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![§ímtese
Srnrcão senc: /: lR + IR
Í - ,SinX
Domínio: lR; contradomínio: [- t, r]
Período fundamental: 2n
Zeros: sinr=0 <= Í= kfi, ke Z
Exlremos Íocaisem: * -** kn, k €Z
MáÍmo: sin.r= 'l ,= -
tr
^''- t-- a*=r*.zkÍt, ktL
Mínimo: sinx=-1 ç3 r=3n* Ztctr. keZ
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A função seno é ímpar: sin(- x)= - sin x, V;r € lR
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Fi;.ltçâti üdlssÊraü: l: lR + lR
Í._rCOSÍ
Domínio: lR; contradomínio: [- f , t]
Período fundamental: 2n
Zeros: coq.r=0 (ã --x* kn, ke z
Extremos locais em: x= kn , lcQZ
M:ídmo: cosÍ= I (J ;ç- 2lcn, ke Z
lviínimo: cos-rj- t <- x-- r-Zkn, kez
A função cosseno é par:
cos(- x)= cos r, Vr C lR
pp.65 e 66
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Érunção {aüÉ;eilte: "f:
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Í. ,tanÍ
rDomínio: D =lBt{x: x-!-m, kezl"l.2)
Contradomínio: lR
Período fundamental: n
Zeros: tanx=0 <= Í= kfi, kez
A função tangente é ímpar:
tan (-x) = - 1nnx, Vx€ D,."
f(r)= s s;n(zs)
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pp.62 e 63
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A lunção g é periódica de período fundamental
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pp.68 e 69](https://image.slidesharecdn.com/sinteses11-190111235146/85/Sinteses-11-2-320.jpg)
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p. 69
ffi Funcões trigonométricas. Equacões e inequações trigonométricas
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tan2x+tanr=0 <= tanr(tan-t+ l) =g <+
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As inequaçÕes trigonométl:lcas Lesolvern-se inter-
pletanilo a conclição com recLlrso à circunferência
trigonométrica.
p.77
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p.79](https://image.slidesharecdn.com/sinteses11-190111235146/85/Sinteses-11-3-320.jpg)
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SiôaT Êmmry
i:i':íi;.'" r;q;g'pt;;il ;: ill1t 1liàlttr
Unr vetor f , não nulo, ci normal a um plano a se
clualquer reta de r,etor diretor [ 1or perpendicular
?rc/,
i1r{sr}' ::la!-aicl,li :l :; t:; ;:I::nr-,
llm vetor I, não nulo, é paralelo a um plano a
se 7 lor o vetor diretor clc urna l.eta cotrti(la Ílo
plano rr.
p. L25
['!nmçç rft"t{nirl{} {",í}q'qtn'! !}{i!}[{it 1, rÀt}r !.r'{(-!r. nill.ir:i}l
I)arlo utn vetol' não nrrlo ã normal a Lrm ltlano a e
urnl)onto 11 €a, enti:ro P€a Ç) At).íí-0.
í,14u;rrurr,$ crur'tr'1ílrtaI rlu yl{arnr u
Sejarn ,4(;r,, , !u, zu)€a e ri(a., b, c) t a.
. a(-t - q,) + D(y *.y,) + L:(z - 2,,) - 11
" As equaçôes geritis dos pl:rnos norrnais:i rrnt vetor.
rrão nrrlo ií(« , lt, c) sao da forma
ox+b./+cz+d=0.
pp. I25 e 1,26
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Scja i Llnt vetol' cliletor de unta l.cta /. e , unt
vctor nolrnal a Lrnt lllano a .
" r 1. ct e V é c:olinear conr rr'
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p.127
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Sejanr a e p cloisplanose i e ri vetor.esnão
nrrlos nctltniiis aos planos u e B, respetivalllente.
"txrlJ<=/ lÍ
, (t D ç+ ri ticolint'arr.onr ri
p. l28
i.':1r;i,t, ii;; t rlilr ii,ri tlr, ilril glia;lrr
Sejir a o plano rlue llassa no ponto zi(_r,, , !ç, 2,,) e
tern a dircção dos vetores nao colineares
i Qr, , rr, , u.,) e i (t', , t,:t, t),,) .
Unra equação vetorial clo plano a é:
*P=A+Ti+pí;À,1teR
oLl
, (x, y, z)=(x,,, v,,,2.)+),(tr,, u,, u.,)+y(ut, uz, tt.,);
) ,, CID/r,ÁrLilI
Um sistema de equações paramétricas do plano a é:
Seja [,4BCDÉFGH] rrm prisma
reto e S run [)onto de f,,1É].
- 8i , Dú e SF saro retor.es
ttonttais ao plirrro Á8(i.
- ,G, Eã e Fã saoveror.es
paralelos ao plano ,-l/lC.
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h.,;:: .. .--' .-'--I
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Fixad0 unr relerencial ot'tonrlrilrad() Oxyz e clac10 o
ponto,{ (l , tt , - l), urna equaçiio cartcsiana do
plano clrre passa cln Á c qrre arlurite i(2, -s, +)
conto vetor nrlrntal é:
2í.r'- ll-:](r,-0t-l(--, t) .0 e>
€) 2.t - :l.y + 4z+ 2= 0
Nunr rclercncial ortonot'ntaclo O"r.y:, rlacla a reta
r': (-r:,.y,.)=(t, 0, 0)+ k(t, z,-t), Á.€lR e os
lrlarros rx : 2x+4y-22+ | =0 e p: ltx-.y +z-0.
. 12.4,-'2't=2(t,'t,- l), pekr(lu(,,. I í{.
*, (:1 , - l, l).(t, 2, -t)=3-2- l=g, lte6 clut: rllB
Nttnt reÍêrencial oltonorntad o O:y7 , sejanr os ltlanos
A-: x+2y-7=ç1
P:2.t+4./-22+l=O
7T i x- V- z+2=0
Ibmos rlue:
(t,,13 Dort;rrt' (2, 4, 2)=1(l , 2, - l)
* tx I tr porqlrc (.1 ,2, - t) .(l , -t, -1)=0
Fixado trrn refelencial oltonormaclo O-r1,2 , t"ir, ,,
o pltrno (pre passa no ponto Á (I , - 2 , 3) c tern a
direçào rlos verores u(2, - 3, a) e i(z , S , -Z).
o Equação vetolial de a :
(x, Y , z)=(.t , -'z , s)+À(2, -:i, 4)+
+1r(s, s ,-2); t, trr€tB
= Sistema dc eqtraçr)es param(:tlicas rle a :
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138
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![EquaçãO+G[1] (Erlan)](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/equaog1erlan-091008091704-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Sinteses 11
- 1. ffi ÂnguLos generatizados.FórmuLas trigonométricas Reducão ao primeiro quadrante 5treE##ffi Ra<iia:t* Um radiano (rad) é a amplitude de um centlo de uma circunferência que nela Jrn arco de comprimento igual ao raio. 360'= 2r rad e 180" = fi rad Fór::eelÀas triqcln*$té€ri*as . costÍ + sln2x = I .I+tan2.n- 1 cos'x Red:açã'* *.c+ g:rã*laeie=o qua,ãr;::-:ã* . sinQx+2lcn)=si:nc-, ke Z cos(a+2la)= cosa , ke Z tan(a+ 2lcn)=1a11a, ke Z §e s * u*r âlagmi* d* ã." qaaaeãra*Íe raE qrle âft-râ ád = ã, de{er:*à.eaí ct:§ e{ s s!:'g a. rl l-2-= <= cos â-- cos'tr 5 Como cosa(0, então cosa=- I .) 4 - §ln Út- l:stn a--JJ ângulo ao determina Carq:q'erÉer 75 o 75n tr 180 12 5rT r,5-=-I-O 12 *:ãE redáiÀãros Graus Radianos 180 _ lt 75x generalizado : é OB, por- lrórrirrLltt i ruttililtent:ll tla -rr iqititolt etli:r p.44 p.46 p.48 I g$ir I f$-ql -- ^i §' _,c 55 t: ^^ /: Como sina)0, entào rirr0=,11 =!1 " v5 s . sin(n - a) = sina cos(n-a)=-66s6y tan(n-a) =-1an6y 'sin(n+a) =-5irro cos(n+a) =-cosa tan(n+a)=tana . sin(- a,)= - sina cos (- a,) = 6ss cr ran (- a) = - 13n 6y v* ,l l' s* {-',ie ri it'r,r.;igg'trl..rltúe l-";, - :-" l. i ?:r i' G i' E' 3là!ãi _ I zá,' / -. I 57I /5n / rslnl '-l=-§lnl-l= -StnlIr-. I 6/ 6/ 6/ ./n 1 =-S1nl-i=-- 6/ 2 =ro,,(rn-,,n) .nrlf)= 3/ 3/ -.or(n - ^) -.n'/n | , 3r 'r/--, /zn /Bn n / -,rr(7)= ran ('-lr - ., J-,on(zn ;)= - ,nn(-r)- -,u,.,11)= - , '"" ,ti ''''t/--' Siar:pliáie*ar a exga::es*ã*: , :Í , /fi .r, : 4.t I -qi.;tr +. r,"s"{ t.-"rl . ln /n sin f - . aJ sin (;- a) cos(r - «t= = cosd + cosd - cosa = = cos t/ / Ion /ronr /6rT 4nCoSl- -l=Cosl -l=6651 -':l: 3 / r 3 / : 3l ^",6 3 ng-;:ãos c*j* se*aa r::.a e ::ja ei*í*:.*r*ça * ig*=i ;".,i - í-2{3líàlldid 2 (n > lll --f.Y l= 2/ ln rosl--al= 2/ (n lin1-+al= 2) ln-osl-+í} l=, l V5 2 T- ri -- Í{ A1t --11i | '')+*4r.. : 1l .i i: ri : 'f i. -:-- * --^-*-..;. )té{ (l --I I '1 I COS A sina cos a - srn úY p.50 53
- 2. §ímtese Srnrcão senc: /:lR + IR Í - ,SinX Domínio: lR; contradomínio: [- t, r] Período fundamental: 2n Zeros: sinr=0 <= Í= kfi, ke Z Exlremos Íocaisem: * -** kn, k €Z MáÍmo: sin.r= 'l ,= - tr ^''- t-- a*=r*.zkÍt, ktL Mínimo: sinx=-1 ç3 r=3n* Ztctr. keZ 2 A função seno é ímpar: sin(- x)= - sin x, V;r € lR :§ Fi;.ltçâti üdlssÊraü: l: lR + lR Í._rCOSÍ Domínio: lR; contradomínio: [- f , t] Período fundamental: 2n Zeros: coq.r=0 (ã --x* kn, ke z Extremos locais em: x= kn , lcQZ M:ídmo: cosÍ= I (J ;ç- 2lcn, ke Z lviínimo: cos-rj- t <- x-- r-Zkn, kez A função cosseno é par: cos(- x)= cos r, Vr C lR pp.65 e 66 F:lnçãtriàrle&-c$§sercc], f ,, [_t, t1-[0,n] Í J, aICCOS Í Para x€[-t, t] e y€[0, n]: arccosjr=y <= Í=cosy Érunção {aüÉ;eilte: "f: D,,,,, * lR Í. ,tanÍ rDomínio: D =lBt{x: x-!-m, kezl"l.2) Contradomínio: lR Período fundamental: n Zeros: tanx=0 <= Í= kfi, kez A função tangente é ímpar: tan (-x) = - 1nnx, Vx€ D,." f(r)= s s;n(zs) ' Dr= lB E -1<sin(zx)çI (= -3<3sin(2Í)<3 D;=L-s, s) " "f(r)=0 <+ 3sin(zx)=61e ç3 s1n(216) =6 13 ê o,- - 7.- l-CV -- Z^- ^/l , /(ga H 1__ tí 1L o*=i-,kev Tn§gememeÊria Fmrc*ão egc&-§eil# pp.62 e 63 Í :l-r,rl-[ l-^l I 2',2) Í - , afcsinÍ Detens-írinar *ouilr i- L, ãl . / rt r n.l n n'l arcsrn-2/= 6 porque ã.1_;,;)" .i.(- 1:-.i*([:- Ir 6) 6) ,L FeríurÍa cle .q .r, = : s;n f { ) u Ds= iB " Se xe Dr, x+ 6ne Q s(x - 6ir) = 2 ,i" (t!rl = z si,, ({ - zn) = Para xel-r, r I e y€l-+, +1,' | ) )l ancsrrx-_1 Ç) 1-s§1 p.66 -o"i-l'tI-^t-r:zsnr-/=E{r/ A lunção g é periódica de período fundamental Po=6n' í]" ,errititrJí rrrr ct's::lm !: /. n /r s Ít arccosl sln-/= aICCos[ - I - t2 ) 6 ft("ri = ? taar(es7' (-l ^ D,,-lx€lR : rx+ !+ kr, kezl-r2)(,) =l re B , ., ,!* k. ke Vl 12) * Vx€D*, -x€Q e h(- ,)= 2 tan(- nx)= - ztan(ni)= - 7(y1 h é uma função ímpar. B2 pp.68 e 69
- 3. bêffiq#s# " Íârf 'Jiiqe.::.r,t".:" ' | : lB--.l-; ;[ I n n[ Í' 'arctanÍpara.re tR e.ye fi, ,1, arctan -d = Y <= Í - tan,I/ p. 69 ffi Funcões trigonométricas. Equacões e inequações trigonométricas I ãi 1"" 1, :"",'a, i; Ji f ,.. I i , - , IT/ ÍI ut.tun{ 2' tan I ) -u"tuní2- l)--arclan(l)-, 4/ iles*,rÊve: 1 / ât 6É;:t.1' ! = -:: iJ úãsinx+3=o <â .) <= sin x=- - e; V4x3 .t r,/: ^(J Sin r-- , r^ € qlll ^=- - ç---) 2v3 / _ / tL^ <= srnr_srn_ i) - l- e-r - -n *ZpxV.r=n-(-:l)-ztn, ke Z s --" 3/ ê r.=- - rknvx= 4[ ,2kr, ke ZHt- 3'-"" 3 - À . r."-C,:,.-.1" ,', - *: i . 'I , __ _lQ__-: * '-,"*"-.-:+ oi 1 I sirr.r=sjna (â ; <+ x=ci+ 2knY x=Ít- u-+2lcn, ke Z " sin.r-0 <J x= kn, keZ ÍI. .sin.r=l (+ r=')-.Zkn, keZ,2 sin.r=- | çJ .ç=r!-.l' 21çn, keV - p.7l rl i I l - -õi I i I I COSÍ= COSÚY (= g ;6= ct+2lcn V x=- d+21íÍt, ke Z Í cos r-U (- .ç= :' - 1n, kez) ^.., -- r â ' 1,.. ke L- COS-Í=l Ç À-i/tlL' co.'- -l €:) .t- n-2kn ' !;ÇZ iii:"-ui-r'tr ".." 3 r .i 'l.:ilir .!: " ii Jz^1/2*2cos.r-0 (= cos.' - - ç=) /"<= cos.( - coql lr -; J € r/ JJL <= cos-r=COS- € 4 â ,. .3f ,nk, V r -- - ?n - 21rn, ke z(-,.---.4/Lv.- 4 -"" p.74 i, jj::::,r-,!l::l' lrj'rI] : r ii:!ii.:, " ii tan2x+tanr=0 <= tanr(tan-t+ l) =g <+ (] 13nr'-0Vlan.r- -l <= /nA t.n, -UV Lan.r =lalll' -l <:='"'+/ /--/.. Í-t.n l.C7€ .'-^^ v.-- - t/rr' /L4 4 i .r' ! I ! i l _._. I t:2nl ll itr-1li,1L"rt,:,:il ;-:ii I :: ::. :'ii :l tan .1: = tall Ll Ç § 1= tY,+lcx, ke Z i ;'/t/ ,r'lo ,'1, : As inequaçÕes trigonométl:lcas Lesolvern-se inter- pletanilo a conclição com recLlrso à circunferência trigonométrica. p.77 ..: l-n )n) L Islt I3 1-cos r: ) /.r e 2 [ ,.[ câ.r€10,;l I JL í ,I U *: '2r. p.79
- 4. Iaclinaçâo de aÍnareta Dado um plano munido de um referencial o.n. Oxy e uma reta r distinta do eixo Ox, chama-se inclinação da reta r à amplitude, a, do ângulo convexo formado pelo semielxo positivo Ox epelasemirreta óp, paralela àreta r e sendo p umponto dL ordenada positiva. Para r: != mx+ b: . a=inclinaçãodareta r (Oça<r) . rz = declive de r = tan a Produto esealar{ou produto interno) de vetores Oproduto escalardosvetores 7 e I representa_se por i.i . DeÍiniçâo Sejam 7= OF, i=õõ vetoresnãonulose e, a projeça9 ortogonal do ponto e na reta Op. e Se Op e Oe, têm o mesmo sentido, entâo: n.n=oixoq . Se OÉ " õ[ te* senridos contrários, então: i';=-oP"oq' . Se ã= 0'ou 7=0, então i.i=O. Propriedades Quaisquerquesejamosvetores i, i e ú : . ; . n =llitlxllrll".os d,à.i.i=0eiti - - 1-a2 . u . u=llull ru.L)=u.u . (1i).í=L(n . fi, s.e n . ú.(i+;)=ú.i+ú.í Produto escalar em reÍerencial ortonormado . Se i(u, , ur) e i(ur, ur): i . í=utul+t;2t)2 . Se 7(u, , uz, us) e í(ur, ur, ur): n,;=Lqt)t+Lt2u2+thu3 Ânguto de dois vetores ^t-:-cos(il, ü=-!:-!-, sendo i+í e ll,ll"ll;ll 'Seja r aretadeequação !=_{ix+1. O declive da reta r é m = _lã . A inclinação da reta r é a talque 0" ( a ( 180" e tana=-fã. a = tgo" - ur.tu., (tÁ)= 180. - 60. = 120. ' Equação da reta s que passa na origem e tem uma inclinação de _ 135" : m= tan(- 1sb)= 16n (160" _ 45)=_ ran (45")= _ I Logo,aequaçãodareta s é y=*y. :r:r. '" . t:t:.i;:i;::;;::.I:::t::1.::;::::i:i.:. :t:t:::::t:t.t;::::::::::::::: r No rriângulo lAnC) da figura: C ,r/ ,/ '4 {'-"'; -x B ea . ac=11ar1lrllacll" *,(aíà)= =4x3xcos 6f,=12*f =O 2 . Flxado um referencial sejam /(r ,2, -2). ,?;':iT:i,to do esPaço' cos(/, ú= u' u - ll;ll"ll;ll Elt ( ( I 2 @ç Er d 2 Z ê e 2t (1 o -c. ro _ r,a,-z).1O,_4,1) --- V t' + 2' + (- 2), x V" +a 4y i - El*, 24 uI nl ur 0r p€ pc rel o Âr 25. 25. _B-B-2 _ 3xg Relação enÍre os declives de retas perpendiculares Se r e s são retas do plano de declives m e m, respetivamente: r -L sê mXm,=_l Assim: .<.>, / ^ u, u) =arccos ( - =l =l,64 rad .t11 L( / Seja m o declive de uma reta perpendicular à reta de equação y=- 3x+ I . mx(-s)=-t e m=-r../ r. . l "-al o *=i u*O IFE Éã co em De 26.1 : = 26.1 -= i 26.i = i 26.t = 118
- 5. #m*m*Érym mma[§ài{* SiôaT Êmmry i:i':íi;.'"r;q;g'pt;;il ;: ill1t 1liàlttr Unr vetor f , não nulo, ci normal a um plano a se clualquer reta de r,etor diretor [ 1or perpendicular ?rc/, i1r{sr}' ::la!-aicl,li :l :; t:; ;:I::nr-, llm vetor I, não nulo, é paralelo a um plano a se 7 lor o vetor diretor clc urna l.eta cotrti(la Ílo plano rr. p. L25 ['!nmçç rft"t{nirl{} {",í}q'qtn'! !}{i!}[{it 1, rÀt}r !.r'{(-!r. nill.ir:i}l I)arlo utn vetol' não nrrlo ã normal a Lrm ltlano a e urnl)onto 11 €a, enti:ro P€a Ç) At).íí-0. í,14u;rrurr,$ crur'tr'1ílrtaI rlu yl{arnr u Sejarn ,4(;r,, , !u, zu)€a e ri(a., b, c) t a. . a(-t - q,) + D(y *.y,) + L:(z - 2,,) - 11 " As equaçôes geritis dos pl:rnos norrnais:i rrnt vetor. rrão nrrlo ií(« , lt, c) sao da forma ox+b./+cz+d=0. pp. I25 e 1,26 iír,íil nrIr'Fr.llrlícili;rr c rc{;.1 Jlirxlir:Í;l ;l íilll i_ i;,}arÚ Scja i Llnt vetol' cliletor de unta l.cta /. e , unt vctor nolrnal a Lrnt lllano a . " r 1. ct e V é c:olinear conr rr' lr t//.t - ( '/lt'.l....-tLtl p.127 íi ! ll i l u,, 4lenpl*:rll iull {;lr*s,r., glÍ ;,illrt rr illr nn í ll trnrr Sejanr a e p cloisplanose i e ri vetor.esnão nrrlos nctltniiis aos planos u e B, respetivalllente. "txrlJ<=/ lÍ , (t D ç+ ri ticolint'arr.onr ri p. l28 i.':1r;i,t, ii;; t rlilr ii,ri tlr, ilril glia;lrr Sejir a o plano rlue llassa no ponto zi(_r,, , !ç, 2,,) e tern a dircção dos vetores nao colineares i Qr, , rr, , u.,) e i (t', , t,:t, t),,) . Unra equação vetorial clo plano a é: *P=A+Ti+pí;À,1teR oLl , (x, y, z)=(x,,, v,,,2.)+),(tr,, u,, u.,)+y(ut, uz, tt.,); ) ,, CID/r,ÁrLilI Um sistema de equações paramétricas do plano a é: Seja [,4BCDÉFGH] rrm prisma reto e S run [)onto de f,,1É]. - 8i , Dú e SF saro retor.es ttonttais ao plirrro Á8(i. - ,G, Eã e Fã saoveror.es paralelos ao plano ,-l/lC. t1 i h.,;:: .. .--' .-'--I t, I ,Sr : I ID" l.: - -.A .-:. (, _/'I l1'l i -r-, á(: Fixad0 unr relerencial ot'tonrlrilrad() Oxyz e clac10 o ponto,{ (l , tt , - l), urna equaçiio cartcsiana do plano clrre passa cln Á c qrre arlurite i(2, -s, +) conto vetor nrlrntal é: 2í.r'- ll-:](r,-0t-l(--, t) .0 e> €) 2.t - :l.y + 4z+ 2= 0 Nunr rclercncial ortonot'ntaclo O"r.y:, rlacla a reta r': (-r:,.y,.)=(t, 0, 0)+ k(t, z,-t), Á.€lR e os lrlarros rx : 2x+4y-22+ | =0 e p: ltx-.y +z-0. . 12.4,-'2't=2(t,'t,- l), pekr(lu(,,. I í{. *, (:1 , - l, l).(t, 2, -t)=3-2- l=g, lte6 clut: rllB Nttnt reÍêrencial oltonorntad o O:y7 , sejanr os ltlanos A-: x+2y-7=ç1 P:2.t+4./-22+l=O 7T i x- V- z+2=0 Ibmos rlue: (t,,13 Dort;rrt' (2, 4, 2)=1(l , 2, - l) * tx I tr porqlrc (.1 ,2, - t) .(l , -t, -1)=0 Fixado trrn refelencial oltonormaclo O-r1,2 , t"ir, ,, o pltrno (pre passa no ponto Á (I , - 2 , 3) c tern a direçào rlos verores u(2, - 3, a) e i(z , S , -Z). o Equação vetolial de a : (x, Y , z)=(.t , -'z , s)+À(2, -:i, 4)+ +1r(s, s ,-2); t, trr€tB = Sistema dc eqtraçr)es param(:tlicas rle a : f.='-'2^1311 it = 2 3Àt 57r ;2,7re lR t" (.,-ltrl^- )l_t 138 f -r -.t,, +,tr. rr, + pr,, )'-.v -À,, -ltu. i 2,,rre rB I z - 2,,+ Àrr ,+ 1tu, p. 130