O documento descreve conceitos fundamentais de mecânica, incluindo: 1) Velocidade média, movimento uniforme, equações do movimento uniforme e seus gráficos; 2) Aceleração média, equações do movimento uniformemente variado e seus gráficos; 3) Conceitos de queda livre, lançamento oblíquo e hidrostática.

1. Curso Estratégia Petróleo e gás Natural
Matéria: Matemática e Física
1. Velocidade média
A velocidade escalar média de um móvel é definida pelo quociente entre a variação de espaço e o
intervalo de tempo.
S
,Onde S
T
Vm
S
So
S é a variação de espaço e T é o intervalo de tempo
Podemos também escrever esta expressão da seguinte forma:
Vm
S So
, sabendo – se que:
T To
So Posição inicial
S Posição final
T= tempo final
T0=tempo inicial
No sistema internacional de unidades (SI), a velocidade é dada em m/s, mas é comum utiliza-se
também como unidade o km/h e o cm/s.
Algumas vezes será necessário fazer algumas transformações nas unidades de velocidade, para isso
devemos atentar para a seguinte regra:
x3,6
100
Km/h
3,6
m/s
x100
cm/s
2. Movimento Uniforme
Um móvel realiza movimento uniforme quando ele mantém sua velocidade constante e diferente de zero
em todos os pontos de sua trajetória.
Movimento uniforme
v
cte
0
2.1 Equação Horária do M.U
A partir da posição inicial de um móvel podemos determinar sua futura posição, através da equação das
posições em função do tempo.
Sabemos que
Vm
s
, como no movimento uniforme a velocidade média coincide com a
t
velocidade instantâneapodemos escrever:
V
S
T
So
, sendo To=0, temos: V
To
Logo a equação do M.U é:
S
S
So
T
S
So
V .T
S
So V .T
So V .T
Exemplo :Um carro parte de São Paulo às8h e chega a Curitiba às 16h. Sabendo que a distância
Curitiba – São Paulo seja 400km e que houve uma parada de 3 h para almoço, podemos dizer que a
velocidade média é:
S
a) 50km/h
Solução:A velocidade média é calculada pela expressão Vm
,o
b) 50m/s
T
c) 40km/h
deslocamento do carro no percurso é de 400 km e ele saiu as 8h e chegou às 16h,
d) 100m/s
portanto o intervalo de tempo é 8h, não levando-se em conta as três horas de
e) 20km/h
parada pois não influencia no tempo que o carro ficou em movimento daí vem:
Vm
S
T
400
8
50km / h , logo a alternativa correta é a letra a

2. 2.2 Gráficos do M.U
Como sabemos a função horária das posições no M.U, S So V .T é uma função do 1º grau em
relação ao tempo, portanto o seu gráfico é representado por uma reta, sendo assim temos dois casos:
1º caso: Velocidade positiva, V>0
Neste caso suas posições crescem algebricamente no decorrer do tempo e o seu movimento é dito
progressivo.
s
So
t
2º Caso: Velocidade negativa, V<0
Este é o caso em que suas posições decrescem no decorrer do tempo e o seu movimento é dito
retrogrado.
s
So
t
Observações:
1. A ordenada onde a reta corta o eixo S, indica o valor de S o e a abscissa em que a reta corta o eixo
T representa o instante em que o móvel passa pela origem.
2. Quando o móvel estiver em repouso, ou seja, V=0, a posição do móvel é a mesma para qualquer
instante, neste caso o gráfico fica assim:
V=0repouso
V=0 repouso
So
So
2.3Gráfico da velocidade em função do tempo.
Com no M.U a velocidade é constante e diferente de zero, podemos ter dois tipos de gráficos.
Com no M.U a velocidade é constante e diferente de zero, podemos ter dois tipos de gráficos.
V
V
V
v
0t
0
t
Obs: No gráfico da velocidade em função do tempo o módulo deslocamento do móvel é dado pela área da
figura representa no gráfico.
V
S=A
t
3. Movimento Uniformemente Variado - M.U.V
São pouco comuns os móveis que realizam movimento uniforme, todo móvel em movimento tem
necessidade de varia a sua velocidade, portanto todo movimento que se processa com variação de
velocidade no decorrer do tempo é chamado movimento variado.

3. 3.1Aceleração Média
Quando um corpo varia a sua velocidade no decorrer do tempo ele está acelerando ou desacelerando, com
isso podemos dizer que a aceleração é a grandeza física que é responsável pela rapidez com que um
móvel muda de velocidade.
A aceleração média de um móvel é definida pelo quociente ente a variação de sua velocidade num dado
intervalo de tempo T, portanto podemos escrever que:
V
T
am
, onde V é a variação davelocidade. Ou ainda podemos escrever:
am
V VO
T TO , onde V= velocidade final
Vo
Velocidade inicial
Exemplo: ( EE Santos-SP) A velocidade de um automóvel aumenta de 36km/h para 108km/h em 10s. A
aceleração escalar média é:
a) 7,2m/s2
b) 2,0 m/s2
c) 72km/h2
d) 72km/s2
Solução: Devemos primeiro converter a velocidade que está em km/h para m/s, portanto temos:
36km / h 10m / s
, aplicando a fórmula que calcula a aceleração média temos:
108km / h 30m / s
V
30 10 20
am
am
2m / s 2
t
10
10
Resposta: alternativa letra b
Equação da velocidade
Considere um móvel que realiza movimento variado, sabemos que a aceleração mede a rapidez com que
esse móvel varia a sua velocidade, neste caso podemos escrever:
V VO
, considerando o instante
T TO
V VO
V Vo
inicialto=0 temos: a
T
V Vo a.t
am
a.t , daí temos que:
Gráfico da velocidade em função do tempo no M.U.V
Como podemos notar a função da velocidade é uma função do 1º grau em t, portanto o seu gráfico é uma
reta representativa dessa função, daí temos os seguintes gráficos.
V
V
Observação:
a)
b)
Vo
1) Quando o módulo da velocidade do móvel
Vo
t
t
2)
aumenta no decorrer do tempo o movimento é dito
acelerado
Quando ao módulo da velocidade do móvel
diminui no decorrer do tempo o movimento é
retardado

4. Gráfico aceleração em função do tempo.
Como no M..U.V a aceleração é constante o seu gráfico é uma reta horizontal paralela ao eixo dos
tempos:
a)
a>0
b)
a<0
t
t
Observações:
1) No gráfico da velocidade em função do tempo a área da figura é numericamente igual ao
deslocamento do móvel.
v
S=A
t
2) No gráfico da aceleração em função do tempo a área da figura é numericamente igual a variação da
velocidade do móvel.
a
V=A
t
3) Quando o módulo da velocidade aumenta no decorrer do tempo dizemos que o móvel realiza um
movimento acelerado
4) Quando o módulo da velocidade do móvel diminui no decorrer do tempo dizemos que ele realiza um
movimento retardado.
3Função Horária das Posições
Esta equação chamada equação horária das posições,,determina a posição de um móvel em um dado
instante T, a partir de uma posição inicial S0.
S
S0 V0T
1 2
aT
2
Gráfico da função horária das posições
Com vimos a função horária que determina o espaço de um móvel é uma função do 2º grau em T,
portanto o gráfico desta função é uma parábola e sua concavidade será definida pelo sinal da aceleração,
daí temos dois casos:
Observe que os pontos onde
S
o gráfico corta o eixo dos
S
a 0
tempos (t) é justamente onde
o móvel passa pela origem
So
So
das posições.
t
t
Equação de Torricelli
A equação de Torricelli relaciona a velocidade de um móvel em função da distância percorrida por ele.
V2
Vo 2
2a S
Esta equação fornece a velocidade em função da distância percorrida.
Queda Livre

5. Quando lançamos um objeto verticalmente para cima, verificamos que a sua velocidade durante a subida
diminui ao passo que quando este mesmo objeto é abandonado de uma certa altura a sua velocidade
aumenta no decorrer do tempo.
O fenômeno da queda livre desde a antiguidade é estuda por grandes filósofos e físicos, um exemplo disto
foi Aristóteles que afirmava que: quando se abandona dois corpos de pesos diferentes, de uma mesma
altura, o corpo de maior peso toca primeiro o solo.
Em 1590, um físico chamado Galileu Galilei ficou famoso ao realizar uma experiência para comprovar
as afirmações de Aristóteles. Conta-se que ele subiu no alto da Torre de Pisa e de lá abandonou,
simultaneamente, duas esferas de pesos diferentes e observou que elas chegaram praticamente juntas ao
solo. Com isso ele concluiu que embora seus pesos fossem diferentes, elas foram igualmente aceleradas.
Hoje podemos observar que para que os resultados obtidos por Galileu sejam verdadeiros, os corpos
devem ser abandonados em queda livre, ou seja, no vácuo, num local onde pode ser desprezada a ação
resistente do ar.
Sendo assim podemos concluir que um corpo em queda livre, próximo à superfície da Terra, tem
aceleração constante que denominada aceleração da gravidade, e seu módulo é representado pela letra g.
Na Terra a aceleração da gravidade tem um valor aproximado de g=9,80665 m/s2, mas para efeito de
estudo utiliza-se o valor também aproximado que é g=9,8 m/s2. É comum e mais usual considerar-se nos
exercícios de queda livre g=10 m/s2.
5.1 Funções Horárias no movimento de queda livre.
No movimento de queda livre, devemos observar duas situações:
1) O corpo sendo abandonado de uma determinada altura.
Neste caso o módulo da velocidade do móvel aumenta no decorrer do tempo, sendo assim o seu
movimento é acelerado.
Observe que:
1) No movimento de descida o corpo realiza movimento retilíneo
Vo 0
uniformemente acelerado, pois o módulo de sua velocidade aumenta
durante o percurso.
+g
2) H é a altura de onde o corpo foi abandonado.
h
3) A aceleração gravitacional g é positiva.
2) O corpo sendo lançado verticalmente para cima com velocidade inicial Vo .
Neste caso o módulo da velocidade do corpo diminui no decorrer do tempo, portanto ele realiza
movimento retilíneo uniformemente retardado.
V
0
Observamos neste caso que:
1)
2)
-g
hmáx
No movimento de subida o corpo realiza movimento retilíneo uniformemente
retardado, pois o módulo de sua velocidade diminui no durante o percurso.
hmáx é a altura máxima alcançada pelo corpo.
3)
4)
5)
No ponto de altura máxima a velocidade do corpo é nula.
A aceleração gravitacional é negativa
O tempo que o móvel leva para subir é o mesmo que ele leva para retornar ao solo.
Portanto temos:
tsubida
tdescida
Analisando os itens acima verificamos que tanto na subida como na descida o corpo realiza movimento
uniformemente variado, sendo assim podemos escrever as equações abaixo:
V Vo g.t , equação da velocidade que determina a velocidade num determinado instante

6. 2
h
V2
gt
ho Vo t
, equação que determina a altura em função do tempo.
2
Vo 2 2 g h , equação de Torricelli que determina a velocidade em função da altura.
Uma outra maneira de calcular a altura máxima é através da expressão:
V
h
Vo .t
2
, expressão que determina a altura do móvel em função do tempo.
Exemplo: Um corpo foi lançado, verticalmente para cima, a partir do solo com velocidade inicial de
40m/s, num local onde g=10 m/s2.Despreze a resistência do ar e determine:
a) O tempo de subida
b) A altura máxima atingida;
c) Velocidade com que volta ao solo.
Solução: Inicialmente vamos selecionar os dados:
Vo
40m / s
g
10m / s 2
V
0
a) Tempo de subida
Para calcular o tempo de subida aplicamos a equação da velocidade V
0
40 10t
10t
40
40
10
t
Vo
gt , daí:
4s
b) Altura máxima atingida.
Neste caso, vamos usar a expressão
h
c)
0 40 .4
2
h
160
2
h
V
Vo .t
2
, daí vem:
80m
A velocidade com que o corpo retorna ao solo é a mesma com que ele subiu, portanto
V 40m / s .
Lançamento Oblíquo ou de Projétil
O móvel se deslocará para a frente em uma trajetória que vai até uma altura máxima e
depois volta a descer, formando uma trajetória parabólica.
Para estudar este movimento, deve-se considerar o movimento oblíquo como sendo o
resultante entre o movimento vertical (y) e o movimento horizontal (x).
Na direção vertical o corpo realiza um Movimento Uniformemente Variado, com velocidade
inicial igual a
e aceleração da gravidade (g)
Na direção horizontal o corpo realiza um movimento uniforme com velocidade igual a
.
Observações:
Durante a subida a velocidade vertical diminui, chega a um ponto (altura máxima) onde
, e desce aumentando a velocidade.

7. O alcance máximo é a distância entre o ponto do lançamento e o ponto da queda do
corpo, ou seja, onde y=0.
A velocidade instantânea é dada pela soma vetorial das velocidades horizontal e vertical,
ou seja,
. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada momento.
As componentes retangulares da velocidade inicial são:
e
Na vertical temos:
Na horizontal temos:
, onde
Lançamento Horizontal
O lançamento horizontal também é resultado da composição de dois movimentos, sendo
que durante a subida o corpo realiza movimento uniformemente variado e na descida
realiza movimento uniforme.
Neste caso temos:
Na vertical
Na horizontal
, onde
Hidrostática
Chamamos hidrostática a ciência que estuda os líquidos em equilíbrio
estático.
Fluido é uma substância que tem a capacidade de escoar. Quando um fluido é
submetido a uma força tangencial, deforma-se de modo contínuo, ou seja,
quando colocado em um recipiente qualquer, o fluido adquire o seu formato.
Podemos considerar como fluidos líquidos e gases.
Particularmente, ao falarmos em fluidos líquidos, devemos falar em sua
viscosidade, que é a atrito existente entre suas moléculas durante um
movimento. Quanto menor a viscosidade, mais fácil o escoamento do fluido.
Densidade
Quando comparamos dois corpos formados por materiais diferentes, mas com
um mesmo volume, quando dizemos que um deles é mais pesado que o outro,
na verdade estamos nos referindo a sua densidade. A afirmação correta seria
que um corpo é mais denso que o outro.
A unidade de densidade no SI é kg/m³.

8. A densidade é a grandeza que relaciona a massa de um corpo ao seu volume.
Onde:
=Densidade ou massa específica (kg/m³)
m=Massa (kg)
V=Volume (m³)
Pressão
Ao observarmos uma tesoura, vemos que o lado onde ela corta, a
lâmina, é mais fina que o restante da tesoura. Também sabemos que
quanto mais fino for o que chamamos o "fio da tesoura", melhor esta
irá cortar.
Isso acontece, pois ao aplicarmos uma força, provocamos uma
pressão diretamente proporcional a esta força e inversamente
proporcional a área da aplicação.
No caso da tesoura, quanto menor for o "fio da tesoura" mais intensa
será a pressão de uma força nela aplicada.
A unidade de pressão no SI é o Pascal (Pa), que é o nome adotado
para N/m².
Matematicamente, a pressão média é igual ao quociente da
resultante das forças perpendiculares à superfície de aplicação e a
área desta superfície.
P=
Sendo:
P= Pressão (Pa)
F=Força (N)
A=Área (m²)
Pressão hidrostática
Da mesma forma como os corpos sólidos, os fluidos também exercem pressão
sobre outros, devido ao seu peso.
Para obtermos esta pressão, consideremos um recipiente contendo um líquido
de densidade que ocupa o recipiente até uma altura h, em um local do planeta
onde a aceleração da gravidade é g.
A Força exercida sobre a área de contato é o peso do líquido.

9. = densidade do líquido
g= aceleração da gravidade local
h=altura da coluna de líquido.
Pressão atmosférica
Atmosfera é uma camada de gases que envolve toda a superfície da Terra.
Aproximadamente todo o ar presente na Terra está abaixo de 18000 metros de
altitude. Como o ar é formado por moléculas que tem massa, o ar também tem massa
e por consequência peso.
A pressão que o peso do ar exerce sobre a superfície da Terra é chamada Pressão
Atmosférica, e seu valor depende da altitude do local onde é medida.
Quanto maior a altitude menor a pressão atmosférica e vice-versa.
Teorema de Stevin
Seja um líquido qualquer de densidade d em um recipiente qualquer.
Escolhemos dois pontos arbitrários R e T.
"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual
ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a
diferença entre as profundidades dos pontos."
Teorema de Pascal
"O acréscimo de pressão exercida num ponto em um líquido ideal em
equilíbrio se transmite integralmente a todos os pontos desse líquido
e às paredes do recipiente que o contém."
Prensa Hidráulica
Uma das principais aplicações do teorema de Pascal é a prensa
hidráulica.
A prensa hidráulica consiste em dois vasos comunicantes, com
êmbolos de áreas
e
sobre as superfícies livres do líquido contido
nos vasos.

10. Aplicando-se uma força , sobre o êmbolo de área , a pressão
exercida é propagada pelo líquido até o êmbolo de área , sendo
assim temos:
Empuxo
Ao entrarmos em uma piscina, nos sentimos mais leves do que quando estamos fora dela.
Isto acontece devido a uma força vertical para cima exercida pela água a qual chamamos Empuxo,
e a representamos por
.
O Empuxo representa a força resultante exercida pelo fluido sobre um corpo. Como tem sentido
oposto à força Peso, causa o efeito de leveza no caso da piscina.
A unidade de medida do Empuxo no SI é o Newton (N).
Princípio de Arquimedes
Foi o filósofo, matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo
grego Arquimedes (287a.C. - 212a.C.) quem descobriu como calcular
o empuxo.
Arquimedes descobriu que todo o corpo imerso em um fluido em
equilíbrio, dentro de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma
força vertical, com sentido oposto à este campo, aplicada pelo fluido,
cuja intensidade é igual a intensidade do Peso do fluido que é
ocupado pelo corpo.
Assim:
onde:
=Empuxo (N)

11. =Densidade do fluido (kg/m³)
=Volume do fluido deslocado (m³)
g=Aceleração da gravidade (m/s²)
Hidrodinâmica
A hidrodinâmica estuda os líquidos em movimento, como o vento sobre uma
casa ou a água escoando pelo leito de um rio. aqui não serão considerados os
casos em que o escoamento do líquido é turbulento.
O conhecimento sobre hidrodinâmica é essencial na construção de aviões,
navios e carros mais aerodinâmicos, hélices, cata-ventos, bolas de futebol com
menor arrasto, etc.
Escoamento Estacionário – também conhecido como laminar, é obtido
quando a velocidade de escoamento é pequena, ou seja, quando a velocidade
de escoamento for a mesma em todos os pontos. Ex.: a água de um rio calmo,
escoamento de ar e gases.
Escoamento não estacionário – ou turbulento é quando a velocidade do
fluído varia no decorrer do tempo. Ex.: quedas d´água em virtude de rochas e
outros obstáculos existentes.
O tamanho dos tubos (diâmetro) e a viscosidade do fluído influenciam muito no
escoamento de fluídos através de tubos, isso porque, com a viscosidade,
aparecem forças de movimento relativo entre as camadas do fluído, o que
ocasiona a dissipação de energia mecânica.
Equação da continuidade
Na figura, esquematizamos um tubo. Sejam A1 e A2 as áreas das secções retas
em duas partes em duas partes distintas do tubo. As velocidades de
escoamento em A1 e A2valem, respectivamente v1 e v2.
Como o líquido é incompressível, ou seja, sua densidade não varia ao longo do
percurso, o volume que entra no tubo, no tempo
é aquele existente no
cilindro de base A1 e altura
. Esse volume é igual aquele que, no
mesmo tempo, sai da parte cuja secção tem área A2.
Sendo assim o volume (1)=volume (2)

12. Dividindo –se o volume
escoado pelo tempo
de escoamento, teremos um
grandeza denominada vazão, que iremos representar pela letra Q, logo
teremos:
Onde:
Q = vazão
V = volume do fluído
t = tempo
Sua unidade no SI é m³/s
Questões
1. Umcorpocaindo do alto de uma torre chega ao solo em 5s. Qual aaltura da torre,
considerandog=10m/s²?
a) 130 m
b) 122 m
c) 245 m
d) 125 m
e) 250 m
2. O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele
possa atingir o solo sem se machucar seja de 8m/s.Então, desprezando-se a resistência do ar, a altura
máxima de queda, para que o gato nada sofra, deve ser: (Dado: g = 10m/s 2)
a) 3,2m
b) 6,4m
c) 10m
d) 8m
e) 4m
3. Partindo do repouso, um trem percorre os trilhos da Lapa com aceleração constante, e atinge a
velocidade de 20m/s em 25 segundos. A aceleração, em m/s², é de:
a) 0,8
b) 0,2
c) 6,0
d) 0,1
e) 2,0
4. Um carro com velocidade de 20m/s é freado bruscamente e pára em 5s. A distância percorrida
pelo carro até parar é:
a) 100m
b) 80m
c) 50m
d) 40m
e) 30m
5. Observando a equação horária de um determinado movimento S
afirmar que a velocidade inicial é:
a) 20 m/s
b) 2 m/s
c) 5m/s
d) 10m/s
e) 30 m/s
20 5.t
2t 2 , podemos