Este documento descreve um experimento sobre vibrações forçadas em uma viga causadas por um motor com um disco desequilibrado. Os resultados experimentais mostram a amplitude e ângulo de fase da resposta da viga para diferentes frequências de entrada. A frequência natural do sistema foi determinada como sendo 1050 rpm. Cálculos adicionais são necessários para determinar a frequência natural teórica usando as propriedades mecânicas e geométricas da viga e das massas envolvidas.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA NAVAL
ALEF MAIA DE MELO
VIBRAÇÃO DE UMA VIGA SUBMETIDA À FORÇA DE DESBALANCEAMENTO
BELÉM, 2016

2. ALEF MAIA DE MELO
VIBRAÇÃO DE UMA VIGA SUBMETIDA À FORÇA DE DESBALANCEAMENTO
Trabalho referente à Disciplina de Vibrações
Mecânicas da Faculdade de Engenharia Naval,
ministrada pelo Professor Dr. Newton Soeiro.
BELÉM, 2016

3. 3
RESUMO
O experimento, a respeito de uma viga sendo forçada permanentemente
por meio de um motor, no qual rotacionava um disco desbalanceado, fez-se
importante para analisar a influência da excitação sobre os efeitos do sistema.
Analisaram-se, por via analítica e experimental, a influência da excitação sobre
a razão de amplitude, amplitude propriamente dita e ângulo de fase da resposta.
Determinaram-se também a frequência natural e o fator de amortecimento do
sistema. Muitos dos resultados são apresentados por meio de tabelas ou
gráficos.
Palavras – chaves: Ressonância. Amortecimento. Frequência.
Comportamento dinâmico.

4. 4
1) INTRODUÇÃO
Diz-se que um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre
que a energia externa é fornecida ao sistema durante vibração. A energia externa
pode ser fornecida por meio de uma força aplicada ou por excitação de
deslocamento imposta. A resposta de um sistema dinâmico a excitação não-
periódica aplicadas repetidamente é denominada resposta transitória (Rao,
2008).
Se a freqüência de excitação coincidir com a freqüência natural do sistema,
a resposta do sistema será muito grande. Essa condição, conhecida como
ressonância, deve ser evitada, para impedir falha do sistema. A vibração
produzida por uma máquina rotativa desbalanceada, as oscilações de uma
chaminé alta provocadas por emissão de vórtices (redemoinhos) sob ventos
constantes, e o movimento vertical de um automóvel sobre a superfície senoidal
de uma estrada são exemplos de vibração excitada harmonicamente. (Rao,
2008).
Este trabalho trata do relato de um experimento vibratório causado pelo
desbalanceamento de um disco que rotaciona com um furo – ausência de massa
– a certa distância de seu centro, denominada aqui por excentricidade. A partir
disso, a fundamentação teórica se faz útil para explicar todo o conhecimento
necessário para o completo entendimento do experimento.
Como principais objetivos do experimento, tem-se a geração de um gráfico,
para o modelo equivalente, relacionando a resposta com a frequência imposta
ao sistema e outro entre o ângulo de fase em função da mesma frequência,
contrastando estas informações com a resposta e ângulo de fase referente ao
modelo real.
2) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Determinação da constante de rigidez da viga bi apoiada. Demonstrar se há
neste trabalho o valor analítico da constante de rigidez de uma viga bi apoiada.

5. 5
Para tanto, a partir do conteúdo base fundamentado por Nash (1982), realizar-
se-á uma extensa análise matemática a respeito das deduções da equação da
tensão normal devido ao momento fletorM e da equação diferencial da linha
elástica da viga.
Considera-se a viga abaixo sendo solicitada por flexão pura através de dois
momentos. Para determinar a distribuição das tensões normais numa seção
transversal qualquer, admite-se que se corte a viga ao longo dessa seção
transversal. Portanto, os esforços em questão passam a ser externos
relativamente à parte externa que se conservou, embora sejam internos
relativamente ao corpo inicial.
A figura 1 abaixo ilustra o “corte” a certa distância da extremidade da
esquerda da viga, bem como a área da seção transversal localizada à esquerda
do “corte”.
Figura 1-Viga sendo fletida.
Evidentemente, atua-se um momento M na seção transversal
correspondente ao corte efetuado, para que a mesma esteja em equilíbrio. Este
momento representa o efeito da parte direita ao corte sobre a parte da esquerda.
Tal efeito é a soma dos momentos das forças atuantes na parte da viga, à direita
do corte efetuado, em relação ao centro da gravidade da seção transversal
considerada. Para determinar as tensões relacionadas ao momento M,
necessita-se de certas hipóteses.
Como hipóteses, supõe-se que a viga seja constituída de um número finito
de fibras paralelas entre si e dispostas longitudinalmente, sem que haja
dependência entre as mesmas. Então, cada fibra está submetida à força axial de
tração ou de compressão. Além do mais, considera-se que as seções
transversais permaneçam planas durante o carregamento e que o material
obedeça à Lei de Hook e ainda que os módulos de elasticidade do material, tanto
de compressão, quanto de tração, sejam iguais.

6. 6
A figura 2 mostra a viga sendo carregada por momento externo, assim
como as seções transversais aa e bb. Antes do carregamento, as referidas
seções eram paralelas entre si, após o carregamento, portanto, elas giraram,
entretanto, ainda se encontram planas. Observa-se que as fibras superiores
diminuem de comprimento, são comprimidas, e as inferiores são tracionadas. A
linha cd representa a semi-reta conferida à linha neutra. Considera-se a fibra
distante y da linha neutra – yé paralelo à aa. Sendo ρ o raio de curvatura da viga
deformada, por semelhança de triângulos (cOde edf), onde O é o centro da
curvatura, determina-se a deformação correspondente à tal fibra em y.
Figura 2-Viga fletida.
Eq. 1:
𝜖 =
𝑒𝑓
𝑐𝑑
=
𝑑𝑒
𝑐𝑂
=
𝑦
𝜌
As deformações das fibras longitudinais são proporcionais à distância y
da linha neutra.
Valendo-se da Lei de Hook, onde E=σ/ϵ, tem-se que as tensões são
propocionais às distâncias y, ou seja:
Eq. 2:
𝜎 =
𝐸
𝜌
. 𝑦
Portanto, tem-se a equação 3 relacionada à força axial atuante na fibra:

7. 7
Eq. 3:
𝑑𝐹 =
𝐸
𝜌
. 𝑦. 𝑑𝑆
Onde dS representa a área infinitesimal da seção transversal da viga.
Entretanto, a resultante de todas as forças atuantes em todas as fibras deve se
manter nula, já que se considera que apenas haja momento fletor como agente
externo sobre a seção, logo:
Eq. 4:
ʃ = 𝑑𝐹 = ʃ(𝑠)
𝐸
𝜌
. 𝑦. 𝑑𝑆 =
𝐸
𝜌
. ʃ(𝑠) 𝑦. 𝑑𝑆
O momento da força dF, em relação à linha neutra, é:
Eq. 5:
𝑑𝑀 = 𝑦. 𝑑𝐹 = 𝑦. (
𝐸
𝜌
. 𝑦. 𝑑𝑆)
A soma de todos os momentos relativa à seção transversal considerada
deve ser igual ao momento fletor que nela atua:
Eq. 6:
𝑀 = ʃ(𝑠)
𝐸
𝜌
. 𝑦². 𝑑𝑆
Mas, sabe-se que:
Eq. 7:
𝐽 = ʃ(𝑠) 𝑦². 𝑑𝑆
Portanto:
Eq. 8:
𝑀 =
𝐸. 𝐽
𝜌
Utilizando a Eq. 2, tem-se que:

8. 8
Eq. 9:
𝜎 =
𝑀
𝐽
. 𝑦
Chamando-se de c a distância da linha neutra à uma das extremidades
da seção transversal, tem-se a expressão da tensão máxima:
Eq. 10:
𝜎 =
𝑀
𝐽
. 𝑦
Por sequência, Branco (1998) explica como obteve a equação diferencial
da linha elástica. Para isso, a figura 3 representa a forma da curva elástica, em
que o centro de curvatura de um ponto qualquer do eixo neutro é o ponto O.
Figura 3-Forma elástica submetida à flexão por um momento fletor M.
O raio de curvatura correspondente a esse ponto O será ρ e a relação
entre a curvatura e o momento fletor já foi mostrado na Eq. 8.
Para deduzir uma equação que dê a relação entre a curvatura e a forma
do eixo neutro, consideram-se dois pontos adjacentes, a e b, a uma distância ds.
Sendo dO o ângulo que a tangente no ponto a faz com o eixo xx, o ângulo entre
as normais à curva em a e b será dO. O centro da curvatura será definido pela
interseção dessas normais, onde se define o comprimento ρ do raio de curvatura.
Portanto, tem-se a E. 11.

9. 9
Eq. 11:
𝑑𝑠=𝜌.𝑑𝑂
E
1
𝜌
= −
𝑑𝑂
𝑑𝑠
Considerou-se o sinal negativo da equação acima porque o ângulo O
decresce à medida que o ponto a se desloca na curva de A para B. Portanto, a
um aumento positivo de ds corresponde a um negativo para dO. Na prática, os
deslocamentos permitidos são muito pequenos e por conseguinte as linhas
elásticas serão muito achatadas. Portanto, neste caso, pode escrever-se com
precisão suficiente.
Eq. 12:
ds = dx e O = tgO =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Substituindo os valores da Eq. 12 na E1. 11, tem-se:
Eq. 13:
1
𝜌
= −
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
Logo,
Eq.14:
−
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
=
𝑀
𝐸𝐽
Retomando ao conteúdo de Nash (1982), determinar-se-á a equação da
linha elástica de uma viga bi-apoiada, como mostra a figura 4.

10. 10
Figura 4-Viga bi-apoiada carregada por uma força P.
Por simetria, as reações de apoio são iguais a P/2. O momento fletor, para
x compreendido entre zero e 0,5.l, é:
Eq. 15: para 0 <= x<= 0,5.l
M =
𝑃
2
. 𝑥
Então, para esse trecho de viga:
𝐸𝐽.
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
= 𝑀 =
𝑃
2
. 𝑥
Integrando a E. 15, tem-se:
Eq. 16:
𝐸𝐽.
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
= (
𝑥²
2
) + 𝑐1
Por simetria, a rotação O = dy/dx é nula para x = 0,5.l, logo:
Eq. 17:
𝑐1 = −
𝑃
2
. (
(
𝑙
2
)
2
2
)
Portanto,
𝐸𝐽.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑃
4
. 𝑥2
−
𝑃
16
. 𝑙²

11. 11
Integrando a Eq. 17, tem-se:
Eq. 18:
𝐸𝐽. 𝑦 =
𝑃
4
. (
𝑥
3
)
3
−
𝑃
16
. 𝑙2
. 𝑥
Evidentemente, a flecha máxima é dada quando x = l/2, portanto:
Eq. 19:
𝐸𝐽. 𝑦𝑚á𝑥. =
𝑃. 𝑙³
48
Ou
3) RESULTADOS
No dado experimento foram dadas entradas de frequência, 9 no total, e para
cada valor, foram observadas uma amplitude e uma fase, conforme mostrado na
tabela seguinte.
Tabela1: Dados experimentais.
Medida Ângulo de fase (°)
Amplitude
(mm)
Frequência
rpm Rad/s
1 145 1,24 825 86,39
2 170 1,49 950 99,48
3 180 1,8 1000 104,72
4 190 2,39 1025 107,33
5 270 6,74 1050 109,95
6 295 4,08 1075 112,57
7 310 2,66 1100 115,19
8 335 1,76 1150 120,42
9 345 1,55 1200 125,66
Como pode ser observado na tabela, a maior amplitude corresponde à
frequência de 1050 rpm (ou 109,95 rad/s) e à fase 90°, a qual já era conhecida.

12. 12
Sabe-se que o maior valor da amplitude é atingido na ressonância, quando a
frequência de excitação é igual a frequência natural do sistema. Portanto, pode-
se concluir que a frequência natural deste sistema é 1050 rpm (ou 109,95 rad/s).
Para continuar os resultados do experimento, deve-se calcular a frequência
natural analítica ou teórica do sistema. Para isso, deve-se encontrar rigidez e
massa equivalentes. Rigidez equivalente 𝐾 = 48𝐸𝐼 𝐿 3 𝐼 = 𝑏ℎ 3 12 = 25,4 × 10−3
× (12,75 × 10−3 ) 3 12 = 4,387 × 10−9𝑚4. Sabendo que 𝐸 vale 210 𝐺𝑃𝑎, podemos
calcular 𝐾: 𝐾 = 48 × 210 × 109 × 4,387 × 10−9 0,8143, 𝐾 = 81,988 × 103 𝑁⁄𝑚.
Deve-se atentar para os detalhes das massas envolvidas, onde m corresponde
à massa da viga e M à soma das massas do motor e do disco, considerando-se
o furo 𝑚𝑒𝑞 = 17𝑚 35 + 𝑀. Então, para encontrar a massa m, basta multiplicar
seu volume total pela massa específica do material: 𝑚 = 𝑏 × ℎ × 𝑙 × 𝜌 = 0,0254 ×
0,01275 × 0,814 × 7800 = 2,056 𝐾𝑔 𝑀 = 3,226 + 0,4046 (𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜
𝑓𝑢𝑟𝑜) = 3,6306 𝐾𝑔. Logo, a massa equivalente será: 𝑚𝑒𝑞 = 17𝑚 35 + 𝑀 = 17 ×
2,056 35 + 3,6306 = 4,629 𝐾𝑔. Frequência natural analítica 𝜔𝑛 = √ 𝐾𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛
= √ 81,988 × 103 4,629 𝜔𝑛 = 133,08 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 𝑜𝑢 1270,92 𝑟𝑝𝑚. Com as frequências
naturais experimentais e analíticas em mãos, é possível calcular o erro
percentual relativo e relação de frequência (𝑟) e o fator amplificação (R) para
ambos os casos. Erro percentual da frequência natural relativo ao valor
experimental 𝐸𝑟𝑟𝑜𝜔𝑛% = |𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 – 𝜔𝑛𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜| 𝜔𝑛𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 × 100
= |109,95 – 133,08| 109,95 × 100 = 21,03% Gráfico das amplitudes teóricas e
experimentais em função da relação de frequência. As amplitudes experimentais
foram medidas no micrômero durante o experimento e as teóricas são
encontradas utilizando-se a força resultante do processo de desbalanceamento.
O desbalanceamento pode ser encontrado substituindo os valores da rotação,
da excentricidade e da massa excêntrica. Lembrando que: 𝑋 = 𝐹0 𝑘𝑒𝑞 ⁄ √(1−𝑟
2)2+(2𝜉𝑟)2 (𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒) (14) E 𝑟 = 𝜔 𝜔𝑛 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎).

13. 13
Tabela 2: Amplitude (X) x relação de frequência (r)
X
r Experimental Analítico
0,78571 1,24 1,50
0,90476 1,49 1,80
0,95238 1,8 2,18
0,97619 2,39 2,89
1 6,74 8,16
1,02381 4,08 4,94
1,04762 2,66 3,22
1,09524 1,76 2,13
1,14286 1,55 1,88
Fonte: Autor
Gráfico 1: Amplitude x relação de frequência
Gráfico dos fatores de ampliação e experimentais em função da relação
de frequência. O fator de amplificação, ainda não apresentado no relatório, é
uma relação entre a amplitude da vibração no regime permanente, 𝑋, e o
deslocamento 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 AMPLITUDE

14. 14
(X) RELAÇÃO DE FREQUÊNCIA (R) Amplitude x Relação de frequência
Experimental Analítico devido à aplicação estática da amplitude dessa mesma
força, 𝐹0⁄𝐾𝑒𝑞, ou seja, o fator de amplificação é a relação entre o efeito dinâmico
da aplicação da força harmônica 𝐹(𝑡) e o efeito estático da aplicação da
amplitude dessa mesma força:
𝑅 =
𝑋
𝐹𝑜
𝐾𝑒𝑞
=
1
√(1 − 𝑟2)2 + (2𝜉𝑟)²
Para criar a tabela de dados, apenas esta fórmula será utilizada.
Diferentemente da amplitude, o fator de amplificação experimental não é colhido
no ato do experimento e deve ser calculado assim como o teórico.
Tabela 3: fator de ampliação (𝑅) x relação de frequência (𝑟)
R
r Experimental Analítico
0,78 1,99 2,4085
0,90 1,81 2,1906
0,95 1,97 2,3843
0,98 2,49 3,0136
1 6,69 8,0969
1,02 3,87 4,6839
1,05 -2,41 2,9168
1,01 1,45 1,7549
1,14 1,17 1,4161
Fonte:Autor

15. 15
Gráfico 2: fator de ampliação de frequência
Fonte: Autor
Gráfico das fases em função da relação de frequência. As fases
experimentais foram medidas com o auxílio da lâmpada estroboscópica durante
o experimento.
Tabela 4: relação de frequência (r) x ângulo de fase (ϕ)
r
Ângulo de
fase
0,78 145
0,90 170
0,95 180
0,98 190
1 270
1,02 295
1,05 310
1,01 335
1,14 345
Fonte: Autor

16. 16
Gráfico 3: Ângulo de fase x relação de frequência
Fonte: Autor
4) CONCLUSÃO
O experimento foi de suma importância devido à total compreensão a respeito
do fenômeno da ressonância. Percebeu-se a imensa influência da frequência de
excitação sobre o comportamento da viga. Pode-se entender com melhor clareza
o comportamento de um sistema quando excitado por uma força permanente,
bem como entender maior clareza as notas de aula da disciplina vibrações
mecânicas. A respeito dos resultados, primeiramente, determinou-se o valor da
frequência natural do sistema e o comparou com seu resultado quando definido
pela fórmula analítica. Como resultado de comparação, houve um erro de pouco
mais de 29%. Outro valor possível de ser confirmado através dos resultados do
experimento foi o fator de amortecimento, o qual se apresentou bastante
desprezível, sendo quase nulo. Atribui-se o amortecimento devido à histerese
mecânica proveniente da movimentação dos planos cristalinos dos materiais
envolvidos. Como próximo passo, determinou-se, por via analítica e
experimental, a influência da razão de frequência sobre a razão de amplitudes.
O resultado foi apresentado por meio de um gráfico, o qual mostrou uma

17. 17
semelhança entre métodos. 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 330 350
0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 ÂNGULO DE FASE
RELAÇÃO DE FREQUÊNCIA Ângulo de fase x Relação de frequência
Determinou-se em seguida, também por meio analítico e experimental, a
influência da razão de frequência sobre a amplitude dinâmica da viga. O
resultado também se baseou por um gráfico, entretanto, mostra-se certa
disparidade entre as formas de obtenção. A via analítica evidencia a elevada
amplitude da viga quando em ressonância. Já a via experimental de obtenção
dos resultados mostra os mesmos sem bastante significância naquela região.
Isso se deve ao fato de o sistema, quando em pouco tempo, consegue transmitir
a energia que se faria como preponderante para elevar o deslocamento aos
extremos, a ponto de estabelecer um colapso permanente na viga. Como último
resultado, comparou-se a influência da razão de frequência, por via analítica e
experimental, sobre o ângulo de fase de resposta do sistema. Os resultados se
estabeleceram com certa disparidade devido a imprecisões em coleta dos
dados, principalmente.
5) REFERÊNCIAS
RAO, S.S. Vibrações mecânicas – 4ª Edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2008;
SOEIRO, N.S. Curso de Fundamentos de Vibrações e Balanceamento de
Rotores. Belém, 2008.
SOEIRO, N.S. Notas de Aula, Apostila de Vibrações Mecânicas. Pará:
Universidade Federal do Pará, 2013.
THOMSON, W. T. Teoria da vibração: com aplicações. 3ª ed. Rio de Janeiro:
Editora Interciência, 1978;