o estudo de sistemas físicos que envolvam grandezas físicas complexas; atua desde a formulação e o trato das inter-relações de leis naturais correspondentes (em geral, matematicamente complexas), até a obtenção da equação poliádica conclusiva do problema, ponto final da atividade do engenheiro. Esta equação, em geral, se desdobra em um sistema de equações algébricas, num sistema de equações diferenciais ordinárias ou num sistema de equações com derivadas parciais, eventualmente não lineares, cuja solução é da alçada de outro ramo da Matemática. Deste ramo os engenheiros devem ter boas noções para, eles próprios, resolverem os casos mais simples. Nos casos mais complexos - e hoje em dia essa situação é muito comum - apenas os matemáticos especializados terão condições de abordar tais problemas; e nem sempre encontrarão soluções exatas (analíticas), apenas numéricas, eventualmente. Particularmente, na Mecânica dos Meios Contínuos, ou seja, em todas as mecânicas do âmbito da Engenharia, as equações gerais, formuladas puntualmente com a universal conceituação poliádica, são válidas em qualquer sistema de coordenadas. Distinguindo conceitual e rigorosamente as entidades matemáticas poliádico e matriz, o Cálculo Poliádico permite, ainda, em relação a um particular sistema de 10 Embora o texto ainda não seja do conhecimento do autor, parte dessa tarefa já foi desenvolvida. Veja WILSON and LEWIS, Proc. Acad. of Arts and Sciences, vol 48, 1912, pp. 391 - 507.
  • 6. 6 coordenadas, uma formulação computacional fácil, rápida e didática das operações definidas na sua álgebra e presentes nas equações da Mecânica. Deste modo, o Cálculo Poliádico pode transferir para o "método dos elementos finitos", por exemplo, o problema da resolução ponto a ponto (elemento por elemento), para todo o meio, da equação poliádica correspondente. Esse é o método a seguir, conceitual e didaticamente perfeito. No desenvolvimento didático dos elementos finitos pelos métodos poliádicos, os tensores do espaço físico (euclideano) continuam tensores até o final. Esses tensores não são "mutilados" em vetores de 6 linhas, ou de 18 linhas etc como sói acontecer nos melhores tratados; as tarefas são bem separadas: teoria e equacionamento de um lado, resolução de equações e métodos numéricos de outro, exatamente como aprendemos a fazer desde os primórdios da nossa formação. Em resumo: os métodos poliádicos sugerem economia de tempo, pensamento e dinheiro, porque: 1°) - em estrita obediência aos postulados da objetividade e da praticidade, preenchem as necessidades técnicas (fisico-matemáticas) dos estudiosos dos altos problemas de engenharia; 2°)- têm grande valor didático porque possibilitam um progresso contínuo de estudos sem prejuízo do trabalho despendido nos cursos de graduação; 3°) - enxugando as expressões matemáticas, facilitam o entendimento dos fenômenos, mostram claramente a conexão das grandezas físicas e, principalmente, permitem levantar novas questões, estimulando a pesquisa. Junte-se agora, a esses ganhos, o prazer de ver uma teoria matemática estruturalmente simples, bem arranjada, que resolve problemas concretos de física e de engenharia, que deixa pistas para esoterisar um pouco mais os matemáticos e que, principalmente, pode colocar questões teóricas geométrico- mecânicas inéditas. Essa é a chave de ouro com que se pode fechar brilhantemente essa "matemática poliádica" cujas idéias iniciais foram estabelecida por J. W. Gibbs [6] durante a sua longa discussão técnica (entre 1880 e 1900) com os quaternionistas seguidores de Hamilton [1, pag. 150 e seguintes]. Que os leitores dirigentes do ensino nesse país, ao lerem esse artigo, se instruam a respeito. Os métodos poliádicos, aqui propostos, foram respaldados por Heaviside, Föppl e, principalmente, por Maxwell (embora matemático, o maior dos físicos teóricos da época); de índole essencialmente geométrica, satisfizeram plenamente as necessidades da física-matemática, proporcionando-lhe mais harmonia, síntese e elegância. Esses ensinamentos, ainda extremamente úteis para a Física Clássica, foram despretensiosamente soterrados pela avalanche modista provocada pela Relatividade Geral que se valeu dos recém-nascidos métodos tensoriais, de índole algébrica e esfericamente cartesianos. É bem provável que Einstein - inclusive Minkowski, o intérprete-geometra da Relatividade - nem os tenha conhecido11 ; do contrário teriam caminhado em outra direção, a direção em que a geometria, como física que é, predomina no conhecimento da natureza ... e, quem sabe, por isso mesmo, poderiam ter ido mais longe !. Essa é a tendência que vem se manifestando dos escritos dos estudiosos modernos da relatividade. Apesar dos desenvolvimentos matemáticos desnecessariamente complicados observados nesses escritos 12 , pode-se perceber o forte toque analítico-vetorial combinado com interpretações e ilustrações geométricas. O nome tensorial está consagrado pelo uso, mas o estilo, que poderíamos denominar de moderno, é o poliádico. Na Física e na Engenharia, muito em breve, os métodos poliádicos, apesar de terem de suportar, eventualmente, o nome de tensoriais, comporão os textos daqueles que se preocuparem em equilibrar judiciosamente tratamento rigoroso e objetividade com a finalidade de ensinar, desenvolver tecnologia e pesquisar. ... E o nome de GIBBS, esse imortal, mais uma vez será exultado ! 11 Com efeito, somente tempos depois de ter definido as bases da Mecânica Estatística é que Einstein tomou conhecimento do nome de Gibbs que, bem antes dele, já teria executado tal proeza [7, pag. 102]. Que pensar, então, dos métodos poliádicos ? 12 É bem provável que o próprio Einstein os considerasse esotéricos. Ao ler uma exposição de Max von Laue sobre a Relatividade (aliás, o primeiro a publicar sobre o assunto), declarou ter tido "dificuldade em entender o trabalho de Laue", proveniente de virtuosismo e tecnicismo matemáticos empregados de forma excessiva [7, pag. 15].
  • 7. 7 BIBLIOGRAFIA [1] - CROWE, M.J., A history of Vector Analysis (The evolution of the idea of a vectorial system), Dover Publications, 1967, 270 p.. [2] - RUGGERI, E. R. F.,Fundamentos de Cálculo Poliádico, em preparação, 800p.. [3] - SEDOV, L. I. A course in continuum mechanics, Wolters-Noordhoff, 1971, 4 volumes, 996 p.. --- Non-linear mechanics of continua, Pergamon Press, 1965, 252 p.. [4] - COUSSY, O., Mécanique des milieux poreux, Editions Technip, Paris, 1991, 437 p.. [5] - SIROTIN, Yu. I. e M. P. SHASKOLSKAYA, Acoustic Activity of Crystals. In: Fundamentals os Crystal Physics, Mir Publishers Moscow, 1982, 654 p., Cap. IX, sec 83. [6] - GIBBS, J. W. e E. B. WILSON, Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901, 436 p.. [7] - GOLGHER, I., O universo físico e humano de Albert Einstein, Oficina de Livros, 1991, Belo Horizonte, 329 p. [8] - LIEBER, L. R., The Einstein Theory of Relativity, Dennis Dobson Ltd, London., 1949, 324 p.. [9] - MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata, vol. XXV n° 2 e 3, Ouro Preto, 1966, 39 p.. Endereço de trabalho: Elysio R. F. Ruggeri Furnas Centrais Elétricas S.A. Rodovia BR 153, km 1290, Caixa Postal 457 CEP 74001-970 Goiânia - GO Fones: 62 239-6375 Email: ruggeri@furnas.com.br