FIW 591 - Introdução à Eletromagnetismo

FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I
Objetivos:
Introduzir a teoria eletromagnética de Maxwell, explorando o seu aspecto matemático e
particularmente suas aplicações.
Ementa:
Primeira parte (P1):
Análise vetorial (capítulo 1 - 5 aulas)
Eletrostática (capítulo 2 – 5 aulas)
Segunda parte (P2):
Magnetostática (capítulo 5 – 4 aulas)
Eletrodinâmica (capítulo 7 – 4 aulas)
Terceira parte (P3):
Leis de conservação (capítulo 8 –
Ondas eletromagnéticas (capítulo 9
Avaliação:
3 provas (Pi, i= 1,2,3) + listas em sala de aula (L
onde Li é a média entre as 75% maiores notas
daquele período correspondente, uma prova de
segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada
prova será atribuída uma nota (N
= 0,7*Pi + 0,3*Li
Bibliografia:
Livro texto: GRIFFITHS, D.J.,
Referências adicionais:
•REITZ, J.R, MILFORD, F.J.
Eletromagnética,
•Kleber Daum Machado,
UEPG, 2004.
• Anita Macedo,
A lista completa está disponível em:
Dicas de sites:
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/
“Não sepode ensinar alguma coisa a alguém, pode
Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Curso de Licenciatura em Física
FIW 591 Tópicos de Eletromagnetismo I
(http://www.if.ufrj.br/~toni/top_eletro.pdf)
Prof. Antônio Carlos (toni@if.ufrj.br)
particularmente suas aplicações.
5 aulas)
5 aulas)
4 aulas)
4 aulas)
– 2 aulas)
Ondas eletromagnéticas (capítulo 9 – 6 aulas)
listas em sala de aula (Li),
é a média entre as 75% maiores notas
daquele período correspondente, uma prova de
segunda chamada (S) e um exame final (E). A cada
prova será atribuída uma nota (Ni, i=1,2,3) onde Ni
Cálculo da Média (M):
Presente às provas parciais:
M = (N1 + N2 + N3)/3
Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M
Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau
igual à M
Se 7,0 > M > ou igual a 3,0, então grau =(M + E)/2;
Ausente em uma das provas
Fará o exame final obrigatoriamente. M será
calculado como anteriormente, com E
substituindo a nota da prova não realizada.
Pedidos de revisão:
Os pedidos de revisão deverão ser submetidos na
forma escrita com informação detalhada sobre o
porquê o aluno acredita que de
mais pontos. (dizer somente “por favor revise a
questão tal” não é suficiente).
GRIFFITHS, D.J., Eletrodinâmica, Pearson Education, Terceira Edição.
Referências adicionais:
REITZ, J.R, MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W., Fundamentos da Teoria
Eletromagnética, Rio de Janeiro: Editora Campus, 1982.
Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo, vols. 1,2 e 3, Editora
Anita Macedo, Eletromagnetismo, Editora Guanabara.
disponível em: http://omnis.if.ufrj.br/~toni/top_eletro.
http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/ (animações superlegais)
sepode ensinar alguma coisa a alguém, pode-se apenas auxiliar a descobrirpor si mesmo”
1
Se M < 3,0, então reprovado com grau igual à M
Se M > ou igual a 7,0, então aprovado com grau
7,0 > M > ou igual a 3,0, então grau =(M + E)/2;
riamente. M será
calculado como anteriormente, com E
substituindo a nota da prova não realizada.
Os pedidos de revisão deverão ser submetidos na
forma escrita com informação detalhada sobre o
porquê o aluno acredita que deveria ter recebido
mais pontos. (dizer somente “por favor revise a
, Pearson Education, Terceira Edição.
Fundamentos da Teoria
, vols. 1,2 e 3, Editora
se apenas auxiliar a descobrirpor si mesmo”

2FIW 591 – Tópicos de Eletromagnetismo I – Prof. Antônio Carlos
O que é ensino interativo? Dr. Louis Abrahamson (tradução e adaptação livre)
A primeira coisa a entender sobre o ensino interativo é que não é algo novo ou misterioso. Se você é um professor e
faz perguntas em sala de aula, atribui e verifica a lição de casa, ou mantém discussões em classe ou em grupo,
então você já ensina de forma interativa. Basicamente, então, o ensino interativo trata-se apenas de dar aos alunos
algo para fazer, recebendo de volta o que eles têm feito, e depois assimilando, de modo que você possa decidir
sobre o melhor fazer a seguir.
Mas, quase todos os professores já fazem essas coisas, assim o que há de novo? Para responder a esta questão,
devemos pensar sobre o processo ensino aprendizagem. Nos últimos vinte anos, o campo da ciência cognitiva nos
ensinou muito sobre como as pessoas aprendem. Um princípio central que tem sido geralmente aceito é o de que
tudo o que aprendemos, nós "construimos" para nós mesmos. Isto é, qualquer agente externo é essencialmente
impotente para ter um efeito direto sobre o que aprendemos. Se o nosso cérebro não fazê-lo em si, - isto é, levar
em informação, procurar conexões, interpretar e dar sentido a ela, - nenhuma força externa terá qualquer efeito.
Isso não significa que o esforço tem que ser expressamente voluntário e consciente da nossa parte. Nosso cérebro
fornece-nos informações e opera continuamente em vários de níveis, dos quais apenas alguns são conscientemente
dirigidos. Mas, consciente ou não, a coisa importante a entender é que é o nosso cérebro que esta realizando o
processo de aprendizagem, e que este processo está apenas indiretamente relacionado com o professor e do
ensino.
Por exemplo, mesmo uma exposição lúcida e brilhante sobre um assunto por um professor em uma aula, pode
resultar numa aprendizagem limitada se os cérebros dos alunos não realizarem o trabalho necessário para
processá-la. Há várias causas possíveis para a aprendizagem dos alunos ficarem aquém das expectativas em tal
situação. Eles podem, não entender totalmente um conceito crucial sobre um determinado assunto e assim o
assunto seguitne torna-se ininteligível. Pode também estar faltando informação prévia ou não ter uma boa
compreensão do que foi visto antes. Consequentemente as estruturas conceituais sobre as quais se baseia a aula
ficam ausentes. Falta de interesse, de motivação, ou não querer realizar um esforço mental para acompanhar a
aula, de entender os argumentos, etc...
No entanto, qualquer que seja a causa, sem interagir com os alunos (no caso mais simples, fazendo perguntas), um
professor não tem como saber se o seu esforço para explicar o tema foi bem sucedido.
Isto leva-me ao primeiro (o que eu acredito que são) três razões distintas para o ensino interativo. É uma tentativa
para ver o que realmente existe no cérebro de seus alunos. Este é o aspecto "sumativo". Este é o aspecto mais fácil
de compreender e está bem descrito na literatura. Mas, ele está longe de ser a única perspectiva! A segunda razão
é "formativa", onde o professor tem como objetivo, através da tarefa atribuída, acessar o processamento mental
dos alunos. A intenção é que, conforme os alunos pensem nas questões necessárias para chegar à solução, a
construção mental resultante que é desenvolvida na cabeça do aluno irá possuir as propriedades que o professor
está tentando ensinar. Como Sócrates descobriu, uma boa pergunta pode realizar este resultado melhor do que,
apenas dizer a resposta.
O terceiro aspectro pode ser chamado de "motivacional". Aprender é um trabalho duro, e uma injeção de
motivação no momento certo pode fazer toda a diferença. Um fator de motivação fornecido pelo professor
interativo é a exigência de uma resposta a uma tarefa em sala de aula. Isso serve para sacudir o aluno para a ação,
para tirar o seu cérebro da preguiça, por assim dizer. Eventos adicionais mais sutis e agradáveis podem vir a seguir
aproveitando o impulso criado por esta explosão inicial. Um deles é um resultado das nossas tendências humano-
sociais. Quando os professores pedem aos alunos que trabalhem juntos em pequenos grupos para resolver um
problema, uma discussão se segue que não serve apenas em si mesma para construir estruturas de conhecimento
mais robustas, mas também para motivar. A antecipação de feedback imediato na forma de reação de seus pares,
ou do professor é um elemento motivador muito forte. Se não for constrangedor ou ameaçador, os alunos desejam
saber se seu entendimento está progredindo ou apenas à deriva. Saber que eles não estão autorizados a vagar
longe demais fora da pista proporciona uma enorme energia para continuar

Questionário de apresentação (baseado em Peer Instruction, de Eric Mazur)
1- O quê você espera aprender neste curso?
2- O que você espera fazer com este conhecimento?
3- O que você espera que as aulas façam por você?
4- O que você espera que o livro faça por você?
5- Quantas horas você imagina serão necessárias para aprender tudo que você precisa saber
sobre este curso ? inclua tudo (dever de casa, aulas, etc..)______________horas por semana.
Formato geral da nossa aula:
1) pergunta feita;
2) Estudantes têm tempo para pensar;
3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais;
4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas;
5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas;
6) Feedback para o professor: distribuição de respostas;
7) Explicação da resposta correta;
Dicas para a aula:
1) Leia o tópico a ser apresentado ANTES da aula;
2) não é necessário copiar o material do quadro. Está tudo no livro! Você pode fotocopiar as notas de aula se
desejar;
3) seja ativo!

Nome
Thales de Mileto (grego)
William Gilbert (inglês)
Benjamin Franklin (americano)
Charles Augustin de Coulomb (francês)
Karl Friedrich Gauss (alemão)
Alessandro Volta (italiano)
Hans Christian Oersted (dinamarquês)
André Marie Ampère (francês)
Alguns pioneiros do Eletromagnetismo
Datas contribuição
636-546
a.C.
Percebeu que quando o âmbar é atritado com seda produz
pequenas descargas e possuía o poder “mágico” de atrair
partículas de palha e penugem. Em grego âmbar = elektron.
Também notou o poder atrativo de algumas pedras encontradas
em Magnésia, de onde vem o nome magnetismo.
1540-1603
d.C
Realizou os primeiros experimentos de forma sistemática sobre
eletricidade e magnetismo descritos no livro
Inventou o eletroscópio e foi o primeiro a reconhecer que a
Terra era um grande imã, inspirando os princípios da bússola
1706-1790 Cientística e político americano. Seus experimentos o levaram a
inventar o pára-ráios. Estabeleceu a lei de conservação da carga
e as chamou de positiva e negativa.
1736-1806 Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e o Magnetismo, e
outros sobre os fenômenos de torção, o atrito entre sólidos etc.
Experimentador genial e rigoroso, realizou uma experiência
histórica com uma balança de torção para determinar a força
exercida entre duas cargas elétricas (Lei de Coulomb).Durante
os últimos quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino
Público e teve um papel importante no sistema educativo da
época.
1777-1851 Formulou o teorema da divergência relaciona
sua superfície, a lei de Gauss é a lei que estabelece a relação
entre o fluxo elétrico que passa através de uma superfície
fechada e a quantidade de carga elétrica que existe dentro do
volume limitado por esta superfície. Em 1840, publicou seu
influente Dioptrische Untersuchungen, no qual fez a primeira
análise sistemática da formação de imagens sob a
paraxial.
1745-1827 Por volta de 1800, Volta inventou a célula voltaica
várias em série, inventou a bateria. Em setembro de 1801, Volta
viajou até Paris aceitando um convite do próprio imperador
Napoleão Bonaparte, para mostra as características de seu
invento (a pilha) no Institut de France. E, em honra ao seu
trabalho no campo de eletricidade, Napoleão nomeou V
conde em 1810. Em 1815, o imperador da Áustria nomeou Volta
professor de filosofia na Universidade de Pádua.
1777-1855 Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de
Abril de 1820, Oersted reparou que a agulha de uma bússola
defletia quando uma corrente elétrica era ligada e desligada.
Esta deflexão convenceu-o que os campos magnéticos radiam a
partir de todos os lados de um fio carregando uma corrente
elétrica, tal como ocorre com a luz e o calo
confirmava uma relação direta entre eletricidade e magnetismo
Influenciou o desenvolvimento de uma forma matemática única
que representasse as forças magnéticas entre condutores
portadores de corrente por parte do físico francês André
Ampère.
1775-1836 Partindo das experiências feitas pelo dinamarquês Hans
Christian Oersted sobre o efeito magnético da corrente elétrica,
soube estruturar e criar a teoria que possibilitou a construção
de um grande número de aparelhos eletromagnéticos. Além
disso descobriu as leis que regem as atrações e repulsões das
correntes elétricas entre si. Idealizou o galvanômetro, inventou
o primeiro telégrafo elétrico e, em colaboração com Arago, o
eletroímã. Inventou também o solenóide.
4
Percebeu que quando o âmbar é atritado com seda produz
pequenas descargas e possuía o poder “mágico” de atrair
partículas de palha e penugem. Em grego âmbar = elektron.
umas pedras encontradas
tismo.
Realizou os primeiros experimentos de forma sistemática sobre
eletricidade e magnetismo descritos no livro De Magnete.
Inventou o eletroscópio e foi o primeiro a reconhecer que a
Terra era um grande imã, inspirando os princípios da bússola
Seus experimentos o levaram a
Estabeleceu a lei de conservação da carga
Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e o Magnetismo, e
outros sobre os fenômenos de torção, o atrito entre sólidos etc.
Experimentador genial e rigoroso, realizou uma experiência
histórica com uma balança de torção para determinar a força
exercida entre duas cargas elétricas (Lei de Coulomb).Durante
os últimos quatro anos da sua vida, foi inspetor geral do Ensino
teve um papel importante no sistema educativo da
Formulou o teorema da divergência relacionando o volume e a
lei de Gauss é a lei que estabelece a relação
através de uma superfície
fechada e a quantidade de carga elétrica que existe dentro do
. Em 1840, publicou seu
, no qual fez a primeira
análise sistemática da formação de imagens sob a aproximação
nventou a célula voltaica e, conectando
Em setembro de 1801, Volta
viajou até Paris aceitando um convite do próprio imperador
Napoleão Bonaparte, para mostra as características de seu
. E, em honra ao seu
trabalho no campo de eletricidade, Napoleão nomeou Volta
Em 1815, o imperador da Áustria nomeou Volta
professor de filosofia na Universidade de Pádua.
Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de
que a agulha de uma bússola se
era ligada e desligada.
o que os campos magnéticos radiam a
fio carregando uma corrente
trica, tal como ocorre com a luz e o calor, e que isso
tricidade e magnetismo.
o desenvolvimento de uma forma matemática única
que representasse as forças magnéticas entre condutores
portadores de corrente por parte do físico francês André-Marie
Partindo das experiências feitas pelo dinamarquês Hans
sobre o efeito magnético da corrente elétrica,
soube estruturar e criar a teoria que possibilitou a construção
de um grande número de aparelhos eletromagnéticos. Além
disso descobriu as leis que regem as atrações e repulsões das
si. Idealizou o galvanômetro, inventou
elétrico e, em colaboração com Arago, o

Joseph Henry 1797-1878 Em 1830, enquanto construía eletroimãs, descobriu o fenômeno
eletromagnético chamado indução electromagnética ou auto-
indutância e a indutância mútua. O seu trabalho foi
desenvolvido independentemente de Michael Faraday, mas é a
este último que se atribuí a honra da descoberta por ter
publicado primeiro as suas conclusões. A Henry também é
creditada a invenção do motor elétrico, embora mais uma vez
não tenha sido o primeiro a registrar a patente. Seus estudos
acerca do relê eletromagético foram a base do telégrafo
elétrico, inventado por Morse e Wheatstone. Mais tarde provou
que as correntes podem ser induzidas à distância, magnetizando
uma agulha com a ajuda de um relâmpago a 13 km de distância.
James P. Joule 1818-1889 (pronuncia-se /ˈdˈuˈl/[Jule]). Estabeleceu que o aquecimento é
proporcional ao quadrado da corrente
James Clerck Maxwell (britânico) 1831-1879 Estabeleceu de maneira profunda e elegante a
interdependência entre eletricidade e magnetismo. Postulou
que a luz era de natureza eletromagnética e que outros
comprimentos de onda poderiam existir.
Heinrich Hertz 1857-1894 Pai do rádio, Hertz gerou e detectou ondas de rádio. Hertz
demonstrou que, exceto por diferenças no comprimento de
onda, a polarização, reflexão e refração de ondas de rádioeram
idênticas à luz. Mas sua invenção permaneceu como uma
curiosidade de laboratório até que Marconi adicionou um
sintonizador e uma grande antena.
Guglielmo Marconi 1874-1937 Inventor do primeiro sistema prático de telegrafia sem fios, em
1896. Marconi se baseou em estudos apresentados em 1897 por
Nikola Tesla para em 1899 realizar a primeira transmissão pelo
canal da mancha. A teoria de que as ondas electromagnéticas
poderiam propagar-se no espaço, formulada por Maxwell, e
comprovada pelas experiências de Hertz, em 1888, foi utilizada
por Marconi entre 1894 e 1895.
Thomas A. Edison (americano) 1847-1931 Transformou a eletricidade e o magnetismo em aplicações
práticas em telegrafia, telefonia, iluminação e geração e
transmissão de energia. O Feiticeiro de Menlo Park (The Wizard
of Menlo Park), como era conhecido, foi um dos primeiros
inventores a aplicar os princípios da produção maciça ao
processo da invenção.
Nikola Tesla (Iuguslávo) 1856-1943 Demonstrou o valor das correntes alternadas e inventou o
motor de indução. Projetou sistema de potência em Niagara
Falls.
Albert Einstein (alemão) 1879-1955 Tornou as equações de Maxwell universais através da teoria da
relatividade.

Formulário
Equações de Maxwell
Forma diferencial
t
B
E
B
J
t
D
H
D
∂
∂
−=×∇
=⋅∇
=
∂
∂
−×∇
=⋅∇
r
rr
rr
r
r
rr
r
0
ρ
Forma integral
0..
0.
...
.
∫ ∫∫
∫∫
∫∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫
=+
=
=−
=
C S
S
SC S
S V
SdB
dt
d
ldE
SdB
SdjSdD
dt
d
ldH
dVSdD
rrrr
rr
rrrrrr
rr
ρ
Equações constitutivas
Ej
HB
ED
rr
rtr
rtr
σ
µ
ε
=
=
=
Campos auxiliares
HM
EP
M
B
H
PED
m
eo
o
o
rr
rr
r
r
r
rrr
χ
χε
µ
ε
=
=
−=
+=
Força de Lorentz
( ) t
p
dVBjEF
t
BjEf
mec
V
mec
∂
∂
=×+=
∂
℘∂
=×+=
∫∫∫
rrrrr
rrrrr
ρ
ρ
Lei de Biot-Savart
∫∫
∫∫∫
∫
×
=
×
=
×
=
×
=
S
V
C
dS
r
r
B
dV
r
rj
B
r
rldI
B
r
rvq
B
'
ˆ
4
'
ˆ
4
ˆ'
4
ˆ
4
2
2
2
2
κ
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
rr
r
r
r
r
rr
Condições de contorno
t
jn
En
Bn
Hn
Dn
∂
∂
−=∆
=∆×
=∆
=∆×
=∆
σ
κ
σ
r
rr
r
rr
r
.ˆ
0ˆ
0.ˆ
ˆ
.ˆ
Potenciais
jA
r
rm
rA
dV
rr
rJ
A
AB
t
A
VE
dV
rr
r
rV
V
o
Vo
rrr
rr
rr
rr
r
rrr
r
rr
rr
r
r
µ
π
µ
π
µ
ρ
πε
−=⋅∇
×
=








−
=
×∇=
∂
∂
−∇−=
−
=
∫∫∫
∫∫∫
2
2
'
ˆ
4
)(
'
)'(
4
'
'
)'(
4
1
)(
Energia, momento
( )
2
.
..
2
1
2
oo
VV
emem
em
V
Ec
IS
dVSdVp
SBD
Ejw
udVU
BHDEu
w
t
u
S
uvS
HES
ε
µε
µε
=≡
=℘=
=×=℘
=
=
+=
−=
∂
∂
+⋅∇
=
×=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
rrr
rrrr
rr
rrrr
rr
rrr
Ondas
ε
µ
ω
µε
=
=×
×=
=
∂
∂
−∇
Z
BEk
vBE
t
E
E
rrr
rrr
r
rr
02
Valores numéricos
Carga do elétron (módulo):
e =1,6×10-19
C
Permeabilidade do vácuo:
µo = 4π×10-7
H/m
Permissividade do vácuo:
εo = 8,854×10-12
F/m
1/4πεo = 8,988×109
Nm2
/C2
Velocidade da luz no vácuo:
c =(εoµo)-1
= 2,998×108
m/s
Zo =(µo/εo)
1/2
= 120πΩ ≅ 377Ω

Formulário
Delta de Dirac
[ ]
( )∫ ∈−=−
−=
−++=−
=
R
o
x
n
n
n
on
n
Rx
dx
fd
dxxx
dx
d
xf
xx
dx
d
x
axax
a
ax
a
ra
ra
o
)1()()(
)()(
)()(
2
1
)(
)(
)(
22
δ
δδ
δδδ
δ
δ
r
r
Relações entre os unitários
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
θθθ
φφθφθφθ
φφθφθφθ
φφφ
φφρ
φφρφ
φφρφ
ˆˆcos
ˆcosˆcosˆˆ
ˆˆcoscosˆcosˆ
ˆ
ˆcosˆˆ
ˆˆcosˆ
ˆ
ˆcosˆˆ
ˆˆcosˆ
senrz
senrsenseny
senrsenx
zz
yxsen
ysenx
zz
seny
senx
−=
++=
−+=
=
+−=
+=
=
+=
−=
)
)
)
Coordenadas cartesianas
z
z
f
y
y
f
x
x
f
f
dxdydzdV
zdxdyydxdzxdydzSd
zdzydyxdxld
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
=
++=
++=
r
r
r
Coordenadas cilíndricas
( ) ( ) ( )
)()()(
1
)(
ˆˆ2
1
ˆ2
1
ˆˆ1
ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2
2
2
2
22
oooo
z
zzrr
zvv
v
v
v
vvv
z
z
fff
f
dzdddV
zdddzddzdSd
zdzddld
φφδδρρδ
ρ
δ
φ
φρ
ρ
φρ
φ
φρ
ρ
ρ
φρρ
φρρφρρφρ
φφρρρ
φ
ρ
φ
φ
ρρ
−−−=−
∇+











−
∂
∂
−∇+











∂
∂
+−∇=∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
=
++=
++=
rr
rr
r
r
r
Coordenadas esféricas
( ) ( )
( ) ( ) ( )
)()cos(cos)(
1
)()()(
csc
)(
ˆcscˆ1
ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2
2
2
2
ooo
oooo
rr
r
rr
r
rr
f
r
f
r
r
r
f
f
ddrdsenrdV
rdrddrdrsenrddsenrSd
drsenrdrdrld
φφδθθδδ
φφδθθδδ
θ
δ
φ
φ
θ
θ
θ
φθθ
φθθφθφθθ
φφθθθ
−−−=
−−−=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
=
++=
++=
rr
r
r
r
vetores
)()()(
)()()(
BACCABCBA
ACBBACCBA
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
⋅−⋅=××
×⋅=×⋅=×⋅
Operador Nabla
AAA
f
A
ABBABAABBA
fAAfAf
BAABBA
fAAfAf
ABBA
ABBABA
fggffg
rrr
r
r
rrrrrrrrrr
rrr
rrrrrr
rrr
rrrr
rrrrrr
2
)()(
0)(
0)(
)()()()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()(
)()()(
)(
∇−⋅∇∇=×∇×∇
=∇×∇
=×∇⋅∇
⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅=××∇
∇×−×∇=×∇
×∇⋅−×∇⋅=×∇
∇⋅+⋅∇=∇
∇⋅+∇⋅+
+×∇×+×∇×=⋅∇
∇+∇=∇
Integrais
( )
( )
( )
( )
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
=∇×
⋅=×∇
=∇
×=×∇
⋅=⋅∇
S C
S C
SV
SV
SV
lfdfSd
ldvSdv
SfddVf
vSddVv
SdvdVv
rrr
rrrrr
rr
rrrr
rrrr

Aula 1 – Álgebra vetorial
Nome:______________________________________________________________________________
Dados os vetores A = 1i – 2k e B = -1 i + 1j . Calcule:
1) A - 2B
A) ( ) +3i - 2j -2k;
B) ( ) -3i +2j -2k;
C) ( ) +3i +2j –2k;
D) ( ) -3i -2j – 2k;
2) A.B
A) ( ) +1;
B) ( ) -1;
C) ( ) 2;
D) ( )-2;
3) A××××B
A) ( ) -2i +2j -1k;
B) ( ) 2i - 2j -1k;
C) ( ) 2i +2j +1k;
D) ( ) 2i +2j -1k;
4) Qual o ângulo entre os vetores A e B no exercício anterior?
A) ( ) cos
-1
(10
-1/2
);
B) ( ) cos
-1
(10
+1/2
);
C) ( ) cos
-1
(-10
-1/2
);
D) ( ) cos
-1
(-10
+1/2
);

Nome:______________________________________________________________________________
1- O gradiente de f(x,y,z) = x
A) ( ) 2xi+2yj+2z
B) ( ) 2i+2j+2k;
C) ( ) xi+yj+zk;
D) ( ) 2xi-2yj+2z
2- Qual a opção que melhor descreve o gradiente no ponto A da função representada pelas curvas
de nível abaixo?
A) ( ) ↑;
B) ( ) ↓;
C) ( ) →;
D) ( ) ←;
3- A divergência de v = x
2
i
A) ( ) 2x-2z;
B) ( ) 2x+2z;
C) ( ) 2x-3z;
D) ( ) 2x-2x;
4- Qual das opções abaixo representa uma função com divergência positiva?
A)( )
5- Dado um campo magnético
representa as linhas de campo d
A) ( ); B) ( );
6- O rotacionai de xyi+yzj+zx
A) ( ) +yi+ zj +xk;
B) ( ) –yi+ zj +xk;
C) ( ) –yi-zj-xk;
D) ( ) +yi +zj -xk;
Aula 2 – Cálculo diferencial I
Nome:______________________________________________________________________________
f(x,y,z) = x
2
+ y
2
+ z
2
é:
+2zk;
+2zk;
Qual a opção que melhor descreve o gradiente no ponto A da função representada pelas curvas
i + 3xz
2
j -2xz k é:
Qual das opções abaixo representa uma função com divergência positiva?
B)( ) C)( ) D)( )
Dado um campo magnético B=Bok=rot A, qual das opções da figura do item anterior
representa as linhas de campo de A?
C) ( ); D) ( );
+zxk é:
9
Nome:______________________________________________________________________________
Qual a opção que melhor descreve o gradiente no ponto A da função representada pelas curvas
D)( )
, qual das opções da figura do item anterior melhor

Nome:______________________________________________________________________________
1- O Laplaciano da função
A) ( ) –senx.seny.senz;
B) ( ) +senx.seny.senz;
C) ( ) +3senx.seny.senz;
D) ( ) –3senx.seny.senz;
2- Dos campos vetoriais abaixo, quais podem ser gradiente de uma função?
I)
A) ( ) todos;
B) ( ) nenhum;
C) ( )somente I;
D) ( )somente II;
E) ( ) somente III;
F) ( ) somente I e II;
3- Seja B=rotA , então podemos afirmar que necessariamente:
A) ( ) divB =0;
B) ( ) divA =0;
C) ( ) rotB =0;
D) ( ) grad(divB) =0;
Aula 3 – cálculo diferencial II
Nome:______________________________________________________________________________
O Laplaciano da função g(x, y, z)=senx.seny.senz é:
senx.seny.senz;
( ) +senx.seny.senz;
( ) +3senx.seny.senz;
3senx.seny.senz;
abaixo, quais podem ser gradiente de uma função?
II)
III)
, então podemos afirmar que necessariamente:
10
Nome:______________________________________________________________________________

Aula 3 – cálculo diferencial II (para casa)
Nome:______________________________________________________________________________
1- Prove que a divergência de um rotacional é sempre zero. Verifique para a função va = x
2
i + 3xz
2
j – 2xz k.
2- Prove que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Verifique para a função f=x
2
y
3
z
4

Aula 4 – Cálculo Integral
Nome:______________________________________________________________________________
1 – A integral de linha da função v = x
2
i + 2yz j +y
2
k da origem (0,0,0) até o ponto (1,0,0) ao longo do
eixo x resulta em:
A) ( ) 1;
B) ( ) -1;
C) ( ) 1/3;
D) ( ) -1/3;
2-A integral de linha da função v = x
2
i + 2yz j +y
2
k da origem (0,0,0) até o ponto (0,1,0) ao longo do eixo
y resulta em:
A) ( ) 1;
B) ( ) -1;
C) ( ) 2;
D) ( ) 0;
3- O vetor dS que da superfície quadrada de arestas (0,0,0), (0,1,0), (0,1,1) e (0,0,1) é igual a:
A) ( ) dxdyk;
B) ( ) dydzi;
C) ( ) dxdzj;
D) ( ) dxdzk;
4- O fluxo da função vetorial D=x
2
yi+y
2
xj+zk através da superfície quadrada de arestas (0,0,0),
(0,1,0), (0,1,1) e (0,0,1) é igual a:
A) ( ) 0;
B) ( ) 1;
C) ( )-1;
D) ( ) 2;
5- A integral de volume da função constante ρ para a centrada na origem e raio R é.
A) ( ) 4ρπR
3
;
B) ( ) ρπR
3
;
C) ( ) (4/3)ρπR
3
;
D) ( ) 3ρπR
3
;
6- (Teorema de Gauss) Se div E=ρ/ε, então:
A) ( ) ( )∫∫ ∫∫∫=×∇
S V
dVdSE ρε .
rr
;
B) ( ) ∫∫ ∫∫∫=
S V
dVSdE ρε
rr
. ;
C) ( ) ∫ ∫∫∫=
V
dVldE ρε
rr
. ;
D) ( ) [ ]∫∫ ∫∫∫ ∇=
S V
dVSdE ρε
rrr
. ;

7- (Teorema de Stokes) Se rotB=µj, então:
A) ( ) ∫ ∫=
C C
ldjldB
rrrr
.. µ ;
B) ( ) ∫ ∫∫=
C S
SdjldB
rrrr
.. µ ;
C) ( ) ( )∫ ∫∫=×∇
C S
SdjldB
rrrrr
.. µ ;
D) ( ) ( )∫ ∫∫ ×∇=
C S
SdjldB
rrrrr
.. µ ;
8- Se rotC=0 então:
A) ( ) divC=0;
B) ( ) C=gradV;
C) ( ) a integral de caminho de C ao longo de uma curva fechado é positiva;
D) ( ) a integral de caminho de C ao longo de uma curva fechado é negativa;
Para casa: Probs. 1.53, 1.54, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58

Adaptado de McDermottt, Shaffer,
1- Pegue uma folha de papel.
Qual linha ou segmento de reta que você usaria para especificar a
modo que qualquer pessoa possa manter o papel no mesmo plano ou em um plano paralelo ao
seu?
2- A área de uma superfície plana pode ser representada por um único
A. O que a direção deste vetor representa?
3- O que você esperaria que a magnitude deste vetor representasse?
4- Coloque uma folha de papel
quadriculado sobre uma mesa.
Descreva a direção e a magnitude
do vetor área para a folha de
papel.
5- Dobre a folha duas vezes de modo
a formar um tubo triangular oco.
folha inteira pode ser representada
por um único vetor área? Se não
qual é o número mínimo de vetores
necessários?
6- Dobre agora a folha de modo a
formar um tubo oco cilíndrico.
orientação de cada quadrado que
compõe a folha pode ser
representada por
Explique
Aula 4 – para casa
McDermottt, Shaffer, & P.E. G. U. Wash,Tutorials in Introductory Physics
Área como um vetor
Pegue uma folha de papel. A folha pode ser vista com parte de uma superfície plana maior.
Qual linha ou segmento de reta que você usaria para especificar a orientação da folha, de
A área de uma superfície plana pode ser representada por um único vetor, chamado vetor área
. O que a direção deste vetor representa?
e você esperaria que a magnitude deste vetor representasse?
Coloque uma folha de papel
quadriculado sobre uma mesa.
Descreva a direção e a magnitude
do vetor área para a folha de
Dobre a folha duas vezes de modo
a formar um tubo triangular oco. A
folha inteira pode ser representada
por um único vetor área? Se não
qual é o número mínimo de vetores
Dobre agora a folha de modo a
formar um tubo oco cilíndrico. A
orientação de cada quadrado que
compõe a folha pode ser
representada por um vetor dA?
14
Tutorials in Introductory Physics
A folha pode ser vista com parte de uma superfície plana maior.
orientação da folha, de
, chamado vetor área

Aula 5 – a função delta de Dirac, sistema de coordenadas
Nome:______________________________________________________________________________
1- A integral ∫ −−−
6
2
2
)3()123( dxxxx δ resulta em :
A) ( ) 19;
B) ( ) 20;
C) ( ) 21;
D) ( ) 22;
E) ( ) 0;
2- A integral ∫ +
3
0
3
)1( dxxx δ resulta em:
A) ( ) 1;
B) ( ) -1;
C) ( ) 0;
F) ( ) 2;
3- Qual é a dimensão da função δ(x) se x é dado em metros:
A) ( ) [δ(x)] = m;
B) ( ) [δ(x)] = adimensional;
C) ( ) [δ(x)] = m
-1
;
4- Qual é a dimensão da função δ(x)δ(y)δ(z)=δ(r)= δ
3
(r)= se x,y e z são expressos em metros:
A) ( ) [δ(x)] = m
3
;
B) ( ) [δ(x)] = adimensional;
C) ( ) [δ(x)] = m
-3
;
5- Uma carga pontual q se encontra na posição (3,2,-1). A densidade volumar de carga ρ=dq/dV é
dada por:
A) ( ) ρ=q;
B) ( ) ρ=∞;
C) ( ) ρ =qδ(x-3)δ(y-2)δ(z-1);
D) ( ) ρ =qδ(x+3)δ(y+2)δ(z-1);
E) ( ) ρ =qδ(x-3)δ(y-2)δ(z+1);
6- O vetor deslocamento r é representado em coordenadas cilíndricas. Nesta representação,
encontre o vetor velocidade
A – ( ) ‫ݒ‬Ԧ ൌ ‫ݔ‬ሶ‫ݔ‬ො ൅ ‫ݕ‬ሶ‫ݕ‬ ൅ ‫ݖ‬ሶ‫ݖ‬̂
B- ( ) ‫ݒ‬Ԧ ൌ ߩሶߩො ൅ ߩ߮ሶ߮ො ൅ ‫ݖ‬ሶ‫ݖ‬̂
C- ( ) ‫ݒ‬Ԧ ൌ ߩሶߩො ൅ ߩ߮ሶ‫߮߮݊݁ݏ‬ො ൅ ‫ݖ‬ሶ‫ݖ‬̂
D - ( ) ‫ݒ‬Ԧ ൌ ‫ݎ‬ሶ‫ݎ‬̂ ൅ ߩߠሶߠ෠ ൅ ‫߮ݎ‬ሶ‫߮߮݊݁ݏ‬ො
Para casa: probls. 1.36, 1.37, 1.38, 1.39, 1.40, 1.41, 1.42, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47,1.48, 1.53, 1.54, 1.55,
1.56, 1.57, 1.58

Aula 6 – O campo elétrico
Nome:______________________________________________________________________________
1- Duas esferas de chumbo idênticas, pequenas, são separadas pela distância de 1 m. As esferas
tinham originalmente a mesma carga positiva e a força entre elas é Fo. Metade da carga de uma
esfera é então deslocada para a outra esfera. A força entre as esferas será
A- ( ) Fo/4 ;
B- ( ) Fo/2 ;
C- ( ) 3Fo/4 ;
D- ( ) 3Fo/2 ;
E- ( ) 3Fo ;
2- Doze cargas iguais, q, estão situadas nos vértices de polígono regular de 12 lados ( por
exemplo, uma em cada número de um relógio de ponteiros) definido por um círculo de raio R.
Qual a força total sobre uma carga de prova q no centro [k=(4πεo)
-1
] ?
A) ( ) zero;
B) ( ) kq
2
/R
2
;
C) ( ) 12kq
2
/R
2
;
D) ( ) 2kq
2
/R
2
;
E) ( ) 6kq
2
/R
2
;
3- Suponha que uma das 12 cargas é removida (a que estava na posição 6 horas). Qual é a força
sobre q?
A) ( ) zero;
B) ( ) kq
2
/R
2
;
C) ( ) 12kq
2
/R
2
;
D) ( ) 2kq
2
/R
2
;
E) ( ) 6kq
2
/R
2
;
4- Agora 13 cargas iguais, q, são dispostas de polígono regular de 13 lados. Qual é a força sobre a
carga de prova q no centro?
A) ( ) zero;
B) ( ) kq
2
/R
2
;
C) ( ) 12kq
2
/R
2
;
D) ( ) 2kq
2
/R
2
;
E) ( ) 6kq
2
/R
2
;
5- Se uma das 13 cargas é removida, qual é a força sobre q? Explique o seu raciocínio.
A) ( ) zero;
B) ( ) kq
2
/R
2
;
C) ( ) 12kq
2
/R
2
;
D) ( ) 2kq
2
/R
2
;
E) ( ) 6kq
2
/R
2
;
6- Quatro partículas puntiformes, de mesma carga q, situam-se nos vértices de um quadrado do
plano xy com centro na origem e com lados, de comprimento 2a, paralelos aos eixos desse
plano. Determine (a) a expressão cartesiana da densidade volumar de cargas; (b) a carga total,
integrando a densidade de cargas. Resp: (a) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y-a)] [δ(z)]; (b) qtot = 4q
A) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)- δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y-a)] [δ(z)]; qtot = 4q
B) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)- δ(y-a)] [δ(z)]; qtot = 4q
C) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y+a)] [δ(z)]; qtot = 4q
D) ( ) ρ(r)=q[δ(x+a)+ δ(x-a)] [δ(y+a)+ δ(y-a)] [δ(z)]; qtot = 4q

Aula 6 – O campo elétrico
Para casa: Probs. 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8
Curiosidades sobre o campo elétrico: Fogo-de-santelmo. Santo Elmo é o padroeiro dos
marinheiros. Conta-se que os marinheiros do passado atribuíam a um fenômeno eletrostático
um significado divino- a aparição do referido santo. Na realidade, o que a crença dos antigos
acabou endeusando é o fenômeno conhecido por efeito corona. Os mastros dos navios eram
envoltos por uma luminosidade suave, resultado da emissão de luz na recombinação de íons e
elétrons. As nuvens eletrizadas provocavam a indução de cargas elétricas nas pontas dos
mastros. O intenso campo elétrico nas vizinhanças das pontas ionizava as partículas de ar que,
posteriormente, emitiam a luz durante a recombinação. A superstição acabou denominando o
fenômeno fogo-de-santelmo. O mesmo efeito corona pode também ser observado, por
exemplo, em linhas de transmissão elétrica com sobrecarga, que ficam envoltas por uma
luminosidade ao longo de sua extensão. Retirado de Carlos, Kazuhito, Fuke, Os alicerces da
Física vol.3

Aula 7 – A divergência e o rotacional dos campos eletrostáticos
Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma carga q está uniformemente distribuída no volume de uma esfera de raio R com centro
em ro. Qual o fluxo do campo elétrico sobre uma superfície de raio r<R de mesmo centro?
a) ( ) q/εo; b) ( ) (q/εo)(r/R)
3
; c) ( ) (q/εo)(R/r)
3
; d) ( ) 0;
2- Uma carga q está uniformemente distribuída no volume de uma esfera oca de raio interno a e
raio externo R com centro em ro. Qual o fluxo do campo elétrico sobre uma superfície de raio
r<a de mesmo centro?
a) ( ) q/εo; b) ( ) (q/εo)(r/R)
3
; c) ( ) (q/εo)(R/r)
3
; d) ( ) 0;
3- Qual o fluxo do campo elétrico da esfera da questão 2 sobre uma superfície de raio a<r<R?
a) ( ) q/εo; b) ( )(q/εo)(r
3
-a
3
)/(R
3
-a
3
) c) ( ) (q/εo)(r/R)
3
; d) ( ) 0;
4- Ainda sobre a esfera da questão 2, qual o fluxo do campo elétrico sobre uma superfície de raio
r>R?
a) ( ) q/εo; b) ( )(q/εo)(r
3
-a
3
)/(R
3
-a
3
) c) ( ) (q/εo)(r/R)
3
; d) ( ) 0;
5- Prova de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2011):
6- Seleção ao mestrado em Ensino (2013)

7- Três lâminas infinitas
uniformemente carregadas são
colocadas lado a lado conforme
mostrado na figura ao lado.
Considere as densidades
superficiais de cargas das lâminas
indicadas na figura , com
Qual das opções abaixo
corresponde ao campo elétrico
resultante nas posições 1,2,3 e 4
indicadas na figura?
A) ( ) E1 =-3σ/εoi, E2
= σ/εoi, E4 =3σ/εoi;
B) ( ) E1 =3σ/2εoi, E2
= -σ/2εoi, E4 =-3σ/2
C) ( ) E1 =σ/2εoi, E2 =3
= -3σ/2εoi, E4 =-σ/2
D) ( ) E1 =-σ/2εoi, E2
E3 = -σ/2εoi, E4 =σ/2
E) ( ) E1 =σ/εoi, E2 =-3
-3σ/εoi, E4 =σ/εoi;
F) Nenhuma das respostas
anteriores.
8- Dois planos não condutores
extensão infinita e
perpendiculares entre si estão
uniformemente carregados com
uma densidade superficial de
carga σ>0. Assinale em qual dos
quadrantes as linhas de força
associadas ao campo elétrico
estão representadas
corretamente.
A) ( ) I;
B) ( ) II;
C) ( ) III;
D) ( ) IV;
Para casa: probls. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.50
Atenção! Este tópico apresenta alto índice de erro
nas avaliações.
Três lâminas infinitas
uniformemente carregadas são
colocadas lado a lado conforme
mostrado na figura ao lado.
Considere as densidades
superficiais de cargas das lâminas
indicadas na figura , com σ>0.
Qual das opções abaixo
corresponde ao campo elétrico
resultante nas posições 1,2,3 e 4
2 =-σ/εoi, E3
=σ/2εoi, E3
/2εoi;
=3σ/2εoi, E3
/2εoi;
2 =-3σ/2εoi,
/2εoi;
3σ/εoi, E3 =
Nenhuma das respostas
Dois planos não condutores de
extensão infinita e
perpendiculares entre si estão
uniformemente carregados com
uma densidade superficial de
>0. Assinale em qual dos
quadrantes as linhas de força
associadas ao campo elétrico
estão representadas
Para casa: probls. 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.50
Atenção! Este tópico apresenta alto índice de erro
19

Aula 8– Potencial Elétrico
Nome:______________________________________________________________________________
1- O que define um campo conservativo?
A) ( ) ∫ = 0. SdF
rr
ou 0. =∇ F
rr
B) ( ) A força deve ser de fricção
C) ( ) A força deve ser nuclear
D) ( ) A força deve ser eletromagnética
E) ( ) ∫ = 0. ldF
rr
ou 0
rrr
=×∇ F
2- Pode-se dizer que o potencial da Terra é de + 100 V em vez de zero? Que efeito teria esta
suposição nos valores medidos de (a) potenciais (b) diferença de potenciais?
A) ( ) sim, não seria alterado, seria alterado;
B) ( ) não, não seria alterado, seria alterado;
C) ( ) não, seria alterado, não seria alterado;
D) ( ) não, seria alterado, seria alterado;
E) ( ) sim, seria alterado, não seria alterado;
3- Um dos campos eletrostáticos abaixo é impossível. Qual? (k é uma constante com dimensões
apropriadas)
A) ( ) E =k[xyi+2yzj+3xzk]
B) ( ) E =k[y
2
i+(2xy+z
2
)j+2yzk]
4- Para o campo possível, calcule o potencial no ponto (x,y,z) utilizando a origem com ponto de
referência. Verifique a sua resposta calculando ∇V. (Dica: você deve escolher um caminho
específico para integrar. Não importa qual o caminho, uma vez que a resposta é independente
do caminho, mas você não pode integrar a menos que tenha um caminho em particular em
mente).
A) ( ) V (x,y,z) = -k( y
2
x-yz
2
)
B) ( ) V (x,y,z) = -k( -y
2
x+yz
2
)
C) ( ) V (x,y,z) = +k( y
2
x+yz
2
)
D) ( ) V (x,y,z) = -k( y
2
x+yz
2
)

Problema 2.28 – Use a equação
de uma esfera sólida de raio R com densidade de carga uniforme e carga total q.
Solução: Um problema importante é o da infinitude do potencial. A solução deste problema
envolve sabermos o que acontece quando o observado
situado dentro da distribuição de cargas, ou seja, quando
o que acontece com a integral acima, vamos escolher como ponto de observação a origem do
sistema de coordenadas. Fisicam
matematicamente r = 0
|r- r’|= r’. Então:
∫∫∫ −
=
'
'
)'(
4
1
)(
Vo
dV
rr
r
rV
ρ
πε
rr
r
r
denominador o pólo r’, cancelado pelo fator r’
esféricas.
Como r e r’ são positivos, sua soma é sempre positiva. A diferença r
∫
∫






=≥
<
>
=
−+
R
o
u
u
R
q
RrV
rr
rr
urr
du
0
3
)(
)0(
22
4
3
2
1
)(
(2
('2
'
πε
π
Se o observador estiver dentro
nas duas contribuições (r>r’) e (r<r’).
3
4
3
2
1
)(
R
q
RrV
o



=≥
πε
Aula 8 – Exemplo
Use a equação '
'
)'(
4
1
)(
'
dV
rr
r
rV
Vo
∫∫∫ −
= rr
r
r ρ
πε
para calcular o potencial dentro
envolve sabermos o que acontece quando o observador resolve medir o potencial num ponto
situado dentro da distribuição de cargas, ou seja, quando r’ →r, ou seja, rrrr= r
sistema de coordenadas. Fisicamente, esse é um ponto como qualquer outro do espaço, mas,
0 simplifica a expressão da distância entre o observador e a fonte para
∫∫∫





=
'
2
3
'
'''''
4
3
4
1
'
Vo r
ddrdsenr
R
q
dV
φθθ
ππε
. Como se vê, desaparece do
r’, cancelado pelo fator r’
2
do elemento de volume em coordenadas
[ '2''cos'22
'
'
''
2
2
4
3
4
1
)(
'''2
'cos'2
'cos'2
''
''2
4
3
4
1
)(
''cos'2
'''''
4
3
4
1
)(
''cos'2'
0
22
)(
)0(
22
0
)(
)0(
223
0 0
2
2
3
'
22
2
3
22
rrrrrr
urr
du
urr
du
drr
rR
q
rV
dsenrrdu
rru
rrrr
dsen
drr
R
q
rV
rrrr
ddrdsenr
R
q
rV
rrrrrr
u
u
R u
uo
R
o
Vo
+=+−=
−+
−
−+
−






=
−=
=
+−






=
+−






=
+−=−
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫∫∫
ππ
π
π
θ
π
ππε
θθ
θ
θ
θθ
π
ππε
θ
φθθ
ππε
θ
r
r
r
rr
Como r e r’ são positivos, sua soma é sempre positiva. A diferença r-r’ pode ter qualquer sinal
∫ 





=





=
<
>
R
oo r
q
r
R
R
q
dr
r
r
r
r
0
3
3
2
48
3
'
2
'
)'
)'
πεπε
bservador estiver dentro volume, a integral do potencial deverá se desmembrar
nas duas contribuições (r>r’) e (r<r’).
( )22
3
0 0
22
3
3
4
3
6
1
'
'
2
''
2
' rR
R
q
dr
r
rdr
r
r
o
R R
−





=





+


∫ ∫ πε
21
para calcular o potencial dentro
r resolve medir o potencial num ponto
r- r’→0.Para vermos
ente, esse é um ponto como qualquer outro do espaço, mas,
simplifica a expressão da distância entre o observador e a fonte para rrrr=
. Como se vê, desaparece do
do elemento de volume em coordenadas
]'
'2
rr
r
−−
r’ pode ter qualquer sinal
volume, a integral do potencial deverá se desmembrar

Aula 8– Para Casa
1-Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2012):
2-Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2011):

Aula 8– Para Casa (continuação)
5- Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2010):
6- Exame de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ/2013)

Aula 9 – Trabalho e energia em eletrostática
Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma carga q é colocada a uma distância r da origem. Em uma segunda configuração, a carga q
é removida e uma carga 2q é colocada a uma distância 2r. Em ambos os casos há uma carga Q
na origem. Se todas as cargas são positivas, qual carga está em potencial maior?
a) ( ) q b) ( ) 2q c) ( ) as duas cargas possuem o mesmo potencial
2- Qual carga na questão anterior tem uma energia potencial eletrostática maior?
a) ( )Q b) ( )2q c) ( ) as duas cargas possuem a mesma energia potencial
3- No modelo de quark de partículas fundamentais, um próton é composto de três quarks: dois
“up” , cada um com carga 2e/3 e um quark “down”, com carga de –e/3. Suponha que os três
quarks estão eqüidistantes uns dos outros. Assuma essa distância como d e calcule (a) a energia
potencial das interações entre os dois quarks “up” e (b) a energia potencial elétrica total do
sistema [k=(4πεo)
-1
] .
A) ( ) 4ke
2
/9d; +8ke
2
/9d;
B) ( ) 4ke
2
/9d; +4ke
2
/9d;
C) ( ) 4ke
2
/9d; -ke
2
/9d;
D) ( ) 4ke
2
/9d; 0;
E) ( ) 4ke
2
/9d; -4ke
2
/9d;
4- Quais das grandezas eletrostáticas abaixo obedecem ao princípio da superposição
a) ( ) campo elétrico, potencial elétrico e energia;
b) ( ) campo elétrico e potencial elétrico;
c) ( ) potencial elétrico e energia;
d) ( ) campo elétrico e energia;
e) ( ) campo elétrico, potencial elétrico e trabalho;
5- Três cargas (2 positivas e 1 negativa) estão situadas nos cantos de um quadrado (lado a).
Quanto trabalho é necessário para trazer outra carga +q, do infinito até o quarto canto?
Quanto trabalho é necessário para juntar as quatro cargas?
A) ( ) (q
2
/4πaεo)(2+2
1/2
) ; (2q
2
/4πaεo)(2+2
1/2
) ;
B) ( ) (q
2
/4πaεo)(-2-2
1/2
) ; (2q
2
/4πaεo)(-2-2
1/2
) ;
C) ( ) (q
2
/4πaεo)(+2+2
1/2
) ; (2q
2
/4πaεo)(+2-2
1/2
) ;
D) ( ) (q
2
/4πaεo)(-2-2
1/2
) ; (2q
2
/4πaεo)(-2+2
1/2
) ;
E) ( ) (q
2
/4πaεo)(-2+2
1/2
) ; (2q
2
/4πaεo)(-2+2
1/2
) ;
para casa: probls. 2.34

Questionário para ser respondido e entregue (não é preciso se identificar) (baseado em Peer Instruction, de
Eric Mazur)
1- O que você gosta nesta aula ?
2- O que você detesta nesta aula?
3- Se você estivesse lecionando este curso, o quê você faria?
4- Se você pudesse mudar algo nesta aula, o quê seria?

Nome:______________________________________________________________________________
1- Duas cavidades esféricas de raios a e b são escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio
R (figura). No centro de cada cavidade é colocada uma carga pontual
a) As densidades superficiais de carga
A) ( ) –qa/4π
B) ( ) +qa/4π
C) ( ) +qa/4π
D) ( ) –qa/4π
b) Qual é o campo fora do condutor
A) ( ) -(qa +qb
B) ( ) (qa -qb)/4
C) ( ) (qa+ qb
D) ( ) 0;
c) Qual é o campo dentro de cada cavidade?
A) ( ) ambos nulos;
B) ( ) –qa/4π
C) ( ) qa/4πε
D) ( ) +qa/4π
d) Qual é a força entre q
A) ( ) nula;
B) ( ) –qaqb/4πεo
C) ( ) +qaqb/4πεo
D) ( ) qaqb/8πεo (a+b)
e) Qual dessas respostas mudaria se uma terceira carga, q
do condutor?
A) ( ) as letras a e b;
B) ( ) todas;
C) ( ) nenhuma;
D) ( ) a letra a e d;
E) ( ) somente a letra c;
2- Uma casca esférica condutora e isolada possui carga negativa. O que irá acontecer se um objeto de metal
positivamente carregado é posto em contacto com
carga positiva é (a) menor que, (b) igual a e (c) maior que a carga negativa.
3- Uma camada de metal esférica possui uma distribuição superficial uniforme de cargas. O potencial é o
mesmo sobre a superfície da camada. Qual afirmação é correta?
a) ( ) O potencial é maior no centro geométrico do volume esférico;
b) ( ) O potencial é menor no centro geométrico do volume esférico;
c) ( ) O potencial no centro do volume é o mesmo que o da superfície;
Aula 10 – Condutores
Nome:______________________________________________________________________________
Duas cavidades esféricas de raios a e b são escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio
R (figura). No centro de cada cavidade é colocada uma carga pontual- chame essas cargas de q
s densidades superficiais de carga σa , σb e σR, são respectivamente.
πa
2
; +qb/4πa
2
; (qa - qb)/4πR
2
;
πa
2
; -qb/4πa
2
; -(qa +qb)/4πR
2
;
πa
2
; +qb/4πa
2
; (-qa +qb)/4πR
2
;
πa
2
; –qb/4πa
2
; (qa +qb)/4πR
2
;
Qual é o campo fora do condutor (a uma distância r do centro)?
b)/4πεor
2
;
)/4πεor
2
;
b)/4πεor
2
;
Qual é o campo dentro de cada cavidade?
( ) ambos nulos;
πεoa
2
; -qb/4πεob
2
;
oa
2
; -qb/4πεob
2
;
πεoa
2
; +qb/4πεob
2
;
Qual é a força entre qa e qb ?
(a+b)
2
;
(a+b)
2
;
(a+b)
2
;
Qual dessas respostas mudaria se uma terceira carga, qc, fosse aproximada
( ) as letras a e b;
nenhuma;
( ) a letra a e d;
( ) somente a letra c;
Uma casca esférica condutora e isolada possui carga negativa. O que irá acontecer se um objeto de metal
positivamente carregado é posto em contacto com o interior da casca? Discuta os três casos
carga positiva é (a) menor que, (b) igual a e (c) maior que a carga negativa.
Uma camada de metal esférica possui uma distribuição superficial uniforme de cargas. O potencial é o
mesmo sobre a superfície da camada. Qual afirmação é correta?
O potencial é maior no centro geométrico do volume esférico;
O potencial é menor no centro geométrico do volume esférico;
O potencial no centro do volume é o mesmo que o da superfície;
26
Nome:______________________________________________________________________________
Duas cavidades esféricas de raios a e b são escavadas no interior de uma esfera condutora neutra de raio
chame essas cargas de qa e qb.
, fosse aproximada
Uma casca esférica condutora e isolada possui carga negativa. O que irá acontecer se um objeto de metal
o interior da casca? Discuta os três casos em que a
Uma camada de metal esférica possui uma distribuição superficial uniforme de cargas. O potencial é o

4- A figura mostra o corte transversal de uma cavidade no interior de um condutor elétrico metálico neutro.
Uma carga positiva q está dentro da cavidade. A linha tracejada representa um corte de uma superfície
gaussiana fechada. A superfície gaussiana está no interior do condutor e envolve a cavidade interna.
Marque a afirmativa correta.
(a) A carga elétrica no interior da superfície gaussiana é q .
(b) O campo elétrico no interior da cavidade é nulo.
(c) O campo elétrico no exterior do condutor é nulo.
(d) Se o condutor for aterrado, o campo elétrico se anula em
seu exterior.
5- Uma esfera de metal de raio R, contendo uma carga q, é envolvida por uma camada de metal espessa e
concêntrica (raio interno a, raio externo b). A camada não contém nenhuma carga elétrica.
I) Encontre a densidade superficial de carga σ em r=R, em r=a e em r = b.
A) ( ) -q/4πR
2
; q/4πa
2
; q/4πb
2
;
B) ( ) q/4πR
2
; q/4πa
2
; q/4πb
2
;
C) ( ) q/4πR
2
; -q/4πa
2
; -q/4πb
2
;
D) ( ) q/4πR
2
; -q/4πa
2
; q/4πb
2
;
II) Encontre o potencial no centro, usando o infinito como ponto de referência.
A) ( ) (-q/4πεo)(1/b+1/a+1/R);
B) ( ) (q/4πεo)(1/b-1/a-1/R);
C) ( ) (q/4πεo)(1/b+1/a+1/R);
D) ( ) (q/4πεo)(1/b+1/a-1/R);
E) ( ) 0;
III) Agora a superfície externa é tocada com um fio aterrado, que abaixo o seu potencial à zero
(mesmo que no infinito). Como as suas respostas em A) e B) mudam?
Atenção! Este tópico apresenta alto índice de erros nas avaliações!

Aula 10 – Condutores (para casa)
1-prova de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS -2012)

Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma particula de carga q <
uma região de campo magnético uniforme B = B
A) +qvBi
B) -qvBi
C) +qvBj
D) -qvBz
E) +qvBz
2- Um próton se move na direção +z após ser acelerado a partir do
V. O próton então passa através de uma região onde há um campo elétrico uniforme E na direção +x e um
campo magnetico uniforme na direção +y, mas a trajetória do próton não é afetada pelos campos. Se o
experimento fosse repetido usando uma diferença de potencial de 2V, o próton seria:
A) Defletido na direção +x;
B) Defletido na direção
C) Defletido na direção +y;
D) Defletido na direção
E) Não seria defletido;
3- Uma corrente de 1 A passa por um fio de 2 mm de diâmetro . O
corrente j é:
A) 1 A/mm
2
;
B) 4/π A/mm
2
;
C) π
-1
A/mm
2
;
D) 2/π A/mm
2
;
E) 0,5 A/mm
2
;
4- Uma corrente de 0,5 A é transportada na superfície de um lâmina fina e comprida de 5 mm de largura,
conforme ilustrado pela figura abaixo. A densidade li
A) 0,1 i A/mm;
B) 0,5 i A/mm;
C) 0,1 j A/mm;
D) 0,5 j A/mm;
E) 2,5 i A/mm;
5- Uma lâmina fina e comprida de 2 mm de largura se estende ao longo do eixo x. A lâmina está situada no
plano z =0 e os limites laterais da lâmina são y =
por κκκκ= (1-y
2
) i, onde y é dado em mm e
atravessa a a reta x=0?
A) 1/3 A;
B) 2/3 A;
C) 1 A;
D) 4/3 A;
E) 5/3 A;
Aula 11 – Força de Lorentz
Nome:______________________________________________________________________________
Uma particula de carga q < 0 está se movendo com velocidade constante v = vj quando em t = 0 entra em
uma região de campo magnético uniforme B = Bi. A força que atua na partícula em t=0 é:
Um próton se move na direção +z após ser acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial
sse repetido usando uma diferença de potencial de 2V, o próton seria:
Defletido na direção +x;
Defletido na direção -x;
Defletido na direção +y;
Defletido na direção –y;
Uma corrente de 1 A passa por um fio de 2 mm de diâmetro . O módulo da densidade superficial de
Uma corrente de 0,5 A é transportada na superfície de um lâmina fina e comprida de 5 mm de largura,
conforme ilustrado pela figura abaixo. A densidade linear de corrente κκκκ é:
Uma lâmina fina e comprida de 2 mm de largura se estende ao longo do eixo x. A lâmina está situada no
plano z =0 e os limites laterais da lâmina são y =± 1 mm. A o vetor densidade linear de corrente é dado
, onde y é dado em mm e κ em A/mm. Qual a corrente I, (
∫=
C
nI ˆ.(
r
κ
29
Nome:______________________________________________________________________________
quando em t = 0 entra em
A força que atua na partícula em t=0 é:
repouso por uma diferença de potencial
sse repetido usando uma diferença de potencial de 2V, o próton seria:
módulo da densidade superficial de
Uma corrente de 0,5 A é transportada na superfície de um lâmina fina e comprida de 5 mm de largura,
Uma lâmina fina e comprida de 2 mm de largura se estende ao longo do eixo x. A lâmina está situada no
1 mm. A o vetor densidade linear de corrente é dado
× ldn )ˆ
r
) que

6- Um fio fino transporta uma densidade linear de carga λ = 2 C/m com velocidade v = 10
-2
m/s. A corrente
que atravessa o fio é:
A) 0,2 mA;
B) 2,0 mA;
C) 20,0 mA;
D) 0,02 mA;
E) 0,002 mA;
7- A densidade de corrente que atravessa (entra) uma superfície fechada S é dada por j= xi (A/m
2
). A
densidade volumar de carga ρ que se acumula por unidade de tempo no volume definido por S é:
A) 0,1 C.m
-3
.s
-1
;
B) 1,0 C.m
-3
.s
-1
;
C) 10 C.m
-3
.s
-1
;
D) 100 C.m
-3
.s
-1
;
E) 0,01 C.m
-3
.s
-1
;

1- Uma partícula de carga q entra em uma
região de campo magnético uniforme
(apontando para dentro da folha). O campo
deflete a partícula de uma distância
conforme mostrado na figura. A carga é
positiva ou negativa? Em termos de
encontre o momento da partícula.
2- Uma trajetória exótica ocorre se uma partícula carregada está sujeita a ação de um campo elétrico
perpendicular a um campo magnético. Suponha que
trajetória de uma partícula que parte da origem com velocidade:
A) v (0) = (E/B)j
B) v (0) = (E/2B)j
C) v (0) = (E/B)(j+k)
3- A superfície carregada r =a (
gira em torno do eixo z com velocidade angular
assim gerada, usando a (a)
Resp(a) e (b) j = σoωasenθ
4- Uma corrente I flui por um fio de raio a. (A) Se ela estiver distribuída uniformemente sobre a superfície,
qual é a densidade de corrente
inversamente proporcional à distância do ei
5- Uma superfície cônica tem uma distribuição de cargas uniforme, com densidade
eixo de simetria com velocidade angular
corrente; (b) a corrente gerada pela rotação do cone. Resp (a)
Aula 11 – Para Casa
Uma partícula de carga q entra em uma
região de campo magnético uniforme B
(apontando para dentro da folha). O campo
deflete a partícula de uma distância d,
conforme mostrado na figura. A carga é
positiva ou negativa? Em termos de a, d, B e q
mento da partícula.
Uma trajetória exótica ocorre se uma partícula carregada está sujeita a ação de um campo elétrico
perpendicular a um campo magnético. Suponha que B aponta na direção x e E na direção z. Encontre a
trajetória de uma partícula que parte da origem com velocidade:
A superfície carregada r =a ( em coordenadas esféricas) com densidade volumar de carga
gira em torno do eixo z com velocidade angular ωωωω=ωz. Determine a densidade superficial da corrente
(a) densidade volumar de cargas; (b) a densidade linear da corrente superficial.
θδ(r-a)φφφφ.
Uma corrente I flui por um fio de raio a. (A) Se ela estiver distribuída uniformemente sobre a superfície,
qual é a densidade de corrente κ? (B) Se ela estiver distribuída de forma que a corrente volumétrica seja
inversamente proporcional à distância do eixo, quanto vale J?
Uma superfície cônica tem uma distribuição de cargas uniforme, com densidade σo e gira em torno do seu
eixo de simetria com velocidade angular ωωωω=ωz. Determine (a) a expressão da densidade linear de
corrente; (b) a corrente gerada pela rotação do cone. Resp (a) κκκκ = σoω(a/h)zφφφφ. (b) I=(1/2)
31
Uma trajetória exótica ocorre se uma partícula carregada está sujeita a ação de um campo elétrico
na direção z. Encontre a
com densidade volumar de carga ρ(r) = σoδ(r-a),
. Determine a densidade superficial da corrente
; (b) a densidade linear da corrente superficial.
Uma corrente I flui por um fio de raio a. (A) Se ela estiver distribuída uniformemente sobre a superfície,
? (B) Se ela estiver distribuída de forma que a corrente volumétrica seja
e gira em torno do seu
. Determine (a) a expressão da densidade linear de
(b) I=(1/2) σoωa(a
2
+ h
2
)
1/2

6- Um fio de 100 cm de comprimento transporta uma corrente de 1,0 A em uma região onde um
campo magnético uniforme de 100 T na direção x. Calcule a força magnética sobre o fio se θ=
45
o
é o ângulo entre o fio e a direção x.
A- ( ) 70,7zNB- ( ) 141,4 zNC- ( ) -141,4 zN D- ( ) -70,7ZN E- ( ) 0

Nome:______________________________________________________________________________
1- Duas cargas q e Q se movem com velocidades não nulas com
sobre q exercida por Q é
a) Perpendicular à velocidade de q e depende somente da velocidade de Q;
b) Perpendicular à velocidade de q e depende tanto da velocidade de Q quanto da velocidade de q;
c) Perpendicular à velocidade de Q e depende somente da velocidade de q.
d) Perpendicular à velocidade de Q e depende tanto da velocidade de q quanto da velocidade de Q;
9- Duas cargas positivas q1 e q
carga q1 devido ao campo magnético produzido por q
a) ( ) Entrando na página;
b) ( ) Saindo da página;
c) ( ) para cima;
d) ( ) para baixo;
10- Ainda sobre a questão anterior: qual a direção e o sentido da força sobre a carga q
produzido por q1?
a- ( ) Entrando na página;
b- ( ) Saindo da página;
c- ( ) para cima;
d- ( ) para baixo;
11- Um fio longo e reto situa
movem no sentido de x positivo
sobre o semi-eixo negativo y, aponta em qual direção?
a) +x b)-x c) +y
Aula 12 – Lei de Biot-Savart
Nome:______________________________________________________________________________
Duas cargas q e Q se movem com velocidades não nulas com respeito a um referencial fixo. A força magnética
Perpendicular à velocidade de q e depende somente da velocidade de Q;
Perpendicular à velocidade de q e depende tanto da velocidade de Q quanto da velocidade de q;
à velocidade de Q e depende somente da velocidade de q.
Perpendicular à velocidade de Q e depende tanto da velocidade de q quanto da velocidade de Q;
e q2 estão se movendo para a direita. Qual a direção e o sentido da força sobre
devido ao campo magnético produzido por q2?
( ) Entrando na página;
( ) Saindo da página;
( ) para cima;
( ) para baixo;
Ainda sobre a questão anterior: qual a direção e o sentido da força sobre a carga q2 devido ao campo
( ) Entrando na página;
( ) Saindo da página;
Um fio longo e reto situa-se ao longo do eixo-x e transporta uma corrente de elétrons que se
movem no sentido de x positivo. O campo magnético devido a essa corrente, em um ponto P
eixo negativo y, aponta em qual direção?
c) +y d) –y e)+z f)-z
33
Nome:______________________________________________________________________________
respeito a um referencial fixo. A força magnética
Perpendicular à velocidade de q e depende tanto da velocidade de Q quanto da velocidade de q;
Perpendicular à velocidade de Q e depende tanto da velocidade de q quanto da velocidade de Q;
estão se movendo para a direita. Qual a direção e o sentido da força sobre a
devido ao campo
x e transporta uma corrente de elétrons que se
. O campo magnético devido a essa corrente, em um ponto P

Aula
Nome:______________________________________________________________________________
1- Qual o valor de
∫C
na figura ao lado?
A) ( ) Iµo;
B) ( ) -Iµo;
C) ( ) -2Iµo;
D) ( ) 2Iµo;
2- A figura mostra três correntes de mesmo valor
absoluto i (duas paralelas e uma antiparalela) e quatro
amperianas. Coloque as amperianas em ordem de
acordo com o valor absoluto do fluxo magnético,
começando pelo maior
3- Um fio longo e reto conduz uma
10 A. O valor do campo magnético em um ponto A
distando R = 0,5 m do fio vale, em Tesla (N/A.m),
lembrando que µo
(a) 16×10-6
k
(b) 4×10-6
r
(c) 4×10-6
ϕϕϕϕ
(d) -4×10-6
ϕϕϕϕ
4- Um condutor muito longo tem uma seção transversal quadrada e
seção transversal quadrada. A corrente é uniformemente distribuída ao logo da seção transversal do
condutor. O campo magnético na cavidade é nulo? Justifique a sua resposta.
Este tópico apresenta alto índice de erros
avaliações!
Aula 13 – A divergência e o rotacional de B
Nome:______________________________________________________________________________
∫ ldB
rr
. para o caminho mostrado
?
A figura mostra três correntes de mesmo valor
absoluto i (duas paralelas e uma antiparalela) e quatro
amperianas. Coloque as amperianas em ordem de
acordo com o valor absoluto do fluxo magnético,
começando pelo maior.
Um fio longo e reto conduz uma corrente elétrica de
10 A. O valor do campo magnético em um ponto A
,5 m do fio vale, em Tesla (N/A.m),
o =4π×10-7
N/A2
Um condutor muito longo tem uma seção transversal quadrada e contém uma cavidade coaxial com
condutor. O campo magnético na cavidade é nulo? Justifique a sua resposta.
Este tópico apresenta alto índice de erros nas
34
Nome:______________________________________________________________________________
contém uma cavidade coaxial com

1-Um fio cilíndrico longo de raio a conduz uma corrente uniformemente distribuída I.
Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente a uma distância a) r>a e b)
r<a;
2- Em uma certa região existe uma densidade de corrente uniforme J no sentido positivo do
eixo z. Determine o valor da integral de caminho do campo magnético quando a integral é
calculada ao longo de três segmentos de reta, de (4d,0,0) →(4d,3d,0)→ (0,0,0)→(4d,0,0).
3- Um cilindro longo condutor oco de raio interno a e raio externo b conduz uma corrente ao
longo de seu eixo de simetria. O módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por
J=cr2
. Qual é o vetor campo magnético B em todos os pontos do espaço?

Aula 14 – Potencial Vetor Magnético
Nome:______________________________________________________________________________
1- Se o potencial vetor é dado por A=-yi+xk, então o campo B é:
A) ( ) B = 2k;
B) ( ) B = -2k;
C) ( ) B = -j+k;
D) ( ) B = -1k;
2- Se o potencial vetor é dado por A=-(1/4)µoJoρ
2
k, (em coordenadas cilíndricas) onde Ao é uma
constante, então a densidade de corrente J é:
A) ( ) J = Jo k;
B) ( ) J = -Jo/4 k;
C) ( ) J = -Jo k;
D) ( ) J = 0
3- Num meio uniforme de permeabilidade µ, uma espira circular de raio a, com eixo OZ e centro
na origem, conduz uma corrente I no sentido do unitário azimutal φˆ . O momento magnético da
espira vale:
A) ( ) m = πa
2
Ik
B) ( ) m = -πa
2
Ik
C) ( ) m = 2πa
2
Ik
D) ( ) m = -2πa
2
Ik
4- Repita o item anterior usando a expressão ∫
×
=
C
ldr
Im
2
''
rr
r

5- Vamos obter uma expressão para o potencial
vetor de um dipolo magnético. Vamos
trabalhar a partir da equação
∫ −
=
C
rr
ld
IrA
'
'
4
)( rr
r
r
π
µ . O termo
'
1
rr
rr
−
pode ser
escrito como:
A) ( )
22
''.2
1
rrrr +−
rr
B) ( )
( )222
''.2
1
rrrr +−
rr
C) ( )
22
''.2
1
rrrr +−
rr
D) ( )
22
''.2
1
rrrr ++
rr
6- A partir da sua resposta do item anterior,
fazendo r >> r’, podemos afirmar que o termo
'
1
rr
rr
−
é aproximadamente igual a:
A) ( )
r
rrr '.2
1
11
rr
−
B) ( )
r
rrr '.2
1
11
rr
+
C) ( )
2
'.2
1
11
r
rrr
rr
−
D) ( )
r
rrr '.2
1
11
2 rr
−
7- Podemos desenvolver a raiz quadrada usando
uma expressão válida quando x<<1,
(1+x)n
≅1+nx. A partir das respostas anteriores,
'
1
rr
rr
−
é aproximadamente igual a:
A) ( )
2
.ˆ1.ˆ
1
1
'
1
r
rr
rr
rr
rrr
rr
rr +=





+≈
−
B) ( )
2
.ˆ1.ˆ
1
1
'
1
r
rr
rr
rr
rrr
rr
rr −=





−≈
−
C) ( )
322
.ˆ1.ˆ
1
1
'
1
r
rr
rr
rr
rrr
rr
rr +=





+≈
−
8- A partir dos itens anteriores, verifique que o
potencial vetor pode ser escrito como
( ) 







+= ∫∫ CC
ldrr
r
ld
r
IrA ''.ˆ
1
'
1
4
)( 2
rrrr
π
µ . O
primeiro termo é nulo. Você pode ver porquê?
Vamos trabalhar com o segundo termo. O
integrando ( ) ''.ˆ ldrr
rr pode ser escrito como:
A) ( ) ( ) ( ) ( ) 'ˆ'.ˆ'''.ˆ rrldrldrldrr
rrrrrr
+××=
B) ( ) ( ) ( ) ( )rrldrldrldrr
rrrrrr
ˆ'.ˆ''''.ˆ +××=
C) ( ) ( ) ( ) ( )rrldrldrldrr
rrrrrr
ˆ'.ˆ'''.ˆ +××=
D) ( ) ( ) ( ) ( ) 'ˆ'.ˆ''''.ˆ rrldrldrldrr
rrrrrr
+××=
(dica: (u××××v)×w=(u.w)v-(v.w)u
9- A diferencial d nas variáveis com linha é
expressa como
( )[ ] ( ) ( )[ ]''.ˆ''.ˆ''.ˆ rdrrrrdrrrrd
rrrrrr
+= , onde
'' ldrd
rr
= . Somando membro a membro esta
expressão com a resposta do item 6,
encontramos
( ) [ ]{ }rldrrrrdldrr ˆ)''(')'.ˆ(
2
1
''.ˆ ××+=
rrrrrr .
Quando substituímos esta expressão no
segundo termo da integral do item 8, a
primeira parcela desaparece, uma vez que é a
circulação de uma diferencial exata. A segunda
parcela dá:
A) ( )
r
ldr
I
r
rA
C
ˆ
2
''1
4
)( 3
×






 ×
= ∫
rrr
π
µ
B) ( )
r
ldr
I
r
rA
C
ˆ
2
''1
4
)( 2
×






 ×
= ∫
rrr
π
µ
C) ( )
r
ldr
I
r
rA
C
ˆ
2
''1
4
)( ×






 ×
= ∫
rrr
π
µ
D) ( )
'ˆ
2
'1
4
)( 2
r
ldr
I
r
rA
C
×






 ×
= ∫
rrr
π
µ
Finalmente, note que o termo entre colchetes
da resposta do item anterior é justamente o
momento magnético m. Então:
2
ˆ
4
)(
r
rm
rA
×
=
rr
π
µ . Parabéns! Você chegou lá!

Complemento da aula 14 – obtendo o potencial vetor a partir de J
Partindo da lei de Biot-Savart ∫∫∫ −
−
×=
V
o
dV
rr
rr
rJB 3
'
'
)'(
4 rr
rr
rrr
π
µ
(1).
Mas 3
'
'
'
1
rr
rr
rr
rr
rr
rr
r
−
−
−=







−
∇ , de modo que podemos escrever
∫∫∫ 







−
∇×−=
V
o
dV
rr
rJB
'
1
)'(
4
rr
rrrr
π
µ
(2).
Usando que vfvfvf
rrrrrr
×∇+×∇=×∇ )( , obtemos
( ))'(
'
1
)'(
'
1
'
)'(
rJ
rr
rJ
rrrr
rJ rrr
rr
rr
rr
r
rr
rr
r
×∇
−
+×







−
∇=







−
×∇
Como o vetor densidade de corrente depende das variáveis com linha e o rotacional atua nas
coordenadas com linha, o segundo termo da equação acima é nulo.








−
∇×−=







−
×∇
'
1
' rr
J
rr
J
rr
rr
rr
r
r
(3). Substituindo a Eq. (3) em (2): ∫∫∫ 







−
×∇=
V
o
dV
rr
J
B
'4
rr
r
rr
π
µ
. Como o operador nabla não atua nas variáveis com linha:
















−
×∇= ∫∫∫V
o
dV
rr
rJ
B
'
)'(
4
rr
rr
rr
π
µ
.
Comparando com AB
rrr
×∇= , encontramos finalmente: ∫∫∫ 







−
=
V
o
dV
rr
rJ
A
'
)'(
4
rr
rr
r
π
µ
PARA CASA: Probls. 5.33-5.37, 5.55-5.61

Nome:______________________________________________________________________________
1- Uma corrente pequena, porém mensurável de
número de portadores de carga por unidade de volume é
uniforme. A densidade de corrente é
A) ( ) j=I/πd
2
;
B) ( ) j=4I/πd
2
;
C) ( ) j=I/2πd
2
;
D) ( ) j=I/d
2
;
2- Sobre o item anterior, a velocidade de deriva é:
A) ( ) I/ρπd
2
;
B) ( ) 4I/ρπd
2
;
C) ( ) I/ρ2πd
2
;
D) ( ) I/ρd
2
;
3- O sentido da f.e.m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui através
desta bateria? ( ) SIM ( )NÃO
4- Um resistor cilíndrico cujo corte transversal tem área A e comprimento L é feito de material
com condutividade σ. Se o potencial é constante nas duas extremidades e a diferença de
potencial é V, que corrente está pa
5- Uma bateria de fem E
Se você quiser fornecer o máximo possível de potência para a resistência de carga, que
resistência R deve escolher?
6-Prova de Mestrado (2012)
Aula 15 – Força eletromotriz
Nome:______________________________________________________________________________
Uma corrente pequena, porém mensurável de I atravessa um fio de cobre de diâmetro
número de portadores de carga por unidade de volume é ρ. Supondo que a corrente é
uniforme. A densidade de corrente é
Sobre o item anterior, a velocidade de deriva é:
m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui através
desta bateria? ( ) SIM ( )NÃO
Um resistor cilíndrico cujo corte transversal tem área A e comprimento L é feito de material
. Se o potencial é constante nas duas extremidades e a diferença de
potencial é V, que corrente está passando? Resp: I=σAV/L
e resistência interna r está ligada a uma resistência de carga variável R.
resistência R deve escolher?
39
Nome:______________________________________________________________________________
atravessa um fio de cobre de diâmetro d. O
. Supondo que a corrente é
m suprida por uma bateria depende do sentido da corrente que flui através
Um resistor cilíndrico cujo corte transversal tem área A e comprimento L é feito de material
. Se o potencial é constante nas duas extremidades e a diferença de
e resistência interna r está ligada a uma resistência de carga variável R.

Aula 16 – Indução eletromagnética
Nome:______________________________________________________________________________
1- O fluxo magnético através de uma espira de fio varia de ∆Φ durante o intervalo de tempo ∆t. A
mudança de fluxo ∆Φ é proporcional:
A) ( ) A corrente no fio;
B) ( ) A resistência do fio;
C) ( ) A carga resultante que flui através de qualquer seção do fio.
D) ( ) A d.d.p entre quaisquer dois pontos fixos do fio;
2- Considere um fio horizontal muito longo por onde flui uma corrente estacionária i (para a
direita) e uma espira retangular com dois de seus lados paralelos ao fio. A espira e o fio estão
no mesmo plano, como indica a figura. A espira é colocada em movimento de translação,
afastando-se do fio com velocidade de módulo v.
A respeito do sentido da corrente
induzida na espira e da força
exercida sobre a espira, dada por
∫ ×= BlidF
rrr
, podemos afirmar
que:
(a) o sentido é horário e a força é atrativa;
(b) o sentido é horário e a força é repulsiva;
(c) o sentido é anti-horário e a força é atrativa;
(d) o sentido é anti-horário e a força é repulsiva;
(e) não surge corrente induzida e, portanto, a força é nula.
3- Um campo magnético variável B (apontando perpendicularmente para fora do papel, como na
figura) está confinado ao interior de um tubo condutor. Se o fluxo do campo magnético
aumenta com o tempo, surge uma corrente elétrica no cilindro condutor.
a) Na mesma direção e sentido oposto ao do campo
magnético;
b) Na mesma direção e mesmo sentido do campo
magnético;
c) No plano perpendicular ao campo magnético e
circulando no sentido horário;
d) No plano perpendicular ao campo magnético e
circulando no sentido anti-horário;

1- Prova de acesso ao Mestrado Profissional em Ensino de Física (UFRJ)
Problemas do livro texto: 7.12 até 7.29

Aula 17 – Equações de Maxwell I
Nome:______________________________________________________________________________
Considere as equações de Maxwell:
A) ‫׏‬ሬሬԦ. ‫ܦ‬ሬሬԦ ൌ ρ Lei de Gauss da eletricidade
B) ‫׏‬ሬሬԦ. ‫ܤ‬ሬԦ ൌ 0 Lei de Gauss do Magnetismo
C) ‫׏‬ሬሬԦ ൈ ‫ܧ‬ሬԦ ൌ െ
డ஻ሬԦ
డ௧
Lei de Faraday da Indução
D) ‫׏‬ሬሬԦ ൈ ‫ܪ‬ሬሬԦ ൌ െ
డ஽ሬሬԦ
డ௧
൅ ‫ܬ‬Ԧ Lei de Ampère generalizada
1- Qual das equações de Maxwell implica na não existência do monopólo magnético?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
2- Qual das equações de Maxwell nos diz sobre a existência do monopólo elétrico?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
3- Qual das equações de Maxwell nos diz que um campo magnético que varia induz um campo
elétrico?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
4- Qual das equações de Maxwell nos diz que um campo elétrico que varia induz um campo
elétrico?
A) ( )B) ( )C)( )D) ( )
5- Verdadeiro ou falso:
A) ( ) a corrente de deslocamento tem unidade diferente da corrente de condução
B) ( ) a corrente de deslocamento apenas existe se o campo elétrico na região está variado
no tempo;
C) ( ) Em um circuito LC oscilante, não existe corrente de deslocamento entre as placas do
capacitor quando ele está momentaneamente completo de carga
D) ( ) Em um circuito LC oscilante, não existe corrente de deslocamento entre as placas do
capacitor quando ele está momentaneamente vazio
E) ( ) As equações de Maxwell se aplicam apenas a campos elétricos e magnéticos que são
constantes no tempo;
6- O campo magnético em uma região do espaço é dado por B = kt
2
i para -2s ≤ t ≤ 2s. Qual o
sentido do campo elétrico induzido quando t= 0?
A) Paralelo ao eixo x;
B) Paralelo ao eixo y;
C) O campo elétrico está disposto em círculos centrados no eixo x;
D) Não há campo elétrico quando t= 0s;
7- As figuras abaixo mostram, em várias situações, o campo elétrico e o campo magnético
induzido. Determine em cada caso se o módulo do campo elétrico está aumentando ou
diminuindo.

A) B)
1- prova de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS
C) D)
Aula 17 -para casa
graduação em física (UNIPÓS -2011)
43

Aula 18 – Equações de Maxwell na matéria
Nome:______________________________________________________________________________
(dielétricos) Um capacitor de placas paralelas de área A e separação d é preenchido com duas placas dielétricas. A
placa dielétrica superior possui uma espessura de d e permissividade ε1=6εo e a placa inferior possui uma espessura
de 2d com ε2=12εo. Se uma d.d.p V é aplicada no capacitor, encontre os valores das seguintes grandezas em cada
dielétrico:
1) a capacitância
A) ( ) εoA/2d;
B) ( ) εoA/d;
C) ( ) 2εoA/d;
D) ( ) 4εoA/d;
E) ( ) 6εoA/d;
1) A carga nas placas do capacitor
A) ( ) εoAV/2d;
B) ( ) εoAV/d;
C) ( ) 2εoAV/d;
D) ( ) 4εoAV/d;
E) ( ) 6εoAV/d;
2) A densidade superficial de carga σ
A) ( ) εoV/2d;
B) ( ) εoV/d;
C) ( ) 2εoV/d;
D) ( ) 4εoV/d;
E) ( ) 6εoV/d;
3) O vetor deslocamento D em cada um dos dielétricos
A) ( ) εoV/2d;
B) ( ) εoV/d;
C) ( ) 2εoV/d;
D) ( ) 4εoV/d;
E) ( ) 6εoV/d;
4) O campo elétrico em cada um dos dielétricos
A) ( ) E1 = V/12d; E2 =V/24d
B) ( ) E1 = V/6d; E2 =V/12d
C) ( ) E1 = V/3d; E2 =V/6d
D) ( ) E1 = 2V/3d; E2 =V/3d
E) ( ) E1 = V/d; E2 =V/2d
5) O vetor de polarização em cada um dos dielétricos
A) ( ) P1 = 10εoV/3d; P2 = 11εoV/3d
B) ( ) P1 = 11εoV/3d; P2 = 10εoV/3d
C) ( ) P1 = 10εoV/d; P2 = 11εoV/d
D) ( ) P1 = εoV/3d; P2 = εoV/d
E) ( ) P1 = 2εoV/3d; P2 = εoV/3d
6) (meios magnéticos) Um meio ferromagnético de grande extensão possui B = 2Tz. Se µ =175µo,
encontre H e M.
7) (condições de contorno). Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de
permissividades ε1 e ε2, vale a lei da refração do campo elétrico. ε1 cotgθ1 =ε2 cotgθ2
8) (condições de contorno) Mostre que, na fronteira descarregada que separa dois meios de
permeabilidades µ1 e µ2, vale a lei da refração do campo magnético. µ1 cotgθ1 =µ2 cotgθ2

Aula 19 – a conservação da carga e da energia
Nome:______________________________________________________________________________
1 – (conservação da carga) A densidade de corrente que sai de um volume é dada, em coordenadas
esféricas, por rjj o
ˆ=
r
, onde jo é uma constante. A taxa de variação da densidade volumar de carga
∂ρ/∂t é (vide no formulário a expressão para o operador nabla em coordenadas esféricas):
A) ( ) 0;
B) ( ) -jo/r;
C) ( ) +2jo/r;
D) ( ) -2jo/r;
2- (conservação da energia) Em uma dada região do espaço linear e isotrópico há um campo
eletromagnético dependente do tempo. Se o campo elétrico aponta da direção positiva do eixo
x e o campo magnético aponta na direção negativa do eixo y, o vetor de Poynting aponta:
A) ( ) Na direção +z;
B) ( ) Na direção –z;
C) ( ) Na direção +x;
D) ( ) Na direção –y;
3- Em um meio de permissividade elétrica ε e campo magnético nulo, a densidade volumar de
energia é dada por:
A) ( ) u = E
2
/2ε;
B) ( ) u = εE
2
/2;
C) ( ) u = E
2
/2;
D) ( ) u = εE
2
;
4- Em um meio de permeabilidade magnética µ e campo elétrico nulo, a densidade volumar de
energia eletromagnética é dada por:
A) ( ) u = B
2
/2µ;
B) ( ) u = µB
2
/2;
C) ( ) u = B
2
/2;
D) ( ) u = µB
2
;

Aula 20 – a conservação do momento
Nome:______________________________________________________________________________
1- Um fluido em condições estáticas não está sujeito a tensões de cisalhamento. Se a pressão em
um ponto do fluido é po, o tensor de tensões nestas condições é expresso por :
A) ( )
o
o
o
p
p
p
−
−
−
00
00
00
B) ( )
ooo
ooo
ooo
ppp
ppp
ppp
C) ( )
0
0
0
oo
oo
oo
pp
pp
pp
2- Um capacitor é composto por duas placas paralelas de área A e separação d prenchida por um
dielétrico de permissividade elétrica ε. Aplica-se uma d.d.p V entre as placas do capacitor. A
força que uma placa exerce sobre a outra é (em módulo):
A) ( ) A(ε/2)(V/d)
2
B) ( ) Aε(V/d)
2
C) ( ) 2Aε(V/d)
2
D) ( ) A(ε/4)(V/d)
2
3- No caso do capacitor do exemplo anterior, se o sinal das placas for alterado, a tensão na
direção do campo :
A) ( ) não se altera;
B) ( ) altera o sinal mas não o módulo;
C) ( ) altera o módulo e o sinal;
4- Se o campo elétrico é dado por E=(Eo. 0,0), o tensor de tensões de Mawell é dado por
A) ( )
2
0
2
0
2
0
0
00
00
00
2
E
E
E






−
ε
B) ( )
2
0
2
0
2
0
0
00
00
00
2
E
E
E
−
−




 ε
C) ( ) ( )
2
0
2
0
2
0
0
00
00
00
E
E
E
ε
D) ( ) ( )
2
0
2
0
2
0
0
00
00
00
E
E
E
ε−
5- No caso do exercício anterior, 0 fluxo de momento (momento/área) na direção y é:
A) ( ) )0,
2
,0(
2
00 E
Ty
ε
=−
r
B) ( ) )0,0,
2
(
2
00 E
Ty
ε
=−
r
C) ( ) ),0,0( 2
00 ETy ε=−
r

É extremamente valioso para o ensino de física o fato que algumas grandezas, a princípio distintas,
possam ser discutidas igualmente. Algumas grandezas físicas que se comportam analogamente aos
fluidos. Elas são chamadas de quantidades tipo substância. Entre elas e
elétrica, momento, momento angular, entropia, etc... Cada uma delas pode ser imaginada como um tipo
de substância. Uma indicação de que uma quantidade X ( X pode ser densidade de carga, densidade de
energia, densidade de momento
da continuidade:
XX
XX
I
dt
dX
ou
wj
t
X
Σ+=
+⋅∇=
∂
∂ rr
Ou na forma integral:
∫∫ ∫∫∫ =+⋅
S V
X XdV
dt
d
Sdj 0
rr
Que se aplica a uma dada região do espaço de volume V. A quantidade dX/dt (
de variação temporal de X dentro da região,
unidade de tempo no interior daquela região. I
da superfície que limita a região. Assim, há duas causas para a mudança no valor de X dentro do volume
V: a criação ou destruição de X dentro da região e uma corrente de X através da superfície S que limita
V.
Para algumas grandezas, o termo
dentro de V quando uma corrente flui através da superfície S. Estas grandezas são chamadas
conservadas, por exemplo: carga elétrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (d
representa a corrente elétrica, P a corrente de energia (potência), e
Uma grandeza tipo sustância não deve necessariamente ser conservada. Por obedecerem à equação da
continuidade, grandezas tipo substância possuem algumas propriedades que fazem ser
fácil de lidar com estas grandezas:
I) O valor da quantidade tipo substância refere
II) Todo grandeza tipo substância possui outra grandeza associada a ela que pode ser
interpretada como uma corrente.
III) Quantidade tipo su
IV) Correntes também são aditivas;
Considere a figura abaixo: podemos descrever esta situação dizendo que um trabalho está sendo
realizado sobre as placas do capacitor, aumentando sua energia potencial. A mesma situação pode ser
descrita utilizando o caráter tipo substância da energia: Energia flui das mãos através das cordas para o
campo do capacitor.
mente valioso para o ensino de física o fato que algumas grandezas, a princípio distintas,
fluidos. Elas são chamadas de quantidades tipo substância. Entre elas estão: massa, energia, carga
energia, densidade de momento, etc...) se comporta como substância é quando ela obedece à equação
Que se aplica a uma dada região do espaço de volume V. A quantidade dX/dt (∂X/∂t) representa a taxa
de variação temporal de X dentro da região, ΣX (wX), indica o quanto de X é criado ou destruído por
unidade de tempo no interior daquela região. IX (divjx) representa a intensidade de corrente de X através
que limita a região. Assim, há duas causas para a mudança no valor de X dentro do volume
Para algumas grandezas, o termo ΣX é sempre nulo. Estas grandezas apenas podem alterar seu valor
conservadas, por exemplo: carga elétrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (d
ica, P a corrente de energia (potência), e F a corrente de momento (força).
continuidade, grandezas tipo substância possuem algumas propriedades que fazem ser
fácil de lidar com estas grandezas:
O valor da quantidade tipo substância refere-se a uma região no espaço;
Todo grandeza tipo substância possui outra grandeza associada a ela que pode ser
interpretada como uma corrente.
Quantidade tipo substância são aditivas;
Correntes também são aditivas;
utilizando o caráter tipo substância da energia: Energia flui das mãos através das cordas para o
47
mente valioso para o ensino de física o fato que algumas grandezas, a princípio distintas,
stão: massa, energia, carga
, etc...) se comporta como substância é quando ela obedece à equação
t) representa a taxa
), indica o quanto de X é criado ou destruído por
) representa a intensidade de corrente de X através
que limita a região. Assim, há duas causas para a mudança no valor de X dentro do volume
andezas apenas podem alterar seu valor
conservadas, por exemplo: carga elétrica (dQ/dt+I=0), energia (dE/dt=P), momento (dp/dt=F), onde I
a corrente de momento (força).
continuidade, grandezas tipo substância possuem algumas propriedades que fazem ser relativamente
se a uma região no espaço;
Todo grandeza tipo substância possui outra grandeza associada a ela que pode ser
utilizando o caráter tipo substância da energia: Energia flui das mãos através das cordas para o

O momento é mais do que simplesmente m
como mv . Por exemplo, onda eletromagnética:
O Ensino tradicional de física nem sempre faz
geralmente derivadas a partir de
que estes também são semelhantes à
6- Dado o vetor de Poyinting (
A) ( ) µεS;
B) ( ) -µεS;
C) ( ) εS;
D) ( ) µS;
Grandeza X
Carga elétrica ρ (carga/volume)
Energia
eletromagnética
µ (energia/volume)
momento Pem
(momento/volume)
Densidade de momento angular:
elemento de carga em relação à origem.
O momento angular do campo:
Referência: The Karlsruhe Physics Course
O momento é mais do que simplesmente mv. Há sistemas cujo momentos não podem ser descritos
. Por exemplo, onda eletromagnética:
BDem
rr
×=℘ (densidade de momento)
nem sempre faz uso de estas vantagens. A energia,
a partir de outros quantidades. Isto faz com que seja mais difícil de compreender
semelhantes à quantidades tipo substância.
Dado o vetor de Poyinting ( S=E×H), a densidade de momento eletromagnético é:
Grandeza X Corrente de X Equação
(carga/volume) j=ρv (carga/área. tempo)
+⋅∇ j
r
(energia/volume) S=µv
(energia/área.tempo)
S⋅∇
rr
(momento/volume)
T
t
−
(momento/área.tempo)
T⋅∇
tr
Momento angular
Densidade de momento angular: )( BDrr emem
rrrrr
l
r
××=℘×≡ , onde r é o vetor posição do
elemento de carga em relação à origem.
∫∫∫=
V
emem dVL l
rr
The Karlsruhe Physics Course
48
. Há sistemas cujo momentos não podem ser descritos
(densidade de momento)
A energia, e momento são
is difícil de compreender
), a densidade de momento eletromagnético é:
Equação
0=
∂
∂
+
t
ρ
w
t
−=
∂
∂
+
µ
t
pp mecem
∂
+∂
=
)(
é o vetor posição do

Para casa
1- Um capacitor de placas paralelas espaçadas de uma distância d com uma diferença de potencial
V entre elas. Considere que o dielétrico entre as placas é o vácuo. A tensão (força por unidade
de área) paralela às linhas de campo elétrico é
A) ( ) εoV
2
/d
2
; B) ( ) 2εoV
2
/d
2
; C) ( ) εoV/d; D) ( ) εoV
2
/2d
2
;
2- Assinale a afirmativa correta
A) ( ) Em cada ponto de um campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
Sua intensidade é εoE
2
/2;
B) ( ) Em cada ponto de um campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
2
/2;
C) ( ) Em cada ponto de um campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
2
/2;
D) ( ) Em cada ponto de um campo elétrico há uma tensão na direção do campo elétrico.
2
/2;
3- Um campo eletromagnético é representado pelo vetor deslocamento D=Doi e pelo campo
magnético B=Bok. A densidade de momento do campo é:
a) ( ) DoBoj;
b) ( ) -DoBoj;
c) ( ) DoBok;
d) ( ) DoBoi;
4- Se o tensor de Maxwell é dado por
00
020
0
o
o
oo
T
T
TT
T
−
−
=
t
, o momento transportado pelos
campos na direção x atravessando uma superfície orientada na direção z por unidade de área,
por unidade de tempo (ou tensão eletromagnética - força/área) é:
A) ( ) To;
B) ( ) -To;
C) ( ) 2To;
D) ( ) -2To;
E) ( ) 0;
5- A densidade de momento angular do campo na posição r=roj de um campo eletromagnético
representado pelo vetor deslocamento D=Doj e pelo campo magnético B=Bok é:
A) ( ) roDoBoi;
B) ( ) -roDoBoi;
C) ( ) roDoBoj;
D) ( ) -roDoBok;
E) ( ) roDoBok;

Aula 21 – Ondas eletromagnéticas em uma dimensão
Nome:______________________________________________________________________________
1- Dada a equação de onda 2
2
2
2
tz ∂
∂
=
∂
∂ ψ
µε
ψ
, qual é a velocidade de propagação da onda?
A) ( ) εµ;
B) ( ) 1/εµ;
C) ( ) (εµ)
2
;
D) ( ) 1/(εµ)
2
;
Dada a função de onda ψ=Asen2π(3x-2t), onde x é dado em metros e t em segundos.
Determine:
2- O comprimento de onda em metros:
A) ( ) 1/3;
B) ( ) 2π/3;
C) ( ) 1;
D) ( ) 1/6;
3- A frequência em Hz:
A) ( ) 3;
B) ( ) 1/π;
C) ( ) 1;
D) ( ) 2;
4- A velocidade de fase em m/s:
A) ( ) 2/3;
B) ( ) 1/3;
C) ( ) 2;
D) ( ) 1;
5- O período em segundos:
A) ( ) 1/3;
B) ( ) π;
C) ( ) 1;
D) ( ) 1/2;
5) A direção de propagação:
A) ( ) +z; B) ( ) -z; C) ( ) +x; D) ( ) –x;
6) Calcule o complexo conjugado de z1 = 2+3i e z2 =2e
i2
A) ( ) 2-3i e 2e
-2i
;
B) ( ) -2+3i e 2e
-2i
;
C) ( ) 2+3i e -2e
2i
;
D) ( ) -2-3i e -2e
-2i
;
7) Calcule a norma de z=3e
-i2
A) ( ) 3; B) ( ) -3; C) ( ) 2; D) ( ) -2;

8) Dado z=3e
iπ
. Re(z) e Im(z) valem respectivamente:
A) ( ) -3 e 0;
B) ( ) 3 e 0;
C) ( ) 0 e 3;
D) ( ) 0 e -3;
Descreva completamente o estado de polarização de cada uma das seguintes ondas:
9) E =Eo cos(kz-ωt)i-Eo cos(kz-ωt)j
A) ( ) linear; B) ( ) circular; C) ( ) eliptica;
10) E =Eo sen(kz-ωt)i-Eo sen(kz-ωt)j
11) E =Eo sen(kz-ωt)i+Eo sen(kz-ωt-π/4)j
12)E =Eo cos(kz-ωt)i+Eo cos(kz-ωt+π/2)j

1- Indique cada um dos números z =x+iy abaixo no plano complexo. Para cada número de o valor
número de sua parte real (ReZ=x) , sua parte imaginária y (Im Z=y), seu módulo r e o valor de θ.
a) 1+i;
b) i-1;
c) 2i;
d) 3;
e) 2i-2;
Você sabia?
Imagens 3D usam luz polarizada para produzir sensação de profundidade. Nossa percepção de
profundidade é devido, em grande parte, a habilidade do olho de enxergar o mundo de um
ângulo ligeiramente diferente. O cérebro funde as duas visões em uma tridimensional. Durante
a filmagem de um filme 3D, duas câmeras gravam a ação de perspectivas ligeiramente
diferentes. Quando o filme é mostrado, dois projetores com filtros polarizadores, são
utilizados.

Aula 22 – Ondas eletromagnéticas no vácuo
Nome:______________________________________________________________________________
1- Falando informalmente, pode-se dizer que as componentes elétrica e magnética de uma
onda eletromagnética progressiva “alimentam-se uma à outra”. O que isto significa?
2- Considere a seguinte configuração de linhas de campo. Ela pode estar relacionada a..
A) ( ) somente ao campo elétrico;
B) ( ) somente ao campo
magnético;
C) ( ) a ambos;
D) ( ) a nenhum dos dois;
3- Considere a seguinte configuração de linhas de campo. Ela pode estar relacionada a..
E) ( ) somente ao campo elétrico;
F) ( ) somente ao campo
magnético;
G) ( ) a ambos;
H) ( ) a nenhum dos dois;
4- Um laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de
onda em torno de λ, com uma largura de ∆λ. Qual é a largura da luz emitida em unidades
de freqüência?
A) ( ) c∆λ/λ
2
;
B) ( ) c/λ;
C) ( ) c/λ
2
;
D) ( ) c∆λ/λ;
5- Em um determinado ponto e em um determinado instante de tempo o campo elétrico de
uma onda onda eletromagnética aponta para o norte quando o campo magnético aponta
para cima. Em que direção a onda eletromagnética está se propagando?
A- ( ) Leste; B- ( ) Oeste;C-( )Sul D-( ) para baixo;
6- O campo elétrico de uma onda plana que viaja na direção do eixo z é E=(Eoxx+Eoy y)sen(ωt-
kz+ϕ). Encontre o campo magnético
A) ( ) B=(-Eoyi+Eox j)cos(ωt-kz+ϕ)/c
B) ( ) B=(Eoxi+Eoy j)sen(ωt-kz+ϕ)/c
C) ( ) B=(-Eoyi+Eox j)sen(ωt-kz+ϕ)/c
D) ( ) B=(Eoxi+Eoy j)cos(ωt-kz+ϕ)/c
E) ( ) B=(-Eoyi-Eoy j)sen(ωt-kz+ϕ)/c

7- Se um feixe de luz vermelha, um feixe de verde e um feixe de luz violeta, todos viajando no
vácuo, têm a mesma intensidade, qual o feixe tem a maior momento?
a) ( ) o de luz vermelha;
b) ( ) o de luz verde;
c) ( ) o de luz violeta;
d) ( ) eles todos têm o mesmo momento;
e) ( ) não se pode determinar a partir destes dados;
8- Ainda sobre o item anterior, qual feixe tem o maior valor de pico (amplitude) para o campo
elétrico?
a) ( ) o de luz vermelha;
b) ( ) o de luz verde;
c) ( ) o de luz violeta;
d) ( ) eles todos têm o mesmo momento;
e) ( ) não se pode determinar a partir destes dados;
9- Duas ondas planas eletromagnéticas senoidas são idênticas, exceto que a onda A tem uma
amplitude do campo elétrico que é três vezes a amplitude da onda B. Como se comparam
suas intensidades?
A) ( ) IA =IB/3;
B) ( ) IA =IB/9;
C) ( ) IA =3IB;
D) ( ) IA =9IB;

Aula 22 – Ondas eletromagnéticas no vácuo (para casa)
Equações úteis (complementam o formulário):
Pressão de radiação (P) e intensidade (I):
2
2
ooE
c
I
c
S
P
ε
=== , onde Eo é a amplitude do campo
elétrico.
Momento (p) e energia (U) em uma onda eletromagnética:
c
U
p =
1- Os espelhos usados em um tipo particular de laser refletem 99,99 % da radiação incidente. (a)
Se o laser emite uma potência média de 15 W, qual é a potência média da radiação incidente
em um dos espelhos? b) qual é a força devida à pressão de radiação em um dos espelhos?
2- Um laser pulsado dispara um pulso de 1000 MW com duração de 200 ns em um pequeno
objeto que tem massa de 10,0 mg e está suspenso por uma fina fibra de 4,00 cm de
comprimento. Se a radiação for completamente absorvida pelo objeto, qual é o máximo ângulo
de deflexão deste pêndulo? (Pense no sistema como se fosse um pêndulo balístico e considere
que o pequeno objeto estivesse pendurado verticalmente antes que a radiação o atingisse)
3- A intensidade da luz do Sol ao atingir a Terra é de aproximadamente 1300 W/m
2
. Se a luz do Sol
atingir um absorvedor perfeito, que pressão irá exercer? E sobre um refletor perfeito? A que
fração da pressão atmosférica isso equivale? (pressão atmosférica ≅ 10
5
Pa)
4- Exame de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS-2012)

5- Exame de acesso à pós-graduação em física (UNIPÓS-2010)

Aula 23– Ondas eletromagnéticas na matéria
Nome:______________________________________________________________________________
1- Em um meio não dispersivo de impedância Z=2Zo , onde Zo é a impedância do vácuo, a luz se
propaga com velocidade v=c/2. As permissividade elétrica e permeabilidade magnéticas são,
respectivamente:
A) ( )
4
, o
o
µ
ε ;
B) ( ) oo µε 4, ;
C) ( ) o
o
µ
ε
,
4
;
D) ( ) oo µε ,4 ;
2- Os ângulos de incidência e transmissão para um raio incidente no ar (meio 1) em bloco (meio 2)
são 45
o
e 30
o
, respectivamente. O índice de refração do bloco é:
A) ( ) 2 ;
B) ( )
2
1
;
C) ( ) 3 ;
D) ( )
3
1
;
3- Para uma onda eletromagnética que incide normalmente sobre um meio, os coeficientes de
reflexão para as componentes perperdicular e paralela ao plano de incidência do campo
elétrico são, respectivamente:
A) ( ) 1,
12
12
ZZ
ZZ
+
−
B) ( ) 1,
12
12
−
+
−
ZZ
ZZ
C) ( ) 1,
12
21
ZZ
ZZ
+
−
D) ( )
12
12
,1
ZZ
ZZ
+
−
−
4- Para um meio onde n
2
=3, o ângulo de incidência para o qual a luz refletida é 100 % polarizada
é:
A) ( ) 30
o
;
B) ( ) 45
o
;
C) ( ) 60
o
;
D) ( ) 80
o
;

FIW 591 - Introdução à Eletromagnetismo

FIW 591 - Introdução à Eletromagnetismo

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a FIW 591 - Introdução à Eletromagnetismo

Semelhante a FIW 591 - Introdução à Eletromagnetismo (20)

Último

Último (20)

FIW 591 - Introdução à Eletromagnetismo