Teoria de Flexão de Placas

Placas e Cascas

Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior

Placas

Placas

Placas e Cascas – 7641
3º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica

Pedro V. Gamboa - 2009

Placas e Cascas


1. Teoria de Flexão de Placas
• Uma placa é um corpo tridimensional com:
– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;
– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial é nula.

superfície média

Placas

• Exemplos de placas:
–
–
–
–
–

Tampos de mesa;
Tampas de esgoto;
Painéis laterais e telhados de edifícios;
Discos de turbinas;
Fundos de tanques.


Placas e Cascas


1.1. Introdução
• As placas podem ser classificadas em 3 grupos:
– Placas finas com deflexões pequenas;
– Placas finas com deflexões grandes;
– Placas espessas.

Placas

• Consideram-se placas finas quando a razão da sua espessura pelo
lado menor é inferior a 1/20;
• Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos externos
com as deformações, tensões e deslocamentos:
– Forças da superfície:
• Forças concentradas quando actuam num ponto;
• Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita.

– Forças do corpo:
• Forças que actuam noselementos volumétricos da placa;
• Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver
movimento, da inércia da placa.

Placas e Cascas


1.1. Introdução
• O primeiro estudo significativo das placas deu-se nos anos 1800;
• Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de
placas:
– A teoria fundamental:
• Navier;
• Kirchhoff;
• Lévy.

Placas

– Resoluções numéricas:
• Galerkin;
• Wahl.


Placas e Cascas


1.2. Comportamento Geral de Placas
Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide com o plano
médio sendo, assim, a defleção em z igual a zero.
As componentes do deslocamento num ponto nas direcções x, y e z são u, v e w,
respectivamente.

Placas

Quando, devido a carregamentos laterais, existe deformação, a superfície média
num ponto qualquer (xa,ya) tem defleção w.
Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões pequenas
(teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e finas) baseia-se na
geometria das deformações.



Placas

Placas e Cascas



Placas e Cascas


Hipótese de Kirchhoff (pressupostos fundamentais):
1.

Placas

2.
3.

4.

A deflexão da superfície média é pequena comparada com a
espessura da placa. O declive da superfície deflectida é, portanto,
muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado
com a unidade;
O plano médio permanece sem extensão após a flexão;
Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem
planas e normais à superfície após a flexão. Isto indica que as
extensões de corte verticais, γxz e γyz, são desprezáveis. A deflexão da
placa está, assim, principalmente associada às extensões de flexão.
Conclui-se que a extensão normal εz resultante do carregamento
transversal pode ser omitido.
A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as
outras componentes e pode ser despresada. Esta suposição torna-se
irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas.

Placas e Cascas


1.3. Relações Extensão-Curvatura
Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-se a geometria de
deformação.
Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-deslocamento
são
∂u
∂v
∂w
εx =
; εy =
; εz =
=0
∂x
∂y
∂z

Placas

γ xy =

∂u ∂v
∂w ∂u
∂w ∂v
+
; γ xz =
+
= 0 ; γ yz =
+ =0
∂y ∂x
∂x ∂z
∂y ∂z

onde γyx=γxy, γzx=γxz e γzy=γyz.
Integrando a equação de εz, tem-se
w = w( x, y )

indicando que a deflexão lateral não varia na espessura da placa.

Placas e Cascas


Da mesma forma, integrando as expressões de γxz e γyz tem-se
u = −z

∂w
∂w
+ u 0 ( x, y ) ; v = − z
+ v0 ( x, y )
∂x
∂y

Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam, respectivamente, os valores de
u e de v na superfície média.
Com base no pressuposto (2) conclui-se que u0=v0=0. Assim,
Placas

u = −z

∂w
∂w
; v = −z
∂x
∂y

Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3).
Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-se

ε x = −z

∂2w
∂2w
∂2w
; ε y = − z 2 ; γ xy = −2 z
2
∂x∂y
∂y
∂x

Placas e Cascas


A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de variação do ângulo
do declive da curva em relação à distância ao longo da curva.
Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser considerado
desprezável e as derivadas parciais das equações anteriores representam as
curvaturas da placa.

Placas

Assim, as curvaturas κ na superfície média em planos paralelos ao plano xz, yz e
xy são, respectivamente
1 ∂ ⎛ ∂w ⎞
= ⎜ ⎟ = κx
rx ∂x ⎝ ∂x ⎠

;

1 ∂ ⎛ ∂w ⎞
= ⎜ ⎟ =κy
ry ∂y ⎝ ∂y ⎠

;

1
∂ ⎛ ∂w ⎞
= ⎜ ⎟ = κ xy
rxy ∂x ⎝ ∂y ⎠

Onde κxy=κyx.
A última expressão também é conhecida como a torção do plano médio em
relação aos eixos x e y.


Placas

Placas e Cascas



Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem representar-se na
seguinte forma

ε x = − zκ x ; ε y = − zκ y ; γ xy = −2 zκ xy


Placas e Cascas


1.4. Tensões e Resultantes de Tensões
No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as extensões estão
relacionadas pela lei de Hook generalizada, válida para um material isotrópico
homogéneo:

εx =

1
1
1
[σ x −ν (σ y + σ z )] ; ε y = E [σ y −ν (σ x + σ z )] ; ε z = E [σ z −ν (σ x + σ y )]
E

Placas

γ xy =

τ xy
G

; γ xz =

τ xz
G

; γ yz =

τ yz
G

onde τyx=τxy, τzx=τxz e τzy=τyz.
E é o módulo elástico longitudinal, ν é o coeficiente de Poisson e G é o módulo
elástico transversal dado por
G=

E
2(1 + ν )


Placas e Cascas


Substituindo εz=γyz=γxz=0, obtém-se as relações tensão-extensão da placa fina:

σx =

E
(ε x −νε y ) ; σ y = E 2 (ε y −νε x ) ; τ xy = Gγ xy
1 −ν 2
1 −ν

Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com a forma
seguinte
2
2
Ez
⎜ 2
⎟
(κ x +νκ y ) = − Ez 2 ⎛ ∂ w +ν ∂ w ⎞
∂y 2 ⎟
1 −ν 2
1 −ν ⎜ ∂x
⎝
⎠
∂2w ⎞
Ez
Ez ⎛ ∂ 2 w
(κ y +νκ x ) = − 2 ⎜ 2 +ν 2 ⎟
σy =−
∂x ⎟
1 −ν 2
1 −ν ⎜ ∂y
⎝
⎠

Placas

σx = −

τ xy = −

Ez
Ez ∂ 2 w
κ xy = −
1 −ν
1 −ν ∂x∂y

Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia linearmente ao
longo da espessura da placa.

Placas e Cascas


As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem momentos flectores,
momentos torsores e forças de corte verticais.

Placas

Estes momentos e forças por unidade de comprimento são conhecidas por
resultantes de tensões.

Da figura, para a tensão σx, tem-se

∫

t 2

−t 2

zσ x dydz = dy ∫

t 2

−t 2

zσ x dz = M x dy


Placas e Cascas


Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes resultantes de
tensão
⎧Mx ⎫
⎧σ x ⎫
⎪
⎪ t2⎪ ⎪
⎨ M y ⎬ = ∫−t 2 ⎨σ y ⎬ zdz
⎪M ⎪
⎪τ ⎪
⎩ xy ⎭
⎩ xy ⎭
onde Mxy=Myx.

Placas

Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se
⎧Qx ⎫ t 2 ⎧τ xz ⎫
⎨ ⎬ = ∫−t 2 ⎨ ⎬dz
⎩τ yz ⎭
⎩Q y ⎭

É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o efeito das
deformações γxz=τxz/G e γyz=τyz/G na flexão, as forças verticais Qx e Qy não são
desprezáveis.

Placas e Cascas


Substituindo as equações das tensões em função dos deslocamentos nas
equações dos momentos podemos derivar as fórmulas dos momentos fletores e
torsores em função das curvaturas e deflexões

Placas

⎛ ∂2w
∂2w ⎞
M x = − D(κ x + νκ y ) = − D⎜ 2 + ν 2 ⎟
⎜ ∂x
∂y ⎟
⎠
⎝
2
2
⎛∂ w
∂ w⎞
M y = − D (κ y + νκ x ) = − D⎜ 2 + ν 2 ⎟
⎜ ∂y
∂x ⎟
⎠
⎝
M xy = − D(1 −ν )κ xy = − D(1 −ν )

∂2w
∂x∂y

onde D é a rigidez de flexção dada por
D=

Et 3
12(1 −ν 2 )

As forças de corte verticais Qx e Qy serão obtidas mais tarde.

Placas e Cascas


Substituindo as equações dos momentos nas equações das tensões pode obter-se
as tensões em função dos momentos
12 M y z
12 M xy z
12 M x z
; σy =
; τ xy =
σx =
3
3
t
t
t3
A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em z=±t/2) da placa.

Placas

Desta análise pode observar-se que existe um correspondência directa entre os
momentos e as tensões.
Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões e dos momentos
são análogas.
A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as tensões também se
aplicam aos momentos.
A determinação das tensões σz, τxz e τyz através da lei de Hook não é possível
porque não se relacionam com as extensões.

Placas

Placas e Cascas


As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa sujeito a um
estado de tensão genérico podem ser usadas para
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
+
=0
+
∂x
∂z
∂y
∂σ y ∂τ xy ∂τ yz
+
+
=0
∂y
∂x
∂z
∂σ z ∂τ xz ∂τ yz
+
=0
+
∂x
∂y
∂z
Das duas primeiras equações as tensões de corte τxz e τyz são, depois de integrar
t 2

⎞ ⎡ ∂ ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎤
⎛ ∂σ x ∂τ xy ⎞
E ⎛ t2
⎜ − z 2 ⎟ ⎢ ⎜ 2 + 2 ⎟⎥
+
⎟dz = −
2 ⎜
⎟
⎟ ∂x ⎜ ∂x
2(1 −ν )⎝ 4
∂y ⎟⎦
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎠
⎠⎣ ⎝

τ xz = ∫ ⎜
⎜
z

t 2

2
⎛ ∂σ x ∂τ xy ⎞
E ⎛ t2
∂ 2 w ⎞⎤
2 ⎞⎡ ∂ ⎛ ∂ w
+
⎟
⎟dz = − 2(1 −ν 2 )⎜ 4 − z ⎟ ⎢ ∂y ⎜ ∂x 2 + ∂y 2 ⎟⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
∂x ⎠
⎝ ∂y
⎠⎦
⎠⎣ ⎝
⎝

τ yz = ∫ ⎜
⎜
z


Placas e Cascas


Pode observar-se que as distribuições de τxz e τyz na espessura da placa variam
de acordo com uma lei parabólica.
A componente σz pode calcular-se usando a terceira equação de equilíbrio,
substituindo para τxz e τyz e integrando

Placas

σz = −

E ⎛ t 3 t 2 z z 3 ⎞ ⎡⎛ ∂ 2
∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞⎤
⎜ −
+ ⎟ ⎢⎜ 2 + 2 ⎟⎜ 2 + 2 ⎟⎥
2 ⎜
2(1 −ν )⎝ 12 4
3 ⎟ ⎣⎜ ∂x ∂y ⎟⎜ ∂x
∂y ⎟⎦
⎠
⎠⎝
⎠ ⎝

A tensão normal σz varia na forma de uma parábola cúbica ao longo da
espessura da placa.
Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4).
As tensões de corte na direcção z também são consideradas muito pequenas
quando comparadas com as outras tensões.


Placas e Cascas


1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa
As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes de tensão)
variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa carregada.
Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da estática.
O cumprimento destas condições estabelece certas relações conhecidas por
equações de equilíbrio.

Placas

Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um carregamento por unidade de
área uniformemente distribuído, p.


Placas e Cascas


Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor pequeno, no
carregamento p não afecta a precisão do resultado.
Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por simplicidade, assume-se
que as componentes de força e de momento estão distribuídas uniformemente
em cada uma das faces.

Placas

Na figura elas estão representadas por um vector único, representando os
valores médios, aplicado no centro de cada face.
Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda para a face
direita, a componente do momento Mx que actua na face negativa de x varia em
valor relativamente à face positiva de x. Esta variação pode ser representada por
uma série de Taylor truncada
Mx +

∂M x
dx
∂x


Placas e Cascas


Usa-se a derivada parcial pois Mx é função de x e y.
Trantando todas as componentes de forma similar, obtém-se o estado das
resultantes de tensão a partir da figura.
Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero obtém-se
∂Q
∂Qx
dxdy + y dxdy + pdxdy = 0
∂x
∂y

Placas

ou seja
∂Qx ∂Q y
+
+ p=0
∂x
∂y

O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por
∂M xy
∂M y
dxdy +
dxdy − Q y dxdy = 0
∂x
∂y

Placas e Cascas


ou
∂M xy
∂x

+

∂M y
∂y

− Qy = 0

Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p, foram omitidos.
Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y tem-se
∂M xy
Placas

∂y

+

∂M x
− Qx = 0
∂x

Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos em ordem às
forças por unidade de comprimento e substituíndo os resultados na equação do
equilíbrio da força anterior resulta em
∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
+2
+
= −p
∂x∂y
∂y 2
∂x 2

Placas e Cascas


Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de placas finas.
Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte verticais Qx e Qy
em função da deflexão w, usando as equações acima para Qx e Qy juntamente
com o resultado dos momentos da secção 1.4:

Placas

Qx = − D

∂
∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞
⎜
⎟ = − D (∇ 2 w)
+
⎟
∂x
∂x ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎠
⎝

Qy = − D

∂
∂ ⎛ ∂2w ∂2w ⎞
⎜
⎟ = − D (∇ 2 w)
+
⎟
∂y
∂y ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎠
⎝

onde
∇2 =

∂2
∂2
+ 2
2
∂x ∂y

é o operador de Laplace.

Placas e Cascas


Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de placas contém 3
incógnitas, Mx, My e Mxy, não é possível obter uma solução directamente.
Os problemas de placas são, internamente, estaticamente indeterminados.

Placas

Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as relações
momento-deslocamento.


Placas e Cascas


1.6. A Equação da Placa
A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser facilmente
derivada com base nos resultados obtidos anteriormente.
Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões para Mx, My e
Mxy tem-se
∂2w ⎞
∂2 ⎛ ∂2w ⎞
∂2w ⎞
∂2 ⎛ ∂2w
∂2 ⎛ ∂2w
⎜ 2 + ν 2 ⎟ − 2(1 −ν )D
⎜
2⎜
⎟
⎜ ∂x∂y ⎟ − D ∂y 2 ⎜ ∂y 2 + ν ∂x 2 ⎟ = − p
⎜
⎟
⎟
∂x∂y ⎝
∂y ⎠
∂x ⎝ ∂x
⎠
⎠
⎝
Agrupando os termos
0
∂4w ⎞ p
∂4w
∂4w ⎛ ∂4w
∂4w
∂4w
+ 2 2 2 + 4 +ν ⎜ 2 2 − 2 2 2 + 2 2 ⎟ =
⎜ ∂x ∂y
⎟
∂x ∂y ∂x ∂y ⎠ D
∂y
∂x ∂y
∂x 4
⎝

Placas

−D

e, finalmente
∂4w p
∂4w
∂4w
+2 2 2 + 4 =
D
∂y
∂x ∂y
∂x 4

Placas e Cascas


Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange em 1811, pode
ser escrita numa forma compacta
∇4w =

p
D

onde
∇ 4 = ∇ 2∇ 2 = (∇ 2 )
Placas

2

Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas finas.
Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as constantes de
integração dependentes das condições de fronteira apropriadas (ver secção
seguinte).
Esta equação também pode ser escrita em função das curvaturas:
∂ 2κ xy ∂ 2κ y p
∂ 2κ x
+2
+
=
D
∂x∂y ∂y 2
∂x 2

Placas e Cascas


Quando não esxiste carregamento lateral na placa a equação reduz para
∂4w
∂4w
∂4w
+2 2 2 + 4 =0
∂x 4
∂x ∂y
∂y

ou

Placas

∇4w = 0

Substituindo as equações das forças de corte verticais e a equação diferencial
para a deflexão nas equações das tensões τzx, τyx e σz obtém-se para estas tensões
2
⎞ 12(1 −ν )Qx 3Qx ⎡ ⎛ 2 z ⎞ ⎤
E ⎛ t2
⎜ − z2 ⎟
=
1− ⎜ ⎟ ⎥
τ xz =
⎢
⎟
2t ⎣ ⎝ t ⎠ ⎦
2(1 −ν 2 )⎜ 4
Et 3
⎠
⎝
2
⎞ 12(1 −ν )Q y 3Q y ⎡ ⎛ 2 z ⎞ ⎤
E ⎛ t2
⎜ − z2 ⎟
=
τ yz =
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎟
2t ⎣ ⎝ t ⎠ ⎦
2(1 −ν 2 )⎜ 4
Et 3
⎠
⎝
3
3
2
3
2
E ⎛t
t z z ⎞ 12(1 −ν ) p
3 p ⎡2 2z 1 ⎛ 2z ⎞ ⎤
⎜ −
=− ⎢ − + ⎜ ⎟ ⎥
σz = −
+ ⎟
2 ⎜
3
3⎟
4 ⎣3 t 3⎝ t ⎠ ⎦
2(1 −ν )⎝ 12 4
Et
⎠

Placas e Cascas


A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com secção rectangular,
ocorre em z=0, e pode ser representado pelas equações

τ xz ,max =

3Qx
2t

; τ yz ,max =

3Q y
2t

Placas

Assim, a chave para determinar as componentes da tensão, usando as fórmulas
derivadas, é a solução da equação diferencial da deflexão para w.
Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão é igualar a tensão
normal à placa ao carregamento superfical por unidade de superfície na
superfície superior da placa.
Assim, com z=t/2 e σz=-p, e usando a equação de σz tem-se
Et 3
∇4w = p
12(1 −ν 2 )


Placas e Cascas


É significativo notar que a soma das componentes do momento flector é
invariante.
Isto é

Placas

⎛ ∂2w ∂2w ⎞
M x + M y = − D(1 + ν )⎜ 2 + 2 ⎟ = − D(1 + ν )∇ 2 w
⎟
⎜ ∂x
∂y ⎠
⎝
Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por
M=

Mx + My

= − D∇ 2 w

1 +ν
as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na seguinte forma
Qx =

∂M
∂x

; Qy =

∂M
∂y


Placas e Cascas


Desta forma pode escrever-se a equação da placa em duas equações.
A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e a função
momento, é
∂2M ∂2M
+ 2 = −p
∂x 2
∂y

Placas

A segunda, usando a definição de função momento, é
∂2w ∂2w
M
+ 2 =−
2
∂x
∂y
D
Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais parciais de
segunda ordem que é por vezes preferível, dependendo do método de solução
usado.

Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode obter-se M da
primeira equação e depois a segunda equação fornece w.

Placas e Cascas


Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma forma que as
equações que descrevem a deflexão de uma membrana esticada uniformemente
e carregada lateralmente.

Placas

Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e problemas de
membrana, o que permite derivar inúmeras técnicas experimentais e técnicas
numéricas aproximadas.


Placas e Cascas


1.7. Condições de Fronteira
A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem que ser
satisfeita dentro da placa.
A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que acomode as
condições de equilíbrio em relação às forças ou deslocamentos impostos na
fronteira.

Placas

A solução da equação da placa requer que duas condições de fronteira sejam
satisfeitas em cada extremidade.
Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e momento, ou uma
combinação.
A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas a placas e as das
vigas é a existência de momentos torsores ao longo das extremidades da placa.
Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes.


Placas e Cascas


Vamos considerar as condições de fronteira de uma placa rectangular com
extremidades a e b paralelas aos eixos x e y, respectivamente.
Considerando dois comprimentos elementares sucessivos dy na extremidade
x=a, pode ver-se que, no elemento do lado direito actua um momento de torção
Mxydy, enquanto no do lado esquerdo actua um momento
xy

+ (∂M xy ∂y )dy ]dy .

Placas

[M


Placas e Cascas


Na figura os momentos estão representados como binários de forças
estaticamente equivalentes.

Placas

Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha a traço
interrompido, pode ver-se a força para cima Mxy e a força para baixo
M xy + (∂M xy ∂y )dy.
A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de corte Qx para
produzir uma força transversal efectiva, por unidade de comprimento, para uma
extremidade paralela ao eixo y, Vx.
Assim
V x = Qx +

∂M xy

⎛ ∂3w
∂3w ⎞
⎟dy
= − D ⎜ 3 + (2 − ν )
⎜ ∂x
∂y
∂x∂y 2 ⎟
⎠
⎝


Placas e Cascas


De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela ao eixo x, que
∂M xy

⎛ ∂3w
∂3w ⎞
= − D⎜ 3 + (2 −ν ) 2 ⎟dy
⎜ ∂y
∂x
∂x ∂y ⎟
⎠
⎝
As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de Mxy ao longo de
uma extremidade é estaticamente equivalente a uma dsitribuição de forças de
corte.
Placas

Vy = Qy +

Para além destas forças nas extremidades, também podem existir forças
concentradas, Fc, produzidas nos cantos.
Considerando, por exemplo, o caso de uma placa rectangular com carregamento
uniforme e com apoios simples nas extremidades, a acção dos momentos
torsores no canto (a,b) é, sabendo que Mxy=Myx,
Fc = 2 M xy = −2 D(1 −ν )

∂2w
∂x∂y

Placas e Cascas


O sinal negativo indica o sentido para cima.
Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que ter a mesma
magnitude e sentido em todos os cantos da placa.

Placas

Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita tendem a levantar.
As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes condições nas
extremidades podem ser obtidas de maneira similar; por exemplo, quando duas
extremidades adjacentes estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas
extremidades não existe momento torsor.
Agora, pode formular-se uma variedade de situações normalmente encontradas.
As consições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma placa retangular
com extremidades paralelas aos eixos x e y são descritas em seguida.


Placas e Cascas


Extremidade embutida ou encastrada:

Placas

Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na extremidade
considerada, isto é
∂w
w=0 ;
= 0 ; (x = a )
∂x


Placas e Cascas


Extremidade com apoio simples:
Neste caso, tem-se deflexão e momento flector igual a zero na extremidade em
questão. Assim
⎛ ∂2w
∂2w ⎞
w = 0 ; M x = ⎜ 2 +ν 2 ⎟ = 0 ; (x = a )
⎜ ∂x
∂y ⎟
⎠
⎝
A primeira destas equações implica que ao longo da
extremidade x=a

Placas

∂w
∂2w
=0 ;
=0
∂y
∂y 2

Desta forma as condições de fronteira podem ter a forma
equivalente
w=0 ;

∂2w
=0 ;
∂x 2

(x = a )


Placas e Cascas


Extremidade livre:
Neste caso, tem-se momento flector e força de corte vertical igual a zero na
extremidade em questão. Isto é

Placas

⎛ ∂2w
∂3w
∂ 3w
∂2w ⎞
⎜ 2 +ν 2 ⎟ = 0 ;
+ (2 − ν )
=0 ;
⎟
⎜ ∂x
∂x 3
∂x∂y 2
∂y ⎠
⎝


(x = a )

Placas e Cascas


Extremidade deslisante:
Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente, mas a rotação não
é permitida. O apoio não é capaz de resistir a qualquer força de corte. Logo

(x = a)

Placas

∂w
∂3w
∂3w
=0 ;
+ (2 − ν )
=0 ;
3
∂x
∂x
∂x∂y 2


Placas e Cascas


Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de forma idêntica.
Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de dois tipos básicos:
-Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve
constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão ou declive;

Placas

-Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou
momentos) nas extremidades da placa às forças de corte externas (ou
momentos) dadas.
Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições são cinemáticas;
numa extremidade livre as duas condições são estáticas; nas extremidades de
apoio simples e deslizante as consições são mistas.
Em vez de especificar consições de fronteira homogéneas, é possível especificar
outros valores de corte, momento, rotação ou deslocamento.
Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são representadas
substituindo os zeros das condições acima por valores especificados.

Placas e Cascas


1.8. Solução da Deflexão de Placas
Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de placas apenas com
dificuldade considerável.
É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste método, parte-se
de uma solução assumida para w que satisfaça a equação fundamental e as
condições de fronteira.

Placas

Alguns casos podem ser analisados com a utilisação de polinómios para w em x
e y com coeficientes indeterminados.
Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma aceitável.
O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em que, tendo
obtido uma solução para o carregamento sinusoidal, qualquer outro
carregamento pode ser analisado através de séries infinitas.
Este método apresenta uma vantagem importante que consiste no facto de uma
única expressão ser aplicada em toda a superfície da placa.


Placas e Cascas


Os métodos de energia devem ser usados na análise de casos gerais.
Estes podem ser aplicados para a obtenção de uma solução, muitas vezes na
forma de séries infinitas.
Estes dois métodos têm duas funções:

Placas

-Podem fornecer soluções “exactas” quando as configurações do
carregamento e geoemtria são simples;
-Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através da análise
numérica aplicada a problemas mais reais.
Outro método usado para resolver a equação da placa é o método das diferenças
finitas. Neste caso as equações são substituídas por expressões de diferenças
finitas que relacionam w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito.
As equações, neste caso, só podem ser resolvidas numericamente.


Placas e Cascas


Exemplo 1.1

Placas

Determine a deflexão e a tensão numa placa rectangular muito comprida e
estreita (a>>b) que tem apoios simples nas extremidades y=0 e y=b nas
seguintes condições:
a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por
πy
p( y ) = p0 sin
b
onde a constante p0 representa a intensidade do carregamento ao longo da linha
y=b/2, paralela ao eixo x;
b) A placa suporta um carregamento uniforme de p0.


Placas e Cascas


Exemplo 1.2
Uma placa rectangular de um poço de elevador está sujeita a momentos
flectores uniformemente distribuídos Mx=Mb e My=Ma, aplicados ao longo das
suas extremidades.
Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos seguintes casos:
a) Ma=Mb;

Placas

b) Ma=-Mb.


Placas e Cascas


1.9. Métodos de Energia de Extensão
Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da deformação e da
tensão num corpo elástico pode ser feita através de métodos de energia.
Estas duas técnicas são, respectivamente, análises newtoniana e lagrangiana da
mecânica.

Placas

Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação fundamental de um
corpo elástico pode ser derivada através da minimização da energia associada à
deformação e ao carregamento.
Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem formas irregulares,
carregamentos não uniformes, secções transversais variáveis e materiais
anisotrópicos.
Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso de placas finas.


Placas e Cascas


A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico, para um estado de
tensão genérico, é dado por
U=

1
(σ xε x + σ yε y + σ zε z + τ xyγ xy + τ xzγ xz + τ yzγ yz )dxdydz
2 ∫∫∫
V

A integração extende-se a todo o volume do corpo.

Placas

Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas σz, γxz e γyz podem
ser omitidos.
Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à seguinte forma,
que envolve apenas tensões e constantes elásticas,
U=

τ xy ⎤
⎡ 1
1
1
∫∫∫ ⎢σ x E (σ x −νσ y ) + σ y E (σ y −νσ x ) + τ xy G ⎥ dxdydz
2 V ⎣
⎦


Placas e Cascas


ou
1 2⎤
⎡ 1
2
2
U = ∫∫∫ ⎢ (σ x − 2νσ xσ y + σ x ) +
τ xy dxdydz
2E
2G ⎥
⎦
V ⎣

Placas

Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser escrita em
termos da deflexão w com a ajuda das equações que relacionam a tensão com a
deflexão. Assim,
2
2
2
⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞
⎛ ∂2w ⎞ ⎤ 2
1 ⎛ E ⎞ ⎡⎛ ∂ 2 w ⎞
⎟ + 2ν ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + 2(1 −ν )⎜
U = ∫∫∫ ⎜
⎟ ⎢⎜
⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ z dxdydz
⎟
2 V ⎝ 1 −ν 2 ⎠ ⎢⎜ ∂x 2 ⎟
⎠
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥
⎣⎝
⎦

Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se
2
⎡⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2
⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞
⎛ ∂2w ⎞ ⎤
1
U = ∫∫ D ⎢⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + 2ν ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ + 2(1 −ν )⎜
⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ dxdy
⎟
2 A ⎢⎜ ∂x ⎟ ⎜ ∂y ⎟
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠ ⎥
⎣⎝
⎦

onde A representa a área da superfície da placa.

Placas e Cascas


Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na forma
U=

⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ 2
⎡⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎤ ⎫
1
⎪
⎪
D ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν )⎢⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ − ⎜
⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ ⎬dxdy
⎟
2 ∫∫ ⎪⎜ ∂x
∂y ⎟
⎠
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎥⎪
⎢⎝
A
⎣
⎦⎭
⎩⎝

O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura gaussiana.

Placas

Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não linear
(quadrática) da deformação ou tensão.
Desta forma, o princípio da superposição não é válido para a energia de
extensão.
Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de energia e de vários
métodos de elementos finitos.
Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de extensão baseados
na energia potencial e na variação da deformação dum corpo elástico.

Placas e Cascas


Princípio do trabalho virtual
Suponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento incremental
arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual.
Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco ser infinitesimal.

Placas

Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é prática comum, é
razoável considerar que o sistema de forças que actua no corpo é constante.
O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por unidade de área no
corpo no processo de levar o corpo do seu estado inicial para o estado de
equilíbrio é

δW = ∫ (Txδu + Tyδv + Tzδw)dA
A

Aqui A é a área limite da superfície e δu, δv e δw são os deslocamentos virtuais
nas direcções x, y e z, respectivamente.

Placas e Cascas


A notação δ indica uma variação de um parâmetro.
A energia de extensão δU adquirida por um corpo de volume V como resultado
da extensão virtual

δU =

1
∫ (σ xδε x + σ yδε y + σ zδε z + τ xyδγ xy + τ xzδγ xz + τ yzδγ yz )dV
2V

Placas

O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é zero, ou

δU − δW = 0
Assim, o princípio do trabalho virtual de um corpo elástico é

δU = δW


Placas e Cascas


Princípio da energia potencial mínima
Desde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do corpo e que as
forças de superfície sejam consideradas constantes a equação anterior pode ser
escrita na seguinte forma:

δΠ = δ (U − W ) = 0
Nesta expressão
Placas

Π = U −W

representa a energia potencial do corpo.
A primeira equação representa a condição de energia potencial estacionária do
sistema.
Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser mínima.
Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de fronteira e as
condições de equilíbrio, a energia potencial assume um valor mínimo.

Placas e Cascas


Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima.
A energia potencial guardada numa placa sujeita a um carregamento lateral
distribuído p(x,y) é
Π=

1
(σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dxdydz − ∫∫ ( pw)dxdy
2 ∫∫∫
V
A

Placas

No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação pode ser escrita
Π=−

1
(M xκ x + M yκ y + M xyκ xy )dxdy − ∫∫ ( pw)dxdy
2 ∫∫
A
A

Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima.
Como ∂2w/∂x2=κx representa a curvatura da placa no plano xy, o ângulo que
corresponde ao momento Mxdy é igual a –(∂2w/∂x2)dx.
A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento Mx é então 0.5Mxκxdxdy.

Placas e Cascas


A energia de extensão resultante dos momentos Mydx e Mxydy são interpretados
da mesma forma.
O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma:
1
(M xδκ x + M yδκ y + M xyδκ xy )dxdy − ∫∫ ( pδw)dxdy
2 ∫∫
A
A

Placas

δΠ = −


Placas e Cascas


Método de Ritz
O método de Ritz é um procedimento conveniente para determinar soluções
com o princípio da energia potencial mínima.
Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas.
Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de uma série que
contém os parâmetros indeterminados amn (m,n=1,2,...).

Placas

A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de fronteira geométricas.
As condições de fronteira estáticas não precisam de ser respeitadas.
Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da deflexão é importante
para que se obtenha uma solução precisa.
Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja quase idêntica à
verdadeira superfície deflectida da placa.


Placas e Cascas


Depois, usando a solução seleccionada, determina-se a energia potencial Π em
termos de amn.
Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que se ter
∂Π
∂Π
= 0,K,
=0
∂a11
∂amn

Placas

Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são resolvidas para
os parâmetros amn.
Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida para a deflexão,
obtém-se a solução para um dado problema.
Geralmente, amn inclui um número finito de parâmetros e, por isso, os resultados
finais são apenas aproximados.
Obviamente, se o w assumido for “exacto”, a solução também será “exacta”.


Placas e Cascas


As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser relativamente
fácil tratar problemas com diferentes condições de fronteira nas extremidades da
placa.
Este método, é assim, um dos mais simples para resolver deflexões de placas e
cascas através de uma calculadora.

Placas

A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas de flexão, de
tracção e de instabilidade em placas e cascas serão apresentadas mais tarde.


Placas

Placas e Cascas


2. Placas Rectangulares
2.1. Introdução
• Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em placas
rectangulares finas.
• Como visto no capítulo anterior o elemento de placa rectangular é
um modelo excelente para desenvolver relações básicas em
coordenadas cartesianas.
• Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão
frequentemente levam a soluções na forma de séries que não são
viáveis para cálculos manuais de valores numéricos.
• Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos por
séries infinitas complicadas.
• Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por um
computador.

Placas e Cascas


2.1. Introdução
• As placas rectangulares são, geralmente, classificadas de acordo com
o tipo apoios usados:

Placas

–
–
–
–
–

Placas com apoios simples;
Placas encastradas ou embutidas;
Pacas com mistura de condições de apoio;
Placas em fundações elásticas;
Placas contínuas:
• Estas placas normalmente consistem em placas isoladas suportadas por
vigas ou colunas intermédias.


Placas e Cascas


2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)
(Placa Rectangular com Apoios Simples)
Considere uma placa rectangular de lados a e b com apoios simples em todas as
extremidades e sujeito a um carregamento p(x,y).

Placas

A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo como mostra
a figura.


Placas e Cascas


Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de Fourier
seguintes para a carga e deflexão:
∞ ∞
mπx
nπy
p( x, y ) = ∑∑ pmn sin
sin
a
b
m =1 n =1
∞

∞

w( x, y ) = ∑∑ amn sin
m =1 n =1

mπx
nπy
sin
a
b

Placas

onde pmn e amn representam os coeficientes a determinar.
Este método foi introduzido por Navier em 1820.
As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a deflexão de placas
com as seguintes condições de fronteira
∂2w
w=0
= 0 ( x = 0, x = a )
∂x 2
∂2w
w=0
= 0 ( y = 0, y = b )
∂y 2

Placas e Cascas


Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão cumpre estes
constrangimento e que os coeficientes amn têm que satisfazer a equação
diferencial da deflexão.
A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim, que se
determine pmn e amn.

Placas

Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície deflectida
verdadeira da placa é uma superposição de curvas sinusoidais de m e n
configurações diferentes nas direcções x e y, respectivamente.
Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais máximas das curvas
seno e os m’s e os n’s indicam o número de meias curvas seno nas direcções x e
y, respectivamente.
Por exemplo, o termo a12sin(πx/a)sin(2πy/b) está ilustrado na figura.
Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão do resultado.


Placas e Cascas


Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte forma.
Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do carregamento é
multiplicado por
sin

m′πx
n′πy
sin
dxdy
a
b

e integrado entre os limites 0,a e 0,b:
b a

Placas

m′πx
n′πy
sin
dxdy
a
b
∞ ∞
b a
mπx
nπy
m′πx
n′πy
sin
sin
sin
dxdy
= ∑∑ pmn ∫ ∫ sin
0 0
a
b
a
b
m =1 n =1

∫0 ∫0 p(x, y )sin


Placas e Cascas


Pode mostrar-se por integração directa que

(m ≠ m′)
(m = m′)
b
⎧ 0 (n ≠ n′)
mπy
m′πy
∫0 sin b sin b dy = ⎨b 2 (n = n′)
⎩
a

∫ sin
0

⎧ 0
mπx
m′πx
dx = ⎨
sin
a
a
⎩a 2

Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são
Placas

pmn =

mπx
4 b a
nπy
∫0 ∫0 p( x, y )sin a sin b dxdy
ab

O cálculo de amn na equação de w requer que se substituam as equações de p e
de w na equação diferencial de deflexão da placa, o que dá
∞

∞

⎧
⎪

2
2
4
⎫
⎡ mπ ⎞ 4
nπy
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ ⎤ pmn ⎪ mπx
sin
=0
⎟ + 2⎜
⎟ ⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥−
⎬ sin
a
b
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦ D ⎪
⎣ a ⎠
⎭

⎜
∑∑ ⎨amn ⎢⎛
⎝
m =1 n =1 ⎪
⎩


Placas e Cascas


Esta equação tem que ser válida para todos os x e y.
Então conclui-se que
2
2
4
⎡⎛ m ⎞ 4
⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎤ p
amnπ 4 ⎢⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − mn = 0
⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝b⎠ ⎦ D
⎣⎝ a ⎠

ou

Placas

2

⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤
p
amnπ 4 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ − mn = 0
D
⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎦
⎣

Daqui, resolvendo em ordem a amn, tem-se
amn =

pmn
2
⎡ m 2
n ⎤
π D ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦
4


2

Placas e Cascas


Finalmente, substituindo este resultado na equação do w, obtém-se a equação de
superfície de deflexão da placa.
w=

pmn
1 ∞ ∞
mπx
nπy
sin
sin
∑∑
π 4 D m=1 n=1 ⎡⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ 2
a
b
⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦

Placas

onde pmn já foi obtido anteriormente.
Pode observar-se que, sendo |sin(mπx/a)|≤1 e |sin(nπy/b)|≤1 para todos os x e y
e m e n, a série é convergente.
Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de placas
rectangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de carregamento.
Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do método de Navier
para casos particulares.

Placas e Cascas


2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)
(Vários Carregamentos)
Quando uma placa rectangular está sujeita a um carregamento uniformemente
distribuído p(x,y)=p0, os resultados da secção anterior são um pouco
simplificados.
A equação do pmn depois da integração dá
pmn =

4 p0
(1 − cos mπ )(1 − cos nπ )
π 2 mn

Placas

ou
pmn =

4 p0

π 2 mn

[1 − (− 1) ][1 − (− 1) ]
m

n

ou aínda
pmn =

16 p0

π 2 mn

(m, n = 1,3,K)

Como pmn=0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores ímpares.

Placas e Cascas


Substituindo pmn na equação de amn, obtém-se
w=

16 p0 ∞ ∞
∑∑
π 6D m n

1
2 2

⎡ m
n ⎤
mn ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦
2

sin

mπx
nπy
sin
a
b

(m, n = 1,3,K)

Placas

Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que deflectir numa
forma simétrica.
Esta configuração resulta quando m e n são ímpares.
A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o seu valor é
w=

16 p0 ∞ ∞
∑∑
π 6D m n

1
2 2

⎡ m
n ⎤
mn ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦
2

sin

mπ
nπ
sin
2
2


Placas e Cascas


ou
m −1

n −1

(− 1) 2 (− 1) 2

16 p ∞ ∞
w = 6 0 ∑∑
π D m n

2

Placas

2
⎡ m 2
n ⎤
mn ⎢⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦
As componentes do momento obtém-se substituindo a equação acima nas
equações dos momentos.

Assim
2

2

⎛m⎞
⎛n⎞
⎜ ⎟ +ν ⎜ ⎟
mπx
nπy
16 p0 ∞ ∞ ⎝ a ⎠
⎝b⎠
M x = 4 ∑∑
sin
sin
2
2 2
a
b
π m n
⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤
mn ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦


Placas e Cascas


2

My =

16 p0

π

Placas

M xy = −

4

∞

∞

∑∑
m n

m
n
ν⎛ ⎞ +⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2

mπx
nπy
⎝ a ⎠ ⎝b⎠
sin
sin
2
2 2
a
b
⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤
mn ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦

mπx
nπy
16(1 −ν ) ∞ ∞
1
cos
cos
∑∑
4
2
2 2
π ab m n ⎡⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ ⎤
a
b
⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎣⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎦

Pode observar-se que os momentos flectores Mx e My são zero em (x=0,x=a) e
(y=0,y=b), respectivamente.
No entanto, o momento torsor Mxy não desaparece nas extremidades nem nos
cantos da placa.


Placas e Cascas


A presença de Mxy causa uma alteração da distribuição das reacções nos
suportes.

Placas

Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite considerar a
distribuição de tensão inalterada em secções distantes das extremidades e
cantos.


Placas e Cascas


Exemplo 2.1
Um painel de parede quadrado, sujeito a um diferencial de pressão p0, pode
considerar-se que tem apoios simples em todas as suas extremidades.
Determine:
a) A deflexão máxima;
b) O momento máximo;

Placas

c) A tensão máxima.


Placas e Cascas


Exemplo 2.2
Um painel do chão de um armazém de lados a e b tem apoios simples em todas
as extremidades.
Determine as reacções nos apoios assumindo que o material está distribuído
pelo chão todo por forma a criar o seguinte caregamento

Placas

p( x, y ) = p0 sin

πx
a

sin

onde p0 representa a intensidade da carga no
centro da placa, como mostra a figura.


πy
b

Placas e Cascas


Exemplo 2.3
Determine as equações da superfície elástica de uma placa rectangular com
apoios simples em duas situações:
a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente numa área 4cd;

Placas

b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1.


Placas e Cascas


2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)
(Placa Rectangular)
Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos flectores com o método
de Navier tem um convergência lenta com o aumento do número de termos da
série.
Um método importante que resolve este problema foi desenvolvido por Lévy
em 1900.

Placas

Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma série dupla usase uma série única.
Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries únicas do que com
séries duplas.


O método de Lévy é aplicável à flexão de placas rectangulares com condições
de fronteira particulares em duas axtremidades opostas (por exemplo, x=0 e
x=a) e condições de fronteira arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2).

Placas

Placas e Cascas



Placas e Cascas


A solução total consiste na solução homogénia wh da equação
∂4w
∂4w
∂4w
+2 2 2 + 4 =0
4
∂x
∂x ∂y
∂y

e da solução particular wp da equação

Placas

∂4w
∂4w
∂4w p
+2 2 2 + 4 =
4
∂x
∂x ∂y
∂y
D

com a seguinte forma
w = wh + w p


Placas e Cascas


Uma vez que
∇ 4 wh = 0

é independente do carregamento, pode derivar-se uma única expressão para wh
que seja válida para placas rectangulares com duas condições de fronteira
particulares em dois lados opostos.

Placas

Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter uma solução
para wp.
A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte
⎧ mπx
⎪ sin a
wh = ∑ f m ( y )⎨
mπx
m =1
⎪cos
⎩
a
∞

onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições nos apoios em
y=±b/2 e satisfazer a equação acima.

Placas

Placas e Cascas


Vamos descrever o método assumindo que os lados opostos da placa
rectangular em x=0 e x=a têm apoios simples como mostra a figura.

Neste caso a equação anterior fica
∞

wh = ∑ f m ( y )sin
m =1

mπx
a

Esta equação cumpre as condições de fronteira para apoios simples nas
extremidades ao longo de x.

Placas e Cascas


Para completar a solução, temos que aplicar as condições de fronteira nos dois
lados arbitrários com y=±b/2.
Substituíndo a equação de wh em ∇4w=0, tem-se
∞

2
4
2
⎤ mπx
⎡d 4 fm
⎛ mπ ⎞ d f m ⎛ mπ ⎞
=0
+⎜
⎟
⎟ f m ⎥ sin
⎢ 4 − 2⎜
2
a
⎝ a ⎠ dy
⎝ a ⎠
K ⎣ dy
⎦

∑
m 1, 3,
=

Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que
4

2

Placas

2
d 4 fm
⎛ mπ ⎞ d f m ⎛ mπ ⎞
− 2⎜
+⎜
⎟
⎟ fm = 0
2
4
dy
⎝ a ⎠ dy
⎝ a ⎠

A solução geral desta equação é
′
f m = Am e

mπy
a

′
+ Bm e

−

mπy
a

′
+ Cm ye

mπy
a

′
+ Dm ye

−

mπy
a


Placas e Cascas


Ou usando identidades trigonométricas

f m = Am sinh

mπy
mπy
mπy
mπy
+ Bm cosh
+ Cm y sinh
+ Dm y cosh
a
a
a
a

A solução homogénea fica, assim,

Placas

∞
mπy
mπy
mπy
mπy ⎞
mπx
⎛
+ Bm cosh
+ Cm y sinh
+ Dm y cosh
wh = ∑ ⎜ Am sinh
⎟ sin
a
a
a
a ⎠
a
m =1 ⎝

Onde Am, Bm, Cm e Dm são constantes que serão determinadas mais tarde para
casos especificados.
Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios simples são
respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução particular for expressa com
a série de Fourier única
∞
mπx
w p = ∑ k m ( y )sin
a
m =1
onde km(y) são funções de y apenas.

Placas e Cascas


Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier
∞

p( x, y ) = ∑ pm ( y )sin
m =1

mπx
a

onde

Placas

pm ( y ) =

2 a
mπx
dx
p( x, y )sin
a
a ∫0

Substituindo para wp e p(x,y) na equação ∇4w=p(x,y)/D e notando a validade da
expressão resultante para todos os valores de x entre 0 e a, obtém-se
4

2

2
d 4 km
p
⎛ mπ ⎞ d k m ⎛ mπ ⎞
− 2⎜
+⎜
⎟
⎟ km = m
2
4
dy
D
⎝ a ⎠ dy
⎝ a ⎠

Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação diferencial
ordinária, pode calcular-se wp.
O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico.

Placas e Cascas


Placa Rectangular com Apoios Simples e Carregamento Uniforme
Neste caso p(x,y)=p0 pelo que a equação de pm(y) fica
4p
pm = 0 (m = 1,3,K)
mπ
Logo, a equação de km fica
4

2

Placas

2
d 4 km
4 p0
⎛ mπ ⎞ d k m ⎛ mπ ⎞
− 2⎜
+⎜
⎟
⎟ km =
2
4
dy
mπD
⎝ a ⎠ dy
⎝ a ⎠

A solução particular desta equação é
km =

4 p0 a 4
m 5π 5 D

A solução para wp fica, então,
wp =

4 p0 a 4 ∞ 1
mπx
∑1 m5 sin a
5
π D m=

Placas e Cascas


Esta solução representa a deflexão de uma tira com carregamento uniforme com
apoios simples e paralela ao eixo x.

Placas

Também pode ser escrita na seguinte forma
p
w p = 0 (x 4 − 2ax 3 + a 3 x )
24 D
A condição que diz que a deflexão da placa tem que ser simétrica em relação ao
eixo x (tem que ter os mesmos valores para –y e +y) é satisfeita pela equação de
wh se Am=Dm=0.
Depois, adicionando a contribuição de wp tem-se
w=

∞

⎛

∑ ⎜ Bm cosh
⎜
m =1, 3,K
⎝

mπy 4 p0 a 4 ⎞ mπx
mπy
+ Cm y sinh
+ 5 5 ⎟ sin
a
a
a
m π D⎟
⎠

Esta equação satisfaz a equação fundamental da flexão de placas e as condições
de apoios simples em x=0 e x=a.

Placas e Cascas


As condições de fronteira em falta são
w=0

∂2w
b⎞
⎛
=0 ⎜y=± ⎟
2
∂y
2⎠
⎝

Se aplicarmos estas condições à equação de w obtém-se duas expressões, que
serão satisfeitas para todos os x se

Placas

4 p a4
b
Bm cosh α m + Cm sinh α m + 5 0 5 = 0
2
mπ D
⎛ Bmα m
⎞
2⎜
+ Cm ⎟ cosh α m + Cmα m sinh α m = 0
⎝ b
⎠

onde

αm =

mπb
2a


Placas e Cascas


A solução destas equações dá a seguintes constantes
Bm =

4 p0 a 4 + mπp0 a 3b tanh α m
m 5π 5 D cosh α m
Cm =

2 p0 a 3
m 4π 4 D cosh α m

Placas

A deflexão da superfície da placa pode, desta forma, ser escrita
4 p0 a 4
π 5D
∞
mπy
1 ⎛ α tanh α m + 2
2α y
1
2α y ⎞ mπx
∑,K m5 ⎜1 − m2 cosh α cosh bm + 2 cosh α a sinh bm ⎟ sin a
⎜
⎟
m =1, 3
⎝
⎠
m
m
w=


Placas e Cascas


A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=0), tomando o valor de
m −1

wmax

4 p a 4 ∞ (− 1) 2
= 50
∑
π D m=1,3,K m5

⎛ α m tanh α m + 2 ⎞
⎜1 −
⎟
⎜
2 cosh α m ⎟
⎝
⎠

Uma vez que
m −1

(− 1) 2

∞

∑
m 1, 3,
Placas

=

K

m

5

=

5π 5
29 × 3

a deflexão máxima da placa fica com a forma seguinte
m −1

wmax

5 p a 4 4 p a 4 ∞ (− 1) 2 α m tanh α m + 2
= 0 − 50
∑
384 D π D m=1,3,K m5
2 cosh α m

O primeiro termo representa a deflexão máxima wmax do meio de uma tira com
apoios simples e carregamento uniforme.

Placas e Cascas


O segundo termo é uma série de convergência rápida.
Por exemplo, no caso de uma placa quadrada (a=b e αm=mπ/2), a deflexão
máxima é
p a4
5 p0 a 4 4 p0 a 4
− 5 (0.68562 − 0.00025 + L) = 0.00406 0
D
384 D π D
Pode ver-se que, mesmo mantendo apenas o primeiro termo da série, a solução
obtida é precisa até ao terceiro algarismo significativo.

Placas

wmax =

Introduzindo a notação na equação da deflexão máxima
m −1

5
4 ∞ (− 1) 2 α m tanh α m + 2
δ1 =
− 5 ∑
384 π m=1,3,K m 5
2 cosh α m

pode escrever-se
wmax = δ1

p0 a 4
D

a
⎛
⎞
⎜ x = , y = 0⎟
2
⎝
⎠


Placas e Cascas


De uma forma idêntica à secção anterior podem derivar-se expressões para os
momentos, forças de corte e tensões da placa.
Os momentos máximos na placa também se podem escrever na forma
a
⎛
⎞
⎜ x = , y = 0⎟
2
⎝
⎠
Valores numéricos para os coeficientes δ1, δ2 e δ3 são mostrados na tebela para
várias razões de aspecto b/a. Pode ver-se que, à medida que b/a aumenta, wmax e
Mx,max aumentam enquanto My,max diminui.

Placas

M x ,max = δ 2 p0 a 2

M y ,max = δ 3 p0 a 2


Placas e Cascas


Exemplo 2.4
Uma janela de um prédio alto, é aproximada por uma placa rectangular com 3
extremidades com apoios simples e 1 encastrada. A placa está sujeita a um
carregamento uniforme devido ao vento de intensidade p0.

Placas

Derive uma expressão para a deflexão da superfície.


Placas e Cascas


Exemplo 2.5
Um carregamento uniforme p0 actua numa varanda rectangular com apoios
simples nos lados opostos x=0 e x=a, com o lado y=b livre e a extremidade y=0
encastrada.

Placas

Descreva a derivação da expressão para a deflexão w.


Placas e Cascas


Exemplo 2.6
Derive uma expressão para a superfície deflectida de um painel de chão muito
longo e estreito sujeito a um carregamento uniforme p0.

Placas

Assumir que x=0, x=a e y=0 têm apoios simples.


Placas e Cascas


2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)
(Carregamentos Não Uniformes)
Vamos aplicar o método de Lévy a casos de placas rectangulares com
carregamentos não uniformes que são apenas função de x.
Assumindo que as extremidades x=0 e x=a têm apoios simples, o carregamento
é expresso com a série de Fourier
∞
mπx
p( x ) = ∑ pm sin
a
m =1, 2 ,K

Placas

onde
pm =

2 a
mπx
dx
p( x )sin
a
a ∫0

Usando o procedimento da secção 2.4 obtém-se
wp =

∞
p
a4
mπx
∑,K mm4 sin a
4
π D m=1, 2


Placas e Cascas


Esta expressão representa a deflexão de uma tira sujeita a um carregamento p(x)
e satisfaz a equação ∇4w=p(x)/D bem como as condições de fronteira de apoios
simples em x=0 e x=a.
Assumindo que as duas extremidades arbitrárias y=±b/2 também têm apoios
simples .
A expressão total da deflexão fica

Placas

w=

⎛
mπy
mπy
p a 4 ⎞ mπx
⎜ Bm cosh
+ Cm y sinh
+ 4m 4 ⎟ sin
∑ ⎜
a
a
a
m π D⎟
m =1, 2 ,K ⎝
⎠
∞

Onde as constantes Bm e Cm são determinadas com as condições em y=±b/2:
w=0 e ∂2w/∂y2=0.
Assim
w=

∞
1
a4
p ⎛ α tanh α m + 2
mπy
mπy
mπy ⎞ mπx
∑,K mm4 ⎜1 − m2 cosh α cosh b + 2 cosh α a sinh b ⎟ sin a
4
⎜
⎟
π D m=1, 2
⎝
⎠
m
m


Placas e Cascas


onde αm=mπb/2, como
anteriormente.
Introduzindo uma dada distribuição
de p(x) pode obter-se pm e depois
calcular-se w.

Placas

Os momentos e tensões são
determinadas pela forma usual.
Valores de pm para alguns casos de
distribução de p(x) estão mostrados
na figura.


Placas e Cascas


Por exemplo, considere-se a flexão de uma placa caregada hidrostaticamente:
2p
mπx
2 apx
m +1
(m = 1,2,K)
dx = 0 (− 1)
pm = ∫ 0 sin
0 a
a
mπ
a
Esta equação juntamente com a anterior representa a deflexão.
Considerando uma placa quadrada (a=b), a deflexão no centro da placa
(x=a/2,y=0) é
p0 a 4
D
Este resultado é metade da deflexão de uma placa rectangular com apoios
simples sujeita a um carrgamento uniforme.

Placas

w = 0.00203


Placas e Cascas


2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas
Vamos considerar uma placa rectangular com apoios simples em todas as
extremidades sujeita a momentos distribuídos simétricos em y=±b/2.
Descrevendo os momentos pela série de Fourier
∞

f ( x ) = ∑ M m sin

b⎞
⎛
⎜y=± ⎟
2⎠
⎝

Placas

m =1

mπx
a


Placas e Cascas


Nesta expressão, Mm representa os coeficientes a determinar
mπx
2 a
M m = ∫ f ( x )sin
dx
0
a
a
As condições de fronteira são
∂2w
=0
∂x 2

w=0

Placas

w=0
−D

∂2w
= f (x )
∂y 2

( x = 0, x = a )
b⎞
⎛
⎜y=± ⎟
2⎠
⎝
b⎞
⎛
⎜y=± ⎟
2⎠
⎝

Para se obter a solução deste problema é necessário assumir que a superficie de
deformação tem a forma já obtida anteriormente
∞
⎛
mπy 4 p0 a 4 ⎞ mπx
mπy
+ Cm y sinh
+ 5 5 ⎟ sin
w = ∑ ⎜ Bm cosh
⎜
a
a
a
m π D⎟
m =1, 3,K ⎝
⎠

Placas e Cascas


Com p0=0 e m=1,2,3,..., isto é
mπy
mπy ⎞ mπx
⎛
+ Cm y sinh
w = ∑ ⎜ Bm cosh
⎟ sin
a
a ⎠
a
m =1 ⎝
∞

Esta equação cumpre a equação ∇4w=p/D e as primeiras condições de fronteira,
como já foi visto.

Placas

As segundas condições de fronteira são satisfeitas quando w=0.
Colocando αm=mπb/2a, como anteriormente, tem-se
b
Bm cosh α m + Cm sinh α m = 0
2

de onde se tira
b
Bm = −Cm tanh α m
2

Placas e Cascas


Agora, a equação da deflexão fica
∞
mπy b
mπy ⎞ mπx
⎛
− tanh α m cosh
w = ∑ Cm ⎜ y sinh
⎟ sin
2
a
a ⎠
a
⎝
m =1

Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira
condição de fronteira tem-se
mπ
mπx ∞
mπx
= ∑ M m sin
Cm cosh α m sin
a
a
a
m =1
m =1
∞

Placas

− 2D∑

Daqui obtém-se
Cm =

aM m
2mπD cosh α m

A deflexão fica
a ∞ sin (mπx a )
mπy
mπy ⎞
⎛b
w=
M m ⎜ tanh α m cosh
− y sinh
⎟
∑
a
a ⎠
2πD m=1 m cosh α m
2
⎝

Placas e Cascas


Os momentos e as tensões são obtidas a partir desta expressão.
No caso de termos momentos uniformemente distribuídos f(x)=M0, logo
Mm =

4M 0
mπ

Placas

Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira
condição de fronteira tem-se
w=

mπy
2 M 0 a ∞ sin (mπx a ) ⎛ b
mπy
⎟
∑1 m cosh α ⎜ 2 tanh α m cosh a − y sinh a ⎞
2
π D m=
⎠
m ⎝

Para o caso de uma placa quadrada (a=b), a deflexão e momentos no centro da
placa são
w = 0.0368

M 0a2
D

M x = 0.394 M 0

M y = 0.256M 0

Placas e Cascas


A deflexão ao longo do eixo de simetria é dada por
w=

M 0 ab ∞ 1 tanh α m
mπx
∑1 m 2 cosh α sin a
2
π D m=
m

( y = 0)

Quando a››b, pode colocar-se tanhαm≈αm e coshαm≈1, e a expressão acima
reduz a

Placas

w=

M 0b 2 ∞ 1
mπx 1 M 0b 2
∑,K m sin a = 2 D
2πD m=1,3

É curioso que este resultado é igual ao da deflexão no centro de uma tira de
comprimento b sujeita a dois momentos iguais e opostos nas extremidades.
No caso de uma placa com momentos anti-simétricos, (My)y=b/2=-(My)y=-b/2, pode
derivar-se a expressão da deflexão de forma idêntica modificando a terceira
condição de fronteira.


Placas e Cascas


Neste caso tem-se
⎛ ∂2w ⎞
− D⎜ 2 ⎟
= (M y )y =b / 2
⎜ ∂y ⎟
⎝
⎠ y =b / 2

⎛ ∂2w ⎞
− D⎜ 2 ⎟
= −(M y )y =− b / 2
⎜ ∂y ⎟
⎝
⎠ y =b / 2

O caso genérico pode ser derivado como uma combinação de situações
simétricas e anti-simétricas.

Placas

As soluções com momentos distribuídos simétricos e anti-simétricos são úteis
para resolver problemas com variadas condições de fronteira nas extremidades.


Placas e Cascas


2.7. Método da Superposição
A deflexão e tensão numa placa rectangular com qualquer condição nas
extremidades e carregamento arbitrário podem ser determinadas pelo método da
superposição.

Placas

De acordo com este método, um problema complexo pode ser primeiro
substituído por várias situações mais simples em que cada uma pode ser
resolvida pelo método de Navier ou pelo método de Lévy.
As deflexões obtidas por cada caso simplificado são, depois, adicionadas de
forma a que a equação fundamental ∇4w=p/D e as condições de fronteira sejam
satisfeitas no problema original.


Placas e Cascas


Considere-se, por exemplo, a flexão de uma placa sujeita a um carregamento
lateral com uma extremidade encastrada e as outras com apoios simples.
A solução começa com o pressuposto de que todas as extremidades têm apoios
simples.
Depois, um momento flector ao longo da aresta y=0 é aplicado com uma
magnitude adequada para eliminar as rotações devido ao carregamento lateral.

Placas

O exemplo seguinte é usado para ilustrar o método.


Placas e Cascas


Exemplo 2.7
Uma placa rectangular tem as arestas opostas x=0 e x=a com apoios simples e
as outras duas y=±b/2 encastradas.
A placa está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com intensidade p0.

Placas

Derive uma expressão para a superfície deflectida e para os momentos.


Placas e Cascas


2.8. Método de Ritz
A energia de extensão U associada à flexão de uma placa é dada por
U=

⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ 2
⎡⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎤ ⎫
1
⎪
⎪
D ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν )⎢⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ − ⎜
⎟
⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ ⎬dxdy
2 ∫∫ ⎪⎜ ∂x
∂y ⎟
⎠ ⎥⎪
⎠
⎠⎝
⎠ ⎝
⎢⎝
A
⎣
⎦⎭
⎩⎝

Placas

O trabalho realizado pela força lateral na superfície p(x,y) pode ser representado
por
W = ∫∫ wpdxdy
A

onde A é a área da superfície da placa.
A energia potencial Π=U-W fica, então,
2
⎫
⎡⎛ ∂ 2 w ⎞⎛ ∂ 2 w ⎞ ⎛ ∂ 2 w ⎞ 2 ⎤ 2
D ⎧⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞
⎪
⎪
⎟ ⎥ − wp ⎬dxdy
Π = ∫∫ ⎨⎜ 2 + 2 ⎟ − 2(1 −ν )⎢⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ − ⎜
⎜ ∂x
⎟
⎜ ∂x ⎟⎜ ∂y ⎟ ⎜ ∂x∂y ⎟
2 A ⎪⎝
∂y ⎠
⎠ ⎥ D ⎪
⎠⎝
⎠ ⎝
⎢⎝
⎣
⎦
⎭
⎩


Placas e Cascas


A aplicação deste método pode ser ilustrado através da flexão de uma placa
rectangular com lados a e b encastrada em todas as extremidades e sujeita a um
carregamento uniforme p0.
As condições de fronteira são
∂w
=0
∂x
∂w
w=0
=0
∂y

( x = 0, x = a )
( y = 0, y = b )

Placas

w=0


Placas e Cascas


Integrando por partes o último termo da equação da energia de extensão obtémse
∂2w ∂2w

∂ 2 w ∂w

∂w ∂ 3 w

∫∫ ∂x∂y ∂x∂y dxdy = ∫S ∂x∂y ∂x dx − ∫∫ ∂x ∂x∂y 2 dxdy
A
A

Placas

∂2w ∂2w
∂w ∂ 2 w
∂ 2 w ∂w
∂2w ∂2w
dy + ∫∫ 2 2 dxdy
dx − ∫
dxdy = ∫
∫∫ ∂x∂y ∂x∂y
S ∂x∂y ∂x
S ∂x ∂y 2
∂x ∂y
A
A

De acordo com as condições de fronteira, os dois primeiros integrais são
idênticos.
Assim
⎡∂ 2 w ∂ 2 w ⎛ ∂ 2 w ⎞2 ⎤
∫∫ ⎢ ∂x 2 ∂y 2 − ⎜ ∂x∂y ⎟ ⎥ dxdy = 0
⎜
⎟
⎝
⎠ ⎥
A ⎢
⎣
⎦

Placas e Cascas


Desta forma, a energia de extensão da flexão fica
2

D ⎛ ∂2w ∂2w ⎞
U = ∫∫ ⎜ 2 + 2 ⎟ dxdy
2 A ⎜ ∂x
∂y ⎟
⎠
⎝

Assumindo que a deflexão tem a seguinte forma
2mπx ⎞⎛
2nπy ⎞
⎛
w = ∑∑ amn ⎜1 − cos
⎟⎜1 − cos
⎟
a ⎠⎝
b ⎠
⎝
m =1 n =1
Placas

∞

∞

as condições de fronteira são cumpridas.
Substituindo este resultado na equação da energia obtém-se
U=

⎡ m2
2mπx ⎛
2nπy ⎞
D b a⎧ ∞ ∞
2
⎜1 − cos
⎟
⎨∑∑ 4π amn ⎢ 2 cos
∫0 ∫0 ⎩m=1 n=1
a ⎝
b ⎠
2
⎣a
2

2nπy ⎛
2mπx ⎞⎤ ⎫
n2
+ 2 cos
⎜1 − cos
⎟ ⎬ dxdy
b
b ⎝
a ⎠⎥ ⎭
⎦

Placas e Cascas


de onde
4
4
2
2
⎧
⎪ ∞ ∞ ⎡ ⎛m⎞
⎛n⎞
⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎤ 2
U = 2π 4 abD ⎨∑∑ ⎢3⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ amn
⎝b⎠
⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎦
⎪ m=1 n=1 ⎣ ⎝ a ⎠
⎩

4
4
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
⎫
⎛m⎞
⎛n⎞
+ ∑∑∑ 2⎜ ⎟ amr ams + ∑∑∑ 2⎜ ⎟ arn asm ⎬
a⎠
b⎠
m =1 r =1 s =1 ⎝
r =1 s =1 n =1 ⎝
⎭

Placas

que é válida para r≠s.
O trabalho realizado por p0 é
W = p0 ∫

b a

∫

0 0

2mπx ⎞⎛
2nπy ⎞⎤
⎡∞ ∞
⎛
⎢∑∑ amn ⎜1 − cos a ⎟⎜1 − cos b ⎟⎥dxdy
⎝
⎠⎝
⎠⎦
⎣ m=1 n=1

ou
W = p0 ab

Placas e Cascas


Das condições de minimização ∂Π/∂amn=0, tem-se
4
4
∞
∞
⎫
⎧⎡ ⎛ m ⎞ 4 ⎛ n ⎞ 4 ⎛ m ⎞ 2 ⎛ n ⎞ 2 ⎤
⎪
⎪
⎛m⎞
⎛n⎞
4 Dπ 4 ab ⎨⎢3⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ amn + ∑ 2⎜ ⎟ amr + ∑ 2⎜ ⎟ arn ⎬ − p0 = 0
⎝b⎠
⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎦
⎝a⎠
⎝b⎠
⎪
⎪⎣ ⎝ a ⎠
r =1
r =1
⎭
⎩

que é válida para r≠n e r≠m.

Placas

Retirando todos os termos excepto o primeiro a11, esta equação dá
a11 =

p0 a 4
4π 4 D

1
4

⎛a⎞
⎛a⎞
3 + 3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟
⎝b⎠
⎝b⎠

2

No caso de uma placa quadrada (a=b), a11=p0a4/(32π4D).
A deflexão máxima ocorre no centro da placa e é obtida através da substituição
de a11 na equação da deflexão.
p a4
wmax = 0.00128 0
D

Placas e Cascas


Este resultado é cerca de 1.5% maior do que o valor obtido usando o método da
Secção 2.7 para uma placa encastrada, que é mais elaborado.
É de notar que o resultado é muito preciso, tendo em conta que só foi usado um
termo da série.

Placas

De um modo geral, a utilização de tão poucos termos não resulta numa precisão
tão grande no método de Ritz.


Calculando a deflexão da placa considerando sete parâmetros a11, a12, a21, a22,
a13, a31 e a33 obtém-se o seguinte sistema de equações:

Placas

Placas e Cascas



Placas e Cascas


A solução deste sistema de equações lineares para uma placa quadrada (a=b) dá
p0 a 4
4 Dπ 4
p a4
a22 = 0.00189 0 4
4 Dπ
p a4
a33 = 0.00020 0 4
4 Dπ

Placas

a11 = 0.11774

p0 a 4
4 Dπ 4
p a4
a13 = a31 = 0.00268 0 4
4 Dπ

a12 = a21 = 0.01184

Substituindo estes valores na equação da deflexão a deflexão máxima é obtida
no centro da placa com o valor
wmax = 0.00126

p0 a 4
D

Este valor é exactamente igual ao que seria obtido com o método da Secção 2.7.


Placas e Cascas


Exemplo 2.8
Uma porção rectangular (a×b) do chão de uma oficina tem as suas extremidades
encastradas e suporta uma carga P aplicada na posição x=x1, y=y1.

Placas

Determinar a deflexão máxima da placa.


Placas

Placas e Cascas


3. Métodos Numéricos
3.1. Introdução
• Nos capítulos anteriores foram usados métodos de equilíbrio e de
energia para problemas de flexão de placas.
• Nalguns casos, estas soluções analíticas não são possíveis e é
necessário recorrer a métodos numéricos aproximados.
• Estes métodos numéricos permitem ao engenheiro resolver
problemas práticos, com formas e carregamentos reais.
• Os métodos numéricos mais importantes são:
– O método das diferenças finitas;
– O método dos elementos finitos.


Placas e Cascas


3.2. Diferenças Finitas
O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial da placa e as
expressões que definem as condições de fronteira com equações de diferenças
equivalentes.

Placas

A solução de um problema de flexão reduz-se, assim, à solução simultânea de
um conjunto de equações algébricas escritas para todos os nós definidos dentro
da placa.


Placas e Cascas


As expressões das diferenças finitas podem ser obtidas a partir da definição da
primeira derivada da função y=f(x) com respeito a x:
y − yn
⎛ dy ⎞
lim
⎜ ⎟ = Δx→0 n+1
dx ⎠ n
Δx
⎝

O índice n representa um ponto arbitrário na curva.

Placas

Num intervalo Δx=h esta expressão representa uma aproximação à derivada
y − yn
Δy
⎛ dy ⎞
⎜ ⎟ ≈ n = n+1
h
h
⎝ dx ⎠ n

Δyn é a primeira diferença avançada de y no ponto xn,
⎛ dy ⎞
Δyn = yn+1 − yn ≈ h⎜ ⎟
⎝ dx ⎠ n



Placas e Cascas

A primeira diferença atrasada em n é
⎛ dy ⎞
∇yn = yn − yn−1 ≈ h⎜ ⎟
⎝ dx ⎠ n

As diferenças centrais contêm nós colocados simetricamente em relação a xn.
Assim, a primeira diferença central é

δyn = ( yn+1 − yn−1 ) ≈ h⎛
⎜

dy ⎞
⎟
⎝ dx ⎠ n

Placas

1
2

Um procedimento idêntico a este pode ser usado para se obterem as derivadas
de ordem maior.
Vamos, daqui para a frente, considerar apenas as diferencças centrais.



Placas e Cascas

A segunda derivada pode ser escrita usando a representação de diferença da
primeira derivada:
⎛d2y⎞
h 2 ⎜ 2 ⎟ ≈ Δ(∇yn ) = ∇(Δyn ) = δ 2 yn
⎜ dx ⎟
⎝
⎠n

A segunda diferença central em xn, depois de substituir os resultados das
primeiras diferenças na expressão acima, é
⎛d2y⎞
⎟
2 ⎟
⎝ dx ⎠ n

Placas

δ 2 yn = Δyn − Δyn−1 = ( yn+1 − yn ) − ( yn − yn−1 ) = yn+1 − 2 yn + yn−1 ≈ h 2 ⎜
⎜
A terceira diferença central é

δ 3 yn = δ (δ 2 yn ) = δ ( yn+1 − 2 yn + yn−1 ) = δyn+1 − 2δyn + δyn−1
=

⎛ 3 ⎞
1
( yn+2 − yn ) − ( yn+1 + yn−1 ) + 1 ( yn + yn−2 ) = 1 ( yn+2 − 2 yn+1 + 2 yn−1 − yn−2 ) ≈ h3 ⎜ d y ⎟
⎜ dx 3 ⎟
2
2
2
⎝
⎠n

Placas e Cascas


e a quarta diferença central é

δ 4 yn = δ 2 (δ 2 yn ) = δ 2 ( yn+1 − 2 yn + yn−1 ) = δ 2 yn+1 − 2δ 2 yn + δ 2 yn−1
= ( yn+ 2 − 2 yn+1 + yn ) − 2( yn+1 − 2 yn + yn−1 ) + ( yn − 2 yn−1 + yn−2 )

Placas

⎛d4y⎞
= yn+ 2 − 4 yn+1 + 6 yn − 4 yn−1 + yn− 2 ≈ h 4 ⎜ 4 ⎟
⎜ dx ⎟
⎝
⎠n


Placas e Cascas


Vamos ver o caso da função de deflexão w(x,y) de duas variáveis.

Placas

Considerando uma placa rectangular e colocando Δx=Δy=h, divide-se a placa
numa malha quadrada.
∂w 1
∂w 1
≈ δ xw
≈ δ yw
∂x h
∂y h
∂2w 1 2
∂2w 1 2
∂ 2 w 1 ⎛ ∂w ⎞
≈ 2 δx w
≈ 2 δyw
≈ δx⎜ ⎟
∂x∂y h 2 ⎝ ∂y ⎠
∂x 2 h
∂y 2 h


Placas e Cascas


Aqui, os índices x e y indicam a direcção em que as diferenças são calculadas.

Placas

Com base na definição de derivada parcial, as expressões acima podem
escrever-se para um ponto 0 da seguinte forma
1
∂w 1
≈ [w( x + h, y ) − w( x − h, y )] = (w1 − w3 )
2h
∂x 2h
∂w 1
1
≈ [w( x, y + h ) − w( x, y − h )] = (w2 − w4 )
∂y 2h
2h
e
1
∂2w 1
≈ 2 [w( x + h, y ) − 2w( x, y ) + w( x − h, y )] = 2 (w1 − 2w0 + w3 )
2
h
h
∂x
1
∂2w 1
≈ 2 [w( x, y + h ) − 2w( x, y ) + w( x, y − h )] = 2 (w2 − 2 w0 + w4 )
2
∂y
h
h
∂2w 1
1
1
≈ δ x (δ y w) = 2 (δ x w2 − δ x w4 ) = 2 (w5 − w6 + w7 − w8 )
∂x∂y h 2
2h
4h

As derivadas mistas são
1
1
1
∂3w
2
≈ δ x (δ y w) = 3 δ x (w2 − 2 w0 + w4 ) = 3 (δ x w2 − 2δ x w0 + δ x w4 )
∂x∂y 2 h 3
h
h
1
= 3 (w5 − w6 − 2 w1 + 2 w3 + w8 − w7 )
2h
1
1
∂3w
≈ 3 δ y (δ x2 w) = 3 (w5 + w6 − 2 w2 + 2 w4 − w8 − w7 )
2
2h
∂x ∂y h
1
1
∂4w
2
≈ δ x2 (δ y w) = 4 δ x2 (w2 − 2 w0 + w4 )
∂x 2 ∂y 2 h 4
h

Placas

Placas e Cascas


=

1
[w5 + w6 + w7 + w8 + 4w0 − 2(w1 + w2 + w3 + w4 )]
h4


Placas e Cascas


Tendo à disposição as várias derivadas na forma de aproximações de diferenças,
pode facilmente obter-se as equações de diferenças finitas equivalentes às
equações da placa.
Para referência alguns operadores de diferenças finitas estão representados em
esquema na figura seguinte.

Placas

O ponto central em cada esquema é o ponto de referência de cada operador.



Placas

Placas e Cascas



Placas e Cascas


Fórmulas similares podem ser derivadas quando os nós não estão espaçados
uniformemente.
No caso de uma malha rectangular com Δx=h e Δy=k, pode substituir-se o h por
k nas derivadas de w em relação a y anteriores.
Por exemplo,

Placas

∂w 1
≈ (w1 − w3 )
∂x 2h
∂2w 1
≈ (w1 − 2 w0 + w3 )
∂x 2 h 2

∂w 1
≈ (w2 − w4 )
∂y 2k
∂2w 1
≈ (w2 − 2 w0 + w4 )
∂y 2 k 2

∂2w 1 ⎛ 1
1
⎞
(δ x w2 − δ x w4 ) = 1 (w5 − w6 + w7 − w8 )
≈ δ x ⎜ δ y w⎟ =
∂x∂y h ⎝ k
2hk
⎠ 2hk


Placas e Cascas


O operador ∇2w fica
1
(w1 − 2w0 + w3 ) + 12 (w2 − 2w0 + w4 )
2
h
k
A menos que seja especificado, daqui para a frente serão considerados apenas
nós equidistantes (Δx=Δy=h).
∇2w ≈

Placas

Os operadores de diferenças em coordenadas cartesianas x e y estão bem
adaptadas para resolver problemas com domínios rectangulares.
Quando a placa tem contornos irregulares são necessários operadores especiais
junto à fronteira.
Uma das malhas não cartesianas para estas condições são as malhas
triangulares.
Se a placa tiver a forma de um paralelogramo, é conveniente e mais preciso usar
coordenadas paralelas às arestas da placa.

Placas e Cascas


A malha polar é usada em situações em que existem formas axi-simétricas.
Os operadores de diferenças finitas em qualquer sistema coordenado são obtidos
através da transformação das equações que relacionam as coordenadas x e y
nesse sistema.

Placas

Em todos os casos, o procedimento para determinar as deflexões e momentos é
o mostrado a seguir.


Placas e Cascas


3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)
(Diferenças Finitas)
Podemos, agora, transformar a equação diferencial da placa flectida numa
equação algébrica.

Placas

Vamos escrever esta equação para um nó interior; o ponto 0 por exemplo.

Referindo ao operador ∇4, a equação de diferenças correspondente à equação
fundamental da placa é
[w9 + w10 + w11 + w12 + 2(w5 + w6 + w7 + w8 ) − 8(w1 + w2 + w3 + w4 ) + 20w0 ] 14 = p0
D
h

Placas e Cascas


Expressões idênticas são escritas para todos os nós dentro da placa.
Ao mesmo tempo, as condições de fronteira têm que ser convertidas para a
forma de diferenças finitas.

Placas

O conjunto de equações de diferenças é, depois, resolvido para se obterem as
deflexões.
Como método alternativo ao problema da flexão da placa, a equação
fundamental da placa pode ser substituída por duas equações de segunda ordem,
como já foi visto anteriormente.
A aplicação do operador ∇2 a estas equações no ponto 0 dá
(M 1 + M 2 + M 3 + M 4 − 4M 0 ) 12 = − p0
h
(w1 + w2 + w3 + w4 − 4w0 ) 12 = − M 0
D
h

Placas e Cascas


Outras equações idênticas são escritas para o resto dos nós dentro da placa.
A solução do problema requer que se determine os valores de M e w de forma a
satisfazer as equações algébricas e as condições de fronteira.

Placas

No caso de uma placa com apoios simples em todas as arestas, M e w são zero
nessas arestas e, por isso, pode resolver-se o primeiro grupo de equações
independentemente do segundo para determinar todos os valores de M dentro da
fronteira.
O segundo conjunto é resolvido depois.
Para placas com outras condições de fronteira (encastramento, livre,
combinações, etc..) é necessário resolver todas as equações em simultâneo.
Em placas com condições de fronteira mistas os valores de M podem ser
diferentes nas arestas.
A deflexão w, neste caso, obtém-se mais facilmente através do primeiro método.

Placas e Cascas


Tendo os valores de M e w disponíveis nos nós, podem derivar-se as expressões
dos momentos e forças de corte.
No ponto 0, estes são
D
[2w0 − w1 − w3 +ν (2w0 − w2 − w4 )]
h2
D
M y = 2 [2 w0 − w2 − w4 + ν (2 w0 − w1 − w3 )]
h
D(1 −ν )
(− w5 + w6 − w7 + w8 )
M xy =
4h 2

Placas

Mx =

e
1
(M 1 − M 3 )
2h
1
Q y = (M 2 − M 4 )
2h
Qx =


Placas e Cascas


As tensões são facilmente obtidas como anteriormente.

Placas

O método das diferenças finitas é melhor compreendido através de alguns
exemplos numéricos.


Placas e Cascas


Exemplo 3.1

Placas

Use a técnica das diferenças finitas para analisar a flexão de uma placa
quadrada (a×a) em que todas as arestas têm apoios simples e que está sujeita a
um carregamento uniformemente distribuído p0.


Placas e Cascas


Exemplo 3.2
Determine a deflexão e os momentos em vários pontos de uma placa quadrada
de lado a com todas as arestas encastradas sujeita a um carregamento
uniformemente distribuído p0.
Considere h=a/4 e utilize duas formas de solução:
a) Aplicação das duas equações de segunda ordem;

Placas

b) Aplicação da equação fundamental.


Placas e Cascas


Exemplo 3.3
Um chão, em que metade suporta um carregaemtno uniforme, é representado
por uma placa contínua com as arestas opostas (y=±a/2) encastradas e as outras
(x=0,x=2a) com apoios simples. O meio da placa (x=a) também tem um apoio
simples.

Placas

Obter as deflexões nos pontos 1, 2 e 3.


Placas e Cascas


Exemplo 3.4
Considere o caso de uma placa rectangular carregada uniformemente com duas
arestas contíguas com apoios simples, a terceira livre e a quarta encastrada.

Placas

Use o método das diferenças finitas com h=a/4 para determinar w em vários
pontos.


Placas e Cascas



Placas

Exemplo 3.4


Placas e Cascas



Placas

Exemplo 3.4


Placas e Cascas


3.4. Propriedades do Elemento Finito
O método dos elementos finitos tem-se desenvolvido em simultâneo com os
computadores digitais e o aumento do interesse nos métodos numéricos.
Este método permite a estimativa das tensões e deflexões numa placa com um
grau de facilidade e de precisão nunca antes possível.

Placas

No método dos elementos finitos, a placa é discretizada num número finito de
elementos (normalmente com forma triangular ou rectangular) ligados nos nós e
em fronteiras inter-elemento hipotéticas.
Assim, o equilíbrio e a compatibilidade têm que ser verificadas em cada nó e ao
longo das fronteiras entre elementos.
Existem vários métodos de elementos finitos.
Vamos, apenas, ver o método comum de deslocamentos finitos onde o conjunto
das equações algébricas fundamentais é expresso em termos dos deslocamentos
nodais indeterminados.


Placas e Cascas


Vamos, primeiro, definir uma série de parâmetros relevantes para um elemento
finito de uma placa isotrópica.
As derivações baseiam-se no pressuposto da teoria de pequenas deflexões.
Em geral, a placa pode ter qualquer forma e qualquer carregamento.
Considere-se uma placa fina que é substituída por um conjunto de elementos
finitos triangulares.

Placas

As propriedades de um elemento discreto vão designar-se de e.


Placas e Cascas


Matriz de deslocamentos
Os deslocamentos nodais {δ}e estão relacionados com os deslocamentos dentro
do elemento através da função de deslocamento {w}e dada por

{w}e = [P ]{δ }e

Placas

onde a matriz [P] é uma função da posição a determinar posteriormente para um
elemento específico.
Esta matriz é, muitas vezes, referida como a função de forma.
É conveniente que a função de forma seja escolhida de forma a que o campo de
deslocamentos reais seja representado com a maior precisão possível.


Placas e Cascas


Matrizes de extensão, de tensão e de elasticidade
Fazendo uso da definição de extensão, define-se a matriz de extensão
generalizada-deformação da seguinte forma

Placas

⎧εx ⎫
T
∂2w
∂2w ⎫
⎪ ⎪ ⎧ ∂2w
⎨ ε x ⎬ = ⎨− 2 − 2 −
⎬
∂x∂y ⎭
∂y
⎪γ ⎪ ⎩ ∂x
⎩ xy ⎭e

ou

{ε }e = [B]{δ }e
onde a matriz [B] terá que ser calculada.


Placas e Cascas


A relação tensão-extensão generalizada, das relações de Hook, é
⎧σ x ⎫
⎡1 ν
Ez ⎢
⎪ ⎪
ν 1
⎨σ x ⎬ =
2 ⎢
⎪τ ⎪ 1 −ν ⎢ 0 0
⎣
⎩ xy ⎭e

Placas

ou

⎤⎧ ε x ⎫
⎥⎪ ε ⎪
⎥⎨ x ⎬
(1 −ν ) 2⎥ ⎪γ xy ⎪e
⎦⎩ ⎭

0
0

{σ }e = z[D* ]{ε }e

Os momentos estão relacionados com as tensões da seguinte forma,
⎧Mx ⎫
⎪
⎪ t2
⎨ M y ⎬ = ∫−t 2 z{σ }dz
⎪M ⎪
⎩ xy ⎭


Placas e Cascas


Substituíndo o resultado da tensão nesta expressão tem-se a relação momentoextensão generalizada

{M }e = ⎛ ∫−t 2 z 2 [D* ]dz ⎞{ε }e
⎜
⎟
t 2

⎝

⎠

ou

{M }e = [D ]{ε }e
Placas

A matriz de elasticidade para uma placa isotrópica é, então,
⎡1 ν
t3
Et 3 ⎢
[D ] = [D *] =
ν 1
12
12(1 −ν 2 ) ⎢
⎢0 0
⎣

⎤
⎥
⎥
(1 −ν ) 2⎥
⎦
0
0

As relações tensão-extensão e, consequentemente, a matriz de elasticidade são
diferentes para materiais anisotrópicos.

Placas e Cascas


Devido a variadas causas (contração, variações de temperatura, etc.) podem
existir extensões iniciais dentro da placa.
No caso de uma placa com carregamento transversal e aquecida as matrizes de
tensão e momento ficam, respectivamente,

{σ }e = [D* ]({ε } − {ε 0 })e

e
Placas

{M }e = [D ]({ε } − {ε 0 })e
onde {ε0}e é a matriz de extensão térmica.


Placas e Cascas


3.5. Método dos Elementos Finitos
Uma forma conveniente de derivar as expressões que governam o elemento
finito e as suas caraterísticas baseia-se no princípio da energia potencial.
A variação da energia potencia ΔΠ da placa completa é
ΔΠ = ∑ ∫∫ (M x Δε x + M y Δε y + M xy Δγ xy )dxdy − ∑ ∫∫ ( pΔw)dxdy = 0
n

1

n

1

A

A

Placas

onde n é o número de elementos de espessura uniforme que constitúem a placa,
A é a área da superfície de um elemento e p a carga lateral por unidade de área.
Esta expressão pode reescrever-se da seguinte forma

∑ ∫∫ ({Δε }T {M }e − pΔw)dxdy = 0
e
1
n

A

ou

∑ ∫∫ ({Δδ }T [B]T [D][B]{δ }e − p[P]{Δδ }e )dxdy = 0
e
1
n

A


Placas e Cascas


ou ainda

∑ ∫∫{Δδ }T ([B]T [D][B]{δ }e − [P]T p )dxdy = 0
e
1
n

A

Colocando a matriz de rigidez do elemento

[K ]e = ∫∫ [B]T [D][B]dxdy
A

e a matriz das forças nodais do elemento devido à carga transversal
Placas

{Q}e = ∫∫ [P]T pdxdy
A

ou, se considerarmos extensões iniciais,

{Q}e = ∫∫ [B]T [D]{ε 0 }dxdy + ∫∫ [P]T pdxdy
A

A


Placas e Cascas


a equação fica
n

∑ ∫∫{Δδ }T ([K ]e {δ }e − {Q}e )dxdy = 0
e
1
A

Uma vez que as mudanças em {δ}e são independentes e arbitrárias esta equação
pode reduzir a

[K ]e {δ }e = {Q}e
Placas

para o equilíbrio de forças nodais do elemento.
Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições dos elementos e
obtém-se

{Δδ }T ([K ]{δ } − {Q}) = 0
Esta equação tem que ser válida para todos os {Δδ}.


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