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Teoria Elementar dos Conjuntos

Este cap´ıtulo visa oferecer uma breve revis˜o sobre teoria elementar dos conjuntos. Al´m de conceitos
                                            a                                          e
b´sicos importantes em matem´tica, a sua imprtˆncia reside no fato da ´lgebra dos conjuntos tratar-se
 a                              a                a                      a
de um exemplo de ´lgebra booleana. Como referˆncia bibliogr´fica, recomenda-se o livro [Filho, 1980].
                    a                            e              a

Conjuntos e elementos

      Conjuntos s˜o cole¸˜es de objetos, denominados elementos1
                 a      co

Exemplos de conjuntos

      O conjunto de todos os n´meros inteiros, o conjunto de todos os alunos de MAC0329 do
                                u
      semestre corrente, o conjunto de todos os seres humanos vivos atualmente, o conjunto de
      todos os n´meros reais maiores que zero e menores que 1, o conjunto de todos os jogadores
                u
      da atual sele¸˜o brasileira de futebol, o conjunto de todas as letras do alfabeto romano,
                   ca
      etc.


Nota¸˜o
    ca

      Conjuntos ser˜o representados por letras mai´sculas: A, B, C, S, etc. Elementos de um
                    a                              u
      conjunto ser˜o representados por letras min´sculas: a, b, x, y, etc.
                  a                              u
      Em geral, podemos especificar um conjunto descrevendo os seus elementos via uma condi¸˜o,
                                                                                          ca
      ou ent˜o enumerando os seus elementos. Por exemplo, o conjunto A de todos os n´meros
             a                                                                        u
      inteiros pares pode ser expresso por:

                                            A = {x ∈ Z | x ´ par}
                                                           e

      e o conjunto B das cores da bandeira brasileira pode ser expresso por:

                                    B = {verde, amarelo, azul, branco}

Conjuntos universo e vazio

      Dois conjuntos especiais s˜o o conjunto universo, isto ´, o conjunto de todos os objetos
                                a                             e
      em quest˜o, e o conjunto vazio, isto ´, o conjunto que n˜o cont´m nenhum elemento. Os
              a                            e                  a      e
      conjuntos universo e vazio s˜o denotados, respectivamente, por U e ∅.
                                  a
  1
    N˜o ´ objetivo fazermos uma defini¸˜o formal de conjunto. Basta utilizaremos a no¸˜o intuitiva que temos sobre
     a e                             ca                                             ca
conjuntos.


                                                       1
Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)                                  2


Conjunto unit´rio
             a

     Em ´lgebra de conjuntos, os objetos de interesse s˜o os conjuntos e n˜o os elementos
         a                                               a                  a
     que pertencem a eles. Assim, as opera¸˜es devem ser definidas sobre ou entre conjuntos,
                                           co
     mas nunca sobre elementos isolados. Para tratar elementos, devemos considerar conjuntos
     unit´rios. Por exemplo, se a ´ um elemento de U ent˜o {a} denota o conjunto unit´rio
         a                        e                      a                              a
     que cont´m apenas um unico elemento, o elemento a.
              e             ´


Rela¸˜o elemento × conjunto
    ca

     Se um elemento x pertence a um conjunto A, escrevemos x ∈ A. Diremos, alternativa-
     mente, que x ´ membro de A. Se x n˜o pertence ao conjunto A, escrevemos x ∈ A.
                  e                    a


Rela¸˜o conjunto × conjunto
    ca

     Um conjunto A ´ igual a um conjunto B, denotado A = B, se eles contˆm exatamente os
                   e                                                      e
     mesmos elementos. Se n˜o forem iguais, eles s˜o diferentes, e denotado por A = B.
                           a                      a
     Um conjunto A est´ contido num conjunto B se todos os elementos de A pertencem
                        a
     tamb´m ao conjunto B. Escrevemos A ⊆ B e dizemos tamb´m que A ´ um subconjunto
          e                                                e        e
     de B. Se, al´m disso, B possui pelo menos um elemento que n˜o pertence a A, ent˜o
                  e                                             a                   a
     dizemos que A est´ propriamente contido em B, ou que A ´ um subconjunto pr´prio
                      a                                       e                  o
     de B, e denotamos A ⊂ B.



Propriedades da rela¸˜o ⊆
                    ca
A rela¸˜o de inclus˜o de conjuntos ⊆ obedece `s seguintes propriedades. Para quaisquer X, Y e Z,
      ca           a                         a

 I1. (reflexiva) X ⊆ X

 I2. (transitiva) X ⊆ Y e Y ⊆ Z =⇒ X ⊆ Z

 I3. (anti-sim´trica) X ⊆ Y e Y ⊆ X =⇒ X = Y
              e

 I4. (a) ∅ ⊆ X
      (b) X ⊆ U


Conjunto potˆncia (power set) ou conjunto das partes de um conjunto
            e

     Dado um conjunto A, o conjunto potˆncia de A ´ denotado por P(A) e definido por
                                         e            e
     P(A) = {X ⊆ U : X ⊆ A}, ou seja, P(A) ´ o conjunto de todos os subconjuntos de A.
                                           e



     ıcio: Seja A = {a, b, c}. Liste todos os elementos de P(A).
Exerc´

     ıcio: Mostre que se A cont´m n elementos ent˜o P(A) cont´m 2n elementos.
Exerc´                         e                 a           e
3                                              Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)




Complemento, uni˜o e interse¸˜o
                a           ca

     O complemento de um conjunto X, denotado X c , consiste de todos os elementos em U
     que n˜o est˜o em X, ou seja, X c = {x ∈ U | x ∈ X}.
          a     a
     Conjuntos podem ser combinados para gerar outros conjuntos. Para isso, podemos consi-
     derar duas regras (opera¸˜es) que definem formas pelas quais conjuntos podem ser combi-
                             co
     nados: a uni˜o e a interse¸˜o.
                  a             ca
     Dados dois conjuntos X e Y quaisquer, a uni˜o de X e Y ´ denotada X ∪ Y e definida
                                                 a            e
     como sendo o conjunto de elementos que pertencem ou a X, ou a Y ou a ambos, ou seja,
     X ∪ Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y }. A interse¸˜o de X e Y ´ denotada X ∩ Y e
                                                      ca              e
     definida como sendo o conjunto de elementos que pertencem tanto a X como a Y , ou seja,
     X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y }.
     Se X ∩ Y = ∅ (conjunto vazio) ent˜o dizemos que X e Y s˜o disjuntos.
                                      a                     a
     Exemplos:
     {1, 2, 3} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6}          {1, 2, 3} ∩ {2, 4, 6} = {2}
     {a} ∪ {b} = {a, b}                               {a} ∩ {b} = ∅

Diagramas de Venn

     Os diagramas de Venn s˜o uteis para refor¸ar a no¸˜o intuitiva sobre conjuntos, principal-
                             a ´                c       ca
     mente para analisar rela¸˜es entre os conjuntos e tamb´m seus membros. Para demonstrar
                             co                            e
     propriedades dos conjuntos, uma prova estritamente alg´brica seria necess´ria. No en-
                                                              e                  a
     tanto, para entender uma propriedade e, mais do que isso, para nos convencermos de sua
     validade, os diagramas de Venn s˜o bastante uteis.
                                      a            ´
     No diagrama de Venn o conjunto universo ´ representado por um retˆngulo, mais pre-
                                                  e                          a
     cisamente, pelos pontos interiores ao retˆngulo. Qualquer conjunto ´ desenhado como
                                               a                            e
     sendo uma curva fechada, inteiramente contida no retˆngulo. Pontos interiores ` curva
                                                             a                        a
     correspondem aos elementos do conjunto. No exemplo da figura 1, a uni˜o e interse¸˜o de
                                                                              a         ca
     dois conjuntos gen´ricos est˜o representadas pelas regi˜es hachuradas das figuras 1a e 1b,
                       e         a                          o
     respectivamente. O complemento de um conjunto ´ representado no diagrama da figura 1c.
                                                       e
                                                                            111111111111111111111
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               X                                X                           111111111111111111111
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                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000
                                                                            111111111111111111111
                                                                            000000000000000000000

               (a) X ∪ Y                        (b) X ∩ Y                             (c) X c

Figura 1: Diagramas de Venn (a) Uni˜o de dois conjuntos. (b) Interse¸˜o de dois conjuntos. (c)
                                   a                                ca
Complemento de um conjunto.



Exerc´ıcio: Seja x um elemento no conjunto universo U e X e Y dois subconjuntos quaisquer de U .
Mostre que x ´ membro de apenas um dos conjuntos X ∩ Y , X ∩ Y c , X c ∩ Y e X c ∩ Y c .
             e
Dica: Desenhe o diagrama de Venn e argumente.
Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)                           4


Leis fundamentais
Dados conjuntos X, Y, Z quaisquer, utilize diagramas de Venn para convencer-se da validade das
seguintes leis.

 L1. Comutativa

      (a) X ∩ Y = Y ∩ X
      (b) X ∪ Y = Y ∪ X

 L2. Associativa

      (a) X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z
      (b) X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z

 L3. Distributiva

      (a) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
      (b) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)

 L4. Idempotˆncia
            e

      (a) X ∩ X = X
      (b) X ∪ X = X

 L5. Absor¸˜o
          ca

      (a) X ∩ (X ∪ Y ) = X
      (b) X ∪ (X ∩ Y ) = X

 L6. Complementa¸˜o
                ca

      (a) X ∩ X c = ∅
      (b) X ∪ X c = U

 L7. Complementa¸˜o dupla
                ca

          (X c )c = X

 L8. De Morgan

      (a) (X ∩ Y )c = X c ∪ Y c
      (b) (X ∪ Y )c = X c ∩ Y c

 L9. Opera¸˜es com ∅ e U
          co

      (a) (Elemento neutro) U ∩ X = X e ∅ ∪ X = X
      (b) ∅ ∩ X = ∅ e U ∪ X = U
      (c) ∅c = U e U c = ∅
5                                                  Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)




As igualdades das leis acima podem ser entendidas com o aux´ de diagramas de Venn. Para provar
                                                               ılio
as igualdades podemos mostrar que o conjunto do lado esquerdo est´ contido no do lado direito e
                                                                      a
vice-versa (propriedade de anti-simetria de ⊆), ou ainda via transforma¸˜es l´gicas (ver exemplo mais
                                                                       co o
adiante).

Note que X ∪ Y = (X c ∩ Y c )c . Isto implica que o operador ∪ poderia ser dispensado. Maiores detalhes
sobre isso ser˜o vistos oportunamente. Enquanto isso, vale a pena mencionarmos que embora n˜o
              a                                                                                      a
necess´rio, o uso dos trˆs operadores ´ conveniente.
      a                 e               e
Algumas leis s˜o semelhantes aos da ´lgebra dos n´meros. No entanto, na ´lgebra dos conjuntos n˜o
              a                      a           u                       a                     a
existem, como na ´lgebra usual, express˜es do tipo 2X ou X 2 e algumas leis como as de n´mero 3b,
                   a                    o                                               u
4 e 5 n˜o s˜o v´lidas na ´lgebra dos n´meros.
       a a a             a            u
Observe tamb´m que a maior parte das leis aparece aos pares. Iremos ver mais adiante que isso est´
              e                                                                                  a
ligado ao princ´
               ıpio da dualidade.

     ıcio: Prove a validade das leis L3, L5 e L8 acima.
Exerc´

Como exemplo, vamos mostrar a validade da lei L3(a), isto ´, X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
                                                             e
Primeiramente utilizaremos o diagrama de Venn para nos convencermos da validade. O conjunto
X ∩(Y ∪Z) corresponde ` regi˜o hachurada pelas linhas verticais e pelas linhas horizontais na figura 2a.
                       a     a
Esta coincide com a regi˜o hachurada no diagrama mais ` direita da figura 2b, que representa o
                         a                                 a
conjunto (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).

                           Y
            X
                                                              Y                        Y                        Y
                                               X                         X                       X



                       Z
                                                          Z                        Z                        Z
                Y ∪Z
                X                              X      Y           X ∩Y   X     Z       X ∩Z          (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
                X ∩ (Y ∪ Z)
                                                                             (b)
                (a)

                               Figura 2: (a) X ∩ (Y ∪ Z) e (b) (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).



Para provar a igualdade, devemos mostrar que X ∩(Y ∪Z) ⊆ (X ∩Y )∪(X ∩Z) e que (X ∩Y )∪(X ∩Z) ⊆
X ∩ (Y ∪ Z).
Prova: Considere x ∈ X ∩ (Y ∪ Z). Ent˜o x ∈ X. Al´m disso, x ∈ Y ∪ Z. Logo, temos que ou x ∈ Y
                                        a           e
e/ou x ∈ Z. Se x ∈ Y , ent˜o x ∈ X ∩ Y . Se x ∈ Z, ent˜o x ∈ X ∩ Z. Logo, x ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
                          a                           a
Por outro lado, considere y ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Ent˜o, ou y ∈ (X ∩ Y ) e/ou y ∈ (X ∩ Z). Se
                                                        a
y ∈ (X ∩ Y ), ent˜o y ∈ X e y ∈ Y . Se y ∈ Y ent˜o y ∈ Y ∪ Z e portanto, y ∈ X ∩ (Y ∪ Z). De forma
                  a                             a
similar, se y ∈ (X ∩ Z), ent˜o y ∈ X e y ∈ Z, de modo que y ∈ Y ∪ Z e portanto, y ∈ X ∩ (Y ∪ Z).
                            a


Podemos utilizar o mesmo racioc´ acima, por´m expressando os conjuntos explicitamente, conforme
                               ınio        e
a seguir:
                       X ∩ (Y ∪ Z) = {x | x ∈ X e x ∈ Y ∪ Z}
Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)                                  6


                                  = {x | x ∈ X e (x ∈ Y ou x ∈ Z)}
                                  = {x | (x ∈ X e x ∈ Y ) ou (x ∈ X e x ∈ Z)}
                                  = {x | x ∈ X ∩ Y ou x ∈ X ∩ Z}
                                  = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)


Exerc´
     ıcio: A seguintes generaliza¸˜es das leis de De Morgan s˜o v´lidas ? Explique sua resposta.
                                 co                          a a

                            (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An )c = Ac ∩ Ac ∩ · · · ∩ Ac
                                                        1    2            n

                            (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An )c = Ac ∪ Ac ∪ · · · ∪ Ac
                                                        1    2            n



Exerc´ıcio: Desenhe a rela¸˜o X ⊆ Y num diagrama de Venn. Quais igualdades envolvendo os
                          ca
conjuntos X e Y s˜o verdadeiras quando X ⊆ Y ? Liste pelo menos trˆs.
                 a                                                e

Outras propriedades
Para quaisquer conjuntos X, Y e Z, as seguintes propriedades s˜o verdadeiras:
                                                              a

 P1. (a) X ∩ Y ⊆ X e X ∩ Y ⊆ Y
      (b) X ⊆ X ∪ Y e Y ⊆ X ∪ Y

 P2. (a) X ∩ Y = X sse X ⊆ Y
      (b) X ∪ Y = Y sse X ⊆ Y

 P3. (a) X = Y sse (X ⊆ Y e Y ⊆ X)
      (b) X = Y sse X c = Y c


     ıcio: Mostre que A ∩ (A ∪ B) = A.
Exerc´
Por P1(b), sabemos que A ⊆ A ∪ B. Mas ent˜o, por P2(a) A ⊆ A ∪ B implica que A ∩ (A ∪ B) = A.
                                         a

Exerc´ ıcio: Dados dois conjuntos X e Y a diferen¸a deles ´ definida por X  Y = {x ∈ U : x ∈
                                                   c       e
X e x ∈ Y } e a diferen¸a sim´trica entre eles ´ definida por X∆Y = (X  Y ) ∪ (Y  X). Expresse
                       c      e                e
estes conjuntos em termos das opera¸˜es de complementa¸˜o, uni˜o e interse¸˜o (deduza a partir do
                                   co                   ca    a           ca
diagrama de Venn).
Obs.: Na presen¸a dos operadores ∪, ∩ e
                c                          c,   n˜o h´ necessidade dos operadores  e ∆. No entanto,
                                                 a a
estes operadores podem ser pr´ticos.
                             a

Simplifica¸˜o de express˜es
         ca            o

     As opera¸˜es ∪, ∩ e c podem ser utilizadas para combinar conjuntos de v´rias formas.
               co                                                            a
     A combina¸˜o pode ser representada por uma express˜o que descreve como os conjuntos
                 ca                                      a
     foram combinados. Assim como a combina¸˜o de conjuntos resulta em um conjunto, uma
                                              ca
     express˜o que descreve uma combina¸˜o de conjuntos representa um conjunto (aquele que
             a                          ca
     resulta ap´s as combina¸˜es serem executadas).
                o           co
7                                              Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)




      Como vimos no caso de algumas leis, existem diferentes formas para se expressar um
      mesmo conjunto. Por exemplo, vimos que X = X ∪ X. Ou ainda, (X ∪ Y )c = X c ∩
      Y c . Assim sendo, surge a possibilidade de estudarmos diferentes formas de express˜o de
                                                                                         a
      conjuntos. Express˜es podem ser expandidas, fatoradas ou simplificadas aplicando-se as
                          o
      leis fundamentais.

Exemplo: Mostramos a simplifica¸˜o da express˜o [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )] ∩ (Ac ∪ B).
                              ca            a

                    [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )] ∩ (Ac ∪ B) = [A ∩ (B ∪ B c )] ∩ (Ac ∪ B)
                                                        = (A ∩ U ) ∩ (Ac ∪ B)
                                                        = A ∩ (Ac ∪ B)
                                                        = (A ∩ Ac ) ∪ (A ∩ B)
                                                        = ∅ ∪ (A ∩ B)
                                                        = A∩B

Exerc´ ıcio: Simplifique as seguintes express˜es:
                                            o
a) (A ∩ B c )c ∪ (B ∩ C)
b) [(A ∪ B) ∩ (A ∪ B c )] ∩ (A ∪ B)
c) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B c ∩ C c )
d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B)

Exerc´ıcio: Verifique se as seguintes igualdades / afirma¸˜es s˜o v´lidas. Justifique (pode ser via
                                                       co    a a
diagrama de Venn) ou mostre um contra-exemplo
a) (A ∩ B) ∪ B = B
b) (A ∩ C) ∩ (B ∪ C) = A ∩ C
c) Se A ∪ B = A ∪ C ent˜o B = C
                          a
d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C
e) A ∪ B = (Ac ∩ B c )c
f) (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B) ∩ (Ac ∪ B c ) = Ac ∪ B c
g) A ∩ (B  C) = (A ∩ B)  (A ∩ C)
h) A ∩ B = A  (A  B)
i) X  X = ∅
j) X  ∅ = X
k) ∅  X = ∅
l) (X  Y )  Z = X  (Y ∪ Z)
m) (X  Y )  Z = (X  Z)  Y
n) X  Y = X ∩ Y c
o) (A  B)c = B ∪ Ac
p) (A  B) ∩ C = (A ∩ C)  B
q) X∆X = ∅
r) X∆Y = Y ∆X
s) X∆∅ = X
t) X∆Y = (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y )
u) X ∩ (Y ∆Z) = (X ∩ Y )∆(X ∩ Z)
v) X ∪ (Y ∆Z) = (X ∪ Y )∆(X ∪ Z)
x) Se A ⊆ B e A ⊆ C ent˜o A ⊆ B ∩ C
                           a
Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)                             8


Nos seguintes exemplos ilustramos como podemos utilizar a ´lgebra dos conjuntos para analisar
                                                          a
afirma¸˜es ou conjunto de afirma¸˜es.
     co                        co

Exemplo:

     Dado que S´crates ´ um homem e que todos os homens s˜o mortais, deseja-se mostrar que
                o       e                                a
     S´crates ´ mortal.
      o       e
     Vamos usar a propriedade de que X ⊆ Y e Y ⊆ Z implica X ⊆ Z.
     Sejam
     U : conjunto de todos os seres vivos
     X: conjunto de todos os seres vivos humanos
     Y : conjunto de todos os mortais
     S: conjunto unit´rio cujo unico elemento ´ S´crates
                      a        ´              e o
     Utilizando esta nota¸˜o, temos que S ⊆ X (S´crates ´ um homem) e que X ⊆ Y (todos
                         ca                      o       e
     os homens s˜o mortais). Logo, S ⊆ Y (ou seja, S´crates ´ mortal).
                 a                                  o       e


Exemplo:

     Considere as quatro afirma¸˜es a seguir:
                              co
     a) Um homem infeliz n˜o ´ dono do seu pr´prio nariz.
                           a e               o
     b) Todos os homens casados tˆm responsabilidades
                                 e
     c) Todo homem ou ´ casado ou ´ dono do seu pr´prio nariz (ou ambos).
                        e          e               o
     d) Nenhum homem com responsabilidades pode pescar todos os dias.
     Sejam
     U : conjunto de todos os homens
     H: conjunto dos homens felizes
     B: conjunto dos homens donos dos pr´prios narizes
                                         o
     M : conjunto dos homens casados
     R: conjunto dos homens com responsabilidades
     F : conjunto dos homens que pescam todo dia
     Que tipo de conclus˜es podemos derivar a partir das afirma¸˜es acima?
                        o                                     co
     a) H c ⊆ B c ⇐⇒ B ⊆ H
     b) M ⊆ R ⇐⇒ Rc ⊆ M c
     c) M ∪ B = U ⇐⇒ M c ⊆ B (ou B c ⊆ M )
     d) R ∩ F = ∅ ⇐⇒ F ⊆ Rc
     Combinando (d) e (b) temos que F ⊆ Rc ⊆ M c (Todo homem que pesca todos os dias n˜o
                                                                                      a
     s˜o casados).
      a
     Combinando F ⊆ M c e (c) temos que F ⊆ B (Todo homem que pesca todos os dias ´
                                                                                  e
     dono do seu pr´prio nariz)
                   o
     Combinando F ⊆ B e (a) temos que F ⊆ H (Todo homem que pesca todos os dias ´ feliz).
                                                                                e


Exemplo: Trˆs colecionadores ingleses, A, B e C, de obras liter´rias antigas tˆm interesse pelas
              e                                                a              e
seguintes obras:
9                                                 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)




     A obras sobre pol´
                      ıtica em inglˆs e fic¸˜o em l´
                                   e      ca      ıngua estrangeira.
     B obras sobre pol´
                      ıtica, exceto fic¸˜o em inglˆs, e obras em inglˆs que n˜o sejam fic¸˜o
                                      ca         e                  e       a          ca
     C obras que n˜o sejam fic¸˜o, e que sejam em inglˆs ou sobre pol´
                  a          ca                      e              ıtica em l´
                                                                              ıngua estrangeira.

Pergunta-se quais s˜o as obras pelas quais mais de um colecionador tˆm interesse?
                   a                                                e
Defina os conjuntos
A:   todas as obras pelos quais A se interessa
B:   todas as obras pelos quais B se interessa
C:   todas as obras pelos quais C se interessa
E:   todas as obras em inglˆs
                           e
F:   todas as obras que s˜o fic¸˜o
                         a     ca
P:   todas as obras sobre pol´
                             ıtica
Podemos ent˜o expressar o conjunto Z de obras pelos quais pelo menos dois colecionadores possuem
             a
interesse por:
                               Z = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)                                (1)

Analogamente, podemos expressar os conjuntos A, B e C em termos dos conjuntos E, F e P da
seguinte forma:

                                      A = (P ∩ E) ∪ (F ∩ E c )
                                     B = (P ∩ (F ∩ E)c ) ∪ (E ∩ F c )
                                      C = F c ∩ (E ∪ (P ∩ E c ))

Simplificando Z, ap´s substitu´
                  o          ırmos A, B e C, temos que

                                           Z = (E ∩ F c ) ∪ (P ∩ E c )                                         (2)

ou seja, que h´ pelo menos dois interessados em obras n˜o-fic¸˜o em inglˆs e obras sobre pol´
              a                                        a    ca         e                   ıtica em
l´
 ıngua estrangeira.

Vimos at´ aqui os principais conceitos relacionados a conjuntos. Em particular, note que conjuntos
         e
juntamente com as opera¸˜es de uni˜o, interse¸˜o e complementa¸˜o podem ser vistos como um
                           co        a          ca                 ca
sistema alg´brico, onde express˜es podem ser escritas para representar uma s´rie de opera¸˜es sobre
           e                   o                                            e            co
conjuntos e as mesmas podem ser, por exemplo, simplificadas aplicando-se manipula¸˜es alg´bricas
                                                                                     co     e
baseadas nas leis b´sicas.
                   a

Produto cartesiano

       Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. O produto cartesiano de A e B, denotado A × B,
                                    a
       ´ o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que o primeiro elemento x pertence a
       e
       A e o segundo elemento y pertence a B.

                                      A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}

       Generalizando, dados n conjuntos A1 , A2 ,. . ., An , o produto cartesiano destes n conjuntos
       ´ dado por
       e

              A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) : a1 ∈ A1 e a2 ∈ A2 e . . . e an ∈ An }
Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)                               10


     Quando Ai = Aj para quaisquer i e j, denota-se o produto cartesiano acima tamb´m por
                                                                                   e
     An .

     ıcio: Seja B = {0, 1}. Liste todos os elementos do produto cartesiano B × B × B.
Exerc´

Rela¸˜es bin´rias e fun¸˜es
    co      a          co

     Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. Uma rela¸˜o bin´ria R sobre A e B ´ um subcon-
                                  a                 ca     a                  e
     junto de A × B, isto ´, R ⊆ A × B.
                          e
     Dizemos que y ´ correspondente de x pela rela¸˜o R se (x, y) ∈ R, e denotamos xRy (lˆ-se
                   e                              ca                                     e
     x-erre-y).
     Se R ⊆ A × A, dizemos que R ´ uma rela¸˜o bin´ria sobre A. Se R ⊆ A1 × A2 × · · · An ,
                                   e       ca     a
     ent˜o R ´ uma rela¸˜o n-´ria.
        a    e         ca    a

     Uma rela¸˜o bin´ria R sobre A ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia se para quaisquer trˆs
              ca      a               e          ca        e                         e
     elementos a, b e c de A vale as propriedades:

        • (reflexiva) aRa
        • (sim´trica) se aRb ent˜o bRa
              e                 a
        • (transitiva) se aRb e bRc ent˜o aRc
                                       a


     Uma rela¸˜o bin´ria f ⊆ A × B ´ uma fun¸˜o de A em B se para todo x ∈ A existe
             ca      a               e           ca
     um unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ f . A fun¸˜o ´ denotada f : A → B e em vez de xf y
         ´                                     ca e
     denotamos f (x) = y. O elemento y = f (a) ∈ B ´ a imagem de a ∈ A.
                                                    e

Uma rela¸˜o f que associa um elemento b ∈ B para cada elemento do produto direto A1 × A2 × · · · An
        ca
´ denominada uma fun¸˜o de n vari´veis.
e                     ca          a

     ıcio: Explique o que s˜o fun¸˜es sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
Exerc´                     a     co

Opera¸˜es
     co

     Uma fun¸˜o de A em A ´ muitas vezes denominada uma opera¸˜o un´ria. Por exemplo,
             ca            e                                      ca      a
     o complemento ·c ´ uma opera¸˜o un´ria. Uma fun¸˜o de duas vari´veis de A × A em A ´
                      e          ca    a             ca               a                 e
     muitas vezes denominada uma opera¸˜o bin´ria. Por exemplo, na ´lgebra elementar a
                                        ca      a                        a
     opera¸˜o + em 1 + 3 = 4 ´ uma fun¸˜o que associa ao par (1, 3) o elemento 4.
          ca                 e        ca
Referˆncias Bibliogr´ficas
     e              a

[Filho, 1980] Filho, E. A. (1980). Teoria Elementar dos Conjuntos. Livraria Nobel S.A., S˜o Paulo.
                                                                                         a




´
Ultima revis˜o em 27 de fevereiro de 2007.
            a

                                                11

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  • 1. Teoria Elementar dos Conjuntos Este cap´ıtulo visa oferecer uma breve revis˜o sobre teoria elementar dos conjuntos. Al´m de conceitos a e b´sicos importantes em matem´tica, a sua imprtˆncia reside no fato da ´lgebra dos conjuntos tratar-se a a a a de um exemplo de ´lgebra booleana. Como referˆncia bibliogr´fica, recomenda-se o livro [Filho, 1980]. a e a Conjuntos e elementos Conjuntos s˜o cole¸˜es de objetos, denominados elementos1 a co Exemplos de conjuntos O conjunto de todos os n´meros inteiros, o conjunto de todos os alunos de MAC0329 do u semestre corrente, o conjunto de todos os seres humanos vivos atualmente, o conjunto de todos os n´meros reais maiores que zero e menores que 1, o conjunto de todos os jogadores u da atual sele¸˜o brasileira de futebol, o conjunto de todas as letras do alfabeto romano, ca etc. Nota¸˜o ca Conjuntos ser˜o representados por letras mai´sculas: A, B, C, S, etc. Elementos de um a u conjunto ser˜o representados por letras min´sculas: a, b, x, y, etc. a u Em geral, podemos especificar um conjunto descrevendo os seus elementos via uma condi¸˜o, ca ou ent˜o enumerando os seus elementos. Por exemplo, o conjunto A de todos os n´meros a u inteiros pares pode ser expresso por: A = {x ∈ Z | x ´ par} e e o conjunto B das cores da bandeira brasileira pode ser expresso por: B = {verde, amarelo, azul, branco} Conjuntos universo e vazio Dois conjuntos especiais s˜o o conjunto universo, isto ´, o conjunto de todos os objetos a e em quest˜o, e o conjunto vazio, isto ´, o conjunto que n˜o cont´m nenhum elemento. Os a e a e conjuntos universo e vazio s˜o denotados, respectivamente, por U e ∅. a 1 N˜o ´ objetivo fazermos uma defini¸˜o formal de conjunto. Basta utilizaremos a no¸˜o intuitiva que temos sobre a e ca ca conjuntos. 1
  • 2. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 2 Conjunto unit´rio a Em ´lgebra de conjuntos, os objetos de interesse s˜o os conjuntos e n˜o os elementos a a a que pertencem a eles. Assim, as opera¸˜es devem ser definidas sobre ou entre conjuntos, co mas nunca sobre elementos isolados. Para tratar elementos, devemos considerar conjuntos unit´rios. Por exemplo, se a ´ um elemento de U ent˜o {a} denota o conjunto unit´rio a e a a que cont´m apenas um unico elemento, o elemento a. e ´ Rela¸˜o elemento × conjunto ca Se um elemento x pertence a um conjunto A, escrevemos x ∈ A. Diremos, alternativa- mente, que x ´ membro de A. Se x n˜o pertence ao conjunto A, escrevemos x ∈ A. e a Rela¸˜o conjunto × conjunto ca Um conjunto A ´ igual a um conjunto B, denotado A = B, se eles contˆm exatamente os e e mesmos elementos. Se n˜o forem iguais, eles s˜o diferentes, e denotado por A = B. a a Um conjunto A est´ contido num conjunto B se todos os elementos de A pertencem a tamb´m ao conjunto B. Escrevemos A ⊆ B e dizemos tamb´m que A ´ um subconjunto e e e de B. Se, al´m disso, B possui pelo menos um elemento que n˜o pertence a A, ent˜o e a a dizemos que A est´ propriamente contido em B, ou que A ´ um subconjunto pr´prio a e o de B, e denotamos A ⊂ B. Propriedades da rela¸˜o ⊆ ca A rela¸˜o de inclus˜o de conjuntos ⊆ obedece `s seguintes propriedades. Para quaisquer X, Y e Z, ca a a I1. (reflexiva) X ⊆ X I2. (transitiva) X ⊆ Y e Y ⊆ Z =⇒ X ⊆ Z I3. (anti-sim´trica) X ⊆ Y e Y ⊆ X =⇒ X = Y e I4. (a) ∅ ⊆ X (b) X ⊆ U Conjunto potˆncia (power set) ou conjunto das partes de um conjunto e Dado um conjunto A, o conjunto potˆncia de A ´ denotado por P(A) e definido por e e P(A) = {X ⊆ U : X ⊆ A}, ou seja, P(A) ´ o conjunto de todos os subconjuntos de A. e ıcio: Seja A = {a, b, c}. Liste todos os elementos de P(A). Exerc´ ıcio: Mostre que se A cont´m n elementos ent˜o P(A) cont´m 2n elementos. Exerc´ e a e
  • 3. 3 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) Complemento, uni˜o e interse¸˜o a ca O complemento de um conjunto X, denotado X c , consiste de todos os elementos em U que n˜o est˜o em X, ou seja, X c = {x ∈ U | x ∈ X}. a a Conjuntos podem ser combinados para gerar outros conjuntos. Para isso, podemos consi- derar duas regras (opera¸˜es) que definem formas pelas quais conjuntos podem ser combi- co nados: a uni˜o e a interse¸˜o. a ca Dados dois conjuntos X e Y quaisquer, a uni˜o de X e Y ´ denotada X ∪ Y e definida a e como sendo o conjunto de elementos que pertencem ou a X, ou a Y ou a ambos, ou seja, X ∪ Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y }. A interse¸˜o de X e Y ´ denotada X ∩ Y e ca e definida como sendo o conjunto de elementos que pertencem tanto a X como a Y , ou seja, X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y }. Se X ∩ Y = ∅ (conjunto vazio) ent˜o dizemos que X e Y s˜o disjuntos. a a Exemplos: {1, 2, 3} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} {1, 2, 3} ∩ {2, 4, 6} = {2} {a} ∪ {b} = {a, b} {a} ∩ {b} = ∅ Diagramas de Venn Os diagramas de Venn s˜o uteis para refor¸ar a no¸˜o intuitiva sobre conjuntos, principal- a ´ c ca mente para analisar rela¸˜es entre os conjuntos e tamb´m seus membros. Para demonstrar co e propriedades dos conjuntos, uma prova estritamente alg´brica seria necess´ria. No en- e a tanto, para entender uma propriedade e, mais do que isso, para nos convencermos de sua validade, os diagramas de Venn s˜o bastante uteis. a ´ No diagrama de Venn o conjunto universo ´ representado por um retˆngulo, mais pre- e a cisamente, pelos pontos interiores ao retˆngulo. Qualquer conjunto ´ desenhado como a e sendo uma curva fechada, inteiramente contida no retˆngulo. Pontos interiores ` curva a a correspondem aos elementos do conjunto. No exemplo da figura 1, a uni˜o e interse¸˜o de a ca dois conjuntos gen´ricos est˜o representadas pelas regi˜es hachuradas das figuras 1a e 1b, e a o respectivamente. O complemento de um conjunto ´ representado no diagrama da figura 1c. e 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 X X 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 Y Y 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 X 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 (a) X ∪ Y (b) X ∩ Y (c) X c Figura 1: Diagramas de Venn (a) Uni˜o de dois conjuntos. (b) Interse¸˜o de dois conjuntos. (c) a ca Complemento de um conjunto. Exerc´ıcio: Seja x um elemento no conjunto universo U e X e Y dois subconjuntos quaisquer de U . Mostre que x ´ membro de apenas um dos conjuntos X ∩ Y , X ∩ Y c , X c ∩ Y e X c ∩ Y c . e Dica: Desenhe o diagrama de Venn e argumente.
  • 4. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 4 Leis fundamentais Dados conjuntos X, Y, Z quaisquer, utilize diagramas de Venn para convencer-se da validade das seguintes leis. L1. Comutativa (a) X ∩ Y = Y ∩ X (b) X ∪ Y = Y ∪ X L2. Associativa (a) X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z (b) X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z L3. Distributiva (a) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) (b) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) L4. Idempotˆncia e (a) X ∩ X = X (b) X ∪ X = X L5. Absor¸˜o ca (a) X ∩ (X ∪ Y ) = X (b) X ∪ (X ∩ Y ) = X L6. Complementa¸˜o ca (a) X ∩ X c = ∅ (b) X ∪ X c = U L7. Complementa¸˜o dupla ca (X c )c = X L8. De Morgan (a) (X ∩ Y )c = X c ∪ Y c (b) (X ∪ Y )c = X c ∩ Y c L9. Opera¸˜es com ∅ e U co (a) (Elemento neutro) U ∩ X = X e ∅ ∪ X = X (b) ∅ ∩ X = ∅ e U ∪ X = U (c) ∅c = U e U c = ∅
  • 5. 5 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) As igualdades das leis acima podem ser entendidas com o aux´ de diagramas de Venn. Para provar ılio as igualdades podemos mostrar que o conjunto do lado esquerdo est´ contido no do lado direito e a vice-versa (propriedade de anti-simetria de ⊆), ou ainda via transforma¸˜es l´gicas (ver exemplo mais co o adiante). Note que X ∪ Y = (X c ∩ Y c )c . Isto implica que o operador ∪ poderia ser dispensado. Maiores detalhes sobre isso ser˜o vistos oportunamente. Enquanto isso, vale a pena mencionarmos que embora n˜o a a necess´rio, o uso dos trˆs operadores ´ conveniente. a e e Algumas leis s˜o semelhantes aos da ´lgebra dos n´meros. No entanto, na ´lgebra dos conjuntos n˜o a a u a a existem, como na ´lgebra usual, express˜es do tipo 2X ou X 2 e algumas leis como as de n´mero 3b, a o u 4 e 5 n˜o s˜o v´lidas na ´lgebra dos n´meros. a a a a u Observe tamb´m que a maior parte das leis aparece aos pares. Iremos ver mais adiante que isso est´ e a ligado ao princ´ ıpio da dualidade. ıcio: Prove a validade das leis L3, L5 e L8 acima. Exerc´ Como exemplo, vamos mostrar a validade da lei L3(a), isto ´, X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). e Primeiramente utilizaremos o diagrama de Venn para nos convencermos da validade. O conjunto X ∩(Y ∪Z) corresponde ` regi˜o hachurada pelas linhas verticais e pelas linhas horizontais na figura 2a. a a Esta coincide com a regi˜o hachurada no diagrama mais ` direita da figura 2b, que representa o a a conjunto (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Y X Y Y Y X X X Z Z Z Z Y ∪Z X X Y X ∩Y X Z X ∩Z (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) X ∩ (Y ∪ Z) (b) (a) Figura 2: (a) X ∩ (Y ∪ Z) e (b) (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Para provar a igualdade, devemos mostrar que X ∩(Y ∪Z) ⊆ (X ∩Y )∪(X ∩Z) e que (X ∩Y )∪(X ∩Z) ⊆ X ∩ (Y ∪ Z). Prova: Considere x ∈ X ∩ (Y ∪ Z). Ent˜o x ∈ X. Al´m disso, x ∈ Y ∪ Z. Logo, temos que ou x ∈ Y a e e/ou x ∈ Z. Se x ∈ Y , ent˜o x ∈ X ∩ Y . Se x ∈ Z, ent˜o x ∈ X ∩ Z. Logo, x ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). a a Por outro lado, considere y ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Ent˜o, ou y ∈ (X ∩ Y ) e/ou y ∈ (X ∩ Z). Se a y ∈ (X ∩ Y ), ent˜o y ∈ X e y ∈ Y . Se y ∈ Y ent˜o y ∈ Y ∪ Z e portanto, y ∈ X ∩ (Y ∪ Z). De forma a a similar, se y ∈ (X ∩ Z), ent˜o y ∈ X e y ∈ Z, de modo que y ∈ Y ∪ Z e portanto, y ∈ X ∩ (Y ∪ Z). a Podemos utilizar o mesmo racioc´ acima, por´m expressando os conjuntos explicitamente, conforme ınio e a seguir: X ∩ (Y ∪ Z) = {x | x ∈ X e x ∈ Y ∪ Z}
  • 6. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 6 = {x | x ∈ X e (x ∈ Y ou x ∈ Z)} = {x | (x ∈ X e x ∈ Y ) ou (x ∈ X e x ∈ Z)} = {x | x ∈ X ∩ Y ou x ∈ X ∩ Z} = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) Exerc´ ıcio: A seguintes generaliza¸˜es das leis de De Morgan s˜o v´lidas ? Explique sua resposta. co a a (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An )c = Ac ∩ Ac ∩ · · · ∩ Ac 1 2 n (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An )c = Ac ∪ Ac ∪ · · · ∪ Ac 1 2 n Exerc´ıcio: Desenhe a rela¸˜o X ⊆ Y num diagrama de Venn. Quais igualdades envolvendo os ca conjuntos X e Y s˜o verdadeiras quando X ⊆ Y ? Liste pelo menos trˆs. a e Outras propriedades Para quaisquer conjuntos X, Y e Z, as seguintes propriedades s˜o verdadeiras: a P1. (a) X ∩ Y ⊆ X e X ∩ Y ⊆ Y (b) X ⊆ X ∪ Y e Y ⊆ X ∪ Y P2. (a) X ∩ Y = X sse X ⊆ Y (b) X ∪ Y = Y sse X ⊆ Y P3. (a) X = Y sse (X ⊆ Y e Y ⊆ X) (b) X = Y sse X c = Y c ıcio: Mostre que A ∩ (A ∪ B) = A. Exerc´ Por P1(b), sabemos que A ⊆ A ∪ B. Mas ent˜o, por P2(a) A ⊆ A ∪ B implica que A ∩ (A ∪ B) = A. a Exerc´ ıcio: Dados dois conjuntos X e Y a diferen¸a deles ´ definida por X Y = {x ∈ U : x ∈ c e X e x ∈ Y } e a diferen¸a sim´trica entre eles ´ definida por X∆Y = (X Y ) ∪ (Y X). Expresse c e e estes conjuntos em termos das opera¸˜es de complementa¸˜o, uni˜o e interse¸˜o (deduza a partir do co ca a ca diagrama de Venn). Obs.: Na presen¸a dos operadores ∪, ∩ e c c, n˜o h´ necessidade dos operadores e ∆. No entanto, a a estes operadores podem ser pr´ticos. a Simplifica¸˜o de express˜es ca o As opera¸˜es ∪, ∩ e c podem ser utilizadas para combinar conjuntos de v´rias formas. co a A combina¸˜o pode ser representada por uma express˜o que descreve como os conjuntos ca a foram combinados. Assim como a combina¸˜o de conjuntos resulta em um conjunto, uma ca express˜o que descreve uma combina¸˜o de conjuntos representa um conjunto (aquele que a ca resulta ap´s as combina¸˜es serem executadas). o co
  • 7. 7 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) Como vimos no caso de algumas leis, existem diferentes formas para se expressar um mesmo conjunto. Por exemplo, vimos que X = X ∪ X. Ou ainda, (X ∪ Y )c = X c ∩ Y c . Assim sendo, surge a possibilidade de estudarmos diferentes formas de express˜o de a conjuntos. Express˜es podem ser expandidas, fatoradas ou simplificadas aplicando-se as o leis fundamentais. Exemplo: Mostramos a simplifica¸˜o da express˜o [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )] ∩ (Ac ∪ B). ca a [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )] ∩ (Ac ∪ B) = [A ∩ (B ∪ B c )] ∩ (Ac ∪ B) = (A ∩ U ) ∩ (Ac ∪ B) = A ∩ (Ac ∪ B) = (A ∩ Ac ) ∪ (A ∩ B) = ∅ ∪ (A ∩ B) = A∩B Exerc´ ıcio: Simplifique as seguintes express˜es: o a) (A ∩ B c )c ∪ (B ∩ C) b) [(A ∪ B) ∩ (A ∪ B c )] ∩ (A ∪ B) c) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B c ∩ C c ) d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B) Exerc´ıcio: Verifique se as seguintes igualdades / afirma¸˜es s˜o v´lidas. Justifique (pode ser via co a a diagrama de Venn) ou mostre um contra-exemplo a) (A ∩ B) ∪ B = B b) (A ∩ C) ∩ (B ∪ C) = A ∩ C c) Se A ∪ B = A ∪ C ent˜o B = C a d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C e) A ∪ B = (Ac ∩ B c )c f) (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B) ∩ (Ac ∪ B c ) = Ac ∪ B c g) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) h) A ∩ B = A (A B) i) X X = ∅ j) X ∅ = X k) ∅ X = ∅ l) (X Y ) Z = X (Y ∪ Z) m) (X Y ) Z = (X Z) Y n) X Y = X ∩ Y c o) (A B)c = B ∪ Ac p) (A B) ∩ C = (A ∩ C) B q) X∆X = ∅ r) X∆Y = Y ∆X s) X∆∅ = X t) X∆Y = (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ) u) X ∩ (Y ∆Z) = (X ∩ Y )∆(X ∩ Z) v) X ∪ (Y ∆Z) = (X ∪ Y )∆(X ∪ Z) x) Se A ⊆ B e A ⊆ C ent˜o A ⊆ B ∩ C a
  • 8. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 8 Nos seguintes exemplos ilustramos como podemos utilizar a ´lgebra dos conjuntos para analisar a afirma¸˜es ou conjunto de afirma¸˜es. co co Exemplo: Dado que S´crates ´ um homem e que todos os homens s˜o mortais, deseja-se mostrar que o e a S´crates ´ mortal. o e Vamos usar a propriedade de que X ⊆ Y e Y ⊆ Z implica X ⊆ Z. Sejam U : conjunto de todos os seres vivos X: conjunto de todos os seres vivos humanos Y : conjunto de todos os mortais S: conjunto unit´rio cujo unico elemento ´ S´crates a ´ e o Utilizando esta nota¸˜o, temos que S ⊆ X (S´crates ´ um homem) e que X ⊆ Y (todos ca o e os homens s˜o mortais). Logo, S ⊆ Y (ou seja, S´crates ´ mortal). a o e Exemplo: Considere as quatro afirma¸˜es a seguir: co a) Um homem infeliz n˜o ´ dono do seu pr´prio nariz. a e o b) Todos os homens casados tˆm responsabilidades e c) Todo homem ou ´ casado ou ´ dono do seu pr´prio nariz (ou ambos). e e o d) Nenhum homem com responsabilidades pode pescar todos os dias. Sejam U : conjunto de todos os homens H: conjunto dos homens felizes B: conjunto dos homens donos dos pr´prios narizes o M : conjunto dos homens casados R: conjunto dos homens com responsabilidades F : conjunto dos homens que pescam todo dia Que tipo de conclus˜es podemos derivar a partir das afirma¸˜es acima? o co a) H c ⊆ B c ⇐⇒ B ⊆ H b) M ⊆ R ⇐⇒ Rc ⊆ M c c) M ∪ B = U ⇐⇒ M c ⊆ B (ou B c ⊆ M ) d) R ∩ F = ∅ ⇐⇒ F ⊆ Rc Combinando (d) e (b) temos que F ⊆ Rc ⊆ M c (Todo homem que pesca todos os dias n˜o a s˜o casados). a Combinando F ⊆ M c e (c) temos que F ⊆ B (Todo homem que pesca todos os dias ´ e dono do seu pr´prio nariz) o Combinando F ⊆ B e (a) temos que F ⊆ H (Todo homem que pesca todos os dias ´ feliz). e Exemplo: Trˆs colecionadores ingleses, A, B e C, de obras liter´rias antigas tˆm interesse pelas e a e seguintes obras:
  • 9. 9 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) A obras sobre pol´ ıtica em inglˆs e fic¸˜o em l´ e ca ıngua estrangeira. B obras sobre pol´ ıtica, exceto fic¸˜o em inglˆs, e obras em inglˆs que n˜o sejam fic¸˜o ca e e a ca C obras que n˜o sejam fic¸˜o, e que sejam em inglˆs ou sobre pol´ a ca e ıtica em l´ ıngua estrangeira. Pergunta-se quais s˜o as obras pelas quais mais de um colecionador tˆm interesse? a e Defina os conjuntos A: todas as obras pelos quais A se interessa B: todas as obras pelos quais B se interessa C: todas as obras pelos quais C se interessa E: todas as obras em inglˆs e F: todas as obras que s˜o fic¸˜o a ca P: todas as obras sobre pol´ ıtica Podemos ent˜o expressar o conjunto Z de obras pelos quais pelo menos dois colecionadores possuem a interesse por: Z = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (1) Analogamente, podemos expressar os conjuntos A, B e C em termos dos conjuntos E, F e P da seguinte forma: A = (P ∩ E) ∪ (F ∩ E c ) B = (P ∩ (F ∩ E)c ) ∪ (E ∩ F c ) C = F c ∩ (E ∪ (P ∩ E c )) Simplificando Z, ap´s substitu´ o ırmos A, B e C, temos que Z = (E ∩ F c ) ∪ (P ∩ E c ) (2) ou seja, que h´ pelo menos dois interessados em obras n˜o-fic¸˜o em inglˆs e obras sobre pol´ a a ca e ıtica em l´ ıngua estrangeira. Vimos at´ aqui os principais conceitos relacionados a conjuntos. Em particular, note que conjuntos e juntamente com as opera¸˜es de uni˜o, interse¸˜o e complementa¸˜o podem ser vistos como um co a ca ca sistema alg´brico, onde express˜es podem ser escritas para representar uma s´rie de opera¸˜es sobre e o e co conjuntos e as mesmas podem ser, por exemplo, simplificadas aplicando-se manipula¸˜es alg´bricas co e baseadas nas leis b´sicas. a Produto cartesiano Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. O produto cartesiano de A e B, denotado A × B, a ´ o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que o primeiro elemento x pertence a e A e o segundo elemento y pertence a B. A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B} Generalizando, dados n conjuntos A1 , A2 ,. . ., An , o produto cartesiano destes n conjuntos ´ dado por e A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) : a1 ∈ A1 e a2 ∈ A2 e . . . e an ∈ An }
  • 10. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 10 Quando Ai = Aj para quaisquer i e j, denota-se o produto cartesiano acima tamb´m por e An . ıcio: Seja B = {0, 1}. Liste todos os elementos do produto cartesiano B × B × B. Exerc´ Rela¸˜es bin´rias e fun¸˜es co a co Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. Uma rela¸˜o bin´ria R sobre A e B ´ um subcon- a ca a e junto de A × B, isto ´, R ⊆ A × B. e Dizemos que y ´ correspondente de x pela rela¸˜o R se (x, y) ∈ R, e denotamos xRy (lˆ-se e ca e x-erre-y). Se R ⊆ A × A, dizemos que R ´ uma rela¸˜o bin´ria sobre A. Se R ⊆ A1 × A2 × · · · An , e ca a ent˜o R ´ uma rela¸˜o n-´ria. a e ca a Uma rela¸˜o bin´ria R sobre A ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia se para quaisquer trˆs ca a e ca e e elementos a, b e c de A vale as propriedades: • (reflexiva) aRa • (sim´trica) se aRb ent˜o bRa e a • (transitiva) se aRb e bRc ent˜o aRc a Uma rela¸˜o bin´ria f ⊆ A × B ´ uma fun¸˜o de A em B se para todo x ∈ A existe ca a e ca um unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ f . A fun¸˜o ´ denotada f : A → B e em vez de xf y ´ ca e denotamos f (x) = y. O elemento y = f (a) ∈ B ´ a imagem de a ∈ A. e Uma rela¸˜o f que associa um elemento b ∈ B para cada elemento do produto direto A1 × A2 × · · · An ca ´ denominada uma fun¸˜o de n vari´veis. e ca a ıcio: Explique o que s˜o fun¸˜es sobrejetoras, injetoras e bijetoras. Exerc´ a co Opera¸˜es co Uma fun¸˜o de A em A ´ muitas vezes denominada uma opera¸˜o un´ria. Por exemplo, ca e ca a o complemento ·c ´ uma opera¸˜o un´ria. Uma fun¸˜o de duas vari´veis de A × A em A ´ e ca a ca a e muitas vezes denominada uma opera¸˜o bin´ria. Por exemplo, na ´lgebra elementar a ca a a opera¸˜o + em 1 + 3 = 4 ´ uma fun¸˜o que associa ao par (1, 3) o elemento 4. ca e ca
  • 11. Referˆncias Bibliogr´ficas e a [Filho, 1980] Filho, E. A. (1980). Teoria Elementar dos Conjuntos. Livraria Nobel S.A., S˜o Paulo. a ´ Ultima revis˜o em 27 de fevereiro de 2007. a 11