Capacitores E DieléTricos

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br Última atualização: 30/08/2005 13:19 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

Capítulo 31 - Capacitores e
Dielétricos

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos

26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas
que formam entre si um ângulo θ, conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre
que a capacitância deste capacitor, para valores de θ muito pequenos, é

ε 0a2 ⎛ aθ ⎞
C= ⎜1 − ⎟
d ⎝ 2d ⎠

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em
paralelo.)

(Pág. 94)
Solução.
Considere o esquema abaixo:
a

y
θ
d

x dx
Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um
capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre
as placas l. Capacitância dC:
ε dA ε adx ε 0 adx
dC = 0 = 0 =
l d + y d + x tan θ
O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores
dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:
a ε 0 adx
C = ∫ dC = ∫
0 d + x tan θ

ε 0 a ⎛ a tan θ ⎞
C= ln ⎜1 + ⎟ (1)
tan θ ⎝ d ⎠
No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor,
sendo o resultado:
1 1
ln (1 + x ) = x − x 2 + x3 − ( x < 1)
2 3
Considerando-se

________________________________________________________________________________________________________ 2
a
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 - Capacitores e Dielétricos


a tan θ
x=
d
e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:
⎛ a tan θ ⎞ a tan θ a tan θ a tan θ ⎛ a tan θ ⎞
2 2
ln ⎜1 + ⎟ ≈ − = ⎜1 − ⎟
⎝ d ⎠ d 2d 2 d ⎝ 2d ⎠
Considerando-se θ ≈ 0, isto implica em tan θ ≈ θ. Logo:
⎛ a tan θ ⎞ aθ ⎛ aθ ⎞
ln ⎜1 + ⎟≈ ⎜1 − ⎟ (2)
⎝ d ⎠ d ⎝ 2d ⎠
Substituindo-se (2) em (1):
ε a aθ ⎛ aθ ⎞
C≈ 0 1−
θ d ⎜ 2d ⎟
⎝ ⎠
ε 0a2 ⎛ aθ ⎞
C≈ ⎜1 − ⎟
d ⎝ 2d ⎠

[Início]

27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga
em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a
chave S2. Suponha que C1 = 1 μF, C2 = 2 μF, C3 = 3 μF e C4 = 4 μF.

(Pág. 94)
Solução.
(a) Considere o esquema a seguir:
C1 C3 C13

=
C2 C4 C24

V V
Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:
CC
C13 = 1 3
C1 + C3
q1 = q3

________________________________________________________________________________________________________ 3
a


O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:
CC
C24 = 2 4
C2 + C4
q2 = q4
Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos:
V = V1 + V3 = V2 + V4
Tomando-se:
q1 q3 q1 q1
V = V1 + V3 = + = +
C1 C3 C1 C3
⎛1 1 ⎞
V = q1 ⎜ + ⎟
⎝ C1 C3 ⎠
CC
q1 = V 1 3
C1 + C3
q1 = q3 = 9 μC
De forma semelhante:
CC
q2 = V 2 4
C2 + C4
q2 = q4 = 16 μC
(b) Considere o esquema a seguir:
C1 C3 C1 C3
C12 C34

= =
C2 C4 C2 C4

V V V
q12 q34
V = V12 + V34 = +
C12 C34
Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série:
q12 = q34
Logo:
⎛ 1 1 ⎞
V = q12 ⎜ + ⎟
⎝ C12 C34 ⎠
C C
q12 = q34 = V 12 34
C12 + C34
Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos:

q12 = q34 = V
( C1 + C2 )( C3 + C4 )
( C1 + C2 ) + ( C3 + C4 )
q12 = q34 = 25, 2 μC

________________________________________________________________________________________________________ 4
a


Mas:
q12
V12 = = 8, 4 μC
C12
Logo:
q1 = V12C1
q1 = 8, 4 μC
q2 = V12C2
q1 = 16,8 μC
De forma semelhante:
q3 = 10,8 μC
q1 = 14, 4 μC

[Início]

38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.
Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro
de raio igual a

r = ab .

(Pág. 95)
Solução.
Considere o esquema a seguir:

________________________________________________________________________________________________________ 5
a

−
−
−
−

− −
+
+ +
−
a −
+ +
b
− + r
+
+ −

− −

− −
− −

Capacitância de um capacitor cilíndrico:
L
C = 2πε 0
ln ( b a )
Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:
q 2 q ln ( b a )
2

U= = (1)
2C 4πε 0 L
Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico:
dU
u=
dV
⎛1 ⎞
dU = udV = ⎜ ε 0 E 2 ⎟ . ( L.2π r.dr ) (2)
⎝2 ⎠
Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:
q
E= (3)
2πε 0 Lr
Substituindo-se (3) em (2):
⎛ q2 ⎞
dU = ε 0 ⎜ 2 2 2 2 ⎟ π Lrdr
⎝ 4π ε 0 L r ⎠
q 2 dr
dU = (4)
4πε 0 Lr
Condição que resolve o presente problema:
r U
∫a dU = 2 (5)

Substituindo-se (1) e (4) em (5):
q 2 dr r dr 1 ⎡ q ln ( b a ) ⎤
2

4πε 0 Lr ∫a r 2 ⎣ 4πε 0 L ⎦
= ⎢ ⎥

r 1 b
ln = ln
a 2 a
2
⎛r⎞ b
ln ⎜ ⎟ = ln
⎝a⎠ a
2
⎛r⎞ b
⎜ ⎟ =
⎝a⎠ a
________________________________________________________________________________________________________ 6
a


r b
=
a a
r = ab

[Início]

________________________________________________________________________________________________________ 7
a

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