PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

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PITÁGORAS TRABALHO DA ESPECIALIZAÇÃO

  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PROGRAMA DE ESTUDOS PÓS-GRADUADOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA IVANIA DE OLIVEIRA ADRIANO BARBOSA CÉLIO ROBERTO ROBERTO ASSUNÇÃO VITOR MASAKATSU TEOREMA DE PITÁGORAS, ANÁLISE SEGUNDO A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICA E DEMONSTRAÇÕES INSTRUMENTO DE AVALIAÇÃO FUNDAMENTOS DA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA SÃO PAULO, MAIO/2010
  2. 2. ÍNDICE INTRODUÇÃO........................................................................................................ 3 CAPÍTULO I. PROBLEMÁTICA............................................................................. 5 CAPÍTULO II. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLOGIA DE PESQUISA.....................9 Etapa 1. Dialética da ação.......................................................................................8 Etapa 2. Dialética da formulação.............................................................................8 Etapa 3. Dialética da validação................................................................................9 Etapa 4. Dialética da institucionalização..................................................................9 CAPÍTULO III. UM POUCO DE HISTÓRIA...........................................................12 CAPÍTULO IV. OBJETO DE ESTUDO..................................................................17 Análise do ponto de vista didático..........................................................................19 Demonstração 1.....................................................................................................20 Demonstração 2 W. Rupert....................................................................................22 Demonstração 3.....................................................................................................23 Demonstração 4.....................................................................................................24 Demonstração 5.....................................................................................................25 Demonstração 6.....................................................................................................26 Demonstração 7 Bháskara.....................................................................................27 Demonstração 8 Hindu...........................................................................................28 Demonstração 9.....................................................................................................30 Demonstração 10 Leonardo Da Vinci.....................................................................31 Demonstração 11 Papus........................................................................................32 Demonstração 12 Bháskara...................................................................................30 Demonstração 13...................................................................................................35 Demonstração 14 Paulus Gerdes..........................................................................37 Demonstração 15 Euclides.....................................................................................38 CAPÍTULO V. LIVROS DIDÁTICOS.....................................................................43 CAPÍTULO VI. SITUÇÃO PROBLEMA E SEQUENCIA DIDÁTICA.....................47 Situação Problema.................................................................................................47 CONCLUSÃO........................................................................................................56 REFERÊNCIAS.....................................................................................................57 APÊNDICE.............................................................................................................59 2
  3. 3. INTRODUÇÃO O teorema de Pitágoras fez e ainda faz muito sucesso, principalmente, no ensino, isso devido a sua grande aplicabilidade na resolução de diversos problemas, assim, esse trabalho se propõe a analisá-lo em diversos aspectos, tendo como objetivos, mostrar um pouco sobre a sua evolução, suas demonstrações, sua transposição no ensino e os entraves enfrentados por alunos em sua construção e uso. Além disso, propõe mais uma forma de determinar e introduzir o Teorema de Pitágoras no Ensino Fundamental II em turmas de nonos anos, a antiga oitava série. O primeiro capítulo desenvolve-se sobre a problemática abordada, para possível intervenção no processo de ensino e aprendizagem do teorema de Pitágoras, considerando alguns estudos já realizados em torno dos fenômenos de ensino e aprendizagem ligados a esse tema. O segundo capítulo, Fundamentação Teórica e Metodologia de Pesquisa, apresentam alguns conceitos básicos da Didática da Matemática que fundamentaram nossa pesquisa, bem como a metodologia e os procedimentos que serviram de instrumentos teóricos para responder as questões do trabalho. O terceiro capítulo trata da parte histórica da matemática, isto é, o período em que a teoria foi desenvolvida, fala do seu percussor que deu início ao estudo a partir da observação da medição de terras por egípcios. O capítulo irá relatar a vida de Pitágoras, suas viagens pelo mundo e o grupo pitagórico que se formou para se estudar matemática e filosofia. O quarto capítulo, Objeto de Estudo, trata do objeto de estudo que é o Teorema de Pitágoras. Nesta etapa ocorre a demonstração do teorema de diversas formas e por diversos teóricos e uma pequena análise didática e matemática sobre as demonstrações. As demonstrações foram retiradas de trabalhos acadêmicos e algumas demonstrações foram realizadas pelo próprio grupo. O quinto trata da análise e comparação do conceito, em livros didáticos com o PCN. Os livros foram escolhidos a partir da publicação de 2000, porque se acredita que estes seguem ou tentam obedecer à proposta dos PCNs, trazendo 3
  4. 4. algumas informações históricas, pequenas demonstrações e atividades que envolvem objetos do dia a dia dos alunos. No capítulo seis, Situação-Problema e Seqüência Didática, discorre nossa possível intervenção no processo de ensino e aprendizagem. Nesta fase encontra-se a proposta de situação-problema e como essa pode ser aplicada, primeiramente com a interpretação da situação com o auxilio de um texto e posteriormente com a manipulação de recortes de figuras geométricas que determinam triângulos retângulos relacionados com a situação-problema. Serão tratadas também nesse trabalho, as principais variáveis didáticas envolvidas na situação-problema proposta, fazendo-se as considerações sobre as estratégias que deverão ser tomadas, destacando os conhecimentos prévios dos alunos, prevendo dificuldades para a resolução do problema e os conhecimentos que os alunos podem adquirir durante a realização da atividade e por fim institucionalizar o conceito do Teorema de Pitágoras. 4
  5. 5. CAPÍTULO I. PROBLEMÁTICA Um dos problemas que sempre encontramos no processo de ensinoaprendizagem no terceiro e no quarto ciclos do ensino fundamental, bem como nas últimas séries do ensino médio é a não compreensão de vários conceitos matemáticos, que em sua maioria se não absoluta, não é demonstrada, não é provada, são simplesmente mostradas. A não demonstração dos conceitos matemáticos e por conseqüência a dificuldade na aprendizagem por parte dos alunos, seria um problema estrutural nas diretrizes educacionais? Ou seria a falta de conhecimentos teóricos por parte dos professores para fundamentar os conceitos matemáticos? Para analisar e responder a essas questões procuramos nos orientar nos PCN e conceituar com objeto matemático. O que diz o PCN: Em nosso país o ensino de matemática ainda é marcado pelos altos índices de retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos sem compreensão (PCN, terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental, 1998, p. 21). Em outro trecho do PCN com título quadro atual do ensino de matemática no Brasil diz (... os professores apóiam - se quase que exclusivamente nos livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade insatisfatória). Se compararmos o que diz o PCN e os baixos índices de aproveitamento dos alunos, principalmente da rede pública, percebemos que não mudou muita coisa de 1998 até agora. Uma reflexão mais ampla deve ser feita, para situar cada parte do processo de ensino e aproximar a matemática aos alunos como instrumento de utilidade na sociedade. O objeto de estudo que escolhemos para situar com a falta de demonstração dos conceitos matemáticos foi o teorema de Pitágoras, poderíamos ter escolhido equação do segundo grau e analisar a “fórmula de Bháskara” que na maioria das vezes não é necessária, e outros diversos objetos matemáticos que na maioria das vezes é apresentado através de fórmulas para aprendizado. Ao 5
  6. 6. pesquisar vários livros sobre o teorema de Pitágoras, percebemos que todos trazem a mesma proposta para fixação do teorema, que aparece com a seguinte apresentação: Figura 31 – Teorema de Pitágoras. Fazendo um levantamento relacionado ao desenvolvimento do Teorema de Pitágoras identificam-se erros freqüentes cometidos pelos alunos ao utilizá-lo. Os erros podem ser listados como os a seguir:  Aplicam o teorema para qualquer triângulo;  Não identificam os catetos e a hipotenusa, além disso, no cálculo algébrico a incógnita sempre fica no lugar da hipotenusa  Não identificam a propriedade de existência do triângulo e tiram os números de dentro da raiz sem resolver os quadrados e a soma;  Ao ser apresentado figuras geométricas, os alunos têm dificuldades em identificar os triângulos retângulos presentes nas figuras. Segundo Irma Verri Bastian em sua dissertação de mestrado sobre o Teorema de Pitágoras, uma pesquisa foi realizada por Annie Berté (1995) França que apresentou o processo ensino aprendizagem em diversas formas de desenvolver o conteúdo do Teorema de Pitágoras. Colocou em seu trabalho que as dificuldades encontradas pelos alunos são devidas a não estarem engajados na situação problema, ou a situação não traz claro qual é seu objetivo ou o 6
  7. 7. modelo proposto por tabelas pelo professor, as quais deverão ser preenchidas pelos alunos fazendo cálculos utilizando a regra do teorema. Berté defende que o Teorema de Pitágoras QUADRADO DA HIPOTENUSA É IGUAL À SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS deveria ser apresentado no processo de institucionalização. Primeiro deveria ser construída conceitos de construção de triângulos através de mediatrizes, construção de circunferência, condição de existência de triângulos e triângulos retângulos para em fim ser institucionalizado o Teoremas de Pitágoras. De acordo com a teoria proposta por Duval, Registros de Representação Semiótica, as atividades exigem que os alunos façam mudanças de registros para que consigam resolver os problemas. Um exemplo a ser citado é o registro da Geometria onde há o destaque para as figuras geométricas que são transportadas para a linguagem da língua materna quando recorremos ao enunciado, ou quando buscamos respostas na álgebra, etc. As mudanças de registros são feitas pelos alunos inconscientemente, muitos não percebem a mudança e outros não conseguem realizar por não identificarem as necessidades de ferramentas para as resoluções das atividades. Baseando-se na teoria, as interpretações de figuras geométricas se baseiam em perceptiva, discursiva e operatória. A perceptiva é imediata, ao olhar a figura pode-se enxergar sua estrutura, a figura vem acompanhada de legendas enunciadas para evitar que várias hipóteses surjam para resolver o problema. Assim a interpretação discursiva surge logo após a perceptiva com o objetivo de levar a uma solução certa do problema. A interpretação operatória vem com o objetivo de modificar a figura procurando a melhor estratégia de resolução. Identificando os problemas existentes nos alunos de 9º ano do Ensino Fundamenta II, no entendimento do Teorema de Pitágoras e com base nos estudos realizados em livros didáticos e trabalhos já realizados por outras pessoas, propomos no capítulo 6, uma situação-problema e uma seqüência didática a qual visa uma melhor introdução do teorema, a fim de que os alunos analisem, experimentem e conjecturem esse conceito de um modo implícito, passando a perceber que esse teorema é válido somente em triângulos retângulos. A situação virá composta por um problema com enunciado na língua materna acompanhada de uma figura que representa a situação, após as 7
  8. 8. tentativas de resolução com o professor servindo de mediador será, fornecido aos alunos oito triângulos retângulos, os quais serão manipulados para formação de figuras com o objetivo de formar quadrados e triângulos, buscando a demonstração do Teorema de Pitágoras. 8
  9. 9. CAPÍTULO II. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLOGIA DE PESQUISA Para a realização do trabalho e construção da situação-problema, foi primeiramente realizado um estudo sobre alguns trabalhos acadêmicos existentes sobre o Teorema de Pitágoras, análises de livros históricos e didáticos que trazem a teoria, pesquisas em sites, estudo sobre teorias relacionadas com o ensino da matemática e a proposta do PCN’s, no intuito de termos um panorama geral do posicionamento que ocupa o Teorema de Pitágoras no ensino. E para o desenvolvimento da situação-problema e etapas para a sua solução, tendo em vista, a aquisição “inicial” do teorema de Pitágoras por parte dos alunos, consideramos a Teoria das Situações Didáticas, já que está, propõe um processo de ensino e aprendizagem dos objetos matemáticos em que o aluno é o principal ator na construção de seu saber, ficando o professor como mediador de todo esse processo. A teoria das situações didáticas foi desenvolvida por Guy Brousseau no intuito de modelar o processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos. Para o autor, Um processo de aprendizagem pode ser caracterizado de modo geral (se não determinado) por um conjunto de situações identificáveis (naturais ou didáticas) reprodutíveis, conduzindo freqüentemente à modificação comportamentos de alunos, de um modificação conjunto característica de da aquisição de um determinado conjunto de conhecimentos. Para chegar ao objeto matemático o aluno passará por quatro etapas (de ação, de formulação, de validação e de institucionalização) descritas na TSD como modelagem das situações didáticas, sendo as três primeiras correspondentes a fase adidática. Na fase adidática o aluno é o personagem principal na construção de seu saber, sendo a etapa de institucionalização correspondente à fase didática, em que o professor é o principal ator. 9
  10. 10. Etapa 1. Dialética da ação. Ela consiste em colocar o aprendiz numa situação, chamada de situação de ação, tal que: – coloca um problema para o aluno cuja melhor solução, nas condições propostas, é o conhecimento a ensinar; – o aluno possa agir sobre essa situação e que ela lhe retorne informações sobre sua ação. Etapa 2. Dialética da formulação. Nesta fase de uma situação adidática, o aluno troca informações com uma ou várias pessoas, que serão os emissores e receptores, trocando mensagens escritas ou orais. Estas mensagens podem estar redigidas em língua natural ou matemática, segundo cada emissor. Como resultado essa dialética permite criar um modelo explícito que pode ser formulado com sinais e regras comuns, já conhecidas ou novas. É o momento em que o aluno ou grupo de alunos explicita por escrito ou oralmente, as ferramentas que utilizou e a solução encontrada. Etapa 3. Dialética da validação. É a etapa na qual o aprendiz deve mostrar a validade do modelo por ele criado, submetendo a mensagem matemática (modelo de situação) ao julgamento de um interlocutor. De um lado, o emissor deve justificar a exatidão e a pertinência de seu modelo e fornecer se possível, uma validação semântica e sintática. O receptor, por sua vez, pode pedir mais explicações ou rejeitar as mensagens que não entende ou de que discorda, justificando sua rejeição. Etapa 4. Dialética da institucionalização. O professor fixa convencionalmente e explicitamente o estatuto cognitivo do saber. Uma vez construído e validado, o novo conhecimento vai fazer parte do 10
  11. 11. patrimônio matemático da classe. Depois da institucionalização feita pelo professor, o saber torna-se oficial e os alunos devem incorporá-lo a seus esquemas mentais, tornando-o assim disponível para utilização de problemas matemáticos. A partir da fase de institucionalização outras situações com maior grau de dificuldades serão aplicadas. Além dessas etapas, temos a dialética da devolução que ocorre na fase adidática. Nela, o professor posiciona-se como mediador da construção dos saberes por parte dos alunos. 11
  12. 12. CAPÍTULO III. O Teorema de Pitágoras – Um pouco de História Os Parâmetros Curriculares Nacionais justificam a utilização da História da Matemática com objetivo de responder aos porquês e não os pra quês, de forma a contribuir para um olhar mais crítico, por parte dos alunos, sobre os objetos de conhecimento matemático, ressaltando que esse de conhecimento sofreu modificações ao longo da história até se consolidar. Assim, trataremos o objeto do conhecimento matemático – O Teorema de Pitágoras – sob o ponto de vista de seu aspecto histórico. No antigo Egito, mesmo antes de Pitágoras, pessoas já utilizavam algumas propriedades do triângulo retângulo para resolver problemas práticos. Um triângulo retângulo particular feito com corda, como o representado abaixo, era usado para construir ângulos retos, pois, esse tipo de retângulo possui a propriedade pitagórica, garantindo um ângulo reto, ou seja, as medidas dos lados desse tipo de retângulo correspondem a 3, 4 e 5, assim, Pitágoras percebeu a relação entre esse triangulo e outros que eram formados por ternas semelhantes e concluiu seu teorema. Figura 0: Fonte: GIOVANNI, J. R.. JUNIOR, José R. G.. Matemática: Pensar e Descobrir. São Paulo: FTD, 2005. p. 256. 12
  13. 13. Pitágoras (c. 569 – c. 480 a. C) nasceu na ilha de Samos, perto de Mileto, onde 50 anos antes tinha nascido Tales. Embora alguns relatos afirmem que Pitágoras foi discípulo de Tales, isto é, improvável dada diferença de meio século de idade. Foi a partir das idéias desses dois grandes personagens que a Matemática se inicia como ciência e pode se desenvolver enormemente nos séculos seguintes. Pitágoras viajou bastante, esteve no Egito e na Babilônia, há rumores que também esteve na Índia, onde absorveu os conhecimentos matemáticos e as doutrinas religiosas de cada região onde visitou, aliás, foi contemporâneo de Buda, Confúcio e Lao Tse. Voltando a sua terra natal, fundou em Crotona, sudeste da atual Itália, uma escola, uma sociedade secreta, dedicada ao estudo da Matemática e Filosofia, principalmente. Inúmeras biografias de Pitágoras foram escritas, inclusive uma de Aristóteles, mas se perderam, dificultando sua caracterização, além do fato de que sua sociedade secreta era comunitária, onde o conhecimento e propriedade eram comuns, por isso a atribuição de descobertas não era feita a nenhum membro específico, embora na antigüidade fosse usual dar todo crédito ao mestre. Sua sociedade secreta era politicamente conservadora, e havia um rígido código de conduta, seus membros deveriam ser vegetarianos, pois a princípio acreditavam na doutrina da metempsicose ou transmigração das almas, com a preocupação conseqüente de que se podia matar um animal que fosse a nova moradia da alma de um amigo morto. Mas, dentre as doutrinas rígidas da escola, a que mais se destaca consistia na confiança que mantinha no estudo da Filosofia ou “amor à sabedoria” e na Matemática “o que é aprendido”, supõe-se que estas palavras tenham sido criadas pelo próprio Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais. Para eles, os Pitagóricos, a Matemática estava mais relacionada com o amor à sabedoria do que com as exigências da vida prática, e essa foi sua tendência a partir daí. O Teorema de Pitágoras é um dos mais belos e importantes teoremas da Matemática de todos os tempos e ocupa uma posição especial na história do nosso conhecimento matemático, foi onde tudo começou, pois até então, a Matemática se preocupava apenas com os problemas de exigência prática. Tales 13
  14. 14. foi o primeiro a se preocupar em demonstrar, mas sem dúvida, foram os Pitagóricos, que contribuíram de forma significativa na consolidação desta prática. Não temos certeza qual foi á demonstração do teorema que Pitágoras utilizou, há indícios que se trata de uma demonstração referente á áreas de quadrados a partir dos lados de um triângulo retângulo, a partir daí, diversas demonstrações do teorema apareceram. Em 1940 o matemático americano Elisha Scott Loomis publicou 370 demonstrações do teorema. Mas há provas concretas que os babilônios antigos conheciam o Teorema de Pitágoras. Muitos tabletes de barro, dotados de 1800 a 1600 a.C foram encontrados, decifrados e hoje estão em diversos museus. Figura 1 - Plimptom 322 Um deles, chamado Plimptom 322, ou melhor, tableta número 322 na Plimptom Collection da Columbia University, e o fragmento que foi que foi preservado mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas de números .Os pesquisadores descobriram que esta tabela continha ternos pitagóricos, ou seja, lados de uma triângulo retângulo. Como o que restou é apenas um pedaço de um 14
  15. 15. tablete, que deveria fazer parte de um conjunto de tabletes, não se sabe ao certo como esses números foram encontrados. Figura 2 - Podemos evidenciar na imagem acima uma tabela de 15 linhas com 3 colunas como no tablete Plimptom 322. Mais uma evidência de que os Babilônios conheciam os ternos pitagóricos, está num tablete do museu da Universidade de Yale, é o único que contém figuras; um quadrado e suas diagonais. Figura 3 - Tablete em exposição na Universidade de Yale 15
  16. 16. Neste pequeno fragmento de tablete, o lado do quadrado é igual a 30 e o comprimento da diagonal aparece como 42, 25, 35. Como os Babilônios escreviam os números na base 60, o comprimento de sua diagonal, em notação moderna Assim, dividindo por excepcional para , resulta em , uma aproximação com seis casas decimais corretas. Isto mostra, sem dúvida, que os Babilônios tinham conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo. Não há nenhuma demonstração, evidentemente, pois ainda estava longe de ser uma preocupação dos matemáticos da época, afinal conheciam as receitas que davam certo e, com elas, resolviam inúmeros problemas. Coube a Pitágoras, ou a sua sociedade secreta, os pitagóricos, em demonstrar o teorema e romper com o modelo de matemática praticado até o momento, dando início a uma nova forma de se fazer matemática, de se estudar matemática e principalmente, de aprender matemática, através de suas demonstrações. 16
  17. 17. CAPÍTULO IV. OBJETO DE ESTUDO O teorema de Pitágoras é importante, pois a partir dele construímos e generalizamos diversas situações matemáticas, na área da Geometria em relações métricas de triângulos, e Trigonometria em razões trigonométricas e também possui grande importância no estudo da Física como, por exemplo, no campo da Óptica. Sua definição é determinada e dada por: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A demonstração pode ser realizada de diversas maneiras que iremos mostrar de acordo com que aparece nos livros didáticos analisados. Baseado nos estudos de Pitágoras, Euclides faz a demonstração do teorema desenhando três quadrados em cada um dos lados do triângulo 3 ,4 , 5, dividindo depois esse quadrado em quadrados menores com lados de uma unidade de medida. Figura 5 – Demonstração do teorema por quadrados. Analisando a figura temos que a área do quadrado desenhado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados desenhados sobre os catetos. 5² = 4² + 3² → 25 = 16 + 9 → 25 = 25 Portanto: a² = b² + c² Outra demonstração que aparece nos livros 2, 3 e 4 é a demonstração através de áreas de quadrados inscritos. 17
  18. 18. Figura 6 - Demonstração através de áreas de quadrados inscritos. A demonstração a seguir é através do cálculo de áreas, utilizando quadrado de medida de lado b + c. Nesta figura VTRS é um quadrado de lado a e as demais figuras são retângulos congruentes com lados de medidas a, b, e c. área AMNP = área de VTRS + 4 . área de QVT ↓ ( b + c )² ↓ = a² ↓ + 4.b.c 2 ( b + c)² = a² + 2.b.c b² + 2. b . c + c² = a² + 2 . b. c b² + c² a² = 18
  19. 19. Figura 7 – Cálculo de áreas. Na figura 7, XFYL e HJLZ são quadrados com lados de medida c e b, respectivamente; já EXLJ e LYGZ são retângulos congruentes com lados de medida c e b. , área RFGH = área HLJZ + área XFYL + 2 . área EXLJ ↓ ( b + c )² ↓ = b² ↓ + ↓ c² + 2 . bc Como os quadrados ABCD e EFGH têm lados de medidas iguais, eles têm áreas iguais, ou seja: a² + 2bc = b² + c² + 2bc → a² = b² + c² Análise do ponto de vista didático Essas demonstrações fazem com que o aluno mobilize seus conhecimentos de áreas, principalmente áreas de triângulos e quadrados. Através do quadrado é possível calcular as áreas de outras figuras inseridas no mesmo 19
  20. 20. em função das medidas de seus lados, criando assim uma relação entre as medidas dos lados das figuras inseridas e do quadrado. Somando as áreas das figuras inseridas temos a área do quadrado externo onde iremos encontrar a definição do Teorema de Pitágoras. Existem outras demonstrações que envolvem lei dos cossenos, teorema de Tales. Abaixo segue outras demonstrações mais complexas apropriadas para serem desenvolvidas no Ensino Médio, pois exigem mais conhecimentos em relações as demonstrações acima, que são orientadas para Ensino Fundamental II. As demonstrações abaixo foram retiradas da tese de Mestrado de Irma Verri Bastian – Teorema de Pitágoras, defendida em 2000 na instituição Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Demonstração 1: Usando-se a semelhança de triângulos pode ser feita a demonstração da relação do Teorema de Pitágoras. Figura 8 – Semelhança de triângulos. Seja ABC um triângulo retângulo em A. AH é a altura relativa à hipotenusa. 20
  21. 21. I) HBA ~ ABC  HB HA BA   AB AC BC ou m h c   c b a  c 2  am ah  bc II) HBA ~ ABC  HB HA BA   AB AC BC ou m h a   h n b  h 2  mn III) HAC ~ ABC  HA HC AC   AB AC BC ou h n b   c b a  b 2  an IV) De c 2  am e b 2  na decorre que b 2  c 2  an  am  b 2  c 2  a(n  m) Mas como m  n  a então b 2  c 2  a 2 21
  22. 22. Demonstração 2 Do tipo algébrico atribuída a W. Rupert, 1900; utilizando-se uma circunferência. Figura 9 – Demonstração utilizando circunferência. Seja o triângulo AHB retângulo em H. Com centro em B e raio AB, traça-se a circunferência. Pelo teorema das Cordas: HE  HC  AH  HD mas HE  h  a HC  h  a AH  b HD  b  (h  a )(h  a )  bb h2  a 2  b2 h2  a 2  b2 22
  23. 23. Demonstração 3: Demonstração do tipo algébrico por meio do uso de uma circunferência. Figura 10 – Demonstração utilizando circunferência. Seja o triângulo AHB retângulo em H, AB  h . Com centro em A, traça-se a circunferência de raio AH  b . ^ Tem-se BHC ~ BDH pois m( B H C )  1 (arcCH ) e 2 ^ BH BC HC   . m( B D C )  1 (arcCH ) , então 2 BD BH DH  a h b  hb a a 2  h2  b2  h2  a 2  b 2 23
  24. 24. Demonstração 4: Demonstração do tipo algébrico por meio da razão entre áreas. Figura 11 – Demonstração utilizando razão entre áreas. Seja HC  AB 1 1 1 ( x  y) z ( xz ) ( yz ) Tem-se ABH ~ AHC ~ HBC  2 2 2 2  2 2 h b a Pois as áreas de figuras semelhantes são proporcionais ao quadrado da razão de semelhança, sendo: AB  h AC  x HB  a CB  y HA  b HC  z 1 1 1 ( x  y) z ( xz )  ( yz ) 2 2 2 Mas  2 2 h b  a2 Pela propriedade das proporções, podemos dizer que, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente. 1 1 ( x  y) z ( x  y) z Então, 2 2  2 2 h b  a2 24
  25. 25.  h2  a 2  b 2 Do fato de os antecedentes serem iguais, conclui-se que a igualdade dos conseqüentes. Demonstração 5 Demonstração do tipo algébrico utilizando-se cosseno. Figura 12 – Demonstração utilizando cosseno. Usando os triângulos retângulos AHC e ABC tem-se: ^ CH CA   cos C CA CB Nos triângulos retângulos AHB e ABC valem: ^ BH BA   cos B BA BC Então, (CA) 2  CB  CH e ( BA) 2  BC  BH Logo ( AB) 2  ( AC ) 2  BC ( BH  HC )  ( AB ) 2  ( AC ) 2  ( BC ) 2 25
  26. 26. Demonstração 6 Demonstração do tipo algébrico ou geométrico, por meio da comparação de áreas. Figura 13 – Demonstração utilizando comparação de áreas. A área do trapézio retângulo de bases b e c e altura (b  c) é igual a ( c  b)(b  c) . 2 Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de três triângulos retângulos: bc bc a 2   2 2 2 Então (b  c) 2 2bc a 2   2 2 2 i.é. b 2  2bc  c 2  2bc  a 2 b2  c 2  a 2 26
  27. 27. Demonstração 7 Demonstração de Bhaskara, século XII d.C. Segundo os historiadores, Bhaskara desenhou apenas a figura com o comentário “Veja!”. Entretanto, não fica muito claro se “a figura” compreende o quadrado inicial (Fig. 2) e também a reconfiguração (Fig. 3). Se somente a Fig. 2 for considerada, a demonstração pode ser pensada como sendo do tipo algébrico, mas a inclusão da Fig. 3, a qual é uma reconfiguração da Fig. 2, Leva a crer numa demonstração do tipo geométrico. Figura 14 – Demonstração de Bhaskara. O quadrado sobre a hipotenusa na Figura 14 (Fig. 2) é decomposto em quatro triângulos, cada um deles congruente ao triângulo dado, mas um quadrado cuja medida de lado é b - c. Dispondo as partes como mostra a Figura 14 (Fig. 3), obtém-se dois quadrados justapostos. Mas a área da Figura 14 (Fig. 2) é igual a área da Figura 14 (Fig. 3). Como área da Figura 14 (Fig. 2) é igual a a2, área da Fig. 3 é b2 + c2 Então, a 2  b 2  c 2 Algebricamente, na Figura 14 (Fig. 2): 4 bc  (b  c) 2  a 2 , então: 2bc  b 2  2bc  c 2  a 2 2 b2  c 2  a 2 27
  28. 28. Demonstração 8 - Hindu Demonstração geométrica por transposição de elementos, por meio de equivalência. Figura 15 – Demonstração de Hindu. Retirando-se os quatro triângulos hachurados de cada uma das figuras obtêm-se: Na Figura 15 (Fig. 1), um quadrado de lado a e na Figura 15 (Fig. 2), um quadrado de lado b e um quadrado de lado c. Em outra palavras, o complementas dos quatros triângulos, na Figura 15 (Fig. 1), é o quadrado que tem como lado a hipotenusa do triângulo retângulo. Reconfigurando-se de modo conveniente os quatro triângulos, o complementar deles, em relação ao quadrado maior, é a reunião dos quadrados cujos lados são os catetos. Logo, a área do quadrado de lado “a” é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem “b” e “c” ou seja, a 2  b 2  c Algebricamente: Para a Figura 15 (Fig. 1): (b  c) 2  a 2  4 bc 2 Para a Figura 15 (Fig. 2): (b  c) 2  b 2  c 2  4 bc 2  a 2  2bc  b 2  c 2  2bc a 2  b2  c2 Rigorosamente, o que ocorre é a seguinte Figura 15 (Fig. 3): 28
  29. 29. A partir do triângulo ABC, retângulo em A, traça-se o quadrado APQR, tomando PC  MQ  NR  AB e PM  QN  BR  AC Quando os quatro triângulos retângulos, que tem respectivamente as mesmas medidas para os catetos, são “recortados”, está sendo admitido implicitamente o fato de que as hipotenusas e os ângulos agudos têm também, respectivamente, as mesmas medidas, pois os triângulos são os mesmos. É necessário utilizar o caso L.A.L de congruência de triângulos para justificar que BCMN é um quadrado. Em detalhes: ABC  PCM  QMN  RNB Então CM  MN  NB  BC , Resta mostrar que os ângulos do quadrilátero BCMN são retos. Figura 16 – Ampliação da figura 3. Das congruências do item anterior, decorrem: ^ m( P C M )  x ^ e m( P M C )  y 29
  30. 30. ^ Mas x  m(M C B)  y  180o ^ Como x  y  90o , segue que M C B é reto (analogamente para os outros triângulos). As demonstrações a seguir é proveniente de uma monografia de conclusão do curso de licenciatura em Matemática dos autores: Ana Caroline Silva Nascimento, Augusto Raimundo Santana Aguiar, Inês Meira Lima, da Universidade de estadual do Sudoeste da Bahia em 2004. Demonstração 9 -Tradicional No triângulo BAC retângulo em A, a altura AD,(perpendicular a BC) relativa a Hipotenusa, forma dois ângulos semelhantes ao próprio triângulo, em vista da congruência dos ângulos (BÂD =C , complemento de B, CÂD= B, complemento de C). Portanto, temos proporcionalidades entre os dois lados homólogos, um para cada triângulo parcial com o total: Figura 17 – Demonstração por congruência de triângulos. 30
  31. 31. c n  a c b m  a b c2  n a b2  m  a b2  c2  m  a  n  a b 2  c 2  a  ( m  n) b2  c2  a  a b2  c2  a2 Análise do ponto de vista didático A demonstração acima irá mobilizar o conhecimento já existente no aluno sobre o conteúdo de relações métricas em triângulos retângulos. Demonstração 10 Leonardo Da Vinci O italiano Leonardo da Vinci (1452- 1519) foi um homem brilhante, cujas idéias estavam á frente de seu tempo. Além de ter sido um excelente pintor e escultor, aprofundou-se em diversas áreas do conhecimento, entre elas, anatomia, arquitetura, astronomia e botânica. O gênio criador de Mona Lisa também concedeu uma demonstração do teorema de Pitágoras. Figura 18 – Demonstração Leonardo Da Vinci. 31
  32. 32. Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI E GEJI são congruentes, pois têm a mesma forma e as mesmas medidas. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado FEJH é soma dos quadrados ABGF e CDEG. Análise do ponto de vista didático O aluno irá tentar descobrir o teorema através do calculo de áreas de quadriláteros. Demonstração11 Papus Não se trata apenas de uma nova demonstração, mas de uma generalização bastante interessante do teorema de Pitágoras. Em vez um triângulo retângulo, toma-se um triângulo qualquer ABC, em vez de quadrados sobre os lados, tomase paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se que o terceiro cumpra a condição de CD ser paralelo a há e com o mesmo comprimento. Figura 19 – Demonstração Papus. 32
  33. 33. O teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma das áreas de ABFG e AIJC. A demonstração se baseia na simples observação de que dois paralelogramos com base de mesmo comprimento têm a mesma área. Assim por um lado, a mesma área que BMNE. Seguem-se as áreas de BMNE e ABFG são iguais. Da mesma forma são iguais as áreas de CDNM e CAIJ. Portanto, a área de BCE é a soma das áreas de ABFG e CAIJ. O teorema de Pitágoras é o caso particular do de Papus. Basta tomar o triângulo ABC retângulo e três quadrados em lugar dos três paralelogramos. Análise didática O teorema é demonstrado pela área de um triângulo retângulo e três quadrados. Demonstração 12. Bháskara Bháskara (1114- 1185), matemático hindu, ensinou no maior centro do país, em Ujjaim, e seu trabalho mais célebre foi o manuscrito Lilavati (nome de sua filha). Certamente nenhuma demonstração do teorema usa menos palavras que a do matemático Bháskara, que se limitou a desenhar a figura e escrever junto a ela a palavra “veja”. Um pouco de álgebra, porém, explica o que Bháskara via de tão fascinante. Vamos acompanhar outra demonstração de Bháskara. Desenhamos quatro triângulos retângulos. Figura 20 – Demonstração Bháscara. Desenhamos e recortamos um quadrado cujo lado seja igual à diferença entre os catetos do triângulo retângulo, o lado do quadrado deve ser: c-b (suponhamos c>b) 33
  34. 34. Figura 21 – Demonstração Bháscara. Com os quatros triângulos e este quadrado, montamos um quadrado maior de lado a 34
  35. 35. Figura 22 – Demonstração Bháskara. A área da figura toda é igual à soma das áreas das partes em que ela foi dividida, isto é, a área do quadrado de lado a é igual à área do quadrado de lado c-b, mais as áreas dos quatro triângulos. Cada triângulo retângulo é metade de um retângulo de lados b e c, a área de cada de um dos quatro triângulos será igual a bc/2. Figura 23 – Demonstração Bháskara. É uma prova que utiliza as áreas do quadrado, tem uma semelhança com a prova dada por Pitágoras. Análise didática A demonstração de Bháskara é feita na formação de quadrado por quatro triângulos retângulos e a relação da área do quadrado com as áreas dos triângulos. Demonstração 13 Baseada na justaposição de figuras Tomamos um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. Recortamos oito cópias deste triângulo e mais dois quadrados de lados iguais á diferença dos catetos do triângulo. 35
  36. 36. Figura 24 – Demonstração por justaposição de figuras. Figura 25 – Demonstração por justaposição de figuras. Verificamos que elas se encaixam perfeitamente, com efeito, na Figura 13, em torno de cada vértice de quadrado Q os ângulos somam 360º. A partir desse fato e da análise dos comprimentos dos dados do triângulo verifica-se que a figura maior, em I, é um quadrilátero, cujos ângulos medem 90º e que tem os quatro ângulos iguais. Seguindo raciocínios semelhantes, constata-se que a figura II é composta de dois quadrados justapostos. Como as figuras I e II foram montadas com peças iguais, temos: Área da figura I = Área da figura II, mas a figura I é um quadrado de lado a e, portanto sua área é a². A figura II compõe-se de dois quadrados: um do lado b (à esquerda da linha pontilhada). Logo sua área é b² + c². 36
  37. 37. Demonstração 14 Paulus Gerdes Paulus Gerdes, estudioso de Cestaria (cestas trançadas) e suas relações com o conhecimento no passado dos povos índios e a possível incorporação dessa atividade ao ensino, o eminente educador forneceu demonstrações ( visualizações ) quantas desejarmos do teorema de Pitágoras com os seus quadrados denteados. Figura 26 – Demonstração Paulus Gerdes. Consideramos um triângulo retângulo de “hipotenusa denteada” de catetos 3 e 4 unidades. Encostemos o quadrado denteado à hipotenusa e os quadrados (reais) aos catetos. O quadrado denteado se ajusta perfeitamente à hipotenusa denteada. Concluindo: o quadrado da “hipotenusa denteada” é igual á soma dos quadrados catetos. 37
  38. 38. Demonstração 15. Euclides A proposição de Euclides é o teorema Pitágoras, com uma demonstração creditada ao próprio Euclides. Figura 27 – Demonstração Euclides. Suponhamos que o ângulo BAC da figura seja o ângulo reto do triângulo ABC. Os quadrados BG, BE e CH são construídos sobre os respectivos lados, e AL é traçada paralela á BD (OU CE). Mostra-se que os pontos C, A, G assim como os pontos B, A, H são colineares. Isto é, está na mesma reta. Então se prova que o triângulo ABD é congruente ao triângulo FBC, (Euclides dizia os “iguais”) pela proposição 4, I, que é a afirmação de Euclides do caso L. A.L. de congruência. O retângulo BL é o dobro do triângulo FBC, portanto o retângulo BL é igual ao quadrado BG. 38
  39. 39. Analogamente, pode-se provar que o retângulo CL é igual ao quadrado CH. Então o quadrado BDEC, formado pelos dois retângulos BL e CL aos dois quadrados BG e CH. A figura às vezes é mencionada como “cadeira da noiva”, supostamente porque lembra a cadeira que as noivas orientais eram às vezes transportadas nas costas de um escravo para a cerimônia matrimonial. Análise didática A demonstração é feita por congruência de triângulos, com os lados e ângulos congruentes faz-se as relações entre as medidas dos lados quadrados e dos triângulos formados por retas que saem dos vértices dos quadrados em direção aos vértices do triângulo retângulo. O TEOREMA DE PITÁGORAS ATRAVÉS DE RECORTES A demonstração a seguir pode ser encontrada no site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul Como sabemos, o Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a2, b 2 e c2. Figura 28 – Teorema de Pitágoras através de recortes. 39
  40. 40. Podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores (construídos sobre os catetos). Vamos, então, trabalhar com uma das muitas demonstrações do Teorema de Pitágoras através de recortes. Figura 29 – Teorema de Pitágoras através de recortes. Veja, com o auxílio das cores, como a área do quadrado maior é igual à soma da área dos dois quadrados menores. Procure identificar com que critérios foram construídos os recortes nos quadrados. 40
  41. 41. Figura 30 – Teorema de Pitágoras através de recortes. CRITÉRIOS DE RECORTE Os critérios de recorte da figura serão nossas hipóteses na demonstração. As diagonais pontilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a visualização durante a demonstração.  Considere o quadrado médio (de lado AB).  Encontrar o centro M deste quadrado.  Trace retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado BC) passando por M.  O quadrado médio está, agora, divido em quatro partes. Observe que para montar o quadrado grande basta transladar as peças do quadrado médio e completar o centro com o quadrado menor. Os vetores de 41
  42. 42. translação têm origem no ponto M e extremidades nos vértices do quadrado maior. A "figura chave" desta demonstração é o paralelogramo BCDF. 1. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 que compõem o quadrado médio são congruentes, pois os lados DF e EG resultam da rotação das diagonais, mantendo, assim, a área das figuras constante. Tente observar na figura com o auxílio das diagonais pontilhadas. 2. Os segmentos DF e CB são congruentes, assim como os segmentos CD e BF, pois são lados opostos de um paralelogramo. Procure observar na figura. 3. Os segmentos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e portanto, com comprimento igual a metade da medida do lado do quadrado maior (de 1 e 2). 4. Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ângulo reto, eles encaixamse no quadrado maior. 5. O quadrado vermelho restante tem lado AC, pois CD-AD=AC e CD=BF. 42
  43. 43. CAPÍTULO V Análise de propostas de ensino do conceito Livros Didáticos O estudo visa comparar e analisar como o Teorema de Pitágoras é proposto nos livros didáticos, confrontando com os PCNs. Os livros selecionados foram editados entre os anos de 2000 a 2010, suas análises são importantes, pois irão determinar ou orientar a forma de pensamento dos alunos nesta época. Foram escolhidos livros deste período porque se acredita que estes são os que mais se aproximam da proposta dos PCNs. Os alunos escolhidos são alunos de sétima série (8º ano atualmente) e oitava série (9º ano atualmente), pois é nesta fase o primeiro contato com a dos alunos com o Teorema de Pitágoras. Sua inserção nas séries está relacionada de acordo com o método educativo de cada instituição, que julga quando é necessária a introdução do conceito. Foram analisados quatros livros (um de sétimas 1 Jogos e conceitos e três de oitava série 2-Pensar e Descobrir, 3 – Praticando Matemática e 4 Matemática Idéias e Desafios) todos trazem a parte histórica de como Pitágoras determinou o teorema, através das cordas com nós. Todos têm impressão coloridas e figuras de diálogos entre garotos que vão interpretando e decifrando passo a passo o Teorema de Pitágoras completando assim o texto teórico, há exemplos de como aplicar ou identificar o triângulos retângulos em outras figuras geométricas para que possa ser aplicado o teorema. Os exercícios apresentados são diversos alguns são de triângulos retângulos e os alunos devem determinar um dos lados, outros são compostos de figuras geométricas que exige do aluno a percepção de identificar os triângulos retângulos e exercícios que exigem do aluno uma interpretação maior onde o aluno irá aplicar o teorema em situações cotidianas como cálculos de alturas de edifícios, distâncias percorridas, construções de engenharia, etc. Para uma análise detalha foram utilizados como critérios: 43
  44. 44. 1. Introdução histórica: o uso do teorema por povos egípcios, informações sobre Pitágoras e a demonstração do teorema. 2. Demonstração: através da reconfiguração da figura, utilização de relações métricas para a dedução do teorema. 3. Dedução de fórmulas: onde será determinada a diagonal do quadrado e altura do triângulo eqüilátero. 4. Aplicação do teorema: exercícios resolvidos e propostos, alguns trazem exercícios de vestibulares e da prova aplicada pelo governo SARESP. 5. Variáveis didáticas: numéricas (números naturais e racionais), enunciados com ou sem figuras, uso de figuras planas, e posição entre os triângulos. 6. Contrato Didático De acordo com o PCN a introdução da História da Matemática junto com o modelo teórico é importante para a formação do aluno, pois o aluno reconhecerá a Matemática como uma produção humana, que foi construída de acordo com as necessidades de um povo em determinada época. Isso tem como objetivo estimular o aluno a desenvolver seu conhecimento de acordo com as necessidades de resolução das tarefas, contribuindo assim com um olhar crítico em relação à construção do saber. Em todos os livros temos a apresentação da história de Pitágoras, onde viveu e como descobriu o Teorema de Pitágoras através dos povos egípcios. O segundo momento que trata da demonstração e acordo com o PCN o conhecimento, isto é, a demonstração deve ser construída junto com o aluno. O professor deve usar metodologias que ajudem o aluno a desenvolver o conhecimento e chegar à conclusão esperada conceitualmente. No livro de sétima série a demonstração é feita pela corda de nós com uma unidade de distância entre os nós e pela demonstração dos quadrados um em cada lado do triângulo. No livro 2 temos a mesma demonstração do livro 1mas temos uma que diz que Pitágoras teve a intuição do seu teorema fazendo observações em mosaicos de áreas, dando como exemplo o mosaico. Após essas demonstrações propõe exercícios e dá seqüência no desenvolvimento da teoria a demonstração 44
  45. 45. da diagonal do quadrado, a altura do triângulo eqüilátero e propõe exercícios e parte para as demonstrações das relações métricas no triângulo retângulo. O livro 3 e 4 traz a demonstração das cordas, dos quadrados colocados em todos os lados do triangulo e uma demonstração de quadrado inserido dentro de outro quadrado. Um quadrado de lado (b+c) foi construído por quatro triângulos retângulos de lado b e c. A área do quadrado d será igual a soma a soma das áreas dos quatros triângulos com a soma do quadrado inscrito de lado a. Em seguida propõe o estudo das relações métricas no triângulo retângulo. Enfatizando o livro 4 como uma atividade de manipulação que é uma corda onde os alunos farão cinco nós todos a mesma distância, onde deverão tentar forma um triângulo retângulo. O terceiro e o quarto momento estão caracterizados pela dedução das fórmulas vem proposto no PCN que os alunos sejam estimulados a desenvolver métodos de resolução de problemas e não fique presa a aplicação de fórmulas. O professor deve escolher atividades que estimulem o caráter investigativo dos alunos fazendo - os encontrar os caminhos de raciocínio para a solução do problema. No livro 1 há atividades onde o aluno irá identificar o triângulo retângulo em outras figuras planas e aplicar a fórmula. Porém em sua teoria não demonstra o teorema em figuras planas. Nos demais livros há exercícios de aplicação de fórmulas, há exercícios que apresentam situações, as quais os alunos deverão mobilizar seus conhecimentos para identificar a tarefa e meios de resolvê-la e por fim aplicar o Teorema de Pitágoras. Pode ser citada como exemplo no livro 2 a construção de um barco com uma folha de papel, no livro 3 a medição da distância entre as margens de rio e no livro 4 o cálculo da altura de um edifício fazendo comparação com a altura de um poste. No quinto momento as varáveis predominantes é o cálculo numérico, figuras providas de enunciados e problemas que devem ser interpretados. No livro 1 como nos demais há presença de cálculo numérico com números naturais, racionais e irracionais, no livro 2, 3 e 4 há registro de figuras e problemas na língua materna e várias posições de triângulos retângulos. 45
  46. 46. O último momento que é o contrato didático que está de acordo com o PCN, pois os livros, menos o livro1, trazem situações em que o aluno irá ter a oportunidade de traçar seus meios de investigação e seu momento de reflexão. O professor deve propiciar condições para que o aluno mobilize seus conhecimentos prévios e tente resolver a situação. 46
  47. 47. CAPÍTULO VI Situação-problema e seqüência didática A situação-problema consiste na determinação de distâncias entre cidades. Para tanto, a Teoria das Situações Didáticas fundamenta as etapas desse processo. Situação - problema Determine a distância entre as cidades A e B, bem como das cidades A e C, sabendo que a distância da cidade A até a cidade E é de 12 Km, da cidade B até a cidade E de 16 Km e da cidade E até a cidade C de 9 Km. Figura 36 - Situação problema. De acordo com a Teoria das Situações Didáticas as três etapas seguintes, caracterizam-se pela fase adidática, onde as dialéticas de devolução, ação, formulação e validação são exigidas, no entanto, a validação da situação e consequentemente do teorema de Pitágoras, podem ser mais difíceis nas duas primeiras etapas, pois, a cada nova etapa, novos meios para a resolução do problema são disponibilizados. No entanto, a institucionalização se realizará após a validação das três etapas. 47
  48. 48. Primeira etapa Na primeira fase, introduzimos o problema em uma situação real para despertar um maior interesse nos alunos, desse modo, os alunos terão a oportunidade de ter um primeiro contato com a situação, devendo reconhecer os elementos que compõem a situação, passando a mobilizar conhecimentos prévios, tais como medidas de segmento de reta, distância entre os pontos, identificação de figuras geométricas e identificação de ângulos. Entretanto, caso eles apresentem dificuldades nessa análise, o professor como mediador, irá levantar questionamentos, sempre que necessário, seguindo uma ordem gradativa, justamente, para ficar mais claro aos alunos o objetivo a tratar na situação. Possíveis intervenções do professor ao longo do processo inicial:  Antes de determinarem as distâncias pedidas, procurem identificar na figura, elementos ou formas aos quais vocês já estudaram ou tiveram contato.  De acordo com a análise de vocês, o que vocês podem destacar?  Em relação à condição de existência de triângulos, o que vocês podem dizer a respeito do lado AB? E do lado AC?  Os triângulos são retângulos? Justifique.  Procurem relacionar as medidas indicadas nas figuras, a fim de determinarem as medidas desconhecidas. Lembrando que as intervenções citadas acima serão feitas, caso sejam necessárias, podendo o professor adaptá-las, dependendo do desenvolvimento dos alunos no processo, além disso, entre uma intervenção e outra, o professor deixará que os alunos façam análises sobre a situação, chegando a conclusões sobre ela, ou seja, os deixará como personagens principais do processo. É claro que muitos alunos podem sentir dificuldades em relacionar as medidas, pensando nos triângulos retângulos, podendo misturá-las, chegando a não determinarem nada ou até mesmo determinarem outras coisas que não vão de encontro com o objetivo proposto pela situação. No entanto, existe a possibilidade de os alunos chegarem a respostas válidas ou em alguma relação, 48
  49. 49. porém, para garantir as repostas corretas, é necessário algo mais claro que mostre realmente a relação existente entre os catetos e a hipotenusa de triângulos retângulos, no caso, a segunda parte do processo irá buscar isso. Segunda Etapa Esta etapa consiste em propor aos alunos dois conjuntos de triângulos para eles manipularem, um de cada vez, sendo que cada conjunto é composto por 8 triângulos congruentes, assim, os alunos deverão identificar as relações dessas figuras com a situação, que no caso, dizem respeito aos mesmos triângulos que podem ser vistos na figura da situação. Na manipulação do primeiro conjunto, os alunos deverão montar, unindo as peças e sem sobreposição, um quadrado com uma figura quadrangular no meio, de modo que a medida do lado desse quadrado seja de 28 cm. Figura 37 – Situação problema. 49
  50. 50. Figura 38 – Situação problema. 50
  51. 51. Tendo em vista os objetivos propostos pela situação, os alunos após a montagem do quadrado, deverão identificar mais um “quadrado” que se formará com a união dos lados maiores dos triângulos retângulos. Será exigido que os alunos justifiquem porque se formou um “quadrado”, verificando que os ângulos desse novo “quadrado” são congruentes, pelo fato de serem formados por ângulos obtidos através das diagonais dos retângulos, que por sua vez, são complementares, bem como observando que a medida dos lados do novo “quadrado” obtido é a mesma, já que se trata dos lados maiores dos triângulos retângulos congruentes. Figura 39 – Situação problema. Após a montagem do quadrado com um furo retangular no meio e a identificação do outro “quadrado” obtido com os lados maiores dos triângulos retângulos, espera-se que os alunos cheguem à conclusão que a área do quadrado obtido com a união dos lados maiores dos triângulos retângulos pode 51
  52. 52. ser determinada, calculando a diferença entre a área do quadrado de lado 28 cm e a soma das áreas de 4 triângulos retângulos. Figura 40 – Situação problema. Logo, sabendo-se a área do “quadrado” obtido com a união dos lados maiores dos triângulos retângulos é possível determinar a medida do lado desse “quadrado” e conseqüentemente a medida do lado maior do triângulo retângulo. Este lado corresponde na situação-problema a distância da cidade A até a cidade B, isso através da relação existente entre a medida do lado do quadrado e a área do quadrado. Até esse momento os alunos terão resolvido um problema da situação, a distância entre as cidades A e B, mas, voltando ao momento, antes da entrega dos materiais manipuláveis, em que os alunos deverão relacionar as medidas já determinadas pela situação. A fim de determinar as outras duas, o professor fará um novo questionamento, focando o triângulo retângulo maior, que no caso será o seguinte: vocês conseguem encontrar uma relação entre as medidas desse triângulo retângulo? Nesse momento os alunos passarão a trabalhar novamente, buscando essa relação, mas, considerando que alunos já tenham encontrado 52
  53. 53. uma relação, esse momento de manipulação servirá para validar ou não a relação encontrada na primeira etapa. Se caso os alunos não encontrarem a relação entre as medidas do triângulo retângulo maior, esses dependerão do outro conjunto de triângulos retângulos para possivelmente reforçarem as idéias nessa busca da relação entre as medidas de triângulos retângulos. Para os alunos que encontraram alguma relação o outro conjunto ficará como um novo teste para a relação, levando-se em conta que ao se propor o novo conjunto de triângulos retângulos congruentes, os alunos irão manipulá-los, buscando determinar a medida desconhecida, seguindo o mesmo processo referente ao triângulo maior. Estando essa medida determinada, os alunos tentarão relacionar as medidas do triângulo menor. Terceira etapa Essa etapa busca uma validação mais adequada do teorema de Pitágoras por parte dos alunos, no caso, referente à sua forma geral. Assim, propomos que os alunos nomeiem os vértices dos triângulos retângulos com letras maiúsculas e os segmentos de reta que formam os triângulos retângulos com letras minúsculas, a fim de que os alunos convertam o registro geométrico para o registro algébrico, passando em seguida, a relacionarem as áreas das figuras seguindo o mesmo processo da segunda etapa, que por sua vez, diz respeito à determinação da área do quadrado obtido com os lados maiores dos triângulos retângulos, tendo em vista também, a busca da relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. 53
  54. 54. Figura 41 – Situação problema. Essa determinação envolve o cálculo de áreas das sub-figuras. - A área do quadrado ABCD é (b+c)2. - A área do triângulo retângulo é (bc) / 2. - A área do quadrado MNPQ é (b+c)2 - 4(bc) / 2. Desenvolvendo a equação na forma geral, ficará Área do quadrado MNPQ = b2+c 2 Conforme a figura anterior, chamamos de “a” o lado do quadrado MNPQ, ou seja, a área MNPQ é a2. Podemos escrever que a2 = b2 + c 2 54
  55. 55. Dessa maneira, após as possíveis validações dos alunos em torno da forma geral do teorema, confrontando com as etapas anteriores, o professor descontextualiza o teorema de Pitágoras, com o objetivo de institucionalizar que a medida da hipotenusa “a” e a medida dos catetos “b” e “c”, segue a expressão geral a2 = b2 + c2 para um triângulo retângulo qualquer. Portanto, em qualquer triângulo retângulo, a soma das medidas dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. 55
  56. 56. Conclusão Esse trabalho propõe mais uma forma de como introduzir o objeto matemático Teorema de Pitágoras de um modo diferente do tradicional, levandose em conta algumas pesquisas realizadas sobre esse conceito e sua transposição no ensino. E com base no que analisamos, podemos considerar que o Teorema de Pitágoras ainda é um problema para muitos alunos, pois, os alunos muitas vezes não percebem que esse teorema é válido somente em triângulos retângulos, além disso, eles possuem dificuldades para estabelecer essa relação entre as medidas de um triângulo retângulo qualquer. Isso devido a pouca bagagem que os alunos possuem para a apropriação de novos conhecimentos, bem como pela inadequada transposição desse teorema no ensino. Logo, sentimos a necessidade de propor uma situação-problema e seqüência didática que procura amenizar esses problemas de identificação, aplicação e dedução da fórmula, que por sua vez, conta também com materiais manipuláveis que fazem correspondência com a situação-problema, exigindo do aluno a mobilização de diversos conhecimentos e o desenvolvimento de diversas estratégias para a apropriação do Teorema de Pitágoras, ficando o professor como planejador e mediador desse processo, caracterizando uma situação adidática, esta, defendida por Brousseau. 56
  57. 57. Referências: Livros  Boyer, Carl B. História da Matemática, 2ª Ed. São Paulo: Edgard Bluncher, 1996 p 23-25; 33.  Barbosa, JLM; Geometria Euclidiana Plana , 10ª Ed, Rio Janeiro: SBM, 2006 p 125-126 Wagner, E; Teorema de Pitágoras e Áreas, 1ª Ed, Rio de Janeiro: SBM 2009 p 1 – 4.  Contador, PRM; Matemática uma breve história vol I, 1ª Ed, São Paulo: Komedi, 2004 p 84-100.  Garbi, G G; O Romance das Equações Algébricas, 1ª Ed, São Paulo: Makron Books, 1997 p15-18.  Souza, Maria Helena Soares de. Jogos e Conceitos Matemáticos. 1ªed. São Paulo: Editora Ática, 2009  Andrini, Álvaro e Vasconcellos, Maria José. Praticando Matemática, 1ª ed. São Paulo: Editora Brasil, 2002  Mori, Iracema e Onaga, Dulce Satiko. Matemática Ideias e Desafios. 14ª ed. São Paulo: Editora Saraiva 2006  Giovanni, José Ruy e Júnior, José Ruy Giovanni, Matemática, Pensar e Descobrir. 1ª ed. São Paulo: Editora FTD, 2002  GIOVANNI, J. R. JUNIOR, José R. G. Matemática: Pensar e Descobrir. São Paulo: FTD, 2005.  ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Editora UFRP, 2007. Sites  http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curgeo/modulo/tpit.html  grandeabobora.com/o-ultimo-teorema-de-fermat.htm  educar.sc.usp.br/.../index.html 57
  58. 58. Trabalhos Acadêmicos  Irma Verri Bastian – Tese de Mestrado em Educação Matemática: Teorema de Pitágoras, Universidade Pontifícia Católica PUC SP 2000  Ana Caroline Silva Nascimento, Augusto Raimundo Santana Aguiar, Inês Meira Lima – Monografia de Conclusão de Curso: Teorema de Pitágoras, Universidade de estadual do Sudoeste da Bahia em 2004. 58
  59. 59. APÊNDICE Com mais de 400 demonstrações é claro que não é difícil encontramos outras formas atraentes para aprimorar e/ou desenvolver novos conhecimento por parte dos alunos. Logo, propomos mais uma demonstração geométrica segundo a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau. O TEOREMA DE PITÁGORAS SEGUNDO A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS Resumo: Propusemos nesta situação descrever o processo de aprendizagem na construção de conceitos matemáticos segundo a teoria das situações didáticas. Discutiremos aqui no desenvolver desta situação, as noções de situação didática, situação adidática e devolução. O objeto matemático a ser alcançado é o teorema de Pitágoras. Composta por quatro etapas de modelagens de situações didáticas: ação, formulação, validação e institucionalização onde será alcançado o objeto matemático, o teorema de Pitágoras. Palavras chaves: didática da matemática, teoria das situações didáticas, teorema de Pitágoras. Para analisar uma situação problema que leve o aluno a perceber que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, propusemos apresentar essa construção por meio de recortes, como mostra o enunciado: 59
  60. 60. a) Construir um triângulo retângulo com cateto CA e cateto AB e hipotenusa CB e construir sobre os catetos e sobre a hipotenusa quadrados de mesmos lados, referente seus respectivos segmentos e tente encontrar relações entre elas. b) Encontre um ponto médio no quadrado AB. Trace paralelas aos segmentos de CB, recorte as figuras construídas e tente compará-las. Fundamentando cada parte da resolução sobrepondo a cada fase apresentada anteriormente. Brousseau propõe que as situações didáticas sejam colocadas na forma de jogo e neste, ganha quem apresentar solução que valide suas ideias e conclusões. Para esta atividade é necessário alguns conhecimentos prévio por parte do aluno ou do grupo de alunos, e material básico, são eles: 1) Conhecer as propriedades que define um triângulo 2) Saber diferenciar catetos de hipotenusa 3) O conhecimento sobre paralelismo é relativo 4) Régua e compasso Etapa 1. Dialética da ação Conhecendo somente a parte (a) do enunciado, os alunos começam a discutir e com o conhecimento que possui sobre triângulos e construção geométrica, conclui que a figura proposta no enunciado seria esta: 60
  61. 61. Figura 32 – Construção geométrica. Etapa 2. Dialética da formulação. Os alunos agora tentam encontrar alguma relação, mas os dados da situação são insuficientes e não consegue encontrar relação com os quadrados construídos. Essa situação é característica do fator de dificuldades, de contradições e de desequilíbrio, classificado com meio por Guy Brousseau. É neste meio que o aluno se adapta e aprende. A situação adidática, como parte essencial da situação didática é uma situação na qual a intenção de ensinar não é revelada ao aprendiz, mas foi imaginada, planejada e construída pelo professor para proporcionar a estes 61
  62. 62. condições favoráveis para a apropriação do saber que deseja ensinar. Segundo Guy Brousseau uma situação adidática tem as seguintes características:  O problema matemático é escolhido de modo que possa fazer o aluno agir, falar, refletir e evoluir por iniciativa própria;  O problema é escolhido para que o aluno adquira novos conhecimentos que sejam inteiramente justificados pela lógica interna da situação e que possa ser construídos sem apelos às razões didáticas;  O professor, assumindo o papel de mediador, cria condições para o aluno ser o principal ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s) atividades(s) proposta(s). O professor seu papel de mediador e concede as seguintes informações: 1) Considere o quadrado médio (de lado BC). 2) Encontrar o centro M deste quadrado. 3) Trace retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado AC) passando por M. O professor como mediador interfere e desperta novos conhecimentos (ou conhecimentos antigos). A devolução dada pelo professor faz os alunos avançarem com o jogo e chegam a uma nova imagem na figura construída: 62
  63. 63. Figura 33 – Construção geométrica. Com a devolução do professor os alunos avançam com o jogo e recortam as figuras obtendo as seguintes figuras: 63
  64. 64. Figura 34 – Figuras recortadas da Figura 33. Etapa 3. Dialética da validação. Figura 35 – Manipulação das figuras recortas. 64
  65. 65. Com as figuras cortadas os alunos conseguem colocar os quatro quadriláteros e o quadrado menor dentro do quadrado maior. Assim eles fixam que o quadrado menor e o quadrado médio é igual ao quadrado maior fazem uma validação local onde: (CB)² = (BA)² + (CA)². Etapa 4. Dialética da institucionalização. O professor agora institucionaliza o objeto matemático e diz que o trabalho feito pelos alunos foi o teorema de Pitágoras, que diz: num triangulo retângulo qualquer o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos e este objeto matemático fará parte do saber cognitivo da classe. E em diversas situações problemas eles precisarão dessa relação para avançar nas resoluções. 65

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