Este documento discute os desafios no ensino e aprendizagem de frações, argumentando que: (1) o modelo "parte-todo" tem limitações pois não leva à compreensão das frações como medidas ou números; (2) é importante abordar múltiplos significados de frações, como quociente e operador; (3) a construção do conceito de fração deve ir além de algoritmos para promover o desenvolvimento conceitual.

1. Processos de recuperação:desafios e caminhos Números Racionais: algumas reflexões sobre a construção do conceito

2. Objetivo Propor algumas reflexões sobre o estudo das frações, tentando associar as práticas pedagógicas mais utilizadas a possíveis problemas ou dificuldades que têm sido observados em alunos dos Ensinos Fundamental, Médio e mesmo do Superior.

3. ATIVIDADE 1 Resolver individualmente, em 10 minutos a tarefa proposta

4. Dominar os algoritmos operatórios significa saber frações? Por que estudar o número racional sob a forma fracionária?

5. Importância do estudo das frações Behr (1993) Perspectiva prática Perspectiva psicológica Perspectiva matemática

6. Do ponto de vista prático, o estudo do conceito de número racional aperfeiçoa a habilidade de dividir, que permite entender e manipular melhor os problemas do mundo real e construir o importantíssimo conceito de proporcionalidade. Perspectiva Prática

7. Na perspectiva psicológica, os números racionais proporcionam um rico campo, dentro do qual as crianças podem desenvolver e expandir suas estruturas mentais para um desenvolvimento intelectual contínuo, sendo muito oportuno, pois normalmente são inseridos no currículo no período da transição do pensamento concreto para o pensamento operatório formal. Perspectiva psicológica

8. Do ponto de vista matemático, a compreensão do número racional fornece a base sobre a qual serão construídas mais tarde as operações algébricas elementares. Martinez (1992) reforça essas idéias ao argumentar que reduzir o estudo das frações aos números decimais, como uma extensão natural do sistema decimal de numeração, provocaria uma perda de experiências pré-algébricas importantes na formação matemática dos alunos. Perspectiva matemática

9. Significados das frações Nunes(2005), PCN e Currículo- SP Parte-todo Quociente Medida Operador

10. Significado parte-todo Idéia central – dupla contagem Problema típico – Uma barra de chocolate foi dividida em 4 partes iguais. João comeu três dessas partes. Que fração representa o que João comeu?

11. Significado Quociente Idéia central – Divisão e existência de duas variáveis Problema típico – Duas pizzas devem ser divididas entre 5 crianças, represente por uma fração o que cada criança receberá.

12. Significado Medida Idéia central – Representar uma grandeza tomando outra como referência. Problema típico – Exprimir o comprimento do segmento PQ em termos do comprimento do segmento RS.

13. Significado Operador Idéia central – Valor escalar aplicado a uma quantidade. Problema típico – Dei 3/4 das balas de um pacote de 40 balas a meus irmãos. Quantas balas dei a eles?

14. Atividade 2 Trabalhando em duplas, vamos classificar e tabular os exercícios apresentados na atividade 1 segundo os significados propostos. Que significados foram predominantes? É possível sugerir causas para essa predominância? É possível apontar consequências dessa predominância?

15. Atividade 3 Analise algumas das propostas apresentadas nos cadernos + Matemática e classifique quanto aos significados.

16. Cadernos + Matemática

17. ATIVIDADE 32 – Os três problemas e mais alguns Responda em seu caderno a melhor maneira de solucionar os problemas abaixo. Se achar necessário use folhas de revistas. Situação 1: um pai quer repartir 3 folhas de papel de seda entre os seus 4 filhos, de modo que todos recebam partes iguais. Como poderá fazê-lo? Situação 2: um menino necessita fazer 3 cartazes de mesmo tamanho e dispõe de 5 folhas de cartolina. Para ajudá-lo a montar os cartazes, de que maneira podemos separar as folhas de cartolina? Situação 3: a professora tem 4 folhas de papel sulfite para distribuir igualmente entre os cinco alunos de um grupo, para o trabalho de aula. Ela pede ajuda ao próprio grupo para fazer essa operação. Como vocês resolveriam a situação?

18. Cadernos + Matemática 4. Imagine que 2 amigas compraram juntas 3 pacotes de balas, com 10 balas em cada. Elas querem dividir igualmente entre elas. Como você faria essa divisão? Escreva, usando fração, modos de representar quanto cada uma recebeu.

19. ATIVIDADE 33– Novos problemas 1 . Duas cidades A e B têm a população de 60.000 habitantes cada uma. Metade da população da cidade A são crianças, um quarto são jovens e os restantes são adultos. Dois quintos da população da cidade B são crianças, dois décimos são adultos e o restante são jovens. Copie a tabela abaixo em seu caderno. b) Preencha a tabela e responda às questões: Onde há mais crianças, na cidade A ou na cidade B? O que é maior, dois décimos ou dois quintos da população da cidade B?

20. Algumas Reflexões Importantes Os números racionais surgiram quando os naturais, que servem para contar, não foram mais suficientes para responder a todas as necessidades do homem e sua origem veio da necessidade de responder à questão da comparação entre duas grandezas. O modelo parte-todo não segue essa lógica, e por isso acrescenta algumas dificuldades ao processo de aprendizagem das frações.

21. Não conduz à idéia de fração imprópria; As frações são vistas desde um primeiro momento como números, não como medidas; A fração fica entendida como uma relação entre números naturais, não fazendo com que surja a necessidade de um novo tipo de número. Isso leva a uma tendência dos alunos a estender aos números racionais as mesmas regras operatórias dos números inteiros. Limitações do modelo parte-todo

22. Como o modelo parte de uma técnica, em que se divide o todo num certo número de partes, seleciona-se algumas delas e afirma-se que se deve escrever o total de partes abaixo de uma barra e número de partes selecionado acima e, a partir daí, se direciona rapidamente para os algoritmos operatórios, a prática pode levar o aluno a confundir o conceito com a própria técnica associada a ele e reforçar a ideia de que os conteúdos úteis são os procedimentos (Escolano e Gairín, 2005). Limitações do modelo parte-todo

23. Não fica explicitada a função da unidade, nem cria situações que proporcionem uma reflexão sobre sua importância. Esse fato é agravado quando se passa muito rapidamente ao estudo dos algoritmos. A unidade, nesse caso, deixa de ser o objeto que está sendo repartido e passa a ser o próprio elemento neutro da multiplicação (Campos e Rodrigues, 2006). Limitações do modelo parte-todo

24. Observe as figuras abaixo: Que fração representa a quantidade de pizza existente na mesa 1? Que fração representa a quantidade de pizza existente na mesa 2? As respostas mais comuns para as duas questões são, respectivamente, 3/8 e 5/16, indicando a falta de preocupação com a preservação de um referencial, ou seja, da unidade. Limitações do modelo parte-todo

25. Limitações do modelo parte-todo Dificuldades em explicar o absurdo:

26. ATIVIDADE 4 Para os problemas a seguir discuta e responda: Que significado é apresentado no problema? O que cada aluno sabe e quais suas dificuldades? É possível apontar causas para essas dificuldades?

30. ATIVIDADE 5 Construção significativa do número racional via medida.

31. Reflexões Finais Manusear os diversos significados. Ultrapassar o modelo parte - todo e reconhecer a fração imprópria. Construir a idéia de equivalência. Construir a idéia de ordem.