1) O documento apresenta um resumo teórico de todo o conteúdo estudado em um curso de matemática para policiais, incluindo noções de contagem, probabilidade, estatística e medidas de posição.
2) São revisados conceitos como permutação, arranjo, combinação, probabilidade, variáveis aleatórias, medidas de tendência central e outros.
3) O resumo é organizado por aulas e explica de forma concisa cada um dos principais tópicos abordados no curso.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas.
2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade.
3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.
1) O documento descreve um experimento sobre a resistência de tecidos fabricados por diferentes tearês em uma fábrica têxtil. Foram selecionados 4 tearês aleatoriamente e medidas de resistência foram coletadas de cada tecido.
2) A análise de variância mostrou diferenças significativas entre os tearês.
3) Estimativas dos parâmetros do modelo linear misto indicam que a variabilidade entre os tearês é relevante e não pode ser desprezada.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de tabelas-verdade, incluindo:
1) Como construir tabelas-verdade para proposições com diferentes números de proposições simples;
2) Como preencher as colunas iniciais das tabelas-verdade;
3) Exemplos detalhados de como construir tabelas-verdade para proposições específicas.
Este documento apresenta uma revisão de conceitos estatísticos aplicados às finanças. Introduz variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas respectivas funções de probabilidade e densidade de probabilidade. Explica como calcular probabilidades através da área sob a curva da função densidade entre intervalos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
1) O documento discute modelos probabilísticos discretos, incluindo variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade.
2) É introduzido o modelo uniforme para descrever experimentos como lançamento de dados, onde cada resultado tem a mesma probabilidade.
3) O modelo geométrico é usado para descrever o intervalo até a primeira falha em sistemas, como de aterrissagem de aviões, onde a probabilidade de falha é constante a cada uso.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas.
2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade.
3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.
1) O documento descreve um experimento sobre a resistência de tecidos fabricados por diferentes tearês em uma fábrica têxtil. Foram selecionados 4 tearês aleatoriamente e medidas de resistência foram coletadas de cada tecido.
2) A análise de variância mostrou diferenças significativas entre os tearês.
3) Estimativas dos parâmetros do modelo linear misto indicam que a variabilidade entre os tearês é relevante e não pode ser desprezada.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de tabelas-verdade, incluindo:
1) Como construir tabelas-verdade para proposições com diferentes números de proposições simples;
2) Como preencher as colunas iniciais das tabelas-verdade;
3) Exemplos detalhados de como construir tabelas-verdade para proposições específicas.
Este documento apresenta uma revisão de conceitos estatísticos aplicados às finanças. Introduz variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas respectivas funções de probabilidade e densidade de probabilidade. Explica como calcular probabilidades através da área sob a curva da função densidade entre intervalos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
1) O documento discute modelos probabilísticos discretos, incluindo variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade.
2) É introduzido o modelo uniforme para descrever experimentos como lançamento de dados, onde cada resultado tem a mesma probabilidade.
3) O modelo geométrico é usado para descrever o intervalo até a primeira falha em sistemas, como de aterrissagem de aviões, onde a probabilidade de falha é constante a cada uso.
O documento descreve os principais modelos de probabilidade. Apresenta os conceitos de modelo discreto, contínuo, finito e infinito. Explica como calcular a média e variância populacional para modelos de probabilidade e fornece exemplos de modelos discretos como o uniforme, de Poisson, geométrico e binomial. Também explica modelos contínuos como o uniforme, exponencial e normal.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.
1) O documento descreve funções polinomiais e suas propriedades, incluindo raízes, grau e identidade.
2) É apresentada a fórmula de Lagrange para determinar um polinômio a partir de seus valores em pontos fixos.
3) As características dos gráficos de polinômios são explicadas, incluindo o método de Newton para encontrar raízes.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, incluindo definição de probabilidade de Laplace, probabilidade condicional e independência de eventos.
2) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a definição de Laplace e como a informação adicional pode alterar as probabilidades condicionais.
3) O conceito de independência é explicado e distinguido de eventos disjuntos através de um exemplo sobre máquinas em uma fábrica.
1) O documento descreve os conceitos básicos de probabilidade física, incluindo espaço amostral e eventos.
2) É apresentado um exemplo de distribuição de bolinhas em caixas para ilustrar esses conceitos.
3) Os axiomas de Kolmogorov estabelecem propriedades fundamentais que devem ser obedecidas por qualquer medida de probabilidade.
1. O documento resume conceitos de probabilidade e estatística, incluindo classificação de experiências, espaço amostral, classificação de acontecimentos e cálculo de probabilidades. 2. Também aborda sistemas de equações lineares, incluindo resolução gráfica e de problemas. 3. Outros tópicos incluem proporcionalidade, geometria, operações com potências e notação científica.
Estatística: Introduçao à Estimacao BayesianaRenato Vicente
1) O capítulo introduz a lógica indutiva versus dedutiva e como a estimativa bayesiana usa a lógica indutiva para determinar causas prováveis com base em evidências observadas.
2) Discute os axiomas de Cox e como eles levam ao teorema de Bayes, que resume o procedimento de análise de dados usando probabilidades condicionais.
3) Faz um breve histórico sobre como a estimativa bayesiana foi desenvolvida por Bernoulli, Bayes e Laplace, mas foi ignorada no século XIX devido a definições
Este módulo apresenta distribuições de probabilidade discretas e contínuas importantes para análise de confiabilidade, como binomial, Poisson, normal, uniforme e exponencial. Exemplos ilustram como calcular probabilidades e parâmetros dessas distribuições para problemas de engenharia de confiabilidade. Recomenda-se que os alunos consultem referências para maiores detalhes sobre as distribuições.
1) O capítulo discute distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas.
2) Distribuições de probabilidade atribuem probabilidades aos valores ou intervalos de valores de uma variável aleatória.
3) Algumas distribuições como binomial, hipergeométrica, normal e exponencial surgem com mais frequência em modelos estocásticos do mundo real.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo notações de conjuntos, experiências determinísticas versus aleatórias, acontecimentos, e definições de probabilidade.
2) É introduzida a noção de frequência relativa e como esta se estabiliza em torno da probabilidade de um evento com repetições.
3) A lei de Laplace é mencionada no contexto de acontecimentos elementares equiprováveis.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
1) O documento discute seqüências e séries numéricas, definindo seqüências, apresentando exemplos e propriedades como convergência e monotonicidade.
2) Uma seqüência é uma função que associa números naturais a números reais. Exemplos incluem seqüências com termos definidos por fórmulas ou recorrência.
3) Uma seqüência converge se seu limite quando n tende ao infinito existe e é um número real finito. Caso contrário, diverge. Teoremas caracterizam convergência ou divergência.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
O documento apresenta definições de termos relacionados a equações diferenciais, incluindo variáveis dependentes e independentes, equações diferenciais ordinárias e parciais, lineares e não-lineares, e soluções explícitas e implícitas. Também discute a importância das equações diferenciais para descrever fenômenos físicos.
O documento apresenta conceitos sobre derivadas e retas tangentes. Introduz a interpretação geométrica da derivada como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Apresenta novas regras de derivação, incluindo a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. Fornece exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos.
Análise combinatória estuda possibilidades e combinações, como quantos números de 4 dígitos podem ser formados com determinados algarismos ou quantas roupas podem ser vestidas de modos diferentes. Ela utiliza propriedades como princípio fundamental da contagem, fatorial, arranjos, permutações e combinações para resolver esses problemas.
Este documento apresenta um resumo do conteúdo do curso de Estatística I ministrado na Universidade do Vale do Paraíba. O curso aborda tópicos como representação e operações com dados por meio de tabelas de frequência e histogramas, variáveis aleatórias, probabilidades, distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas.
1) O documento apresenta os números naturais e os axiomas de Peano que os definem formalmente, incluindo o axioma da indução;
2) É explicado como a adição e multiplicação são definidas recursivamente usando o axioma da indução;
3) A ordenação dos números naturais é definida e suas propriedades como transitividade e monotonicidade são apresentadas.
O documento discute princípios fundamentais de contagem, incluindo o produto de possibilidades independentes, permutações simples calculadas por n!, permutações com repetição calculadas por uma fórmula envolvendo fatores de elementos repetidos, e arranjos e combinações simples calculadas por fórmulas envolvendo n! e (n-p)!. Exemplos ilustram esses conceitos.
O documento discute variáveis aleatórias contínuas, definindo-as como funções que assumem valores em um intervalo de números reais. Explica como atribuir probabilidades a variáveis contínuas usando funções de densidade de probabilidade, e como calcular medidas como média, variância e probabilidades para variáveis aleatórias contínuas usando integrais. Fornece exemplos ilustrativos sobre profundidade de lençol freático e tempo de teste.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
O documento discute distribuições de probabilidade e experimentos aleatórios. Ele apresenta exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas e explica como construir distribuições de probabilidade a partir de dados. Também explica experimentos binomiais e como calcular probabilidades usando a distribuição binomial.
1) O documento descreve funções polinomiais e suas propriedades, incluindo raízes, grau e identidade.
2) É apresentada a fórmula de Lagrange para determinar um polinômio a partir de seus valores em pontos fixos.
3) As características dos gráficos de polinômios são explicadas, incluindo o método de Newton para encontrar raízes.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, incluindo definição de probabilidade de Laplace, probabilidade condicional e independência de eventos.
2) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a definição de Laplace e como a informação adicional pode alterar as probabilidades condicionais.
3) O conceito de independência é explicado e distinguido de eventos disjuntos através de um exemplo sobre máquinas em uma fábrica.
1) O documento descreve os conceitos básicos de probabilidade física, incluindo espaço amostral e eventos.
2) É apresentado um exemplo de distribuição de bolinhas em caixas para ilustrar esses conceitos.
3) Os axiomas de Kolmogorov estabelecem propriedades fundamentais que devem ser obedecidas por qualquer medida de probabilidade.
1. O documento resume conceitos de probabilidade e estatística, incluindo classificação de experiências, espaço amostral, classificação de acontecimentos e cálculo de probabilidades. 2. Também aborda sistemas de equações lineares, incluindo resolução gráfica e de problemas. 3. Outros tópicos incluem proporcionalidade, geometria, operações com potências e notação científica.
Estatística: Introduçao à Estimacao BayesianaRenato Vicente
1) O capítulo introduz a lógica indutiva versus dedutiva e como a estimativa bayesiana usa a lógica indutiva para determinar causas prováveis com base em evidências observadas.
2) Discute os axiomas de Cox e como eles levam ao teorema de Bayes, que resume o procedimento de análise de dados usando probabilidades condicionais.
3) Faz um breve histórico sobre como a estimativa bayesiana foi desenvolvida por Bernoulli, Bayes e Laplace, mas foi ignorada no século XIX devido a definições
Este módulo apresenta distribuições de probabilidade discretas e contínuas importantes para análise de confiabilidade, como binomial, Poisson, normal, uniforme e exponencial. Exemplos ilustram como calcular probabilidades e parâmetros dessas distribuições para problemas de engenharia de confiabilidade. Recomenda-se que os alunos consultem referências para maiores detalhes sobre as distribuições.
1) O capítulo discute distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas.
2) Distribuições de probabilidade atribuem probabilidades aos valores ou intervalos de valores de uma variável aleatória.
3) Algumas distribuições como binomial, hipergeométrica, normal e exponencial surgem com mais frequência em modelos estocásticos do mundo real.
1) A distribuição normal é uma distribuição simétrica em forma de sino que é especificada pelos parâmetros média (μ ou x) e desvio padrão (σ ou s).
2) A distribuição normal padronizada tem média 0 e desvio padrão 1 e facilita os cálculos de probabilidade usando tabelas.
3) Para distribuições normais não-padronizadas, valores são convertidos para valores padronizados usando a fórmula z = (x - μ)/σ antes de usar as tabelas.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo notações de conjuntos, experiências determinísticas versus aleatórias, acontecimentos, e definições de probabilidade.
2) É introduzida a noção de frequência relativa e como esta se estabiliza em torno da probabilidade de um evento com repetições.
3) A lei de Laplace é mencionada no contexto de acontecimentos elementares equiprováveis.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
1) O documento discute seqüências e séries numéricas, definindo seqüências, apresentando exemplos e propriedades como convergência e monotonicidade.
2) Uma seqüência é uma função que associa números naturais a números reais. Exemplos incluem seqüências com termos definidos por fórmulas ou recorrência.
3) Uma seqüência converge se seu limite quando n tende ao infinito existe e é um número real finito. Caso contrário, diverge. Teoremas caracterizam convergência ou divergência.
1. O capítulo aborda sequências e séries numéricas, reconhecendo suas propriedades e analisando convergência.
2. As sequências estudadas incluem sequências convergentes e divergentes, limites de sequências, subseqüências e sequências limitadas.
3. Séries numéricas como séries geométricas, harmônicas e de potências também são introduzidas, analisando convergência através de critérios.
O documento apresenta definições de termos relacionados a equações diferenciais, incluindo variáveis dependentes e independentes, equações diferenciais ordinárias e parciais, lineares e não-lineares, e soluções explícitas e implícitas. Também discute a importância das equações diferenciais para descrever fenômenos físicos.
O documento apresenta conceitos sobre derivadas e retas tangentes. Introduz a interpretação geométrica da derivada como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Apresenta novas regras de derivação, incluindo a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. Fornece exemplos ilustrativos para aplicar os conceitos.
Análise combinatória estuda possibilidades e combinações, como quantos números de 4 dígitos podem ser formados com determinados algarismos ou quantas roupas podem ser vestidas de modos diferentes. Ela utiliza propriedades como princípio fundamental da contagem, fatorial, arranjos, permutações e combinações para resolver esses problemas.
Este documento apresenta um resumo do conteúdo do curso de Estatística I ministrado na Universidade do Vale do Paraíba. O curso aborda tópicos como representação e operações com dados por meio de tabelas de frequência e histogramas, variáveis aleatórias, probabilidades, distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas.
1) O documento apresenta os números naturais e os axiomas de Peano que os definem formalmente, incluindo o axioma da indução;
2) É explicado como a adição e multiplicação são definidas recursivamente usando o axioma da indução;
3) A ordenação dos números naturais é definida e suas propriedades como transitividade e monotonicidade são apresentadas.
O documento discute princípios fundamentais de contagem, incluindo o produto de possibilidades independentes, permutações simples calculadas por n!, permutações com repetição calculadas por uma fórmula envolvendo fatores de elementos repetidos, e arranjos e combinações simples calculadas por fórmulas envolvendo n! e (n-p)!. Exemplos ilustram esses conceitos.
O documento descreve os conceitos fundamentais da análise combinatória, incluindo fatorial, arranjos, permutações e combinações. Explica como calcular as possibilidades de agrupamentos de elementos de acordo com suas propriedades e fornece exemplos para ilustrar cada conceito.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de combinatória como fatorial, princípio multiplicativo, permutações e arranjos simples.
2) Inclui definições de fatorial, coeficientes binomiais, permutações simples e como calculá-los, assim como arranjos simples.
3) Explica como utilizar o método de definição indutiva para definir conjuntos numéricos.
1. O documento apresenta um plano de aula sobre progressão aritmética para alunos do 1o ano do ensino médio.
2. O plano detalha os objetivos, conteúdos, material e desenvolvimento da aula, incluindo exemplos e exercícios sobre progressão aritmética.
3. O plano fornece definições, propriedades e classificações de progressões aritméticas, além de dicas para resolver problemas envolvendo esse tópico.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade. Em três frases, resume:
1) É introduzido o conceito de modelo probabilístico para quantificar incertezas em fenômenos aleatórios;
2) São revisados conceitos da teoria dos conjuntos como espaço amostral e eventos para definir probabilidades;
3) São apresentadas as propriedades que uma função deve satisfazer para ser considerada uma probabilidade.
O documento resume os principais tópicos de matemática para o concurso de Técnico do IBGE, incluindo conjuntos, álgebra, porcentagem, geometria e contagem.
1) O documento discute conceitos de análise combinatória, incluindo permutações, combinações, arranjos e o princípio de pigeonhole.
2) A análise combinatória estuda os agrupamentos possíveis de um conjunto de valores.
3) As fórmulas para permutações, combinações e arranjos envolvem o uso do fatorial de um número.
Este documento descreve a construção dos números racionais a partir dos inteiros, definindo frações e operações com frações. Explica que um número racional pode ser representado como uma fração m/n onde m e n são inteiros e n ≠ 0. Detalha as operações básicas com frações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de propriedades como equivalentes e ordenação.
1. O documento discute o conceito de progressão aritmética, definindo-a como uma sequência numérica na qual a diferença entre cada termo e o anterior é constante.
2. Apresenta a fórmula para calcular qualquer termo de uma progressão aritmética a partir do primeiro termo e da razão.
3. Fornece exemplos e propriedades das progressões aritméticas, incluindo como representar graficamente a relação entre os termos.
* Existem m = 4 elementos distintos
* Estamos escolhendo p = 2 elementos com repetição
* A fórmula para combinações com repetição é:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
* Portanto:
Crep(4,2) = C(4+2-1,2) = C(5,2) = 10
A resposta é 10 combinações.
O documento apresenta conceitos básicos da teoria da probabilidade, incluindo:
1) Define probabilidade como uma medida quantitativa das chances de um evento ocorrer;
2) Explica experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos;
3) Apresenta os axiomas e propriedades da probabilidade de acordo com a definição de Kolmogorov.
Este documento resume os principais tópicos de matemática cobrados no edital do concurso da Polícia Militar do Pará de 2016, como operações com números inteiros e racionais, porcentagem, razão e proporção, equações de 1o grau, sistema métrico e noções de geometria. Além disso, apresenta a resolução de questões da prova de 2007 aplicada pela mesma banca.
Este documento discute duas técnicas de pesquisa em listas ordenadas:
1) Pesquisa sequencial: compara o valor procurado com cada elemento da lista até encontrar uma correspondência. Seu desempenho varia de O(1) a O(n).
2) Pesquisa binária: divide a lista ao meio em cada etapa até isolar o valor, se presente. Seu desempenho é O(log n), mais eficiente que a pesquisa sequencial para listas grandes.
O documento apresenta três exemplos de resolução de problemas matemáticos utilizando a regra de três simples e proporcionalidade direta. No primeiro exemplo, calcula-se a quantidade de biscoitos que podem ser feitos com 1800g de trigo usando os dados de 600g produzirem 50 biscoitos. No segundo, determina-se o tempo para percorrer uma distância a 100km/h sabendo que a 80km/h leva-se 50min. No terceiro, calcula-se o valor numérico de uma expressão algébrica para valores dados de a e
1) O documento discute os números naturais e o Princípio da Indução, apresentando os axiomas de Peano e explicando como o Princípio da Indução pode ser usado como método de demonstração.
2) Adição e multiplicação de números naturais são exemplos de funções definidas recursivamente usando o Princípio da Indução.
3) O Princípio da Indução estabelece que se uma propriedade P é verdadeira para 1 e se P(n) implica P(n+1), então P é verdadeira para todos os números natur
1) O capítulo discute modelos probabilísticos e distribuições de probabilidade, com foco na distribuição binomial.
2) A distribuição binomial descreve a probabilidade de obter um certo número de "sucessos" em uma série de experimentos independentes, cada um com duas possíveis saídas.
3) Exemplos ilustram como a distribuição binomial pode ser usada para modelar problemas como jogar uma moeda justa várias vezes.
Este documento resume conceitos básicos sobre equações do 1o grau, incluindo: (1) expressões algébricas e literais, (2) conjunto universo e conjunto solução de uma equação, e (3) verificação se um número é raiz de uma equação. O documento também discute equações equivalentes e os princípios de equivalência.
5. AULA 07: RESUMO TEÓRICO
Caro aluno,
Para finalizar nosso curso, preparei um resumo de toda a teoria vista nas
aulas anteriores. Espero que ele permita uma boa recordação de tudo o que vimos
em nosso curso.
Desejo-lhe muita força e dedicação nessa reta final!
AULA 01 – PROBLEMAS DE CONTAGEM
- Princípio da contagem (regra do produto): quando temos eventos sucessivos e
independentes, o número total de maneiras desses eventos acontecerem é igual a
multiplicação do número de maneiras de cada evento acontecer separadamente.
- Permutação simples: P(n) = n! (leia “n fatorial”)
- usada quando queremos calcular o número de formas de colocar n
elementos em n posições
- a ordem dos elementos deve necessariamente tornar uma disposição
diferente da outra (“a ordem é relevante”)
- exemplo: calcular de quantas formas 5 pessoas podem formar uma fila
P(5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
- Permutação com repetição:
!
( ; )
! !
n
PR n m e p
m p
=
×
(leia: permutação de n
elementos, com repetição de m elementos e de p elementos)
- usada para calcular permutações onde existem elementos repetidos
- por ser uma permutação, a ordem dos elementos deve tornar uma
distribuição diferente da outra
- exemplo: cálculo do número formas de ordenar 5 livros em uma estante,
sendo que 2 livros são iguais PR(5, 2) = 5! / 2! = 60
9. - Arranjo simples:
!
( , )
( )!
n
A n m
n m
=
−
(leia: arranjo de n elementos em m posições)
- trata-se de uma permutação de n elementos em m posições, onde temos
mais elementos do que posições disponíveis (n m)
- Novamente, a ordem dos elementos deve diferenciar um arranjo do outro
- Exemplo: número de maneiras de preencher 3 posições disponíveis de
uma fila usando 7 pessoas. Esses exercícios podem ser resolvidos com a
simples multiplicação: 7 x 6 x 5
- Arranjo com repetição: AR (n, m) = nm
(leia: arranjo de n elementos em m
posições, com repetição)
- trata-se do princípio fundamental da contagem, onde temos n elementos
que podemos colocar em m posições, com repetição (isto é, não
precisamos colocar apenas elementos distintos)
- exemplo: número de placas formadas por 3 letras, distintas ou não,
usando as 26 letras do alfabeto A (26,3) = 263
= 26x26x26
- Combinação:
( )
!
( , )
! !
n n
C n m
m m n m
= =
−
(leia: combinação de n elementos em
grupos de m elementos; ou combinação de n elementos, m a m)
- trata-se do cálculo do número de grupos de m elementos que podemos
formar utilizando n elementos
- deve ser utilizado quando a ordem dos elementos no grupo não
diferenciar um grupo do outro (“a ordem de escolha não é relevante”)
- lembrar que C(n, m) = C (n, n-m). Ex.: C(5,4) = C(5,1) = 5
- para facilitar o cálculo de C(n,m), basta multiplicar os primeiros “m” termos
de n! e dividir por m!. Ex.: C(7,3) é calculado pela multiplicação dos três
primeiros termos de 7!, dividido por 3!. Isto é, C(7,3) = (7x6x5)/3! = 35
- exemplo: número de equipes/grupos/comissões de 3 profissionais que
podemos montar utilizando 7 profissionais disponíveis C(7,3) = 35.
- Permutação circular: Pc (n) = (n-1)! (leia: permutação circular de n elementos)
13. - usado para calcular o número de permutações de n elementos em
disposições fechadas (circulares), onde não podemos fixar um início e um
final.
- exemplo: número de formas de dispor 4 pessoas ao redor de uma mesa
quadrada com as 4 bordas iguais Pc(4) = (4-1)! = 3! = 6
AULA 02 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE
- Espaço amostral: conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório
- Evento: subconjunto do espaço amostral formado pelos resultados “favoráveis”,
isto é, que atendem a condição prevista no enunciado do exercício
- Probabilidade: é dada pela razão:
n(Evento)
Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral)
ou simplesmente
número de resultados favoráveis
Probabilidade do Evento=
número total de resultados
- você pode calcular o número total e o número de resultados favoráveis através das
fórmulas de combinação/arranjo/permutação vistas anteriormente
- a probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100%
- dizemos que 2 eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não
altera a probabilidade do outro ocorrer.
- princípio multiplicativo: se A e B são independentes, então
P(A B)=P(A) P(B)∩ × (leia: probabilidade de A e B ocorrerem
simultaneamente é a multiplicação das probabilidades de cada um
ocorrer)
- probabilidade da união: trata-se da probabilidade de ocorrência do evento A ou do
evento B (ou dos dois ao mesmo tempo). É dada por:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
17. - dizemos que 2 eventos são mutuamente excludentes quando a ocorrência de um
impede a ocorrência do outro, e vice-versa. Assim, ( ) 0P A B∩ =
- princípio aditivo: se A e B são mutuamente excludentes ( ( ) 0P A B∩ = ),
a probabilidade de um ou outro ocorrer é dada pela soma das
probabilidades de ocorrência de cada um deles. Isto é,
P(A ou B) = P(A) + P(B)
- dois eventos são considerados complementares quando não possuem intersecção
e a sua soma equivale ao espaço amostral. Sendo E um evento e Ec o seu
complementar, então:
Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec)
- exemplo: E = probabilidade de sair resultado par em um dado; Ec =
probabilidade de sair um resultado ímpar.
- probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, sabendo que B ocorre):
( )
( / )
( )
P A B
P A B
P B
∩
=
- basta calcular o número de casos onde tanto A quanto B ocorrem, e
dividir pelo número de casos em que B ocorre
- ex.: ao sortear um dos 7 dias da semana, calcular a probabilidade de a
data obtida ser um “sábado”, dado que a data obtida caiu em um fim de
semana P = 1 / 2 = 50%
- se A e B são eventos independentes, então P(A/B) = P(A) isto é, o fato
de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer
- se repetirmos um determinado experimento N vezes, com probabilidade “p” de
obter sucesso em cada repetição, o número esperado de vezes que obteremos
sucesso é dado por N x p
AULA 03 – NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
21. - População: conjunto formado por todas as entidades sob estudo (ex.: conjunto dos
moradores do meu bairro)
- Censo: consiste na análise de todos os indivíduos que compõem aquela população
- Amostra: subconjunto daquela população (ex.: dentre os moradores do meu bairro,
podemos segregar os moradores da minha quadra)
- Variável: um determinado atributo os integrantes da população.
- pode ser qualitativa (ex.: sexo) ou quantitativa (ex.: altura).
- as variáveis quantitativas podem ser contínuas (quando podem assumir
qualquer valor dentro de um intervalo) ou discretas (quando só podem
assumir determinados valores).
- chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de
maneira aleatória, qualquer dos seus valores possíveis.
- Observação: valor da variável para um determinado membro da população (ex.: a
idade de Fulano é 18 anos, ou seu sexo é Masculino).
- Frequências absolutas simples (ou simplesmente “frequências”) : são os números
de repetições de cada valor assumido pela variável (ex.: em uma amostra podemos
ter 10 pessoas com 1,70m, 15 com 1,75m, e 5 com 1,80m). A partir delas, podemos
definir:
Altura
Frequências
absolutas
simples
Frequências
absolutas
acumuladas
Frequências
relativas
simples
Frequências relativas
acumuladas
1,70m 10 10 10/30 = 33,3% 33,3%
1,75m 15 10 + 15 = 25 15/30 = 50% 33,3% + 50% = 83,3%
1,80m 5 25 + 5 = 30 5/30 = 16,7% 83,3% + 16,7% = 100%
- Histograma é um gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as
classes (intervalos) de valores que uma variável pode assumir, e em seu eixo
vertical os valores das frequências de cada classe.
- Ogiva: gráfico de frequências acumuladas, onde ligamos os pontos extremos
(limites superiores) das classes de valores. Chamamos a figura formada no gráfico
de polígono de freqüências.
25. Medidas de posição (ou medidas de tendência central)
- Média Aritmética: soma de todos os valores da variável observada, dividida pelo
total de observações. Fórmula para dados em rol (listados):
1
n
i
Xi
Média
n
=
=
Para dados em tabela de frequências:
1
1
( )
n
i
n
i
Xi Fi
Média
Fi
=
=
×
=
Para dados agrupados em classes (usar os pontos médios PMi das classes):
1
1
( )
n
i
n
i
PMi Fi
Média
Fi
=
=
×
=
Principais propriedades da média:
- somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, a
média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor (ex.: se
somamos 5 a cada item de uma amostra, a nova média será 5 unidades maior)
- multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor
constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo
valor (ex.: se dobramos cada item de uma amostra, a nova média será o dobro da
anterior).
- se temos uma variável X, para a qual sabemos a média M, e uma variável Y do
tipo Y = a.X + b (onde a e b são números), podemos dizer que a média de Y é
a.M + b;
- o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto,
qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média (ela é afetada pelos
valores extremos).
- o valor esperado, esperança ou expectância de uma variável aleatória é dado por:
1
( ) ( ).
n
i ii
E X p x x=
=
29. - em regra o valor esperado de uma variável é a sua própria média.
- Média Geométrica: a média geométrica de um conjunto de “n” dados é a raiz de
grau “n” do produto destes dados. Ex.: se temos o conjunto {3, 3, 81}, a média
geométrica será a raiz de grau 3 (raiz cúbica) da multiplicação deles:
3
3 3 81 9Média = × × =
- aplicação comum: o rendimento médio de um investimento que rendeu 5%
no primeiro ano, 6% no segundo e 7% no terceiro é dado pela média geométrica:
3
1,05 1,06 1,07 1,0599Média = × × =
- Mediana: é a observação “do meio” quando os dados são organizados do menor
para o maior. É o termo da posição (n+1)/2, se n for ímpar. E é a média aritmética
dos termos ao redor de (n+1)/2, se n for par.
- Cálculo da mediana através do método da interpolação linear:
1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, obtendo a
posição da mediana.
2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana
3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites da
classe da mediana. Ex.:
Frequência: 26 40 45
|-----------------------------|----------------|
Valores: 1,60 X 1,70
|-----------------------------|----------------|
4º passo: calcular a mediana (X):
33. superior mediana superior
superior inferior superior inferior
freq - freq valor - X
=
freq - freq valor - valor
- a mediana é única para um conjunto de dados, e não é afetada pela inclusão ou
exclusão de algum valor extremo (máximo ou mínimo) na amostra.
- Moda: valor da observação com maior número de frequências. Uma amostra pode
ter 1, 2 ou mais modas (ser unimodal, bimodal etc.). Quando os dados estiverem
agrupados em classes, seguir os passos:
1. Descobrir qual é a classe modal (CM): aquela com maior número de
frequências.
2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant).
3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de cálculo da
moda indicado pelo exercício:
a. Moda de King:
fpost
Moda li c
fant fpost
= + ×
+
34. b. Moda de Czuber:
2 ( )
fcm fant
Moda li c
fcm fant fpost
−
= + ×
− +
35. - O valor da moda não é afetado pelos valores extremos (mínimos e máximos) da
amostra.
- a partir dos valores da mediana, média e moda, é possível identificar a simetria ou
assimetria de uma distribuição:
Simetria Média, Mediana e Moda
Simétrica Média = Mediana = Moda*
Assimétrica positiva (à direita) Média Mediana Moda
Assimétrica negativa (à esquerda) Média Mediana Moda
* se unimodal.
39. - Assimetria à direita (assimetria positiva): temos um pico na parte esquerda do
gráfico, e os dados se estendem para a direita (sentido positivo):
- Assimetria à esquerda (negativa): temos um pico à direita do gráfico, e os dados
se estendem para a esquerda (sentido negativo).
- Quartis: dividem os dados em 4. Podem ser calculados utilizado o método da
interpolação linear:
Quartil Posição
1 (n+1)/4
2 2(n+1)/4
3 3(n+1)/4
43. Medidas de dispersão (ou medidas de variabilidade):
- Amplitude Total (AT):
AT = Xmax – Xmín
- Amplitude interquartílica (Dq):
Dq = Q3 - Q1
- Amplitude semi-interquartílica (Dqm):
Dqm = Dq/2
- Desvio médio (DM):
1
| |
n
Xi X
DM
n
−
=
- Variância: é a diferença entre o valor esperado dos quadrados de uma variável
aleatória e o quadrado do valor esperado daquela variável, isto é:
Variância = E(X2
) – (E(X))2
- para dados em rol (listados):
2
2 1
( )
n
iX X
n
σ
−
=
- para dados em tabela de frequências:
2
2 1
1
[ ( ) ]
n
i i
n
i
f X X
f
σ
× −
=
- para dados em tabela com intervalos de classes:
2
2 1
1
[ ( ) ]
n
i i
n
i
f PM X
f
σ
× −
=
47. - para calcular a variância sem precisar calcular anteriormente a média, podem ser
usadas as fórmulas abaixo:
2
2
1 12
1n n
i i
i i
X X
n
n
σ = =
−
=
ou
2
2
1 12
1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
X f X f
n
n
σ = =
× − ×
=
ou
2
2
1 12
1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
PM f PM f
n
n
σ = =
× − ×
=
Obs.: para calcular a variância AMOSTRAL, é preciso substituir n por “n-1” nos
denominadores das fórmulas, ou substituir
1
n
Fi por
1
1
n
Fi − (também apenas nos
denominadores). Ex.:
2
2
1 12
1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
PM f PM f
n
n
σ = =
× − ×
= (var. populacional)
2
2
1 12
1
( ) ( )
1
n n
i i i i
i i
PM f PM f
n
s
n
= =
× − ×
=
−
(var. Amostral)
- Desvio-padrão (σ ): é a raiz quadrada da variância:
Varianciaσ =
- Propriedades do desvio padrão e da variância:
- se somarmos/subtrairmos um mesmo valor de todos os elementos de
uma amostra, o desvio padrão e a variância permanecem inalterados
51. - se multiplicarmos/dividirmos todos os elementos da amostra pelo mesmo
valor, o desvio padrão é multiplicado/dividido por este mesmo valor. Já a
variância é multiplicada/dividida pelo quadrado desse valor (pois ela é igual
ao quadrado do desvio padrão).
- se temos uma variável X com desvio padrão σ e variância 2
σ , e criamos
uma variável Y tal que Y = aX + b (onde a e b são valores constantes), o
desvio padrão de Y é a σ× , e a variância de Y é 2 2
a σ× .
- Coeficiente de variação (CV): é uma relação entre o desvio-padrão e a média de
uma amostra ou população:
CV
σ
µ
=
- o CV é medida de dispersão relativa, enquanto o desvio padrão e a variância são
medidas de dispersão absolutas;
- enquanto o CV não tem unidade (ele é expresso normalmente de maneira
percentual ou decimal), o desvio-padrão tem a mesma unidade da variável X. Ex.:
se uma variável X, que mede idade em anos, tem média igual a 2 anos e desvio-
padrão igual a 1 ano, então o CV é ½ = 0,5 = 50%, e a variância é igual a 2 anos2
;
Medidas de assimetria:
- coeficiente quartílico de assimetria: relação entre o 1º, 2º e 3º quartis
(lembrando que o 2º quartil é a Mediana – Md)
3 1
3 1
2Q Q Md
AS
Q Q
+ −
=
−
- 1º coeficiente de Pearson: indica o grau de distorção de uma distribuição
qualquer em relação a uma distribuição simétrica:
X Mo
AS
σ
−
= ou
X Mo
AS
s
−
=
55. (Mo é a moda)
- coeficiente percentílico de assimetria: relação entre o 10º, 50º e 90º percentis:
90 10 50
90 10
2P P P
AS
P P
+ − ×
=
−
Medidas de curtose
- trata-se de uma medida do “achatamento” de uma distribuição:
3 1
90 102( )
Q Q
K
P P
−
=
−
Coeficiente K (curtose) Distribuição
K 0,263 Platicúrtica
K = 0,263 Mesocúrtica
K 0,263 Leptocúrtica
AMOSTRAGEM
- existem diversas técnicas para, a partir de uma população, definirmos uma
amostra para um determinado estudo. Algumas dessas técnicas são chamadas de
probabilísticas (ou casuais), pois são técnicas científicas e, por isso, permitem a
aplicação das técnicas de inferência estatística que veremos na próxima aula.
Outras técnicas são chamadas não-probabilísticas (ou não-casuais), pois não tem o
mesmo rigor científico.
- Técnicas de amostragem casual (probabilísticas):
- Amostragem aleatória simples: escolha aleatória dos indivíduos da
população que farão parte da amostra (em uma lista, por exemplo). Pode ser feita
com reposição (onde um mesmo indivíduo pode ser escolhido mais de uma vez
para a amostra) ou sem reposição (onde cada indivíduo só pode ser escolhido uma
vez). É preciso que você tenha acesso aos dados de todos os indivíduos da
população.
59. - Amostragem sistemática: consiste na criação de um sistema de escolha de
indivíduos a partir de critérios pré-determinados.
- Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos): dividir a população em
subgrupos (“conglomerados”) e então escolher alguns destes subgrupos para serem
totalmente analisados. Os conglomerados deve ser mutuamente exclusivos, isto é,
cada indivíduo só fará parte de 1 conglomerado.
- Amostragem estratificada: dividir a população em estratos, que são
subconjuntos da população compostos por indivíduos com algumas semelhanças
entre si. Os estratos também devem ser mutuamente exclusivos.
- Técnicas não-casuais de amostragem (não probabilísticas):
- Amostragem acidental: o pesquisador fica em um local com grande
circulação de pessoas e vai entrevistando pessoas ao acaso (acidentalmente).
- Amostragem intencional: entrevistador escolhe pessoas que ele acredita
serem relevantes para a sua pesquisa.
- Amostragem por cotas: consiste em dividir a população em grupos e, a
seguir, extrair quantidades pré-definidas (“cotas”) de indivíduos de cada grupo para
se montar a amostra.
- Amostragem de voluntários: como o nome diz, é composta por indivíduos
que voluntariamente participam da pesquisa.
AULA 04 – PROPORÇÕES E PORCENTAGEM
- A porcentagem é uma divisão onde o denominador é o número 100;
- Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo,
basta efetuar a seguinte divisão:
quantia de interesse
Porcentagem = 100%
total
×
- Podemos transformar um número percentual em um número decimal dividindo-o
por 100. Podemos também fazer o caminho inverso, multiplicando um número
decimal por 100 para chegar em um número percentual.
- Podemos dizer que:
quantia de interesse = porcentagem total×
63. - Em porcentagem, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a
20% x 300.
- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%). Exemplo: para
aumentar em 30%, basta multiplicar por 1,30;
- para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%). Exemplo: para
reduzir em 15%, basta multiplicar por 0,85;
- para duas operações sucessivas de aumento ou redução, basta multiplicar os
índices. Exemplo: para aumentar o preço de um produto em 20% em um ano e
então aumentar em 30% no ano seguinte, basta multiplicar o preço inicial por 1,20 x
1,30;
- Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que
duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que
permanecem constantes.
- Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à
medida que a outra também cresce.
- Podemos usar uma regra de três simples para relacionar grandezas diretamente
proporcionais. Após montar a regra de três, devemos efetuar a multiplicação
cruzada (das diagonais) e igualar os resultados:
A ------------------- B
C ------------------ D
A x D = C x D
- Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce
à medida que a outra diminui.
- No caso de termos 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou
inversamente), temos uma regra de três composta. Neste caso, devemos:
- Identificar as grandezas que são diretamente proporcionais e as que são
inversamente proporcionais em relação a grandeza que queremos
descobrir (aquela que possui a variável X).
67. - inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que
queremos.
- igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões.
- para efetuar divisões em partes proporcionais, lembre-se que:
Se
a c
b d
= , então
a a c
b b d
+
=
+
, e também
c a c
d b d
+
=
+
- você também pode utilizar constantes de proporcionalidade. Ex.: se uma taxa é
diretamente proporcional ao peso de uma mercadoria, então podemos escrever que:
taxa = k . peso
(onde k é a constante de proporcionalidade)
AULA 05 – ÁLGEBRA
Conjuntos numéricos
Nome do
conjunto
(e símbolo)
Definição Exemplos Observações
Números
Naturais (N)
Números positivos
construídos com os
algarismos de 0 a
9, sem casas
decimais
N = {0, 1, 2, 3 …}
Lembrar que o zero não é
positivo nem negativo, mas está
incluído aqui.
Números
Inteiros (Z)
Números naturais
positivos e
negativos
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3...}
Subconjuntos:
Não negativos: {0, 1, 2...}
Não positivos: {..., -2, -1, 0}
Positivos: {1, 2, 3...}
Negativos: { …-3, -2, -1}
Números
Racionais (Q)
Podem ser
representados pela
divisão de 2
números inteiros
Frações: , ;
Números decimais de
representação finita.
Ex.:
1,25 (igual a )
As dízimas periódicas são
números racionais. Ex.:
0,333333... ou ou
71. Números
Irracionais (I)
Não podem ser
representados pela
divisão de 2
números inteiros
Número “pi”:
Fazem parte dos Números
Reais
Números
Reais (R)
Números Racionais
e Irracionais juntos
Todos acima
R Q Z N
e
R I
Sistemas de medidas
Medidas de comprimento
- a unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela letra m,
cujos múltiplos e submúltiplos estão na tabela abaixo:
Milímetro
(mm)
Centímetro
(cm)
Decímetro
(dm)
Metro
(m)
Decâmetro
(dam)
Hectômetro
(hm)
Quilômetro
(km)
1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km
- para “caminhar para a direita” (ir de metros para decâmetros, por exemplo) basta ir
dividindo o valor original por 10;
- para “caminhar para a esquerda” (ir de metros para decímetros, por exemplo)
basta ir multiplicando o valor original por 10.
Medidas de área
- a unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo
símbolo 2
m :
Milímetro
quadrado
(mm
2
)
Centímetro
quadrado
(cm
2
)
Decímetro
quadrado
(dm
2
)
Metro
quadrado
(m
2
)
Decâmetro
quadrado
(dam
2
)
Hectômetro
quadrado
(hm
2
)
Quilômetro
quadrado
(km
2
)
1.000.000mm
2
10.000cm
2
100dm
2
1m
2
0,01dam
2
0,0001hm
2
0,000001km
2
75. - ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa
para a esquerda, devemos multiplicar por 100;
Medidas de volume
- a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo
símbolo 3
m :
Milímetro
cúbico (mm
3
)
Centímetro
cúbico
(cm
3
)
Decímetro
cúbico
(dm
3
)
Metro
cúbico
(m
3
)
Decâmetro
cúbico
(dam
3
)
Hectômetro
cúbico
(hm
3
)
Quilômetro
cúbico (km
3
)
1000000000mm
3
1000000cm
3
1000dm
3
1m
3
0,001dam
3
0,000001hm
3
0,000000001km
3
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa
para a esquerda, devemos multiplicar por 1000;
- 1 litro é igual a 1dm3
(decímetro cúbico), e 1000 litros = 1m3
.
Medidas de tempo
- a unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo símbolo s.
Milissegundo
(ms)
Segundo
(s)
Minuto
(min)
Hora (h) Dia
1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h
- basta montar regras de três simples para efetuar as conversões necessárias.
Medidas de massa
- a unidade padrão de medida de massa é o grama (g):
79. Miligrama
(mg)
Centigrama
(cg)
Decigrama
(dg)
Grama
(g)
Decagrama
(dag)
Hectograma
(hg)
Quilograma
(kg)
1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg
- ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa
para a esquerda, devemos multiplicar por 10;
- uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas;
Sistema monetário brasileiro
- 1 real corresponde a 100 centavos. Assim, tendo uma quantia em reais, basta
você multiplicar por 100 e obterá o valor em centavos. Da mesma forma, tendo uma
quantia em centavos, basta você dividir por 100 e obterá o valor em reais.
Equações e sistemas de primeiro grau
- são as equações escritas na forma 0ax b+ = , onde a e b são números que
chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, 0a ≠
- a variável x está elevada ao expoente 1 (lembrando que 1
x x= )
- o valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma
equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz
- a raíz da equação é sempre dada por
b
a
−
- quando temos um sistema formado por “n” equações e “n” variáveis, devemos
resolver usando o método da substituição, que é aplicado em 2 etapas:
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item
anterior
83. Equações de segundo grau
- possuem a variável elevada ao quadrado (
2
x ), sendo escritas na forma
2
0ax bx c+ + = , onde a, b e c são os coeficientes da equação
- as equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que
tornam a igualdade verdadeira
- toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma:
1 2( ) ( ) 0a x r x r× − × − =
( 1r e 2r são as raízes da equação)
- a fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. Basta
identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los na seguinte fórmula:
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
=
- na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” (∆ ) a expressão 2
4b ac− , que vai
dentro da raiz quadrada
- quando 0∆ , teremos sempre duas raízes reais distintas para a equação. Se
0∆ , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. Já
se 0∆ = , teremos duas raízes idênticas
Função de primeiro grau
- é uma função do tipo f(x) = ax + b
- tem como gráfico uma reta (são funções “lineares”)
- o coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular, pois ele dá a inclinação da
reta. Se a 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a 0 a reta
será decrescente
87. - o coeficiente “b” é chamado coeficiente linear, e ele indica em que ponto a reta
cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x))
- a raiz da função é o valor de x que torna f(x) = 0. Para encontrar essa raiz, basta
igualar a função a 0
- a raiz será igual a
b
x
a
−
=
Função de segundo grau
- são aquelas funções do tipo 2
( )f x ax bx c= + +
- as funções de segundo grau têm um gráfico na forma de parábola
- para calcular as raízes, basta igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara
para resolver:
2
0ax bx c+ + =
- para obter o ponto de máximo ou mínimo de uma função de segundo grau,
chamado Vértice, devemos começar calculando a coordenada horizontal:
2vértice
b
x
a
−
=
- uma vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e
calcular ( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do
caso
- se a 0, o gráfico é uma parábola com concavidade (“boca”) virada para cima,
caso contrário a concavidade é para baixo
91. - se a função f(x) tem duas raízes reais idênticas, o gráfico da função toca o eixo
horizontal (x) em apenas 1 ponto, não cruzando-o. Se a função não tiver raízes
reais, o gráfico da função não toca o eixo horizontal
Inequações
- chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos (maior que),
(menor que), ≥ (maior ou igual a) ou ≤ (menor ou igual a)
- ao resolver uma inequação não encontraremos o valor exato da variável, mas sim
um intervalo onde esta variável pode se encontrar. Este intervalo é chamado de
conjunto-solução da inequação
- ao multiplicar por (-1) todos os termos de uma inequação, para trocar os sinais dos
coeficientes, é preciso inverter o sinal da inequação (ex.: trocar por )
AULA 06 – SEQUÊNCIAS, PA E PG, RACIOCÍNIO LÓGICO
Progressões Aritméticas (PAs)
- sequências onde cada termo subsequente é igual ao termo anterior somado a um
valor constante (razão da PA, simbolizada por “r”);
- para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do
termo geral da PA, que é:
1 ( 1)na a r n= + × −
- para obter a soma dos “n” primeiros termos da PA (Sn), a fórmula é:
1( )
2
n
n
n a a
S
× +
=
Progressões Geométricas
- são sequências onde o termo seguinte é sempre igual ao termo anterior
multiplicado por um valor constante (razão da PG, simbolizada por “q”);
- para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do
termo geral da PG, que é:
1
1
n
na a q −
= ×
95. - para obter a soma dos “n” primeiros termos da PG (Sn), a fórmula é:
1 ( 1)
1
n
n
a q
S
q
× −
=
−
- caso a PG possua razão de módulo menor que 1 (ou seja, -1 q 1), podemos
calcular a soma dos infinitos termos desta progressão através da fórmula:
1
1
a
S
q
∞ =
−
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Fico por aqui, desejando-lhe novamente muita força e dedicação em sua
preparação!
Saudações,
Prof. Arthur Lima