1) A equação da continuidade expressa a conservação da massa em um fluido, relacionando a variação da densidade com a divergência do fluxo de massa.
2) A equação de Euler relaciona a aceleração de uma partícula de fluido com as forças aplicadas, especificamente a força devida ao gradiente de pressão.
3) Tanto a equação da continuidade quanto a equação de Euler são fundamentais para a descrição matemática do movimento de fluidos.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
1) O documento apresenta notas de aula sobre fluidos, abordando tópicos como densidade, pressão, princípios de Pascal e Arquimedes, equação de Bernoulli e problemas relacionados.
2) É apresentada a definição de densidade de um material como a relação entre sua massa e volume. Explora-se a relação entre pressão, densidade e profundidade em um fluido em repouso.
3) A equação de Bernoulli relaciona variação de pressão, altura e velocidade em um fluido incompressível, e é obtida a
1) O documento descreve conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos, incluindo fluidos como meio contínuo, escoamentos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, viscosidade, classificação de escoamentos e camada limite.
2) São apresentados os conceitos de massa específica, densidade relativa, perfis de velocidades, linhas de tempo, corrente e emissão. Também são definidos fluidos newtonianos e não-newtonianos.
3) O documento classifica os escoamentos como internos, em
1) O documento discute os fenômenos de transporte, que envolvem a transferência de momento, energia e massa.
2) A mecânica dos fluidos é apresentada, incluindo definições de fluido, velocidade, tensão de cisalhamento e viscosidade.
3) Os principais tópicos incluem introdução à mecânica dos fluidos, equações básicas, métodos de análise e conceitos fundamentais como campo de velocidade e comportamento de fluidos newtonianos.
O documento descreve dois casos de escoamento de fluidos newtonianos em situações simples. O primeiro caso trata de um filme líquido descendente em um plano inclinado, apresentando as equações para o perfil de velocidade parabólico e espessura do filme. O segundo caso trata do escoamento no interior de tubos horizontais, apresentando a equação de Hagen-Poiseuille para o perfil de velocidade parabólico.
1) Um momento angular tem dimensão L2MT-1.
2) A posição de uma partícula sob ação de um campo elétrico uniforme é representada por uma parábola com concavidade para baixo.
3) O tempo para um barco descer um trecho de rio com os motores desligados é 13h20min.
Questões Corrigidas, em Word: Composição de Movimentos, Projéteis e Velocidad...Rodrigo Penna
Este documento contém resumos de 8 questões sobre Composição de Movimentos e Velocidade Relativa. As questões envolvem conceitos como movimentos perpendiculares independentes, lançamento horizontal, queda livre e conservação de energia mecânica. Os resumos fornecem as principais informações sobre cada questão em 3 frases ou menos.
1) O documento apresenta os conceitos de análise vetorial, movimento curvilíneo, velocidade e aceleração de um ponto material em coordenadas cartesianas.
2) Inclui exemplos de exercícios sobre movimento de projeteis, movimento relativo entre referenciais e equações que descrevem a trajetória de pontos materiais.
3) Fornece referências bibliográficas sobre mecânica vetorial.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
1) O documento apresenta notas de aula sobre fluidos, abordando tópicos como densidade, pressão, princípios de Pascal e Arquimedes, equação de Bernoulli e problemas relacionados.
2) É apresentada a definição de densidade de um material como a relação entre sua massa e volume. Explora-se a relação entre pressão, densidade e profundidade em um fluido em repouso.
3) A equação de Bernoulli relaciona variação de pressão, altura e velocidade em um fluido incompressível, e é obtida a
1) O documento descreve conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos, incluindo fluidos como meio contínuo, escoamentos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais, viscosidade, classificação de escoamentos e camada limite.
2) São apresentados os conceitos de massa específica, densidade relativa, perfis de velocidades, linhas de tempo, corrente e emissão. Também são definidos fluidos newtonianos e não-newtonianos.
3) O documento classifica os escoamentos como internos, em
1) O documento discute os fenômenos de transporte, que envolvem a transferência de momento, energia e massa.
2) A mecânica dos fluidos é apresentada, incluindo definições de fluido, velocidade, tensão de cisalhamento e viscosidade.
3) Os principais tópicos incluem introdução à mecânica dos fluidos, equações básicas, métodos de análise e conceitos fundamentais como campo de velocidade e comportamento de fluidos newtonianos.
O documento descreve dois casos de escoamento de fluidos newtonianos em situações simples. O primeiro caso trata de um filme líquido descendente em um plano inclinado, apresentando as equações para o perfil de velocidade parabólico e espessura do filme. O segundo caso trata do escoamento no interior de tubos horizontais, apresentando a equação de Hagen-Poiseuille para o perfil de velocidade parabólico.
1) Um momento angular tem dimensão L2MT-1.
2) A posição de uma partícula sob ação de um campo elétrico uniforme é representada por uma parábola com concavidade para baixo.
3) O tempo para um barco descer um trecho de rio com os motores desligados é 13h20min.
Questões Corrigidas, em Word: Composição de Movimentos, Projéteis e Velocidad...Rodrigo Penna
Este documento contém resumos de 8 questões sobre Composição de Movimentos e Velocidade Relativa. As questões envolvem conceitos como movimentos perpendiculares independentes, lançamento horizontal, queda livre e conservação de energia mecânica. Os resumos fornecem as principais informações sobre cada questão em 3 frases ou menos.
1) O documento apresenta os conceitos de análise vetorial, movimento curvilíneo, velocidade e aceleração de um ponto material em coordenadas cartesianas.
2) Inclui exemplos de exercícios sobre movimento de projeteis, movimento relativo entre referenciais e equações que descrevem a trajetória de pontos materiais.
3) Fornece referências bibliográficas sobre mecânica vetorial.
1) O documento discute conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo movimento, repouso, espaço, tempo e velocidade.
2) São apresentados vários exemplos numéricos para calcular distâncias, tempos e conversões entre unidades.
3) As questões abordam situações cotidianas para aplicar e testar a compreensão dos conceitos discutidos.
O documento discute os principais conceitos da Teoria da Relatividade Restrita e Geral de Einstein, incluindo a dilatação do tempo, contração do espaço, equivalência entre massa e energia, e como a gravidade curva o espaço-tempo de acordo com a Relatividade Geral.
Movimento em 1_dimensao_-_prof_romero_tavaresFernando Lucas
1) O documento apresenta notas de aula sobre movimento retilíneo, abordando conceitos como posição, deslocamento, velocidade média, velocidade instantânea e aceleração.
2) É explicado que o movimento de uma partícula pode ser estudado como um movimento retilíneo de translação para simplificar os cálculos.
3) São apresentadas as fórmulas para cálculo de velocidade média, velocidade instantânea e aceleração, assim como exemplos de movimento uniforme e queda livre.
O documento fornece informações básicas sobre ondas, incluindo definições de período, frequência e velocidade de ondas. Resolve exemplos numéricos sobre esses conceitos e fornece listas de exercícios para estudar separadamente.
1) O documento apresenta 19 questões de múltipla escolha sobre diversos tópicos de física, como cinemática, dinâmica, eletrostática, eletromagnetismo e termodinâmica.
2) As questões envolvem cálculos e análises conceituais sobre movimento retilíneo e circular uniforme, forças, trabalho e energia, campos elétricos e magnéticos, óptica geométrica e segundo princípio da termodinâmica.
3) São solicitadas variáveis como
O documento discute o escoamento em condutos e a determinação do coeficiente de atrito. Apresenta os diferentes regimes de escoamento e como o coeficiente de atrito depende da rugosidade da parede do conduto e do número de Reynolds. Fornece fórmulas e diagramas para calcular a perda de carga em função destes fatores.
Questões Corrigidas, em Word: Atrito - Conteúdo vinculado ao blog http:...Rodrigo Penna
Este documento resume três questões sobre atrito.
1) Uma questão sobre as forças de atrito em um carro de Fórmula 1 durante a largada. A resposta correta é que a força de atrito aponta para frente nas rodas de trás e para trás nas rodas da frente, sendo maior para frente.
2) Uma questão sobre duas blocos ligados por uma corda sobre uma mesa. A aceleração calculada é de 6 m/s2 e a força de tração na corda é de 28 N.
3) Uma questão sobre um bloco se movendo
1) O documento discute escoamento em condutos forçados simples, comparando-os com condutos livres.
2) Apresenta a experiência de Reynolds que distingue escoamento laminar e turbulento com base no número de Reynolds.
3) Discutem-se perdas de carga em condutos, classificando-as em perdas ao longo do conduto e perdas locais, e introduz a fórmula de Darcy-Weisbach para calcular perdas de carga.
Este documento fornece resumos de questões corrigidas sobre ondas estacionárias e movimento harmônico simples. A primeira seção contém 11 questões sobre ondas estacionárias em cordas e tubos. A segunda seção parece ter questões sobre movimento harmônico simples, porém o texto disponível não fornece detalhes sobre essas questões.
O documento discute os conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado, definindo-os, apresentando suas equações, representações gráficas e propriedades. É apresentada a equação de Torricelli para movimento uniformemente variado. Exemplos numéricos ilustram os conceitos discutidos.
O documento apresenta os principais conceitos de cinemática escalar, incluindo:
1) A definição de ponto material e corpo extenso;
2) Os conceitos de referencial, movimento e repouso;
3) As definições de trajetória, posição escalar, deslocamento escalar, velocidade escalar média e instantânea.
Este documento discute escoamento laminar e turbulento de fluidos, o cálculo do número de Reynolds e sua importância para determinar o regime de escoamento. Também apresenta exemplos e exercícios sobre o tema.
I - O documento apresenta 20 questões sobre ondas, abordando conceitos como velocidade, comprimento de onda, frequência e período.
II - As questões envolvem cálculos e análises sobre ondas mecânicas, eletromagnéticas e em corpos d'água.
III - São abordados também fenômenos como difração, reflexão e propagação de ondas em diferentes meios.
O documento discute conceitos básicos de hidráulica como pressão, vazão, regimes de escoamento e perdas de carga em condutos forçados. Apresenta tabelas com unidades do SI, símbolos gregos e ordens de grandeza comuns. Explica conceitos como conservação de massa e energia e equação de Bernoulli para escoamentos sob pressão em tubulações.
1. O documento apresenta vários problemas de dinâmica de movimentos curvos, incluindo cálculos de aceleração centrípeta, força resultante, velocidade angular e período para uma partícula em movimento circular uniforme.
2. É calculada a velocidade de um bloco preso a um fio girando em movimento circular uniforme.
3. São dados valores numéricos para cálculos envolvendo força de atrito estático em problemas de movimento circular.
O documento apresenta cálculos para determinar se é fisicamente possível para o Batman pular de uma altura de 15 metros e cair em uma van em movimento. Ele determina que, com um coeficiente de arrasto aerodinâmico de aproximadamente 100, Batman atingiria uma velocidade de impacto de cerca de 8,2 m/s, o que seria doloroso, mas não impossível. No entanto, os cálculos para determinar o coeficiente de arrasto sugerem que, devido à grande área frontal da capa de Batman, o impacto provavel
O documento discute condutos sob pressão e perda de carga em condutos hidráulicos. Apresenta as fórmulas fundamentais para calcular perda de carga, incluindo a fórmula de Darcy-Weisbach e discute os regimes laminar e turbulento. Explica como o número de Reynolds é usado para determinar o regime de escoamento e como a perda de carga depende da rugosidade, viscosidade, densidade, velocidade e diâmetro do conduto.
1) Um velocista faz os 100m finais de uma corrida em 10 segundos dando passadas constantes de 2m. Isso significa que sua frequência de passadas é de 5 passadas por segundo.
2) Uma caneta se movimenta harmonicamente ao longo do eixo y com frequência de 2,5Hz e velocidade média de 20cm/s.
3) Uma onda se propaga em uma corda com velocidade de 5m/s e frequência de 25Hz.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute taxas relacionadas e diferenciais no cálculo. Aborda como derivar taxas de variação de variáveis relacionadas por equações e como usar aproximações diferenciais para estimar variações de funções. Fornece exemplos ilustrativos sobre taxas relacionadas em problemas físicos e uso de diferenciais.
O documento explica como a segunda lei de Kepler é uma consequência do torque e da conservação do momento angular. Ele mostra que o torque sobre um planeta em órbita ao redor do Sol é zero, portanto o momento angular é conservado. Isso significa que a área varrida pelo planeta em intervalos de tempo iguais deve ser a mesma, o que corresponde à segunda lei de Kepler.
1) O documento discute conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo movimento, repouso, espaço, tempo e velocidade.
2) São apresentados vários exemplos numéricos para calcular distâncias, tempos e conversões entre unidades.
3) As questões abordam situações cotidianas para aplicar e testar a compreensão dos conceitos discutidos.
O documento discute os principais conceitos da Teoria da Relatividade Restrita e Geral de Einstein, incluindo a dilatação do tempo, contração do espaço, equivalência entre massa e energia, e como a gravidade curva o espaço-tempo de acordo com a Relatividade Geral.
Movimento em 1_dimensao_-_prof_romero_tavaresFernando Lucas
1) O documento apresenta notas de aula sobre movimento retilíneo, abordando conceitos como posição, deslocamento, velocidade média, velocidade instantânea e aceleração.
2) É explicado que o movimento de uma partícula pode ser estudado como um movimento retilíneo de translação para simplificar os cálculos.
3) São apresentadas as fórmulas para cálculo de velocidade média, velocidade instantânea e aceleração, assim como exemplos de movimento uniforme e queda livre.
O documento fornece informações básicas sobre ondas, incluindo definições de período, frequência e velocidade de ondas. Resolve exemplos numéricos sobre esses conceitos e fornece listas de exercícios para estudar separadamente.
1) O documento apresenta 19 questões de múltipla escolha sobre diversos tópicos de física, como cinemática, dinâmica, eletrostática, eletromagnetismo e termodinâmica.
2) As questões envolvem cálculos e análises conceituais sobre movimento retilíneo e circular uniforme, forças, trabalho e energia, campos elétricos e magnéticos, óptica geométrica e segundo princípio da termodinâmica.
3) São solicitadas variáveis como
O documento discute o escoamento em condutos e a determinação do coeficiente de atrito. Apresenta os diferentes regimes de escoamento e como o coeficiente de atrito depende da rugosidade da parede do conduto e do número de Reynolds. Fornece fórmulas e diagramas para calcular a perda de carga em função destes fatores.
Questões Corrigidas, em Word: Atrito - Conteúdo vinculado ao blog http:...Rodrigo Penna
Este documento resume três questões sobre atrito.
1) Uma questão sobre as forças de atrito em um carro de Fórmula 1 durante a largada. A resposta correta é que a força de atrito aponta para frente nas rodas de trás e para trás nas rodas da frente, sendo maior para frente.
2) Uma questão sobre duas blocos ligados por uma corda sobre uma mesa. A aceleração calculada é de 6 m/s2 e a força de tração na corda é de 28 N.
3) Uma questão sobre um bloco se movendo
1) O documento discute escoamento em condutos forçados simples, comparando-os com condutos livres.
2) Apresenta a experiência de Reynolds que distingue escoamento laminar e turbulento com base no número de Reynolds.
3) Discutem-se perdas de carga em condutos, classificando-as em perdas ao longo do conduto e perdas locais, e introduz a fórmula de Darcy-Weisbach para calcular perdas de carga.
Este documento fornece resumos de questões corrigidas sobre ondas estacionárias e movimento harmônico simples. A primeira seção contém 11 questões sobre ondas estacionárias em cordas e tubos. A segunda seção parece ter questões sobre movimento harmônico simples, porém o texto disponível não fornece detalhes sobre essas questões.
O documento discute os conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado, definindo-os, apresentando suas equações, representações gráficas e propriedades. É apresentada a equação de Torricelli para movimento uniformemente variado. Exemplos numéricos ilustram os conceitos discutidos.
O documento apresenta os principais conceitos de cinemática escalar, incluindo:
1) A definição de ponto material e corpo extenso;
2) Os conceitos de referencial, movimento e repouso;
3) As definições de trajetória, posição escalar, deslocamento escalar, velocidade escalar média e instantânea.
Este documento discute escoamento laminar e turbulento de fluidos, o cálculo do número de Reynolds e sua importância para determinar o regime de escoamento. Também apresenta exemplos e exercícios sobre o tema.
I - O documento apresenta 20 questões sobre ondas, abordando conceitos como velocidade, comprimento de onda, frequência e período.
II - As questões envolvem cálculos e análises sobre ondas mecânicas, eletromagnéticas e em corpos d'água.
III - São abordados também fenômenos como difração, reflexão e propagação de ondas em diferentes meios.
O documento discute conceitos básicos de hidráulica como pressão, vazão, regimes de escoamento e perdas de carga em condutos forçados. Apresenta tabelas com unidades do SI, símbolos gregos e ordens de grandeza comuns. Explica conceitos como conservação de massa e energia e equação de Bernoulli para escoamentos sob pressão em tubulações.
1. O documento apresenta vários problemas de dinâmica de movimentos curvos, incluindo cálculos de aceleração centrípeta, força resultante, velocidade angular e período para uma partícula em movimento circular uniforme.
2. É calculada a velocidade de um bloco preso a um fio girando em movimento circular uniforme.
3. São dados valores numéricos para cálculos envolvendo força de atrito estático em problemas de movimento circular.
O documento apresenta cálculos para determinar se é fisicamente possível para o Batman pular de uma altura de 15 metros e cair em uma van em movimento. Ele determina que, com um coeficiente de arrasto aerodinâmico de aproximadamente 100, Batman atingiria uma velocidade de impacto de cerca de 8,2 m/s, o que seria doloroso, mas não impossível. No entanto, os cálculos para determinar o coeficiente de arrasto sugerem que, devido à grande área frontal da capa de Batman, o impacto provavel
O documento discute condutos sob pressão e perda de carga em condutos hidráulicos. Apresenta as fórmulas fundamentais para calcular perda de carga, incluindo a fórmula de Darcy-Weisbach e discute os regimes laminar e turbulento. Explica como o número de Reynolds é usado para determinar o regime de escoamento e como a perda de carga depende da rugosidade, viscosidade, densidade, velocidade e diâmetro do conduto.
1) Um velocista faz os 100m finais de uma corrida em 10 segundos dando passadas constantes de 2m. Isso significa que sua frequência de passadas é de 5 passadas por segundo.
2) Uma caneta se movimenta harmonicamente ao longo do eixo y com frequência de 2,5Hz e velocidade média de 20cm/s.
3) Uma onda se propaga em uma corda com velocidade de 5m/s e frequência de 25Hz.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute taxas relacionadas e diferenciais no cálculo. Aborda como derivar taxas de variação de variáveis relacionadas por equações e como usar aproximações diferenciais para estimar variações de funções. Fornece exemplos ilustrativos sobre taxas relacionadas em problemas físicos e uso de diferenciais.
O documento explica como a segunda lei de Kepler é uma consequência do torque e da conservação do momento angular. Ele mostra que o torque sobre um planeta em órbita ao redor do Sol é zero, portanto o momento angular é conservado. Isso significa que a área varrida pelo planeta em intervalos de tempo iguais deve ser a mesma, o que corresponde à segunda lei de Kepler.
O documento apresenta os principais conceitos da interação entre espécies biológicas, começando com as três principais tipos de interação: predação, competição e simbiose. Em seguida, descreve o modelo matemático de Lotka-Volterra para predação, mostrando que ele prevê oscilações periódicas nas populações de predadores e presas. Por fim, discute limitações deste modelo simplificado e a necessidade de modelos mais complexos para descrever interações reais envolvendo múltiplas espécies.
1) O documento discute integrais indefinidas, que são antiderivadas ou primitivas de funções.
2) Duas primitivas de uma mesma função diferem entre si por uma constante.
3) A integral indefinida de uma função f no intervalo I é a primitiva genérica de f em I, denotada por ∫f(x)dx = F(x) + C, onde C é uma constante genérica.
1. O documento apresenta os conceitos de antiderivada e integral indefinida, mostrando exemplos de primitivas de funções como 3x2, 2x, ex, sen x, etc.
2. São apresentadas algumas propriedades das integrais indefinidas, como o fato de duas primitivas de uma mesma função diferirem por uma constante.
3. São mostradas fórmulas para o cálculo imediato de integrais como ∫xdx, ∫senxdx, ∫exdx, ∫sec2xdx e outras. Manipulações
1. O documento descreve a construção do conjunto dos números reais a partir dos números naturais, inteiros e racionais. Inicialmente define-se o conjunto dos números naturais N e racionais Q, mas estes conjuntos não são suficientes para representar todas as medidas possíveis.
2. Introduzem-se os números irracionais para preencher as lacunas nos conjuntos numéricos anteriores, formando assim o conjunto dos números reais R. As operações de adição e multiplicação são estendidas para R, tornando-o um corpo ordenado completo.
O documento descreve conceitos básicos de física sobre grandezas escalares e vetoriais. Resume que grandezas escalares são completamente determinadas por seu valor numérico e unidade, enquanto grandezas vetoriais também requerem orientação de direção. Explica operações matemáticas com cada tipo de grandeza e apresenta exemplos de adição e subtração de vetores.
1) O documento discute movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), onde a aceleração é constante mas diferente de zero, fazendo a velocidade variar uniformemente.
2) A aceleração média é calculada pela variação de velocidade dividida pelo tempo decorrido.
3) O MRUV pode ser classificado de acordo com os sinais da aceleração e velocidade inicial e final.
O documento descreve o cálculo da força de atrito entre um corpo em movimento e as moléculas de ar. Considerando a densidade do ar n e a massa das moléculas m, é calculado o número de colisões N e a variação de momento ∆P para obter a equação da força de atrito F = 2nmv2A.
1. O documento apresenta um resumo sobre o conceito de movimento em física, abordando tópicos como movimento uniforme, movimento com velocidade variável, queda livre e resolução de problemas.
2. Inclui definições de termos como referencial, trajetória, posição escalar, velocidade escalar média, aceleração e funções que descrevem esses grandezas no tempo.
3. Apresenta as equações que relacionam grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração nos movimentos unifor
Este documento apresenta as funções reais de várias variáveis. Introduz o conceito de funções de duas ou mais variáveis, onde o resultado depende de mais de uma variável independente. Fornece exemplos de funções de duas variáveis e discute a representação geométrica de seus gráficos em três dimensões. Também aborda o conceito de domínio para funções de várias variáveis.
(1) O documento apresenta notas de aula sobre fluidos, abordando tópicos como densidade, pressão, princípios de Pascal e Arquimedes, equação de Bernoulli e problemas relacionados a fluidos. (2) É feita uma introdução sobre fluidos e suas propriedades, seguida de explicações sobre conceitos-chave como densidade, pressão, escoamento de fluidos e equações que regem o movimento de fluidos. (3) Por fim, são listados diversos problemas resolvidos relacionados ao tema.
1) O documento discute grandezas físicas escalares e vetoriais, sendo que vetoriais possuem intensidade, direção e sentido representados por vetores.
2) A adição de vetores é feita pela regra da linha poligonal, enquanto a subtração é equivalente à adição do vetor oposto.
3) A multiplicação de um vetor por um escalar altera apenas sua intensidade, mantendo ou invertendo sua direção de acordo com o sinal do escalar.
Este documento discute conceitos matemáticos relacionados à proporcionalidade direta, razão, proporção e porcentagens. Explica que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante, definida pela constante de proporcionalidade. Também define razão como o quociente entre duas grandezas, e proporção como uma igualdade entre duas razões. Por fim, explica o que são porcentagens e como representam uma razão baseada no número 100.
O documento discute conceitos fundamentais de hidrostática, incluindo:
1) A hidrostática estuda fluidos em repouso e pressão é definida como a força sobre uma área.
2) A pressão de um fluido varia com a profundidade e é igual ao produto da densidade, gravidade e altura.
3) A pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude.
MEC. DOS FLUIDOS TOPICO analise diferencialThiago Almeida
A mecânica dos fluidos é a parte da física que estuda o efeito de forças em fluidos. Os fluidos em equilíbrio estático são estudados pela hidrostática e os fluidos sujeitos a forças externas não nulas são estudados pela hidrodinâmica.
1) O documento discute os conceitos de densidade, massa específica e pressão na hidrostática e explica a diferença entre densidade e massa específica.
2) Apresenta os três principais princípios da hidrostática: a lei de Stevin, o princípio de Pascal e o princípio de Arquimedes.
3) Explica como calcular o empuxo sofrido por um corpo imerso em um fluido usando a densidade do fluido e o volume deslocado.
1) O documento discute os conceitos de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), incluindo suas equações de velocidade, posição e aceleração.
2) Apresenta os gráficos de velocidade vs tempo, posição vs tempo e aceleração vs tempo para o MRUV.
3) Explica a correspondência entre os diferentes gráficos e como eles fornecem informações sobre o movimento.
1. Mecˆnica dos Fluidos
a
www.controleeautomacao.blogspot.com
1 Equa¸˜o da Continuidade
ca
A dinˆmica dos fluidos est´ preocupada com o movimento dos fluidos (l´
a a ıquidos
e gases). Para descrever este movimento adota-se a ideia da part´ıcula fluida,
que ´ uma pequena quantidade de fluido que est´ sendo estudada.
e a
Considere um volume V0 do espa¸o. A massa do fluido ´ m = ρV , em que ρ
c e
e ıquido em kg/m3 e V ´ o volume em m3 . Um diferencial de
´ a densidade do l´ e
massa ser´ dm = ρdV , assim a massa total neste volume ser´ m = ρdV .
a a
A massa do fluido escoando por unidade de tempo atrav´s de um elemento
e
superficial do volume ´ ρv · df em que v ´ a velocidade do fluido e df ´ o
e e e
elemento diferencial de ´rea. Ressalta-se aqui que ρv ´ um vetor do fluido que
a e
chega no volume e df ´ o vetor normal da ´rea do volume, sendo representado
e a
em vermelho na figura a seguir.
Figura 1: Fluido atravessando um elemento de volume V0
O produto escalar ρv · df denota uma proje¸˜o na dire¸˜o normal a essa ´rea
ca ca a
infinitesimal df , ou seja, ser´ contada toda a massa que atravessa esta superf´
a ıcie.
Fluido escoando na dire¸˜o paralela ` ´rea n˜o a atravessar´.
ca aa a a
Por conven¸˜o, df ´ considerado para fora, assim ρv · df ser´ positivo se o
ca e a
fluido estiver escoando para fora do volume e negativo se estiver escoando para
dentro.
A massa total escoando para fora do volume V0 por unidade de tempo ser´ a
ρv · df
1
2. A integral de linha mostra que a integra¸˜o est´ sendo feita pela superf´
ca a ıcie
fechada circundante ao volume V0 .
Isso significa que, por exemplo, um cubo cuja ´rea lateral seja df e o escoa-
a
mento na dire¸˜o e sentido transversal a dois lados, o resultado da integral ser´
ca a
zero.
Isso quer dizer que n˜o h´ sa´ de massa do volume, ou seja, este n˜o est´
a a ıda a a
perdendo massa, pois o que entra ´ igual ao que sai. O fluido ao atravessar a
e
primera parede contar´ negativamente, j´ que os vetores s˜o opostos, assim o
a a a
resultado do produto escalar ser´ negativo. Quando ele atravessar a segunda
a
parede contar´ positivamente e com o mesmo valor, resultando em zero.
a
O decaimento de massa por unidade de tempo pode ser escrito como
∂
− ∂t ρdV
Toma-se a derivada parcial, j´ que ρ possui 4 parˆmetros ρ(x, y, z, t). Assim,
a a
com essa derivada tem-se como a massa varia no tempo. O sinal negativo serve
para corrigir fisicamente o sinal que a matem´tica nos fornece, j´ que se a
a a
massa ´ maior na sa´ do que na entrada do volume V0 , isso significa que este
e ıda
est´ perdendo massa, por´m como houve um aumento de massa nessa conta,
a e
a derivada ser´ positiva e como queremos denotar o decr´scimo da massa no
a e
volume v0 , colocamos o sinal negativo.
Logo, pode-se igualar as equa¸˜es
co
∂
− ρv · df = ∂t ρdV
Aqui se usa o Teorema de Green, que ´
e
ρv · df = div(ρv)dV
Lembrando que o divergente no sistema cartesiano tridimensional ´ definido
e
por
∂Fx ∂Fy ∂Fz
divF = ·F = ∂x + ∂y + ∂z , sendo F = Fx i + Fy j + Fz k
Assim,
∂
− div(ρv)dV = ∂t ρdV
[ ∂ρ + div(ρv)]dV = 0
∂t
∂ρ
∂t + div(ρv) = 0
Equa¸˜o da Continuidade
ca
Esta equa¸˜o mostra que a massa n˜o pode ser criada ou destru´
ca a ıda.
A segunda parcela da equa¸˜o diz que a quantidade de massa que entra ´
ca e
igual a que sai, sendo o divergente o sensor do quanto que entra e quanto que
sai.
A primeira parcela est´ relacionada ` compressibilidade do fluido. Se o
a a
fluido for incompress´ıvel, sua densidade n˜o muda, logo esta parcela ´ nula. Se
a e
o fluido ficar mais denso, ele passa a concentrar massa numa quantidade menor
de volume. A equa¸˜o mostra que mesmo havendo este fenˆmeno, a massa
ca o
que entra ´ a mesma que sai. Se o fluido se comprimir, ∂ρ ´ positivo, j´ que
e ∂t e a
ρ aumenta. Desta maneira, haver´ maior quantidade de massa na entrada do
a
volume num certo instante, assim o div(ρv) fica negativo, fazendo com que a
soma continue zero.
2
3. 2 Equa¸˜o de Euler
ca
Considere um volume de fluido. A for¸a total agindo neste volume se deve
c
a
` diferen¸a de press˜o
c a
− p · df
Lembrando que for¸a ´ press˜o (p) vezes elemento de ´rea (df ). Transfor-
c e a a
mando numa integral de volume
− p · df = − grad(p)dV
Lembrando que gradiente no sistema cartesiano tridimensional ´
e
∂u ∂u ∂u
u = grad(u) = ∂x i + ∂y j + ∂z k
Assim, o fluido exerce sobre o volume dV uma for¸a −grad(p)
c
Usando a segunda lei de newton para o movimento das part´ıculas, tem-se
for¸a igual acelera¸˜o
c ca
−grad(p) = ρ dv
dt
Esta equa¸˜o mostra que a for¸a ´ exercida num volume devido ` diferen¸a
ca c e a c
de press˜o e isso ´ mostrado no grad(p), em que ´ medido a varia¸˜o (grad) no
a e e ca
campo vetorial da press˜o (p).
a
O fator dv n˜o evidencia a varia¸˜o da velocidade do fluido num ponto fixo
dt a ca
do espa¸o, mas da part´
c ıcula fluida conforme ela se move no espa¸o. Ent˜o o
c a
sistema acompanha a part´ ıcula na abordagem Euleriana. Para estud´-lo, faz-se
a
uma an´lise de um observador fixo no espa¸o.
a c
Deste modo, a varia¸˜o da velocidade dv num tempo dt ´ divido em 2 partes:
ca e
a varia¸˜o da velocidade num ponto fixo no espa¸o e tamb´m na diferen¸a nas
ca c e c
velocidades (no mesmo instante) em dois pontos separados por uma distˆncia a
dr, em que dr ´ a distˆncia em que a part´
e a ıcula se moveu no tempo dt.
A primeira parte ´ a varia¸˜o da velocidade num ponto parado. Neste ponto
e ca
fixo, as part´ıculas podem mudar de velocidade num determinado tempo, ou seja,
a part´ıcula que passa por ali adquire aquela velocidade. Todavia, a part´ ıcula
n˜o continua com aquela velocidade necessariamente. Ent˜o a segunda parcela
a a
mede o quanto que variou a velocidade ap´s a part´
o ıcula ter se deslocado dr num
tempo dt.
A primeira parte ´ ∂v dt, em que ∂v ´ tomada para uma posi¸˜o x,y,z con-
e ∂t ∂t e ca
tante, isto ´, num ponto do espa¸o.
e c
A segunda parte ´ dx ∂x + dy ∂y + dz ∂v = (dr · grad)v
e ∂v ∂v
∂z
Assim,
∂v
dv = ∂t dt + (dr · grad)v
dividinto por dt
dv ∂v
dt = ∂t + (dv · grad)v
Substituindo na equa¸˜o do movimento
ca
−grad(p) = ρ dv
dt
3
4. −grad(p) = ρ[ ∂v + (v · grad)v]
∂t
1 ∂v
− ρ grad(p) = ∂t + (v · grad)v
Equa¸˜o de Euler
ca
4