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QUESTÕES PUC-RIO - PERGUNTAS PRO CLAUDIO
BUFFARA
Claudio Buffara – Rio de Janeiro
O artigo que selecionei hoje trata de um questionamento feito a mim e que
gerou um saudável debate de ideias sobre a metodologia utilizada no ensino
de matemática nas escolas brasileiras.
Este debate ocorreu na lista obm-l presente no forum PUC-RIO do qual tenho
o enorme prazer de participar há alguns anos. Dito isso, farei a transcrição
dos questionamentos abaixo:
Pergunta - Profª. Marcela Costa:
Caros participantes da lista obm-l.
Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e fiquei
cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou a
respeito do ensino de matemática e decidi participar.
Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
1) O Sr. Claudio Buffara diz que produtos notáveis e fatorações são
"notoriamente mal ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar
melhor estes tópicos?
Resposta - Claudio Buffara:
Duas coleções de livros didáticos de EF2 (6º ao 9º ano) que examinei
(Matemática - Compreensão e Prática, de Ênio Silveira e Cláudio Marques;
Matemática - Imenes e Lellis, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis)
apresentam produtos notáveis no volume correspondente ao 8º ano, sem
qualquer menção à propriedade distributiva (ou à comutativa).
Ambos só vão mencionar a aplicação mais importante do produto notável
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - o estudo da função quadrática (incluindo aí a
resolução da equação de 2º grau) no livro do 9º ano.
Ou seja, os produtos notáveis ficam "jogados" lá no 8º ano, sendo
apresentados sem qualquer motivação ou aplicação relevante e sem que se
chame a atenção dos alunos para as propriedades das operações que eles
embutem.
Além disso, nenhuma das duas coleções dá qualquer ênfase à ideia de se
"completar quadrados".
A primeira, no livro do 9º ano, até deduz a fórmula das raízes da equação do
2º grau, mas os passos da dedução não têm qualquer motivação, o que, a meu
ver, faz com que os alunos pensem que vem de alguma "inspiração divina". A
outra apenas enuncia a fórmula, sem qualquer justificativa ou demonstração.
Incidentalmente, foi assim que eu "aprendi" quando estava na escola. Só ouvi
falar em "completar quadrados" no curso de Cálculo I da faculdade de
engenharia, ao estudar métodos de integração.
Como ensinar melhor?
Primeiro, explicar a relevância da distributividade e da comutatividade.
Depois, motivar a introdução de cada produto notável por meio de um
problema. Por exemplo, resolver a equação x^2 - 14x + 45 = 0;
Começar sugerindo aos alunos a ideia de "completar quadrados", comparando
a equação original com o PADRÃO do produto notável
(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2.
Assim, no exemplo, a comparação de coeficientes de mesmo grau resulta em
se 2a= 14, de modo que a = 7 e o produto notável fica (x - 7)^2 = x^2 - 14x +
49;
Agora, como fazer para transformar x^2 - 14x +45 em x^2 - 14x + 49?;
etc…
Ou seja, a ideia é fazer com que os alunos, por meio do exame de exemplos
concretos, descubram eles mesmos a "fórmula de Bhaskara".
Além disso, eu também faria com que os alunos generalizassem os produtos
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 e (x - y)(x + y) = x^2 - y^2
para expoentes maiores, fazendo-os chegar ao teorema do binômio e à
fórmula da soma dos termos de uma PG.
A ideia geral é fazer com que os alunos experimentem, descubram padrões,
formulem conjecturas, demonstrem estas conjecturas e depois generalizem.
A realização de uma investigação pelos próprios alunos (guiada pelo
professor, claro!) que os levasse de produtos notáveis até PGs e teorema do
binômio, passando por equações do 2º grau e função quadrática, seria, a meu
ver, um enorme progresso no ensino da matemática. E estamos falando de um
único tópico…
Só que hoje em dia, os alunos da grande maioria das aulas de matemática são
espectadores passivos. Nem deve passar pelas cabeças deles que matemática
é algo que as pessoas FAZEM e que, quando está sendo criada, é uma ciência
experimental.
Pergunta - Profª. Marcela Costa:
2) O Sr. Claudio Buffara não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação
como esta, já que o Sr. Buffara tem um talento claramente acima da média
em matemática e pertence à elite dos "olímpicos"?
Resposta Claudio Buffara:
Expressar minha opinião sobre um tema não é arrogância em hipótese alguma.
Você até poderia desconsiderar minha opinião, por exemplo, pelo fato de eu
não ser professor, ou discordar dela, por achar, no caso, que o assunto está
sim sendo bem ensinado.
Sobre "talento acima da média", eu diria que minha habilidade matemática
não é inata mas vem, isso sim, de anos de estudo e prática na resolução de
problemas.
Além disso, habilidade matemática é claramente uma questão de grau:
conheço várias pessoas, até mesmo na lista obm-l, que têm muito mais
habilidade matemática do que eu.
Eu até acho que gênios da matemática existem, mas são extremamente raros.
Creio que a maioria dos grandes matemáticos do passado e do presente
conseguiram sua reputação muito mais por meio de muito trabalho duro do
que por genialidade.
Por outro lado, acho que um bom professor de matemática pode fornecer o
incentivo, dar o empurrão necessário para que um dado aluno passe a
apreciar e a se destacar na matéria.
Pergunta - Profª. Marcela Costa:
3) O Sr. Claudio Buffara não acha que o exibicionismo com estes problemas
dificílimos acaba por alienar os alunos normais?
Resposta - Claudio Buffara:
Não entendo que haja qualquer exibicionismo. Até pode ser que um ou outro
participante da lista queira mostrar como é bom em matemática. Todo mundo
tem ego... Mas acho que estes casos, se existirem, são um minoria bem
pequena. Como outros já disseram, esta é uma lista dedicada principalmente
à discussão de problema de olimpíadas, que são mais difíceis (às vezes,
muitíssimo mais difíceis) do que os problemas que aparecem na matemática
escolar.
Ainda assim, acho que você pode estar certa ao afirmar que problemas
dificílimos (especialmente se tiverem soluções "mágicas") têm o potencial de
desmotivar alunos "normais", que podem passar a achar que matemática é
para "gênios".
Eu acho que esta noção pode ser bastante enfraquecida se, nas escolas, a
matemática passar a ser ensinada com base em experimentos e conjecturas.
Ou seja, é importante fazer os alunos se mexerem e pensarem. Mas "raciocínio
matemático" é algo que precisa ser ensinado. E um bom treino são justamente
os problemas de estilo olímpico, cuja solução não depende da mera aplicação
de alguma fórmula ou algoritmo, mas sim da detecção de algum padrão
(justamente por meio de experimentos) e do raciocínio lógico (extremamente
importante em qualquer aspecto da vida e não apenas nas aulas de
matemática).
As revistas Eureka (que podem ser obtidas gratuitamente na web),
especialmente as mais antigas, trazem alguns artigos muito interessantes que
mostram formas de raciocínio matemático (e inúmeros exemplos de
aplicação) perfeitamente acessíveis a um aluno normal. Coisas como
Paridade, Princípio do Elemento Extremo, Princípio da Invariância, etc.
deveriam, a meu ver, fazer parte do currículo normal de matemática.
Pergunta - Profª. Marcela Costa:
4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
matemática?
Resposta - Claudio Buffara:
Aplicabilidade direta, especialmente a situações do dia-a-dia, realmente acho
que não há. Mas, por favor, leia o que segue...
Me parece que, de uns tempos pra cá, a matemática ensinada nas escolas
ficou muito utilitarista. Por exemplo, todas as questões do Enem - hoje em dia,
o mais importante exame de admissão ao ensino superior e que, portanto, dita
o currículo do Ensino Médio - são contextualizadas, ou seja, contém alguma
aplicação ao "mundo real". Questões teóricas foram banidas do exame.
Isso parece traduzir uma filosofia de ensino segundo a qual a matemática só
serve para ser aplicada, de preferência na solução de problemas encontrados
pelos cidadão comuns.
Convenhamos, as aplicações da matemática no dia-a-dia se resumem a alguns
problemas simples de finanças pessoais, pesos e medidas e interpretação de
tabelas, gráficos e mapas.
Se é só isso, então não vejo porque alguém deveria estudar matemática além
do 7º ou 8º ano da escola.
Só que, se você pensar um pouco, NÃO É SÓ ISSO.
Afinal, praticamente todas as ocupações de alto nível exigem, se não
habilidades quantitativas avançadas, pelo menos uma boa dose de criatividade
e a habilidade de raciocinar logicamente e abstratamente (pense no trabalho
do presidente de uma empresa, por exemplo).
Na minha opinião (e certamente há quem discorde) a matemática é a matéria
da escola onde estas habilidades podem ser melhor desenvolvidas. (É isso
mesmo! Criatividade. Em matemática...) Desde que o currículo favoreça este
desenvolvimento, é claro.
Dá pra imaginar um currículo de matemática começando no 5º ou 6º ano da
escola no qual os tópicos são apresentados e desenvolvidos da mesma forma
como ocorre o processo de descoberta em matemática. Este, em sua essência,
consiste de três estágios:
1) observação de um dado fenômeno / detecção de um padrão - na prática,
isso poderia ser feito por meio de um problema introdutório, que seria
proposto aos alunos no início da apresentação do tópico - repare que, nesta
fase, a matemática é uma ciência experimental;
2) formulação de uma conjectura que explique este padrão;
3) demonstração lógico-dedutiva da conjectura.
Dá até mencionar um quarto estágio:
4) generalização do resultado obtido.
Um currículo de matemática baseado em padrões, conjecturas e
demonstrações certamente se assemelharia mais ao "currículo" das
olimpíadas de matemática e conteria problemas de estilo olímpico, ainda que
não tão difíceis.
Mas o mais importante, a meu ver, é que tal currículo traria, para os alunos,
benefícios muito maiores e mais duradouros do que o currículo atual.
Repare que a grande mudança não seria no conteúdo em si, mas sim na forma
de absorver este conteúdo e de atacar os problemas.
Ao invés de serem espectadores passivos, eles aprenderiam a experimentar,
exercitariam a criatividade e o raciocínio lógico-dedutivo, se acostumariam a
trabalhar com abstrações e aprenderiam a organizar o pensamento com vias a
resolver problemas e a apreender e compreender a realidade. Estas são
habilidades que devem estar no repertório de todos os cidadãos e não apenas
dos matemáticos, cientistas ou engenheiros.

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QUESTÕES PUC-RIO - PERGUNTAS PRO CLAUDIO BUFFARA

  • 1. QUESTÕES PUC-RIO - PERGUNTAS PRO CLAUDIO BUFFARA Claudio Buffara – Rio de Janeiro
  • 2. O artigo que selecionei hoje trata de um questionamento feito a mim e que gerou um saudável debate de ideias sobre a metodologia utilizada no ensino de matemática nas escolas brasileiras. Este debate ocorreu na lista obm-l presente no forum PUC-RIO do qual tenho o enorme prazer de participar há alguns anos. Dito isso, farei a transcrição dos questionamentos abaixo:
  • 3. Pergunta - Profª. Marcela Costa: Caros participantes da lista obm-l. Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou a respeito do ensino de matemática e decidi participar. Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
  • 4. 1) O Sr. Claudio Buffara diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos? Resposta - Claudio Buffara: Duas coleções de livros didáticos de EF2 (6º ao 9º ano) que examinei (Matemática - Compreensão e Prática, de Ênio Silveira e Cláudio Marques; Matemática - Imenes e Lellis, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis) apresentam produtos notáveis no volume correspondente ao 8º ano, sem qualquer menção à propriedade distributiva (ou à comutativa). Ambos só vão mencionar a aplicação mais importante do produto notável (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - o estudo da função quadrática (incluindo aí a resolução da equação de 2º grau) no livro do 9º ano.
  • 5. Ou seja, os produtos notáveis ficam "jogados" lá no 8º ano, sendo apresentados sem qualquer motivação ou aplicação relevante e sem que se chame a atenção dos alunos para as propriedades das operações que eles embutem. Além disso, nenhuma das duas coleções dá qualquer ênfase à ideia de se "completar quadrados". A primeira, no livro do 9º ano, até deduz a fórmula das raízes da equação do 2º grau, mas os passos da dedução não têm qualquer motivação, o que, a meu ver, faz com que os alunos pensem que vem de alguma "inspiração divina". A outra apenas enuncia a fórmula, sem qualquer justificativa ou demonstração. Incidentalmente, foi assim que eu "aprendi" quando estava na escola. Só ouvi falar em "completar quadrados" no curso de Cálculo I da faculdade de engenharia, ao estudar métodos de integração.
  • 6. Como ensinar melhor? Primeiro, explicar a relevância da distributividade e da comutatividade. Depois, motivar a introdução de cada produto notável por meio de um problema. Por exemplo, resolver a equação x^2 - 14x + 45 = 0; Começar sugerindo aos alunos a ideia de "completar quadrados", comparando a equação original com o PADRÃO do produto notável (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2.
  • 7. Assim, no exemplo, a comparação de coeficientes de mesmo grau resulta em se 2a= 14, de modo que a = 7 e o produto notável fica (x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49; Agora, como fazer para transformar x^2 - 14x +45 em x^2 - 14x + 49?; etc… Ou seja, a ideia é fazer com que os alunos, por meio do exame de exemplos concretos, descubram eles mesmos a "fórmula de Bhaskara". Além disso, eu também faria com que os alunos generalizassem os produtos (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 e (x - y)(x + y) = x^2 - y^2
  • 8. para expoentes maiores, fazendo-os chegar ao teorema do binômio e à fórmula da soma dos termos de uma PG. A ideia geral é fazer com que os alunos experimentem, descubram padrões, formulem conjecturas, demonstrem estas conjecturas e depois generalizem. A realização de uma investigação pelos próprios alunos (guiada pelo professor, claro!) que os levasse de produtos notáveis até PGs e teorema do binômio, passando por equações do 2º grau e função quadrática, seria, a meu ver, um enorme progresso no ensino da matemática. E estamos falando de um único tópico… Só que hoje em dia, os alunos da grande maioria das aulas de matemática são espectadores passivos. Nem deve passar pelas cabeças deles que matemática é algo que as pessoas FAZEM e que, quando está sendo criada, é uma ciência experimental.
  • 9. Pergunta - Profª. Marcela Costa: 2) O Sr. Claudio Buffara não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que o Sr. Buffara tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à elite dos "olímpicos"? Resposta Claudio Buffara: Expressar minha opinião sobre um tema não é arrogância em hipótese alguma. Você até poderia desconsiderar minha opinião, por exemplo, pelo fato de eu não ser professor, ou discordar dela, por achar, no caso, que o assunto está sim sendo bem ensinado. Sobre "talento acima da média", eu diria que minha habilidade matemática não é inata mas vem, isso sim, de anos de estudo e prática na resolução de problemas.
  • 10. Além disso, habilidade matemática é claramente uma questão de grau: conheço várias pessoas, até mesmo na lista obm-l, que têm muito mais habilidade matemática do que eu. Eu até acho que gênios da matemática existem, mas são extremamente raros. Creio que a maioria dos grandes matemáticos do passado e do presente conseguiram sua reputação muito mais por meio de muito trabalho duro do que por genialidade. Por outro lado, acho que um bom professor de matemática pode fornecer o incentivo, dar o empurrão necessário para que um dado aluno passe a apreciar e a se destacar na matéria.
  • 11. Pergunta - Profª. Marcela Costa: 3) O Sr. Claudio Buffara não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos acaba por alienar os alunos normais? Resposta - Claudio Buffara: Não entendo que haja qualquer exibicionismo. Até pode ser que um ou outro participante da lista queira mostrar como é bom em matemática. Todo mundo tem ego... Mas acho que estes casos, se existirem, são um minoria bem pequena. Como outros já disseram, esta é uma lista dedicada principalmente à discussão de problema de olimpíadas, que são mais difíceis (às vezes, muitíssimo mais difíceis) do que os problemas que aparecem na matemática escolar.
  • 12. Ainda assim, acho que você pode estar certa ao afirmar que problemas dificílimos (especialmente se tiverem soluções "mágicas") têm o potencial de desmotivar alunos "normais", que podem passar a achar que matemática é para "gênios". Eu acho que esta noção pode ser bastante enfraquecida se, nas escolas, a matemática passar a ser ensinada com base em experimentos e conjecturas. Ou seja, é importante fazer os alunos se mexerem e pensarem. Mas "raciocínio matemático" é algo que precisa ser ensinado. E um bom treino são justamente os problemas de estilo olímpico, cuja solução não depende da mera aplicação de alguma fórmula ou algoritmo, mas sim da detecção de algum padrão (justamente por meio de experimentos) e do raciocínio lógico (extremamente importante em qualquer aspecto da vida e não apenas nas aulas de matemática).
  • 13. As revistas Eureka (que podem ser obtidas gratuitamente na web), especialmente as mais antigas, trazem alguns artigos muito interessantes que mostram formas de raciocínio matemático (e inúmeros exemplos de aplicação) perfeitamente acessíveis a um aluno normal. Coisas como Paridade, Princípio do Elemento Extremo, Princípio da Invariância, etc. deveriam, a meu ver, fazer parte do currículo normal de matemática.
  • 14. Pergunta - Profª. Marcela Costa: 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de matemática? Resposta - Claudio Buffara: Aplicabilidade direta, especialmente a situações do dia-a-dia, realmente acho que não há. Mas, por favor, leia o que segue... Me parece que, de uns tempos pra cá, a matemática ensinada nas escolas ficou muito utilitarista. Por exemplo, todas as questões do Enem - hoje em dia, o mais importante exame de admissão ao ensino superior e que, portanto, dita o currículo do Ensino Médio - são contextualizadas, ou seja, contém alguma aplicação ao "mundo real". Questões teóricas foram banidas do exame.
  • 15. Isso parece traduzir uma filosofia de ensino segundo a qual a matemática só serve para ser aplicada, de preferência na solução de problemas encontrados pelos cidadão comuns. Convenhamos, as aplicações da matemática no dia-a-dia se resumem a alguns problemas simples de finanças pessoais, pesos e medidas e interpretação de tabelas, gráficos e mapas. Se é só isso, então não vejo porque alguém deveria estudar matemática além do 7º ou 8º ano da escola.
  • 16. Só que, se você pensar um pouco, NÃO É SÓ ISSO. Afinal, praticamente todas as ocupações de alto nível exigem, se não habilidades quantitativas avançadas, pelo menos uma boa dose de criatividade e a habilidade de raciocinar logicamente e abstratamente (pense no trabalho do presidente de uma empresa, por exemplo). Na minha opinião (e certamente há quem discorde) a matemática é a matéria da escola onde estas habilidades podem ser melhor desenvolvidas. (É isso mesmo! Criatividade. Em matemática...) Desde que o currículo favoreça este desenvolvimento, é claro.
  • 17. Dá pra imaginar um currículo de matemática começando no 5º ou 6º ano da escola no qual os tópicos são apresentados e desenvolvidos da mesma forma como ocorre o processo de descoberta em matemática. Este, em sua essência, consiste de três estágios: 1) observação de um dado fenômeno / detecção de um padrão - na prática, isso poderia ser feito por meio de um problema introdutório, que seria proposto aos alunos no início da apresentação do tópico - repare que, nesta fase, a matemática é uma ciência experimental; 2) formulação de uma conjectura que explique este padrão; 3) demonstração lógico-dedutiva da conjectura. Dá até mencionar um quarto estágio: 4) generalização do resultado obtido.
  • 18. Um currículo de matemática baseado em padrões, conjecturas e demonstrações certamente se assemelharia mais ao "currículo" das olimpíadas de matemática e conteria problemas de estilo olímpico, ainda que não tão difíceis. Mas o mais importante, a meu ver, é que tal currículo traria, para os alunos, benefícios muito maiores e mais duradouros do que o currículo atual. Repare que a grande mudança não seria no conteúdo em si, mas sim na forma de absorver este conteúdo e de atacar os problemas. Ao invés de serem espectadores passivos, eles aprenderiam a experimentar, exercitariam a criatividade e o raciocínio lógico-dedutivo, se acostumariam a trabalhar com abstrações e aprenderiam a organizar o pensamento com vias a resolver problemas e a apreender e compreender a realidade. Estas são habilidades que devem estar no repertório de todos os cidadãos e não apenas dos matemáticos, cientistas ou engenheiros.