Seminario de nivaldo

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Seminario de nivaldo

  1. 1. Princípio fundamental da contagem Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. Exemplo 1 Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
  2. 2. Permutações Simples Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24
  3. 3. Exemplo 1 Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Resolução: Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples. P = 4! = 24
  4. 4. Permutação com repetição Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos. Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:
  5. 5. Exemplo 1: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos: Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas. Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos: Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.
  6. 6. Arranjos Simples Os agrupamentos formados nos exercícios de análise combinatória podem ser considerados Arranjos simples. Será assim classificado se levarmos em consideração a ordem de seus elementos, ou seja, se os agrupamentos forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. Por exemplo,vamos considerar dois agrupamentos dos números divisíveis por 3, de 5 algarismos formados com os elementos (algarismos) do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Para calcular a quantidade de agrupamentos formados não é preciso esquematizar todos eles, basta utilizar a seguinte fórmula: A n,p = n! (n – p)!
  7. 7. Exemplo: Considere o conjunto I = {a,b,c,d}: • Quantos são os arranjos simples dos elementos de I, tomados dois a dois? Como o exercício já informou que se trata de um arranjo simples, devemos retirar os dados e aplicá-los na fórmula. n=4 p=2 A n,p = n! (n – p)! A 4,2 = 4! (4 – 2)! A 4,2 = 4 . 3 . 2! 2! A4,2 = 4 . 3 A4,2 = 12.
  8. 8. Combinações simples Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão: Onde: n é a quantidade de elementos de um conjunto p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
  9. 9. Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:
  10. 10. #Até ano que vem! (:

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