1. Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780
"Escola em processo de mudança"
Ano Lectivo
2011/2012
FICHA DE TRABALHO
NOME: ____________________________________ ; Nº_____
Matemática
12º
1.Consideremos a experiência aleatória que consiste em observar se, após a refeição, os clientes de um determinado
restaurante pedem ou não sobremesa e se pedem ou não café. Os dados registados revelam que 57% dos clientes
pedem sobremesa, 65% pedem café e 25% pedem sobremesa e café. Determinar a probabilidade de um cliente
desse restaurante, escolhido ao acaso:
1.1. pedir café ou sobremesa
1.2. pedir café sabendo que pediu sobremesa
1.3. pedir sobremesa sabendo que pediu café
1.4. não pedir café nem sobremesa
2.Seja S o conjunto de resultados associados a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos
em S. Sabe-se que: P ( A) = 0,3 , P ( A ∩B ) = 0,1 e P ( A ∪B ) = 0,8 . Qual é o valor de P (B ) ?
(A) 0,1
(B) 0,2
(C) 0,3
(D) 0,4
3. Considera todos os números de três algarismos que se podem formar com os dígitos 0, 1, 2, 3 e 4. Escolhido um
desses números ao acaso, determina a probabilidade de:
3.1. ser menor que 300.
3.2. os três algarismos não serem todos iguais.
4. De um saco com 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 1 amarela, extraem-se duas, uma após a outra.
4.1. Supõe que há reposição da primeira bola. Determina a probabilidade de:
4.1.1.saírem 2 bolas brancas
4.1.2. saírem bolas de cores diferentes
4.1.3. sair pelo menos uma bola branca
4.2. Supõe que não há reposição da primeira bola. Determina a probabilidade de
4.2.1. saírem bolas da mesma cor
4.2.2. não sair bola branca nem vermelha
5. Um inquérito feito aos 60 funcionários de uma empresa, relativamente ao transporte público utilizado, permitiu
concluir que 25 utilizam o autocarro, 18 o comboio e 20 não utilizam transporte público. Supõe que é escolhido um
funcionário ao acaso. Determina a probabilidade de o funcionário:
5.1. utilizar o comboio;
5.2. utilizar dois transportes públicos;
5.3. utilizar apenas um transporte público;
5.4. não utilizar transporte público.
6.A Catarina tem no frigorífico oito iogurtes, dos quais três são naturais e cinco de sabores: dois de banana, um de
morango, um de coco e um de ananás.
6.1. A Catarina retira do frigorífico três iogurtes ao acaso. Determina a probabilidade de ter retirado:
6.1.1. três iogurtes iguais;
6.1.2. dois e só dois iogurtes iguais;
6.1.3. um iogurte natural e dois de sabores diferentes.
6.2. Admite que a Catarina coloca, lado a lado, os cinco iogurtes de sabores. Se o fizer ao acaso, qual é a
probabilidade de os dois iogurtes com sabor a banana não ficarem juntos?
7. Três amigos decidem ir ao cinema. Estão em exibição quatro filmes e cada um dos amigos, ao acaso, escolhe um
dos filmes.
7.1. a probabilidade de os três amigos apresentarem três propostas distintas é:
(A)
3
4
4
(B)
4
C3
4!
(C)
A3
43
4
(D)
A3
4!
7.2. A probabilidade de os três amigos não escolherem todos o mesmo filme é:
(A)
1
4
(B) 1 −
4
A3
43
(C)
3
4
(D)
15
16
7
8. Uma certa linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os números da forma C p . Escolhendo, ao acaso,
dois números dessa linha, qual é a probabilidade de serem iguais?
(A)
4
C2
8
(B)
7
2
C2
(C)
1
C2
8
(D)
8
4
A2
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2. 9.Os 25 alunos de uma turma do 12º ano, dos quais 11 são raparigas, pretendem constituir uma comissão
para organizar a festa de finalistas. A comissão deve ser formada por 5 rapazes e 3 raparigas. A delegada da
turma deve, obrigatoriamente, fazer parte da comissão.
9.1. Quantas comissões diferentes se podem constituir?
9.2. Depois de constituída a comissão, os oito elementos do grupo vão posar para uma fotografia colocandose, ao acaso, uns ao lado dos outros. Qual é a probabilidade das raparigas ficarem juntas?
10. Um grupo de doze rapazes e oito raparigas pretende organizar um clube.
10.1. de quantos modos diferentes se pode obter uma direcção de cinco elementos com funções
diferenciadas, sabendo que:
10.1.1. são todos elegíveis?
10.1.2. é formada só por rapazes?
10.1.3. é formada só por raparigas?
10.1.4. é formada por três rapazes e duas raparigas?
10.2. Sabendo que a escolha dos elementos para a direcção é feita por sorteio e que todos são elegíveis, qual a
probabilidade:
10.2.1. dos cinco elementos serem todos rapazes?
10.2.2. da direcção ter, no máximo, dois rapazes?
11.A professora de Matemática do 12º X propôs o seguinte problema à turma:
“Uma grade tem doze compartimentos para colocar latas de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos arrumar sete
latas na grade, sabendo que quatro delas são de Coca – Cola (e, portanto, indistinguíveis) e as restantes são de Ice – Tea (uma
de limão, um de pêssego e outra de manga).”
A Maria e o Pedro foram os primeiros a responder com segurança. Os resultados que apresentaram estão
ambos certos e foram os seguintes:
Maria: 12C7 × 7 A3
Pedro: 12C4 × 8 A3
Numa composição, explica o raciocínio de cada um deles.
12. Num teste de escolha múltipla com cinco questões em que, para cada questão, existem três respostas
possíveis, só uma sendo correcta, um aluno, que não tinha estudante, decide responder ao acaso. Qual a
probabilidade de:
12.1. não acertar nenhuma?
12.2. acertar em pelo menos uma?
123. acertar em todas?
12.4. acertar em 3, no máximo?
13. Um saco tem bolas cor-de-rosa e amarelas, indistinguíveis ao tacto. Tirando uma bola ao acaso, a
probabilidade de ser amarela é
1
. Sabendo que no saco estão 12 bolas cor-de-rosa, quantas bolas há, ao todo,
3
no saco?
14. Lançam-se dois dados com a forma de tetraedro regular, um branco e outro preto, numerados de 1 a 4.
Os números das faces que ficam assentes são respectivamente o valor de b e de c na equação x 2 + bx + 3c = 0
. Qual a probabilidade da equação obtida ser impossível em ¡ ?
15. Seja B o conjunto dos números de quatro algarismos diferentes, menores que 3000, que se podem formar
com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
15.1. Verifica que o conjunto B tem 240 elementos.
15.2. Escolhe-se, ao acaso, um elemento de B. Qual é a probabilidade de que esse elemento seja um número
par? Apresenta o resultado n forma de fracção irredutível.
15.3. Escolhem-se, ao acaso, três elementos de B. Qual é a probabilidade de todos
eles serem maiores do que 2000? Apresenta o resultado na forma de dízima, com
duas casas decimais.
16. Na figura estão representados dois polígonos:
• Um pentágono [ABCDE]
• Um quadrilátero [FGHI]
Dos nove vértices apresentados não existem três colineares.
16.1. Determina quantos triângulos têm como vértices três dos nove pontos, de tal
modo que dois vértices pertençam a um dos polígonos e o terceiro vértice pertença a outro polígono.
16.2. A Sandra e o Jorge escolheram cada um, e em segredo, um dos nove vértices representados. Qual é a
probabilidade de os dois vértices, assim escolhidos, pertencerem ambos ao mesmo polígono? Apresenta o
resultado na forma de percentagem arredondado às unidades.
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3. 17. Considera todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9.
17.1. Escolhe-se, ao acaso, um desses números:
17.1.1. Determina a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos iguais a 1.
17.1.2. Determina a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior que 9800.
Apresenta o resultado na forma de dízima, com três casas decimais.
17.2.Considera o seguinte problema:
“De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições
seguintes:
•
começam por 9;
•
têm os algarismos todos diferentes;
•
a soma dos quatro algarismos é par.
Quantos são esses algarismos?.”
Uma resposta correcta a este problema é 3 × 4 × 4 A2 + 4 A3
Numa pequena composição explica porquê.
18.Na figura está representado um poliedro com doze faces, que pode ser
decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares.
18.1. Pretende-se numerar as doze faces do poliedro, com os números de 1 a 12
(um número diferente em cada face). Como se vê na figura, duas das faces do
poliedro já estão numeradas, com os números 1 e 3.
18.1.1. De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes
dez números?
18.1.2. De quantas maneiras podemos numerar as outras dez faces, com os restantes dez números, de forma a que,
nas faces de uma das pirâmides, fiquem só números ímpares e nas faces da outra pirâmide fiquem só números
pares?
18.2. Considere agora o poliedro num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que o vértice P coincida com a origem
do referencial, e o vértice Q esteja no semieixo positivo Oy. Escolhidos ao acaso três vértices distintos, qual é a
probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equação y =0 ? Apresente o resultado na forma de
fracção irredutível.
19. Uma roda gigante de um parque de diversões tem 12 cadeiras, numeradas de 1 a 12, com
um lugar cada uma (ver figura junta). Seis raparigas e seis rapazes vão andar na roda gigante
e sorteiam entre si os lugares que vão ocupar. Qual é a probabilidade de rapazes e raparigas
ficarem sentados alternadamente, isto é, cada rapaz entre duas raparigas e cada rapariga
entre dois rapazes? Apresente o resultado na forma de percentagem.
20.Seja Ω o espaço amostral associado a uma experiência aleatória e A e B dois acontecimentos. Mostra que se A e
(
)
( )
B são incompatíveis, então p A ∪ B = p A − p ( B )
21.Relativamente
(
)
a
Q
( )
e
R,
acontecimentos
de
uma
mesma
experiência,
sabe-se
que:
p Q ∪ R = 0, 2 p Q = 0,3 e p ( R ) = 0,1 . Verifica que Q e R são incompatíveis, mas não contrários.
(
)
(
22. Sejam A e B dois acontecimentos de um espaço E. Prova que p A ∪ B + p ( B ) = p ( A ) + p A ∪ B
23. Sejam A e B dois acontecimentos de E. Se p ( A ) =
p ( B)
2
)
e 2 p ( A ∪ B ) = 3 p ( B ) prova que A e B são
acontecimentos incompatíveis.
24. Uma turma tem 12 rapazes e 14 raparigas. Escolhem-se, ao acaso, dois alunos. Qual a probabilidade de serem:
24.1. duas raparigas?
24.2. do mesmo sexo?
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