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A ESTIMAÇÃO DO TETRÁDICO 4
X NA LEI =4
X: QUE
ESTABELECE PROPORCIONALIDADE ENTRE OS DIÁDICOS 
E , PELO MÉTODO DO GRADIENTE.
Elysio R. F. Ruggeri
Furnas Centrais Elétricas SA
Centro Tecnológico de Engenharia Civil
1 – Introdução.
Sejam (1,1), (2, 2), ..., (6, 6), seis avaliações (ou medidas) de dois diádicos simétricos em relação a
uma base diádica ortonormada fixa, arbitrária (eventualmente, convenientemente escolhida),
}ˆ,...ˆ,ˆ{}ˆ{ 621
 
. Por hipótese, esses diádicos se correlacionam através do tetrádico 4
G - uma
incógnita - pela lei  4 : , onde ,  e 4
X são valores verdadeiros, pretendendo-se que o 4
X seja
simétrico (embora, em geral, não o seja necessariamente). Vamos admitir que os seis diádicos  sejam
linearmente independentes, constituindo, assim, uma base para o espaço dos diádicos simétricos,
representada por },...,,{}{ 621
 
.
Nestas condições, um valor preliminar do tetrádico 4
X é dado por i
ipre
4   (i=1,2,...,6), em
que os i
são os diádicos da base recíproca de }{ 
 , isto é, }{  , diádicos esses que podem ser
calculados a partir dos diádicos dados. O tetrádico 4
Xpre é de fato uma avaliação preliminar do tetrádico
final uma vez que não existe nenhuma garantia de que esse tetrádico seja simétrico. Com efeito, para que
isso ocorresse, deveria ser ijji
 ::  para ij, igualdades essas (em número 15) que, em geral, não
se verificam.
Como, por hipótese, os ´s definem uma base, podemos expressar os diádicos  em relação à base
diádica }{ 
 , escrevendo: j
j
ii
)(  : (i,j=1,2,...,6).
*
Como as avaliações são acompanhadas de erros podemos escrever:
i
4
ii
 :X , (i=1,2,...,6) (01),
em que i é um diádico que expressa o erro cometido na i-ésima avaliação, erro esse suposto calculado
com o 4
X verdadeiro.
O produto posterior direto de cada uma das relações (01) pelo correspondente iˆ transforma (01)
na expressão
X4
pre
44   , (02),
sendo
i
i
4 ˆ  , (03).
Podemos estimar um 4
X que mais se aproxime do verdadeiro impondo a condição de que a norma
do tetrádico 4
 seja mínima. Tem-se:
||||2|||||||| 2444
gro
4
gro
44 
  .
, (04).
2
A norma de 4
 é, assim, uma função do segundo grau do tetrádico (incógnita) 4
X. Para um dado valor
(arbitrário) de 4
, logo também de sua norma, vemos por (04), lembrando (02), que, no espaço dos
tetrádicos, existem infinitas setas de tetrádicos 4
X, de origem na extremidade de 4
Xpre e extremidade na
esfera1
de raio igual ao módulo de 4
, que satisfazem a equação (04).
*
2 – Aplicação do método dos gradientes.
Seja dado um 4
 qualquer, ao módulo do qual corresponde certa esfera concêntrica com a anterior. Esta
esfera, evidentemente, envolverá ou será envolvida por aquela conforme a norma de 4
 seja maior ou
menor que a norma daquele (4
 anterior).
O sentido do crescimento da norma será dado pelo sentido da seta do tetrádico gradiente da norma
de 4
. Esse tetrádico é a derivada de ||4
|| em relação a 4
X, sendo:


 44
pre
4
4
4
222
||||



, (05).
*
Imaginemos agora que tenhamos arbitrado um valor 4
X0 para 4
X, ao qual corresponde, segundo
(04), certa norma ||4
0||. Ao 4
X0 corresponde certo ponto na esfera de raio igual a |4
0|. Demos a 4
X0 um
acréscimo igual a (2 4
0)/2= 4
0, no sentido contrário ao do gradiente, com um número /2 <<1 (ou
<<2), e calculemos o valor do tetrádico correspondente, 4
X1. Encontramos:
0
4
0
4
1
4   , (06).
A esse tetrádico corresponde uma norma, calculada por (04), certamente menor que a norma
anterior. Com efeito, de (02) escrevemos: 0
4
gro
4
0
4 X  e 1
4
gro
4
1
4 X  ; logo, considerando
(06), deduzimos: 0
4
1
4 (1   . Vem, então: ||||λ)1(|||| 0
42
1
4   , o que comprova ser
|||||||| 0
4
1
4   porque (1-)2
é um número menor que um. A extremidade da seta de 4
X1 pertencerá
necessariamente a uma esfera interior à correspondente a 4
X0.
*
Demos agora um acréscimo arbitrário ao tetrádico 4
X1, no sentido contrário ao gradiente -24
1,
digamos, da mesma forma que o anterior, 4
1. O novo tetrádico será, então,
1
4
1
4
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4   ,
cuja norma é certamente menor que a do tetrádico anterior e cuja seta tem extremidade numa terceira
esfera interior a toda as anteriores. Temos:
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4   .
.
Assim devemos prosseguir até que na N-ésima iteração a norma ||4
N|| satisfaça certa condição de
tolerância. Como a norma ||4
N|| é menor que a anterior, ||4
N-1||, podemos expressar essa condição pela
expressão:
tol
||||
||||||||
N
4
1-N
4
N
4




, (07),
onde tol é um número negativo cujo módulo, arbitrado conforme as nossas conveniências, representa a
queda relativa no valor da norma (em cada iteração).
No caso em apreço, sendo ||4
N||=||4
N-1|| qualquer que seja N, a queda assume o valor
1
Trata-se, na verdade, de um hiper esfera uma vez que o espaço dos tetrádico simétricos tem 21 dimensões.
3


1
1)Q( .
No espaço tetrádico, as extremidades das setas dos 4
X (todos com origem na extremidade da seta
de 4
Xpre) pertencem cada uma a uma esfera e a cada uma corresponde certa queda. Se os acréscimos dados
aos tetrádicos forem suficientemente pequenos (pequenos ) a poligonal poderá ser visualizada como uma
curva.
*
3 – Conclusão.
A aplicação do método do gradiente (seção 2) poderia ser dispensada uma vez que, sendo o tetrádico
gradiente, 4
, ortogonal à esfera, apontará sempre para a extremidade de 4
Xpre (centro das esferas). Como
os raios das esferas, |4
|, devem tender para um valor mínimo, tenderão para zero necessariamente.
Conseqüentemente, conforme (02), as estimativas do tetrádico incógnita estarão necessariamente
convergindo para 4
Xpre.
Esses resultados mostram que a estimativa do tetrádico pelo teorema fundamental das
transformações lineares é plenamente satisfatória; mas em nenhum instante foi imposta a condição de que
o tetrádico devesse ser simétrico.

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Metodo gradiente

  • 1. A ESTIMAÇÃO DO TETRÁDICO 4 X NA LEI =4 X: QUE ESTABELECE PROPORCIONALIDADE ENTRE OS DIÁDICOS  E , PELO MÉTODO DO GRADIENTE. Elysio R. F. Ruggeri Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil 1 – Introdução. Sejam (1,1), (2, 2), ..., (6, 6), seis avaliações (ou medidas) de dois diádicos simétricos em relação a uma base diádica ortonormada fixa, arbitrária (eventualmente, convenientemente escolhida), }ˆ,...ˆ,ˆ{}ˆ{ 621   . Por hipótese, esses diádicos se correlacionam através do tetrádico 4 G - uma incógnita - pela lei  4 : , onde ,  e 4 X são valores verdadeiros, pretendendo-se que o 4 X seja simétrico (embora, em geral, não o seja necessariamente). Vamos admitir que os seis diádicos  sejam linearmente independentes, constituindo, assim, uma base para o espaço dos diádicos simétricos, representada por },...,,{}{ 621   . Nestas condições, um valor preliminar do tetrádico 4 X é dado por i ipre 4   (i=1,2,...,6), em que os i são os diádicos da base recíproca de }{   , isto é, }{  , diádicos esses que podem ser calculados a partir dos diádicos dados. O tetrádico 4 Xpre é de fato uma avaliação preliminar do tetrádico final uma vez que não existe nenhuma garantia de que esse tetrádico seja simétrico. Com efeito, para que isso ocorresse, deveria ser ijji  ::  para ij, igualdades essas (em número 15) que, em geral, não se verificam. Como, por hipótese, os ´s definem uma base, podemos expressar os diádicos  em relação à base diádica }{   , escrevendo: j j ii )(  : (i,j=1,2,...,6). * Como as avaliações são acompanhadas de erros podemos escrever: i 4 ii  :X , (i=1,2,...,6) (01), em que i é um diádico que expressa o erro cometido na i-ésima avaliação, erro esse suposto calculado com o 4 X verdadeiro. O produto posterior direto de cada uma das relações (01) pelo correspondente iˆ transforma (01) na expressão X4 pre 44   , (02), sendo i i 4 ˆ  , (03). Podemos estimar um 4 X que mais se aproxime do verdadeiro impondo a condição de que a norma do tetrádico 4  seja mínima. Tem-se: ||||2|||||||| 2444 gro 4 gro 44    . , (04).
  • 2. 2 A norma de 4  é, assim, uma função do segundo grau do tetrádico (incógnita) 4 X. Para um dado valor (arbitrário) de 4 , logo também de sua norma, vemos por (04), lembrando (02), que, no espaço dos tetrádicos, existem infinitas setas de tetrádicos 4 X, de origem na extremidade de 4 Xpre e extremidade na esfera1 de raio igual ao módulo de 4 , que satisfazem a equação (04). * 2 – Aplicação do método dos gradientes. Seja dado um 4  qualquer, ao módulo do qual corresponde certa esfera concêntrica com a anterior. Esta esfera, evidentemente, envolverá ou será envolvida por aquela conforme a norma de 4  seja maior ou menor que a norma daquele (4  anterior). O sentido do crescimento da norma será dado pelo sentido da seta do tetrádico gradiente da norma de 4 . Esse tetrádico é a derivada de ||4 || em relação a 4 X, sendo:    44 pre 4 4 4 222 ||||    , (05). * Imaginemos agora que tenhamos arbitrado um valor 4 X0 para 4 X, ao qual corresponde, segundo (04), certa norma ||4 0||. Ao 4 X0 corresponde certo ponto na esfera de raio igual a |4 0|. Demos a 4 X0 um acréscimo igual a (2 4 0)/2= 4 0, no sentido contrário ao do gradiente, com um número /2 <<1 (ou <<2), e calculemos o valor do tetrádico correspondente, 4 X1. Encontramos: 0 4 0 4 1 4   , (06). A esse tetrádico corresponde uma norma, calculada por (04), certamente menor que a norma anterior. Com efeito, de (02) escrevemos: 0 4 gro 4 0 4 X  e 1 4 gro 4 1 4 X  ; logo, considerando (06), deduzimos: 0 4 1 4 (1   . Vem, então: ||||λ)1(|||| 0 42 1 4   , o que comprova ser |||||||| 0 4 1 4   porque (1-)2 é um número menor que um. A extremidade da seta de 4 X1 pertencerá necessariamente a uma esfera interior à correspondente a 4 X0. * Demos agora um acréscimo arbitrário ao tetrádico 4 X1, no sentido contrário ao gradiente -24 1, digamos, da mesma forma que o anterior, 4 1. O novo tetrádico será, então, 1 4 1 4 2 4   , cuja norma é certamente menor que a do tetrádico anterior e cuja seta tem extremidade numa terceira esfera interior a toda as anteriores. Temos: ||||λ4)(λ4|||||||| 0 42 0 44 0 4 0 4 2 4   . . Assim devemos prosseguir até que na N-ésima iteração a norma ||4 N|| satisfaça certa condição de tolerância. Como a norma ||4 N|| é menor que a anterior, ||4 N-1||, podemos expressar essa condição pela expressão: tol |||| |||||||| N 4 1-N 4 N 4     , (07), onde tol é um número negativo cujo módulo, arbitrado conforme as nossas conveniências, representa a queda relativa no valor da norma (em cada iteração). No caso em apreço, sendo ||4 N||=||4 N-1|| qualquer que seja N, a queda assume o valor 1 Trata-se, na verdade, de um hiper esfera uma vez que o espaço dos tetrádico simétricos tem 21 dimensões.
  • 3. 3   1 1)Q( . No espaço tetrádico, as extremidades das setas dos 4 X (todos com origem na extremidade da seta de 4 Xpre) pertencem cada uma a uma esfera e a cada uma corresponde certa queda. Se os acréscimos dados aos tetrádicos forem suficientemente pequenos (pequenos ) a poligonal poderá ser visualizada como uma curva. * 3 – Conclusão. A aplicação do método do gradiente (seção 2) poderia ser dispensada uma vez que, sendo o tetrádico gradiente, 4 , ortogonal à esfera, apontará sempre para a extremidade de 4 Xpre (centro das esferas). Como os raios das esferas, |4 |, devem tender para um valor mínimo, tenderão para zero necessariamente. Conseqüentemente, conforme (02), as estimativas do tetrádico incógnita estarão necessariamente convergindo para 4 Xpre. Esses resultados mostram que a estimativa do tetrádico pelo teorema fundamental das transformações lineares é plenamente satisfatória; mas em nenhum instante foi imposta a condição de que o tetrádico devesse ser simétrico.