1) O documento discute como a ênfase atual no ensino de matemática nas aplicações práticas não é suficiente para motivar os alunos. 2) É sugerido que focar nos padrões, conjecturas e demonstrações matemáticas pode ser mais efetivo para mostrar a beleza da matemática. 3) Isto permitiria que os alunos desenvolvessem habilidades como raciocínio lógico que são úteis em muitas profissões.

1. PADRÕES, CONJECTURAS E DEMONSTRAÇÕES
NA MATEMÁTICA ESCOLAR
Antônio Cláudio Lage Buffara – Rio de Janeiro

2. Lendo o nº 78 da Revista do Professor de Matemática (publicado em 2012), eu
me deparei com um artigo muito interessante chamado “Sobre múltiplos
‘irados’”, cujo último parágrafo diz o seguinte:
Introdução

3. "Dentro da atual tendência utilitarista do ensino da Matemática no Brasil,
alguém poderá perguntar: “E para que servem os múltiplos ‘irados’?”. À
primeira vista, parece pouco provável que os habituais clientes da Matemática
– físicos, engenheiros, financistas, estatísticos, etc. – encontrem para eles
alguma aplicação prática no contexto em que vivem. Mesmo assim, eles
servem para algumas coisas importantes, como treinar o raciocínio
lógico-dedutivo dos jovens, fazê-los sentir como acontecem as descobertas
matemáticas a partir de perguntas, conjecturas e demonstrações e motivá-los
ao estudo e pesquisa, através do prazer que obtêm ao realizar suas próprias
inquirições e descobertas. Finalmente, eles servem para mostrar que existe
muita beleza, desafio e inteligência fora do restrito território do
exclusivamente contextualizável em Matemática."

4. A ênfase na contextualização e nas aplicações da Matemática foi, em parte,
uma tentativa de tornar a matéria mais interessante para os alunos e também
de facilitar a sua aprendizagem. Segundo alguns educadores, lidar com
objetos e situações do mundo real teria maior significado para os alunos e
seria mais fácil do que lidar com abstrações.

5. É evidente que, a fim de melhorar o desempenho de nossos estudantes em
Matemática, é essencial tornar a matéria mais atraente para eles. E o trecho
transcrito acima aponta um caminho bem diferente do atual, mas que me
parece promissor: ao invés de focar exclusivamente nas aplicações práticas
da Matemática, que tal fazer com que os estudantes descubram “como
acontecem as descobertas matemáticas, a partir de perguntas, conjecturas e
demonstrações”? Que tal “motivá-los ao estudo e pesquisa, através do prazer
que obtêm ao realizar suas próprias inquirições e descobertas”?

6. Pois o fato é que, após passar 12 anos tendo aulas de Matemática pelo menos
4 vezes por semana, a imensa maioria dos alunos conclui o Ensino Médio sem
ter aprendido o que é a Matemática de verdade, sem saber o que um
matemático faz e como faz, e muito menos o que leva este matemático a
afirmar que a solução de um dado problema ou a demonstração de um dado
teorema é bonita ou elegante.

7. As coisas certamente não precisariam ser assim. Afinal, existem inúmeros
tópicos e resultados matemáticos que são, ao mesmo tempo, interessantes,
instrutivos e acessíveis não só a alunos de Ensino Médio, mas também a
alunos cursando o Ensino Fundamental 2 (EF2), que vai do 6º ao 9º ano
(antigas 5ª a 8ª série) e é tipicamente frequentado por jovens de 11 a 15 anos
de idade.

8. É no EF2 que os estudantes adquirem (ou não) o gosto pela Matemática.
Portanto, é no EF2 que a Matemática deve conquistá-los, mostrando seu poder
e sua beleza, surpreendendo-os e divertindo-os com resultados inusitados e
desafiando-os a encontrar soluções engenhosas para problemas instigantes.

9. Assim, a partir do EF2, os tópicos poderiam ser apresentados e desenvolvidos
da mesma forma como ocorre o processo de descoberta em Matemática. Este,
em sua essência, consiste de três estágios:

10. 1) observação de um dado fenômeno / detecção de um padrão (*) - na prática,
isso poderia ser feito por meio de um problema introdutório, que seria
proposto aos alunos no início da apresentação do tópico;
2) formulação de uma conjectura que explique este padrão;
3) demonstração da conjectura, por meio de argumentos lógicos, claros e
inteligíveis para alunos de EF2.
Pode-se até mencionar um quarto estágio:
4) generalização do resultado obtido.

11. Apresentada desta forma, a Matemática do EF2 seria parecida com aquela
contida em livros de divulgação da Matemática, nos quais o leitor encontra
inúmeros exemplos elementares de beleza matemática e também afirmações
tais como "Matemática é a ciência dos padrões", "Matemática torna visível o
que estava invisível", "Matemática é conjecturar e demonstrar", ou
simplesmente "Matemática é uma arte". Um currículo que enfatizasse
padrões, conjecturas e demonstrações permitiria que os estudantes
constatassem, eles mesmos, a veracidade destas afirmações, e passassem
assim a entender o que é a Matemática de fato.

12. É claro que isto seria uma mudança radical em relação à forma como a
Matemática é ensinada atualmente, com ênfase nas aplicações,
especialmente a situações do quotidiano dos cidadãos comuns. Certamente,
estas devem permanecer no novo currículo. Afinal, a Matemática é
extremamente útil e todos devem aprender a usá-la corretamente. No entanto,
é preciso reconhecer que as aplicações da Matemática ao dia-a-dia, que
consistem essencialmente na resolução de problemas simples de finanças
pessoais, pesos e medidas, ou interpretação de informações contidas em
mapas, tabelas e gráficos, não são suficientes para preencher quatro aulas
por semana.

13. Além disso - e este é o aspecto que quero enfatizar no blog – o ensino da
Matemática baseado em padrões, conjecturas e demonstrações traria, para os
alunos, benefícios muito maiores e mais duradouros. Eles exercitariam a
criatividade e o raciocínio lógico-dedutivo, se acostumariam a trabalhar com
abstrações e aprenderiam a organizar o pensamento com vias a resolver
problemas e a apreender e compreender a realidade. Estas são habilidades
que devem estar no repertório de todos os cidadãos e não apenas daqueles
que trabalham em ciência, engenharia, finanças ou estatística.

14. Tomemos, por exemplo, a profissão de advogado, que alguns acreditam ser a
antítese da Matemática e das ciências exatas (conheço gente que escolheu
fazer faculdade de Direito simplesmente para nunca mais ter que assistir
alguma aula de Matemática). O objetivo do advogado é defender, da melhor
forma possível, os direitos e interesses de seu cliente. Para conseguir isso, ele
deve ser capaz de elaborar petições que consigam atender, dentro dos limites
da lei, às necessidades do cliente. A fim de convencer um juiz de que o seu
cliente tem razão, o advogado deve exercitar sua criatividade e seu raciocínio
lógico-dedutivo para desenvolver argumentos que sejam, ao mesmo tempo,
corretos, concisos e esclarecedores.

15. Ora, quando um estudante de Matemática tenta resolver um problema ou
demonstrar algum teorema, ele também precisa exercitar sua criatividade e
seu raciocínio lógico-dedutivo a fim de desenvolver argumentos que sejam, ao
mesmo tempo, corretos, concisos e esclarecedores. Naturalmente há uma
diferença, mas que não é essencial: enquanto o estudante de Matemática se
baseia em axiomas, em teoremas já demonstrados e em outros problemas
parecidos cuja solução seja conhecida, o advogado se baseia nas leis, em
doutrinas jurídicas e na jurisprudência: outros casos parecidos cujo desfecho
seja conhecido.

16. Analogias semelhantes podem ser feitas com o trabalho de detetives,
jornalistas investigativos ou até mesmo historiadores, por exemplo, que
devem estar atentos a pistas e padrões sutis de comportamento humano e,
com base neles, reconstruir os fatos de forma lógica e coerente. Ou então com
os desafios enfrentados por um empreendedor, que precisa identificar alguma
necessidade do mercado, inventar um produto ou serviço que supra esta
necessidade e, finalmente, elaborar um plano de negócios que seja lógico e
coerente, a fim de convencer potenciais investidores a apostar na sua idéia.

17. Em suma, mesmo em ocupações que, à primeira vista, nada têm a ver com a
Matemática, o sucesso depende crucialmente da capacidade do profissional
de identificar padrões, formular conjecturas e raciocinar logicamente. E o fato
é que nenhuma matéria da escola oferece mais oportunidades do que a
Matemática para que os alunos desenvolvam estas habilidades. Isto é, desde
que seja ensinada de forma adequada.

18. Só haverá progresso no ensino da Matemática quando os estudantes passarem
a gostar de verdade da matéria. A tentativa de atraí-los por meio da
contextualização e das aplicações práticas pode até ter sido feita com a
melhor das intenções, mas não há evidências de que tenha tornado a
Matemática mais popular nas escolas. Talvez os proponentes da
contextualização não tenham entendido que quando um aluno pergunta ao
professor de Matemática “Para que serve isso?” ou “Onde vou usar isso na
minha vida?” este aluno está, de fato, fazendo uma pergunta retórica, que
expressa apenas a sua frustração com um assunto que ele acha chato,
irrelevante, ou ambos.

19. E eles têm razão: a Matemática contextualizada, quando reflete aplicações
que realmente ocorrem no dia-a-dia, é quase sempre trivial e desinteressante.
Quando não reflete, é artificial e forçada. Assim, a fim de tornar a Matemática
mais atraente para os alunos, é necessário reduzir a ênfase na
contextualização e nas aplicações práticas e abraçar o que a matéria tem de
melhor: o desafio intelectual dos problemas instigantes, a beleza das soluções
engenhosas e a surpresa dos resultados inusitados, que contrariam a intuição.

20. O cérebro humano é um grande detector de padrões. E a Matemática é a
melhor ferramenta que o ser humano inventou para processar e compreender
estes padrões. Assim, entendo que a missão dos professores de Matemática é
ajudar nossos jovens a aperfeiçoar seus detectores por meio de um
treinamento apropriado no uso desta incrível ferramenta chamada
Matemática. Acima, eu sugeri que a mudança deveria começar no EF2. Uma
das razões é que, neste ciclo, a Matemática começa a ser lecionada por
professores especialistas, licenciados. Mas talvez seja possível começar até
antes disso, talvez no 5º ou no 4º ano. O quanto antes, melhor.