Cálculo da profundidade de elétrons em placa de capacitor

• Na figura 1-a capacitância C = 0,25 𝜇𝐹 a uma bateria cuja diferença de
potencial é V = 12 V. A placa inferior do capacitor tem uma espessura
L = 0,50 cm, uma área A = 2,0 × 10−4 𝑚2 e é feita de cobre, material
no qual a densidade de elétrons de condução é n =8,49 × 1028
elétrons/𝑚3. De que profundidade d no interior da placa (fig. 1-b) os
elétrons se movem para a superfície da placa quando o capacitor está
totalmente carregado?

• Ideias:
• A carga que se acumula na placa inferior está relacionada à capacitância e à diferença de
potencial entre os terminais do capacitor, temos:
Q = CV = (0,25 × 10−6
F) (12V) = 3,0× 10−6
C
Temos que calcular o nº de elétrons de condução que se acumulam na superfície, assim:
N =
𝑄
𝑒
=
3,0 ×10−6 𝐶
1,602×10−19 𝐶
= 1,873 × 1013 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
• Os elétrons vem de um volume que é o produto da área da placa A pela profundidade d,
para esse volume, a densidade de elétrons de condução pode ser escrita como:
n =
𝑁
𝐴𝑑
ajustando a equação, d =
𝑁
𝐴𝑛
=
1,873 ×1013 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠
(2,0 × 10−4 𝑚2)(8,49 × 1028 elétrons/ 𝑚3)
= 1,1 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝒎

Calculando a Integral...Pelo teorema fundamental do
cálculo:

• Capacitores de um circuito ou de parte de um circuito às vezes podem
ser substituídos por um capacitor equivalente, ou seja, um único
capacitor com a mesma capacitância que o conjunto de capacitores.

• Quando a diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores
ligados em paralelo, a diferença de potencial V é a mesma entre as
placas de todos capacitores e a carga total q armazenada nos
capacitores é a soma das cargas armazenadas.
• Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um
capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma
diferença de potencial V que os capacitores originais.

• Quando a diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores em
série, carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a
soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é
igual à diferença de potencial aplicada V.
• Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um
capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de
potencial total V que os capacitores originais.

ATENÇÃO!!!!!
Essa equação é valida apenas para DOIS
CAPACITORES, se for mais que dois, devem
utilizar a equação geral acima.

• 1º Cientista Inglês Michael Faraday em 1837 Capacitância
Usando um equipamento
simples mostrado nessa
imagem, Faraday constatou
que a capacitância era
multiplicada por um fator
numérico K, que chamou de
constante dielétrica do
material isolante.
Equipamentos usados por Faraday em suas experiências com capacitores. O dispositivo
completo (seguindo da esquerda para direita) é um capacitor esférico formado por
uma esfera central de bronze e casca concêntrica feita de mesmo material. Faraday
colocou vários dielétricos diferentes no espaço entre a esfera e a casca.

Material Constante dielétrica k Rigidez dielétrica (KV/mm)
Ar (atm) 1,00054 3
Poliestireno 2,6 24
Papel 3,5 16
Óleo de transformador 4,5
Pirez 4,7 14
Mica rubi 5,4
Porcelana 6,5
Silício 12
Germânio 16
Etanol 25
Água (20 graus Celsius) 80,4
Água (25 graus Celsius) 78,5
Titânia 130
Titanato de estrôncio 310 8
Para o vácuo K = 1

• Potencial de Ruptura Limitação de DDP nas placas a 𝑉 𝑚á𝑥
• Rigidez Dielétrica Valor máx. do E que o material
pode tolerar sem que ocorra a ruptura.
• Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de
constante dielétrica K, a permissividade do vácuo 𝜺 𝟎 deve ser
substituída por k𝜺 𝟎 em todas as equações.
• Se o espaço (inicialmente vazio) entre as placas de um capacitor é
ocupado totalmente por um material dielétrico, a capacitância C é
multiplicada pela constante dielétrica K do material, que é sempre
maior que 1.

Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida por
uma bateria B, o efeito de um dielétrico é aumentar a carga das placas.

Potenciômetro,
instrumento usado para
medir diferenças de
potencial.
Se a carga das placas é mantida, o efeito do
dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre
as placas.
ATENÇÃO!!!!!!!!
Um capacitor NÃO
pode se DESCARREGAR
através de um
potenciômetro

• Quando um dielétrico é introduzido em um capacitor, surgem cargas
na faces do dielétrico, que enfraquecem o campo elétrico entre as
placas.
• A carga introduzida é menor que a carga das placas.

Aplicamos a lei de Gauss na figura ao lado na
ausência de um dielétrico:
𝜀0 = 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝜀0 𝐸𝐴 = 𝑞
logo,
𝐸0 =
𝑞
𝜀0 𝐴Envolvemos a carga +q

Com um dielétrico entre as placas, podemos calcular o campo elétrico
entre as placas e no interior do dielétrico. Usando a mesma superfície
gaussiana. Como a carga total envolvida pela superfície gaussiana é q –
q’, a lei de Gauss nos dá:
𝜀0 = 𝐸. 𝑑𝐴 = 𝜀0 𝐸𝐴 = 𝑞 - q’
Ou
E =
𝑞 −𝑞′
𝜀0 𝐴
Como o efeito do dielétrico é dividido por k o campo original 𝐸0,
podemos escrever:
E =
𝐸0
𝐾
=
𝑞
𝐾𝜀0 𝐴
Podemos dizer que: q – q’ =
𝑞
𝐾
, então:
A superfície envolve dois tipos de
carga: +q da placa superior do
capacitor e a carga induzida –q’ da
superfície superior do dielétrico.

• A integral do fluxo agora envolve o produto k𝐸 em vez de 𝐸;
• A carga q envolvida pela superfície gaussiana agora é tomada como apenas a
carga livre (porque pode se mover sob a ação de um campo elétrico aplicado). A
carga induzida nas superfícies do dielétrico é deliberadamente ignorada ao lado
direito da equação de Gauss, pois seus efeitos já foram levados em conta
quando a cte dielétrica k foi introduzida no lado esquerdo.
• A diferença entre as equações é que na nova versão de Gauss a constante 𝜀0 foi
substituída por k𝜀0. Mantemos k no integrando para incluir os casos em que k
não é a mesma em todos pontos da superfície gaussiana.

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