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Aula 01 análise combinatória

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Aula 01 análise combinatória

  1. 1. INTRODUÇÃO Quando Magali se aproximou, os vendedores rapidamente informaram a ela as seguintesopções de comida: o primeiro ofereceu hot dog simples (maionese, salsicha, catchup emostarda) ou completo (simples mais purê, batata palha, vinagrete, etc.), e o segundosugeriu sorvete de chocolate, flocos ou morango. Magali, entretanto, surpreendeu os vendedores, informando-lhes que acabara de almoçar eestava sem fome. Iria apenas “forrar o estômago”, servindo-se de um sanduíche e de umabola de sorvete.De quantos modos distintos Magali pôde fazer sua “refeição”? De acordo com o problema, podemos ter as seguintes refeições:• Hot dog simples e sorvete de chocolate;• Hot dog simples e sorvete de flocos;• Hot dog simples e sorvete de morango;• Hot dog completo e sorvete de chocolate;• Hot dog completo e sorvete de flocos;• Hot dog completo e sorvete de morango; A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada por meio de um diagrama, emque a 1ª coluna, representa as possibilidades de escolha de hot dog e, na 2ª coluna, aspossibilidades de escolha do sabor da bola de sorvete.
  2. 2. Esse esquema é conhecido como diagrama da árvore. Fazendo a leitura ao longo de todasas “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições. Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duasetapas sucessivas. A primeira é a escolha do tipo de hot dog: há duas possibilidades de fazertal escolha. A segunda é a escolha do sabor do sorvete: para cada uma das possibilidadesanteriores, há três maneiras de escolher o sabor da bola de sorvete. Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 X 3 = 6 maneirasdistintas. Para resolver problemas de contagem elementares (como o do exemplo dado) ou bemmais complexos, passaremos a estudar, com detalhes, a Análise Combinatória.PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode serrealizada de m maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode serrealizada de n maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a açãocompleta é dado por m x n. Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de duas etapassucessivas. EXERCÍCIOS1. Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 12 maneiras2. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 120 números3. Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas ela pode ser resolvida?4. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 448 números5. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 7? 144 números
  3. 3. FATORIAL Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!) através dasrelações: Notemos que, em I, o fatorial de n representa o produto dos n primeiros naturais positivos,escritos desde n até 1.EXEMPLOS: A medida que n aumenta, o cálculo de n! torna-se mais trabalhoso. Notemos, então, asseguintes simplificações: Esses exemplos sugerem a seguinte relação de recorrência: EXERCÍCIOS6. Calcule:7. Efetue:
  4. 4. 8. Simplifique:9. Resolva a equação (n + 2)! = 6! n = 110. (UA – AM) Simplifique a expressão:ARRANJO SIMPLES Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos,tomados p a p, a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os nexistentes.EXEMPLOS: Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatroelementos tomados dois a dois. Devemos escrever todas as sequências ordenadas de dois elementos distintos escolhidosentre os elementos de A. Assim, temos: Notemos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possívelagrupamento gera um agrupamento diferente. Para um conjunto com n elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para calcular onúmero de arranjos desses n elementos tomados p a p.
  5. 5. EXERCÍCIOS13. O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? 24 maneiras14. A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”? 468000 senhas15. Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo, diferente do primeiro, às 18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes pode ser escolhida? 30 maneirasCOMBINAÇÃO SIMPLES Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos deA, tomados p a p, a qualquer subconjunto de A formado por p elementos.EXEMPLOS: Vamos escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u},tomados dois a dois: Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos.Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: {a, e} = {e, a}, porexemplo. Assim, as combinações pedidas são: {a, e} {a, i} {a, o} {a, u} {e, i} {e, o} {e, u} {i, o} {i, u} {o, u} Para um conjunto com n elementos distintos, temos uma fórmula recursiva para calcular onúmero de combinações desses n elementos tomados p a p.
  6. 6. EXERCÍCIOS18. Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes. a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores? 455 maneiras b) Suponhamos, agora, que uma família sempre opta por mussarela. Como poderão ser escolhidos os outros dois sabores? 91 maneiras19. Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? 540 comissões b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino? 1350 comissões20. Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, marcam-se mais quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos? 70 triângulos OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Devemos ter em mente sempre que: quando a ordem dos elementos é importante, o problema deve ser resolvido por Arranjo, se a ordem dos elementos não é importante, o problema deve ser resolvido por Combinação!!!PERMUTAÇÃO SIMPLES Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos atoda ordenação desses n elementos. O número total de permutações de n elementos, indicado por n!, é dado por:
  7. 7. EXEMPLOS: Vamos escrever todos os anagramas da palavra SOL. Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que seforme uma palavra com ou sem sentido. Temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO EXERCÍCIOS24. Qual é o número de anagramas da palavra SOMA? E de LIVRO? 24 e 12025. Considere os anagramas da palavra BRASIL. a) Quantos são? 720 b) Quantos começam por B? 120 c) Quantos começam por vogal? 240PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS Consideremos agora a palavra CASA. Ao montarmos seus anagramas (faça isso),percebemos que são apenas 12. Tal diminuição deve-se ao fato de que a letra A aparecerepetida. De fato, dado um anagrama qualquer de CASA, ao mantermos fixas as posições deC e de S e permutarmos as duas letras A, obteremos a mesma sequência:
  8. 8. EXERCÍCIOS26. Calcule o número de anagramas de: a) APOSENTADO 907.200 b) RODOVIÁRIA 226.800 c) SOSSEGADO 30.24027. Um dado é lançado 4 vezes. De quantos modos distintos pode ser obtida uma sequência com três faces iguais a 1 e uma face igual a 6? 4 modos28. Permutando os algarismos 3, 2, 3, 4, 4 e 5, quantos números de 6 algarismos podemos formar? 180 números29. Uma moeda é lançada 5 vezes. De quantos modos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas? 10 modos30. Considere os anagramas formados a partir de CORREDOR. a) Quantos são? 3.360 b) Quantos começam por R? 1.260 c) Quantos começam por COR? 60 d) Quantos começam e terminam por R? 360
  9. 9. PERMUTAÇÃO CIRCULAR No caso da permutação com repetição existe um caso especial, a permutação circular.Observe o exemplo a seguir. Vamos determinar de quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la. Fazendo um esquema, observando que são posições iguais: O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total depermutações circulares será dado por: Generalizando, para determinar uma permutação circular, utilizamos a fórmula: EXERCÍCIOS31. De quantas maneiras 7 meninas podem formar a roda? 720 maneiras32. Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? 6 modos33. Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? 72 disposições34. Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois meninos não fiquem juntos? 12 modos

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