INTRODUÇÃO E TEORIA A CONJUNTOS MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO, CONJUNTOS E ELEMENTOS

1. RACIOCÍNIO LÓGICO
Aula 1 - Introdução a Teoria de Conjuntos

2. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conteúdo Programático desta aula
 Conjuntos e Elementos
 Representações
 Subconjuntos
 Pertinência e Inclusão
 Tipos de Conjunto
 Conjuntos Numéricos
 Conjunto das Partes
D ASS

3. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Teoria de Conjuntos
Conceitos Primitivos (não-definidos):
A idéia de conjunto é a mesma de coleção.
Conjuntos
Elementos

4. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Elementos e Conjuntos
• Uma coleção de revistas é um conjunto.

5. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Elementos e Conjuntos
• Uma coleção de revistas é um conjunto;
cada revista é um elemento desse conjunto.

6. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Elementos e Conjuntos
• Um time de futebol é um conjunto;

7. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Elementos e Conjuntos
• Um time de futebol é um conjunto; cada
jogador do time é um elemento desse
conjunto.

8. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
1. Tabular
Representação de um Conjunto
 forma de tabela
 entre chaves { } e separados por vírgula.
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
É usual representarmos os conjuntos por letras
maiúsculas A, B, C, D, ... .

9. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
2. Diagramas de Venn
Representação de um Conjunto
Elementos de um conjunto são representados por pontos
interiores a uma região plana, limitada por uma linha
fechada simples.
A B
• 1
• 2
• 3
• 4
• a
• e
• i
• o
• u

10. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Representação de um Conjunto
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um
conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade
p, então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal
que x tem a propriedade p”.
3. Propriedade

11. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Representação através de uma propriedade
(a) A = {x | x é país da
Europa}
o conjunto A é formado por
todos os países da
Europa

12. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
(b) B = {x | x é número natural par}
o conjunto B é formado por todos os números naturais
pares
Representação através de uma propriedade

13. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Relação de Pertinência
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
u é elemento do conjunto A e
não é elemento do conjunto B.
u  A (lê-se “u pertence a A”) e
u  B (lê-se “u não pertence a B”)

14. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Relação de Pertinencia
De um modo geral, para relacionar elemento e
conjunto, só se pode usar os símbolos:
 (pertence) e  (não pertence)

15. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Tipos de Conjuntos
Conjunto unitário é aquele formado por um único
elemento.
Exemplos:
(a) C = {5}
(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
1. Conjunto unitário

16. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Tipos de Conjuntos
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento
algum. Representa-se o vazio por  ou { }.
Exemplos:
D = {x | x é número e x . 0 = 5} = 
E = {x | x é computador sem memória} = { }
2. Conjunto vazio

17. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Tipos de Conjuntos
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim”
da contagem de seus elementos.
Exemplos:
B = {1, 2, 3, 4}
D = {x | x é brasileiro}
H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
3. Conjunto finito

18. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Tipos de Conjuntos
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus
elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da
contagem.
Exemplos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
A = { x  N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
4. Conjunto infinito

19. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjuntos Iguais
• Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os
mesmos elementos.
temos A = B.
os conjuntos possuem os mesmos elementos, não
importando a ordem em que os elementos foram
escritos.
• Se A não é igual a B, escrevemos A  B (lê-se “A é
diferente de B”).
A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e}
B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a},

20. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunto Universo
• Conjunto universo de um estudo é um conjunto
ao qual pertencem todos os elementos desse
estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos
os elementos com os quais se deseja trabalhar.

21. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunto Universo
Quais são os números menores que 5? A resposta irá
depender do conjunto universo considerado.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números
naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números
naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}.

22. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Subconjunto
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é
subconjunto de B se, e somente se, todo
elemento de A pertence a B.
Notação: A  B (lê-se “A está contido em B”),
ou ainda, por B  A (lê-se “B contém A”).
A  B  x(x  A → x  B)

23. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Subconjuntos
Conjunto B, formado por todos os brasileiros.
Com os elementos de B
podemos formar
o conjunto A, dos homens brasileiros,
e
o conjunto C, das mulheres brasileiras.
Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.

24. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Subconjuntos
{2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5}  {9, 6}
{2, 8}  {2, 8}

25. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Pertinência e Inclusão
1 – A relação de inclusão () é usada
exclusivamente para relacionar um subconjunto
B com um conjunto A que contém B: B  A.
2 – A relação de pertinência () é usada
exclusivamente para relacionar um elemento x
com um conjunto A que possui x como
elemento: x  A.

26. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Pertinência e Inclusão
1 – A relação de inclusão () é usada
exclusivamente para relacionar um subconjunto
B com um conjunto A que contém B: B  A.
2 – A relação de pertinência () é usada
exclusivamente para relacionar um elemento x
com um conjunto A que possui x como
elemento: x  A.

27. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjuntos e Subconjuntos
A
B

28. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
De um dado conjunto cujos elementos classificamos como sons,
podemos criar ao menos dois subconjuntos: o conjunto dos
sons agradáveis e o conjunto dos sons desagradáveis.
Conjuntos e Subconjuntos

29. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
• Brasil: conjunto de 26 estados e o distrito federal;
• Cada estado é um conjunto de municípios; cada
município é um conjunto de distritos; e cada distrito é
um conjunto de bairros.
Brasil
Estado
Município
Distritos
Bairro
Conjuntos e Subconjuntos

30. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
• Na classificação zoológica, usam-se de
10 a 20 conjuntos representando
níveis hierárquicos.
• No caso dos mamíferos a que pertence
o homem, a classificação adota 16
conjuntos.

31. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Química: o conjunto dos elementos é separado em
subconjuntos, metais, semimetais, não metais e gases nobres.

32. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjuntos Numéricos
QUI
R
Z
q
Z
p
q
p
x
Q
Z
N









*)
,
/
{
,...}
2
,
1
,
0
,
1
,
2
{...,
,...}
3
,
2
,
1
,
0
{

33. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Reta Real
• Os números reais podem ser associados biunivocamente
com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que nós
chamaremos de reta real ou eixo real.

34. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Intervalos Reais: Subconjuntos
Podemos estabelecer subconjuntos de números reais de
extrema importância e que serão chamados de intervalos
reais
ALVO

35. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exercício
Identifique as afirmativas verdadeiras e as falsas
(a) 3 (3,)
(b) 3 [3, )
(c) 3 (4, )
(d) 3 (-,3)
(e) 3 (-,3]
(f ) 3 (-,2)
(g) 3 (-,4)
(h) 3 (-,)

36. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Propriedades
1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto:   A,  A
Exemplos:
  {1, 2, 3}
  
2 – Todo conjunto A está contido no próprio A,
isto é, todo conjunto é subconjunto de si
mesmo:
A  A,  A

37. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Não é Subconjunto
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B,
escreve-se:
A  B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B  A ( lê-se
“B não contém A”)
Exemplo:
(a) {a, b, c}  {a, b, d}

38. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjuntos cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos:
P = {, {a}, {b}, {a, b}}
Nesse caso,  é elemento de P e, portanto, escrevemos
  P e não   P.
{a}  P,
{b}  P,
{a, b}  P.
Alguns subconjuntos de P:
{}  P; {{a}}  P; {{a, b}}  P; {{a}, {b}}  P.

39. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A:
com nenhum elemento: 
com um elemento: {1}, {2}
com dois elementos: {1,2}
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao
conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.

40. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

41. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Número de Elementos de P(A)
• A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
P(A) tem 4 (22) elementos, isto é, A tem 4
subconjuntos.
• B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n},
{m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (23)
subconjuntos.
• Se um conjunto A tem n elementos, o números
de elementos de P(A) é 2n.
ALVO

42. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
(a) {3}{3,4} (l) 0N*
(b) 0{0,1,2} (n) 2/3Q
(c){5,6}{0,1,2,5,6} (o) 4/5Z
(d) 0 (p) 
(e) {a} (q) 2{x/xé par}
(f) {1}{{1},} (r) 1,5Q
(g) {{2,3},{5,4}} (s) {x/xé impar}{3,5}
(h) 0 (t) {}
(i) {{1},{2}} (u) {}
(j) {0,2} (v) {0}
(k) N*N
Verdadeiro ou Falso?

43. TEORIA DE CONJUNTOS – AULA1
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exercícios
Quais os enunciados verdadeiros?
(a) 1{1}
(b) {1}{1}
(c) {{1}}{{1}}
(d) 1{1,{1}}
(e) {1}{1,{1}}
(f ) {{1}}{1,{1}}
RES