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Tabela Pitagórica para aprender
multiplicação
Confira como utilizar esse excelente recurso para provocar a reflexão sobre as relações
de proporcionalidade nas multiplicações
Objetivo
Adquirir recursos para reconstruir rapidamente os resultados das multiplicações básicas.
Conteúdos
- Sistematização e ampliação do repertório de multiplicações.
- Exploração das relações de proporcionalidade envolvidas nas multiplicações.
Anos
Do 3º ao 5º ano.
Tempo estimado
Ao longo do ano inteiro.
Materiais necessários
Tabela pitagórica para completar (uma por aluno);
Cartaz com a mesma tabela (reproduzida em tamanho grande) para a análise coletiva
posterior;
Tabelas com alguns erros para os alunos corrigirem.
Desenvolvimento
1ª etapa
Proponha que os alunos completem a tabela pitagórica. Diga que analisem diferentes
relações entre os números e de que maneira podem encontrar alguns resultados das
multiplicações a partir de outros. Por exemplo, para saber quanto é 7 x 8, é possível
pensar no dobro de 7 x 4, ou no quádruplo de 7 x 2, ou ainda, pensar em 5 x 8 + 2 x 8, ou
em 7 x 10 - 7 x 2. Apresente uma tabela pitagórica para os alunos e explique como
preenchê-la. Proponha que, individualmente, preencham os quadradinhos
correspondentes àqueles produtos que lembram de memória.
Tabelapita
Reserve um tempo para que preencham os resultados que lembram de memória e em
seguida proponha a discussão coletiva. O aspecto central dessa discussão é que os alunos
reflitam sobre como usar os resultados que se lembram para encontrar outros a partir das
relações entre as diferentes fileiras e colunas desta tabela. Para a tabuada do 5, por
exemplo, é interessante retomar o que os alunos sabem sobre a multiplicação por 10,
chegando a formulações como: a tabuada do 5 é fácil porque todos os números terminam
em 0 ou em 5; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir do 10 (5
x 2), encontramos a tabuada do 10, porque duas vezes cinco equivale a uma vez dez; se
olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir de um número que
termina em 5, chega-se em outro número que também termina em 5, que é o resultado de
se somar 10 ao resultado anterior; multiplicar por 5 é a metade de multiplicar por 10.
Do mesmo modo, é possível analisar a relação entre as fileiras ou colunas do 2 e do 4,
onde os resultados da segunda são o dobro dos da primeira; ou entre o 4 e o 8; entre o 3 e
o 6; o 5 e o 10. Ou as relações entre a fileira ou a coluna do 2 e do 8, onde os resultados
da segunda são o quádruplo dos da primeira; ou do 9 e do 3, onde os resultados da
primeira são o triplo dos da segunda. Também é possível estabelecer que os resultados da
fileira ou da coluna do 7 podem ser constituídos somando os resultados das fileiras ou
colunas do 3 e do 4; ou subtraindo, por exemplo, das multiplicações por 10 os resultados
da multiplicação por 3 etc. Do mesmo modo, é possível conhecer os resultados de outras
multiplicações, tais como as multiplicações por 9, a partir da soma dos resultados da
multiplicação por 4 e por 5; por 7 e por 2, ou ao subtrair 9 do resultado das
multiplicações por 10; etc.
Algumas atividades para sistematizar tais discussões podem ser:
1-
2- Sem fazer o cálculo, escreva as seguintes contas em ordem crescente:
6x6 3x5
4x5 6x7
5x5 8x7
9x8 9x10
8x8
3 - Complete as seguintes tabelas:
Em síntese, trata-se de estabelecer uma rede de relações entre multiplicações a partir da
tabela da multiplicação, porém estas relações não substituem a memorização dos
resultados no momento de realizar um cálculo.
2ª etapa
A propriedade comutativa da multiplicação faz com que baste memorizar a metade dos
produtos do quadro. Esse aspecto se refere aos resultados que se repetem a partir de um
eixo de simetria constituído por uma diagonal do quadro. Isto, baseado na comutatividade
da multiplicação, permite reconstruir uma metade do quadro a partir do conhecimento da
outra metade.
Proponha aos alunos a análise coletiva e registre no caderno as descobertas que fizerem
acerca do eixo de simetria.
Proponha aos alunos que busquem diferentes multiplicações que cheguem a um mesmo
resultado. Por exemplo, 24, 18, 30, 32, 36.
Se sabemos que 4 x 6 é igual a 24, fica fácil saber que 6 x 4 também é igual. O mesmo
com 8 x 9, que é igual a 72, 9 x 8 também é igual a 72. Ter consciência de que os
resultados de metade da tabela pitagórica são os mesmo da outra metade, facilita o
entendimento das regularidades e a memorização dos resultados.
3ª etapa
As multiplicações por 0 e por 1 são casos especiais. Proponha a reflexão sobre o que
acontece quando se multiplica por 0 e por 1, respectivamente. Organize anotações no
caderno.
4ª etapa
Proponha aos alunos um jogo para sistematizar as descobertas sobre as regularidades e
propiciar o aumento do repertório de cálculos: mostre aos alunos a tabela da
multiplicação do cartaz completa, com alguns quadradinhos tapados, e peça que anotem
em seus cadernos os resultados das multiplicações que se encontram ocultos (eles não
podem consultar suas tabelas pessoais).
Em outro momento, entregue tabelas completas, mas contendo alguns erros, e solicite que
os alunos os corrijam.
5ª etapa
É necessário propor, em sucessivas oportunidades, um trabalho sistemático dirigido a
memorização deste repertório pelos alunos. Para isto, peça que anotem quais são as
multiplicações que recordam facilmente, de memória, e não precisam voltar a calcular a
cada vez e, quais as que são mais difíceis de recordar. Em momentos coletivos, os alunos
poderão apresentar as multiplicações que consideram mais difíceis e, junto com seus
colegas, buscar pistas - a partir das diferentes relações - que permitam recordá-las.
Por exemplo, se alguém não lembra quanto é 9 x 8, é possível reconstruir essa
multiplicação a partir de:
9 x 4, vimos que 9 x 8 é o dobro de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72;
9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72;
9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72;
10 x 8 - 8 = 80 - 8 = 72;
9 x 10 - 9 x 2 = 90 - 18 = 72;
etc.
Estas "pistas" ficarão registradas nos cadernos para que os alunos possam voltar a elas
tantas vezes quanto seja necessário. Toda essa bagagem de conhecimentos constituirá
uma trama que contribuirá para o trabalho de memorização das tabuadas que
inevitavelmente os alunos deverão realizar.
Periodicamente, entregue uma série de cálculos para os alunos realizarem
individualmente em um curto período de tempo e sem consulta às pistas do caderno, a
fim de verificar se o repertório de cálculos memorizados está aumentando
gradativamente.
6ª etapa
Proponha problemas que devam ser resolvidos com a calculadora. Tais problemas devem
requerer a reconstrução de um resultado da tabela da multiplicação a partir de outros:
Se na calculadora você precisar fazer as seguintes multiplicações, mas a tecla do 8 não
estiver funcionado. Como poderá fazê-las?
4 x 8 =
6 x 8 =
7 x 8 =
5 x 8 =
Se você precisar fazer estas outras multiplicações sem usar a tecla do 6?
9 x 6 =
8 x 6 =
7 x 6 =
E se você precisar fazer estas outras sem usar a tecla do 7?
4 x 7 =
10 x 7 =
5 x 7 =
Avaliação
Para que os próprios alunos possam ir controlando quais são os resultados das
multiplicações que se recordam e quais não, proponha o seguinte jogo: fale uma
multiplicação e a anote na lousa. Dê um breve tempo para que os alunos,
individualmente, a escrevam em seus cadernos e anotem também seu resultado. Em
seguida, dite outra multiplicação e os alunos repetem o procedimento. Mesmo que não
lembrem o resultado copiam a multiplicação.
Depois de várias multiplicações, solicite que confiram os resultados com a calculadora e
proponha a discussão coletiva sobre quais foram as multiplicações que vários alunos não
puderam responder ou erraram.
Selecione quais multiplicações irá analisar e coordene, então, uma discussão coletiva
entre todos os jogadores. Construam, coletivamente, "pistas" que permitam recordar essas
multiplicações em uma próxima oportunidade.
Oriente os alunos para organizarem as multiplicações que precisam estudar. Para isto,
proponha o trabalho individual no caderno e peça que agrupem as multiplicações mais
difíceis, que anotem as pistas sugeridas na aula e que, além disso, solicitem pistas para
algumas multiplicações que não foram discutidas coletivamente. Oriente que organizem
um estudo diário ao longo dos dias.
Consultoria: Simone Azevedo
Da Equipe Pedagógica da Comunidade Educativa CEDAC, adaptado "Plan Plurianual
para el Mejoramiento de la enseñanza - Cálculo mental con números naturales -
Docente", do Governo da Cidade de Buenos Aires, Secretaria de Educação, Direção
Geral de Planejamento. Coordenação autoral: Patricia Sadovsky. Elaboração do material:
María Emilia Quaranta, Héctor Ponce
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Tabela pitagórica para aprender multiplicação

  • 1. Tabela Pitagórica para aprender multiplicação Confira como utilizar esse excelente recurso para provocar a reflexão sobre as relações de proporcionalidade nas multiplicações Objetivo Adquirir recursos para reconstruir rapidamente os resultados das multiplicações básicas. Conteúdos - Sistematização e ampliação do repertório de multiplicações. - Exploração das relações de proporcionalidade envolvidas nas multiplicações. Anos Do 3º ao 5º ano. Tempo estimado Ao longo do ano inteiro. Materiais necessários Tabela pitagórica para completar (uma por aluno); Cartaz com a mesma tabela (reproduzida em tamanho grande) para a análise coletiva posterior; Tabelas com alguns erros para os alunos corrigirem. Desenvolvimento 1ª etapa Proponha que os alunos completem a tabela pitagórica. Diga que analisem diferentes relações entre os números e de que maneira podem encontrar alguns resultados das multiplicações a partir de outros. Por exemplo, para saber quanto é 7 x 8, é possível pensar no dobro de 7 x 4, ou no quádruplo de 7 x 2, ou ainda, pensar em 5 x 8 + 2 x 8, ou em 7 x 10 - 7 x 2. Apresente uma tabela pitagórica para os alunos e explique como preenchê-la. Proponha que, individualmente, preencham os quadradinhos correspondentes àqueles produtos que lembram de memória. Tabelapita Reserve um tempo para que preencham os resultados que lembram de memória e em seguida proponha a discussão coletiva. O aspecto central dessa discussão é que os alunos reflitam sobre como usar os resultados que se lembram para encontrar outros a partir das relações entre as diferentes fileiras e colunas desta tabela. Para a tabuada do 5, por
  • 2. exemplo, é interessante retomar o que os alunos sabem sobre a multiplicação por 10, chegando a formulações como: a tabuada do 5 é fácil porque todos os números terminam em 0 ou em 5; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir do 10 (5 x 2), encontramos a tabuada do 10, porque duas vezes cinco equivale a uma vez dez; se olharmos a tabuada do 5 de dois em dois quadradinhos, a partir de um número que termina em 5, chega-se em outro número que também termina em 5, que é o resultado de se somar 10 ao resultado anterior; multiplicar por 5 é a metade de multiplicar por 10. Do mesmo modo, é possível analisar a relação entre as fileiras ou colunas do 2 e do 4, onde os resultados da segunda são o dobro dos da primeira; ou entre o 4 e o 8; entre o 3 e o 6; o 5 e o 10. Ou as relações entre a fileira ou a coluna do 2 e do 8, onde os resultados da segunda são o quádruplo dos da primeira; ou do 9 e do 3, onde os resultados da primeira são o triplo dos da segunda. Também é possível estabelecer que os resultados da fileira ou da coluna do 7 podem ser constituídos somando os resultados das fileiras ou colunas do 3 e do 4; ou subtraindo, por exemplo, das multiplicações por 10 os resultados da multiplicação por 3 etc. Do mesmo modo, é possível conhecer os resultados de outras multiplicações, tais como as multiplicações por 9, a partir da soma dos resultados da multiplicação por 4 e por 5; por 7 e por 2, ou ao subtrair 9 do resultado das multiplicações por 10; etc. Algumas atividades para sistematizar tais discussões podem ser: 1- 2- Sem fazer o cálculo, escreva as seguintes contas em ordem crescente: 6x6 3x5 4x5 6x7 5x5 8x7 9x8 9x10 8x8 3 - Complete as seguintes tabelas: Em síntese, trata-se de estabelecer uma rede de relações entre multiplicações a partir da tabela da multiplicação, porém estas relações não substituem a memorização dos resultados no momento de realizar um cálculo.
  • 3. 2ª etapa A propriedade comutativa da multiplicação faz com que baste memorizar a metade dos produtos do quadro. Esse aspecto se refere aos resultados que se repetem a partir de um eixo de simetria constituído por uma diagonal do quadro. Isto, baseado na comutatividade da multiplicação, permite reconstruir uma metade do quadro a partir do conhecimento da outra metade. Proponha aos alunos a análise coletiva e registre no caderno as descobertas que fizerem acerca do eixo de simetria. Proponha aos alunos que busquem diferentes multiplicações que cheguem a um mesmo resultado. Por exemplo, 24, 18, 30, 32, 36. Se sabemos que 4 x 6 é igual a 24, fica fácil saber que 6 x 4 também é igual. O mesmo com 8 x 9, que é igual a 72, 9 x 8 também é igual a 72. Ter consciência de que os resultados de metade da tabela pitagórica são os mesmo da outra metade, facilita o entendimento das regularidades e a memorização dos resultados. 3ª etapa As multiplicações por 0 e por 1 são casos especiais. Proponha a reflexão sobre o que acontece quando se multiplica por 0 e por 1, respectivamente. Organize anotações no caderno. 4ª etapa Proponha aos alunos um jogo para sistematizar as descobertas sobre as regularidades e propiciar o aumento do repertório de cálculos: mostre aos alunos a tabela da multiplicação do cartaz completa, com alguns quadradinhos tapados, e peça que anotem em seus cadernos os resultados das multiplicações que se encontram ocultos (eles não podem consultar suas tabelas pessoais). Em outro momento, entregue tabelas completas, mas contendo alguns erros, e solicite que os alunos os corrijam. 5ª etapa É necessário propor, em sucessivas oportunidades, um trabalho sistemático dirigido a memorização deste repertório pelos alunos. Para isto, peça que anotem quais são as multiplicações que recordam facilmente, de memória, e não precisam voltar a calcular a cada vez e, quais as que são mais difíceis de recordar. Em momentos coletivos, os alunos poderão apresentar as multiplicações que consideram mais difíceis e, junto com seus colegas, buscar pistas - a partir das diferentes relações - que permitam recordá-las.
  • 4. Por exemplo, se alguém não lembra quanto é 9 x 8, é possível reconstruir essa multiplicação a partir de: 9 x 4, vimos que 9 x 8 é o dobro de 9 x 4: 9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72; 9 x 8 = 9 x 5 + 9 x 3 = 45 + 27 = 72; 9 x 8 = 5 x 8 + 4 x 8 = 40 + 32 = 72; 10 x 8 - 8 = 80 - 8 = 72; 9 x 10 - 9 x 2 = 90 - 18 = 72; etc. Estas "pistas" ficarão registradas nos cadernos para que os alunos possam voltar a elas tantas vezes quanto seja necessário. Toda essa bagagem de conhecimentos constituirá uma trama que contribuirá para o trabalho de memorização das tabuadas que inevitavelmente os alunos deverão realizar. Periodicamente, entregue uma série de cálculos para os alunos realizarem individualmente em um curto período de tempo e sem consulta às pistas do caderno, a fim de verificar se o repertório de cálculos memorizados está aumentando gradativamente. 6ª etapa Proponha problemas que devam ser resolvidos com a calculadora. Tais problemas devem requerer a reconstrução de um resultado da tabela da multiplicação a partir de outros: Se na calculadora você precisar fazer as seguintes multiplicações, mas a tecla do 8 não estiver funcionado. Como poderá fazê-las? 4 x 8 = 6 x 8 = 7 x 8 = 5 x 8 = Se você precisar fazer estas outras multiplicações sem usar a tecla do 6? 9 x 6 = 8 x 6 = 7 x 6 = E se você precisar fazer estas outras sem usar a tecla do 7? 4 x 7 = 10 x 7 = 5 x 7 = Avaliação Para que os próprios alunos possam ir controlando quais são os resultados das multiplicações que se recordam e quais não, proponha o seguinte jogo: fale uma multiplicação e a anote na lousa. Dê um breve tempo para que os alunos, individualmente, a escrevam em seus cadernos e anotem também seu resultado. Em seguida, dite outra multiplicação e os alunos repetem o procedimento. Mesmo que não
  • 5. lembrem o resultado copiam a multiplicação. Depois de várias multiplicações, solicite que confiram os resultados com a calculadora e proponha a discussão coletiva sobre quais foram as multiplicações que vários alunos não puderam responder ou erraram. Selecione quais multiplicações irá analisar e coordene, então, uma discussão coletiva entre todos os jogadores. Construam, coletivamente, "pistas" que permitam recordar essas multiplicações em uma próxima oportunidade. Oriente os alunos para organizarem as multiplicações que precisam estudar. Para isto, proponha o trabalho individual no caderno e peça que agrupem as multiplicações mais difíceis, que anotem as pistas sugeridas na aula e que, além disso, solicitem pistas para algumas multiplicações que não foram discutidas coletivamente. Oriente que organizem um estudo diário ao longo dos dias. Consultoria: Simone Azevedo Da Equipe Pedagógica da Comunidade Educativa CEDAC, adaptado "Plan Plurianual para el Mejoramiento de la enseñanza - Cálculo mental con números naturales - Docente", do Governo da Cidade de Buenos Aires, Secretaria de Educação, Direção Geral de Planejamento. Coordenação autoral: Patricia Sadovsky. Elaboração do material: María Emilia Quaranta, Héctor Ponce
  • 6. lembrem o resultado copiam a multiplicação. Depois de várias multiplicações, solicite que confiram os resultados com a calculadora e proponha a discussão coletiva sobre quais foram as multiplicações que vários alunos não puderam responder ou erraram. Selecione quais multiplicações irá analisar e coordene, então, uma discussão coletiva entre todos os jogadores. Construam, coletivamente, "pistas" que permitam recordar essas multiplicações em uma próxima oportunidade. Oriente os alunos para organizarem as multiplicações que precisam estudar. Para isto, proponha o trabalho individual no caderno e peça que agrupem as multiplicações mais difíceis, que anotem as pistas sugeridas na aula e que, além disso, solicitem pistas para algumas multiplicações que não foram discutidas coletivamente. Oriente que organizem um estudo diário ao longo dos dias. Consultoria: Simone Azevedo Da Equipe Pedagógica da Comunidade Educativa CEDAC, adaptado "Plan Plurianual para el Mejoramiento de la enseñanza - Cálculo mental con números naturales - Docente", do Governo da Cidade de Buenos Aires, Secretaria de Educação, Direção Geral de Planejamento. Coordenação autoral: Patricia Sadovsky. Elaboração do material: María Emilia Quaranta, Héctor Ponce