1. Introdução ao Estudo da Cinemática
Prof. Roberto Lúcio
O que é Cinemática?
É o ramo da Física que descreve os movimentos, determinando a posição, a
velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante.
Ponto material é um corpo cujas dimensões não interferem no estudo de um
determinado fenômeno.
Como exemplo podemos citar um carro em uma viagem ao longo de uma estrada.
Para calcular, por exemplo, a duração da viagem basta conhecer os instantes da
partida e da chegada. Nessa situação, as dimensões do carro não são relevantes e
ele pode ser considerado um ponto material. Se, no entanto, estivermos estudando
o intervalo de tempo que o carro leva para atravessar uma ponte de pequena
extensão, suas dimensões devem ser levadas em conta. Nesse caso o carro é
chamado de corpo extenso.
Trajetória de um móvel
É o conjunto das posições sucessivas ocupadas pelo móvel no decorrer do tempo
em relação a um dado referencial.
Posição
É a grandeza que determina a posição de um móvel numa determinada trajetória, a
partir de uma origem arbitrária (origem dos espaços). As unidades de espaço são:
cm, m, km, etc.
Distância (d)
Seja s1 o a posição de um móvel num instante t1 e s2 sua posição num instante
posterior t2. A variação da posição do móvel no intervalo de tempo Δt = t2 – t1 é a
grandeza:
d = s2 – s1
d

2. Referencial
Referencial é um corpo em relação ao qual identificamos se outro corpo está em
movimento ou em repouso.
Um corpo está em movimento em relação a um determinado referencial quando
sua posição, nesse referencial, varia no decurso do tempo.
Um corpo está em repouso em relação a um determinado referencial quando sua
posição, nesse referencial, não varia no decurso do tempo.
Os conceitos de movimento, repouso e trajetória dependem
do referencial adotado.
Função horária da posição
No estudo do movimento de um ponto material a cada instante (t) corresponde um
valor posição (s). A relação matemática entre s e t é chamada de função horária da
posição.
Exemplo: s = 4 + 6.t (para s em metros e t em segundos, isto é, o sistema de
unidades é o internacional, SI). Para t = 0, s = 4 m (posição inicial);
para t = 1 s, s = 10 m; para t = 2 s, s = 16 m, etc.
Exercícios Básicos
Exercício 1:
Ao ler esta questão você está sentado numa cadeira. Você está em repouso ou em
movimento? Explique.
Exercício 2:
O professor, ao iniciar o estudo de Cinemática, afirmou que a forma da trajetória
depende do referencial adotado. Você sabe citar um exemplo?
Exercício 3:
A função horária da posição do movimento de uma bolinha é
s = 4 + 3t - t2
(SI). Determine:
a) As posições nos instantes t = 0 e t = 2 s.
b) A distância percorrida entre os instantes t = 0 e t = 1 s.
Exercício 4:
Na figura estão representadas as posições de um carrinho em diversos instantes,
ao longo de uma trajetória retilínea.

3. Determine:
a) A posição inicial do carrinho.
b) A posição do carrinho no instante t = 1 s.
c) A distância percorrida entre os instantes t1 = 0 s e t2 = 3 s.
Exercício 5:
O espaço de um móvel varia com o tempo conforme indica a tabela abaixo:
Determine a distância percorrida entre os instantes:
a) 1 s e 3 s
b) 1 s e 5 s
c) 3 s e 6 s.
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS BÁSICOS
Exercício 1 :
Os conceitos de repouso e de movimento dependem do referencial adotado. Em
relação à cadeira você está em repouso, mas em relação ao Sol, por exemplo, você
está em movimento, acompanhando o movimento da Terra.
Exercício 2
A forma da trajetória depende também do referencial adotado. Vamos citar um
exemplo. Um trem se desloca com velocidade constante. Um passageiro joga uma
bolinha verticalmente para cima. A bolinha sobe e desce e volta à mão do
passageiro.
Ele dirá que a bolinha descreve uma trajetória vertical. Mas para um observador
fora do trem, além de a bolinha subir e descer, ela também se desloca para frente
com movimento uniforme. Em relação ao observador fora do trem a bolinha
descreve uma trajetória parabólica.
Exercício 3
a)
t = 0 => s = 4 + 3.0 – (0)2
=> s = 4 m;
t = 2 s => s = 4 + 3.2 – (2)2
=> s = 6 m
b)
t = 1 s => s = 4 + 3.1 – (1)2
=> s = 6 m
∆s = 6 m – 4 m => ∆s = 2 m

4. Exercício 4
a) A posição inicial é a posição do carrinho no instante t = 0: s0 = - 2 m
b) No instante t = 1 s a posição do carrinho é zero: s1 = 0
c) No instante t = 3 s a posição do carrinho é 6 m: s3 = 6 m
A distância percorrida entre os instantes 0 e 3 s é igual a:
d = 6 m - (-2 m) => d = 8 m
Exercício 5
a) d = 12 m – 8 m => d = 4 m
b) d = 8 m – 8 m => d = 0
c) d = 6 m – 12 m => d = - 6m
Velocidade escalar média e velocidade escalar
instantânea
Introdução
Para o cálculo da velocidade média que um carro desenvolve numa viagem basta
dividir a distância que o carro percorre, ao longo da estrada, pelo intervalo de
tempo contado desde a partida até a chegada. Por exemplo, um carro parte de São
Paulo (capital) às 8 h da manhã e chega a Guaxupé (MG) ao meio dia, após
percorrer320 km. Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 km
por 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se desloca
sempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo da
estrada. É assim que estamos acostumados no nosso dia a dia: dividimos a
distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto.
Vamos agora ampliar esta definição, considerando a trajetória descrita por um
móvel, em relação a um certo referencial. Seja s1 o espaço do móvel num instante
t1 e s2 seu espaço num instante posterior t2. Seja Δs = s2 - s1 a variação de espaço
no intervalo de tempo Δt = t2 - t1.
A seguir, vamos definir velocidade escalar média do móvel no intervalo de
tempo Δt para uma variação de espaço (distância) Δs qualquer. Para o cálculo de
Δs devemos levar em conta apenas as posições inicial e final, mesmo ocorrendo
inversão no sentido do movimento.
Velocidade escalar média:
vm = d/Δt
Sendo d > 0, isto é, s2 > s1, resulta Vm > 0 (figura 1).
Figura 1
d > 0

5. Unidades de velocidade: cm/s; m/s; km/h
Sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s, vem :
1 km/h = 1000 m/3600 s = (1/3,6) m/s. Portanto: 1 m/s = 3,6 km/h
Vamos analisar alguns exemplos:
Um ônibus vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em cinco horas, enquanto outro
ônibus faz o percurso inverso, do Rio de Janeiro a São Paulo também em cinco
horas. Vamos determinar a velocidade escalar média de cada veículo, sabendo que
a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 quilômetros.
Precisamos inicialmente definir um sentido de percurso, isto é, orientar a
trajetória e escolher uma das cidades como origem dos espaços (marco zero).
Assim, supondo que São Paulo seja a origem dos espaços, a ela será atribuído o
marco zero. Como a distância entre as cidades é de 400 km, ao Rio de Janeiro
caberá o marco +400, sendo o sentido adotado de São Paulo para o Rio de Janeiro.
Vamos então calcular a velocidade escalar média de cada um dos veículos, o
primeiro indo de São Paulo ao Rio e o segundo fazendo o percurso inverso, Rio-São
Paulo.
Veículo 1 => São Paulo-Rio
Posição da partida s1 = 0 (partiu da origem do espaços, km 0)
Posição da chegada s2 = 400 km
Variação da posição: d = s2 - s1 = 400 km – 0 = 400 km
Duração da viagem Δt = 5h
Cálculo da velocidade escalar média vm
vm = d/Δt => vm = 400 km/5 h => vm = 80 km/h
Veículo 2 => Rio – São Paulo
Posição da partida s1 = 400 km
Posição da chegada s2 = 0
Variação de posição: d = s2 - s1 = 0 - 400 km = -400 km
Duração da viagem ∆t = 5h
Cálculo da velocidade escalar vm
vm = d/Δt => vm = -400 km/5 h => vm = -80 km/h

6. Como você notou, em uma das viagens um dos veículos apresentou velocidade
escalar média negativa, o que ocorreu em função da orientação da trajetória.
Imagine um terceiro exemplo, mantendo a origem dos espaços em São Paulo e
orientando a trajetória de São Paulo para o Rio.
Um ônibus sai de São Paulo, vai ao Rio de Janeiro e volta pela mesma estrada,
chegando a Resende, situada no km 260. Qual é a velocidade escalar média do
ônibus entre São Paulo e Resende sabendo-se que todo percurso foi realizado em
6,5 horas?
Posição da partida s1 = 0
Posição da chegada s2 = 260 km
Variação de posição: d = s2 - s1 = 260 km - 0 = 260 km
Duração da viagem - Intervalo de tempo (∆t) => ∆t = 6,5 h
Cálculo da velocidade escalar vm
vm = d/Δt => vm = 260 km/6,5 h => vm = 40 km/h
Observação: É assim que procedemos em Física: adotamos um ponto como
origem dos espaços, orientamos a trajetória, determinamos as posições inicial
e final do móvel e o intervalo de tempo gasto no percurso.
No caso em questão, como acabamos de calcular, a velocidade escalar média entre
São Paulo e Resende resultou em 40 km/h.
Se você calculasse efetivamente a distância percorrida pelo ônibus neste trajeto
encontraria de São Paulo ao Rio de Janeiro e do Rio de Janeiro a Resende as
distâncias 400 km e 140 km, cuja soma é igual a 540 km, o que levaria a uma
velocidade média de 540 km/6,5 h, aproximadamente 83 km/h. Está não é a
velocidade escalar média definida em Física.
No cálculo da velocidade escalar média só interessam os instantes da
partida e da chegada.
Veja este exemplo:
Um carro parte de São Paulo às 08h00 da manhã e chega ao Rio de Janeiro às
13h00. O motorista parou para almoçar, tendo ficado no restaurante durante uma
hora.
Ao efetuarmos o cálculo da velocidade escalar média, não nos interessa o que
aconteceu durante o percurso (almoço) e sim o intervalo de tempo entre a partida
e a chegada.
A velocidade escalar média vm, portanto, foi de 80 km/h. E, desde que os instantes
de partida e chegada permanecessem iguais, a vm continuaria a mesma, ainda que
o almoço tivesse durado 2 horas. Ou, quem sabe, 3 horas!
Velocidade escalar instantânea:
A velocidade escalar num instante é indicada por v e pode ser entendida como
sendo a velocidade escalar média tomada em um intervalo de tempo Δt
extremamente pequeno, com Δt tendendo a zero, ou seja, t2 tendendo a t1.

7. O velocímetro de um carro fornece a velocidade escalar instantânea, isto é, indica a
velocidade do carro em cada instante.
Exercícios Básicos
Exercício 1:
Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Qual é a velocidade escalar
média do atleta? Dê a resposta em km/h e m/s.
Exercício 2:
A velocidade escalar média de uma pessoa em passo normal é de 1,5 m/s. Quanto
tempo a pessoa gasta para fazer uma caminhada de 3 km?
Exercício 3:
É dada a função horária do movimento de um móvel s = 8 - 6t + t2
, sendo o
espaço s medido em metros e o instante t em segundos. Determine a velocidade
escalar média do móvel entre os instantes:
a) 1 s e 2 s
b) 2 s e 4 s
c) 5 s e 6 s
Exercício 4:
A distância entre as cidades de Goiânia e de Caldas Novas é de 169 km. Um ônibus
parte de Goiânia às 13h e chega à cidade de Caldas Novas às 15h10min, tendo
feito uma parada de 10min num posto de abastecimento.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse trajeto?
Exercício 5:
Numa viagem de João Pessoa a Cabedelo, uma moto desenvolve a velocidade
escalar média de 80 km/h até a metade do percurso e de 60 km/h na metade
seguinte.
Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pela moto de João Pessoa a
Cabedelo?
Exercício 6:
A função horária da velocidade de um móvel é dada por v = 5 - 2t, para v em m/s
e t em s. Determine:
a) a velocidade do móvel nos instante 0 e 2 s.
b) em que instante a velocidade escalar do móvel se anula?

8. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS BÁSICOS
Exercício 1
Da definição de velocidade escalar média, vem:
vm = d/Δt => vm = 100 m/10 s => vm = 10 m/s
Sabemos que 1m/s corresponde a 3,6 km/h. Logo, 10 m/s correspondem a
36 km/h. Assim, a resposta é 10 m/s e 36 km/h
Exercício 2
Vamos considerar que a caminhada ocorre sempre no mesmo sentido e no sentido
que a trajetória foi orientada.
vm = d/Δt => 1,5 = 3000 m/Δt => Δt = 2000 s = 33min 20s
Exercício 3
Vamos calcular as posições móvel nos instante 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s e 6 s
t1 = 1 s => s1 = 8 - 6.1+(1)2 => s1 = 3 m
t2 = 2 s => s2 = 8 - 6.2+(2)2 => s2 = 0
t3 = 3 s => s3 = 8 - 6.3+(3)2 => s3 = -1 m
t4 = 4 s => s4 = 8 - 6.4+(4)2 => s4 = 0
t5 = 5 s => s5 = 8 - 6.5+(5)2 => s5 = 3 m
t6 = 6 s => s6 = 8 - 6.6+(6)2 => s6 = 8 m
Para visualizarmos as posições ocupadas pelo móvel nos diversos instantes, vamos
considerar a trajetória retilínea. Temos:
Cálculo das velocidades escalares médias:
a) vm = d/Δt = (s2-s1)/(t2-t1) => vm = (0-3)/(2-1) => vm = -3 m/s
b) vm = d/Δt = (s4-s2)/(t4-t2) => vm = (0-0)/(4-2) => vm = 0
c) vm = d/Δt = (s6-s5)/(t6-t5) => vm = (8-3)/(6-5) => vm = +5 m/s
Exercício 4
Temos: Δs = 169 km e Δt = 15h10min - 13h = 2h10min =>
2h + 1/6h => Δt = 13/6h
vm = d/Δt = 169 km/(13/6) h => vm = 78 km/h
Observação: No cálculo de Δt não devemos subtrair os 10 minutos referente à
parada. Para determinar a velocidade média devemos conhecer, além da variação
de espaço, os instantes da partida e o de chegada.

9. Exercício 5
Vamos indicar por d a distância de João Pessoa até o ponto médio da trajetória. No
segundo trecho (do ponto medo até Cabedelo) a distância a ser percorrida é
também d.
O primeiro trecho será percorrido no intervalo de tempo d/80 e o segundo trecho,
no intervalo de tempo d/60. O tempo total de percurso será a soma desses dois
valores:
Δt = (d/80) + (d/60) => Δt = 7d/240
A distância total a ser percorrida é 2d: Δs = 2d
Dividindo a distância total a ser percorrida (que é 2d) pelo tempo total (7d/240)
encontramos a velocidade escalar média no percurso todo:
vm = distãncia/Δt = 2d/(7d/240) = 480/7 => vm ≅ 68,6 km/h
Exercício 6
a) t = 0 => v = 5 – 2 x 0 => v = 5 m/s
x t = 2 s => v = 5 – 2 x 2 => v = 1 m/s
b) v = 0 => 0 = 5 – 2.t ⇾ t = 2,5 s
Gráficos do Movimento Uniforme
Vel
Função horária da posição (função do primeiro grau em t).
Gráfico s x t: reta inclinada em relação aos eixos. A posição “s” cresce com o
tempo: velocidade escalar positiva. A posição “ s” decresce com o tempo:
velocidade escalar negativa.
Movimento no sentido
crescente:
V > 0
Movimento no sentido
decrescente:
V < 0

10. Função horária da velocidade escalar (função constante e não nula).
Gráfico v x t: reta paralela ao eixo dos tempos.
Exercícios Básicos
Exercício 1:
Um ciclista realiza um movimento uniforme e sua posição “s” varia com o tempo
conforme indica o gráfico. Determine a posição inicial s0 e a velocidade escalar v.
Exercício 2:
Um motociclista realiza um movimento uniforme e sua posição varia com o tempo
conforme indica o gráfico. Qual é a função horária das posições do motociclista?
Movimento no
sentido crescente:
V > 0
Movimento no
sentido
decrescente: V < 0
V > 0

11. Resolução dos exercícios Básicos
Exercício 1:
Do gráfico, vem:
S0 = -10 m
v = d/Δt = (20-0)/(6-2) => v = 5 m/s
Respostas: -10 m e 5 m/s
Exercício 2:
s0 = 100 m
De v = d/Δt = (0-100)/(10-0) => v = -10 m/s
De s = s0 + v.t, vem: s = 100 - 10.t (s em metros e t em segundos)
Resposta: s = 100 - 10.t