GABARITOS 2 BIM

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Escola Nova 2º Bim 2015

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GABARITOS 2 BIM

  1. 1. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.A 1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual é a probabilidade de encontrarmos: a) cara Probabilidade ½ ou 50% b) coroa Probabilidade ½ ou 50% 2) Um dado não-viciado é arremessado. Qual é a probabilidade de sair: a) o número 5? Casos favoráveis: o 5 (1 caso) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 1/6 b) um número par? Casos favoráveis: 2, 4 e 6 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) c) um número ímpar? Casos favoráveis: 1, 3 e 5 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) d) um número maior que 4? Casos favoráveis: 5 e 6 (2 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 2/6=1/3 (ou 33,33%) e) um número menor que 4? Casos favoráveis: 1, 2, 3 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) f) um número primo? Casos favoráveis: 2, 3 e 5 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) NÚMERO PRIMO é aquele que divide apenas por um e por ele mesmo, isto é, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc... Quando a probabilidade é 0%=0 o evento é chamado de EVENTO IMPOSSÍVEL Quando a probabilidade é 100%=1 o evento é chamado de EVENTO CERTO 3) Qual é o espaço amostral? a) do arremesso de uma moeda {K, C} b) do arremesso de um dado. {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) do arremesso de duas moedas. {(K, K), (K,C), (C, K), (C,C)} d) do arremesso de dois dados. { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 3) Arremessando dois dados não-viciados e somando-se suas faces, qual é a probabilidade de encontrarmos: DIAGRAMA 1 – impossível 2 – (1,1) → 1/36 3 – (1,2), (2,3) → 2/36 = 1/18 4 – (1,3), (2,2), (3,1) → 3/36=1/12 5 – (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4/36=1/9 6 – (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5/36 7 -(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)→6/36 8 - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5/36 9 – (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4/36=1/9 10 – (4,6), (5,5), (6,4) → 3/36=1/12 11 – (5,6), (6,5) → 2/36=1/18 12 – (6,6) → 1/36 a) 1 → 0 b) 2 → 1/36 c) 3 →1/18 d) 4 → 1/12 e) 5 → 1/9 f) 6 → 5/36 g) 7 → 1/6 h) 8 → 5/36 i) 9 → 1/9 j) 10 → 1/12 k) 11 → 1/18 l) 12 → 1/36 5) Arremessando duas moedas, qual é a probabilidade de: Espaço amostral: KK, KC, CK, CC a) sair cara no primeiro lançamento. Raciocínio comum: 2/4 = 1/2 Raciocínio alternativo: ora, no primeiro lançamento pode sair cara ou coroa, então 1/2 b) sair duas faces iguais KK ou CC, portanto 2/4=1/2 6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um número par? Casos favoráveis: 2 e 4 (2 casos) Casos possíveis: 4 Probabilidade: 2/4=1/2=50% b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair um número quadrado perfeito? Casos favoráveis: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (10 casos) Casos possíveis: 100 Probabilidade: 10/100=1/10 ou 10% c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair um número primo? Casos favoráveis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 (8 casos) Casos possíveis: 25 Probabilidade: 8/25 ou 32% Para achar a probabilidade pensamos assim 8------25 x-------100 Como 100=4 x 25, basta multiplicar 8 por 4, ou seja, temos 32. d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair um número maior que 18? Casos favoráveis: 19 a 50 (ou seja 50- 18=32) Casos possíveis: 50 Probabilidade 32/50 = 16/25 ou 64% e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7? Casos favoráveis: 7, 14, 21 e 28 (4 casos) Casos possíveis: 30 Probabilidade: 4/30=2/15 f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo? Casos favoráveis: nenhum. Não há número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo entre 1 e 30. Casos possíveis: 30 Probabilidade: 0/30 = 0% evento impossível Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.B 7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual é a probabilidade de escolhermos uma carta: São 13 cartas de cada um dos 4 naipes, ou seja, 52 cartas a) de naipe de copas. 13/52 ou 1/4 ou 25% b) de naipe de ouro. 13/52 ou 1/4 ou 25% c) de naipe de espadas. 13/52 ou 1/4 ou 25% d) de naipe de paus. 13/52 ou 1/4 ou 25% e) de número 7. 4/52 ou 1/13 f) de número 9. 4/52 ou 1/13 g) cuja face é K. 4/52 ou 1/13 h) cuja face é Q. 4/52 ou 1/13 i) cujo naipe é preto. 26/52 ou ½ ou 50% j) cujo naipe é vermelho. 26/52 ou ½ ou 50% k) um Ás de copas 1/52 l) um 7 de ouros 1/52 m) um valete vermelho. 2/52=1/26 n) um 10 preto. 2/52=1/26 o) uma carta de 4 ou de J 8/52=4/26=2/13 p) uma carta que não seja J, K ou Q. Sobram 10 cartas por naipe 40/52=10/13 8) a) Qual é a probabilidade de um número de dois algarismos seja múltiplo de 15? Casos favoráveis: 15, 30, 45, 60, 75 e 90 (ou seja, 6 casos). Casos possíveis: 10 ao 99, sendo 90 casos Probabilidade: 6/90=1/15 b) Qual é a possibilidade de um número de três algarismos formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetição seja par? Casos favoráveis: 354 e 534 (2 casos) Caso possíveis: 354, 345, 534, 543, 435, 453 (6 casos) Probabilidade: 2/6=1/3 9) Escreva a árvore das probabilidades (NO CADERNO): a) do arremesso de três moedas.
  2. 2. d) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetição. e) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetição. f) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B e C. g) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B, C, D, E iniciados por vogal. h) Dos números de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.C 1) Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? 2/6 = 1/3 2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? As possibilidades são (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1). Ou seja, são 4 possibilidades num universo de 36. 4/36 = 1/9 3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? Usando o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Casos Possíveis: 1ª retirada: 9 possibilidades 2ª retirada: 8 possibilidades Pelo PFC: 9 x 8 =72 Casos Favoráveis: 1ª retirada: 5 possibilidades, pois são 5 bolas vermelhas 2ª retirada: 4 possibilidades, pois não há reposição Pelo PFC: 5 x 4 = 20 20 / 72 = 10 / 36 = 5/18 4) Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? Fazendo todas as 16 possibilidades (pode usar um diagrama de árvore), verificamos que em 8 dessas possibilidades aparecem 2 caras seguidas (faça o diagrama). Ou seja, há 8/16 = ½ de probabilidade de sair duas caras seguidas e 8/16 = ½ de probabilidade de NÃO sair duas caras seguidas. Os dois tem as mesmas chances! 5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de que saiam 2 caras? Observe o diagrama 9A, e verifique que há 4 possibilidades de 8 para sair 2 caras, ou seja 4/8 = ½ ou 50%. Resposta: 50% 6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro? O mais provável é ter 2 filhos de cada sexo, pois, a probabilidade de nascer homem ou mulher é de 50%. 7) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham um número em comum? Um dominó é numerado de 0 a 9, ou seja, há 100 peças. As peças comuns são (0,0), (1,1), ... (9,9), ou seja, 10 peças com números duplos. 10/100 = 1/10 ou 10% 8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o número, devolvem o bilhete à urna? Esse exercício é da programação de estudos para Olimpíadas de Matemática. Veja a resposta oficial: Em ambos os casos, Laura e Telma têm a mesma probabilidade de tirar um número maior que a outra. Se não há devolução, não pode haver empate, e a probabilidade de que Laura tenha o maior número é 50%. Se há devolução, há possibilidade de empate e a probabilidade de que isto ocorra ´e igual a 100 casos de empate dividido por 100 × 100 casos possíveis que ´e igual a 0, 01, Logo, neste caso a probabilidade de que Laura tenha um núumero maior do que o de Telma é (1 − 0,01)/2 =0, 99/2 = 0, 495. Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.D 9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma tem de vencer? Veja a árvore das probabilidades: A probabilidade de Ana ou Carolina vencer é 1/4+1/8=3/8. A de Joana é 1/4. (Considere o 3º galho como ¼ e o 4º galho como 1/8, você consegue entender o motivo!) Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por exemplo, que as dezenas atrasadas são importantes, é porque já observamos, em nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim aumentando muito suas chances.” Você concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitória na Sena? Resposta da OBM: Embora haja pessoas que ganhem a vida com este tipo de afirmação, ela é completamente sem sentido. As extrações são independentes, o que faz com que uma dezena estar atrasada seja completamente irrelevante para o que vai acontecer no futuro. Na verdade, se estamos em dúvidas sobre a equiprobabilidade das diversas dezenas, poderíamos concluir exatamente o contrário: se uma dezena sai menos que outras, talvez seja porque seja menos provável (por exemplo, a bolinha correspondente pode ser maior ou mais leve que as outras). Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 11) Suponhamos que você tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual você acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? Resposta da OBM: Obviamente, os dois jogos têm a mesma probabilidade de serem vitoriosos (mas você acha que as pessoas, em geral, concordariam com isto? por quê?). Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um programa de rádio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se o candidato mantém sua escolha ou deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou não? (Uma forma de você guiar sua intuição consiste em simular o problema.) Resposta da OBM: O candidato deve trocar a porta. Se ele não o faz, sua chance de vitória está em ter escolhido a porta certa da primeira vez, o que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a porta, ele vai ganhar o prêmio exatamente nos casos em que a porta escolhida é a errada, o que tem probabilidade 2/3. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.E Problemas de Contagem 1) (Olimpíada Cearense de Matemática da Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A até C passando por B. Ela só anda pelas estradas que já construiu: O número de caminhos diferentes que ela pode escolher é: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 Entre A e B: 3 caminhos Entre B e C: 3 caminhos Total de caminhos: 3 x 3 = 9 2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP – 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro são compostas por 3 letras do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arábicos (total:10 algarismos). Qual é o número máximo de placas de carro que podem ser feitas no Brasil? a) 17576000 b) 175760000 c) 6760000 d) 115316136 Basta utilizar o princípio fundamental da contagem, que é bem mais simples: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia e blusa Margareth pode usar? a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121 Basta fazer 12 x 11 = 132
  3. 3. 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000) Com seis tipos de cartões magnéticos e oito senhas diferentes, as opções de escolha de um cartão e uma senha são: a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64 Só fazer 6x8=48 5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se ele não conhece a ordem e procura acertar a senha por tentativas, qual é o número máximo de tentativas que fará? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120 Como o usuário não pode repetir, ele tem 3 x 4 x 2 x 1 = 24 possibilidades Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.F 6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1, 2 e 3 – 1a fase – 2001) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições? A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24 O número de quantidade de quadriláterios é o produto dos vértices: 2 x 3 x 4 x 5 = 120. 7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de tal forma que não pintemos duas faixas consecutivas da mesma cor. 1ª listra: qualquer cor = 3 2ª listra: menos a cor usada na 1ª listra = 2 3ª listra: menos a cor usada na 2ª listra = 2 4ª listra: menos a cor usada na 3ª listra = 2 3x2x2x2 = 24 8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam. Quantos são os cumprimentos possíveis? Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.A 1) As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe? 𝑀𝐴 = 25 + 27 + 22 + 30 + 31 5 = 135 5 = 27 Resposta: A média das idades é de 27 anos. 2) Qual é a média aritmética dos números – 25, - 22, -13, 15 e 30? 𝑀𝐴 = −25 − 22 − 13 + 15 + 30 5 = −60 + 45 5 = − 15 5 = −3 3) Qual é a média aritmética dos números 12, - 10, -8, -12 e 7? 𝑀𝐴 = 12 − 10 − 8 − 12 + 7 5 = − 11 5 𝑜𝑢 − 2,2 4) A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e 32. Qual é a idade média dos membros da diretoria. 𝑀𝐴 = 27 + 30 + 30 + 32 + 30 + 32 + 30 + 27 + 30 + 32 10 = 300 10 = 30 Resposta: A idade média é de 30 anos. 5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana: 2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira sábado 13 23 22 27 22 25 Qual é a média de livros vendidos durante a semana (2ª até sábado). 𝑀𝐴 = 13 + 23 + 22 + 27 + 22 + 25 6 = 132 6 = 22 Resposta: A média é de 22 livros 6) QUESTÃO ANULADA POR INCORREÇÃO Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.B 7) Ache o lucro médio mensal de uma empresa que apresentou durante o semestre os seguintes resultados (valores em reais): 𝑀𝐴 = 5136 + 250 + 4232 − 372 − 250 + 142 6 = 9138 6 = 1523 8) As alturas dos jogadores de uma equipe de basquete são: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe? 𝑀𝐴 = 1,98 + 2,02 + 2,08 + 1,92 + 1,95 5 = 9,95 5 = 1,99 R: a média de altura é 1,99 m 9) Qual é a média aritmética dos números 2 3 , 1 6 e 3 4 ? 𝑀𝐴 = 2 3 + 1 6 + 3 4 3 = 8 12 + 2 12 + 9 12 3 = 19 12 3 = 19 36 10) Qual é a média aritmética dos números 4 5 , 1 4 , 3 2 ? 𝑀𝐴 = 4 5 + 1 4 + 3 2 3 = 16 + 5 + 30 20 3 = 51 20 3 = 51 20 . 1 3 = 17 20 Resposta: 17/20 11) Qual é a média aritmética dos números 1, 2 3 , 1 4 , 1 6 ? 𝑀𝐴 = 1 + 2 3 + 1 4 + 1 6 4 = 24 + 16 + 6 + 4 24 4 = 50 24 4 = 50 24 . 1 4 = 50 96 = 25 48 Resposta 25/48 12) Qual é a média aritmética dos números 1/3, 0,5 e ¼? 𝑀𝐴 = 1 3 + 0,5 + 1 4 3 = 1 3 + 1 2 + 1 4 3 = 4 + 6 + 3 12 3 = 13 12 3 = 13 12 . 1 3 = 13 39 Lembre-se que 0,5=1/2 (meio), você pode calcular isso simplificando 5/10, mas, vale a pena decorar que 0,5=1/2 Resposta 13/39 13) Qual é a média aritmética dos números 1/2, 2/5 e ¾? 𝑀𝐴 = 1 2 + 2 5 + 3 4 3 = 10 + 8 + 15 20 3 = 33 20 . 1 3 = 11 20 Resposta 11/20 Resolução alternativa: 𝑀𝐴 = 0,5 + 0,4 + 0,75 3 = 1,65 3 = 0,55 = 55 100 = 11 20 14) Qual é a média aritmética de 10 cm, 0,4 m e 0,25 m. Transforme tudo em centímetros: 10 cm, 40 cm e 25 cm, e ache a média! 𝑀𝐴 = 10𝑐𝑚 + 40𝑐𝑚 + 25𝑐𝑚 3 = 55𝑐𝑚 3 = 18,3333 … . 𝑐𝑚 15) Qual é a média de 2 km, 2.500 m e 3,8 km? 2km = 2.000 m 3,8 km = 3.800 m 𝑀𝐴 = 2000𝑚 + 2500𝑚 + 3800𝑚 3 = 8300𝑚 3 = 27,666 … 𝑚 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.C Média Aritmética Ponderada 16) Uma professora atribuirá pesos para as atividades, sendo: 1ª prova – peso 3 Trabalho – peso 2 2ª prova – peso 5 Resultados das notas de alguns alunos: 1ª prova Trabalho 2ª prova NOTA Maria 6 5 5 5,3 Vitória 7 6 5 5,8 Letícia 5 7 6 5,9 Ângela 10 9 8 8,8 Godofredo 3 9 6 5,7 Paulo 5 8 7 6,6 Venância 7 10 5 6,6 Amir 7 9 6 6,9 Leto 6 6 6 6,0 Nota de Maria 6.3+5.2+5.5 3+2+5 = 18+10+25 10 = 53 10 = 5,3 Nota de Vitória 7.3+6.2+5.5 3+2+5 = 21+12+25 10 = 58 10 = 5,8
  4. 4. O cálculo da nota da Vitória estava errado. Retifique. Faça os cálculos de todos. 17) Determine a média aritmética ponderada dos números 8, 15 e 20, com pesos 2, 2 e 1, respectivamente. MA= 8.2+15.2+20.1 2+2+1 = 16+30+20 5 = 66 5 = 13,2 18) Determine a média aritmética ponderada dos números 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5, respectivamente. 𝑀𝐴 = 7.3 + 12.2 + 25.5 3 + 2 + 5 = 21 + 24 + 75 10 = 12 19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto ela pagou, em média, por caneta? Resposta: 18 𝑀𝐴 = 3.20 + 2.15 3 + 2 = 90 5 = 18 20) Uma indústria produz um certo produto. Vendeu 3500 unidades desse produto por 30 reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada. Qual foi o preço médio, por unidade? Resposta: R$ 22,75 𝑀𝐴 = 3500.30 + 8500.24 3500 + 8500 = 22,75 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.D 21) Numa empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários está representada no quadro abaixo. Qual é o salário médio dos empregados dessa empresa? Número de empregados Salário (em reais) 12 800 5 1.200 3 2.000 Resposta: R$ 1.080,00 𝑀𝐴 = 12.800 + 5.1200 + 3.2000 12 + 5 + 3 = 9600 + 6000 + 6000 20 = 21600 2 = 1080 22) Foram pesquisadas as idades das pessoas dos alunos de um grupo e obtiveram-se os resultados organizados na tabela a seguir: Idades (anos) Número de alunos 13 4 14 11 15 7 16 3 Encontre a média das idades dos alunos da classe. Resposta: 14,36 anos 𝑀𝐴 = 13.4 + 14,11 + 15.7 + 16.3 4 + 11 + 7 + 3 = 14,36 23) Num torneio de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4 partidas que disputou na 1ª fase. Qual a média de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio? Resposta: 105 pontos 𝑀𝐴 = 104 + 96 + 117 + 103 4 = 105 24) Um colégio tem 8 professores e suas idades são 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos, 30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade média dos professores desse colégio? Resposta: 32 anos Basta somar todos os valores e dividir por 8. 25) Preparamos um refresco com 8 copos de água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo de água mineral custa 8 centavos de real e o copo de groselha custa 13 centavos de real, qual é o custo de cada copo de refresco? Resposta: 9 centavos 8.8 + 2.13 8 + 2 = 64 + 26 10 = 9 26) Numa classe de 35 alunos há 22 homens e 13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota média dos homens foi 4,8 e a nota média das mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a nota média da classe? R: 4,5 22.4,8 + 13.4 22 + 13 = 4,502857 …. O valor deve ser arredondado a 4,5 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.E 27) Determine a média aritmética ponderada dos números 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. 𝑀𝐴 = 9.1 + 15.2 + 26.3 + 30.4 1 + 2 + 3 + 4 = 23,7 28) Uma clínica odontológica possui 5 dentistas. As idades deles são 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a idade média dessa equipe? Basta somar os 5 valores e dividir por 5, encontaremos a idade média de 34. 30) Ache a media da idade da seguinte classe: 𝑀𝐴 = 10.2 + 11.4 + 12.6 + 13.4 + 14.4 2 + 4 + 6 + 4 + 4 = 20 + 44 + 72 + 52 + 56 20 = 244 20 = 12,2 31) (ENEM – adaptado) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avendida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a velocidade máxima permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada. Calcule a velocidade média aproximada. Resposta: 44 km/h Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.F 32) Ache a média dos seguintes números 11 14 14 12 12 11 14 14 11 14 14 13 11 12 12 11 14 14 11 13 12 13 12 11 13 11 11 11 13 11 12 12 12 14 11 13 13 13 13 15 11 – são 12, 12 – são 9, 13 – são 9, 14 – são 9, 15 – é 1 𝑀𝐴 = 11.12 + 12.9 + 13.9 + 14.9 + 15.1 12 + 9 + 9 + 9 + 1 = 132 + 108 + 117 + 126 + 15 40 = 498 40 = 12,45 Resposta: Idade média de 12,45 anos 33) Ache a média dos números 15 15 13 13 12 15 13 13 12 13 14 13 15 13 13 12 15 14 15 14 14 14 15 15 15 15 15 14 15 13 13 13 14 15 14 14 15 14 12 15 Resposta: 13,9 São 40 valores, sendo 11 – são 4, 12 – são 11, 13 – são 10, 15 – são 15. 𝑀𝐴 = 11.4 + 12.11 + 13.10 + 15.15 40 = 13,9 34) Ache a média dos seguintes números 3 3 2 1 0 2 2 2 4 2 2 3 3 1 0 2 3 3 3 3 2 1 3 1 3 3 3 0 0 2 2 2 3 1 3 1 1 1 2 3 0 2 3 3 3 2 3 3 2 3 0 1 2 3 0 2 3 0 2 2 Resposta: 2 São 60 valores, sendo 8 número 0, 9 número 1, 19 número 2, 23 número 3 e 1 número 4. 𝑀𝐴 = 9.1 + 19,2 + 23.3 + 1.4 60 = 2 Note que não faz sentido incluir 8.0=0. 35) Construa um gráfico de barras correspondente aos números e depois calcule a média destes. 4 3 2 1 0 2 4 2 4 2 4 4 4 1 0 4 4 4 4 1 2 1 4 1 3 3 3 4 1 1 3 2 3 1 4 4 3 4 3 3 1 2 3 3 3 1 3 3 4 3 0 1 4 4 0 2 3 0 4 2 𝑀𝐴 = 1.11 + 2.9 + 3.16 + 4.19 60 = 2,55
  5. 5. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.A 1)Calcule e observe a seqüência 34 =81 33 =27 32 =9 31 =3 30 =1 3-1 =1/3 3-2 =1/9 3-3 =1/27 3-4 =1/81 2) Calcule e observe a sequência 24 =16 23 =8 22 =4 21 =2 20 =1 2-1 =1/2 2-2 =1/4 2-3 =1/8 2-4 =1/16 3)Calcule: a) 2-1 =1/2 b) 2-5 =1/32 c) (-2)-2 =1/4 OBS: Note que o fato de -2 ser par faz com que o sinal seja positivo. d) 10-3 =1/100 e) 3-3 =1/27 f) (-3)-3 =-1/27 Já no caso de -3, como é ímpar, se mantém o sinal. g) (-2)-1 =1/2 h) (-2)-5 =1/32 i) -2-4 =-1/16 No caso de -2-4 o sinal não está elevado à -4, apenas o 2 está. Portanto, mantém-se o sinal j) –(-4)-3 =-(-1/64)=1/64 k) –(-10)-1 =-(-1/10)=1/10 l) –(-7)-2 =-(1/7)=-1/7 4) Calcule a) ( 1 2 ) −1 =2 b) ( 1 2 ) −2 =4 c) (− 1 3 ) −2 =9 d) (− 1 4 ) −1 =-4 e) ( 2 3 ) −1 =3/2 f) (− 2 5 ) −2 =25/4 g) (− 5 3 ) −3 =-27/125 h) − (− 1 6 ) −1 =-(-6)=6 i) − ( 1 3 ) −2 =-9 j) − (− 3 2 ) −3 =-(-8/27)=8/27 k) (1 2 3 ) −2 =(5/3)-2 =9/25 5) Calcule: a) 0,2-1 =(1/5)-1 =5 b) 0,5-2 =(1/2)-2 =4 c) 1,2-1 =(6/5)-1 =5/6 0,2=2/10=1/5 0,5=5/10=1/2 1,2=12/10=6/5 d) 2,5-2 =(25/10)-2 =(5/2)-2 =4/25 e) 3,5-2 =(35/10)-2 =(7/2)-2 =4/49 f) 0,25-2 =(25/100)-2 =(1/4)-2 =16 g) (-0,2)-2 =(-1/5)-2 =25 h) (-2,5)-3 =(-25/10)-3 =(-5/2)-3 =-8/125 (Sinal negativo!) i) (-0,25)-2 =(-1/4)-2 =16 6) Resolva as expressões (no caderno): a) 3-1 +2-1 Resposta: 5/6 1 3 + 1 2 = 3 + 2 6 = 5 6 b) 3-1 +2-2 +(-4)-1 Resposta: 5/6 1 3 + 1 4 + (− 1 4 ) = 1 3 GABARITO ERRADO c) (9-1 +6-2 )-1 Resposta: 36/5 ( 1 9 + 1 36 ) −1 = ( 4 + 1 36 ) −1 = ( 5 36 ) −1 = 36 5 d) (40 +4-1 ):(40 -4-1 ) Resposta: 5/3 (1 + 1 4 ) : (1 − 1 4 ) = ( 4 + 1 4 ) : ( 4 − 1 4 ) = ( 5 4 ) : ( 3 4 ) = 5 4 . 4 3 = 5 3 e) (-3)-1 +(-1)-3 Resposta: -4/3 (− 1 3 ) + (−1) = − 1 3 − 1 = − 4 3 f) 2-4 -22 Resposta: -63/16 1 16 − 1 4 = 1 − 64 16 = − 63 16 g) (4-1 +2-3 )-1 Resposta: 8/3 ( 1 4 + 1 8 ) −1 = ( 2 + 1 8 ) −1 = ( 3 8 ) −1 = 8 3 h) (6-2 .32 )-1 Resposta: 4 ( 1 36 . 9) −1 = ( 1 4 ) −1 = 4 i) 20 +(-2)4 .4-2 -(-2)3 Resposta: 10 1 + 16 . 1 16 − (−8) = 1 + 1 + 8 = 10 j) −22+( 1 3 ) −2 −24+(−3)2+40 Resposta: -5/6 −22 + ( 1 3 ) −2 −24 + (−3)2 + 40 = −4 + 9 −16 + 9 + 1 = 5 −6 = − 5 6 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.B 1)Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos): a) 79 .7-6 =79+(-6) =715 b) 10-9 .10.105 =10-9+1+5 =10-3 c) 83 .8-6 =83+(-6) =8-3 d) x3 x-5 x4 =x3+(-5)+4 =x2 e) a8 .a-8 .a-1 =a8+(-8)+(-1) =a8-8-1 =a-1 2) Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos): a) 64 :65 =64-5 =6-1 b) 27 :2-2 =27-(-2) =29 c) 74 :7-1 =74-(-1) =75 d) 10−3 10−5 = 10−3−(—5) = 102 e) 𝑥6 𝑥−2 = 𝑥6−(−2) = 𝑥8 f) 𝑎9 𝑎11 = 𝑎9−11 = 𝑎−2 3)Transforme numa só potência (considere x não nulos): a) (6-1 )4 =6-4 b) (5-1 )-3 =63 c) (106 )-2 =10-12 4) Transforme em um produto de potências: a)(5.11)-2 =5-2 .11-2 b) (3.102 )-1 =3-1 .10-2 c) (2-4 .54 )2 =2-8 .58 5) Transforme em um quociente de potências: a) (8:3)-2 =8-2 :3-2 b) (6-2 :5)-4 =68 :5-4 c) (7-2 :2-1 )-3 =76 :23 6) Simplifique (com todos valores diferentes de zero) – no caderno: a) ).(:)..( 6565 aaaaa = 𝑎12 : 𝑎11 = 𝑎 Quando eu não indico expoente, ele é 1, é importante considerar isso. b) 2425 ).().( aaa = (a6 )2 .a8 =a12 .a8 =a20 c)   32254 ).(. xxx =(x9 )2 .x6 =x18 .x6 =x24 d) xx xxx . .. 6 24 = 𝑥7 𝑥7 = 𝑥0 e)  232 3254 . )..)(.( xx xxxxx = 𝑥5.𝑥10 (𝑥5)2 = 𝑥15 𝑥10 = 𝑥5 f)     53 24524 )( aa aaa = 𝑎8 𝑎5 𝑎8 (𝑎4)5 = 𝑎21 𝑎20 = 𝑎1 = 𝑎 12) Escreva como uma única potência (caderno): a) 256.47 86 = (28).(22)7 (23)6 = 28.214 218 = 222 218 = 24 Substitua 256=28 , 4=22 e 8=23 . b) 3−6,276 2433 = 3−6.(33)6 (35)3 = 3−6,318 315 = 312 315 = 3−3 Substitua 27=33 e 243=35 13) Escreva como uma única potência (caderno): a) 0,00001:(100-2 )3 =10-5 :((102 )-2 )3 =10-5 :10-12 =107 b) 0,00001−2.100003 (0,13.102)4 = (10−5) −2 .(104)3 ((10−1)3102)4 = 1010.1012 (10−3102)4 = 1022 (10−1)4 = 1022 10−4 = 1026 14) Escreva como uma única potência: 54 29 81.27 9.3   39 . (32)−2 (33)4(34)−5 = 39 . 3−4 312. 3−20 = 35 3−8 = 313 15) Simplifique    334 523 ba ba . 𝑎15 𝑏10 𝑎12 𝑏9 = 𝑎3 𝑏 16) Escreva como única potência:   32311 625255   (511 . (52)−3 . (54)−2)−3 = (511 . 5−6 . 5−8)−3 = (5−3)−3 = 59 17) Simplifique     423 252 . .   ba ba . 𝑎−4 𝑏−10 𝑎12 𝑏−8 = 𝑎−4−12 𝑏−10−(−8) = 𝑎−16 𝑏−2 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.C 1) Resolva as expressões no caderno a) 2−1 + 3−1 1 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6 b) (−3)2 . (−2 + 2−1)−1 9. (−2 + 1 2 ) −1 = 9. (− 4 2 + 1 2 ) −1 = 9. ( 3 2 ) −1 = 9. 2 3 = 6 c) (3 − 5)2(−2 − 1)3 + ( 1 2 ) −2 (−2)2(−3)3 + 4 = 4. (−27) + 4 = −108 + 4 = −104 d) 2−1+2−2 2−3 = 1 2 + 1 4 1 8 = 2 4 + 1 4 1 8 = 3 4 1 8 = 3 4 . 8 = 6 2)Lembre que 0,25=1/4 e calcule (0,25)-3 rapidamente. (1/4)-3 =64 3) Se 0,142857142857...=1/7, calcule (0,142857....)-2 . (1/7)-2 =49 4)Se 𝐴 = (− 1 3 ) −2 , B= 2−1 5−1 , C=2-1 .5-2 , ache A+B+C
  6. 6. 𝐴 = 9 𝐵 = 1 2 1 5 = 5 2 C= 1 2 . 1 25 = 1 50 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 9 + 5 2 + 1 50 = 450 50 + 125 50 + 1 50 = 576 50 = 288 25 a) 220 =1048576 b) 210 =1024 c) 28 =256 d) 29 =512 e) 221 =2097152 A letra B está incorreta: deveria ser 6561 x 27 a) 36 x32 =38 =6561 b) 38 x33 =313 =177147 c) 34 x35 =39 =19683 d) 310 :38 =32 =9 e) 311 :37 =34 =81 f) (33 )3 =39 =19683 g) (34 )2 =38 =6561 h) (35 )2 =59049 Vamos fazer a tabela: 52 =25 53 =125 54 =625 55 =3125 56 =15625 (Já bastam) a) 55 .54 =59 b) 58 :53 =55 =3125 c) (52 )5 =510 𝑎 = 1 − 1 4 = 4 4 − 1 4 = 3 4 𝑏 = (1 − 1 2 ) −1 = ( 1 2 ) −1 = 2 𝑐 = 1 − 3 = −2 a) ( 3 4 ) 2 = 9 16 b) (2 − 3 4 ) −2 = ( 8 4 − 3 4 ) −2 = ( 5 4 ) −2 = 16 25 c) ( 3 4 .2 −2 ) −2 = ( 3 2 −2 ) −2 = ( 3 −4 ) −2 = 16 9 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães RADICIAÇÃO RD.7.01.A Vamos relembrar algumas potências: 23 =8 33 =27 43 =64 53 =125 63 =216 73 =343 83 =512 93 =729 103 =1000113 =1331 24 =16 34 =81 44 =256 54 =625 25 =32 35 =243 45 =1024 55 =3125 1)Calcule: √27 3 =3 √81 4 =3 √64 3 = 4 √125 3 =5 √16 4 =2 √32 5 =2 √512 9 =2 2) Calcule: a) 33 278  =2+3=5 b) 53 32.125 =5.2=10 c) 43 16216  =6-2=4 d) 9814  =3:3=1 e) 3 27125 =125+3=128 3) Sei que 210 =1024, calcule 10 1024=2. 4) Calcule: a) 81 =3 b) 4 81=3 c) 16 =2 d) 4 16 =2 e) 256 =4 f) 4 256 =4 g) 256 =2 h) 8 256 =2 Aqui podemos concluir que a raiz quarta equivale a raiz quadrada da raiz quadrada ou seja: √ 4 = √√ A raiz oitava é a raiz quadrada da raiz quadrada da raiz quadrada √ 8 = √√√ 5) Calcule 4 625Pode ser calculado tirando- se a raiz quadrada da raiz quadrada, que resulta em 5. 6) Calcule: a) 3 27 =-3 b) 3 27 =3 c) 4 16 =2 d) 4 16 =não tem raiz e) 36 =não há f) =6 g) =2 h) 5 32 =-2 7) Ache o valor de x: a) x2 =16 b) x2 =49 x=4 ou x=-4 Não existe x c) x2 =-1 d) x3 =-27 Não existe x x=-3 e) x3 =8 f) x3 =-1 x=2 x=-1 g) x4 =16 h) x4 =-16 x=2 ou x=-2 Não existe x 8) Calcule 2-1 + 3 8 . 1 2 + 2 = 1 2 + 4 2 = 5 2 9) Calcule efetuando todas operações (não usar propriedades): a)  3 3 8 =23 = 8 b) 3 3 8 =√512 3 = 8 c)  4 4 1 =14 = 1 d) 4 4 1 √1 4 = 1 e)  2 9 =32 =9 f) 2 9 = √81 = 9 O objetivo aqui é concluir que potências e raízes se cancelam. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães RADICIAÇÃO RD.7.01.B 10) Calcule: a) 6 0 =0 b) 3 27 8 =-2/3 11) Resolva no caderno: a) 121495  Resposta: 24 5.7 − 11 = 35 − 11 = 24 b) 9 1 3 25 4  Resposta:7/2 2 5 + 3 1 3 = 2 5 + 1 = 7 5 GABARITO ERRADO c) 3 322 27.35  Resposta: -4 √25 − 9. √7 − 8 3 √16. √−1 3 = 4. (−1) = −4 d) 33 001,0 27 8  Resposta: 23/30 2 3 − (−0,1) = 2 3 + 1 10 = 20 30 + 3 30 = 23 30 12) Calcule: a) 3 8000 =20 b) 4 160000=20 c) 3 8000 =-20 d) 4 160000 =N/E e) 5 100000=10 f) 3 27000 =-30 g) 3 1000000000=100 h) 0,0000646 =0,2 13) Se a= 3 8000e b=1-22 , ache o valor de 2 10   b a a=20 b=1-4=-3 20 10 − (−3)−2 = 2 − 1 9 = 18 9 − 1 9 = 17 9 Resposta: 17/9 14) Ache a metade da 3 64000000 √400 = 20 A metade é 10 15) QUESTÃO REPETIDA PT.7.1.A, o item J da questão 6 Resposta: 6 16) (LONDRINA – Adapt.) Dados os números . a) Quanto é √𝑧? b) Quanto é xy-z ? 𝑥 = 2/3 1/3 = 2 𝑦 = 2/3 3/2 = 4/9 𝑧 = 2/3 3 1/2 = 2/9 1/2 = 4/9 𝑎) √ 4 9 = 2 3 b) 20 = 1 36 5 32 x    1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 2 1 3 1 3 3 1 2 , ,y = z =

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