Este documento fornece uma revisão de conceitos matemáticos e físicos importantes para o estudo da resistência dos materiais, incluindo operações com frações decimais e ordinárias, unidades de medida, composição e decomposição de forças, e momento de força. O documento também apresenta exemplos resolvidos de problemas que utilizam esses conceitos.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de mecânica dos materiais sobre conceitos de tensão e carregamento axial. Os exercícios incluem cálculos de tensão normal, cisalhamento e esmagamento em barras, pinos e outros componentes mecânicos sob diferentes tipos de carregamento.
2. São fornecidas as respostas para os 36 primeiros exercícios, que envolvem aplicação de fórmulas de resistência dos materiais para dimensionar componentes mecânicos sob tensões normais e tangenciais, considerando
1. O documento apresenta resoluções de problemas do livro Resistência dos Materiais R.C. Hibbeler 7a edição, cobrindo os capítulos de 1 a 7.
2. Os problemas estão organizados por tópicos como tensão, deformação, propriedades mecânicas dos materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento transversal.
3. Para cada problema, a resposta é destacada em negrito e amarelo, contendo os cálculos e resultados de forma objetiva e de acordo com o Sistema Internacional de
O documento discute quatro exemplos de problemas envolvendo elementos e mecânica dos fluidos. O primeiro exemplo calcula a vazão e velocidade em uma seção de um tubo, sabendo que o fluido é água e incompressível. O segundo exemplo resolve um problema similar considerando um fluido compressível, ar. O terceiro exemplo calcula a massa específica, vazão e velocidade de uma mistura homogênea de água e óleo. O quarto exemplo determina a velocidade dos gases de escape de um jato, dado a taxa de combustível queimado e
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
O documento apresenta um material didático sobre resistência dos materiais elaborado por Michel Sadalla Filho para ser usado em cursos técnicos e de engenharia. O documento inclui conceitos básicos de resistência dos materiais, exemplos de problemas, exercícios e referências bibliográficas. O autor ressalta que o objetivo é auxiliar no entendimento inicial dos conceitos e não substituir as referências oficiais da disciplina.
Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura hidrostática equivalente a uma pressão e conversão entre unidades de pressão. Os problemas propostos desafiam o leitor a aplicar os conceitos
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de mecânica dos materiais sobre conceitos de tensão e carregamento axial. Os exercícios incluem cálculos de tensão normal, cisalhamento e esmagamento em barras, pinos e outros componentes mecânicos sob diferentes tipos de carregamento.
2. São fornecidas as respostas para os 36 primeiros exercícios, que envolvem aplicação de fórmulas de resistência dos materiais para dimensionar componentes mecânicos sob tensões normais e tangenciais, considerando
1. O documento apresenta resoluções de problemas do livro Resistência dos Materiais R.C. Hibbeler 7a edição, cobrindo os capítulos de 1 a 7.
2. Os problemas estão organizados por tópicos como tensão, deformação, propriedades mecânicas dos materiais, carga axial, torção, flexão e cisalhamento transversal.
3. Para cada problema, a resposta é destacada em negrito e amarelo, contendo os cálculos e resultados de forma objetiva e de acordo com o Sistema Internacional de
O documento discute quatro exemplos de problemas envolvendo elementos e mecânica dos fluidos. O primeiro exemplo calcula a vazão e velocidade em uma seção de um tubo, sabendo que o fluido é água e incompressível. O segundo exemplo resolve um problema similar considerando um fluido compressível, ar. O terceiro exemplo calcula a massa específica, vazão e velocidade de uma mistura homogênea de água e óleo. O quarto exemplo determina a velocidade dos gases de escape de um jato, dado a taxa de combustível queimado e
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
O documento apresenta um material didático sobre resistência dos materiais elaborado por Michel Sadalla Filho para ser usado em cursos técnicos e de engenharia. O documento inclui conceitos básicos de resistência dos materiais, exemplos de problemas, exercícios e referências bibliográficas. O autor ressalta que o objetivo é auxiliar no entendimento inicial dos conceitos e não substituir as referências oficiais da disciplina.
Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura hidrostática equivalente a uma pressão e conversão entre unidades de pressão. Os problemas propostos desafiam o leitor a aplicar os conceitos
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
O documento lista exercícios resolvidos de um livro de Hidráulica Básica, com problemas dos capítulos 2 a 9 e 12. A maioria dos exercícios envolve cálculos de perda de carga, velocidade e vazão em tubulações.
O documento apresenta um índice com os títulos e páginas de vários capítulos e seções. Inclui exemplos numéricos e problemas resolvidos relacionados a fluxos, bombas, tubulações e hidráulica. Fornece detalhes sobre cálculos de perdas de carga, pressões, velocidades, potências e outros parâmetros hidráulicos.
O documento discute o cálculo do ângulo de torção em eixos sob a aplicação de torque. Apresenta as fórmulas para calcular o ângulo de torção quando as propriedades do material e a geometria do eixo são constantes ou variáveis. Também mostra exemplos numéricos de cálculo do ângulo de torção e deslocamento em eixos sob diferentes condições de carga.
O documento discute máquinas hidráulicas e sistemas de recalque. Ele define máquinas hidráulicas como máquinas que trabalham com a energia do líquido em movimento, e classifica-as em operatrizes, motrizes e mistas. Também define bombas hidráulicas como máquinas operatrizes que fornecem energia ao líquido para transportá-lo, e discute os tipos de bombas, como as centrífugas e volumétricas. Por fim, explica como dimensionar sistemas de recalque usando
O documento discute o conceito de torção em eixos circulares. Define torque e momento, apresenta as premissas básicas da torção e a fórmula para cálculo da tensão de cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torque. Apresenta também exemplos de cálculo de tensões em eixos e tubos sob ação de torque.
As tensões normal e de cisalhamento na arruela são calculadas. O diâmetro necessário é de 5-1/2 polegadas e a espessura necessária é de 1/2 polegada para que as tensões não ultrapassem os limites admissíveis.
O documento discute o conceito de torção em materiais. Aborda a deformação por torção de eixos circulares e não circulares, a fórmula da torção, a tensão de cisalhamento máxima, o ângulo de torção, tubos de parede fina e concentração de tensão por torção. Inclui exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos discutidos.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas.
1. Documento contém 11 exercícios de resistência dos materiais sobre torção de eixos. Os exercícios calculam tensões de cisalhamento, ângulos de torção e dimensões de eixos sob aplicação de torque.
Este documento discute perdas de carga em tubulações hidráulicas. Explica que quando um fluido flui dentro de uma tubulação, ocorre atrito com as paredes que causa uma queda gradual da pressão ao longo do fluxo, conhecida como perda de carga. A perda de carga depende de fatores como velocidade do fluido, diâmetro e comprimento da tubulação, e pode ser calculada usando a equação de Darcy-Weissbach. O documento fornece um exemplo numérico de como calcular a perda de
O documento discute o fenômeno da flambagem em barras sob carga axial. Apresenta a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de flambagem e discute como o comprimento efetivo da barra depende das condições de apoio. Fornece exemplos numéricos de cálculo da carga crítica para diferentes configurações estruturais.
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
Este relatório apresenta os resultados de um ensaio de tração realizado em uma amostra de aço 1020. As propriedades mecânicas determinadas incluem módulo de elasticidade, limites de escoamento, resistência mecânica e ruptura, módulo de tenacidade e resiliência, alongamento e estricção. Os valores obtidos são comparados com dados da literatura considerando as limitações do equipamento experimental.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
O documento discute conceitos gerais sobre momentos e esforços em vigas, incluindo: (1) a definição de momento como um esforço que provoca giro, (2) os conceitos de binário e distância de força em relação ao ponto de giro, e (3) os tipos de esforços em vigas, como momento fletor e força cortante. O documento também explica como calcular as reações de apoio em vigas isostáticas usando equações de equilíbrio estático.
Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento, escoamento em dutos e análise dimensional. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura equivalente de pressão e conversão entre unidades de pressão.
A aula aborda propriedades fundamentais de fluidos como massa específica, peso específico e peso específico relativo. Inclui definições destas propriedades, equações, exemplos e exercícios resolvidos sobre cálculos envolvendo estas grandezas para diferentes substâncias como gasolina e mercúrio. A próxima aula tratará de estática de fluidos e noções de pressão.
O documento apresenta uma lista de exercícios de resistência dos materiais sobre flexão. Os alunos devem realizar os exercícios 2, 4, 5, 7 e 8 que envolvem determinar esforços de flexão, tensões máximas, posição da linha neutra e diâmetro de eixos sob carga.
O documento lista unidades de medida para quantidades físicas em diferentes sistemas, incluindo comprimento (m, ft), massa (kg, lbm), tempo (s, s). Também fornece conversões entre unidades como 1 km = 1000 m, 1 lb = 0,45 kg, e 1°C = 1,8°F + 32.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre elementos geométricos de estradas, curvas horizontais circulares e locação de curvas. Os exercícios envolvem cálculos de comprimentos, ângulos, raios, deflexões e locação de pontos de curva e tangente.
Apostila exercicio - mecânica dos sólidosJoão Ferreira
1. O documento apresenta 14 exercícios de resistência dos materiais sobre solicitação axial, cisalhamento puro, torção, flexão e deflexão. Os exercícios abordam conceitos como tensões normais, cisalhantes, deformações, pressões de contato e temperatura.
2. São dados os materiais, dimensões, propriedades mecânicas e condições de contorno para cada problema, que pedem determinar grandezas como forças, tensões, deslocamentos e valores máximos de carga.
3. Inclui também dois exerc
O documento apresenta conceitos fundamentais de mecânica técnica para o curso técnico em eletromecânica, incluindo:
1) Revisão de conceitos matemáticos como operações com números decimais e frações, unidades de medida e prefixos.
2) Noções básicas de trigonometria aplicadas a triângulos retângulos.
3) Conceitos de vetores, forças e sistemas de forças.
1) O documento discute o conceito de momento de uma força, definindo-o como o produto da força aplicada por sua distância até o ponto de referência. Isso determina a capacidade de uma força fazer um objeto girar.
2) São apresentadas as condições necessárias para um corpo extenso estar em equilíbrio estático: a resultante das forças aplicadas deve ser nula, assim como a soma dos momentos aplicados.
3) Um exemplo numérico é resolvido para ilustrar como aplicar essas condições de equilíbrio
O documento apresenta um índice com os títulos e páginas de vários capítulos e seções. Inclui exemplos numéricos e problemas resolvidos relacionados a fluxos, bombas, tubulações e hidráulica. Fornece detalhes sobre cálculos de perdas de carga, pressões, velocidades, potências e outros parâmetros hidráulicos.
O documento discute o cálculo do ângulo de torção em eixos sob a aplicação de torque. Apresenta as fórmulas para calcular o ângulo de torção quando as propriedades do material e a geometria do eixo são constantes ou variáveis. Também mostra exemplos numéricos de cálculo do ângulo de torção e deslocamento em eixos sob diferentes condições de carga.
O documento discute máquinas hidráulicas e sistemas de recalque. Ele define máquinas hidráulicas como máquinas que trabalham com a energia do líquido em movimento, e classifica-as em operatrizes, motrizes e mistas. Também define bombas hidráulicas como máquinas operatrizes que fornecem energia ao líquido para transportá-lo, e discute os tipos de bombas, como as centrífugas e volumétricas. Por fim, explica como dimensionar sistemas de recalque usando
O documento discute o conceito de torção em eixos circulares. Define torque e momento, apresenta as premissas básicas da torção e a fórmula para cálculo da tensão de cisalhamento em eixos circulares sujeitos a torque. Apresenta também exemplos de cálculo de tensões em eixos e tubos sob ação de torque.
As tensões normal e de cisalhamento na arruela são calculadas. O diâmetro necessário é de 5-1/2 polegadas e a espessura necessária é de 1/2 polegada para que as tensões não ultrapassem os limites admissíveis.
O documento discute o conceito de torção em materiais. Aborda a deformação por torção de eixos circulares e não circulares, a fórmula da torção, a tensão de cisalhamento máxima, o ângulo de torção, tubos de parede fina e concentração de tensão por torção. Inclui exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos discutidos.
O documento apresenta vários problemas de engenharia civil e mecânica que envolvem cálculos de tensões, deformações e dimensões de estruturas sob cargas. As questões abordam tópicos como determinação de tensões axiais e cisalhantes em seções transversais, cálculo de diâmetros de barras e aços sob cargas, análise de deformações elásticas e plásticas em estruturas.
1. Documento contém 11 exercícios de resistência dos materiais sobre torção de eixos. Os exercícios calculam tensões de cisalhamento, ângulos de torção e dimensões de eixos sob aplicação de torque.
Este documento discute perdas de carga em tubulações hidráulicas. Explica que quando um fluido flui dentro de uma tubulação, ocorre atrito com as paredes que causa uma queda gradual da pressão ao longo do fluxo, conhecida como perda de carga. A perda de carga depende de fatores como velocidade do fluido, diâmetro e comprimento da tubulação, e pode ser calculada usando a equação de Darcy-Weissbach. O documento fornece um exemplo numérico de como calcular a perda de
O documento discute o fenômeno da flambagem em barras sob carga axial. Apresenta a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de flambagem e discute como o comprimento efetivo da barra depende das condições de apoio. Fornece exemplos numéricos de cálculo da carga crítica para diferentes configurações estruturais.
O documento descreve os conceitos de tensões de cisalhamento em vigas sob flexão. Discute as hipóteses básicas, a fórmula de cisalhamento e a distribuição das tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Também apresenta exemplos numéricos de dimensionamento de seções sob tensões de cisalhamento e flexão.
Este relatório apresenta os resultados de um ensaio de tração realizado em uma amostra de aço 1020. As propriedades mecânicas determinadas incluem módulo de elasticidade, limites de escoamento, resistência mecânica e ruptura, módulo de tenacidade e resiliência, alongamento e estricção. Os valores obtidos são comparados com dados da literatura considerando as limitações do equipamento experimental.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
O documento discute conceitos gerais sobre momentos e esforços em vigas, incluindo: (1) a definição de momento como um esforço que provoca giro, (2) os conceitos de binário e distância de força em relação ao ponto de giro, e (3) os tipos de esforços em vigas, como momento fletor e força cortante. O documento também explica como calcular as reações de apoio em vigas isostáticas usando equações de equilíbrio estático.
Este documento apresenta uma coleção de problemas resolvidos e propostos sobre diversos tópicos de mecânica dos fluidos, incluindo propriedades dos fluidos, pressão, viscosidade, cinemática, conservação da massa e quantidade de movimento, escoamento em dutos e análise dimensional. As soluções dos problemas resolvidos ilustram o cálculo de grandezas como massa específica, peso específico, densidade, número de Reynolds, altura equivalente de pressão e conversão entre unidades de pressão.
A aula aborda propriedades fundamentais de fluidos como massa específica, peso específico e peso específico relativo. Inclui definições destas propriedades, equações, exemplos e exercícios resolvidos sobre cálculos envolvendo estas grandezas para diferentes substâncias como gasolina e mercúrio. A próxima aula tratará de estática de fluidos e noções de pressão.
O documento apresenta uma lista de exercícios de resistência dos materiais sobre flexão. Os alunos devem realizar os exercícios 2, 4, 5, 7 e 8 que envolvem determinar esforços de flexão, tensões máximas, posição da linha neutra e diâmetro de eixos sob carga.
O documento lista unidades de medida para quantidades físicas em diferentes sistemas, incluindo comprimento (m, ft), massa (kg, lbm), tempo (s, s). Também fornece conversões entre unidades como 1 km = 1000 m, 1 lb = 0,45 kg, e 1°C = 1,8°F + 32.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre elementos geométricos de estradas, curvas horizontais circulares e locação de curvas. Os exercícios envolvem cálculos de comprimentos, ângulos, raios, deflexões e locação de pontos de curva e tangente.
Apostila exercicio - mecânica dos sólidosJoão Ferreira
1. O documento apresenta 14 exercícios de resistência dos materiais sobre solicitação axial, cisalhamento puro, torção, flexão e deflexão. Os exercícios abordam conceitos como tensões normais, cisalhantes, deformações, pressões de contato e temperatura.
2. São dados os materiais, dimensões, propriedades mecânicas e condições de contorno para cada problema, que pedem determinar grandezas como forças, tensões, deslocamentos e valores máximos de carga.
3. Inclui também dois exerc
O documento apresenta conceitos fundamentais de mecânica técnica para o curso técnico em eletromecânica, incluindo:
1) Revisão de conceitos matemáticos como operações com números decimais e frações, unidades de medida e prefixos.
2) Noções básicas de trigonometria aplicadas a triângulos retângulos.
3) Conceitos de vetores, forças e sistemas de forças.
1) O documento discute o conceito de momento de uma força, definindo-o como o produto da força aplicada por sua distância até o ponto de referência. Isso determina a capacidade de uma força fazer um objeto girar.
2) São apresentadas as condições necessárias para um corpo extenso estar em equilíbrio estático: a resultante das forças aplicadas deve ser nula, assim como a soma dos momentos aplicados.
3) Um exemplo numérico é resolvido para ilustrar como aplicar essas condições de equilíbrio
O documento descreve os conceitos básicos de estática, incluindo: (1) estática é a parte da mecânica que estuda o equilíbrio de corpos; (2) força é um agente capaz de provocar variação de velocidade ou deformação em um corpo; (3) existem forças de ação a distância e de contato.
O documento discute conceitos fundamentais de física como momento de força, torque, equilíbrio estável e instável de corpos. Exemplos incluem cálculos de momento de força em uma gangorra e equilíbrio de forças em situações como uma porta e corpos suspensos.
O documento discute conceitos fundamentais de física como momento de força, torque, equilíbrio de corpos sob ação de forças e determinação do centro de gravidade. Exemplos ilustram como esses conceitos são aplicados para explicar situações do cotidiano e resolver problemas.
Este documento apresenta um sumário de conceitos gerais de física. Aborda definições de grandezas escalares e vetoriais, operações com vetores como adição, subtração e multiplicação por escalares. Explica também conceitos como ordem de grandeza e unidades do Sistema Internacional.
1) O documento discute grandezas escalares e vetoriais na física, dando exemplos de cada tipo de grandeza. 2) Grandezas escalares precisam apenas de intensidade para serem caracterizadas, enquanto grandezas vetoriais precisam de intensidade, direção e sentido. 3) Vetores são representados geometricamente como segmentos de reta orientados e precisam indicar módulo, direção e sentido.
1. O documento apresenta 5 exercícios resolvidos sobre dinâmica de rotação, incluindo barras girando livremente, centrífugas e momentos de inércia.
2. No primeiro exercício, uma roda é acelerada e desacelerada uniformemente e o tempo total que girou é calculado.
3. No segundo, velocidades angulares, lineares e acelerações de um astronauta em uma centrífuga são determinadas.
4. Nos demais, momentos de inércia de sistemas compost
O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais e mecânica, incluindo trigonometria, grandezas escalares e vetoriais, forças, equilíbrio de pontos materiais e soma vetorial. Exemplos ilustram como calcular valores desconhecidos em figuras geométricas usando trigonometria e determinar se um sistema de forças está em equilíbrio.
O documento discute conceitos fundamentais de momento de força, incluindo: (1) ponto de aplicação e linha de ação da força; (2) expressão matemática do momento de uma força; (3) equilíbrio estável, instável e indiferente de corpos.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de estática, incluindo cálculo vetorial, decomposição e soma vetorial, tipos de forças, equilíbrio e momento de força.
2) São descritas as leis de Newton, incluindo a lei da inércia, o princípio fundamental da dinâmica e a ação e reação.
3) São explicados conceitos como força resultante, força peso e outros tipos de força comumente encontrados em problemas de estática.
1) Cálculos vetoriais e decomposição de forças para aplicações em estática.
2) Conceitos de força resultante, equilíbrio e momento de força.
3) Condições de equilíbrio estático para corpos extensos sob a ação de forças.
O documento descreve os conceitos fundamentais de estática de corpos rígidos, incluindo:
1) Forças são caracterizadas por ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido.
2) Um ponto está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que atuam nele é nula.
3) A resultante de um sistema de forças pode ser determinada graficamente ou analiticamente.
O documento descreve os conceitos fundamentais de estática de corpos rígidos, incluindo:
1) Forças são caracterizadas por ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido.
2) Um ponto está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que atuam nele é nula.
3) A resultante de um sistema de forças pode ser determinada graficamente ou analiticamente.
1. O documento apresenta as definições fundamentais da geometria analítica plana, incluindo vetores no plano cartesiano, produto escalar, projeção, equações de retas e circunferências, e distâncias.
2. São definidos conceitos como origem, sentido positivo/negativo, abscissa, vetor, soma e diferença de vetores, produto escalar, projeção, equações de retas e circunferências.
3. Exemplos e exercícios são fornecidos para exemplificar cada definição.
1) O documento apresenta as definições fundamentais da geometria analítica plana, incluindo vetores no plano, produto escalar, projeção, estudo de retas, distâncias, circunferências e cônicas.
2) São definidos conceitos como origem, sentido positivo/negativo, abscissa, vetor, soma e diferença de vetores, produto escalar, projeção, equações de retas, distâncias entre pontos, retas e circunferências.
3) O documento também apresenta exercícios resolvidos
Este documento fornece informações sobre um curso de física, incluindo como obter ajuda e contato com os professores, além de detalhar a primeira aula sobre trabalho e energia. A aula introduz o conceito de trabalho realizado por forças constantes e variáveis, estabelecendo a equivalência entre trabalho e variação de energia cinética.
Uma introdução à mecânica do ensino superior. Aprenda da melhor forma a base dos estudos mecanicistas da engenharia.
Recomendado para iniciantes na disciplinas e leigos.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Semelhante a M3 f2 - apontamentos de resistencia dos-materiais (20)
Em um mundo cada vez mais digital, a segurança da informação tornou-se essencial para proteger dados pessoais e empresariais contra ameaças cibernéticas. Nesta apresentação, abordaremos os principais conceitos e práticas de segurança digital, incluindo o reconhecimento de ameaças comuns, como malware e phishing, e a implementação de medidas de proteção e mitigação para vazamento de senhas.
As classes de modelagem podem ser comparadas a moldes ou
formas que definem as características e os comportamentos dos
objetos criados a partir delas. Vale traçar um paralelo com o projeto de
um automóvel. Os engenheiros definem as medidas, a quantidade de
portas, a potência do motor, a localização do estepe, dentre outras
descrições necessárias para a fabricação de um veículo
A linguagem C# aproveita conceitos de muitas outras linguagens,
mas especialmente de C++ e Java. Sua sintaxe é relativamente fácil, o que
diminui o tempo de aprendizado. Todos os programas desenvolvidos devem
ser compilados, gerando um arquivo com a extensão DLL ou EXE. Isso torna a
execução dos programas mais rápida se comparados com as linguagens de
script (VBScript , JavaScript) que atualmente utilizamos na internet
PRODUÇÃO E CONSUMO DE ENERGIA DA PRÉ-HISTÓRIA À ERA CONTEMPORÂNEA E SUA EVOLU...Faga1939
Este artigo tem por objetivo apresentar como ocorreu a evolução do consumo e da produção de energia desde a pré-história até os tempos atuais, bem como propor o futuro da energia requerido para o mundo. Da pré-história até o século XVIII predominou o uso de fontes renováveis de energia como a madeira, o vento e a energia hidráulica. Do século XVIII até a era contemporânea, os combustíveis fósseis predominaram com o carvão e o petróleo, mas seu uso chegará ao fim provavelmente a partir do século XXI para evitar a mudança climática catastrófica global resultante de sua utilização ao emitir gases do efeito estufa responsáveis pelo aquecimento global. Com o fim da era dos combustíveis fósseis virá a era das fontes renováveis de energia quando prevalecerá a utilização da energia hidrelétrica, energia solar, energia eólica, energia das marés, energia das ondas, energia geotérmica, energia da biomassa e energia do hidrogênio. Não existem dúvidas de que as atividades humanas sobre a Terra provocam alterações no meio ambiente em que vivemos. Muitos destes impactos ambientais são provenientes da geração, manuseio e uso da energia com o uso de combustíveis fósseis. A principal razão para a existência desses impactos ambientais reside no fato de que o consumo mundial de energia primária proveniente de fontes não renováveis (petróleo, carvão, gás natural e nuclear) corresponde a aproximadamente 88% do total, cabendo apenas 12% às fontes renováveis. Independentemente das várias soluções que venham a ser adotadas para eliminar ou mitigar as causas do efeito estufa, a mais importante ação é, sem dúvidas, a adoção de medidas que contribuam para a eliminação ou redução do consumo de combustíveis fósseis na produção de energia, bem como para seu uso mais eficiente nos transportes, na indústria, na agropecuária e nas cidades (residências e comércio), haja vista que o uso e a produção de energia são responsáveis por 57% dos gases de estufa emitidos pela atividade humana. Neste sentido, é imprescindível a implantação de um sistema de energia sustentável no mundo. Em um sistema de energia sustentável, a matriz energética mundial só deveria contar com fontes de energia limpa e renováveis (hidroelétrica, solar, eólica, hidrogênio, geotérmica, das marés, das ondas e biomassa), não devendo contar, portanto, com o uso dos combustíveis fósseis (petróleo, carvão e gás natural).
2. 2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Revisão de Matemática
Faremos aqui uma pequena revisão de matemática necessária à nossa matéria, e sem a qual
poderemos ter dificuldades em apreender os conceitos básicos e trabalhar com eles.
Operações com Frações Decimais
São chamadas frações decimais aos números onde utilizamos uma vírgula para separar a parte
inteira da parte menor que a inteira, tais como nos exemplos: 0,1 - 0,005 - 8,5 - etc.
Quando operamos com números, dividindo ou multiplicando por dez ou seus exponenciais basta
deslocar a vírgula do número de casas quantas forem os zeros do número divisor ou multiplicador.
Quando dividimos deslocamos a vírgula para a esquerda e quando multiplicamos deslocamos a vírgula
para a direita. Exemplo: se quisermos dividir o número 6 por 10 basta verificar onde está a vírgula do
número 6 e então deslocamos essa vírgula uma casa para a esquerda.
A vírgula do 6 está assim colocada 6, ou então 6,0
Para dividirmos o 6 por 10 deslocamos esta vírgula de uma casa para a esquerda,
temos então:
6 ÷ 10 = 0,6
ou 6 ÷ 100 = 0,06
ou ainda 6,5 ÷ 100 = 0,065
Para multiplicarmos o número 8 por 10 temos:
8 × 10 = 80
ou 8 × 100 = 800
ou ainda 8,75 × 1000 = 8750
Os números decimais são muito utilizados em nosso dia a dia em nossas contas e especialmente
nas nossas medidas.
Unidades de medidas.
A unidade de medida de extensão é o metro e seus múltiplos e submúltiplos.
mm - 0,001 m - milímetro
cm - 0,01 m - centímetro
dm - 0,1 m - decímetro
m - 1 m - metro
dam - 10 m - decâmetro
hm - 100 m - hectômetro
km - 1000 m - quilômetro
3. 3
A unidade de medida de área é o metro quadrado e seus múltiplos e submúltiplos
m2
- metro quadrado
A unidade de medida de volume é o metro cúbico e seus múltiplos e submúltiplos
m3
- metro cúbico
A unidade de massa é o quilograma e seus múltiplos e submúltiplos
mg - 0,001 g - miligrama - 0,000001 kg
cg - 0,01 g - centigrama - 0,00001 kg
dg - 0,1 g - decigrama - 0,0001 kg
g - 1 g - grama - 0,001 kg
kg - 1kg - quilograma - 1 kg
t - 1000 kg - tonelada - 1000kg
A unidade de força do Sistema Internacional de Medidas (ISO) é o Newton ainda pouco
utilizada mas, que prevalecerá cada vez mais.
N - Newton
Porém ainda encontramos muito utilizada ainda hoje a unidade de força.
kgf - quilograma-força
1 kgf = 9,81 N
No passado foi muito utilizada, e ainda podemos encontrar em livros um pouco antigos, a unidade de
força libra-força devido à grande influência do sistema inglês no mundo
.
A unidade de pressão (ou de tensão) da norma ISO é o Pascal ainda pouco utilizada
Pa = N / m2
- Newton por metro quadrado
Ainda é muito utilizada a unidade de pressão ( e de tensão)
kgf / mm2
- quilograma-força por milímetro quadrado
Operações com Frações Ordinárias
Multiplicação
- Para multiplicarmos duas frações ordinárias multiplicamos os numeradores resultando um número que
será o numerador da fração resultado e então multiplicamos os dois denominadores que gerará um outro
número que será o denominador da fração resultado. Exemplo:
a / b . c / d = a . c / b . d ou
1 / 2 . 3 / 4 = 1 . 3 / 2 . 4 = 3 / 8
4. 4
Divisão
Para efetuarmos uma divisão de frações, mantemos a primeira fração sem modificações e
multiplicamos pela segunda fração invertida. Exemplo:
a / b ÷ c/d
a/b x d/c = a.d/b.c ou
1/2 ÷ 3/4 = 1/2 x 4/3 = 1.4/2.3 = 4/6 = 2/3
Regra de Três Simples
Chamamos regra de três a uma operação matemática onde temos três dados que estão
relacionados entre si e um deles é desconhecido. Exemplo:
X = A / B sendo A e B valores conhecidos basta efetuarmos a divisão e teremos o
valor se X
X = 20 / 5 teremos X = 4
sendo A e X os valores conhecidos poderemos aplicar a propriedade das
frações:
se A / B = C / D então A . D = B . C cujo exemplo apresentamos:
1 / 2 = 4 / 8 então 1 . 8 = 2 . 4 que resulta em 8 = 8
Podemos então afirmar
X / 1 = A / B e X . B = 1 . A que se torna X . B = A e resulta,
B = A / X como A e X são valores conhecidos basta efetuar a divisão para obtermos o
resultado. Exemplo:
10 = A / 5 fazemos 10 / 1 = A / 5 e teremos 10 . 5 = 1 . A
então 10 . 5 = A onde A = 50
Noções de Trigonometria
Estudaremos aqui as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Assim, caso tenhamos a dimensão da hipotenusa de um triângulo retângulo e um dos ângulos agudos,
podemos calcular a dimensão de qualquer lado. Os senos e cosenos de quaisquer ângulos são
conhecidos. Basta que tenhamos uma tabela de senos e cosenos. Apresentamos os valores de senos e
cosenos de alguns ângulos mais usuais:
5. 5
a – hipotenusa
a b – cateto oposto ao ângulo α
c – cateto adjacente ao ângulo α
b
Chamamos seno de um ângulo a relação
ângulo α entre o cateto que lhe é oposto e a hipotenusa
Assim, no triângulo ao lado, o seno de α é
c dado por sen α = b/a
E chamamos de co-seno, a relação entre o cateto que lhe é adjacente e a hipotenusa. Assim, no triângulo
anterior, o co-seno do ângulo α é dado por cós α = c/a
ângulo seno coseno
0º
0 1
30º
0,5 0,87
45º
0,74 0,74
60º
0,87 0,5
90º
1 0
Exemplo. Temos um triângulo retângulo com hipotenusa de 12 cm e um dos ângulos agudos vale 30º
.
Qual o comprimento do cateto oposto a esse ângulo?
Resposta. Como sabemos que o seno de um ângulo é dada pela dimensão do cateto que lhe é oposto
dividida pela dimensão da hipotenusa temos:
Seno de 30º
= 0,5 ( da tabela )
Seno de 30º
do nosso triângulo = dimensão do cateto oposto / 12
Como os dois senos são iguais, por serem senos de 30º
podemos escrever:
0,5 = dim. do cateto oposto / 12
0,5 x 12 = dim. do cateto oposto
dimensão do cateto oposto = 6 cm
Revisão de Física
Faremos agora uma pequena revisão de alguns conceitos de Estática
Força – O conceito de força é primitivo. Nós o adquirimos através da sensação de esforço muscular.
Fisicamente,
Força é toda causa capaz de produzir em um corpo uma modificação de movimento ou uma
deformação.
F = m.a sendo:
F – força
m – massa
a – aceleração
6. 6
Um tipo de força muito comum é o peso.
Peso de um corpo é a força com que a Terra (planeta) o atrai.
P = m.g sendo “g” a aceleração da gravidade terrestre.
Para definirmos força necessitamos de três parâmetros.
1 ) O módulo ( que o número que nos dá o valor da força )
2 ) A direção na qual está atuando a força. Ex.: horizontal, vertical, etc.
3 ) O sentido no qual está atuando a força. Ex.: para baixo, para cima, para a direita, etc.
Assim, dizemos que força é uma grandeza vetorial porque para ser definida precisamos mencionar o seu
módulo, sua direção e seu sentido.
Composição de Forças
Para fazer a composição de forças temos que levar em conta, sempre, os três parâmetros que as formam.
Duas forças com mesma direção e sentido se somam
F1 F2 Resultante
Duas forças com mesma direção mas com sentidos contrários se diminuem e terá resultante na direção
da maior.
F1 F2 Resultante
Duas forças em direções e sentidos diversos podem ser compostas pela regra do paralelogramo
F1 F1
Resultante
F2
F2
7. 7
Decomposição de Forças
Da mesma forma que podemos fazer a composição de forças, podemos, a partir de uma força,
obter duas ou mais componentes dessa força. Ex.
F1
F1y F1
F1x
Obtemos então duas componentes F1y e F1x que se forem compostas segundo a regra anteriormente
apresentada torna-se a própria força F1
Decomposição de Forças segundo os eixos ortogonais x e y
Neste trabalho utilizaremos dois eixos ortogonais ( dois eixos que formam 90º
entre si. Estes eixos são
assim escolhidos para facilitar os cálculos )
y
0 x
Esses dois eixos são ferramentas de trabalho que nos facilitará na decomposição de forças. No ponto
zero dos nossos eixo colocaremos a força que queremos decompor.
y
F1
F1y
ângulo
α
0 F1x x
8. 8
Suponhamos agora que a força F1 do esquema acima tenha um módulo de 100 N, que o ângulo α
tenha 30º
e que queiramos decompor F1 em duas componentes ortogonais segundo os eixos x e y.
Quais devem ser os valores de F1x e de F1y?
Solução: Para que F1y e F1x representem a decomposição de F1, a linha F1y Z e o eixo x devem ser
paralelas o mesmo acontecendo com as linhas F1x Z e o eixo y. Portanto as linhas 0 F1y é igual à
linha F1x Z e podemos afirmar que a dimensão da linha 0 F1y representa módulo da componente F1y.
Então:
sen 30º
= F1y / F1
0,5 = F1y / 100 N
0,5 X 100 = F1y
F1y = 50 N
cos 30º
= F1x / 100 N
0,86 = F1x / 100 N
0,86 x 100 = F1x
F1x = 86 N
Momento de uma Força em Relação a um Ponto
Momento de uma força em relação a um ponto é a tendência que tem essa força em fazer um corpo
girar, tendo esse ponto como centro de giro.
Define-se :
Momento de uma Força em Relação a um Ponto é uma grandeza vetorial cuja intensidade é igual ao
produto da intensidade da força pela distância do ponto ao suporte da força.
Força F
O momento da força F em relação ao ponto b é
Ma = F.ab
Assim, o momento da força F em relação ao ponto a é dado pelo produto do módulo da força F
pela distância a b.
b
a
9. 9
Momento Resultante
O momento resultante é a composição dos diversos momentos atuantes em um corpo. O momento
resultante será, sempre, em relação a um mesmo ponto.
F1
F2
F3
Para fazermos composição de momentos devemos primeiro estabelecer uma convenção para os
momentos. Momento que tende a girar no sentido horário será positivo e ante-horário, negativo.
No exemplo acima faremos o momento resultante em relação ao ponto a.
Momento Resultante = F3 . distância ax - F2 . dist. az - F1 . dist. ay
Exemplo numérico:
Sendo F1 = 200 N F2 = 400 N F3 = 800 N e
ay = 80 cm az = 40 cm ax = 60 cm
M resultante = - 200 x 80 - 400 x 40 + 800 x 60 (momento resultante em relação ao ponto a)
Mra = - 1600 - 1600 + 4800
Mra = - 3200 + 4800
Mra = 1600 N.cm
y
a
x
z
10. 10
Resolvendo Problemas Utilizando Decomposição de Forças e Momento de
Força
Para resolvermos esses problemas utilizaremos das leis da Estática que nos fala sobre equilíbrio
de um corpo.
Segundo a primeira lei de Newton um corpo está em equilíbrio quando:
1)a resultante das forças que atuam sobre ele é nula
2)o momento resultante dos momentos que atuam sobre ele em relação a qualquer ponto, é nulo.
A Estática, que é a parte da Mecânica que aqui estudaremos, estuda os corpos em equilíbrio.
Equilíbrio de Um Ponto Material
Inicialmente calcularemos o equilíbrio de um ponto material. Como um ponto não tem dimensão, nele
não atuam momentos porque , como vimos anteriormente, para que uma força produza momento temos
que ter uma distância entre o ponto de referência e o ponto da atuação da força.
Então, utilizemos os dois princípios de equilíbrio.
1o
princípio ( utilizaremos a decomposição de forças nos eixos x e y ). Portanto:
ΣFX = 0
ΣFY = 0
Exercícios Resolvidos
1) Decompor a força F = 2000 N, em duas componentes, nos eixo x e y, conforme o esquema
abaixo:
y seno 30° = 0,50
co-seno 30° = 0,87
seno 60° = 0,87
Fy F co-seno 60° = 0,50
Respostas Fx = 100 N
Fy = 174 N
30°
Fx x
11. 11
2)Calcular as forças atuantes nos cabos 1 e 2 do esquema abaixo sabendo que o peso de 1000 N está em
equilíbrio.
Colocamos o esquema nos eixos x e y
y ângulo 30o
cabo 1 cabo 2 solução F2
F1 ângulo 60o
Peso 1000 N x
1000 N
Fazemos a decomposição das forças nos eixos x e y
y
F2y F2
F1 F1y
30o
60o
F1x F2x x
1000 N
Com esse procedimento geramos as componentes F1x e F1y as componentes F2x e F2y. Para
termos equilíbrio é necessário que:
ΣFx = 0 temos que somar as forças do eixo x e igualar a zero
ΣFx = - F1x + F2x = 0 mas F1x = F1 . sen 60o
F2x = F2 . sen 30o
temos
- F1 . sen 60o
+ F2 . sen 30o
=0 donde
- F1 . 0,87 + F2 . 0,5 = 0
- 0,87F1 = - 0,5 F2
F1 = 0,5 F2 / 0,87 ou F1 = 0,57 F2
Agora fazemos ΣFy = 0
F1 . cos 60o
+ F2 . cos 30o
– 1000 = 0
F1 . 0,5 + F2 . 0,87 =1000
0,5 F1 + 0,87 F2 = 1000
12. 12
como F1 = 0,5 F2 / 0,87 fazemos a substituição:
0,5 ( 0,57 F2 ) + 0,87 F2 = 1000
0,285 F2 + 0,87 F2 = 1000
1,155 F2 = 1000
F2 = 1000 / 1,155
F2 = 866 N
Daí resulta que F1 = 0,57 F2 então F1 = 0,57 x 866
F1 = 494 N
Resultado: a força atuante no cabo 1 vale 494 N
a força atuante no cabo 2 vale 866 N
Exercícios Propostos
1)Calcule as forças F1 e F2 no esquema abaixo.
60° F2
F1
20 000 N Resp F1 = 11 628 N
F2 = 23 256 N
2)Calcule a Força F1, no esquema abaixo.
1 000 N 1 000 N
120°
120°
F1 Resp. F1 = 1 000 N
13. 13
Calcule as forças F1 e F2 nos esquemas abaixo:
3)
F1 60° 60° F2
5 000 N Resp. F1 = F2 = 2 907 N
4)
F1 F2
10 000 N Resp. F1 = F2 = 5 000 N
5)
60° 30°
F2 F1
Resp F1 = 5 050 N
10 000 N F2 = 8 686 N
14. 14
Equilibro de Um Corpo
Para calcularmos o equilíbrio de um corpo vamos utilizar as três equações anteriormente
apresentadas
ΣFX = 0
ΣFY = 0
ΣM0 = 0
Exercícios Resolvidos
1) Calcular as reações nos apoios A e B no esquema abaixo sabendo que o corpo está em equilíbrio:
Para resolvermos esse exercício aplicaremos a segunda condição de equilíbrio:
(Um corpo está em equilíbrio quando a soma dos momentos que atuam sobre ele, em relação a qualquer
ponto, é nulo)
Verificamos os momentos que atuam, no corpo, em relação ao ponto B:
( Usaremos aqui a convenção: momento no sentido horário positivo e ante-horário negativo)
ΣMB = 0
RA . 10 – 400 . 8 – 600 . 3 = 0
10 RA –3200 – 1800 = 0
10 RA = 5000
RA = 5000 / 10
RA = 500 N
15. 15
ΣMA = 0
400 . 2 + 600 . 7 – RB .10 = 0
800 + 4200 = 10 RB
10 RB = 5000
RB = 5000 / 10
RB = 500 N
Podemos ainda, como forma de verificação, aplicar o ΣFy = 0 então
RA + RB - 400 - 600 = 0
500 + 500 - 400 – 600 = 0
1000 – 1000 = 0
Conclusão RA = 500 N
RB = 500 N
Exercícios Propostos
Calcule as reações RB e RB nos esquemas abaixo:
1) 5 000 N
A B
2 m 3 m Resp.
RA = 3 000 N
RB = 2 000 N
16. 16
2)
6 000 N 8 000 N
A B
2 m 5 m 3 m
Resposta
7 200 N 6 800 N
3)
2 000 N 8 000 N
A B
2 m 1 m 3 m
Resposta
7 333 N
17 333 N
17. 17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O objetivo principal deste trabalho é estudar os conceitos básicos dos esforços internos
correspondentes aos esforços externos que são aplicados aos materiais de uma forma geral. Conhecemos
da Física Clássica ( Mecânica ) as maneiras de calcular esses esforços externos. Vejamos então que
esforços são introduzidos ao interior de uma peça quando sobre ela atua um esforço seja de tração, de
compressão, de cisalhamento, etc.
Consideremos uma barra prismática, de seção constante ao longo do seu comprimento, sob a ação
de duas forças que atuam segundo o seu eixo longitudinal. Diremos que a barra estará sob tração se as
forças iguais e opostas estiverem dirigidas para o exterior da barra e estará sob compressão se essas duas
forças estiverem dirigidas para o interior da barra.
Verificando as figuras anteriores e se considerarmos como sendo essas barras feitas de
material homogêneo podemos afirmar que os esforços externos geram esforços internos, distribuídos de
maneira uniforme. Assim podemos considerar que, se isolarmos qualquer unidade formadora da peça,
ela pode ser analisada como uma peça isolada, que está submetida a esforços externos semelhantes a
nossa peça anteriormente considerada.
Podemos então calcular o esforço “ f “ a que está submetido o elemento em destaque no desenho
abaixo, como sendo:
f = F / n
onde f – esforço a que está submetido o elemento que destacamos
F - a força total a que está submetida a peça
n - o número de elementos formadores daquela parte da peça
18. 18
Porém, se observarmos a direção da força “ F “ e os pontos onde essa força está aplicada, veremos
que a relação F / n pode ser reescrita como F / A onde A representa a área da seção transversal da
peça e a essa relação chamaremos de “tensão”. Assim, tensão será vista como uma relação entre o
esforço externo e a área da seção da peça, onde esse esforço está sendo aplicado.
Logo:
σ = F / A onde σ - tensão de tração ou de compressão
F - força aplicada à peça
A - área da seção da peça, transversal
à força.
Diagrama Tensão / Deformação
Quando aplicamos uma força a uma peça, ela sofre uma deformação que é proporcional ao
esforço aplicado. Essa deformação pode ser:
a)elástica – quando, cessando o esforço, cessa a deformação
b)plástica - quando a deformação é permanente; cessando o esforço, a deformação permanece.
Se denominarmos o comprimento inicial da peça por “ l ” e a deformação por “Δl “ teremos a
deformação unitária:
ε = Δl / l
Temos também:
σ = F / A
Podemos então, apresentar o diagrama que representa o ensaio de tração de um corpo de prova,
onde vamos aumentando a carga aplicada ao corpo de prova, a partir de zero até o seu rompimento.
Onde: A – limite de proporcionalidade; que na maior parte das vezes se confunde
com o limite elástico
19. 19
B e C – limites de escoamento inferior e superior
D – limite de resistência
E - limite de ruptura.
O limite de proporcionalidade é definido como a tensão máxima, abaixo da qual o material
mantém-se com uma proporcionalidade entre tensão e deformação ( obedece à lei de Hooke ). O
limite elástico é a tensão máxima abaixo da qual o material não apresenta deformações residuais uma
vez cessada a carga. Quando o material apresenta diferença entre o limite de proporcionalidade e o
limite elástico em geral este é maior que aquele.
O limite de escoamento é a tensão na qual inicia-se a deformação permanente do material.
Materiais podem apresentar dois limites de escoamento a que chamamos inferior e superior, assim como
pode não apresentar nenhum deles. Quanto maior a dureza do material, existe a tendência de não
apresentar o limite de escoamento, razão pela qual os projetistas, normalmente, utilizam o limite de
ruptura desses materiais, como base em seus projetos.
O limite de resistência de um material é a tensão máxima que atinge o corpo de prova, em um
ensaio de resistência.
O limite de ruptura é a tensão que corresponde ao rompimento do corpo de prova.
Lei de HOOKE
A relação entre a tensão e a deformação elástica de um material foi demonstrada em 1678 por
Robert Hooke que ficou conhecida como lei de Hooke e podemos escrever:
σ = ε . E
Sendo a constante “ E “ conhecida como o módulo de elasticidade ou módulo de Young,
representada pela tangente do ângulo formado pela linha OA com o eixo da “deformação“ e é uma
propriedade de cada material.
Então:
σ = F / A e σ = ε . E assim:
F / A = ε . E mas ε = Δl / l e teremos:
F / A = Δl . E / l o que nos dá:
Δl = F . l / E . A
Notamos então que a deformação elástica de um material é diretamente proporcional à força
aplicada e ao seu comprimento e é inversamente proporcional ao módulo de elasticidade do seu material
e à área da peça, transversal à direção do esforço aplicado.
20. 20
Exercícios Resolvidos
1) Calcule a deformação elástica que acontece em um tirante que está submetido a uma força de
tração de 8 000 N. O tirante tem seção circular constante cujo diâmetro vale 6 mm, seu comprimento é
0,3 m e seu material tem módulo de elasticidade valendo 2,1 x 105
N / mm2
.
F F= 8 000 N
E = 2,1 x 105
N/mm2
0,3 m l = 300 mm
A = π.d2
/ 4 = 3,14 x 62
/ 4 = 28,26 mm2
Δl = 8 000 x 300 / 210 000 x 28,26
Resposta: Δl = 0,4 mm
2) No esquema abaixo desejamos calcular o alongamento elástico do cabo de aço que está sob
tração. O comprimento do cabo é de 2 metros, o material do cabo tem módulo de elasticidade 2,1 x
105
N /mm2
e o diâmetro desse mesmo cabo é de 20 mm.
10 000 N 10 000 N
F = 10 000 N E = 2,1 x 105
N/mm2
l = 2 000 mm A = π.d2
/ 4 = 3,14 x 202
/ 4 = 314 mm2
Δl = 10 000 x 2 000 / 210 000 x 314 = 0,30 Resp Δl = 0,30 mm
Exercícios Propostos
1)Calcule o alongamento elástico da peça do esquema abaixo. Seu material tem módulo de elasticidade
de 2 x 105
N/mm2
.
5 000 N 5 000 N
φ 10 mm Resp. 0,064 mm
2) Calcule o alongamento o alongamento elástico total, da peça abaixo. Seu
material é aço, com módulo de elasticidade de 2,1 x 105
N/mm2
.
φ 30 mm
seção quadrada F = 8 000 N
40 mm de lado
500 mm 300 mm Resp. 0,028 mm
21. 21
3) Temos o esquema abaixo. Qual seria a altura do fundo da caixa ao piso se nela colocarmos um
material com peso de 60 000 N? O material do tirante tem módulo de elasticidade de 2,2 x 105
/mm2
φ 30 mm 6 m
200 mm
piso Resp. 197,68 mm
Tensão de Tração e Compressão
Já vimos que podemos calcular as tensões de tração e de compressão através da fórmula:
σ = F / A
Exercícios Resolvidos
Calcule a tensão que acontece nos tirantes dos seguintes esquemas:
1) Tirante com seção circular.
φ 20 mm
20 000 N
20 000 N
Como σ = F/A temos: F = 20 000 N e A = π.d2
/4 então A = 3,14 x 202
/4 = 314 mm2
σ = 20 000 / 314 = 63,69
Resp. σ = 63,69 N/mm2
2) Tirante com seção quadrada.
15 000 N
seção quadrada com 20 mm de lado
22. 22
A = 202
= 400 mm2
σ = 15 000 / 400 = 37,5
Resp. σ = 37,5 N/mm2
3)Tirante de seção retangular.
seção retangular de 10 x 20 mm
30 000 N
A = 10 x 20 = 200 mm2
σ = 30 000 / 200 = 150
Resp. σ = 150 N/mm2
Problemas Propostos
1)Calcular a tensão que ocorre no tirante abaixo.
40 000 N
φ 30 mm Resp. 56,62 N/mm2
2) Calcular a força capaz de romper um tirante de seção quadrada, como na figura abaixo, sabendo-
se que a sua tensão de ruptura à tração é de 600 N/ mm2
, e que o lado da seção transversal vale 15
mm.
F Resp 135 000 N
F
23. 23
4) Calcular a tensão sobre a peça 1, no esquema abaixo sabendo que o diâmetro dos dois tirantes é 12
mm.
20 000 N
Resp. 88,46 N/mm2
Tensão Admissível
A tensão admissível é calculada a partir das tensões de escoamento ou de ruptura e representa a
tensão máxima que o projetista admite, que a peça de seu projeto possa suportar, para que não sofra
nenhum dano, causando acidentes.
Utiliza-se o recurso de dividir essas tensões por um número maior que 1, a que chamamos coeficiente
de segurança. Esse número representa, a grosso modo, o número de vezes que estaremos seguros da
resistência da peça. Neste trabalho não calcularemos esse coeficiente, bastando apenas mencionar que
em projetos mecânicos (utilizando aços e outros materiais dúcteis) usamos esse coeficiente,
normalmente, entre 4 e 8, ressalvando apenas que esses valores serão diferentes quando a peça for
trabalhar com grandes choques, ou em situações muito adversas.
Exercícios Resolvidos
1) Calcular o diâmetro de um tirante que sustente, com segurança, a carga descrita no esquema
abaixo. O material do tirante tem limite de escoamento a tração de 600 N / mm2
Vamos utilizar 2 como coeficiente de segurança.
Carga = 10.000 N
A tensão que deve ser aplicada ao tirante deve ser a admissível. Então,
σadm = 600 / 2 = 300 N/mm2
sendo σ = F / A temos F = 10 000 N e A = π.d2
/ 4
Peça 1
Peça 2
24. 24
σadm = 10 000 / π.d2
/ 4 logo 300 = 10 000 / (π.d2
/ 4)
300 (π.d2
/ 4) = 10 000
300 x 3,14 x d2
/ 4 = 10 000
235,5 d2
= 10 000
d2
= 10 000 / 235,5
Resp d = 6,52 mm
2) Calcular o diâmetro do tirante “ 1 “ (sendo o diâmetro do tirante 1 igual ao do tirante 2) para que
sustente, com segurança, a carga descrita no esquema abaixo. O material do tirante tem limite de
escoamento a tração de 600 N / mm2
Vamos utilizar 4 como coeficiente de segurança.
Carga = 30.000 N
σadm = 600 / 4 = 150
150 = 30 000 / 2 A A = π.d2
/ 4
150. 2(π.d2
/ 4) = 30 000
d2
= 15 000 / 37,5.π
Resp d =11,29 mm
Exercícios Propostos
1)Calcular o diâmetro de um tirante, para sustentar, com segurança, uma carga de tração de 40 000 N. O
tirante deve ter seção quadrada e seu material deve ter tensão de escoamento à tração de 500 N/mm2
e
devemos utilizar coeficiente de segurança 2,5.
Resp. 14,14 mm
Tirante 1
Tirante 2
25. 25
2) Calcular o diâmetro de uma peça que trabalhe sob tração. O material dessa peça deve ter tensão de
escoamento à tração de 600 N/mm2
. A peça deve sustentar uma carga de 60 000 N e utilizaremos
coeficiente de segurança 2.
Resp. 15,96 mm
3) Calcular a força F que o conjunto abaixo pode sustentar para que trabalhe com segurança. O material
das peças 1 e 2 é aço com tensão limite de escoamento 600 N/mm2
e seu diâmetro é de 35 mm. A
peça 3 é feita de aço com limite elástico de 800 n/mm2
e sua seção é quadrada com 40 mm de lado.
Devemos obter coeficiente de segurança 1,5.
F
Resp. 769 300 N
Tensão de Cisalhamento - Corte
Força Cortante
A força cortante é aquela que atua no mesmo plano da força que estamos aplicando em uma peça.
Admitindo-se que a distribuição dos esforços seja uniforme em toda a seção resistente da peça temos:
τ = F / A
onde τ - tensão de cisalhamento
Q – força cortante atuante na peça
A – área resistente ou área sobre a qual
atua a força Q.
26. 26
Exercícios Resolvidos
1)Calcular a tensão no pino que une as duas chapas do esquema abaixo. O diâmetro do pino é 15 mm.
12 000 N
τ = F / A então F = 12 000 N
A = π.d2
/ 4 A = 3,14 x 152
/ 4 A = 176,6
τ = 12 000 / 176,6
τ = 67,95 N/mm
2) Calcular a tensão de cisalhamento que acontece no pino (peça a, abaixo) que tem 20 mm de
diâmetro.
F = 8 000 N
τ = F / A então F = 8 000 N
A = π.d2
/ 4 A = 3,14 x 202
/ 4 A = 314 mm2
Então τ = 0 000 / 314
τ = 25,48 N / mm2
Exercícios Propostos
1)Calcular a tensão que está acontecendo no pino que une as duas chapas no esquema abaixo. O pino tem
diâmetro de 25 mm.
30 000 N
Resp. 61,15 N/mm2
a
27. 27
2) Calcular a tensão que está sendo aplicada à chapa 1 do esquema abaixo sabendo que a força
F = 40 000 N, que a largura da chapa é 80 mm e que a espessura dessa mesma chapa é de 20 mm.
F
espessura
20
largura 80
Resp. 25 N/mm2
3) Calcular a tensão no pino “1” abaixo sabendo-se que seu diâmetro é 18 mm.
60 000 N
Resp. 117,95 N/mm2
4) Calcular a tensão que está sendo exercida no pino “a” abaixo sabendo-se que ele tem seção
quadrada com 20 mm de lado.
50 000 N
Resp. 125 N/mm2
Chapa 1
1
a
28. 28
5) Calcule as tensões que acontecem nos pinos “1” e “2” do esquema abaixo sabendo que seus
diâmetros é de 20 mm.
40 000 N
Resp. Tensão no pino 1 = pino 2 = 63,69 N/mm2
Tensão Admissível, no Cisalhamento
Também no cisalhamento vamos encontrar as tensões admissíveis. São as tensões de projeto, ou seja,
aquelas tensões que nos queremos, que nos admitimos, para o trabalho de nossas peças. São as tensões
que os projetistas escolhem para o funcionamento das peças.
São calculadas da mesma maneira que aquelas calculadas para tração, ou seja:
τadm = τe / cs ou τr / cs
Exercícios Resolvidos
1) Calcular o diâmetro do rebite para unir, com segurança as duas chapas do esquema abaixo: O
material do rebite tem limite de escoamento à tração de 600 N/ mm2
. Usaremos coeficiente de
segurança 3.
F = 20 000 N
τadm = τe/ cs τadm = 600 / 3 τadm = 200 N/mm2
τ = F/A então 200 = 20 000 / A e A = 20 000 / 200 então A = 100 mm2
assim 100 mm2
deve ser a ares resistente de nosso rebite. Sabendo-se que A = π.d2
/ 4
temos 100 = π.d2
/ 4 logo d2
= 100 x 4 / π
d = 11,29 mm
29. 29
2)Queremos calcular o diâmetro de um pino que possa unir, com segurança, três chapas como no
esquema abaixo. O material do pino tem como tensão limite de escoamento ao cisalhamento 600
N / mm2
. Utilizaremos coeficiente de segurança 2.
F 40 000 N
τadm = τe/ cs τadm = 600 / 2 τadm = 300 N/mm2
τ = F/A então 300 = 40 000 / A e A = 40 000 / 300 então A = 133 mm2
assim 133 mm2
deve ser a área resistente de nosso conjunto. Porém a área resistente de nosso
conjunto é formada por duas áreas de pino. Assim a área da seção do pino é 133 / 2 = 66, 5 mm2
.
Sabendo-se que A = π.d2
/ 4 temos que 66,5 = π.d2
/ 4 logo
d2
= 66,5 x 4 / 3,14
d = 9,20 mm
Exercícios Propostos
1) Calcule o diâmetro dos pinos da montagem do esquema abaixo, para que trabalhe com
segurança. O material dos pinos tem tensão de escoamento ao cisalhamento valendo 400 N/ mm2
.
Utilizaremos 2 como coeficiente de segurança.
10 000 N
Resp. 7,98 mm
2) Queremos calcular o diâmetro de um pino que possa unir, com segurança, duas chapas como no
esquema abaixo. O material do pino tem como tensão limite de escoamento ao cisalhamento 600 N
/ mm2
. Utilizaremos somente um pino e coeficiente de segurança 3.
F = 8 000 N
Resp. 5 mm
30. 30
3) Calcule o diâmetro dos pinos da montagem do esquema abaixo, para que trabalhe com
segurança. O material dos pinos tem tensão de escoamento ao cisalhamento valendo 400 N/ mm2
.
Utilizaremos 4 como coeficiente de segurança. ( 4 pontos)
60 000 N
Resp. 19,55 mm
4) Calcule o diâmetro do pino para trabalhar com segurança, no conjunto abaixo. O material do pino
deve ter tensão de escoamento ao cisalhamento valendo 600 N/mm2
. Vamos usar 1,5 como
coeficiente de segurança.
400 mm
F = 100 000 N
Resp. 8,92 mm
Momento Estático de uma Superfície
É calculado em relação a um eixo e é o produto da área dessa superfície pela distância dela ao
eixo.
Mx = A . d
Mx - momento estático em relação ao eixo x
A - valor da área daquela superfície
d - distância da superfície ao eixo x
31. 31
Baricentro ou Centro de Gravidade de uma Figura Plana
O baricentro de uma figura é determinado, geralmente, a partir de suas coordenadas nos eixo x e y.
Ex.:
Baricentro Bc =( x’ , y’ )
Para figuras combinadas calculamos:
_ A1 . x1 + A2 . x
x = ---------------------
A1 + A2
_ A1 . y1 + A2 . y2
y = ---------------------------
A1 + A2
Sendo A1 = a área da figura 1 e A2 - área da figura 2
x1 e y1 = as coordenadas do centro de gravidade da figura 1
x2 e y2 = as coordenadas do centro de gravidade da figura 2
32. 32
Momento de Inércia de uma Figura Plana
É calculado em relação a um eixo é o produto da área dessa superfície pelo quadrado da distância
ao eixo em referência.
Neste nosso trabalho não calcularemos momentos de inércia. Utilizaremos os momentos de
inércia, já tabelados, para figuras planas conhecidas tais como: retângulo, quadrado, círculo, triângulo,
etc. e em relação ao eixo horizontal que passa pelo baricentro dessas figuras.
Alguns exemplos de momentos de inércia:
Em relação ao eixo “x “ Ix = h4
/ 12 quadrado
Ix = b.h3
/ 12 retângulo
Ix = b. h3
/ 36 triângulo
Ix = π.d4
/ 64 círculo
onde h – altura
b – base
d – diâmetro
π - constante 3,14...
Tensões nas Vigas
Para calcularmos as tensões atuantes nas vigas, primeiramente devemos considerar alguns
conceitos:
Viga
Denomina-se viga a uma estrutura formada por uma barra , de eixo plano, submetida a esforços,
contidos no plano da estrutura.
Estudaremos vigas: a ) engastadas
b ) bi-apoiadas
33. 33
F
F F
viga bi-apoiada viga engastada
Força Cortante
É a força que atua no mesmo plano da seção em estudo e tem tendência a cisalhar o material onde
ela age.
Para calcularmos as forças cortantes em uma viga inicialmente temos que calcular as reações nos
apoios da viga (vide cálculos da reações nos apoios anteriormente estudado)
Diagrama de Forças Cortantes ( D Q )
Com o diagrama de forças cortantes podemos determinar essas forças em qualquer seção da viga.
Com os resultados das reações nos apoios anteriormente calculados podemos construir o diagrama (D
Q) como a seguir.
Momento Fletor
É a soma algébrica dos momentos, em relação ao centro de gravidade, da seção considerada, dos
esforços que atuam num mesmo lado da seção transversal, isto é, à esquerda ou à direita, dessa seção.
Em relação à flexão da viga devemos considerar a seguinte convenção:
34. 34
Momento Fletor de Uma Viga
Calculadas as reações nos apoios temos Ra e Rb calcula-se o momento fletor da esquerda para a
direita. Assim começaremos pela seção a.
MfA = Ra . 0 = 0
Mfx = Ra . a
Mfy = Ra ( a + b ) – F1 . b
MfB = Ra ( a + b + c ) – F1 ( b + c ) – F2 . c = 0
Diagrama de Momentos Fletores ( D M )
35. 35
Exercícios Resolvidos
1)Construir o DM da viga abaixo.
12 000 N
A D B
4 m 2 m
Sendo RA = 4 000 N e RB = 8 000 N fazemos então:
MfA = 0
MfD = RA x 4 então MfD = 4 000 x 4 = 16 000 Nm
MfB = RA x 6 – 12 000 x 2 = 4 000 x 6 – 12 000 x 2 = 24 000 – 24 000
Mf B = 0
A D B
16 000 Nm
2)Construir o DM da viga abaixo.
6 000 N 8 000 N
A D E B
2 m 5 m 3 m
RA = 7 200 N
RB = 6 800 N
MfA = 0
MfD = 7 200 x 2 = 14 400 Nm
MfE = 7 200 x 7 – 6 000 x 5 = 50 400 – 30 000 = 20 400 Nm
MfB = 7 200 x 10 – 6 000 x 8 – 8 000 x 3 = 72 000 – 48 000 – 24 000 = 72 000 – 72 000 = 0
Mfb = 0
36. 36
A D E B
14 400 Nm
20 400 Nm
Exercícios Propostos
1)Construa o DM do esquema abaixo 2 000 N 8 000 N
A D B E
3 m 1 m 3 m
Resposta
23 999 Nm
14 666 Nm
A D B E
2) Faça o DM do esquema abaixo
30 000 N 10 000 N
A D B E
1 m 2 m 3 m
Resposta 30 000 Nm
A D
B E
10 000 Nm
37. 37
Tensões nas Vigas
Para estudarmos as tensões que atuam nas vigas devemos primeiro imaginar que a viga seja
formada por um numero infinito de fibras longitudinais, como folhas de papel. Assim, quando a viga
fletir para baixo, as fibras ( ou folhas ) do centro para baixo tenderão a se alongar, sendo então,
solicitadas à tração, enquanto as fibras ( ou folhas ) do centro para cima, tenderão a se contraírem, sendo
então, solicitadas à compressão. A fibra do centro não será solicitada, permanecendo neutra aos esforços
e por isso vamos denomina-la “fibra neutra”. Essa fibra neutra, passa pelo centro de gravidade da figura
que forma a seção transversal da viga.
Então, podemos calcular as tensões, sejam de tração ou de compressão, atuantes em qualquer
ponto da viga, com a fórmula:
σ = Mf.c / I
onde: σ - tensão de tração ou de compressão
Mf – momento fletor atuante na seção estudada
c – distância entre a fibra em estudo e a fibra neutra
I – momento de inércia da seção em estudo, em relação
ao eixo horizontal, que passa pelo centro de gravidade dessa seção.
Lembramos, também que, agora, diferentemente dos cálculos em estática, a nossa viga tem
peso, que deve ser considerado em nossos cálculos. Esse peso por aproximação de cálculo, devemos
considera-lo atuando no centro de gravidade da viga.
Nos projetos mecânicos, como normalmente, utilizamos perfis de seção constante e
padronizadas, os projetistas utilizam o recurso:
σ = Mf.c / I fazendo W = I / c e temos
38. 38
σ = Mf / W
W é chamado de Módulo de Resistência e é tabelado para todos os perfis utilizados em
construções mecânicas. Veja abaixo uma tabela como exemplo.
Tabela de Propriedades de Vigas “ I “ (para efeito didático)
Designação Altura largura
espessur
a I W
polegada polegada polegada mm4 mm3
S 3x5,7 3 2,33 0,17 1 048 903 27 530
S 3x7,5 3 2,509 0,34 1 219 558 31 955
S 4x7,7 4 2,663 0,193 2 530 687 49 817
S 4x9,5 4 2,796 0,326 2 826 211 55 552
S 5x10 5 3,004 0,214 5 119 646 80 624
S 5x14,75 5 3,284 0,494 6 326 718 99 797
S 6x12,5 6 3,332 0,232 9 198 714 120 773
Tabela 1
Exercícios Resolvidos
1) Calcule a tensão máxima na viga do esquema abaixo. A viga tem seção retangular constante
com dimensões de 100 x 50 mm.
10 000 N
A D B
2 m 2 m
σ = Mf.c / I RA = RB = 5 000 N
MfA = 0
MfD = 5 000 x 2 = 10 000 Nm
MfB = 0
DM
10 000 Nm
σ = Mf.c / I Mfmax = 10 000 Nm = 10 000 000 Nmm
39. 39
cmax = 50 mm
I = b.h3
/ 12 = 50 x 1003
/ 12 = 4 166 666 mm4
σ = 10 000 000 x 50 / 4 166 666
σ = 120 M/mm2
2) Calcule a tensão máxima na viga do esquema abaixo. A viga é feita em perfil I de 4“ de altura
(S4 x 7,7). Vide tabela 1.
20 000 N
A D B
1,5 m 1,5 m
RA = RB = 10 000 N
Mfmax = MfD = 10 000 x 1,5 = 15 000 Nm = 15 000 000 Nmm
cmax = 2” = 50,8 mm
I = 2 530 687 mm4
σ = 15 000 000 x 50,8 / 2 53
σ = 301 N/mm2
Outra solução σ = Mf / W
W = 49 817 mm3
σ = 15 000 000 / 49 817
σ = 301 N/mm2
Exercícios Propostos
1) Calcular a tensão máxima que atua na viga do esquema abaixo sabendo que a viga tem seção
retangular de 80 x 40 mm e que o sistema está em equilíbrio.
20 000 N
1 m 1 m
Resposta 234 N / mm2
40. 40
2)No esquema abaixo, a viga é formada por um perfil I de 5” (S5 x 10) calcule:
a) a tensão máxima na viga
c) a tensão máxima na seção D
2 000 N 8 000 N
A D B E
2 m 1 m 3 m
Resposta a) 297,7 N/mm2
b)186 N/mm2
3) Calcule uma viga para trabalhar com segurança, conforme o esquema abaixo. O material da viga deve
ser perfil I, de aço, com tensão de escoamento à tração de 400 N/mm2
. Usaremos coeficiente de
segurança 2.
2 m 2 m
Resposta Viga I - S4 x 7,7
4) Calcule uma viga em perfil I em aço, com tensão de escoamento à tração de 600 N/mm2
, para trabalhar
com segurança, como no esquema abaixo. Usaremos coeficiente de segurança 2.
2 m 5 m 3 m
Resposta Perfil I - S5 x 10
5) Calcule uma viga para que trabalhe com segurança, como no esquema abaixo. O material da viga deve
ser perfil I com tensão de escoamento à tração de 500 N/mm2
e usaremos coeficiente de segurança 2.
18 000 N
3 m 3 m
Resposta Perfil I - S6 x 12,5
41. 41
6) No conjunto abaixo responda:
a) A qual tipo de tensão está submetida a peça 1
.......................................................................
b) Qual a peça que está sob flexão?
F
.......................................................................
c) Qual peça está sob cisalhamento?
.............................................................................
A qual tipo de tensão está submetida as peças:
d) 2 ...............................................................
e) 4 ..............................................................
Torção
Neste trabalho estudaremos apenas a torção em peças com seção transversal circular. A torção é
produzida por binários que atuem em planos transversais ao eixo de giração da peça. Os efeitos da
torção são de produzir deslocamentos angulares entre as diversas seções transversais em relação umas às
outras. Podemos observar esse ângulo “ γ “ no desenho a seguir.
apoio Peça 3
Peça 2
Peça 1
apoio
Peça 4
42. 42
Momento de Torção.
O momento de torção é a soma algébrica de todos os momentos dos binários que atuam de um
lado da seção considerada.
Momento Polar de Inércia
É chamado momento polar de inércia ao momento de inércia calculado em relação ao eixo de
giração da peça. Chamamos de momento polar devido a que ao estudarmos a seção esse eixo nos
aparece como um ponto. O momento polar de inércia de uma seção circular é;
J = π.d4
/ 32
Cisalhamento na Torção
As tensões de cisalhamento, que aparecem quando uma peça de seção circular é
submetida a um momento de torção, são assim representadas graficamente.
Dependendo da distância que tem, o ponto estudado, ao centro da seção, teremos os valores da
tensão, variando de zero até uma tensão máxima. Essa tensão nos é dada pela fórmula:
τ = Mt. ρ / J
43. 43
onde τ - tensão de cisalhamento ocasionada pela solicitação de torção
Mt - momento torçor na seção estudada
ρ - distância entre do ponto estudado e o centro da seção
J – momento de inércia polar, da seção em estudo
Ângulo de torção
O ângulo de torção “θ “ que gira uma seção em relação a outra, ocasionado pela solicitação de
torção, pode ser calculado por:
θ = Mt . l / G . J
onde:
θ - ângulo de torção de uma seção em relação à outra
Mt - momento torçor atuante na seção em estudo
l - distância entre as duas seções em estudo
G - módulo de elasticidade à torção
J - momento de inércia polar da seção em estudo
Exercícios Resolvidos
1) Calcule o momento torçor no esquema abaixo.
200 mm
F = 1 000 N
Mt = F.d onde F = 1 000 N
d = 200 mm
então Mt = 1 000 x 200
Mt = 200 000 Nmm
44. 44
2) Calcule momento torçor no esquema abaixo.
φ = 800 mm
F = 12 000 N
Mt = F.d onde F = 12 000 N
d = 800 / 2 = 400 mm
então Mt = 12 000 x 400
Mt = 4 800 000 Nmm
3) Calcule a tensão máxima que acontece na árvore, do esquema abaixo, sabendo-se que seu diâmetro é 40
mm
200 mm
F = 20 000 N
Mt = F.d onde F = 20 000 N
d = 200 mm
τ = Mt.ρ / J
então Mt = 20 000 x 200
Mt = 4 000 000 Nmm
ρ = 20 mm
45. 45
J = π.d4
/ 32 então J = 3,14 x 404
/ 32 e assim J = 251 200 mm4
Sendo τ = Mt.ρ / J temos τ = 4 000 000 x 20 / 251 200 e assim
τ = 318,47 N/mm2
4) Calcule a tensão que encontraremos, em um ponto a 15 mm do centro, da árvore do esquema abaixo,
sabendo-se que seu diâmetro é 60 mm.
400 mm
F = 30 000 N
Mt = F.d onde F = 30 000 N
d = 400 mm
τ = Mt.ρ / J
então Mt = 30 000 x 400
Mt = 12 000 000 Nmm
ρ = 15 mm
J = π.d4
/ 32 então J = 3,14 x 604
/ 32 e assim J = 1 271 700 mm4
Sendo τ = Mt.ρ / J temos τ =12 000 000 x 15 / 1 271 700 e assim
τ = 141,54 N/mm2
46. 46
5) Calcule a tensão que acontece em um ponto a 20 mm da periferia da árvore do esquema abaixo. O
diâmetro da árvore é 60 mm.
θ = 1 000 mm
F = 20 000 N
Mt = F.d onde F = 20 000 N
d = 1 000 / 2 = 500 mm
então Mt = 20 000 x 500
Mt = 10 000 000 Nmm
ρ = 30 – 20 = 10 mm
J = π.d4
/ 32 então J = 3,14 x 604
/ 32 e assim J = 1 271 700 mm4
Sendo τ = Mt.ρ / J temos τ =10 000 000 x 10 / 1 271 700 e assim
τ = 78,63 N/mm2
Exercícios Propostos
1) Calcular a tensão máxima aplicada à eixo do esquema abaixo, sabendo-se que o sistema está em
equilíbrio.
Resistência
Diâmetro = 50 mm
φ 400 mm
F = 8 000 N
Resp 65,22 N/mm2
47. 47
2) Calcule, a partir do esquema abaixo, que representa uma árvore transmitindo torque a uma
engrenagem, que aciona, dessa forma, um equipamento qualquer:
a) O torque que está aplicado à árvore Resp a) 1 400 000 N.mm
b) A tensão máxima na árvore b) 57 N/mm2
vista de frente vista de lado
F = 7000 N F
3) Calcule a tensão máxima na árvore do esquema abaixo. O diâmetro da árvore é de 45 mm. O
diâmetro do volante é de 800 mm.
F = 10 000 N Resp 223,67 N/mm2
4) Calcular uma árvore que trabalhe com segurança em um esquema como apresentado abaixo a
força atua na periferia do volante, o material da árvore deve ter tensão de ruptura ao cisalhamento
valendo 800 N/mm2
e queremos utilizar coeficiente de segurança 4. O diâmetro da roda é de 1200
mm
F =15 000 N
Resp. 61,2 mm
Diâmetro da
polia 400 mm
Diâmetro da
árvore 50 mm
48. 48
5) Calcular uma árvore, para que execute com segurança o trabalho proposto no esquema abaixo.
O material que queremos utilizar na árvore tem tensão de escoamento ao cisalhamento valendo 500
N/mm2
e usaremos coeficiente de segurança 2.
400 mm
F = 30 000 N
Resp. 62,5 mm