Spe 2013 novo_ef61_mat_programação

Livro do Professor
6º. ano – 1º. volume
Matemática

© Editora Positivo Ltda., 2011
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati/CRB9-1584/Curitiba, PR, Brasil)
C186 Campagnaro, Maria Fernanda Martini.
Matemática : 6º. ano / Maria Fernanda Martini Campagnaro,
Rodrigo Moraes Ferreira ; ilustrações Elias, Jack Art, Quadrinhofilia
Produções Artísticas. – Curitiba : Positivo, 2011.
v. 1 : il.
Sistema Positivo de Ensino.
6º. ano – Regime 9 anos.
ISBN 978-85-385-5439-4 (Livro do aluno)
ISBN 978-85-385-5440-0 (Livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino fundamental – Currículos. I. Ferreira,
Rodrigo Moraes. II. Elias. III. Jack Art. IV. Quadrinhofilia Produções
Artísticas. V. Título.
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2013
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Concepção de ensino
Sobre o ensino da Matemática
Tendo em vista as mudanças ocorridas na sociedade e a rápida evolução da tecnologia, na qual os
conhecimentos são produzidos e adquiridos numa velocidade considerável, tornou-se imprescindível
um contínuo repensar sobre o ensino da Matemática, bem como formar cidadãos críticos e capazes de
interagir com essa nova realidade.
A Matemática não deve ser encarada como uma ciência pronta e acabada, na qual o professor é o
único detentor do saber. É necessário o aluno vê-la como uma ferramenta para compreender a realidade
que o cerca, não apenas atuando nessa realidade, mas transformando-a. Dessa forma, o aluno, com a
ajuda do professor, que assume o papel de mediador, é personagem importante no processo de ensino e
aprendizagem, e tem de dominar conceitos matemáticos e relacioná-los com situações ora do cotidiano,
ora intrínsecas à própria disciplina, tendo como principal intuito a compreensão desses conceitos e a
aplicação deles em novas situações. Segundo Paulo Freire (2005, p. 79),
[...] desta maneira, o educador já não é o que apenas educa, mas o que, enquanto
educa, é educado, em diálogo com o educando que, ao ser educado, também
educa. [...] Já agora ninguém educa ninguém, como tampouco ninguém se educa
a si mesmo: os homens se educam em comunhão, mediatizados pelo mundo.
O ensino da Matemática tem como um de seus objetivos desenvolver, por meio de uma metodo-
logia problematizadora, na qual os alunos são participantes ativos e os problemas ferramentas bem
definidas, argumentos para o exercício da cidadania, propiciando a participação ativa na construção
dos conhecimentos. Ainda conforme Freire (2005, p. 82), “[...] na prática problematizadora, vão os
educandos desenvolvendo o seu poder de captação e de compreensão do mundo que lhes aparece,
em suas relações com ele, não mais como uma realidade estática, mas como uma realidade em trans-
formação, em processo”.
Outro aspecto é jamais esquecer que a disciplina faz parte de um todo. Concordamos com o discurso
simples, mas, fundamental, de Aquino (1996), quando este afirma que o aluno não deve ser preparado
para o acúmulo de informações e,sim,para viver.É necessário trabalhar o aluno como uma pessoa inteira,
com sua afetividade, suas percepções, seus sentidos, sua crítica e criatividade.
Também concordamos com as ideias de Miguel e Miorim (2004, p. 71) que apontam que, por inter-
médio do conhecimento matemático, o educador pode promover a construção de valores e atitudes de
natureza diversa, visando à formação integral do ser humano. Outra citação que reforça essa ideia está
contida nos Parâmetros Curriculares Nacionais,
Se todos os professores compreendessem que a qualidade do processo mental
não é a produção de respostas corretas, [...] pouco menos do que uma revolução
no ensino teria lugar na escola. (Dewey, 1989 apud Junior, 2006, p. 11).
Livro do professor
Matemática

4 Livro do Professor
[...] a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver metodologias
que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criati-
vidade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria
capacidade para enfrentar desafios. (Brasil, 1998, p. 29).
Percebemos a importância da função social da Matemática e, consequentemente, do processo de ensino e
aprendizagem que a envolve, amparados nos PCNs, quando se referem ao desenvolvimento da cidadania e aos
temas transversais em sala de aula, como a ética, a orientação sexual, o ambiente, a saúde, a pluralidade cultural,
o trabalho e o consumo.
Assim, a formação de alunos/cidadãos críticos, participantes ativos da história, agentes de transformação positiva da
sociedade, que construíram sua identidade e autonomia junto ao conhecimento de mundo, é algo essencial.
A contextualização dos assuntos foi tratada como algo fundamental, pois, por meio dela, os alunos descobrirão muitas
características do mundo que os cerca, percebendo a diversidade de situações na qual a Matemática está inserida, tanto
dentro quanto fora da escola.
Assim,propõe-se um ensino da Matemática voltado à resolução de problemas,à investigação e à troca de experiências,
privilegiando a descoberta e a ação do aluno.
Investigação matemática e resolução de problemas
O ensino da Matemática pode propiciar o desenvolvimento da percepção, da visualização, do reconhecimento, da
identificação, das definições, da argumentação, do espírito investigativo, buscando estabelecer conexões entre a disciplina
e as demais áreas de conhecimento.
Todavia, para que essas ações se transformem em aprendizado, considera-se imprescindível o uso da investigação
matemática e resolução de problemas. Segundo Zubiolo (2008, p. 3),
[...] uma atividade de investigação matemática caracteriza-se por ser uma situação aberta ficando a
cargo dos alunos a responsabilidade de definir os objetivos, conduzir seus experimentos, formular e
testar suas hipóteses e registrar as suas conclusões. São desenvolvidas em três etapas: apresentação
da atividade [...], discussão e reflexão sobre o trabalho realizado. É uma oportunidade de fazer
matemática como os matemáticos a fazem, pois cabe ao aluno a escolha de qual caminho seguir.
Desse modo, percebe-se que a investigação matemática possui, necessariamente, um caráter desafiador. Entretanto,
torna-se novamente indispensável refletir sobre a maneira como os educadores podem contribuir para a criação de um
ambiente motivador, a fim de os alunos produzirem o que foi proposto.
A investigação matemática pode ser caracterizada por levar os alunos a examinarem uma situação com atenção,
pesquisarem e determinarem relações entre situações que se conhece ou não. Para que ocorra, é necessário que haja um
problema que peça a utilização de conceitos já adquiridos e novas descobertas. Numa investigação matemática, espera-
mos que os alunos desenvolvam habilidades para aplicar estratégias próprias, como elaborar conjecturas ou justificar o
método adotado usando a linguagem matemática, desenvolvendo, assim, o raciocínio matemático.
Para ocorrer uma investigação matemática,o problema não deve apresentar uma estratégia que forneça uma resolução
imediata. Dessa forma, é importante priorizar a ação dos alunos, fazer com que se sintam desafiados, além de incentivar
a argumentação e a troca de ideias, orientando-os no registro das descobertas, bem como avaliar o progresso.
De acordo com Ponte, Brocado e Oliveira (2003, p. 25),
[...] uma aula de investigação matemática desenvolve-se habitualmente em três fases (numa aula
ou conjunto de aulas): (i) introdução da tarefa, e que o professor faz a proposta à turma, oralmente
ou por escrito; (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos
ou com toda a turma; e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas o
trabalho realizado.
É importante ressaltar que ensinar Matemática não se trata apenas de perceber se o aluno compreendeu os conceitos
matemáticos, mas constatar se habilidades, como questionar, argumentar, trabalhar em grupo, pesquisar e encontrar um
significado no que se está aprendendo, foram desenvolvidas.

Matemática
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Quando nos deparamos com situações cujo método de resolução já conhecemos, estamos diante de uma resolução de
atividades. Contudo, a resolução de problemas caracteriza-se pela análise, interpretação, planejamento ou estruturação
de determinada situação. Segundo Schoenfeld (1997, p. 36), citado por Corrêa (2009, p. 4), “o professor deve fazer uso
de práticas metodológicas para a resolução de problemas”. E prossegue enfatizando que estes “[...] tornam as aulas mais
dinâmicas e não restringem o ensino de Matemática a modelos clássicos, como exposição oral e resolução de exercícios”.
A resolução de problemas leva os alunos a elaborarem conceitos,valorizarem seus conhecimentos prévios,incentivando
escolhas, privilegiando a tomada de decisões e a troca de experiências com o grupo.
Também é uma forma de avaliar o rendimento do aluno, verificando se os conceitos já foram amadurecidos e inter-
nalizados. Muitas vezes, acredita-se que a dificuldade do aluno em resolver um problema está na interpretação, ficando
a cargo do professor realizar um trabalho voltado para o desenvolvimento de técnicas de leitura e compreensão do texto
matemático.
Quando o professor ensina conceitos matemáticos por meio da resolução de problemas, está demonstrando confiança
nas capacidades cognitivas dos alunos,propiciando,dessa forma,a percepção de um significado“dando aos seus alunos um
meio poderoso e muito importante de desenvolver sua própria compreensão.À medida que a compreensão se torna mais
rica, sua habilidade em usar a Matemática para resolver problemas aumenta consideravelmente” (Bicudo, 1998, p. 208).
Assim, nos livros de Matemática do 6º. ao 9º. ano, a metodologia de resolução de problemas e investigação matemática
tem por objetivo que os alunos:
KK internalizem os conceitos matemáticos;
KK comuniquem-se usando a linguagem matemática;
KK transfiram o conhecimento adquirido para novas
situações;
KK relacionem as ideias matemáticas;
KK criem novos problemas;
KK trabalhem coletivamente, trocando experiências;
KK desenvolvam a autonomia e a tomada de decisões;
KK resolvam corretamente as situações propostas.
História da Matemática
Trabalhar a história da Matemática em sala de aula comprova que se trata de uma ciência em constante construção
e utilizar-se dela tem por objetivo uma ação de contextualização e de problematização, além de um enfoque narrativo
ou biográfico.
O ensino da história da Matemática, portanto, é válido, pois,
KK pela compreensão do contexto em que determinados conceitos, fórmulas e outros recursos foram desenvolvidos,
os alunos tendem a compreender melhor os conteúdos;
KK auxilia os alunos a valorizarem o conhecimento que estão adquirindo;
KK promove a compreensão do avanço do conhecimento ao longo do tempo,a fim de contribuir para sua continuidade,
ao exporem uma maneira singular de pensar e ver o mundo. É importante que todos percebam que fazem parte
da história e, por isso, podem contribuir para a sua transformação.
É interessante ressaltar a abordagem do trabalho com a história da Matemática em sala de aula, não apenas como
motivadora na introdução de um conteúdo matemático, mas que auxilie o aluno na percepção do processo histórico de
construção dos conceitos matemáticos pelas diversas culturas.
Por meio desse recurso, uma simples informação proposta nos livros e/ou em sala de aula pode gerar fatos que desper-
tam o interesse e a curiosidade, fundamentando o saber.A utilização do tempo como ferramenta auxilia na compreensão
de razões e porquês que, muitas vezes, não são facilmente assimilados no presente.A prática da matemática por diversas
comunidades, bem como a forma como cada uma delas a concebe e aplica, aproximou a história da Matemática da
Etnomatemática.Segundo D’Ambrosio (2005),“etnomatemática é a matemática praticada por grupos culturais,tais como:
comunidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes profissionais, crianças de certa faixa etária, sociedades
indígenas, e tantos outros grupos que se identificam por objetivos e tradições comuns aos grupos”.
Concordamos com o professor D’Ambrósio, citado por Bicudo (1999, p. 107), quando afirma que a Matemática, bem
como sua história, “é a espinha dorsal do conhecimento científico, tecnológico e sociológico”. O mínimo que se atinge
em relação ao uso da história da Matemática diz respeito a novas descobertas sobre o que está sendo ensinado.

Jogos
Os jogos nas aulas de Matemática têm se caracterizado como uma ferramenta atrativa, pois propicia a interação com
o grupo e fornece situações nas quais os alunos se sintam desafiados em qualquer fase do desenvolvimento cognitivo.
Knappe (1998, p. 188) explica que
[...] o jogo implica necessariamente a ação, o inter-relacionamento e a improvisação a partir da
espontaneidade, a curiosidade e a aceitação do risco, dentro de um processo espiralado contínuo
de desestruturação/estruturação. Jogo, assim entendido, não é só próprio dos primeiros anos de
vida, como de todo o processo de crescimento e aprendizado vital em qualquer fase da vida.
Assim, o professor que faz uso dos jogos em suas aulas assume uma postura inovadora perante as estratégias do
ensino da Matemática, sem deixar outras estratégias em segundo plano. Essa postura, contudo, requer uma quebra de
paradigmas antes instaurados.
Cabe ao professor, ao trabalhar com jogos, promover um ambiente no qual o erro seja visto como um caminho para
a aquisição de conceitos, bem como propiciar situações nas quais os alunos sejam encorajados a enfrentar esses erros,
buscando os acertos. Bicudo (1999, p. 188), concordando com Leif e Brunelle (1978, p. 12-22), cita que a utilização do
lúdico não exclui os demais caminhos metodológicos, entretanto, tira do professor o controle autoritário, sem que se perca
o senso do dever. Dessa maneira, ao utilizar jogos em sala de aula, o aluno pode ser levado, naturalmente, a interagir
com o grupo e a praticar a argumentação, além do ganho cognitivo.A atitude do professor perante essa situação é de ser
orientador e observador do processo, sabendo que o jogo deve, por si só, estimular a autonomia sobretudo por apresentar
desafios (Kamii; Devries, 1991 apud Bicudo, 1999).
É importante destacar algumas considerações sobre o papel do jogo no desenvolvimento do aluno, de acordo com
Kishimoto (2005, p. 79-80),
[...] o surgimento de novas concepções sobre como se dá o conhecimento tem possibilitado outras
formas de considerar o papel do jogo no ensino. São as contribuições da psicologia de cunho
sociointeracionista que vêm a estabelecer novos paradigmas para a utilização do jogo na escola.
Esta concepção acredita no papel do jogo na produção de conhecimentos [...] considera o jogo
como impregnado de conteúdos culturais e que os sujeitos, ao tomar contato com eles, fazem-no
através de conhecimentos adquiridos socialmente. Ao agir assim, estes sujeitos estão aprendendo
conteúdos que lhes permitam entender o conjunto de práticas sociais nas quais se inserem.
Ou seja, entre outros pontos relevantes, em uma atividade de jogo, pelo fato de os alunos se colocarem em uma
situação de estímulo da criatividade e da autonomia, o professor poderá avaliar algumas situações que em outras estra-
tégias não seriam tão facilmente verificadas.
O caráter lúdico tem sido um fator importante para o ensino e para a aprendizagem da Matemática. No caso de um
planejamento adequado das ações, os jogos podem auxiliar no desenvolvimento de técnicas e na formação de relações
sociais. Conduzir atividades desse tipo é importante, mas reprimir a criatividade com um conjunto exagerado de regras
(referentes aos jogos e ao comportamento dos alunos) não parece ser uma boa decisão. Os jogos apresentam mudanças
de rotina, momentos surpreendentes, criando expectativas. Também auxiliam o exercício da argumentação, da organi-
zação do pensamento, da formação de atitudes e da possibilidade de diminuição de bloqueios, do desenvolvimento de
processos emocionais, morais e sociais.
Nos livros de Matemática são trabalhadas situações de jogos com o objetivo de desenvolver, por meio do lúdico, o
convívio social, a curiosidade, bem como propiciar a aprendizagem dos conceitos matemáticos. Considera-se, também, o
jogo como uma maneira de aproximar o professor dos alunos.
Projetos
O trabalho com projetos geralmente é um fator motivacional para os alunos, quando encontram outros significados
para os assuntos que estão aprendendo em sala de aula.A possibilidade de os alunos vivenciarem na prática ao aplicar
os conhecimentos é muito importante para o seu aprendizado. Segundo Jacobini eWodewotzki (2006), citados porTomaz
(2008, p. 24),

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Matemática
[...] no desenvolvimento do projeto, o professor propõe situações-problema em sala de aula ligadas
ao cotidiano do aluno, buscando aprofundar reflexões proporcionadas pelas investigações reali-
zadas, tendo como horizonte utilizar o trabalho pedagógico com matemática para o crescimento
político e social do aluno.
Os projetos inseridos nos livros de Matemática buscam transpor os limites impostos pela sala de aula. A prática de
situações já estudadas será adicionada à descoberta de novos conhecimentos, propiciando integração com outras áreas
de conhecimento. Os alunos desenvolverão as ideias iniciais sobre como resolver o problema de pesquisa, elaborando
seus respectivos projetos, bem como o cronograma de atividades, a forma de organização e execução das ações, cabendo
ao professor a função de orientar as equipes, conduzindo-as aos objetivos propostos em cada projeto.
Um projeto surge como resposta a um problema concreto. Elaborá-lo e colocá-lo em prática é auxiliar na solução de
problemas, transformando ideias em ações.
Etapas básicas para a elaboração de projetos:
1. Definição do projeto: O que queremos fazer?
2. Plano de trabalho: Como vamos fazer?
3. Desenvolvimento do projeto: Como vamos avaliar, tirar conclusões e compartilhar resultados?
4. Orçamento: Que materiais serão necessários para realizar o projeto?
A elaboração e o desenvolvimento de projetos é um processo que incentiva a interação e a troca de ideias, pois, para
encontrar soluções, é necessário que todos os envolvidos participem.
O uso das tecnologias
Considerando que o ambiente escolar pode ser o lugar ideal para tornar a informática uma ferramenta no desenvol-
vimento da cidadania, Borba (2001, p. 17) preceitua que
[...] o acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte
de um projeto coletivo que prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por
essa mesma sociedade. É dessas duas formas que a informática na educação deve ser justificada:
alfabetização tecnológica e direito ao acesso.
As aulas de Matemática podem contribuir na formação de um indivíduo apto a utilizar as tecnologias colocadas à
sua disposição, desenvolvendo, assim, a habilidade de resolver problemas, de investigar, de compreender e de transferir
os conceitos para novas situações.
No contexto atual da nossa sociedade, o uso da calculadora em tarefas diárias vem sendo uma atividade comum e,
apesar dessa constatação, as escolas, em especial as aulas de Matemática, ainda resistem ao uso desse recurso.
De maneira planejada e consciente, o uso da calculadora não impede o desenvolvimento do raciocínio matemático,
ao contrário, pode auxiliar o cálculo de estimativas e o cálculo mental, além de ajudar a verificação dos resultados e de
permitir um ambiente de constante investigação. Também é um importante aliado no sentido de reduzir o tempo gasto
com cálculos. É dessa forma, também, que os PCNs mostram a importância do uso da calculadora:
Constata-se que ela é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo
ser um valioso instrumento de autoavaliação. A calculadora favorece a busca e percepção de re-
gularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-problema,
pois ela estimula a descoberta de estratégias e a investigação de hipóteses, uma vez que os alunos
ganham tempo na execução dos cálculos. (Brasil, 1998, p. 45).
Nos Livros Integrados de Matemática são apresentadas várias situações-problema aos alunos que podem ser resolvidas
com o auxílio desse instrumento. O objetivo é trabalhar outras estratégias além do algoritmo, incentivando a criatividade.
Além da calculadora, os livros de Matemática também indicam o uso de computadores com acesso à internet, para que
se realizem atividades de pesquisa ou atividades diferenciadas por meio do Portal do Sistema Positivo. O direcionamento
dessas atividades é inserido junto aos textos nas unidades de trabalho ou nas orientações metodológicas.

Quanto ao uso do computador em sala de aula, os PCNs de Matemática afirmam que é útil:
KK como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem;
KK como auxiliar no processo de construção do conhecimento;
KK como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções;
KK como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto,
banco de dados, etc. (Brasil, 1998, p. 44).
A relação entre a Matemática e a tecnologia fica mais próxima a cada dia. Desse modo, as aulas devem promover a
educação tecnológica, devido aos benefícios dessa área para a sociedade. O processo de ensino e aprendizagem também
tem se beneficiado dos recursos da tecnologia da informação, pois, além dos computadores/internet constituírem-se como
fonte de informação, diversos softwares auxiliam no desenvolvimento da autonomia. O uso de recursos tecnológicos
visuais favorece a visualização e a percepção, bem como representam dinamismo às aulas.
A relação com a prática docente
Os Parâmetros Curriculares Nacionais explicitam o papel da matemática no ensino fundamental
pela proposição de objetivos que evidenciam a importância do aluno valorizá-la como instrumen-
to para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula
o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para
resolver problemas. Destacam a importância de o aluno desenvolver atitudes de segurança com
relação à própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, de cultivar a autoestima,
de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluções. (Brasil, 1998, p. 15).
A escola é o local onde as ações educacionais ocorrem. Para que essas ações surtam o efeito desejado, é necessário
garantir que os envolvidos desfrutem de um ambiente adequado.
Atualmente, um dos maiores objetivos das escolas é promover um ensino de qualidade, e esse compromisso fica
ainda mais fundamentado se a expectativa dos envolvidos no processo educativo for considerada, transformando essas
escolas em espaços de formação e informação, de construção coletiva, que buscam permanentemente interação social e
desenvolvimento individual, exercitando a cidadania na construção de uma sociedade democrática.
Em relação a nós professores/educadores, antes mesmo do planejamento das ações, torna-se necessária uma reflexão
sobre a concepção atual de mundo, pois vivemos numa sociedade com muitos valores efêmeros. Precisamos compreender
a geração com a qual nos relacionamos dentro e fora da sala de aula, considerando o quadro de ensino de Matemática
no Brasil apresentado nos PCNs.
Na relação com os alunos, faz-se necessário ter conhecimento de seus históricos, de suas condições sociológicas,
psicológicas e culturais. Numa abordagem interacionista, busca-se uma relação dinâmica com o aluno, a partir do diálogo,
deixando evidente que o professor já não pratica mais uma espécie de poder autocrático, mas, sim, é o líder das ativida-
des na sala de aula. Sabe-se que “as interações sofrem influências dos sentimentos” (Cabral, 1987, p. 28) e cabe ao
professor de Matemática ser incentivador e estimulador, conduzindo a criação desse ambiente saudável.
É preciso acreditar que a Matemática pode e deve estar ao alcance de todos e que a garantia de sua aprendizagem
deve ser uma das metas prioritárias.
A matemática como instrumento social produzido pelo homem pode desempenhar um duplo
papel. De um lado, pode ser usada como instrumento de dominação ou de exploração por aque-
les que dela se apropriam. Do outro lado, ela pode também se constituir como um instrumento
de libertação das classes oprimidas ao viabilizar, pela apreensão deste instrumento, uma com
preensão mais crítica da realidade e, portanto, orientar mais de forma mais competente as ações
transformadoras da sociedade. (Piovesan, 2008, p. 2).
De acordo com Piovesan (2008), a solidariedade e a liberdade para a autonomia são vias promotoras de educação.
É importante que os alunos percebam a Matemática como uma linguagem de comunicação que permite interpretar e
transformar a realidade. Nessa abordagem, o professor é o mediador que, além de organizar o processo, promove o

Matemática
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desenvolvimento dos alunos num ambiente facilitador. Por meio da concepção e da metodologia adotadas neste livro, o
professor terá acesso a ferramentas que o auxiliarão a atingir o maior objetivo: fazer com que os alunos compreendam
as ideias e os conceitos.
Quanto aos alunos, sabemos que o processo de aprendizagem possui muitas variáveis, mas que, certamente, está
relacionado à forma como o ensino se dá, seja nos aspectos técnicos, seja no ambiente ou nas relações.Após refletirmos
sobre algumas contribuições da escola e dos professores, fica mais viável influenciar os alunos a concentrarem-se em
desenvolver as habilidades que os tornarão competentes, por meio da participação ativa nas análises, discussões, ex-
plorações, investigações, produções, resoluções de problemas, jogos, desafios, uso de tecnologias, projetos, entre outros
instrumentos propostos.
Almeja-se um processo solidário de formação no qual a cooperação entre os alunos é mais um recurso facilitador.Os acor-
dos e diálogos estabelecidos pelos próprios alunos auxiliam na comunicação.Ao explicitar seu próprio pensamento e procurar
compreender o outro, bem como discutir sobre as dúvidas e suposições de soluções, o processo de comunicação é favorecido.
Assim, por meio da interação entre escola, professores, alunos e comunidade escolar objetiva-se a construção da
cidadania, uma vez que a ciência de suas respectivas responsabilidades e formas de contribuição tendem a ajudar na
criação do ambiente saudável de troca, de ensino e de aprendizagem.
Tendo em vista que“o aprendizado humano pressupõe uma natureza social específica e um processo por meio do qual as
crianças penetram na vida intelectual daquelas que as cercam”(Vygotsky,1998,p.115),é importante que o professor crie,em
sala de aula,um ambiente que,além de proporcionar o trabalho coletivo,favoreça a troca de experiências,o questionamento,
a descoberta, a investigação e a criação, incentivando o desenvolvimento do aluno e promovendo o ensino da Matemática.
É fundamental explorar o trabalho coletivo, não apenas nos ganhos obtidos nas relações pessoais, que são inegáveis,
mas,também,usufruir do trabalho coletivo para a aquisição do conhecimento.O aluno aprende a resolver situações na troca
de experiências com o outro, seja ele professor ou colega, oportunizando a maturidade e a internalização dos conceitos.
Considerando o contexto e o desenvolvimento potencial da sociedade,ensinar Matemática hoje pode ser visto como um
desafio. Muitos pesquisadores voltados à Educação Matemática conceberam novas tendências para ensinar Matemática,
a fim de facilitar a compreensão dos conceitos pelos alunos.
Objetivos gerais
De acordo com a concepção de ensino e fundamentando-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (6º. ao 9º. ano –
regime de nove anos), os objetivos do ensino de Matemática no segundo ciclo do Ensino Fundamental são:
KK identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e
perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
KK fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações
entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combi-
natório, probabilístico);
KK selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente;
KK resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e pro-
cessos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, utilizando conceitos e procedimentos matemáticos,
bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
KK comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar
sobre suas conjecturas,fazendo uso da linguagem oral,estabelecendo relações e diferentes representações matemáticas;
KK estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de
outras áreas curriculares;
KK sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e
a perseverança na busca de soluções;

KK interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para problemas
propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de pensar
dos colegas e aprendendo com eles.
Conteúdos privilegiados
KK Sistema de numeração
decimal
KK Operações com números
naturais
KK Múltiplos e divisores de núme-
ros naturais
KK Operações com números
inteiros
KK Operação com números
racionais
KK Porcentagem
KK Expressões algébricas
KK Equações e inequações de 1º.
grau
KK Razão e proporção
KK Conjuntos numéricos
KK Cálculo algébrico
KK Fatoração e produtos notáveis
KK Sistemas de equações do 1º.
grau
KK Radicais
KK Equação do 2º. grau
KK Funções
KK Função do 1º. e 2º. grau
KK Noções de Educação
Financeira
KK Contagem e possibilidades
KK Figuras geométricas espaciais
KK Figuras geométricas planas
KK Ângulos
KK Simetria
KK Retas
KK Plano cartesiano
KK Polígonos
KK Triângulos
KK Quadriláteros
KK Circunferência e círculo
KK Teorema de Tales
KK Semelhança de triângulos
KK Transformações geométricas
KK Relações métricas
KK Relações trigonométricas
KK Medidas de comprimento
KK Medidas de superfície
KK Medidas de capacidade
KK Medidas de massa
KK Noções de estatística
Organização didática
Os livros do Sistema Positivo de Ensino foram elaborados para servir de apoio didático ao processo de ensino e
aprendizagem na área de Matemática no segundo ciclo do Ensino Fundamental. Por meio dele, os professores poderão
nortear e organizar suas ações de modo a promover uma aprendizagem significativa.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais deram suporte para que os livros buscassem um ensino de Matemática pautado
em situações contextualizadas, promovendo um ambiente facilitador por meio da interação, buscando a participação
ativa dos alunos.
Para facilitar a organização das ações, foram criadas algumas seções didáticas e ícones, a fim de tornar o material
mais dinâmico e eficaz, auxiliando o processo de ensino e aprendizagem. Por se tratar de uma obra integrada, algumas
seções são comuns a todas as disciplinas e outras específicas desta. Elas não obedecem a uma ordem e não são usadas
necessariamente em todas as unidades. São elas:
Seções
Atividades que podem ou não ser registradas no livro didático. Por meio delas, é possível
sondar os conhecimentos prévios, provocar reflexões e, até mesmo, descobrir de que forma
os alunos elaboram e expõem suas hipóteses.

Matemática
11
Atividades de investigação e estudo, com a finalidade de descobrir fatos e/ou princípios
relativos ao conhecimento matemático. Baseiam-se na análise de dados contidos em textos
que circulam socialmente.
Atividades ou textos que possibilitam estabelecer relações com outras áreas de conhecimento.
Textos,mapas,infográficos,reportagens,etc.que permitem desenvolver atividades reflexivas,
envolvendo situações relacionadas ao dia a dia.
Momento que remete à história da Matemática ou a fatos históricos relacionados aos
conceitos estudados.
Atividades apresentadas ao final de cada tópico, permitindo aos alunos verificarem se os
conceitos foram assimilados.
Ao final de cada unidade, apresentam-se atividades abrangentes em relação aos conteú-
dos abordados, as quais permitem aos alunos sanarem possíveis dúvidas e verificarem se
houve apreensão dos conceitos estudados. Nesta seção, também serão propostas questões
da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), da Olimpíada Brasileira de Matemática das
Escolas Públicas (OBMEP), do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), do Sistema de
Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP), além de outras ava-
liações institucionais.
Textos, imagens, gráficos, etc. cujo objetivo é ampliar o conteúdo trabalhado.
Questões ou situações-problema que exigem um grau maior de reflexão cuja intenção é
provocar e estimular o raciocínio.
Seção que estabelece relações entre os conceitos estudados e outros pertinentes à própria
Matemática.

Além dessas seções, o livro integrado apresenta alguns ícones, que são:
Exploração de conceitos de Matemática por meio de jogos.
Momento em que serão trabalhados conceitos relacionados a finanças e que promovam
uma relação saudável da criança com o dinheiro e seu uso.
Também é utilizado o recurso Hyperlink, usado para a apresentação de alguns aspectos referentes ao conteúdo abor-
dado nas unidades, como glossário, curiosidades, biografias e informações adicionais.
Hyperlink
Apresentação de alguns aspectos referentes ao conteúdo abordado nas unidades,como glossário,
curiosidades, biografias e informações adicionais
Avaliação
Considerando que as situações exploradas e as atividades propostas em sala de aula darão origem a um processo ava-
liativo, é importante saber que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental:
Na atual perspectiva de um currículo de matemática para o Ensino Fundamental, novas funções
são indicadas à avaliação, na qual se destacam uma dimensão social e uma dimensão pedagógica.
No primeiro caso, atribui-se à avaliação a função de fornecer aos estudantes informações sobre o
desenvolvimento das capacidades e competências que são exigidas socialmente, bem como auxiliar
os professores a identificar quais objetivos foram atingidos, com vistas a reconhecer a capacidade
matemática dos alunos, para que possam inserir-se no mercado de trabalho e participar da vida
sociocultural. Nosegundocaso,cabeàavaliaçãoforneceraosprofessoresasinformaçõessobrecomo
está ocorrendo à aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios desenvolvidos, as
crenças, hábitos e valores incorporados, o domínio de certas estratégias, para que ele possa pro-
por revisões e reelaborações de conceitos e procedimentos ainda parcialmente consolidados.
(BRASIL, 1998, p. 54).
Para sinalização das atividades que devem ser realizadas em equipe.
Indica atividade a ser resolvida no caderno.
Indica atividades que devem ser resolvidas com o auxílio da calculadora.

Matemática
13
Ao compreender a complexidade da avaliação escolar, é necessário analisá-la como um processo contínuo, global e
cumulativo. Encontram-se muitos problemas nos processos avaliativos pela falta de continuidade e pela crença de que
avaliar é uma fotografia que registra com exatidão apenas um momento.A avaliação deve ser permanente e empregada
durante todo o ano letivo e globalmente relacionada aos aspectos pedagógicos e sociais. Isso pode significar que, em
determinados momentos, o aluno não apresenta um rendimento pedagógico satisfatório, mas desenvolve-se socialmente,
e essa evolução deve ser compreendida pelo professor e canalizada para os aspectos pedagógicos. O processo cumulativo
nos direciona a considerar todas as ações efetuadas pelos envolvidos e a retomada de conteúdo é uma ação obrigatória
numa perspectiva espiral de reflexão e ação.
Ao planejar as ações avaliativas, o educador deve ser flexível e assumir uma postura de observador, pois nem sempre
o que se planejou há algum tempo deve ser empregado hoje, ou o que se planeja hoje poderá ser totalmente empregado
daqui a algum tempo. Contudo, todas as ações precisam ser idealizadas e cuidadosamente planejadas, com objetivos bem
definidos e escolhas precisas dos instrumentos e das estratégias a serem empregadas, considerando a forma particular de
cada indivíduo, bem como o modo que cada um aprende. De acordo com Oliveira e Pacheco (2003, p. 128),
[...] a grande questão relacionada aos instrumentos de avaliação da aprendizagem relaciona-se,
por um lado, aos processos reais de aprendizagem – que se dá em rede e não disciplinarmente
– e, por outro lado, também em função desse enredamento, ao fato de as informações das aulas
serem incorporadas de modo diferenciado pelos alunos. A dificuldade criada a partir desses dois
elementos, associada a pouca intimidade que temos com os objetivos que pretendemos atingir
ao trabalhar um determinado conteúdo, vem dando origem ao que consideramos os principais
problemas da avaliação: a dificuldade de compreensão dos processos reais de aprendizagem e a
inadequação do instrumento ao objetivo.
Ao avaliar, o educador deve diferenciar conceitos, procedimentos e atitudes, escolhendo, coletivamente, para cada
um desses aspectos, o melhor instrumento.A escola precisa responder à sociedade pela qualidade do trabalho educativo
oferecido, pois, sem isso, torna-se ainda mais difícil atingir o nível de expectativa desejado.
Sabemos que a avaliação ocorre em diversos momentos e, segundo Santos (1997, p. 6-8), o professor deve se utilizar
de diversos instrumentos de avaliação, entre os quais se destacam provas e testes, resolução de problemas rotineiros e
não rotineiros, utilizar-se de questões abertas, mapas conceituais, entrevistas estruturadas, semiestruturadas e livres, se-
minários, portfólios, diálogos matemáticos, entre outros.A utilização desses instrumentos possibilita ao aluno demonstrar
as habilidades, tornando-os mais criativos e autônomos enquanto aprendizes de Matemática.Assim, objetiva-se minimizar
a ênfase na avaliação como etapa terminal, criando uma prática pedagógica que contribua para que os alunos sejam
incentivados a raciocinar de forma mais independente, percebendo a Matemática de maneira mais abrangente, utilizando
adequadamente o pensamento matemático para questionar,argumentar,formular hipóteses,validar e apresentar diferentes
soluções para situações desafiadoras dentro e fora do contexto escolar.
Qualquer modalidade de avaliação tem por objetivo fornecer informações sobre o processo de ensino e aprendizagem,
entre os quais o diagnóstico das razões que originaram as possíveis dificuldades, subsídios para a (re)orientação da prá-
tica do professor e informações confiáveis para a (re)orientação das escolhas e estratégias de estudos dos alunos. Essas
informações podem favorecer o diálogo na busca de melhores resultados “na medida em que favorece a continuidade e a
progressiva autonomia, assumindo como essencial o papel ativo do aluno nessa busca do aprender” (Buriasco; Soares,
2008, p. 112).
Assim, acreditamos ainda que, além do caráter diagnóstico, a avaliação possui um caráter emancipador, no qual os
alunos devem ser incentivados e encorajados, bem como informados de todo o processo avaliativo. Outro fator relevante
é a aproximação da escola com as famílias, conscientizando-as de sua importância nos frutos gerados no processo,
unindo-se aos professores e à escola.
Tornou-se importante conceber a avaliação como um ato acolhedor em que o foco esteja no desenvolvimento dos
alunos.Deve-se cuidar para que a avaliação não se traduza numa prática com consequências danosas ao aluno,apontando
para uma contradição à função que lhe foi atribuída inicialmente (Sameshima, 2008, p. 109). Esse ato justo e acolhedor
tende a se tornar ainda mais produtivo se for inserido num contexto favorável, tanto em relação ao ambiente quanto à
atitude do educador e do aluno, a respeito dos objetivos de avaliar e ser avaliado.

Programação anual
1o
. volume
(9 semanas –
45 aulas)
1. Números naturais
• Sistemas de numeração
• Sequência dos números naturais
• Ideias associadas às operações fundamentais
• Expressões numéricas
2. Do espaço para o plano
• Formas geométricas planas e espaciais
• Poliedros e corpos redondos
• Circulo e circunferência
3. Múltiplos e divisores • Números primos e números compostos
2o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
4. Frações
• Ideias relacionadas às frações
• Número misto
• Frações equivalentes
• Comparação entre frações
• Relação entre frações e números decimais
• Comparação entre números decimais
5. Operações com frações
• Adição de frações
• Subtração de frações
• Multiplicação de frações
• Divisão de frações
6. Geometria: ideias iniciais
• Ponto, reta e plano
• Retas paralelas e retas concorrentes
• Segmento de reta e semirreta
• Ângulos
3o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
7. Operações com números
decimais
• Adição e subtração de números decimais
• Multiplicação de números decimais
• Divisão de números decimais.
8. Polígonos
• Conceito de polígono
• Polígonos regulares
• Nomenclatura dos polígonos
9. Potenciação
• Potenciação
• Expressões numéricas
• Raiz quadrada exata
10. Medidas de comprimento
• O significado de medir
• Instrumentos utilizados para medir
• Medida de comprimento
• Unidade-padrão de medida de comprimento
• Perímetro
6º. ano

Matemática
15
1o
. volume
(9 semanas –
45 aulas)
1. Números inteiros
• Números positivos e negativos
• Números opostos ou simétricos
• Comparação entre números inteiros
2. adição e sutração de
números inteiros
• Adição de números inteiros
• Subtração de números inteiros
3. Ângulos
• Bissetriz de um ângulo
• Ângulos complementares e suplementares
• Ângulos opostos pelo vértice
4. Outras operações com
números inteiros
• Multiplicação com números inteiros
• Divisão com números inteiros
• Potenciação com números inteiros
• Raiz quadrada exata de números inteiros
2o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
5. O conjunto dos números
racionais
• Números racionais
• Representação decimal de um número racional
• A reta numérica
• Números racionais opostos ou simétricos
• Adição e subtração de números racionais
• Multiplicação e divisão de números racionais
6. Generalizações e expressões
algébricas
• Linguagem algébrica
• Simplificação de expressões algébricas
3o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
7. Ponto de equilíbrio
• Igualdades
• Princípios de equivalência
• Equação
• Equações equivalentes
• Resolvendo problemas usando equações
• As desigualdades
• Média aritmética
8. Medindo a superfície
• Área de uma superfície
• Cálculo da área de alguns polígonos
9. Potência e raiz de números
racionais
• Potência com expoente negativo
• Notação científica
• Cálculo da raiz quadrada exata
7º. ano
4o
. volume
(7 semanas –
35 aulas)
11. Medidas de superfície
• Área de superfície
• Unidade de área
• Área de polígonos
12. Porcentagem
• Porcentagem e gráficos
• Representação fracionária e decimal da porcentagem
13. Simetria
• Simetria em relação a um eixo
• Simetria de reflexão

1o
. volume
(9 semanas –
45 aulas)
1. Conjuntos numéricos
• Retomando os conjuntos dos números naturais, inteiros
e racionais
• Construindo o significado de número irracional
• Número irracional
• Um número irracional especial: π
• Números reais
2. Potenciação
• Retomando o conceito de potência e raiz
• Propriedades das potências
3. Cálculo algébrico
• Monômios semelhantes
• Redução de termos semelhantes
• Adição, subtração e multiplicação de polinômios
• Divisão de polinômio por monômio
2o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
4. Grandezas e medidas
• Ângulos complementares e suplementares
• Ângulos opostos pelo vértice e bissetriz
• Graus, minutos e segundos
5. Produtos notáveis
• Quadrado da soma de dois termos
• Quadrado da diferença de dois termos
• Produto da soma pela diferença de dois termos
6. Retas paralelas
• Retas paralelas, concorrentes e coincidentes
• Retas paralelas intersectadas por uma transversal
7. Fatoração
• Fator comum
• Agrupamento
• Diferença de dois quadrados
• Trinômio quadrado perfeito
8º. ano
4o
. volume
(7 semanas –
35 aulas)
10. Razão e proporção
• O conceito de razão
• Razões especiais
• A ideia de proporcionalidade
• Grandezas diretamente proporcionais
• Grandezas inversamente proporcionais
• Grandezas não proporcionais
• Regra de três em proporcionalidade direta e inversa
11. Explorando medidas
• Retomando o significado de medir
• O conceito de volume
• Volume de prismas
• O conceito de capacidade
• Relação entre volume e capacidade
• O conceito de massa
12. Sólidos geométricos
• Poliedros
• Corpos redondos
• Os poliedros de Platão
• Explorando a fórmula de Euler

Matemática
17
3o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
8. Polígonos
• Elementos de um polígono
• Diagonais de um polígono
• Soma das medidas dos ângulos de um polígono
qualquer
9. Triângulos
• Condição de existência de um triângulo
• Classificação de triângulos
• Altura, mediana e bissetriz de um triângulo
• Congruência de triângulos
10. Expressões algébricas
• Frações algébricas
• Adição, subtração e simplificação de frações algébricas
• Multiplicação e divisão de frações algébricas
• Equações fracionárias
11. Quadriláteros
• Conceito e elementos do quadrilátero
• Classificação e nomenclatura dos quadriláteros
• Propriedades dos quadriláteros
4o
. volume
(7 semanas –
35 aulas)
12. Plano cartesiano
• Par ordenado
• Localização de pontos no plano
• Representação de pontos no plano
13. Sistemas de equações do
1o
. grau
• Equação do 1o
. grau com duas ineógnitas
• Sistemas de equações
14. Circunferência e círculo
• Elementos da circunferência
• Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
• Posições relativas entre duas circunferências
• Ângulos na circunferência
• Área do círculo

9º. ano
1o
. volume
(9 semanas –
45 aulas)
1. Analisando dados • Medida de tendência central
2. Semelhança
• Formas semelhantes
• Ampliando e reduzindo figuras
• Semelhança de triângulos
3. Teorema de Tales
• Segmentos proporcionais
• Feixe de retas paralelas e o Teorema de Tales
4. Radicais
• Retomando o conceito de potência e raiz
• Propriedades dos radicais
• Simplificação de radicais
• Operações com radicais
• Racionalização de denominadores
2o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
5. Transformações geométricas
• Translação
• Reflexão
• Rotação
6. Equação do 2o
. grau
• Ampliando o conceito de equação
• Solução de uma equação do 2º. grau
• Soma e produto das raízes
• Equações biquadradas
• Equações irracionais
7. Relações métricas
• Teorema de Pitágoras
• Relações métricas no triângulo retângulo
3o
. volume
(8 semanas –
40 aulas)
8. Relações trigonométricas
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo
• Relações trigonométricas em um triângulo qualquer
9. Funções
• O conceito de função
• Lei de formação de uma função
• Gráfico de funções
• Função afim
4o
. volume
(7 semanas –
35 aulas)
10. Função quadrática
• Função quadrática
• Gráfico de uma função quadrática
• Valor de máximo e valor de mínimo da função
quadrática
11. Polígonos, círculo e
circunferência
• Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência
• Áreas das figuras planas
12. Contagem e possibilidades
• Princípio multiplicativo
• Probabilidade

Matemática
19
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