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FÍSICA A 3.aS 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página I 
Física 
Curso Extensivo – A 
3.a série – Ensino Médio
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página II 
FÍSICA AC 3.aB/E
FÍSICA A 3.aS 
– 1 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 1 
1. A taxa de álcool no sangue de uma pessoa depende da quantidade 
de álcool ingerida, da massa da pessoa e do momento em que ela bebe 
(em jejum ou durante as refeições). 
A equação a seguir permite calcular a taxa de álcool no sangue (TAS), 
medida em gramas por litro (g/). 
Q = quantidade de álcool ingerido, em gramas 
m = massa de pessoa, em kg 
k é uma constante que vale 1,1 se o consumo de álcool é feito nas 
refeições ou 0,7 se o consumo for feito fora das refeições. 
Admita ainda que o tempo de reação tR de um motorista varia com a 
taxa de álcool no sangue (TAS) de acordo com a relação: 
tR = 0,5 + 1,0 (TAS)2 
TAS medido em g/ 
tR medido em segundos. 
Um motorista está dirigindo um carro com velocidade de módulo 
V0 = 72,0 km/h quando avista uma pessoa atravessando a rua 
imprudentemente à sua frente. Após o seu tempo de reação, o 
motorista aciona o freio, imprimindo ao carro uma aceleração de 
módulo constante a até a imobilização do veículo. O gráfico a seguir 
mostra a velocidade escalar do carro em função do tempo. Sabe-se que 
a distância percorrida pelo carro desde a visão do pedestre (t = 0) até 
a sua imobilização (t = 5,5s) foi de 70,0m. 
Determine 
a) o tempo de reação do motorista tR e o módulo a da aceleração do 
carro durante a freada. 
b) a taxa de álcool no sangue do motorista (TAS) e a quantidade de 
álcool ingerido Q, sabendo-se que o motorista tem massa m = 70 kg 
e ingeriu bebida alcoó lica durante o almoço. 
RESOLUÇÃO: 
a) 1) Cálculo do tempo de reação tR: 
Δs = área (v x t) 
70,0 = (5,5 + tR) 
7,0 = 5,5 + tR ⇒ 
2) Cálculo do módulo da aceleração a durante a freada: 
a = 
a = (m/s2) ⇒ 
b) 1) Cálculo da taxa de álcool no sangue (TAS): 
tR = 0,5 + 1,0 (TAS)2 
1,5 = 0,5 + 1,0 (TAS)2 
1,0 = 1,0 (TAS)2 ⇒ 
2) Cálculo da quantidade de álcool ingerido Q: 
Q = km (TAS) 
Q = 1,1. 70 . 1,0 (g) ⇒ 
Respostas: a) 1,5s e 5,0 m/s2 
b) 1,0 g/ e 77g 
2. Uma lebre corre em linha reta com velocidade escalar constante 
de 72,0km/h rumo à sua toca. No instante t = 0 a lebre está a 200m da 
toca e neste instante um lobo que está 40m atrás da lebre parte do 
repouso com aceleração escalar constante de 5,0m/s2 mantida durante 
90m e em seguida desenvolve velocidade escalar constante. O lobo 
descreve a mesma reta descrita pela lebre. 
a) Faça um gráfico da velocidade escalar em função do tempo para os 
movimentos da lebre e do lobo desde o instante t = 0 até o instante 
em que a lebre chegaria à sua toca. 
b) Determine se o lobo alcança a lebre antes que ele chegue à sua 
toca. 
RESOLUÇÃO: 
a) 1) Instante t1 em que a lebre chega à toca: 
Δs = Vt (MU) 
200 = 20,0 t1 ⇒ 
2) Cálculo da velocidade final do lobo: 
V2 = V0 
2 + 2 γΔs 
2 = 0 + 2 . 5,0 . 9,0 = 900 
V1 
Q 
TAS = ––––– 
km 
20,0 
––––– 
2 
tR = 1,5s 
ΔV 
––––– 
Δt 
20,0 
–––– 
4,0 
a = 5,0 m/s2 
TAS = 1,0 g/ 
Q = 77g 
t1 = 10,0s 
V1 = 30,0m/s 
Revisão FÍSICA 
MÓDULO 11 Cinemática Escalar
FÍSICA A 3.aS 
2 – 
3) Cálculo do instante t2 em que o lobo atinge sua velocidade 
máxima: 
V = V0 + γ t 
30,0 = 0 + 5,0 t2 ⇒ 
4) gráficos V = f(t) 
b) Distância percorrida pelo lobo até o instante t = 10,0s: 
Δs = área (V x t) 
d = (10,0 + 4,0) (m) = 210m 
Quando a lebre chega na toca o lobo está a 30,0m da toca e, portanto, 
não conseguiu alcança-la. 
3. (Olimpíada de Portugal) – O João e a Maria são dois jovens 
apaixonados pela Mecânica. Construíram cada um o seu veículo 
automóvel, uma espécie de kart. Pretendem agora competir um com o 
outro numa pista retilínea e horizontal, na propriedade da família de um 
deles. O sistema de referência utilizado consiste num eixo horizontal 
com origem no ponto de partida e o sentido do deslocamento dos carros 
durante a corrida. 
a) O carro do João deslocou-se inicialmente com aceleração escalar 
constante de valor máximo que o motor permitiu. Após t1 = 30,0s, 
quando o módulo da sua velocidade era V1J = 12,5m/s, o motor 
avariou-se e o carro passou a deslocar-se com aceleração escalar 
constante igual a a2J = –3,0 × 10–2m/s2, devido aos atritos. O tempo 
total necessário para o João atingir meta foi de 200s, contado desde 
a partida. Qual é o comprimento da pista? 
b) A Maria preferiu ser mais cautelosa. No seu primeiro percurso após 
a partida, de comprimento l1 = 400m, o módulo da acelaração 
escalar do seu carro foi a1M = 0,20m/s2, após o que manteve a 
velocidade escalar constante, durante 117s até atingir a meta. Quem 
é que ganhou a corrida? 
Adote 10 = 3,2 
RESOLUÇÃO: 
a) 
1) Cálculo de V1: 
a = ⇒ –3,00 . 10–2 = ⇒ ΔV = –5,1m/s 
V1 = 12,5 – 5,1 (m/s) = 7,4m/s 
2) L = área (V x t) 
L = + (12,5 + 7,4) (m) 
L = 187,5 + 1691,5 (m) 
b) 1) Δs = V0 t + t2 (MUV) 
2 
400 = 0 + T1 
T1 
2 = 4000 
T1 = 2010s = 20 . 3,2s = 64s 
2) Ttotal = T1 + 117s = 185s 
Como João gastou 200s para completar a corrida então Maria, que 
gastou menos (181s), foi a ganhadora. 
t2 = 6,0s 
30,0 
–––– – 
2 
ΔV 
––––– 
Δt 
ΔV 
–––– – 
170 
30,0 . 12,5 
––––––––– – 
2 
170 
––– – 
2 
L = 1879m 
γ 
–– – 
2 
0,20 
––– – 
2 
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FÍSICA A 3.aS 
– 3 
4. (Olimpíada de Portugal) – Há alguns séculos pensava-se que, 
quando abandonados em queda livre, os corpos mais pesados 
demoravam menos tempo a atingir o solo, do que os mais leves. No 
século XVI Galileu Galilei verificou que esta ideia nem sempre estaria 
correta. Uma das experiências que é frequentemente apresentada para 
expor a conclusão de Galileu usa uma bomba de vácuo e um tubo de 
vidro que contém um pedaço de chumbo e uma pena. A experiência 
desenvolve-se em duas fases: 
Fase I — Inverte-se o tubo e observam-se os movimentos de queda do 
pedaço de chumbo e da pena. 
Fase II — Extrai-se o ar do interior do tubo (usando a bomba de 
vácuo), garantindo-se que o vácuo se mantém. Inverte-se 
novamente o tubo e registram-se os movimentos de queda 
dos objetos referidos. 
Analise os esboços gráficos seguintes. 
a) Qual dos gráficos traduz melhor a velocidade escalar de queda da 
pena da galinha, em função do tempo, 
a1) na fase I da experiência? 
a2) na fase II da experiência? 
b) Quais os gráficos que traduzem a evolução temporal da velocidade 
escalar de queda do pedaço de chumbo nas fases I e II da 
experiência. Justifique. 
c) Considere agora que esta mesma experiência fosse realizada na Lua. 
Esboçe o gráfico v = f(t), do movimento da pena, para as fases I e 
II da experiência. Compare os valores do máximo da velocidade 
atingido nas duas fases e os tempos de queda, na Lua, com os 
valores obtidos na Terra. Considere a aceleração da gravidade da 
Terra com módulo seis vezes maior do que na Lua. 
RESOLUÇÃO: 
a1) Com resistência do ar a aceleração da pena vai diminuindo até se 
anular quando ela fica com velocidade constante (velocidade limite 
de queda) o que corresponde ao gráfico C. 
a2) Na fase II da experiência a queda se dá no vácuo e a acelaração 
permanece constante e igual a da gravidade o que corresponde ao 
gráfico B. 
b) Para o chumbo a resistência do ar é desprezível em comparação com 
o peso de chumbo e a aceleração é praticamente igual à da gravidade 
e nas duas fases está correto o gráfico B. 
c) Na Lua não tem atmosfera e a queda da pena ocorre com a aceleração 
da gravidade da Lua gL = gT. 
Nas duas fases o gráfico é análogo ao B 
Na Terra: (vfT)2 = v0 
2 + 2 gT L 
vfT = 2gT L  
Na Lua: vfL = 2gL L  
⇒ 
2 ⇒TT = 
Na Terra: L = TT 
2 ⇒TL = 
Na Lua: L = TL 
⇒ 
1 
––– 
6 
vfL gL –––– = –––– 
vfT gT 
vfL 1 
–––– = ––– 
vfT 6 
gT ––– – 
2 
2L 
––– – 
gT 
gL ––– – 
2 
2L 
––– – 
gL 
TL gT 
–––– = –––– 
TT gL 
TL –––– = 6 TT 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 3
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 4 
FÍSICA A 3.aS 
1. (IFUSP) – Na figura podemos observar o movimento de três 
partículas, num certo instante T. Todas elas deslocam-se no sentido 
anti-horário sobre circunferências de raio 5,0m, com velocidades 
variáveis (direção e/ ou módulo). Neste instante aparecem, indicados 
nas figuras, também os vetores aceleração e seus módulos. Para cada 
partícula, achar o módulo da velocidade vetorial e da aceleração 
escalar. 
Dados: 
sen 37° = 0,60 
cos 37° = 0,80 
sen 30° = 0,50 
cos 30° = 3/2 
RESOLUÇÃO: 
a) A aceleração vetorial só tem componente centrípeta: 
1) γ1 = a→ 
4 – 
t  = 0 
2) a→ 
2 
cp = ⇒ 20,0 = ⇒ 
b) 1) γ2  = a→ 
t  = a sen θ 
γ2  = 16,0 . 0,60 (m/s2) ⇒ 
cp = a cos θ = 
2) a→ 
2 
16,0 . 0,80 = ⇒ 
c) 1) γ3 = a→ 
t  = a cos θ 
2 
γ3 = 10,0 . (m/s2) ⇒ 
cp = a senθ = 
2) a→ 
2 
10,0 . 0,50 = ⇒ 
2. (UFG-2010) – O funcionamento de um dispositivo seletor de 
velocidade consiste em soltar uma esfera de uma altura h para passar 
por um dos orifícios superiores (O1, O2, O3, O4) e, sucessivamente, 
por um dos orifícios inferiores (P1, P2, P3, P4), conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
Os orifícios superiores e inferiores mantêm-se alinhados, e o sistema 
gira com velocidade angular constante ω. Desprezando-se a resistência 
do ar e considerando-se que a esfera é liberada do repouso, calcule a 
altura máxima h para que a esfera atravesse o dispositivo. 
RESOLUÇÃO: 
1) Cálculo da velocidade V1 com que a esfera atinge o orifício: 
V2 = V0 
2 + 2 γ Δs: 
2 = 2gh ⇒V1 = 2g h 
V1 
2) Para que h seja máximo, V1 deverá ser máximo e a esfera percorre a 
distância H em um tempo igual a um quarto do período de rotação do 
cilindro (tempo mínimo) 
Δs = V0 t + t2 onde t = = = 
H = 2g h . + . 
H – = 2g h 
. H – . = 2g h 
2g h = – ⇒ 2gh = 
2 
v2 
––– – 
R 
v1 
––– – 
5,0 
v1 = 10,0m/s 
γ2 = 9,6m/s2 
v2 
––– – 
R 
v2 
––– – 
5,0 
v2 = 8,0m/s 
3 
––– – 
2 
γ3 = 5,0 3 m/s2 
v3 
––– – 
R 
v3 
2 
––– – 
5,0 
v3 = 5,0m/s 
γ 
–– – 
2 
T 
––– 
4 
2π 
––– – 
4ω 
π 
––– – 
2ω 
π 
––– 
2ω 
g 
––– 
2 
π2 
–––– 
4ω2 
g 
––– 
2 
π2 
–––– 
4ω2 
π 
––– 
2ω 
2ω 
––– 
π 
g π2 
––––– 
8ω2 
2ω 
––– 
π 
2ωH 
–––– 
π 
gπ 
–––– 
2ωH 
–––– 
4ω π 
gπ 
– –––– 
 
4ω 1 2ω H g π 
2 
h = –––– –––––– – ––––2g π 4ω 
MÓDULO 22 Cinemática Vetorial
FÍSICA A 3.aS 
– 5 
3. (Olimpíada Iberoamericana) – Um observador A encontra-se no 
centro da Praça de Espanha na cidade de Guatemala, observando o 
movimento de dois motociclistas, B e C. Estes motociclistas 
descrevem trajetórias circulares em torno de A, no mesmo sentido, e 
de raios RB = 35,0m e RC = 60,0m. O observador A verifica que 
motociclista B demora TB = 10,0s para completar uma volta, enquanto 
C demora TC = 16,0s. 
a) Calcular o menor número de voltas completas de B e C, contadas a 
partir do instante inicial, para que essa mesma configuração se 
repita (ver figura). 
b) Determinar o tempo mínimo, a partir do instante inicial, até que A, 
B e C estejam alinhados pela primeira vez. 
c) Determinar o número (inteiro ou fracionário) de voltas dadas por B 
e por C no intervalo de tempo obtido no item anterior. 
RESOLUÇÃO: 
a) B e C deverão dar um número completo de voltas e o intervalo de tempo 
deverá ser múltiplo dos dois períodos. Isto ocorre pela primeira vez 
para: 
Δt = mmc (TB ; TC) = mmc (10,0s; 16,0s) = 80,0s 
A moto B terá dado 8 voltas e a moto C terá dado 5 voltas 
b) Movimento relativo: C é suposto parado e B girando com a velocidade 
angular relativa: 
ωrel = ωB – ωC 
= – 
Para ficarem alinhados pela primeira vez: Δϕ 
rel = π rad 
= – 
= – = 
c) fB = ⇒ = ⇒ nB = 
fC = ⇒ = ⇒ nC = 
4. (Olimpíada de Portugal) – Um grupo de amigos encontrou-se 
numa margem do rio e resolveu ir fazer um piquinique num parque de 
merendas que ficava na outra margem, 500m mais abaixo, para o lado 
da foz. Naquela zona o rio tem largura 100m e a velocidade da 
correnteza tem módulo igual a 1,0m/s. Os estudantes decidiram dirigir 
o barco na direção perpendicular à margem (condição de tempo de 
travessia mínimo) e esperar que a correnteza os levasse até ao 
ancoradouro pretendido. 
Qual é a o módulo da velocidade que devem imprimir ao seu barco, 
relativamente à água, para conseguirem o se objetivo? 
RESOLUÇÃO: 
1) Cálculo do tempo gasto usando o movimento de arrastamento 
D = VARR . T 
500 = 1,0 . T ⇒ 
2) Cálculo da velocidade relativa: 
Vrel = 
Vrel = (m/s) ⇒ 
Δϕ 
rel –––––– 
Δt 
2π 
––– 
TB 
2π 
––– 
TC 
π 
––– 
Δt 
2π 
–––– 
10,0 
2π 
–––– 
16,0 
1 
–––– 
Δt 
1 
–––– 
5,0 
1 
–––– 
8,0 
8,0 – 5,0 
–––––––– 
40,0 
40,0 
Δt = –––– – s 
3,0 
nB –––– 
Δt 
1 
–––– 
10,0 
nB ––––––– 
40,0 
––––– 
3 
4 
––– 
3 
nC ––– 
Δt 
1 
–––– 
16,0 
nC ––––––– 
40,0 
––––– 
3 
5 
––– 
6 
T = 500s 
Δsrel ––––– 
Δt 
100 
–––– 
500 
Vrel = 0,2m/s 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 5
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 6 
FÍSICA A 3.aS 
5. Um jogador de futebol bate uma falta imprimindo à bola uma 
velocidade inicial V→ 
6 – 
0 de módulo V0 e inclinada de θ em relação ao 
plano do chão. A bola atinge a cabeça de um jogador de altura h = 2,0m 
após um tempo de voo de 2,0s. A distância horizontal do jogador à 
posição de onde foi batida a falta é de 22,0m. Despreze o efeito do ar 
e adote g = 10,0m/s2. 
Determine: 
a) o ângulo θ e o valor de V0. 
b) a altura máxima atingida pela bola. 
RESOLUÇÃO: 
a) 1) Δsx = Vox t (MU) 
22,0 = Vox . 2,0 ⇒ 
Vox = 11,0m/s 
γy ––– 
2 
2) Δsy = Voy t + t2 (MUV) ↑ (+) 
2,0 = Voy . 2,0 – 5,0 (2,0)2 ⇒ 
3) Vox = Voy ⇒ 
4) V0 
2 = Vox 
2 + Voy 
2 
Vo = 11,0 2 m/s 
2 = Voy 
b) Vy 
2 + 2 γy Δsy 
0 = (11,0)2 + 2 (–10,0) H 
20,0 H = 121 
Respostas: a) θ = 45° e V0 = 11,0 2 m/s 
b) H = 6,05m 
Vox = 11,0m/s 
H = 6,05m 
θ = 45°
FÍSICA A 3.aS 
– 7 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 7 
1. Imagine uma copa Mundial de Futebol que vai ser decidida nos 
pênaltis. O goleiro cuja altura é de 2,0m está postado bem no meio do 
gol que tem largura de 7,32m. A distância da marca de pênalti até a 
linha de gol é de 11,0m. Considere que o batedor do pênalti imprimiu 
a bola uma velocidade de módulo V0 e que a bola descreve movimento 
retilíneo e uniforme junto ao solo indo na direção da trave conforme 
indica a figura adiante, vista de cima. 
––– 
Admita que o goleiro vai iniciar seu movimento no instante em que o 
batedor toca na bola e que ele consegue espalmar a bola que iria bater 
na trave. O tempo T gasto pelo goleiro para chegar na bola é a soma de 
duas parcelas: o seu tempo de reação TR que é de 0,20s e o tempo de 
movimento TM que é igual ao tempo de queda livre vertical de uma 
partícula, a partir do repouso, de uma altura igual à metade da altura do 
goleiro. 
Determine: 
a) o tempo T gasto pelo goleiro para chegar na bola 
b) o valor de V0 em km/h 
c) a intensidade da força média que o batedor aplicou na bola sabendo-se 
que a interação durou 2,0 . 10–2s e que a massa da bola vale 
0,45kg. 
Considere g = 10,0m/s2 e, se necessário, use a tabela de raízes 
quadradas dada a seguir. 
RESOLUÇÃO: 
a) 1) Δs = V0 t + t2 
2 ⇒TM 2 = 0,20 ⇒TM  0,45s 
1,0 = 5,0 TM 
2) T = TR + TM = 0,20s + 0,45s ⇒ 
b) V0= =  17,8m/s  64km/h 
c) PFD: Fm = mam = m . 
Fm = 0,45 . N 
2. (VUNESP-UFTM-MG-2010) – Dois blocos de massas iguais a 
2,0kg, apoiados sobre superfícies horizontais, estão atados a um 
terceiro corpo de massa 6,0kg. 
Considere que 
– as polias e os fios são ideais; 
– o atrito e a resistência do ar são desprezíveis; 
– a aceleração da gravidade tem módulo igual a 10,0m/s2. 
Determine: 
a) O módulo da aceleração com que o bloco pendurado desce. 
b) A intensidade da força de tração em um dos fios do sistema. 
RESOLUÇÃO: 
a) 
PFD (A): T = mAa 
PFD (B): T = mBa 
PFD (C): PC – 2T = mCa 
PFD (A + B + C): PC = (mA + mB + mC)a 
60,0 = 10,0a 
AC 
 11,6m 
N 0,20 0,40 0,60 0,65 0,80 
N 0,45 0,63 0,77 0,81 0,89 
γ 
––– 
2 
17,8 
––––––––– 
2,0 . 10–2 
T = 0,65s 
Δs 
––– 
Δt 
11,6m 
––––––– 
0,65s 
ΔV 
––– 
Δt 
Fm = 8,0 .102 N 
a = 6,0m/s2 
MÓDULO 33 Leis de Newton
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 8 
FÍSICA A 3.aS 
b) T = mA a 
T = 2,0 . 6,0 (N) 
Respostas: a) 6,0m/s2 
8 – 
b) 12,0 N 
3. (Olimpíada de Portugal) – Um helicóptero de combate a incêndios 
transporta um conteiner vazio de massa 600kg, suspenso por um cabo 
de 20,0m de comprimento. Num dado momento em que o helicóptero 
se afasta do fogo com velocidade constante e horizontal para ir se 
reabastecer, verifica-se que o cabo faz um ângulo de 45° com a vertical. 
a) Determine a intensidade da força de resistência que o ar exerce 
sobre o conteiner. 
b) Após o reabastecimento, o helicóptero regressa ao local do 
incêndio, deslocando-se com a mesma velocidade horizontal em 
módulo. O cabo faz agora um ângulo de 37° com a vertical. 
Quantos litros de água transporta o conteiner? 
A densidade da água é 1,0 . 103 kg/m3 e g = 10,0m/s2. 
sen 37° = 0,60; cos 37° = 0,80 
RESOLUÇÃO: 
a) Para que a velocidade seja 
constante devemos ter: 
Ty = P = mg = 6,0 . 103 N 
Far = Tx 
Como o ângulo vale 45° temos: 
Tx = Ty ⇒ 
b) Como a velocidade tem o mesmo módulo a força de resistência do ar 
tem a mesma intensidade Far = 6,2 . 103 N 
tg 37° = = 
= ⇒ P1 = 8000 N ⇒ M1 = 800kg 
ma = M1 – M ⇒ 
Respostas: a) 6,0 kN 
b) 2,0 . 102kg 
4. (Olimpíada Brasileira de Física) – Técnicos de um laboratório de 
testes desejam determinar se um novo dispositivo é capaz de resistir a 
grandes acelerações e desacelerações. Para descobrir isso, eles colam 
tal dispositivo de 5,0 kg a uma plataforma de testes que depois é 
deslocada verticalmente para cima e para baixo. O gráfico da figura 
mostra a aceleração escalar durante um segundo do movimento. A 
trajetória está orientada para cima considere g = 9,8m/s2. 
a) Identifique as forças exercidas sobre o dispositivo. 
b) Em que instante o peso aparente do dispositivo é máximo? Quanto 
vale o módulo da aceleração neste instante? 
c) O peso aparente do dispositivo é nulo em algum momento? Em 
caso afirmativo, em que instante isso ocorre? Qual é o módulo da 
aceleração neste instante? 
d) Suponha que os técnicos se esqueçam de colar o dispositivo à 
plataforma de testes. O dispositivo permanecerá sobre a plataforma 
de testes durante o primeiro segundo de movimento ou ele sairá 
voando da plataforma em algum instante de tempo? Em caso 
afirmativo, em que instante isso ocorreria? 
RESOLUÇÃO: 
a) 
b) O peso aparente corresponde à intensidade da força F que o dispositivo 
troca com o seu apoio. F será máximo quando a aceleração for dirigida 
para cima e tiver módulo máximo. Isto ocorre no instante t = 0 e a 
aceleração tem módulo 19,6m/s2. 
c) O peso aparente será nulo quando a plataforma estiver em queda livre, 
isto é, aceleração dirigida para baixo com módulo g = 9,8m/s2. Isto 
ocorre no instante t = 0,75s. 
d) O dispositivo se desligará da plataforma quando sua aceleração for 
dirigida para baixo e com módulo maior que 9,8m/s2. Isto ocorre a 
partir do instante t = 0,75s. 
T = 12,0 N 
Far = 6,0 . 103 N 
T1x –––––– 
T1y 
Far ––––– 
P1 
0,60 
––––– 
0,80 
6,0 . 103 
–––––––– 
P1 
ma = 200kg
FÍSICA A 3.aS 
– 9 
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1. Pretende-se movimentar dois blocos A e B, cada um com massa 
2m, colocados em cima de duas plataformas deslizantes que 
apresentam com o solo coeficientes de atrito estático μE = 0,20 e 
cinético μC = 0,12 e cada uma com massa m. O coeficiente de atrito 
estático entre os blocos e as plataformas vale μ’ e é suficientemente 
grande para que os blocos não deslizem em relação às plataformas. Os 
blocos estão unidos por um fio horizontal ideal conforme indica a 
figura. 
A aceleração da gravidade tem módulo g. 
a) Determine o módulo da força F→mínima para que o sistema comece 
a se mover, a partir do repouso. 
Quando a força aplicada tiver intensidade o dobro da força mínima 
calculada no item (a) determine: 
b) o módulo da aceleração do sistema 
c) a intensidade da força que traciona o fio 
d) o mínimo valor de μ’ para que os blocos não deslizem em relação 
às plataformas. 
RESOLUÇÃO: 
a) Para iniciar o movimento: F  Fatdestaque 
F  μe 6mg ⇒ ⇒ 
b) F’ = 2 Fmin = 12 μe mg = 2,4 mg 
PFD : F’ – Fatdin 
= Mtotal a 
2,4mg – 0,12 . 6mg = 6 m a 
0,40g – 0,12g = a ⇒ 
c) PFD: T – 0,12 . 3mg = 3m . 0,28g 
T = 0,36mg + 0,84mg 
d) 
1) PFD(m): fat – Fat = m a 
fat = 0,12 . 3mg + m . 0,28g 
fat = 0,64mg 
2) fat ≤ μ’ 2mg 
0,64mg ≤ μ’ 2mg 
μ’ ≥ 0,32 
2. (Olimpíada Brasileira de Física) – Uma caixa de madeira de peso 
P encontra-se em repouso sobre uma superfície plana. O coeficiente 
de atrito estático entre a caixa e a superfície plana é μe. Posteriormente, 
um garoto começa a empurrar a caixa com uma força F→crescente, que 
faz um ângulo θ com a horizontal, até que a caixa começa a se mover, 
como mostra a figura. 
Calcule: 
a) O menor valor de F→para que a caixa se mova. 
b) A força de reação normal à superfície, (associada ao valor de F→do 
item a,) sobre o bloco. 
RESOLUÇÃO: 
a) Fx = Fcos θ 
Fy = Fsen θ 
FN = P + Fy = P + Fsenθ 
Para a caixa se mover: Fx  Fatmax 
Fcos θ  μE (P + Fsen θ) 
Fcos θ – μE Fsen θ  μE P 
F (cos θ – μE sen θ)  μE P 
F  
Fmin  6 μe mg Fmin = 1,2 mg 
a = 0,28g 
T = 1,2 mg 
μ’min = 0,32 μE P 
–––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ 
μE P 
Fmin  –––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ 
MÓDULO 44 Atrito e Plano Inclinado
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 10 
FÍSICA A 3.aS 
b) FN = P + F sen θ 
FN = P + 
FN = P 
FN = P 
μE P sen θ 
–––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ 
cos θ – μE sen θ  
 μE sen θ 
1 + –––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ  
cos θ – μE sen θ + μE sen θ 
––––––––––––––––––––– 
 3. (UFF-RJ) – Um trabalhador deseja empilhar areia em uma área 
circular de raio R, formando um cone de altura h, conforme indicado 
na figura abaixo. 
O volume de um cone é dado por πR2h/3. Demonstre que o volume 
máximo de areia é πμeR3/3, onde μe é o coeficiente de atrito estático 
da areia com a areia. 
RESOLUÇÃO: 
1) Na situação de volume máximo um grão de areia estará na iminência 
de escorregar, isto é, a força de atrito com sua intensidade máxima 
(força de atrito de destaque). 
10 – 
FN = PN = mg cos θ 
Pt = Fatdestaque 
mg sen θ = μe mg cos θ 
2) Da figura temos: 
tgθ = 
= μe ⇒ 
3) O volume máximo é dado por: 
Vmax= = . μe R 
c.q.d 
tgθ = μe 
h 
––– 
R 
h = μe R 
h 
–––– 
R 
π R2 
––––– 
3 
π R2h 
–––––– 
3 
π μe R3 
Vmax = –––––––– 
3 
P cos θ 
FN = –––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ
FÍSICA A 3.aS 
– 11 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 11 
4. (Olimpíada Brasileira de Física) – Uma cunha de massa M 
submetida a uma força horizontal F→ (ver figura) encontra-se sobre uma 
superfície horizontal sem atrito. Coloca-se um bloco de massa m sobre 
a superfície inclinada da cunha. Se o coeficiente de atrito estático entre 
as superfícies da cunha e do bloco é μe, encontre os valores máximos 
e mínimos da força F→para que o bloco permaneça em repouso sobre a 
cunha. 
RESOLUÇÃO: 
Quando F for máxima a tendência do bloco é escorregar para cima e 
teremos. 
1) Na direção y: 
FN cos θ = Fat . sen θ + P 
FN cos θ = μE FN sen θ + P 
FN (cos θ – μE sen θ) = Mg (1) 
2) Na direção x: 
FN sen θ + μE FN cos θ = Ma 
FN (sen θ + μE cos θ) = Ma (2) 
: = 
a = g 
–––––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ  
3) PFD (M + m) : 
Fmax = (M + m) g –––––––––––––– cos θ – μE sen θ 
Quando F for mínima a tendência do bloco é escorregar para baixo e a 
força de atrito será dirigida para cima 
FN . cos θ + μE FN sen θ = Mg 
FN (cos θ + μE sen θ) = Mg (1) 
FN sen θ – μE FN cos θ = Ma 
FN (sen θ – μE cos θ) = Ma (2) 
a 
––– 
g 
: = 
(2) 
––– 
(1) 
sen θ – μE cos θ 
–––––––––––––– 
cos θ + μE sen θ 
PFD (M + m) : 
(sen θ – μE cos θ) 
Fmin = (M + m) g ––––––––––––––– 
cos θ + μE sen θ 
sen θ + μE cos θ 
–––––––––––––– 
cos θ – μE sen θ 
a 
––– 
g 
(2) 
––– 
(1) 
 sen θ + μE cos θ 
sen θ + μE cos θ
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 12 
FÍSICA A 3.aS 
1. (UFF-RJ) – Um carro de massa igual a 1,0t percorre uma estrada 
com velocidade de módulo constante igual a 36 km/h. Num certo 
trecho, passa por uma curva circular de raio igual a 100m. O piso da 
estrada é horizontal. Adote g = 10 m/s2. 
a) Represente, num diagrama, as forças que atuam sobre o carro. 
b) Calcule o módulo de cada uma das forças do item anterior. 
c) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a estrada e os 
pneus do carro seja igual a 0,9. Determine a máxima velocidade 
escalar com a qual o carro pode realizar a curva sem deslizar. Essa 
velocidade escalar depende da massa do carro? Justifique sua 
resposta. 
RESOLUÇÃO: 
a) 
P→: peso do carro 
FN 
→ : força normal aplicada pelo chão 
F→ 
at: força de atrito aplicada pelo chão 
F → 
12 – 
é a força resultante que o chão aplica no carro 
b) 1) FN = P = mg = 1,0 . 103 . 10 (N) 
FN = P = 1,0 . 104N 
2) Fat = Fcp = 
Fat = (N) 
c) Fat ≤ μE FN 
≤ μE mg 
V2 ≤ μE gR 
V ≤ μE g  R 
Vmax = μE g  R 
Vmax = 0,9  . 1 0 . 1 0 0 (m/s) 
A velocidade máxima não depende da masa do carro (nos cálculos a 
massa foi cancelada) 
2. (VUNESP-UFTM-MG-2010) – O limite de velocidade em 
determinada estrada era pequeno, 20m/s, e, mesmo assim uma de suas 
curvas, com raio de 80m e calçamento plano e horizontal, somava um 
grande número de acidentes por perda de aderência dos pneus dos carros. 
Dados: massa de um veículo = 1,0 . 103 kg 
Módulo da aceleração da gravidade = 10m/s2 
a) Determine a intensidade da força de atrito que um veículo, 
movendo-se com velocidade escalar máxima, sofre lateralmente ao 
realizar essa curva, sem derrapar. 
b) Uma reforma na estrada fez com que o calçamento da curva ficasse 
sobrelevado em um ângulo θ de tal forma que, agora, um veículo 
movendo-se à velocidade escalar máxima, não precisasse contar 
com o atrito para realizar a curva. 
Determine o valor da tangente desse ângulo. 
RESOLUÇÃO: 
a) Fat = Fcp = 
Fat = ⇒ 
b) 1) Fy = P = mg 
2) Fx = Fcp = 
3) tgθ= = 
tgθ= = 
Respostas: a) 5,0 kN 
b) 0,5 
mV2 
–––– 
R 
1,0 . 103 . 102 
––––––––––– 
100 
Fat = 1,0 . 103N 
mV2 
–––– 
R 
Vmax = 30m/s = 108 km/h 
mV2 
–––– 
R 
1,0 . 103 . (20)2 
––––––––––––– (N) 
80 
mV2 
––––– 
R 
mV2 / R 
–––––––– 
mg 
Fx –––– 
Fy 
400 
–––––– 
10 . 80 
V2 
–––– 
gR 
tgθ = 0,5 
Fat = 5,0 . 103 N 
MÓDULO 55 Força Centrípeta
FÍSICA A 3.aS 
– 13 
3. O ROTOR 
Em muitos parques de diversão existe um “brinquedo” chamado 
ROTOR. 
O rotor é um recinto com o formato de um cilíndro oco que pode girar 
em torno de um eixo vertical central. A pessoa entra no rotor, fecha a 
porta e permanece em pé encostada na parede do rotor. 
O rotor começa sua rotação aumentando gradativamente sua 
velocidade angular ω até atingir um valor pré estabelecido quando 
então o chão se abre abaixo da pessoa revelando um fosso profundo. A 
pessoa não cai permanecendo grudada na parede do rotor. 
Indiquemos por R o raio do rotor e por μ o coeficiente de atrito estático 
entre a roupa da pessoa e a parede do rotor. 
Seja g o módulo da aceleração da gravidade. 
Calcule: 
a) o valor mínimo de ω em função de g, μ e R para que a pessoa não 
escorregue. 
b) Sendo a massa da pessoa igual a 50,0kg, o raio do rotor igual a 
2,0m, a velocidade angular do rotor igual a 4,0 rad/s, determine a 
força F→que a parede do rotor exerce na pessoa usando os versores 
(horizontal) e k→(vertical), isto é, a resposta deve ser na forma: 
F→ = Fxi → 
i→ 
+ Fzk → 
Fx = componente horizontal de F→ 
Fz = componente vertical de F→ 
Admita que a pessoa não escorregue e adote g = 10,0m/s2. 
RESOLUÇÃO: 
a) 
1) Fat = P = mg 
2) FN = Fcp = mω2 R 
3) Fat ≤ μ FN 
mg ≤ μ mω2 R 
g 
––––– 
μR 
ω2 ≥ ⇒ω≥ 
g 
––– – 
μ R 
g 
ωmin = –––– 
μ R 
b) Fx = FN = mω2 R = 50,0 . 16,0 . 2,0 (N) = 1,6 . 103 N 
Fz = Fat = mg = 50,0 . 10,0 (N) = 5,0 . 102 N 
F→ = 1,6 . 103 i → 
+ 5,0 . 102k → 
(N) 
Respostas:a) ωmin = 
g 
––– – 
μ R 
b) F→ = 1,6 . 103i → 
+ 5,0 . 102k → 
(N) 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 13
FÍSICA A 3.aS 
4. Um avião descreve uma trajetória circular de raio R em um plano 
vertical mantendo uma velocidade escalar constante. O centro O da 
trajetória está a uma altura H = 2R do solo terrestre, suposto horizontal. 
O piloto experimenta um peso aparente no ponto A, mais baixo de sua 
trajetória, duas vezes maior que o peso aparente no ponto B, mais alto 
da trajetória. Quando o avião está no ponto mais alto de sua trajetória 
um pacote é abandonado da janela do avião. A aceleração da gravidade 
tem módulo g. Despreze o efeito do ar. 
a) Determine o módulo V da velocidade do avião em função de g e R. 
b) Determine, em função de R, a distância horizontal d percorrida pelo 
pacote até chegar ao solo. 
RESOLUÇÃO: 
a) No ponto B: Fcp 
14 – 
B 
= FN + P (1) 
No ponto A: FcpA 
= 2 FN – P (2) 
Como o movimento é circular e uniforme: 
FcpA 
= FcpB 
FN + P = 2FN – P ⇒ 
Em (1): = 3mg ⇒ 
b) 1) Cálculo do tempo de queda do pacote: 
Δsy = V0y t + t2 (MUV) 
3R = 0 + T2 ⇒ 
2) Cálculo do alcance horizontal: 
Δsx = Vx t (MU) 
d = 3g R . = 18 R 2 
Respostas: a) V = 3g R 
b) d = 32 R 
FN = 2 P 
m V2 
––––– 
R 
V = 3g R 
γy ––– 
2 
g 
––– 
2 
6 R 
T = –––– 
g 
6 R 
–––– 
g 
d = 32 R 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 14
FÍSICA A 3.aS 
– 15 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 15 
1. (UNICAMP-SP-2010) – Os ímãs são magnetos permanentes 
amplamente utilizados no nosso dia a dia. Pequenos ímãs de forma 
cilíndrica são comumente empregados para fixar fotos ou bilhetes em 
painéis metálicos. Quando necessário, use g = 10 m/s2 na solução dos 
itens abaixo. 
a) Considere um ímã de massa m = 20 g e o coeficiente de atrito estático 
entre a superfície do ímã e a superfície do painel igual a μe = 0,80. 
Qual é a intensidade da força magnética mínima entre o ímã e o 
painel, que mantém o ímã em repouso aderido a esse painel em uma 
parede perfeitamente vertical? 
b) Quando um pequeno ímã é colocado para segurar uma foto, o ímã 
e a foto deslizam juntos lentamente para baixo. A força magnética 
entre o ímã e o painel nessa situação tem intensidade Fmag = 0,2 N 
e o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies da foto e do 
painel em contato vale μc = 0,60. Calcule o trabalho realizado pela 
força de atrito após um deslocamento de 20 cm do ímã. 
RESOLUÇÃO: 
a) Fat = P = mg 
FN = Fmag 
Fat ≤ μE FN 
mg ≤ μE Fmag 
Fmag ≥ Fmag (min) = = (N) 
b) 1) Fatdin 
= μD FN = μD Fmag 
Fatdin 
= 0,60 . 0,20 N = 0,12 N 
2) τat = Fat . d . cos 180° 
τat = 0,12 . 0,20 . (–1) (J) 
Respostas: a) 2,5 . 10–1 N 
b) –2,4 . 10–2 J 
2. (Olimpíada Paulista de Física) – Um bloco de massa 6,0kg, 
inicialmente em repouso, é puxado horizontalmente por uma força 
constante, de intensidade igual a 49 N sobre uma superfície sem atrito. 
Considere que a força age sobre o bloco durante um deslocamento de 
3,0m. 
a) Qual o trabalho realizado pela força sobre o bloco? 
b) Qual a velocidade escalar final do bloco? 
RESOLUÇÃO: 
a) τF = F → 
 d → 
 cos 0° 
τF = 49 . 3,0 (J) ⇒ 
b) TEC: τF = ΔEcin 
τF = – 
147 = V2 
V2 = 49 ⇒ 
Respostas: a) 147 J 
2 
b) 7,0m/s 
mg 
––– 
μE 
mg 
–––– 
μE 
20 . 10–3 . 10 
–––––––––––– 
0,80 
Fmag (min) = 0,25 N 
τat = –2,4 . 10 –2 J 
τF = 147 J 
mV2 
––––– 
2 
mV0 
–––––– 
2 
6,0 
––– 
2 
V = 7,0m/s 
MÓDULO 66 Trabalho e Potência
FÍSICA A 3.aS 
3. Um motorista dirige seu carro em linha reta, em um plano 
horizontal, com velocidade constante de módulo V0 em uma direção 
perpendicular a uma ferrovia com trilhos retilíneos. 
Quando o carro está a uma distância d da ferrovia o motorista percebe 
pelo ruido a passagem iminente de um trem e tem dois procedimentos 
para evitar a colisão: 
Procedimento 1: frear o carro travando as quatro rodas e o coeficiente 
16 – 
de atrito dinâmico entre os pneus e o chão é constante 
e vale μC. 
Procedimento 2: manter o módulo da velocidade do carro e fazer uma 
curva circular de raio d de modo a passar tangen - 
ciando a ferrovia, conforme ilustrado na figura. 
No procedimento 1 admite-se que o carro vai parar junto à ferrovia e 
no procedimento 2 o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o 
solo é constante e vale μE. 
Para que os dois procedimentos possam ocorrer, conforme o que foi 
descrito, qual a relação entre μE e μC? 
a) μE = 4 μC b) μE = 2 μC 
c) μE = 1,5 μC d) μE = μC 
e) μE = 
Nota: Despreze o efeito do ar. 
RESOLUÇÃO: 
Procedimento 1: TEC : τatrito = ΔEcin 
μC mg d (–1) = 0 – 
(1) 
Procedimento 2: Fat = Fcp 
μE mg = 
2 
(2) 
2 
2 
Comparando-se (1) e (2) resulta: μE = 2 μC 
Resposta: B 
4. Um carro de massa M = 1,0 . 103kg descreve uma trajetória retilínea 
em um plano horizontal. A força da resistência do ar que se opõe ao 
movimento do carro tem intensidade F que varia com a velocidade 
escalar V do carro segundo a relação: 
F = 1,2 V2 (SI). 
Despreze a força de atrito nas rodas não motrizes do carro. A 
velocidade limite atingida pelo carro tem módulo igual a 180km/h. 
Adote g = 10m/s2. 
Determine: 
a) a intensidade da força total de atrito nas rodas motrizes do carro, 
aplicada pelo solo, ao ser atingida a velocidade limite. 
b) a potência útil do motor do carro ao ser atingida sua velocidade 
limite. 
c) o aumento percentual da potência útil do motor se o carro passar a 
subir uma rampa inclinada de 37° (sen 37° = 0,60) mantendo a 
mesma velocidade limite. 
RESOLUÇÃO: 
a) Ao ser atingida a velocidade limite teremos: 
2 
Fat = F = 1,2 Vlim 
Vlim = 180km/h = m/s = 50m/s 
Fat = 1,2 (50)2 (N) 
b) PotU = Fat Vlim 
PotU = 3,0 . 103 . 50 (W) ⇒ 
c) 
F’at = Pt + F 
F’at = Mg senθ + F 
F’at = 1,0 . 103 . 10 . 0,60 + 3,0 . 103 (N) 
F’at = 9,0 . 103 N 
Pot’U = F’at . Vlim 
Como F’at = 3,0 Fat estão Pot’U = 3 PotU e o aumento foi de 200% 
Respostas: a) 3,0kN 
b) 1,5 . 105 W 
c) 200% 
μ ––C– 
2 
2 
m V0 
––––– 
2 
V0 
μC = ––––– 
2 gd 
m V0 
––––– 
d 
V0 
μE = ––––– 
gd 
180 
–––– 
3,6 
Fat = 3,0 . 10 3 N 
PotU = 1,5 . 10 5W 
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FÍSICA A 3.aS 
– 17 
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5. (UFF-RJ) – Um comercial da Chevrolet diz que o Corsa 1.0 
partindo do repouso pode atingir a velocidade escalar de 20,0m/s em 
8,0s em uma trajetória retilínea em um plano horizontal. 
A massa do Corsa é igual a 1,2 . 103 kg. Sob essas condições e 
desprezando-se as perdas por atrito e resistência do ar, determine 
a) a potência média do motor 
b) a intensidade da força resultante no carro, suposta constante 
c) a potência instantânea do motor quando o carro atinge a velocidade 
escalar de 20,0m/s 
RESOLUÇÃO: 
a) 1) Cálculo do trabalho: 
TEC: τmotor =Δ Ecincarro 
m Vf 
2 
τmotor = – 
––––– 
2 
2 
τmotor = (20,0)2 (J) 
τmotor = 240 . 103 J = 2,4 . 105 J 
2) Cálculo da potência média 
Potm= = 
b) PFD: FR = ma = m 
FR = 1,2 . 103 . (N) 
c) Potf = F Vf 
Potf = 3,0 . 103 . 20,0 (W) 
Respostas: a) 3,0 . 104W 
b) 3,0 . 103 N 
c) 6,0 . 104W 
m V0 
––––– 
2 
1,2 . 103 
–––––––– 
2 
τ ––m–o–to–r– 
Δt 
2,4 . 105 J 
––––––––– 
8,0s 
Potm = 3,0 . 10 4W 
ΔV 
–––– 
Δt 
20,0 
––––– 
8,0 
FR = 3,0 . 10 3N 
Potf = 6,0 . 10 4W
FÍSICA A 3.aS 
MÓDULO 77 Energia Mecânica 
1. (UNICAMP-SP) – Um brinquedo que muito agrada às crianças são 
os lançadores de objetos em uma pista. Considere que a mola da figura 
abaixo possui uma constante elástica k = 8,0 . 103 N/m e massa 
desprezível. Inicialmente, a mola está comprimida de 2,0 cm e, ao ser 
liberada, empurra um carrinho de massa igual a 0,20 kg. O car rinho 
abandona a mola quando esta atinge o seu comprimento relaxado, e 
percorre uma pista que ter mina em uma rampa. Considere que não há 
perda de energia mecânica no movimento do carrinho. 
a) Qual é o módulo da velocidade do carrinho quando ele aban dona a 
mola? 
b) Na subida da rampa, a que altura o carrinho tem velocidade de 
módulo 2,0 m/s? 
Adote g = 10m/s2 
RESOLUÇÃO: 
a) Usando-se a conservação da energia mecânica: 
Eelástica = Ecin 
18 – 
= 
V0 = x 
2 
k 
–– 
m 
V0 = 2,0 . 10–2 (m/s) 
b) Para um referencial na pista horizontal, temos: 
2 
= + m g h 
2 
2 – V1 
h = ⇔h = (m) 
Respostas: a) 4,0 m 
b) 0,60 m 
2. (UFPE) – Em um dos esportes radicais da atualida de, uma pessoa 
de 70kg pula de uma ponte de altura H = 50m em relação ao nível do 
rio, amarrada à cintura por um elástico. O elástico, cujo com pri mento 
natural é L = 10 m, se comporta como uma mola de constante elástica 
k. No primeiro movi mento para baixo, a pessoa fica no limiar de tocar 
a água e depois de várias osci lações fica em repouso a uma altura h, em 
relação à su perfície do rio. Calcule h. Adote g = 10m/s2 e consi dere a 
energia mecânica constante até o instante em que a pessoa atinge o 
ponto mais baixo de sua trajetória. 
RESOLUÇÃO: 
(1) 
(referência em B) 
= m g H 
= 70 . 10 . 50 
k = N/m = N/m 
(2) Fe = P 
k (H – h – L) = mg 
(50 – h – 10) = 700 
40 – h = 16 
Resposta: 24m 
k x2 
–––– 
2 
m V0 
–––––– 
2 
V0 = 4,0 m/s 
m V0 
–––––– 
2 
m V1 
–––––– 
2 
V0 
2 
––––––– 
2g 
16,0 – 4,0 
––––––––– 
20 
h = 0,60 m 
8,0 . 103 
–––––––– 
0,20 
EB = EA 
k x2 
–––– 
2 
k . 1600 
––––––– 
2 
175 
–––– 
4 
700 
–––– 
16 
175 
––––– 
4 
h = 24m 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 18
FÍSICA A 3.aS 
– 19 
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3. (UFF-RJ) – Um bloco de massa igual a 5,0 kg, deslizando sobre 
uma mesa horizontal, com coeficientes de atrito cinético e estático 0,50 
e 0,60, respectivamente, colide com uma mola de massa desprezível, 
de constante elástica igual a 1,5 . 103 N/m, inicialmente relaxada (veja 
figura). O bloco atinge a mola com uma velocidade de módulo igual a 
2,0m/s. Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar. 
a) Determine a deformação máxima da mola. Dado 12 2 5 = 35 
b) Informe se após a mola ter atingido a compressão máxima, o bloco 
retorna ou permanece em repouso. Justifique. 
c) Determine o percentual da energia mecânica dissipada pelo atrito 
até o bloco parar pela primeira vez. 
RESOLUÇÃO: 
a) Einicial = Efinal +  τat  
= + μd mg x 
. (2,0)2= . x2 + 0,50 . 50,0x 
2 
750 x2 + 25,0x – 10,0 = 0 
150 x2 + 5,0x – 2,0 = 0 
(m) 
x = (m) ⇒ 
b) Para a compressão máxima: Fmola = k x 
Fmola = 1,5 . 103 . 0,10 (N) = 1,5 . 102 N 
A força de atrito de destaque: 
Fat = μE FN = 0,60 . 50,0 N = 30,0 N 
Como Fmola  Fatdestaque 
o bloco retorna 
c) Ed = τat = μd mg x 
Ed = 0,50 . 50,0 . 0,10 (J) = 2,5 J 
2 
E0 = = . 4,0 (J) = 10,0 J 
= = 0,25 
4. (UFV-MG-2010) – Um pêndulo simples é formado por uma esfera 
de 3,0 kg de massa suspensa em um fio inextensível de 1,50 m de 
comprimento. A esfera é abandonada, a partir do repouso, de uma 
distância h = 25 cm abaixo do teto, como ilustrado na figura abaixo, em 
uma região onde o módulo da aceleração gravitacional é 10,0 m/s2. 
Desprezando-se os atritos e o efeito do ar, faça o que se pede, 
apresentando o raciocínio utilizado: 
a) Desenhe, na própria figura, o diagrama das forças que agem sobre 
a esfera, quando esta se encontra no ponto mais baixo de sua 
trajetória. 
b) Determine o módulo da velocidade da esfera no ponto mais baixo 
de sua trajetória. 
c) Determine o módulo da tração no fio no ponto mais baixo da 
trajetória da esfera. 
RESOLUÇÃO: 
a) 
P → 
= peso da esfera 
T → 
B = força de tração aplicada pelo fio 
b) 
(ref. em A) 
= mg (L – h) 
2 
VB = 2g ( L – h ) = 2 .  1 0 ,0 . 1 ,2 5 (m/s) 
c) TB – P = FcpB 
= 
2 
TB = 30,0 + (N) 
mV0 
––––– 
2 
k x2 
–––– 
2 
–5,0 ± 25, 0  + 1 20 0 
x = –––––––––––––––––– 
300 
–5,0 ± 35,0 
–––––––––– 
300 
x = 0,10m 
mV0 
––––– 
2 
5,0 
–––– 
2 
Ed –––– 
E0 
2,5 
–––– 
10,0 
Ed = 25% E0 
EB = EA 
mVB 
––––– 
2 
VB = 5,0m/s 
mVB 
––––– 
L 
3,0 . 25,0 
––––––––– 
1,5 
TB = 80,0 N 
5,0 
–––– 
2 
1,5 . 103 
––––––– 
2
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 20 
FÍSICA A 3.aS 
1. (VUNESP-UFTM-MG-2010) – O punção é uma ferramenta 
utilizada pelo serralheiro para criar sobre o metal, uma pequena 
reentrância que guiará o perfeito posicionamento da broca nos 
momentos iniciais da perfuração. Um modelo de punção muito prático 
conta com a liberação de um martelete que se movimenta rapidamente, 
a partir do repouso, de encontro ao marcador. 
Admitindo-se que o tempo de interação entre o martelete e a mola que 
o impulsiona seja de 0,15s, e sabendo-se que o impulso transferido para 
o martelete nessa ação tem módulo de 3,0 kg . m/s, determine: 
a) a intensidade da força média aplicada pela mola sobre o martelete; 
b) O módulo da velocidade com que o martelete atinge o marcador, 
sabendo-se que a massa do martelete é de 0,10 kg. 
RESOLUÇÃO: 
a) TI: I = Fm . Δt 
20 – 
3,0 = Fm . 0,15 ⇒ 
b) I = ΔQ = m V – mV0 
3,0 = 0,10 . V ⇒ 
Respostas: a) 20 N 
b) 30m/s 
2. (UFF-RJ) – Um móvel de massa 1,5 . 102kg é acelerado a partir do 
repouso em trajetória retilínea. Durante os primeiros 10 s a intensidade 
da resultante das forças que nele atuam é dada por: 
FR = F0 – Kt, 
onde F0 = 1,0 . 102 N, K = 5,0 N/s e t é o tempo a contar desde o 
instante da partida. 
Determine: 
a) a velocidade escalar do móvel após os 10s; 
b) o trabalho da força resultante nestes 10s. 
c) a potência média da força resultante nestes 10s. 
d) a potência da força resultante no instante t = 10s. 
RESOLUÇÃO: 
a) 
FR = 1,0 . 102 – 5,0t (SI) 
1) IR = área (F x t) 
IR = (100 + 50) (N . s) ⇒ 
2) TI : IR = ΔQ = m V1 
7,5 . 102 = 1,5 . 102 . V1 
2 
b) TEC: τR = Δ Ecin ⇒ τR = ⇒ τR = (5,0)2 (J) 
τR = 18,75 . 102 J ⇒ 
c) Potm = ⇒ 
d) Pot1 = F1 . V1 ⇒ Pot1 = 50 . 5,0 (W) ⇒ 
Respostas: a) 5,0 m/s b) 1,9 kJ c) 1,9 . 102 W d) 2,5 . 102W 
Fm = 20 N 
V = 30m/s 
10 
––– 
2 
IR = 7,5 . 102 N . s 
V1 = 5,0m/s 
m V1 
–––––– 
2 
1,5 . 102 
–––––––– 
2 
τR  1,9 . 103 J 
τ ––R–– 
Δt 
Potm = 1,9 102W 
Pot1 = 2,5 . 102W 
MÓDULO 88 Impulso e Quantidade de Movimento
FÍSICA A 3.aS 
– 21 
3. (EE MAUÁ-2010) – O diagrama mostra os gráficos horários das 
posições de duas partículas A e B que se movimentam sobre o eixo x. 
As partículas colidem unidimensionalmente no instante t = 1,0. Sabendo-se 
que a massa da partícula A é mA = 4,0 kg, determine 
a) as velocidades escalares das partículas A e B antes e depois da 
colisão; 
b) a massa da partícula B. 
RESOLUÇÃO: 
a) 
Δx 
V = –––– 
Δt 
– 1,0 
–––––– 
1,0 
VA = (m/s) = –1,0m/s 
2,0 
––––– 
1,0 
VB = (m/s) = 2,0m/s 
2,0 
––––– 
1,0 
V’A = (m/s) = 2,0m/s 
V’B = (m/s) = 1,0m/s 
b) Conservação da quantidade de movimento no ato da colisão: 
Qf = Qi 
mA V’A + mB V’B = mA VA + mB VB 
mA . 2,0 + mB . 1,0 = mA (–1,0) + mB (2,0) 
mB = 3,0 mA 
Como mA = 4,0kg ⇒ 
4. (UNICAMP-SP-2010) – O lixo espacial é composto por partes de 
naves espaciais e satélites fora de operação abandonados em órbita ao 
redor da Terra. Esses objetos podem colidir com satélites, além de pôr 
em risco astronautas em atividades extravei culares. 
Considere que durante um reparo na estação espacial, um astronauta 
substitui um painel solar, de massa mp = 80 kg, cuja estrutura foi 
danificada. O astronauta estava inicial mente em repouso em relação à 
estação e ao abandonar o painel no espaço, lança-o com uma 
velocidade de módulo vp = 0,15 m/s. 
a) Sabendo-se que a massa do astronauta é ma = 60 kg, cal cule o 
módulo de sua velocidade de recuo. 
b) O gráfico no espaço de resposta mostra, de forma simplificada, o 
módulo da força aplicada pelo astro nauta sobre o painel em função 
do tempo durante o lançamento. Sabendo-se que a variação de 
momento linear é igual ao impulso, cujo módulo pode ser obtido 
pela área do gráfico, calcule a intensidade da força máxima Fmax. 
RESOLUÇÃO: 
a) No ato de lançar o painel, o astronauta e o painel formam um sistema 
isolado e haverá conservação da quantidade de movimento total: 
→Q 
após = →Q 
antes 
→Q 
a + →QP = →0 ⇒ →Q 
A = →Q 
P 
maVa = mP . VP 
60 Va = 80 . 0,15 
b) I =N área (F x t) = ΔQ = maVa 
(0,9 + 0,3) = 60 . 0,20 
0,6 Fmáx = 12 
Respostas: a) Va = 0,20m/s 
b) Fmáx = 20N 
mB = 12,0kg 
1,0 
––––– 
1,0 
Va = 0,20m/s 
F ––m–á–x– 
2 
Fmáx = 20N 
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REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 22 
FÍSICA A 3.aS 
5. (UFES-2010) – Uma mola ideal de constante elástica k lança dois 
blocos unidos por um dispositivo de massa desprezível. O bloco mais 
próximo da mola tem massa M e o outro tem massa 3M. Após o 
lançamento, os blocos se movem sobre uma superfície plana, 
horizontal e lisa. 
a) Sabendo-se que a mola estava comprimida de x0 antes do 
lançamento, determine o módulo da velocidade dos blocos após o 
lançamento. 
Em um determinado instante, após o lançamento, o dispositivo 
(explosivo) que une os blocos é acionado, lançando o bloco de 
massa M de volta contra a mola. 
b) Sabendo-se que o bloco de massa M, ao retornar, comprime a mola 
de , determine os módulos das velocidades dos blocos de massa 
M e de massa 3M imediatamente após a separação. 
O bloco de massa 3M, após a separação, continua movendo-se no 
mesmo sentido até chegar a uma região da superfície não lisa AB, 
muito extensa. 
c) Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético entre a região não 
lisa e o bloco de massa 3M é μ , determine a distância percorrida por 
esse bloco na região não lisa. 
RESOLUÇÃO: 
a) (conservação da energia mecânica) 
22 – 
2= x0 
2 
= ⇒V0 
2 ⇒ 
2 
b) 1) Para o bloco de massa M (bloco 1) temos: 
= 
2 
⇒ V1 
2 = 
2 
⇒ 
2 
2) No ato da explosão o sistema formado pelos dois blocos é isolado 
e haverá conservação da quantidade de movimento total: 
Qapós = Qantes 
3M V2 + M (–V1) = 4M V0 
3 V2 – = 4 
3 V2= x0 ⇒ 
c) TEC: τat = Δ Ecin 
μ 3Mg d (–1) = 0 – 
2 . 
2 
d = . . x0 
2 
Respostas: a) V0 = 
b) V1 = 
V2 = 
c) d = 
kx0 
––––– 
2 
4M V0 
–––––– 
2 
k 
–––– 
4M 
x0 k 
V0 = ––– –––– 
2 M 
M V1 
––––– 
2 
k 
––– 
2 
 x0 ––– 4 
k 
–––– 
M 
 x0 ––– 4 
x0 k 
V1 = ––– –––– 
4 M 
x0 ––– 
4 
k 
–– 
M 
x0 ––– 
2 
k 
–– 
M 
9 
––– 
4 
k 
–– 
m 
3 k 
V2 = ––– x0 ––– 
4 M 
2 
3M V2 
–––––– 
2 
V2 
d = ––––– 
2 μg 
1 
––––– 
2 μg 
9 
––– 
16 
k 
––– 
M 
9 k x0 
d = ––– . ––––– 
32 μ Mg 
Ei = Ef 
x0 ––– 
2 
k 
–– 
M 
x0 ––– 
4 
k 
–– 
M 
3x0 ––– 
4 
k 
–– 
M 
9 
––– 
32 
2 
k x0 
––––– 
μ M g 
x0 ––– 
4
FÍSICA A 3.aS 
– 23 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 23 
1. (UNICAMP-SP) – A terceira Lei de Kepler diz que “o quadrado do 
período de revolução de um planeta (tempo para dar uma volta em 
torno do Sol) dividido pelo cubo da distância média do planeta ao Sol 
é uma constante”. A distância média da Terra ao Sol é equivalente a 1 ua 
(unidade astronômica). 
a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de as teróides (vide figura). 
Os asteróides são corpos sólidos que teriam sido originados do 
resíduo de matéria existente por ocasião da formação do sistema 
solar. Se no lugar do cinturão de asteróides essa matéria tivesse se 
aglutinado formando um planeta, quanto duraria o ano deste planeta 
(tempo para dar uma volta em torno do Sol)? 
b) De acordo com a terceira Lei de Kepler, o ano de Mer cúrio é mais 
longo ou mais curto que o ano terrestre? 
Dado: 5 ≅ 2,2 
RESOLUÇÃO: 
a) O raio médio da órbita do hipotético planeta, de acordo com a escala 
apresentada, é da ordem de 2,7 ua. 
Aplicando-se a 3ª Lei de Kepler, comparando-se a Terra com o planeta 
hipotético, vem: 
= 
3 
RP = 2,7ua, RT = 1ua e TT = 1a 
= 
2 = (2,7)3  20 ⇒ TP = 2 5 anos 
TP 
3 
b) De acordo com a 3.a Lei de Kepler, o período T é função crescente do 
raio médio da órbita. 
Como RMercúrio  RTerra ⇒ 
Isto é: o ano de Mercúrio é menor que o ano da Terra. 
Respostas: a) Aproximadamente 4,4 anos terrestres. 
b) O ano de Mercúrio é mais curto que o ter res tre. 
2. (UFV-MG-2010) – Considere um satélite artificial que será 
colocado em uma órbita circular em torno da Terra. Nos seus 
desenvolvimentos abaixo, use a seguinte notação: G = constante de 
gravitação universal e M = massa da Terra. 
a) Se quisermos que o raio da órbita do satélite seja R, calcule qual 
deverá ser o módulo da velocidade orbital do satélite, em termos 
de G, M e R. 
b) Se quisermos que o satélite seja geossíncrono, ou seja, se quisermos 
que seu período de translação seja igual ao período T de rotação da 
Terra, calcule qual deverá ser o raio da órbita do satélite, em termos 
de G, M e T. 
RESOLUÇÃO: 
a) FG = Fcp 
= ⇒ 
b) V = = 
= ⇒ = 
r3 = 
RT 
–––– 
TT 
2 
RP 
–––– 
TP 
2 
(1) 3 
–––– 
12 
(2,7)3 
––––– 
TP 
2 
TP  4,4 anos terrestres 
TMercúrio  TTerra 
GMm 
–––––– 
R2 
mV2 
–––– 
R 
GM 
V= –––– 
R 
GM 
–––– 
r 
2 π r 
–––– 
T 
GM 
–––– 
r 
4 π2 r2 
––––––– 
T2 
r3 
––– 
T2 
GM 
–––– 
4π2 
GMT2 
–––––– 
4π2 
GMT2 
r = 
3 
––––––– 
4π2 
MÓDULO 99 Gravitação
FÍSICA A 3.aS 
3. (Olimpíada Brasileira de Física) – Dois satélites de massa m se 
movem em uma mesma órbita circular de raio r em torno de um planeta 
de massa M, como ilustra a figura. Os dois satélites estão sempre em 
extremidades opostas de um mesmo diâmetro enquanto realizam seu 
movimento. Calcule o período do movimento orbital. 
RESOLUÇÃO: 
FcpA 
= FCA + FBA 
m ω2 r = + 
ω2 r = + = 
ω2 = = 
24 – 
2 
= 
4. (UFES) – Uma sonda espacial encontra-se em órbita circular em 
torno de um planeta. Sabe-se apenas que a sonda tem massa m e a 
órbita circular tem período T e raio R. Em relação à sonda, deter mine 
a) o módulo da velocidade; b) a energia cinética; 
c) a energia potencial; d) a energia mecânica total. 
RESOLUÇÃO: 
a) V = ⇒ 
b) Ec = = 
c) Ep = – 
Porém: FG = F cp 
= ⇒ = mV2 
Ep = – mV2 = − 2Ec ⇒ 
d) Em = EP + Ec 
Ep = – 2Ec 
Em = –2Ec + Ec ⇒ Em = – Ec ⇒ 
Respostas: a) V = b) Ec = 
c) Ep = d) Em = 
GMm 
–––––– 
r2 
Gmm 
––––––– 
4r2 
GM 
–––– 
r2 
Gm 
–––– 
4r2 
4 GM + Gm 
––––––––––– 
4r2 
G (4M + m) 
––––––––––– 
4r3 
2π ––– T 
T 
–––– 
2π 
4 r3 
–––––––––––– 
G (4M + m) 
4 π3 
T = 2π –––––––––– 
G (4M + m) 
π3 
T = 4π –––––––––– 
G (4M + m) 
NOTE E ANOTE 
1) A força gravitacional entre dois corpos de massas M e m, 
com centros de massa separados por uma distância d, 
tem intensidade F dada por: 
Mm 
F = G ––––– 
d2 
2) Para um referencial no infinito, a energia potencial gra - 
vitacional Ep entre dois cor pos de massas M e m, com 
centros de mas sa separados por uma distância d, vale: 
– G M m 
Ep = ––––––––– 
d 
Δs 
––– 
Δt 
V = –2–π–R–– 
T 
mV2 
–––– 
2 
m 
––– 
2 
4π2 R2 
–––––– 
T2 
2π2 m R2 
Ec= ––––––––– 
Τ2 
G M m 
––––––– 
R 
G M m 
––––––– 
R2 
mV2 
––––– 
R 
G M m 
––––––– 
R 
–4π2 m R2 
Ep = –––––––––– 
T2 
2π2 m R2 
Em = – ––––––––– 
T2 
2π R 
––––– 
T 
2π2 m R2 
––––––––– 
T2 
–4π2 m R2 
––––––––– 
T2 
2π2 m R2 
– ––––––––– 
T2 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 24
FÍSICA A 3.aS 
– 25 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 25 
MÓDULO 11 00 Física Moderna e Dimensões 
1. (UFPE-2010) – Quando um feixe de luz de comprimento de onda 
4,0 . 10–7m (Efóton = 3,0 eV) incide sobre a superfície de um metal, os 
fotoelétrons mais energéticos têm energia cinética igual a 2,0 eV. 
Suponha que o comprimento de onda dos fótons incidentes seja 
reduzido à metade. Qual será a energia cinética máxima dos 
fotoelétrons, em eV? 
RESOLUÇÃO: 
1) Ec = Ef – τ 
2,0 = 3,0 – τ 
2) Ec = hf – τ 
Ec = h – τ 
E’c= –τ 
E’c = 2 – τ 
E’c = 2 . 3,0 – 1,0 (eV) ⇒ 
2. (UFRN-2010) – Sobre um átomo de hidrogênio no estado 
fundamental, incidem três fótons, cujas energias, em elétrovolt (eV), 
são, respectivamente, 13,20, 12,09 e 10,20. Uma vez num estado 
excitado, o átomo de hidrogênio decairá, emitindo energia na forma de 
fótons. Na figura abaixo, estão representadas as energias dos quatro 
primeiros níveis de energia do átomo de hidrogênio. 
A partir dessas informações: 
a) determine quais desses fótons incidentes podem ser absorvidos pelo 
átomo de hidrogênio no estado fundamental e explique qual o 
estado final do átomo em cada caso; 
b) represente, na figura localizada acima, as possíveis transições dos 
elétrons que se encontram nos níveis excitados, após a emissão dos 
respectivos fótons; 
c) determine as energias dos fótons emitidos. 
RESOLUÇÃO: 
a) Para o fóton ser absorvido sua energia deve coincidir com aquela de 
um salto quântico, isto é, diferença de energias entre dois níveis: 
fundamental – 1.o nível: 10,2 eV 
fundamental – 2.o nível: 12,09 eV 
fundamental – 3.o nível: 12,75 eV 
Podem ser absorvidos as fótons com energia de 10,20 eV (1.o nível) e 
12,09 (2.o nível) 
b) 
c) As energias dos fótons emitidos são os mesmos dos fótons absorvidos: 
10,20 eV e 12,09 eV 
τ = 1,0 eV 
hc 
––– 
λ 
––– 
2 
E’c = 5,0 eV 
c 
–– 
λ 
hc 
––– 
λ
FÍSICA A 3.aS 
3. (UnB) – A biotecnologia tem aumentado a produtividade agrícola, 
o que tem impulsionado o desenvolvimento de técnicas de 
armazenamento e de conservação de alimentos. A radiação ionizante é 
uma técnica eficiente na conservação dos alimentos, pois reduz perdas 
naturais causadas por processos fisiológicos, tais como brotamento, 
maturação e envelhecimento, além de eliminar ou reduzir 
microrganismos, parasitas e pragas, sem causar prejuízo ao alimento. 
As radiações ionizantes utilizadas no tratamento de alimentos se limi - 
tam àquelas classificadas como ondas eletromagnéticas de alta fre quên - 
cia. Nos equipamentos utilizados para a geração dessas ra dia ções, 
ocorre a seguinte sequência de decaimento de radioisótopos. 
26 – 
60 
27 
Co ⎯→ 60 
28 
Ni ⎯→ 60 
Ni 
28 
instável estável 
Apesar de ocorrerem duas emissões diferentes de radiação, apenas uma 
delas é empregada para radiar alimentos. 
Internet: www.cena.usp.br (com adaptações). 
Considere que, no momento em que um equipamento de radiação de 
alimentos foi desativado, a massa do isótopo de cobalto-60 en contrado 
em seu interior correspondia a 3,125% da massa inicial quando o 
equipamento foi fabricado. Sabe-se que o tempo de meia-vida do 
cobalto-60 é de 5,27 anos. Calcule o tempo decorrido, em anos, desde 
a fabricação do referido equipamento, ou seja, quando havia 100% da 
massa do isótopo de cobalto-60 em seu interior, até o instante da 
desativação do referido equipamento. 
RESOLUÇÃO: 
1) m = 
m0 = massa inicial do material radioativo 
m = massa final do material radioativo após n meias-vidas 
Dado: m = m0 
= 3,125 . 10–2 = 2–n 
2n = = 32 ⇒ 
2) Δt = nT = 5 . 5,27 anos = 26,35 anos 
Resposta: 26,35 anos 
4. Quando uma esfera de raio R se desloca em linha reta, no interior 
de um líquido de viscosidade η, com velocidade de módulo V a força 
de resistência ao seu movimento tem intensidade F dada pela lei de 
Stokes: 
A viscosidade η tem equação dimensional em relação à massa M, 
comprimento L e tempo T dada por: 
[η] = M L–1 T–1 
Obter os expoentes x, y e z. 
RESOLUÇÃO: 
[F] = [η]x [R]y [V]z 
MLT–2 = (ML–1T–1)x . Ly . (LT–1)z 
MLT–2 = Mx L–x + y + z T–x – z 
Identificando-se os expoentes: 
–x + y + z = 1 (1) 
–x – z = –2 (2) 
Em (2) 
–1 – z = –2 ⇒ 
Em (1) 
–1 + y + 1 = 1 ⇒ 
Resposta: x = 1; y = 1; z = 1 
m––0– 
2n 
3,125 
––––– 
100 
m 
––– 
m0 
100 
–––––– 
3,125 
n = 5 
F = 6π ηx Ry Vz 
x = 1 
z = 1 
y = 1 
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FÍSICA A 3.aS 
– 27 
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1. (Olimpíada de Portugal) – Numa aula experimental de Física, um 
grupo de alunos colocou sobre o prato de uma balança-dinamômetro: 
• um recipiente de 120g de massa, contendo 200cm3 de água; 
• um corpo de alumínio de 270g de massa e de volume igual a 
100cm3. 
a) Indique qual o valor indicado na balança-dinamômetro, calibrada 
em newtons 
b) Na fase seguinte da experiência os alunos suspenderam o corpo de 
alumínio de um dinamômetro e mergulharam-no totalmente no 
recipiente com água. Quais foram, nestas condições, os valores 
indicados no dinâmometro e na balança-dinamômetro? Justifique 
cuidadosamente a sua resposta. 
Dados: densidade da água: 1,0 . 103kg/m3; g = 10,0m/s2 
RESOLUÇÃO: 
a) M = mR + ma + mal 
M = 120 + 200 + 270 (g) = 590g = 0,59kg 
P = Mg = 0,59 . 10,0 (N) = 5,9N 
b) 1) E = μa V g 
E = 1,0 . 103 . 100 . 10–6 . 10,0 (N) 
E = 1,0N 
2) Fdin + E = P 
Fdin + 1,0 = 0,27 . 10,0 
3) Fbalança = PR + Pa + E 
Fbalança = 0,12 . 10,0 + 0,20 . 10,0 + 1,0 (N) 
Fbalança = 1,2 + 2,0 + 1,0 (N) 
2. (Olimpíada Brasileira de Física) – Um cone maciço e homogêneo 
de base circular de densidade ρc e altura H flutua em um líquido de 
densidade ρ. A parte do cone acima do líquido tem altura h, como 
mostra a figura. Determine a altura h em função de H, ρc e ρ. 
RESOLUÇÃO: 
E = P 
ρ Vi g = ρc VT g 
= 
= 
3 
Ve = VT – Vi 
= 
3 
1 – = 
3 
⇒ 1 – = 
3 
= 
3 
= 
Fbalança = 5,9N 
Fdin = 1,7N 
Fbalança = 4,2N 
V ––––i – 
VT 
ρc –––– 
ρ 
Ve –––– 
VT 
h ––– H 
VT – Vi ––––––– 
VT 
h ––– H 
Vi –––– 
VT 
h ––– H 
ρc –––– 
ρ 
h ––– H 
ρ – ρc ––––––– 
ρ 
h ––– H 
h 
–––– 
H 
ρ 3 – ρc 
––––––– 
ρ 
3 
ρ– h = H 
 ρc ––––––– 
ρ 
MÓDULO 11 11 Hidrostática
FÍSICA A 3.aS 
3. (UFF) – Um corpo de chumbo com volume de 12cm3 é preso por 
um fio e mergulhado em um recipiente de 50g de massa contendo 60g 
de água. Todo o sistema está apoiado sobre uma balança, e o bloco de 
chumbo não toca no fundo, conforme ilustrado na figura abaixo. 
Calcule o valor marcado pela balança, em gramas. Justifique sua 
resposta aplicando o príncipio de Arquimedes e as Leis de Newton. 
Dados: densidade da água, ρ = 1,0g/cm3. 
28 – 
g = 10m/s2 
RESOLUÇÃO: 
1) Cálculo do empuxo: 
E = ρ V g 
E = 1,0 . 103 . 12 . 10–6 . 10 (N) 
2) De acordo com a lei da ação e reação o corpo de chumbo aplicará na 
água uma força vertical para baixo de 0,12 N, isto é, a contribuição do 
chumbo para o peso do sistema é de 0,12 N ou ainda uma contribuição 
em massa de 0,012kg = 12g 
3) A balança indicará a massa do recipiente, mais a massa de água e mais 
os 12g que correspondem à contribuição do corpo de chumbo: 
Mindicada = 50g + 60g + 12g = 122g 
Resposta: 122g 
4. (UnB-2010-Adaptado) – Considere um balão com volume igual a 
5,0 . 106 L deslocando-se horizontalmente a uma altitude constante na 
qual a pressão atmosférica e a temperatura são iguais, respectivamente, 
a 50kPa e 283K. Sendo g = 10m/s2 calcule a massa total do balão e de 
seu conteúdo. A massa molar média do ar vale 0,0289kg/mol) e a 
constante universal dos gases perfeitos vale 8,3 J . mol–1K–1. 
RESOLUÇÃO: 
1) Cálculo da densidade do ar: 
p V = R T 
p = R T ⇒ μ = 
μ = (kg/m3)  0,62kg/m3 
2) Cálculo do empuxo: 
E = μar V g 
E = 0,62 . 5,0 . 103 . 10 (N) = 3,1 . 104 N 
3) E = mg 
3,1 . 104 = m . 10 
Resposta: 3,1 . 103kg ou 3,1t. 
E = 0,12N 
m 
–––– 
M 
μ 
–––– 
M 
p M 
–––– 
R T 
50 . 103 . 0,0289 
–––––––––––––– 
8,3 . 283 
m = 3,1 . 103kg 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 28
FÍSICA A 3.aS 
– 29 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 29 
1. (UFTM-MG) – Em hospitais, o tradicional termômetro a mer - 
cúrio está sendo trocado por termômetros eletrônicos cujo funcio - 
namento conta com o uso de semicondutores. A tendência vem ao 
encontro do movimento de preservação do planeta uma vez que o 
mercúrio, por ser um metal pesado, contamina os mananciais e provoca 
danos irreversíveis quando ingerido. 
a) O termômetro esquematizado está indicando um quadro febril. De - 
termine o valor correspondente a essa temperatura na escala 
Fahrenheit. 
b) Considere as seguintes informações sobre esse termômetro: 
• a distância entre a marca dos 37ºC até a marca dos 39ºC é de 
18mm; 
• a 37ºC, o volume do mercúrio contido no termômetro é de 
6mm3; 
• o coeficiente de dilatação volumétrico do mercúrio é 
1,8 . 10–4 ºC–1. 
Determine, em mm2, a área da secção transversal do cilindro que 
constitui o tubo capilar desse termômetro. 
RESOLUÇÃO: 
a) O termômetro indica a temperatura de 38ºC. 
A conversão para a escala Fahrenheit é feita através da expressão: 
= 
= 
68,4 = θF – 32 
b) Na dilatação do mercúrio, supondo que o vidro não dilatou, temos: 
ΔV = V0 γ Δθ 
Ah = V0 γ Δθ 
A . 18 = 6 . 1,8 . 10–4 . (39 – 37) 
Respostas: a) 100,4ºF b) 1,2 . 10–4mm2 
2. Você conta com seus conhecimentos de Física e com as seguintes 
informações: 
I. A antiga escala de temperaturas Réaumur assinala zero (0) para o 
ponto do gelo e oitenta (80) para o ponto do vapor. 
II. Um paciente internado em um hospital apresentou o seguinte 
gráfico de temperaturas (em Celsius), do momento da internação 
(10 horas) até a sua alta (18 horas). 
Qual a temperatura desse paciente às 12 horas e 30 minutos, expressa 
na escala Réaumur? 
RESOLUÇÃO: 
No gráfico, temos: 
Às 12h30min, a temperatura do paciente era 37,5°C. 
Fazendo-se a conversão para a escala Réaumur, vem: 
θR – 0 37,5 – 0 
–––––– = –––––––– 
80 – 0 100 – 0 
θR 37,5 
–––– = ––––– 
80 100 
Resposta: 30°R 
θ ––c– 
5 
θF – 32 
–––––––– 
9 
38 
––– 
5 
θF – 32 
–––––––– 
9 
θF = 100,4ºF 
A = 1,2 . 10–4mm2 
θR = 30°R 
MÓDULO 11 22 Termologia I
FÍSICA A 3.aS 
3. Uma lei para transferência de calor em regime estacionário é a 
Lei de Fourier. Ela diz o seguinte: “A quantidade de calor que flui por 
unidade de área em um dado material homogêneo é proporcional à 
variação da temperatura, na razão direta, e à espessura, na razão 
inversa”. A constante de proporcionalidade é chamada condutibilidade 
ou condutividade térmica. Considere, agora, uma cabana de inverno, 
com temperatura interna constante e igual a 22°C e a externa igual a 
0°C. Considere, ainda, a cabana bem isolada termicamente, e que 
ocorra perda de calor somente pela única janela, feita de vidro e cuja 
dimensão é 1,0m x 1,0m e espessura 5,0cm. 
Responda: 
a) Qual o sentido do fluxo de calor? Justifique. 
b) Qual o valor do fluxo de calor através dessa janela? Dê a resposta 
em watts. 
c) Dobrando-se a área da janela e usando-se o mesmo tipo de vidro 
com espessura 10,0cm, o que ocorre com o fluxo de calor? 
RESOLUÇÃO: 
a) O fluxo de calor é de A para B, pois o fluxo de calor tem sentido do meio 
de maior temperatura para o de menor temperatura. 
b) Lei de Fourier 
φ = = 
φ = (W) 
c) Dobrando-se a área da janela, o fluxo dobra. Dobrando-se a espessura 
do vidro da janela, o fluxo de calor se reduz à metade. Assim, o 
resultado dessas duas ações é manter o mesmo fluxo. 
Respostas: a) De A para B 
30 – 
b) 352 W 
c) 352 W 
4. O esquema a seguir representa o aparelho de Searle, no qual se 
notam duas câmaras, A e B, por onde circulam fluidos a temperaturas 
constantes e respectivamente iguais a 100°C e 0°C. Duas barras 
metálicas, 1 e 2, de mesma secção transversal, são associadas como se 
indica; as extremidades da associação adentram as câmaras A e B. Os 
comprimentos das barras 1 e 2 valem, respectivamente, 10cm e 16cm 
e os coeficientes de condutibilidade térmica, na mesma ordem, são 
1,0cal/s cm °C e 0,4cal/s cm °C. 
a) Estabelecido o regime permanente de condução, qual é a tempe - 
ratura na junção da associação das barras? 
b) Construa o gráfico da temperatura ao longo das barras. Considere 
a origem do gráfico na extremidade esquerda da barra 1. 
RESOLUÇÃO: 
a) No regime estacionário vale a relação: φ1 = φ2 
Os fluxos através das barras 1 e 2 são iguais. 
Utilizando-se a Lei de Fourier: 
φ = 
vem: 
= 
= 
4 θ = 1600 – 16 θ⇒ 
b) Representando os valores em um gráfico temperatura (θ) x compri - 
mento (L), temos: 
Respostas: a) 80°C 
b) ver gráfico 
ambiente 
0°C 
A vidro B 
cabana 
22°C 
Q 
––– 
Δt 
C S Δθ –––––– 
L 
0,80 . 1,0 . 1,0 . (22 – 0) 
––––––––––––––––––––– 
5,0 . 10–2 
φ = 352 W 
φ’ = 352 W 
K A Δθ –––––––– 
L 
K1 A Δθ1 –––––––– 
L1 
K2 A Δθ2 –––––––– 
L2 
1,0 (100 – θ) 
–––––––––––– 
10 
0,4 (θ – 0) 
––––––––––– 
16 
θ = 80°C 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 25/10/10 09:20 Página 30
FÍSICA A 3.aS 
– 31 
5. (UFG-2010) – Para realizar a medida do coeficiente de dilatação 
linear de um objeto, cujo material é desconhecido, montou-se o ar-ranjo 
ex perimental ilustrado na figura a seguir, na qual d = 3,0cm e 
D = 150,0cm. 
O objeto tem um comprimento inicial de 4,0 cm. Após ser submetido 
a uma variação de temperatura de 250°C, sua imagem projetada na tela 
aumentou 1,0cm. Com base no exposto, calcule o valor do coeficiente 
de dilatação linear do objeto. 
RESOLUÇÃO: 
1) Cálculo do aumento linear produzido pela lente esférica. 
A = 
Assim: 
A = = 
A = – 50 
A imagem projetada é invertida, com tamanho 50 vezes ao objeto. 
2) Se a imagem aumenta de 1,0cm, o objeto correspondente aumenta: 
ΔL = 
ΔL = 2,0 . 10–2cm 
3) Aplicando-se a equação da dilatação linear, temos: 
ΔL = L0 α Δθ 
2,0 . 10–2 = 4,0 . α . 250 
Resposta: 2,0 . 10–5 °C–1 
6. (UFG-2010) – Um recipiente, cujo volume é exatamente 1.000cm3, 
à temperatura de 20°C, está completamente cheio de glicerina a essa 
temperatura. Quando o conjunto é aquecido até 100°C, são entornados 
38,0cm3 de glicerina. 
Dado: 
coeficiente de dilatação volumétrico da glicerina = 0,5 x 10–3°C–1. 
Calcule: 
a) a dilatação real da glicerina; 
b) a dilatação do frasco; 
c) o valor do coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente. 
RESOLUÇÃO: 
a) Cálculo da dilatação real da glicerina. 
ΔVg = V0 γg Δθ 
ΔVg = 1000 . 0,5 . 10–3 (100 – 20) (cm3) 
b) Cálculo da dilatação volumétrica do frasco: 
ΔVf = ΔVg – ΔVap 
ΔVf = (40,0 – 38,0) cm3 
c) Aplicando-se a dilatação volumétrica para o recipiente, temos: 
ΔV = V0 γ Δθ 
2,0 = 1000 . γ . (100 – 20) 
Respostas: a) 40,0cm3 
b) 2,0cm3 
c) 2,5 . 10–5°C–1 
– p’ 
––– 
P 
– D 
––– 
d 
– 150cm 
–––––––– 
3cm 
1,0cm 
–––––––– 
50 
α = 2,0 . 10–5 . C–1 
ΔVg = 40,0cm3 
ΔVf = 2,0cm3 
γ = 2,5 . 10–5 °C–1 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 31
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 32 
FÍSICA A 3.aS 
1. (UNICAMP) – Uma dona de casa dispõe de água à temperatura 
ambiente (25ºC) e de um fogão, mas não de um termômetro. Ela 
necessita de 1,0 litro de água a temperatura de 50ºC. 
a) Para obter o que deseja sem que haja desperdício de água, que 
quantidade de água fervendo e à temperatura ambiente a dona de 
casa deve misturar? 
b) Quanta energia a dona de casa gastou para aquecer a quantidade de 
água à temperatura ambiente determinada no item anterior até que 
ela fervesse? 
Considere que a dona de casa está no nível do mar, a densidade da água 
vale 1,0 x 103kg/m3 e o calor específico da água vale 
1,0 x 103cal/kgºC. 
RESOLUÇÃO: 
a) Utilizando-se o balanço energético, temos: 
Qcedido + Qrecebido = 0 
(m c Δ θ)água quente + (m c Δ θ)água fria = 0 
mq c (50 – 100) + mf c (50 – 25) = 0 
25 mf = 50 mq 
mf = 2mq 
Mas: 
μ = ⇒ m = μ V 
Assim: 
μVf = 2 μ Vq 
Vf = 2Vq 
Como: 
Vf + Vq = 1 
Vem: 
2Vq + Vq = 1 
32 – 
e 
b) Usando-se a equação fundamental da Calorimetria, temos: 
Q = m c Δ θ 
Q = μ V c Δ θ 
Q = 1,0 . 103. . 10–3 . 1,0 . 103 (100 – 25) (cal) 
Respostas: a)  e  
b) 2,5 . 104cal 
2. (VUNESP-FMJ-SP) – Num calorímetro ideal, são misturados 
300g de um líquido a 80°C com 700g do mesmo líquido a 20°C e, após 
alguns minutos, eles entram em equilíbrio térmico a uma temperatura 
θ. Em seguida, o calorímetro é aberto, e o sistema passa a perder calor 
para o ambiente, que está uma temperatura constante de 15°C, até 
entrar em equilíbrio térmico com ele. 
Sabendo que desde a abertura do calorímetro até ser atingido o 
equilíbrio término com o ambiente o sistema perdeu 18 400cal, 
determine o calor específico do líquido, em cal/(g°C). 
RESOLUÇÃO: 
1) Cálculo da temperatura θ. 
Qcedido + Qrecebido = 0 
(m c Δ θ)quente + (m c Δ θ)frio = 0 
300 . c (θ – 80) + 700 . c (θ – 20) = 0 
3θ – 240 + 7θ – 140 = 0 
10θ = 380 
θ = 38°C 
2) No resfriamento de toda a massa líquida, de 38°C para 15°C, o sistema 
perdeu 18 400cal. 
Assim: 
Q = m c Δ θ 
–18 400 = (300 + 700) c (15 – 38) 
–18 400 = –23 000 c 
c = (cal/g°C) 
Respostas: a) 38°C 
b) 0,80 cal/g°C 
m 
––– 
V 
1 
Vq = —— 
3 
2 
Vf = —— 
3 
1 
––– 
3 
Q = 2,5 . 104 cal 
1 
––– 
3 
2 
––– 
3 
18 400 
–––––––– 
23 000 
c = 0,80 cal/g°C 
MÓDULO 11 33 Termologia II
FÍSICA A 3.aS 
– 33 
3. (UEG-2010) – Foi realizado o seguinte experimento em uma aula 
de Laboratório de Física: 
Uma jarra de vidro aberta foi aquecida até que a água no seu interior 
fervesse. Cessando-se o aquecimento, a água parou de ferver. 
Posteriormente, a jarra foi tampada e em cima dela despejou-se água à 
temperatura ambiente. Então, observou-se que a água voltou a ferver. 
Sobre esse experimento, responda ao que se pede. 
a) Justifique o motivo que levou a água a voltar a ferver. 
b) Se esse mesmo experimento fosse realizado a uma altitude superior 
em relação ao anterior, a temperatura de ebulição da água aumen - 
taria, diminuiria ou permaneceria constante? Justifique. 
RESOLUÇÃO: 
a) A água fria provoca condensação de parte do vapor existente no interior 
do recipiente. Esse fato produz redução na pressão sobre o líquido. A 
redução de pressão diminui a temperatura de ebulição. Dessa forma, o 
líquido volta a entrar em ebulição. 
b) Em uma altitude maior, a pressão atmosférica fica menor. Assim, a 
ebulição do líquido ocorre em uma temperatura menor do que aquela 
no laboratório. 
Respostas: a) ver justificativa 
b) Diminuirá. 
4. (UFF-RJ) – Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. 
Levam um recipiente térmico adiabático contendo uma quantidade de 
gelo a – 4°C e 60 latas com 350m de refrigerante, cada uma. As latas 
são de alumínio e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma 
temperatura de 22°C. 
Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, 
aproximadamente, iguais aos da água. 
Sabendo-se que, no equilíbrio térmico, a temperatura no interior do 
recipiente adiabático é 2°C, calcule 
a) a quantidade de calor cedida pelas latas e pelo refrigerante; 
b) a massa de gelo, em quilogramas, que foi colocada no recipiente. 
Dados: 
calor específico sensível do gelo cg ≅ 0,50 cal/g°C; 
calor específico sensível da água ca ≅ 1,0 cal/g°C; 
calor específico sensível do alumínio cA ≅ 0,22 cal/g°C; 
calor específico latente de fusão do gelo L ≅ 80 cal/g; 
massa de alumínio em cada lata mlata ≅ 30 g; 
densidade da água ρa ≅ 1,0 g/cm3 
RESOLUÇÃO: 
a) Cálculo do calor cedido pelas latas e pelo refrigerante. 
Q = Qlatas + Qrefrigerante 
Q = (m c Δ θ)latas + (m c Δ θ)refrigerante 
Mas: 
1 – Latas 
mL = 60 . 30g = 1800g 
2 – Refrigerante 
d = ⇒ m = d V 
m 
––– 
V 
mR = 1,0 . 60 . 350g = 2,1 . 104g 
Assim: 
Q = [1800 . 0,22 . (2 – 22) + 2,1 . 104 . 1,0 (2 – 22)] (cal) 
Q = (–7920 – 420 000) (cal) 
|Q| = 427 920 cal 
O sinal negativo indica que essa energia saiu das latas e do refrigerante. 
b) Utilizando-se o balanço energético, vem: 
Qcedido + Qrecebido = 0 
– 427 920 + [(m c Δ θ)gelo + (m LF)gelo + (m c Δ θ)água] = 0 
– 427 920 + m 0,50 [0 – (– 4)] + m 80 + m . 1,0 . (2 – 0) = 0 
– 427 920 + 2m + 80m + 2m = 0 
84m = 427 920 
m ≅ 5094g 
m ≅ 5,1kg 
Respostas: a) 427 920cal b) 5,1kg 
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FÍSICA A 3.aS 
5. (FUVEST-SP) – Um roqueiro iniciante improvisa efeitos especiais 
utilizando gelo seco (CO2 sólido) adquirido em uma fábrica de 
sorvetes. Embora o início do show seja à meia-noite (24 h), ele o 
compra às 18 h, mantendo-o em uma “geladeira” de isopor, que 
absorve calor a uma taxa de aproximadamente 60 W, provocando a 
sublimação de parte do gelo seco. Para produzir os efeitos desejados, 
2 kg de gelo seco devem ser jogados em um tonel com água, à tem - 
peratura ambiente, provocando a sublimação do CO2 e a produção de 
uma “névoa”. A parte visível da “névoa”, na verdade, é constituída por 
gotículas de água, em suspensão, que são carregadas pelo CO2 gasoso 
para a atmosfera, à medida que ele passa pela água do tonel. Estime: 
a) A massa de gelo seco, Mgelo, em kg, que o roqueiro tem de com prar, 
para que, no início do show, ainda restem os 2 kg necessários em 
sua “geladeira”. 
b) A massa de água, Mágua, em kg, que se transforma em “névoa” com 
a sublimação de todo o CO2, supondo que o gás, ao deixar a água, 
esteja em CNTP, incorporando 0,01g de água por cm3 de gás 
formado. 
NOTE E ADOTE: 
Sublimação: passagem do estado sólido para o gasoso. 
Temperatura de sublimação do gelo seco = – 80º C. 
Calor latente de sublimação do gelo seco = 648 J/g. 
Para um gás ideal, PV = nRT. 
Volume de 1 mol de um gás em CNTP = 22,4 litros. 
Massa de 1 mol de CO2 = 44 g. 
Suponha que o gelo seco seja adquirido a – 80ºC. 
RESOLUÇÃO 
a) Cálculo da massa inicial Mgelo da barra: 
Pot Δt = (Mgelo – m)Ls 
60 · 6 · 3600 = (Mgelo – 2000) · 648 
Mgelo = 4000 g 
Mgelo = 4 kg 
b) A sublimação de 2 kg de CO2 “carrega” uma massa Mágua de vapor-d’água, 
Mágua ≅ 10 kg 
34 – 
que representa 0,01 g/cm3. 
Assim: 
0,01 g 1 cm3 
Mágua V(cm3) 
Mágua = V · 0,01 (g) 
Como cada 44 g de CO2 ocupam 22,4 , temos: 
44 g de CO2 22,4  
2000 g de CO2 V() 
2000 · 22,4 
––––––––– 
V =  ⇒V = 1018,18 · 103 cm3 
44 
Portanto: 
Mágua = 1018,18 · 103 · 0,01 (g) 
Mágua ≅ 10,18 · 103 g 
Respostas: a) 4 kg b) 10 kg
FÍSICA A 3.aS 
– 35 
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1. (ITA) – Estime a massa de ar contida em uma sala de aula. Indique 
claramente quais as hipóteses utilizadas e os quantitativos estimados 
das variáveis empregadas. 
Dados: 
M (O2) = 32g M(N2) = 28g 
RESOLUÇÃO: 
Professor, procure exercitar a criatividade do aluno. 
Uma sala de aula típica, destinada a 45 alunos, deve ter área próxima de 
50m2 e pé-direito (altura) de 3,0m. Assim, o volume de ar contido nessa sala 
fica determinado por: 
V = Ah = 50 . 3,0 (m3) ⇒ 
Supondo-se que o ar se comporta como gás perfeito, pode-se aplicar a 
Equação de Clapeyron: 
pV = RT ⇒ m = 
Adotando: 
p = 1,0 atm, R = 0,082 atm /mol. K, T = 27°C = 300K, 
Mar = 30% O2 + 70% N2 = 29,2 . 10–3kg e V = 150 . 103, 
calculemos a massa de gás contida na sala: 
m = (kg) ⇒ 
Atenção que M(O2) = 32g e M(N2) = 28g 
Resposta: 178kg 
2. (UFC-2010) – Um cilindro de área de seção reta S e comprimento 
L, completamente isolado, é dividido em partições A e B, ambas de 
volumes iguais, por uma parede diatérmica, móvel e impermeável. 
Cada partição é preenchida com um gás ideal, de modo que a partição 
A possui o dobro do número de mols da partição B. Ambas as partições 
encontram-se em uma mesma temperatura T durante o processo. 
Despreze quaisquer efeitos de atrito e, quando o sistema estiver em 
equilíbrio, determine: 
a) os volumes das partições A e B em função de S e L. 
b) o módulo do deslocamento da parede em função de L. 
RESOLUÇÃO: 
a) No equilíbrio, as pressões exercidas nas faces da parede diatérmica (que 
separa as porções de gás) são iguais: 
PA = PB 
Como, a equação de Clapeyron garante que: 
P = 
temos: = 
Sendo nA = 2 nB, vem: 
= ⇒ VA = 2 VB 
mas: V = S . h 
Sendo S constante, temos hA = 2hB e hA + hB = L 
Assim: 
Portanto: 
e 
b) No início os volumes são iguais. 
No final, o volume da parte A vale: 
Assim, o deslocamento da parede diatérmica foi de: 
Respostas: a) ; 
b) 
V = 150m3 
m 
––– 
M 
pVM 
––––– 
RT 
1,0 . 150 . 103 . 29,2 . 10–3 
–––––––––––––––––––––––– 
0,082 . 300 
m ≅ 178kg 
n R T 
––––– 
V 
nA R T 
–––––––– 
VA 
nB R T 
–––––––– 
VB 
2 nB ––––– 
VA 
nB –––– 
VB 
2 
hA = –– L 
3 
1 
hB = –– L 
3 
2 
VA = –– S L 
3 
1 
VB = –– S L 
3 
L 
VA = S ––– 
2 
3L 
VA = S ––– 
2 
2L L 4L – 3L 
Δx = S ––– – —— = –––––––– 
3 2 6 
L 
Δx = ––– 
6 
2 
–– S L 
3 
1 
–– S L 
3 
L 
–– 
6 
MÓDULO 11 44 Termologia III
FÍSICA A 3.aS 
3. (FUVEST-2010) – Um balão de ar quente é constituído de um 
envelope (parte inflável), cesta para três passageiros, queimador e 
tanque de gás. A massa total do balão, com três passageiros e com o 
envelope vazio, é de 400 kg. O envelope totalmente inflado tem um 
volume de 1500 m3. 
a) Que massa de ar M1 caberia no interior do envelope, se totalmente 
inflado, com pressão igual à pressão atmosférica local (Patm) e 
temperatura T = 27°C? 
b) Qual a massa total de ar M2, no interior do envelope, após este ser 
totalmente inflado com ar quente a uma temperatura de 127°C e 
pressão Patm? 
c) Qual a aceleração do balão, com os passageiros, ao ser lançado 
nas condições dadas no item b) quando a temperatura externa é 
T = 27°C ? 
RESOLUÇÃO: 
a) Usando-se a equação da densidade volumétrica, temos: 
μ = 
Assim: 
1,2 = ⇒ 
b) Da Equação de Clapeyron, vem: 
pV = nRT 
pV = RT 
36 – 
= mT = constante 
Assim: 
M1T1 = M2T2 
1800 . (27 + 273) = M2 (127 + 273) 
= M2 
c) Nas condições do item b, temos: 
E – P = m a 
μar g V – mg = ma 
1,2 . 10 . 1500 – (1350 + 400) . 10 = (1350 + 400) . a 
18000 – 17500 = 1750 . a 
500 = 1750 . a 
Respostas: a) 1800 kg 
b) 1350 kg 
c) ≅ 0,29 m/s2 
4. (UFES-2008) – No interior de um recipiente cilíndrico, encon-tra- 
se um pistão de massa nula preso 
a uma mola ideal de constante elás - 
tica 8,3 . 106 N/m. A extremi dade 
su perior da mola está presa à base 
superior do cilindro. Entre a base 
inferior e o pistão, encontram-se 
2,0 mols de um gás ideal monoa tô - 
mico e, entre o pistão e a base su - 
perior, é feito vácuo. As paredes do 
cilindro são adiabá ticas, exceto a base inferior, que é diatérmica. Com 
base nessas informações e considerando a constante universal dos 
gases 8,3J mol–1 K–1, faça o que se pede. 
a) Sabendo que o sistema se encontra em equilíbrio inicialmente a 
uma temperatura 200K e com o pistão a uma distância h0 = 4,0cm 
da base inferior, determine a compressão inicial da mola. 
A temperatura do gás é, então, aumentada muito lentamente até que 
a distância do pistão à base seja 3h0/2. Determine 
b) a variação de energia interna sofrida pelo gás durante esse pro cesso; 
c) a quantidade de calor recebida pelo gás durante esse processo. 
RESOLUÇÃO: 
a) A pressão exercida pelo gás, no êmbolo, é dada por: 
p0 = ⇒ p0A = kx0 
Da equação de Clapeyron, obtemos: 
pV = nRT 
Sendo V = Ah, temos: 
pAh = nRT 
pA = 
Assim: 
kx0= (I) 
8,3 . 106 . x0 = 
x0 = 1 . 10–2m 
b) A nova altura h do êmbolo é dada por: 
h = = 
h = 6,0cm 
Dessa forma, o êmbolo subiu 2,0cm fazendo a mola ficar comprimida 
de 3,0cm (x = 3,0cm). 
Usando-se a expressão (I) do item a, tem-se: 
kx = 
8,3 . 106 . 3,0 . 10–2 = 
T = 900K 
Sendo o gás monoatômico, a energia interna é calculada por: 
U = nRT 
ΔU = nRΔT 
ΔU = . 2 . 8,3 . (900 – 200) (J) 
NOTE E ADOTE: 
Densidade do ar a 27°C e à pressão atmosférica local = 1,2 kg/m3. 
Aceleração da gravidade na Terra, g = 10 m/s2. 
Considere todas as operações realizadas ao nível do mar. 
Despreze o empuxo acarretado pelas partes sólidas do balão. 
T (K) = T (°C) + 273 
Indique a resolução da questão. Não é suficiente ape nas escrever as 
respostas. 
m 
––– 
V 
M1 ––––– 
1500 
M1 = 1800 kg 
m 
––– 
M 
pV M 
–––––– 
R 
1800 . 300 
––––––––– 
400 
M2 = 1350 kg 
a ≅ 0,29 m/s2 
F 
––– 
A 
nRT 
–––– 
h 
nRT0 ––––– 
h0 
2 . 8,3 . 200 
–––––––––– 
4,0 . 10–2 
x0 = 1,0cm 
3h0 –––– 
2 
3 . 4,0cm 
––––––––– 
2 
nRT 
–––– 
h 
2 . 8,3 . T 
–––––––––– 
6,0 . 10–2 
3 
––– 
2 
3 
––– 
2 
3 
––– 
2 
ΔU = 17430J 
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FÍSICA A 3.aS 
– 37 
c) O trabalho realizado pelo gás na sua expansão transfere energia para 
a mola. Assim: 
τgás= – 
2 
τgás = [(3 . 10–2)2 – (1 . 10–2)2] (J) 
τgás = (9 . 10–4 – 1 . 10–4) (J) 
τgás = 8 . 10–4 (J) 
τgás = 3320J 
Da 1.ª Lei da Termodinâmica, temos: 
Q = τ + ΔU 
Q = (3320 + 17430) J 
Respostas: a) 1,0cm b) 17 430J c) 20 750J 
5. (VUNESP-SP) – Certa quantidade de um gás é man tida sob pressão 
constante dentro de um cilindro, com o auxílio de um êmbolo pesado, 
que pode deslizar livremente. O peso do êmbolo mais o peso da coluna 
do ar acima dele é de 300 N. Através de uma resistência elétrica de 5,0 
Ω, em contato térmico com o gás, se faz circular uma corrente elétrica 
de 0,10 A durante 10 min. 
a) Determine a quantidade de calor fornecida ao sis tema. 
b) Desprezando as capacidades térmicas do cilindro, êmbolo e resis - 
tência, e sabendo que o êmbolo se eleva lentamente de 0,030 m 
durante o processo, determine a variação de energia interna do gás. 
RESOLUÇÃO: 
a) A energia elétrica dissipada no resistor será fornecida ao sistema na 
forma de calor. 
Eel = Q = P . Δt 
Eel = Q = R i2 Δt = 5,0 . (0,10)2 . 600 (J) 
b) As forças de pressão do gás têm um valor F, em módulo, igual ao peso do 
êmbolo mais a força aplicada pela atmosfera sobre o êmbolo (F = 300N). 
O trabalho τ das forças de pressão do gás será dado por: 
τ = F . h τ = 300 . 0,030 (J) τ = 9,0J 
A variação da energia interna do gás nesse pro cesso será dada por: 
ΔU = Q – τ 
ΔU = 30,0 – 9,0 (J) 
Respostas: a) 30,0J b) 21,0J 
kx2 
–––– 
2 
kx0 
–––– 
2 
8,3 . 106 
–––––––– 
2 
8,3 . 106 
–––––––– 
2 
8,3 . 106 
–––––––– 
2 
Q = 20 750J 
Eel = Q = 30,0J 
ΔU = 21,0J 
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FÍSICA A 3.aS 
1. Fotografias obtidas diante de um ou mais espelhos planos são bas - 
tan te comuns. Com essa técnica, que exige especiais cuidados do 
fotógrafo, belos e curiosos efeitos visuais podem ser registrados. 
No esquema abaixo se vê, de cima, o jovem Paulo, um fotógrafo 
principiante, posicionado no local P diante da superfície refletora de 
um espelho plano vertical E. Paulo deseja fotografar a imagem 
fornecida por E para o corpo de sua irmã, Regina, posicionada no local 
R. Os comprimentos d1, d2 e d3, indicados na figura, são tais que 
d1 = 4,0 m, d2 = 3,6 m e d3 = 0,8 m. 
a) Para que distância Paulo deverá regular sua câmara para obter uma 
foto devidamente focalizada da imagem de Regina? Em relação a 
E, essa imagem é de natureza real ou virtual? 
b) Supondo-se que Paulo queira obter uma foto de sua própria imagem 
utilizando um flash acoplado à câmara (o que não deve ser feito 
quando se dirige, como no caso de Paulo, o eixo do equipamento 
perpendicularmente ao espelho, sob pena de se inserir na imagem 
um brilho comprometedor), qual o intervalo de tempo, em nano 
segundos (1 ns = 10–9 s), gasto pela luz do flash para retornar à 
câmara após o disparo? Adote para a velocidade da luz o va - 
lor c = 3,0 . 108 m/s. 
RESOLUÇÃO: 
a) A imagem de Regina, R’, é simétrica do objeto em relação à superfície 
refletora. 
38 – 
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo POR’, vem: 
D2 = (d1 + d3)2 + d2 
2 ⇒ D2 = (4,0 + 0,8)2 + (3,6)2 
D2 = (4,8)2 + (3,6)2 ⇒ 
D = 6,0 m 
Em relação a E, a imagem R’ é de natureza virtual. 
2d1 –––– 
Δt 
b) c = ⇒ 3,0 . 108 = 
Δt ≅ 2,7 . 10–8 s ⇒ 
2 . 4,0 
–––––– 
Δt 
Δt ≅ 27 ns 
Respostas: a) 6,0 m; virtual; 
b) aproximadamente 27 ns 
2. Considere um espelho plano retangular, disposto perpendicular - 
mente ao solo, considerado plano e horizontal. O espelho tem altura h 
desprezível em comparação com o comprimento de sua base. Admita 
que esse espelho esteja em movimento na direção do seu eixo 
longitudinal, com velocidade v→de módulo 1,0 m/s, conforme ilustra o 
esquema a seguir, que também mostra um garoto G que pode caminhar 
sobre o solo. 
MÓDULO 11 55 Óptica (I)
FÍSICA A 3.aS 
– 39 
a) Supondo G em repouso em relação ao solo, qual o módulo da 
velocidade da imagem de G em relação ao espelho? 
b) Supondo que G se aproxime do espelho, percorrendo a reta r 
coplanar à reta s com velocidade de módulo 4,0 	2	 m/s em relação 
ao solo, qual o módulo da velocidade da imagem de G em relação 
ao espelho? 
RESOLUÇÃO: 
a) Com G em repouso em relação ao solo, sua imagem G’ também se 
apresenta em repouso em relação ao solo. Como o espelho tem velo - 
cidade v→em relação ao solo, G’ tem velocidade v→ 
G’ = –v → 
em relação ao 
espelho (propriedade simétrica). Logo: 
b) 
|v → 
G’ | = |v → 
A velocidade da imagem G’ em relação ao espelho E é v→ 
G’,E, dada pela 
seguinte expressão vetorial: 
v → 
G’,E = v→ 
G’ – v→ 
O módulo de v→ 
G’,E é obtido aplicando-se a Lei dos Cossenos. 
|v → 
G’,E |2 = (4,0 	2	 )2 + (1,0)2 – 2 . 4,0 	2	 . 1,0 cos 45° 
Da qual 
Respostas: a) 1,0 m/s 
b) 5,0 m/s 
3. Espelhos esféricos podem ser utilizados para diversos fins. Os 
côncavos, por exemplo, encontram largo uso em sistemas de ilumi - 
nação, como holofotes, faróis e lanternas. Suponha que em um farol de 
automóvel, dois espelhos esféricos côncavos, admitidos em operação 
de acordo com as condições de Gauss, sejam utilizados para se obter 
um feixe de luz paralelo a partir de uma lâmpada S aproximadamente 
pontual. O espelho principal E1 tem raio de curvatura igual a 16,0 cm, 
enquanto o espelho secundário E2, tem raio de curvatura igual a 
2,0 cm. A figura abaixo ilustra a montagem do farol. 
Para que o feixe luminoso produzido seja efetivamente paralelo, quais 
as distâncias de S aos vértices M e N, respectivamente de E1 e E2? 
RESOLUÇÃO: 
A lâmpada S encontra-se no foco principal de E1, já que os raios incidentes 
nesse espelho a partir de S refletem-se paralelamente ao eixo principal. 
Logo: 
SM = ⇒ SM = cm ⇒ 
Por outro lado, a lâmpada S encontra-se no centro de curvatura de E2, já 
que os raios incidentes nesse espelho a partir de D refletem-se sobre si 
mesmos. Assim: 
SN = R2 ⇒ 
Respostas: SM = 8,0 cm 
SN = 2,0 cm 
|v → 
G’E | = 5,0 m/s 
| = 1,0 m/s 
SM = 8,0 cm 
16,0 
–––– 
2 
R1 ––– 
2 
SM = 2,0 cm 
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FÍSICA A 3.aS 
4. Coloca-se um lápis AB de comprimento L sobre o eixo principal de 
um espelho esférico côncavo E, de distância focal igual a f, que obede - 
ce às condições de estigmatismo de Gauss. A extremidade B do lápis 
é posicionada diante da superfície refletora a uma distância D (D  f) 
do vértice V do espelho, conforme indica a figura abaixo. 
a) Calcule o comprimento C da imagem do lápis produzida por E, em 
função de f, L e D. 
L 
––– 
2 
b) Admitindo-se C = , determine a relação entre L e f para o caso 
particular de a imagem da extremidade B do lápis se formar sobre 
a mesma posição de B. 
RESOLUÇÃO: 
a) Equação de Gauss: = + 
Posição da imagem B: 
40 – 
= + ⇒ = – ⇒ = 
Da qual: 
Posição da imagem A: 
= + ⇒ = – ⇒ = 
Da qual: 
Cálculo de C: 
C = p’B– p’A 
⇒ C = – 
C = 
C = 
Donde: 
b) Se p’B = D (a imagem do ponto B forma-se sobre esse mesmo ponto), 
vem: 
D = ⇒ D – f = f ⇒ D = 2f 
Levando em conta a condição de C = , temos: 
= ⇒ f(f + L) = 2f2 ⇒ f + L = 2f ⇒ L = f 
Portanto: 
Respostas: a) C = 
b) 
5. Um automóvel cujo velocímetro não funciona está se deslocando 
em movimento uniforme ao longo de uma avenida retilínea em que a 
velocidade máxima permitida é de 50 km/h. Esse veículo possui um 
espelho retrovisor esférico (convexo) de raio de curvatura igual a 2,0 m. 
Ao passar diante de uma estaca vertical de altura 1,8 m, o motorista 
põe em marcha um cronômetro, verificando que transcorreram 14 s 
desde o instante em que foi acionado o instrumento até o instante em 
que a altura da imagem da estaca dada pelo espelho é de 10 mm. 
Considerando válidas as condições de Gauss no funcionamento do 
espelho retrovisor, determine se o automóvel trafega ou não dentro do 
limite de velocidade da avenida. 
RESOLUÇÃO: 
I) A = = ⇒ 
(A  0 ⇒ imagem direita) 
II) A = = = 
– 1,0 – p = – 180 ⇒ 
(f  0 ⇒ espelho convexo; foco virtual) 
III) V = = = . 3,6 km/h 
Da qual: 
Resposta: O automóvel trafega dentro do limite de velocidade, já que sua 
velocidade (46 km/h) é menor que a máxima permitida na 
avenida (50 km/h). 
f (D + L) 
p’A = –––––––––– 
D + L – f 
Df 
––––– 
D – f 
f (D + L) 
–––––––– 
D + L – f 
Df (D + L – f) – (Df + Lf) (D – f) 
––––––––––––––––––––––––––––– 
(D – f) (D + L – f) 
D2f + DfL – Df2 – (D2f – Df2 + DfL – Lf2) 
––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
(D – f) (D + L – f) 
Lf2 
C = –––––––––––––––– 
(D – f) (D + L – f) 
Df 
–––––– 
D – f 
L 
––– 
2 
Lf2 
–––––––––––––––– 
(2f – f) (2f + L – f) 
L 
––– 
2 
L 
–– = 1 
f 
Lf2 
–––––––––––––––– 
(D – f) (D + L – f) 
L 
––– = 1 
f 
1 
A = –––– 
180 
10 mm 
––––––––– 
1800 mm 
i 
––– 
o 
– 1,0 
–––––––– 
– 1,0 – p 
1 
–––– 
180 
f 
––––– 
f – p 
p = 179 m 
179 
–––– 
14 
179 m 
–––––– 
14 s 
Δp 
––– 
Δt 
V  46 km/h 
Df 
p’B = –––––– 
D – f 
D + L – f 
––––––––– 
f (D + L) 
1 
––– 
p’A 
1 
––––– 
D + L 
1 
––– 
f 
1 
––– 
p’A 
1 
––– 
p’A 
1 
––––– 
D + L 
1 
––– 
f 
D – f 
–––––– 
Df 
1 
––– 
p’B 
1 
––– 
D 
1 
––– 
f 
1 
––– 
p’B 
1 
––– 
p’B 
1 
––– 
D 
1 
––– 
f 
1 
––– 
p’ 
1 
––– 
p 
1 
––– 
f
FÍSICA A 3.aS 
– 41 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 41 
1. (UNIRIO-RJ-2010) – Um raio de luz monocromática incide sobre 
a superfície de uma lâmina delgada de vidro, com faces paralelas, 
fazendo com ela um ângulo de 30°, como ilustra a figura abaixo. A 
lâmina está envolvida pelo ar e sua espessura é de 	3	 cm. Sabendo-se 
que os índices de refração desse vidro e do ar valem, respectivamente, 
	3	 e 1, determine o deslocamento lateral x, em mm, sofrido pelo raio 
de luz ao atravessar a lâmina. 
RESOLUÇÃO: 
I) Lei de Snell: nv sen r = nar sen i 
	3	 sen r = 1 . sen 60° ⇒ 	3	 sen r = 
sen r = ⇒ 
II) Triângulo retângulo ABC: 
cos r = ⇒ cos 30° = 
= ⇒ 
III) α + r = i ⇒α+ 30° = 60° ⇒ 
IV) Triângulo retângulo ABD: 
sen α = ⇒ sen 30° = 
= ⇒ 
Resposta: 10 mm 
	3	 
––– 
2 
1 
––– 
2 
r = 30° 
e 
––– 
AB 
	3	 
––– 
AB 
	3	 
––– 
2 
	3	 
––– 
AB 
AB = 2 cm = 20 mm 
α = 30° 
x 
––– 
AB 
x 
––– 
20 
1 
–– 
2 
x 
––– 
20 
x = 10 mm 
MÓDULO 11 66 Óptica (II)
FÍSICA A 3.aS 
2. (UNICAMP-2010) – Há atualmente um grande interesse no de sen - 
volvimento de materiais artificiais, conhecidos como metamateriais, 
que têm propriedades físicas não convencionais. Este é o caso de 
metamateriais que apresentam índice de refração negativo, em contras - 
te com materiais convencionais que têm índice de refração positivo. 
Essa propriedade não usual pode ser aplicada na camuflagem de 
objetos e no desenvolvimento de lentes especiais. 
a) Na figura no espaço de resposta é representado um raio de luz A 
que se propaga em um material convencional (Meio 1) com índice 
de refração o n1 = 1,8 e incide no Meio 2 formando um ângulo 
θ1 = 30° com a normal. Um dos raios B, C, D ou E apresenta uma 
trajetória que não seria possível em um material convencional e que 
ocorre quando o Meio 2 é um metamaterial com índice de refração 
negativo. Identifique este raio e calcule o módulo do índice de 
refração do Meio 2, n2, neste caso, utilizando a lei de Snell na 
forma: 
|n1| sen θ1= |n2| sen θ2. Se necessário use 	2	 = 1,4 e 	3	 = 1,7. 
b) O índice de refração de um meio material, n, é definido pela razão 
entre as velocidades da luz no vácuo e no meio. A velocidade da 
luz em um material é dada por v = , em que ε é a permissi-vidade 
42 – 
elétrica e μ é a permeabilidade magnética do material. 
Calcule o índice de refração de um material que tenha 
ε = 2,0 . 10–11 e μ = 1,25 . 10–6 . A velocidade da luz 
no vácuo é c = 3,0 . 108 m/s. 
RESOLUÇÃO: 
a) O raio luminoso que está em desacordo com um material convencional 
é o E. 
Aplicando-se a Lei de Snell com os dados indicados na figura (θ1 = 30° 
e θ2 = 45°) e lembrando-se de que n1 = 1,8, determinemos o módulo do 
índice de refração, |n2|, do meio 2. 
|n1| sen θ1 = |n2| sen θ2 
1,8 . sen 30° = |n2| sen 45° ⇒ 1,8 . 0,5 = |n2| 
0,9 = |n2| ⇒ 
b) A intensidade da velocidade de propagação da luz no material consi - 
derado é obtida fazendo-se: 
V = ⇒V = (m/s) 
Da qual: 
O índice de refração n fica determinado por: 
n = ⇒ n = 
Da qual: 
Respostas: a) Aproximadamente 1,3 
b) 1,5 
––1––– 
	ε	μ	 
C2 
––––– 
Nm2 
Ns2 
––––– 
C2 
	2	 
––– 
2 
1,4 
––– 
2 |n2|  1,3 
1 
–––– 
	ε	μ	 
1 
–––––––––––––––––––––– 
	2		,0		 .	 	1	0	–	1	1		.	 1		,2		5	 	. 	1	0		– 	6	 
V = 2,0 . 108 m/s 
c 
––– 
V 
3,0 . 108 
–––––––– 
2,0 . 108 
n = 1,5 
REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 42
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Exercícios resolvidos de física222

  • 1. FÍSICA A 3.aS REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página I Física Curso Extensivo – A 3.a série – Ensino Médio
  • 2. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página II FÍSICA AC 3.aB/E
  • 3. FÍSICA A 3.aS – 1 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 1 1. A taxa de álcool no sangue de uma pessoa depende da quantidade de álcool ingerida, da massa da pessoa e do momento em que ela bebe (em jejum ou durante as refeições). A equação a seguir permite calcular a taxa de álcool no sangue (TAS), medida em gramas por litro (g/). Q = quantidade de álcool ingerido, em gramas m = massa de pessoa, em kg k é uma constante que vale 1,1 se o consumo de álcool é feito nas refeições ou 0,7 se o consumo for feito fora das refeições. Admita ainda que o tempo de reação tR de um motorista varia com a taxa de álcool no sangue (TAS) de acordo com a relação: tR = 0,5 + 1,0 (TAS)2 TAS medido em g/ tR medido em segundos. Um motorista está dirigindo um carro com velocidade de módulo V0 = 72,0 km/h quando avista uma pessoa atravessando a rua imprudentemente à sua frente. Após o seu tempo de reação, o motorista aciona o freio, imprimindo ao carro uma aceleração de módulo constante a até a imobilização do veículo. O gráfico a seguir mostra a velocidade escalar do carro em função do tempo. Sabe-se que a distância percorrida pelo carro desde a visão do pedestre (t = 0) até a sua imobilização (t = 5,5s) foi de 70,0m. Determine a) o tempo de reação do motorista tR e o módulo a da aceleração do carro durante a freada. b) a taxa de álcool no sangue do motorista (TAS) e a quantidade de álcool ingerido Q, sabendo-se que o motorista tem massa m = 70 kg e ingeriu bebida alcoó lica durante o almoço. RESOLUÇÃO: a) 1) Cálculo do tempo de reação tR: Δs = área (v x t) 70,0 = (5,5 + tR) 7,0 = 5,5 + tR ⇒ 2) Cálculo do módulo da aceleração a durante a freada: a = a = (m/s2) ⇒ b) 1) Cálculo da taxa de álcool no sangue (TAS): tR = 0,5 + 1,0 (TAS)2 1,5 = 0,5 + 1,0 (TAS)2 1,0 = 1,0 (TAS)2 ⇒ 2) Cálculo da quantidade de álcool ingerido Q: Q = km (TAS) Q = 1,1. 70 . 1,0 (g) ⇒ Respostas: a) 1,5s e 5,0 m/s2 b) 1,0 g/ e 77g 2. Uma lebre corre em linha reta com velocidade escalar constante de 72,0km/h rumo à sua toca. No instante t = 0 a lebre está a 200m da toca e neste instante um lobo que está 40m atrás da lebre parte do repouso com aceleração escalar constante de 5,0m/s2 mantida durante 90m e em seguida desenvolve velocidade escalar constante. O lobo descreve a mesma reta descrita pela lebre. a) Faça um gráfico da velocidade escalar em função do tempo para os movimentos da lebre e do lobo desde o instante t = 0 até o instante em que a lebre chegaria à sua toca. b) Determine se o lobo alcança a lebre antes que ele chegue à sua toca. RESOLUÇÃO: a) 1) Instante t1 em que a lebre chega à toca: Δs = Vt (MU) 200 = 20,0 t1 ⇒ 2) Cálculo da velocidade final do lobo: V2 = V0 2 + 2 γΔs 2 = 0 + 2 . 5,0 . 9,0 = 900 V1 Q TAS = ––––– km 20,0 ––––– 2 tR = 1,5s ΔV ––––– Δt 20,0 –––– 4,0 a = 5,0 m/s2 TAS = 1,0 g/ Q = 77g t1 = 10,0s V1 = 30,0m/s Revisão FÍSICA MÓDULO 11 Cinemática Escalar
  • 4. FÍSICA A 3.aS 2 – 3) Cálculo do instante t2 em que o lobo atinge sua velocidade máxima: V = V0 + γ t 30,0 = 0 + 5,0 t2 ⇒ 4) gráficos V = f(t) b) Distância percorrida pelo lobo até o instante t = 10,0s: Δs = área (V x t) d = (10,0 + 4,0) (m) = 210m Quando a lebre chega na toca o lobo está a 30,0m da toca e, portanto, não conseguiu alcança-la. 3. (Olimpíada de Portugal) – O João e a Maria são dois jovens apaixonados pela Mecânica. Construíram cada um o seu veículo automóvel, uma espécie de kart. Pretendem agora competir um com o outro numa pista retilínea e horizontal, na propriedade da família de um deles. O sistema de referência utilizado consiste num eixo horizontal com origem no ponto de partida e o sentido do deslocamento dos carros durante a corrida. a) O carro do João deslocou-se inicialmente com aceleração escalar constante de valor máximo que o motor permitiu. Após t1 = 30,0s, quando o módulo da sua velocidade era V1J = 12,5m/s, o motor avariou-se e o carro passou a deslocar-se com aceleração escalar constante igual a a2J = –3,0 × 10–2m/s2, devido aos atritos. O tempo total necessário para o João atingir meta foi de 200s, contado desde a partida. Qual é o comprimento da pista? b) A Maria preferiu ser mais cautelosa. No seu primeiro percurso após a partida, de comprimento l1 = 400m, o módulo da acelaração escalar do seu carro foi a1M = 0,20m/s2, após o que manteve a velocidade escalar constante, durante 117s até atingir a meta. Quem é que ganhou a corrida? Adote 10 = 3,2 RESOLUÇÃO: a) 1) Cálculo de V1: a = ⇒ –3,00 . 10–2 = ⇒ ΔV = –5,1m/s V1 = 12,5 – 5,1 (m/s) = 7,4m/s 2) L = área (V x t) L = + (12,5 + 7,4) (m) L = 187,5 + 1691,5 (m) b) 1) Δs = V0 t + t2 (MUV) 2 400 = 0 + T1 T1 2 = 4000 T1 = 2010s = 20 . 3,2s = 64s 2) Ttotal = T1 + 117s = 185s Como João gastou 200s para completar a corrida então Maria, que gastou menos (181s), foi a ganhadora. t2 = 6,0s 30,0 –––– – 2 ΔV ––––– Δt ΔV –––– – 170 30,0 . 12,5 ––––––––– – 2 170 ––– – 2 L = 1879m γ –– – 2 0,20 ––– – 2 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 2
  • 5. FÍSICA A 3.aS – 3 4. (Olimpíada de Portugal) – Há alguns séculos pensava-se que, quando abandonados em queda livre, os corpos mais pesados demoravam menos tempo a atingir o solo, do que os mais leves. No século XVI Galileu Galilei verificou que esta ideia nem sempre estaria correta. Uma das experiências que é frequentemente apresentada para expor a conclusão de Galileu usa uma bomba de vácuo e um tubo de vidro que contém um pedaço de chumbo e uma pena. A experiência desenvolve-se em duas fases: Fase I — Inverte-se o tubo e observam-se os movimentos de queda do pedaço de chumbo e da pena. Fase II — Extrai-se o ar do interior do tubo (usando a bomba de vácuo), garantindo-se que o vácuo se mantém. Inverte-se novamente o tubo e registram-se os movimentos de queda dos objetos referidos. Analise os esboços gráficos seguintes. a) Qual dos gráficos traduz melhor a velocidade escalar de queda da pena da galinha, em função do tempo, a1) na fase I da experiência? a2) na fase II da experiência? b) Quais os gráficos que traduzem a evolução temporal da velocidade escalar de queda do pedaço de chumbo nas fases I e II da experiência. Justifique. c) Considere agora que esta mesma experiência fosse realizada na Lua. Esboçe o gráfico v = f(t), do movimento da pena, para as fases I e II da experiência. Compare os valores do máximo da velocidade atingido nas duas fases e os tempos de queda, na Lua, com os valores obtidos na Terra. Considere a aceleração da gravidade da Terra com módulo seis vezes maior do que na Lua. RESOLUÇÃO: a1) Com resistência do ar a aceleração da pena vai diminuindo até se anular quando ela fica com velocidade constante (velocidade limite de queda) o que corresponde ao gráfico C. a2) Na fase II da experiência a queda se dá no vácuo e a acelaração permanece constante e igual a da gravidade o que corresponde ao gráfico B. b) Para o chumbo a resistência do ar é desprezível em comparação com o peso de chumbo e a aceleração é praticamente igual à da gravidade e nas duas fases está correto o gráfico B. c) Na Lua não tem atmosfera e a queda da pena ocorre com a aceleração da gravidade da Lua gL = gT. Nas duas fases o gráfico é análogo ao B Na Terra: (vfT)2 = v0 2 + 2 gT L vfT = 2gT L Na Lua: vfL = 2gL L ⇒ 2 ⇒TT = Na Terra: L = TT 2 ⇒TL = Na Lua: L = TL ⇒ 1 ––– 6 vfL gL –––– = –––– vfT gT vfL 1 –––– = ––– vfT 6 gT ––– – 2 2L ––– – gT gL ––– – 2 2L ––– – gL TL gT –––– = –––– TT gL TL –––– = 6 TT REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 3
  • 6. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 4 FÍSICA A 3.aS 1. (IFUSP) – Na figura podemos observar o movimento de três partículas, num certo instante T. Todas elas deslocam-se no sentido anti-horário sobre circunferências de raio 5,0m, com velocidades variáveis (direção e/ ou módulo). Neste instante aparecem, indicados nas figuras, também os vetores aceleração e seus módulos. Para cada partícula, achar o módulo da velocidade vetorial e da aceleração escalar. Dados: sen 37° = 0,60 cos 37° = 0,80 sen 30° = 0,50 cos 30° = 3/2 RESOLUÇÃO: a) A aceleração vetorial só tem componente centrípeta: 1) γ1 = a→ 4 – t = 0 2) a→ 2 cp = ⇒ 20,0 = ⇒ b) 1) γ2 = a→ t = a sen θ γ2 = 16,0 . 0,60 (m/s2) ⇒ cp = a cos θ = 2) a→ 2 16,0 . 0,80 = ⇒ c) 1) γ3 = a→ t = a cos θ 2 γ3 = 10,0 . (m/s2) ⇒ cp = a senθ = 2) a→ 2 10,0 . 0,50 = ⇒ 2. (UFG-2010) – O funcionamento de um dispositivo seletor de velocidade consiste em soltar uma esfera de uma altura h para passar por um dos orifícios superiores (O1, O2, O3, O4) e, sucessivamente, por um dos orifícios inferiores (P1, P2, P3, P4), conforme ilustrado na figura a seguir. Os orifícios superiores e inferiores mantêm-se alinhados, e o sistema gira com velocidade angular constante ω. Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se que a esfera é liberada do repouso, calcule a altura máxima h para que a esfera atravesse o dispositivo. RESOLUÇÃO: 1) Cálculo da velocidade V1 com que a esfera atinge o orifício: V2 = V0 2 + 2 γ Δs: 2 = 2gh ⇒V1 = 2g h V1 2) Para que h seja máximo, V1 deverá ser máximo e a esfera percorre a distância H em um tempo igual a um quarto do período de rotação do cilindro (tempo mínimo) Δs = V0 t + t2 onde t = = = H = 2g h . + . H – = 2g h . H – . = 2g h 2g h = – ⇒ 2gh = 2 v2 ––– – R v1 ––– – 5,0 v1 = 10,0m/s γ2 = 9,6m/s2 v2 ––– – R v2 ––– – 5,0 v2 = 8,0m/s 3 ––– – 2 γ3 = 5,0 3 m/s2 v3 ––– – R v3 2 ––– – 5,0 v3 = 5,0m/s γ –– – 2 T ––– 4 2π ––– – 4ω π ––– – 2ω π ––– 2ω g ––– 2 π2 –––– 4ω2 g ––– 2 π2 –––– 4ω2 π ––– 2ω 2ω ––– π g π2 ––––– 8ω2 2ω ––– π 2ωH –––– π gπ –––– 2ωH –––– 4ω π gπ – –––– 4ω 1 2ω H g π 2 h = –––– –––––– – ––––2g π 4ω MÓDULO 22 Cinemática Vetorial
  • 7. FÍSICA A 3.aS – 5 3. (Olimpíada Iberoamericana) – Um observador A encontra-se no centro da Praça de Espanha na cidade de Guatemala, observando o movimento de dois motociclistas, B e C. Estes motociclistas descrevem trajetórias circulares em torno de A, no mesmo sentido, e de raios RB = 35,0m e RC = 60,0m. O observador A verifica que motociclista B demora TB = 10,0s para completar uma volta, enquanto C demora TC = 16,0s. a) Calcular o menor número de voltas completas de B e C, contadas a partir do instante inicial, para que essa mesma configuração se repita (ver figura). b) Determinar o tempo mínimo, a partir do instante inicial, até que A, B e C estejam alinhados pela primeira vez. c) Determinar o número (inteiro ou fracionário) de voltas dadas por B e por C no intervalo de tempo obtido no item anterior. RESOLUÇÃO: a) B e C deverão dar um número completo de voltas e o intervalo de tempo deverá ser múltiplo dos dois períodos. Isto ocorre pela primeira vez para: Δt = mmc (TB ; TC) = mmc (10,0s; 16,0s) = 80,0s A moto B terá dado 8 voltas e a moto C terá dado 5 voltas b) Movimento relativo: C é suposto parado e B girando com a velocidade angular relativa: ωrel = ωB – ωC = – Para ficarem alinhados pela primeira vez: Δϕ rel = π rad = – = – = c) fB = ⇒ = ⇒ nB = fC = ⇒ = ⇒ nC = 4. (Olimpíada de Portugal) – Um grupo de amigos encontrou-se numa margem do rio e resolveu ir fazer um piquinique num parque de merendas que ficava na outra margem, 500m mais abaixo, para o lado da foz. Naquela zona o rio tem largura 100m e a velocidade da correnteza tem módulo igual a 1,0m/s. Os estudantes decidiram dirigir o barco na direção perpendicular à margem (condição de tempo de travessia mínimo) e esperar que a correnteza os levasse até ao ancoradouro pretendido. Qual é a o módulo da velocidade que devem imprimir ao seu barco, relativamente à água, para conseguirem o se objetivo? RESOLUÇÃO: 1) Cálculo do tempo gasto usando o movimento de arrastamento D = VARR . T 500 = 1,0 . T ⇒ 2) Cálculo da velocidade relativa: Vrel = Vrel = (m/s) ⇒ Δϕ rel –––––– Δt 2π ––– TB 2π ––– TC π ––– Δt 2π –––– 10,0 2π –––– 16,0 1 –––– Δt 1 –––– 5,0 1 –––– 8,0 8,0 – 5,0 –––––––– 40,0 40,0 Δt = –––– – s 3,0 nB –––– Δt 1 –––– 10,0 nB ––––––– 40,0 ––––– 3 4 ––– 3 nC ––– Δt 1 –––– 16,0 nC ––––––– 40,0 ––––– 3 5 ––– 6 T = 500s Δsrel ––––– Δt 100 –––– 500 Vrel = 0,2m/s REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 5
  • 8. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 6 FÍSICA A 3.aS 5. Um jogador de futebol bate uma falta imprimindo à bola uma velocidade inicial V→ 6 – 0 de módulo V0 e inclinada de θ em relação ao plano do chão. A bola atinge a cabeça de um jogador de altura h = 2,0m após um tempo de voo de 2,0s. A distância horizontal do jogador à posição de onde foi batida a falta é de 22,0m. Despreze o efeito do ar e adote g = 10,0m/s2. Determine: a) o ângulo θ e o valor de V0. b) a altura máxima atingida pela bola. RESOLUÇÃO: a) 1) Δsx = Vox t (MU) 22,0 = Vox . 2,0 ⇒ Vox = 11,0m/s γy ––– 2 2) Δsy = Voy t + t2 (MUV) ↑ (+) 2,0 = Voy . 2,0 – 5,0 (2,0)2 ⇒ 3) Vox = Voy ⇒ 4) V0 2 = Vox 2 + Voy 2 Vo = 11,0 2 m/s 2 = Voy b) Vy 2 + 2 γy Δsy 0 = (11,0)2 + 2 (–10,0) H 20,0 H = 121 Respostas: a) θ = 45° e V0 = 11,0 2 m/s b) H = 6,05m Vox = 11,0m/s H = 6,05m θ = 45°
  • 9. FÍSICA A 3.aS – 7 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 7 1. Imagine uma copa Mundial de Futebol que vai ser decidida nos pênaltis. O goleiro cuja altura é de 2,0m está postado bem no meio do gol que tem largura de 7,32m. A distância da marca de pênalti até a linha de gol é de 11,0m. Considere que o batedor do pênalti imprimiu a bola uma velocidade de módulo V0 e que a bola descreve movimento retilíneo e uniforme junto ao solo indo na direção da trave conforme indica a figura adiante, vista de cima. ––– Admita que o goleiro vai iniciar seu movimento no instante em que o batedor toca na bola e que ele consegue espalmar a bola que iria bater na trave. O tempo T gasto pelo goleiro para chegar na bola é a soma de duas parcelas: o seu tempo de reação TR que é de 0,20s e o tempo de movimento TM que é igual ao tempo de queda livre vertical de uma partícula, a partir do repouso, de uma altura igual à metade da altura do goleiro. Determine: a) o tempo T gasto pelo goleiro para chegar na bola b) o valor de V0 em km/h c) a intensidade da força média que o batedor aplicou na bola sabendo-se que a interação durou 2,0 . 10–2s e que a massa da bola vale 0,45kg. Considere g = 10,0m/s2 e, se necessário, use a tabela de raízes quadradas dada a seguir. RESOLUÇÃO: a) 1) Δs = V0 t + t2 2 ⇒TM 2 = 0,20 ⇒TM 0,45s 1,0 = 5,0 TM 2) T = TR + TM = 0,20s + 0,45s ⇒ b) V0= = 17,8m/s 64km/h c) PFD: Fm = mam = m . Fm = 0,45 . N 2. (VUNESP-UFTM-MG-2010) – Dois blocos de massas iguais a 2,0kg, apoiados sobre superfícies horizontais, estão atados a um terceiro corpo de massa 6,0kg. Considere que – as polias e os fios são ideais; – o atrito e a resistência do ar são desprezíveis; – a aceleração da gravidade tem módulo igual a 10,0m/s2. Determine: a) O módulo da aceleração com que o bloco pendurado desce. b) A intensidade da força de tração em um dos fios do sistema. RESOLUÇÃO: a) PFD (A): T = mAa PFD (B): T = mBa PFD (C): PC – 2T = mCa PFD (A + B + C): PC = (mA + mB + mC)a 60,0 = 10,0a AC 11,6m N 0,20 0,40 0,60 0,65 0,80 N 0,45 0,63 0,77 0,81 0,89 γ ––– 2 17,8 ––––––––– 2,0 . 10–2 T = 0,65s Δs ––– Δt 11,6m ––––––– 0,65s ΔV ––– Δt Fm = 8,0 .102 N a = 6,0m/s2 MÓDULO 33 Leis de Newton
  • 10. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 8 FÍSICA A 3.aS b) T = mA a T = 2,0 . 6,0 (N) Respostas: a) 6,0m/s2 8 – b) 12,0 N 3. (Olimpíada de Portugal) – Um helicóptero de combate a incêndios transporta um conteiner vazio de massa 600kg, suspenso por um cabo de 20,0m de comprimento. Num dado momento em que o helicóptero se afasta do fogo com velocidade constante e horizontal para ir se reabastecer, verifica-se que o cabo faz um ângulo de 45° com a vertical. a) Determine a intensidade da força de resistência que o ar exerce sobre o conteiner. b) Após o reabastecimento, o helicóptero regressa ao local do incêndio, deslocando-se com a mesma velocidade horizontal em módulo. O cabo faz agora um ângulo de 37° com a vertical. Quantos litros de água transporta o conteiner? A densidade da água é 1,0 . 103 kg/m3 e g = 10,0m/s2. sen 37° = 0,60; cos 37° = 0,80 RESOLUÇÃO: a) Para que a velocidade seja constante devemos ter: Ty = P = mg = 6,0 . 103 N Far = Tx Como o ângulo vale 45° temos: Tx = Ty ⇒ b) Como a velocidade tem o mesmo módulo a força de resistência do ar tem a mesma intensidade Far = 6,2 . 103 N tg 37° = = = ⇒ P1 = 8000 N ⇒ M1 = 800kg ma = M1 – M ⇒ Respostas: a) 6,0 kN b) 2,0 . 102kg 4. (Olimpíada Brasileira de Física) – Técnicos de um laboratório de testes desejam determinar se um novo dispositivo é capaz de resistir a grandes acelerações e desacelerações. Para descobrir isso, eles colam tal dispositivo de 5,0 kg a uma plataforma de testes que depois é deslocada verticalmente para cima e para baixo. O gráfico da figura mostra a aceleração escalar durante um segundo do movimento. A trajetória está orientada para cima considere g = 9,8m/s2. a) Identifique as forças exercidas sobre o dispositivo. b) Em que instante o peso aparente do dispositivo é máximo? Quanto vale o módulo da aceleração neste instante? c) O peso aparente do dispositivo é nulo em algum momento? Em caso afirmativo, em que instante isso ocorre? Qual é o módulo da aceleração neste instante? d) Suponha que os técnicos se esqueçam de colar o dispositivo à plataforma de testes. O dispositivo permanecerá sobre a plataforma de testes durante o primeiro segundo de movimento ou ele sairá voando da plataforma em algum instante de tempo? Em caso afirmativo, em que instante isso ocorreria? RESOLUÇÃO: a) b) O peso aparente corresponde à intensidade da força F que o dispositivo troca com o seu apoio. F será máximo quando a aceleração for dirigida para cima e tiver módulo máximo. Isto ocorre no instante t = 0 e a aceleração tem módulo 19,6m/s2. c) O peso aparente será nulo quando a plataforma estiver em queda livre, isto é, aceleração dirigida para baixo com módulo g = 9,8m/s2. Isto ocorre no instante t = 0,75s. d) O dispositivo se desligará da plataforma quando sua aceleração for dirigida para baixo e com módulo maior que 9,8m/s2. Isto ocorre a partir do instante t = 0,75s. T = 12,0 N Far = 6,0 . 103 N T1x –––––– T1y Far ––––– P1 0,60 ––––– 0,80 6,0 . 103 –––––––– P1 ma = 200kg
  • 11. FÍSICA A 3.aS – 9 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 9 1. Pretende-se movimentar dois blocos A e B, cada um com massa 2m, colocados em cima de duas plataformas deslizantes que apresentam com o solo coeficientes de atrito estático μE = 0,20 e cinético μC = 0,12 e cada uma com massa m. O coeficiente de atrito estático entre os blocos e as plataformas vale μ’ e é suficientemente grande para que os blocos não deslizem em relação às plataformas. Os blocos estão unidos por um fio horizontal ideal conforme indica a figura. A aceleração da gravidade tem módulo g. a) Determine o módulo da força F→mínima para que o sistema comece a se mover, a partir do repouso. Quando a força aplicada tiver intensidade o dobro da força mínima calculada no item (a) determine: b) o módulo da aceleração do sistema c) a intensidade da força que traciona o fio d) o mínimo valor de μ’ para que os blocos não deslizem em relação às plataformas. RESOLUÇÃO: a) Para iniciar o movimento: F Fatdestaque F μe 6mg ⇒ ⇒ b) F’ = 2 Fmin = 12 μe mg = 2,4 mg PFD : F’ – Fatdin = Mtotal a 2,4mg – 0,12 . 6mg = 6 m a 0,40g – 0,12g = a ⇒ c) PFD: T – 0,12 . 3mg = 3m . 0,28g T = 0,36mg + 0,84mg d) 1) PFD(m): fat – Fat = m a fat = 0,12 . 3mg + m . 0,28g fat = 0,64mg 2) fat ≤ μ’ 2mg 0,64mg ≤ μ’ 2mg μ’ ≥ 0,32 2. (Olimpíada Brasileira de Física) – Uma caixa de madeira de peso P encontra-se em repouso sobre uma superfície plana. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície plana é μe. Posteriormente, um garoto começa a empurrar a caixa com uma força F→crescente, que faz um ângulo θ com a horizontal, até que a caixa começa a se mover, como mostra a figura. Calcule: a) O menor valor de F→para que a caixa se mova. b) A força de reação normal à superfície, (associada ao valor de F→do item a,) sobre o bloco. RESOLUÇÃO: a) Fx = Fcos θ Fy = Fsen θ FN = P + Fy = P + Fsenθ Para a caixa se mover: Fx Fatmax Fcos θ μE (P + Fsen θ) Fcos θ – μE Fsen θ μE P F (cos θ – μE sen θ) μE P F Fmin 6 μe mg Fmin = 1,2 mg a = 0,28g T = 1,2 mg μ’min = 0,32 μE P –––––––––––––– cos θ – μE sen θ μE P Fmin –––––––––––––– cos θ – μE sen θ MÓDULO 44 Atrito e Plano Inclinado
  • 12. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 10 FÍSICA A 3.aS b) FN = P + F sen θ FN = P + FN = P FN = P μE P sen θ –––––––––––––– cos θ – μE sen θ cos θ – μE sen θ μE sen θ 1 + –––––––––––––– cos θ – μE sen θ cos θ – μE sen θ + μE sen θ ––––––––––––––––––––– 3. (UFF-RJ) – Um trabalhador deseja empilhar areia em uma área circular de raio R, formando um cone de altura h, conforme indicado na figura abaixo. O volume de um cone é dado por πR2h/3. Demonstre que o volume máximo de areia é πμeR3/3, onde μe é o coeficiente de atrito estático da areia com a areia. RESOLUÇÃO: 1) Na situação de volume máximo um grão de areia estará na iminência de escorregar, isto é, a força de atrito com sua intensidade máxima (força de atrito de destaque). 10 – FN = PN = mg cos θ Pt = Fatdestaque mg sen θ = μe mg cos θ 2) Da figura temos: tgθ = = μe ⇒ 3) O volume máximo é dado por: Vmax= = . μe R c.q.d tgθ = μe h ––– R h = μe R h –––– R π R2 ––––– 3 π R2h –––––– 3 π μe R3 Vmax = –––––––– 3 P cos θ FN = –––––––––––––– cos θ – μE sen θ
  • 13. FÍSICA A 3.aS – 11 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 11 4. (Olimpíada Brasileira de Física) – Uma cunha de massa M submetida a uma força horizontal F→ (ver figura) encontra-se sobre uma superfície horizontal sem atrito. Coloca-se um bloco de massa m sobre a superfície inclinada da cunha. Se o coeficiente de atrito estático entre as superfícies da cunha e do bloco é μe, encontre os valores máximos e mínimos da força F→para que o bloco permaneça em repouso sobre a cunha. RESOLUÇÃO: Quando F for máxima a tendência do bloco é escorregar para cima e teremos. 1) Na direção y: FN cos θ = Fat . sen θ + P FN cos θ = μE FN sen θ + P FN (cos θ – μE sen θ) = Mg (1) 2) Na direção x: FN sen θ + μE FN cos θ = Ma FN (sen θ + μE cos θ) = Ma (2) : = a = g –––––––––––––––– cos θ – μE sen θ 3) PFD (M + m) : Fmax = (M + m) g –––––––––––––– cos θ – μE sen θ Quando F for mínima a tendência do bloco é escorregar para baixo e a força de atrito será dirigida para cima FN . cos θ + μE FN sen θ = Mg FN (cos θ + μE sen θ) = Mg (1) FN sen θ – μE FN cos θ = Ma FN (sen θ – μE cos θ) = Ma (2) a ––– g : = (2) ––– (1) sen θ – μE cos θ –––––––––––––– cos θ + μE sen θ PFD (M + m) : (sen θ – μE cos θ) Fmin = (M + m) g ––––––––––––––– cos θ + μE sen θ sen θ + μE cos θ –––––––––––––– cos θ – μE sen θ a ––– g (2) ––– (1) sen θ + μE cos θ sen θ + μE cos θ
  • 14. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 12 FÍSICA A 3.aS 1. (UFF-RJ) – Um carro de massa igual a 1,0t percorre uma estrada com velocidade de módulo constante igual a 36 km/h. Num certo trecho, passa por uma curva circular de raio igual a 100m. O piso da estrada é horizontal. Adote g = 10 m/s2. a) Represente, num diagrama, as forças que atuam sobre o carro. b) Calcule o módulo de cada uma das forças do item anterior. c) Suponha que o coeficiente de atrito estático entre a estrada e os pneus do carro seja igual a 0,9. Determine a máxima velocidade escalar com a qual o carro pode realizar a curva sem deslizar. Essa velocidade escalar depende da massa do carro? Justifique sua resposta. RESOLUÇÃO: a) P→: peso do carro FN → : força normal aplicada pelo chão F→ at: força de atrito aplicada pelo chão F → 12 – é a força resultante que o chão aplica no carro b) 1) FN = P = mg = 1,0 . 103 . 10 (N) FN = P = 1,0 . 104N 2) Fat = Fcp = Fat = (N) c) Fat ≤ μE FN ≤ μE mg V2 ≤ μE gR V ≤ μE g R Vmax = μE g R Vmax = 0,9 . 1 0 . 1 0 0 (m/s) A velocidade máxima não depende da masa do carro (nos cálculos a massa foi cancelada) 2. (VUNESP-UFTM-MG-2010) – O limite de velocidade em determinada estrada era pequeno, 20m/s, e, mesmo assim uma de suas curvas, com raio de 80m e calçamento plano e horizontal, somava um grande número de acidentes por perda de aderência dos pneus dos carros. Dados: massa de um veículo = 1,0 . 103 kg Módulo da aceleração da gravidade = 10m/s2 a) Determine a intensidade da força de atrito que um veículo, movendo-se com velocidade escalar máxima, sofre lateralmente ao realizar essa curva, sem derrapar. b) Uma reforma na estrada fez com que o calçamento da curva ficasse sobrelevado em um ângulo θ de tal forma que, agora, um veículo movendo-se à velocidade escalar máxima, não precisasse contar com o atrito para realizar a curva. Determine o valor da tangente desse ângulo. RESOLUÇÃO: a) Fat = Fcp = Fat = ⇒ b) 1) Fy = P = mg 2) Fx = Fcp = 3) tgθ= = tgθ= = Respostas: a) 5,0 kN b) 0,5 mV2 –––– R 1,0 . 103 . 102 ––––––––––– 100 Fat = 1,0 . 103N mV2 –––– R Vmax = 30m/s = 108 km/h mV2 –––– R 1,0 . 103 . (20)2 ––––––––––––– (N) 80 mV2 ––––– R mV2 / R –––––––– mg Fx –––– Fy 400 –––––– 10 . 80 V2 –––– gR tgθ = 0,5 Fat = 5,0 . 103 N MÓDULO 55 Força Centrípeta
  • 15. FÍSICA A 3.aS – 13 3. O ROTOR Em muitos parques de diversão existe um “brinquedo” chamado ROTOR. O rotor é um recinto com o formato de um cilíndro oco que pode girar em torno de um eixo vertical central. A pessoa entra no rotor, fecha a porta e permanece em pé encostada na parede do rotor. O rotor começa sua rotação aumentando gradativamente sua velocidade angular ω até atingir um valor pré estabelecido quando então o chão se abre abaixo da pessoa revelando um fosso profundo. A pessoa não cai permanecendo grudada na parede do rotor. Indiquemos por R o raio do rotor e por μ o coeficiente de atrito estático entre a roupa da pessoa e a parede do rotor. Seja g o módulo da aceleração da gravidade. Calcule: a) o valor mínimo de ω em função de g, μ e R para que a pessoa não escorregue. b) Sendo a massa da pessoa igual a 50,0kg, o raio do rotor igual a 2,0m, a velocidade angular do rotor igual a 4,0 rad/s, determine a força F→que a parede do rotor exerce na pessoa usando os versores (horizontal) e k→(vertical), isto é, a resposta deve ser na forma: F→ = Fxi → i→ + Fzk → Fx = componente horizontal de F→ Fz = componente vertical de F→ Admita que a pessoa não escorregue e adote g = 10,0m/s2. RESOLUÇÃO: a) 1) Fat = P = mg 2) FN = Fcp = mω2 R 3) Fat ≤ μ FN mg ≤ μ mω2 R g ––––– μR ω2 ≥ ⇒ω≥ g ––– – μ R g ωmin = –––– μ R b) Fx = FN = mω2 R = 50,0 . 16,0 . 2,0 (N) = 1,6 . 103 N Fz = Fat = mg = 50,0 . 10,0 (N) = 5,0 . 102 N F→ = 1,6 . 103 i → + 5,0 . 102k → (N) Respostas:a) ωmin = g ––– – μ R b) F→ = 1,6 . 103i → + 5,0 . 102k → (N) REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 13
  • 16. FÍSICA A 3.aS 4. Um avião descreve uma trajetória circular de raio R em um plano vertical mantendo uma velocidade escalar constante. O centro O da trajetória está a uma altura H = 2R do solo terrestre, suposto horizontal. O piloto experimenta um peso aparente no ponto A, mais baixo de sua trajetória, duas vezes maior que o peso aparente no ponto B, mais alto da trajetória. Quando o avião está no ponto mais alto de sua trajetória um pacote é abandonado da janela do avião. A aceleração da gravidade tem módulo g. Despreze o efeito do ar. a) Determine o módulo V da velocidade do avião em função de g e R. b) Determine, em função de R, a distância horizontal d percorrida pelo pacote até chegar ao solo. RESOLUÇÃO: a) No ponto B: Fcp 14 – B = FN + P (1) No ponto A: FcpA = 2 FN – P (2) Como o movimento é circular e uniforme: FcpA = FcpB FN + P = 2FN – P ⇒ Em (1): = 3mg ⇒ b) 1) Cálculo do tempo de queda do pacote: Δsy = V0y t + t2 (MUV) 3R = 0 + T2 ⇒ 2) Cálculo do alcance horizontal: Δsx = Vx t (MU) d = 3g R . = 18 R 2 Respostas: a) V = 3g R b) d = 32 R FN = 2 P m V2 ––––– R V = 3g R γy ––– 2 g ––– 2 6 R T = –––– g 6 R –––– g d = 32 R REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 14
  • 17. FÍSICA A 3.aS – 15 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 15 1. (UNICAMP-SP-2010) – Os ímãs são magnetos permanentes amplamente utilizados no nosso dia a dia. Pequenos ímãs de forma cilíndrica são comumente empregados para fixar fotos ou bilhetes em painéis metálicos. Quando necessário, use g = 10 m/s2 na solução dos itens abaixo. a) Considere um ímã de massa m = 20 g e o coeficiente de atrito estático entre a superfície do ímã e a superfície do painel igual a μe = 0,80. Qual é a intensidade da força magnética mínima entre o ímã e o painel, que mantém o ímã em repouso aderido a esse painel em uma parede perfeitamente vertical? b) Quando um pequeno ímã é colocado para segurar uma foto, o ímã e a foto deslizam juntos lentamente para baixo. A força magnética entre o ímã e o painel nessa situação tem intensidade Fmag = 0,2 N e o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies da foto e do painel em contato vale μc = 0,60. Calcule o trabalho realizado pela força de atrito após um deslocamento de 20 cm do ímã. RESOLUÇÃO: a) Fat = P = mg FN = Fmag Fat ≤ μE FN mg ≤ μE Fmag Fmag ≥ Fmag (min) = = (N) b) 1) Fatdin = μD FN = μD Fmag Fatdin = 0,60 . 0,20 N = 0,12 N 2) τat = Fat . d . cos 180° τat = 0,12 . 0,20 . (–1) (J) Respostas: a) 2,5 . 10–1 N b) –2,4 . 10–2 J 2. (Olimpíada Paulista de Física) – Um bloco de massa 6,0kg, inicialmente em repouso, é puxado horizontalmente por uma força constante, de intensidade igual a 49 N sobre uma superfície sem atrito. Considere que a força age sobre o bloco durante um deslocamento de 3,0m. a) Qual o trabalho realizado pela força sobre o bloco? b) Qual a velocidade escalar final do bloco? RESOLUÇÃO: a) τF = F → d → cos 0° τF = 49 . 3,0 (J) ⇒ b) TEC: τF = ΔEcin τF = – 147 = V2 V2 = 49 ⇒ Respostas: a) 147 J 2 b) 7,0m/s mg ––– μE mg –––– μE 20 . 10–3 . 10 –––––––––––– 0,80 Fmag (min) = 0,25 N τat = –2,4 . 10 –2 J τF = 147 J mV2 ––––– 2 mV0 –––––– 2 6,0 ––– 2 V = 7,0m/s MÓDULO 66 Trabalho e Potência
  • 18. FÍSICA A 3.aS 3. Um motorista dirige seu carro em linha reta, em um plano horizontal, com velocidade constante de módulo V0 em uma direção perpendicular a uma ferrovia com trilhos retilíneos. Quando o carro está a uma distância d da ferrovia o motorista percebe pelo ruido a passagem iminente de um trem e tem dois procedimentos para evitar a colisão: Procedimento 1: frear o carro travando as quatro rodas e o coeficiente 16 – de atrito dinâmico entre os pneus e o chão é constante e vale μC. Procedimento 2: manter o módulo da velocidade do carro e fazer uma curva circular de raio d de modo a passar tangen - ciando a ferrovia, conforme ilustrado na figura. No procedimento 1 admite-se que o carro vai parar junto à ferrovia e no procedimento 2 o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o solo é constante e vale μE. Para que os dois procedimentos possam ocorrer, conforme o que foi descrito, qual a relação entre μE e μC? a) μE = 4 μC b) μE = 2 μC c) μE = 1,5 μC d) μE = μC e) μE = Nota: Despreze o efeito do ar. RESOLUÇÃO: Procedimento 1: TEC : τatrito = ΔEcin μC mg d (–1) = 0 – (1) Procedimento 2: Fat = Fcp μE mg = 2 (2) 2 2 Comparando-se (1) e (2) resulta: μE = 2 μC Resposta: B 4. Um carro de massa M = 1,0 . 103kg descreve uma trajetória retilínea em um plano horizontal. A força da resistência do ar que se opõe ao movimento do carro tem intensidade F que varia com a velocidade escalar V do carro segundo a relação: F = 1,2 V2 (SI). Despreze a força de atrito nas rodas não motrizes do carro. A velocidade limite atingida pelo carro tem módulo igual a 180km/h. Adote g = 10m/s2. Determine: a) a intensidade da força total de atrito nas rodas motrizes do carro, aplicada pelo solo, ao ser atingida a velocidade limite. b) a potência útil do motor do carro ao ser atingida sua velocidade limite. c) o aumento percentual da potência útil do motor se o carro passar a subir uma rampa inclinada de 37° (sen 37° = 0,60) mantendo a mesma velocidade limite. RESOLUÇÃO: a) Ao ser atingida a velocidade limite teremos: 2 Fat = F = 1,2 Vlim Vlim = 180km/h = m/s = 50m/s Fat = 1,2 (50)2 (N) b) PotU = Fat Vlim PotU = 3,0 . 103 . 50 (W) ⇒ c) F’at = Pt + F F’at = Mg senθ + F F’at = 1,0 . 103 . 10 . 0,60 + 3,0 . 103 (N) F’at = 9,0 . 103 N Pot’U = F’at . Vlim Como F’at = 3,0 Fat estão Pot’U = 3 PotU e o aumento foi de 200% Respostas: a) 3,0kN b) 1,5 . 105 W c) 200% μ ––C– 2 2 m V0 ––––– 2 V0 μC = ––––– 2 gd m V0 ––––– d V0 μE = ––––– gd 180 –––– 3,6 Fat = 3,0 . 10 3 N PotU = 1,5 . 10 5W REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 16
  • 19. FÍSICA A 3.aS – 17 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 17 5. (UFF-RJ) – Um comercial da Chevrolet diz que o Corsa 1.0 partindo do repouso pode atingir a velocidade escalar de 20,0m/s em 8,0s em uma trajetória retilínea em um plano horizontal. A massa do Corsa é igual a 1,2 . 103 kg. Sob essas condições e desprezando-se as perdas por atrito e resistência do ar, determine a) a potência média do motor b) a intensidade da força resultante no carro, suposta constante c) a potência instantânea do motor quando o carro atinge a velocidade escalar de 20,0m/s RESOLUÇÃO: a) 1) Cálculo do trabalho: TEC: τmotor =Δ Ecincarro m Vf 2 τmotor = – ––––– 2 2 τmotor = (20,0)2 (J) τmotor = 240 . 103 J = 2,4 . 105 J 2) Cálculo da potência média Potm= = b) PFD: FR = ma = m FR = 1,2 . 103 . (N) c) Potf = F Vf Potf = 3,0 . 103 . 20,0 (W) Respostas: a) 3,0 . 104W b) 3,0 . 103 N c) 6,0 . 104W m V0 ––––– 2 1,2 . 103 –––––––– 2 τ ––m–o–to–r– Δt 2,4 . 105 J ––––––––– 8,0s Potm = 3,0 . 10 4W ΔV –––– Δt 20,0 ––––– 8,0 FR = 3,0 . 10 3N Potf = 6,0 . 10 4W
  • 20. FÍSICA A 3.aS MÓDULO 77 Energia Mecânica 1. (UNICAMP-SP) – Um brinquedo que muito agrada às crianças são os lançadores de objetos em uma pista. Considere que a mola da figura abaixo possui uma constante elástica k = 8,0 . 103 N/m e massa desprezível. Inicialmente, a mola está comprimida de 2,0 cm e, ao ser liberada, empurra um carrinho de massa igual a 0,20 kg. O car rinho abandona a mola quando esta atinge o seu comprimento relaxado, e percorre uma pista que ter mina em uma rampa. Considere que não há perda de energia mecânica no movimento do carrinho. a) Qual é o módulo da velocidade do carrinho quando ele aban dona a mola? b) Na subida da rampa, a que altura o carrinho tem velocidade de módulo 2,0 m/s? Adote g = 10m/s2 RESOLUÇÃO: a) Usando-se a conservação da energia mecânica: Eelástica = Ecin 18 – = V0 = x 2 k –– m V0 = 2,0 . 10–2 (m/s) b) Para um referencial na pista horizontal, temos: 2 = + m g h 2 2 – V1 h = ⇔h = (m) Respostas: a) 4,0 m b) 0,60 m 2. (UFPE) – Em um dos esportes radicais da atualida de, uma pessoa de 70kg pula de uma ponte de altura H = 50m em relação ao nível do rio, amarrada à cintura por um elástico. O elástico, cujo com pri mento natural é L = 10 m, se comporta como uma mola de constante elástica k. No primeiro movi mento para baixo, a pessoa fica no limiar de tocar a água e depois de várias osci lações fica em repouso a uma altura h, em relação à su perfície do rio. Calcule h. Adote g = 10m/s2 e consi dere a energia mecânica constante até o instante em que a pessoa atinge o ponto mais baixo de sua trajetória. RESOLUÇÃO: (1) (referência em B) = m g H = 70 . 10 . 50 k = N/m = N/m (2) Fe = P k (H – h – L) = mg (50 – h – 10) = 700 40 – h = 16 Resposta: 24m k x2 –––– 2 m V0 –––––– 2 V0 = 4,0 m/s m V0 –––––– 2 m V1 –––––– 2 V0 2 ––––––– 2g 16,0 – 4,0 ––––––––– 20 h = 0,60 m 8,0 . 103 –––––––– 0,20 EB = EA k x2 –––– 2 k . 1600 ––––––– 2 175 –––– 4 700 –––– 16 175 ––––– 4 h = 24m REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 18
  • 21. FÍSICA A 3.aS – 19 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 19 3. (UFF-RJ) – Um bloco de massa igual a 5,0 kg, deslizando sobre uma mesa horizontal, com coeficientes de atrito cinético e estático 0,50 e 0,60, respectivamente, colide com uma mola de massa desprezível, de constante elástica igual a 1,5 . 103 N/m, inicialmente relaxada (veja figura). O bloco atinge a mola com uma velocidade de módulo igual a 2,0m/s. Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar. a) Determine a deformação máxima da mola. Dado 12 2 5 = 35 b) Informe se após a mola ter atingido a compressão máxima, o bloco retorna ou permanece em repouso. Justifique. c) Determine o percentual da energia mecânica dissipada pelo atrito até o bloco parar pela primeira vez. RESOLUÇÃO: a) Einicial = Efinal + τat = + μd mg x . (2,0)2= . x2 + 0,50 . 50,0x 2 750 x2 + 25,0x – 10,0 = 0 150 x2 + 5,0x – 2,0 = 0 (m) x = (m) ⇒ b) Para a compressão máxima: Fmola = k x Fmola = 1,5 . 103 . 0,10 (N) = 1,5 . 102 N A força de atrito de destaque: Fat = μE FN = 0,60 . 50,0 N = 30,0 N Como Fmola Fatdestaque o bloco retorna c) Ed = τat = μd mg x Ed = 0,50 . 50,0 . 0,10 (J) = 2,5 J 2 E0 = = . 4,0 (J) = 10,0 J = = 0,25 4. (UFV-MG-2010) – Um pêndulo simples é formado por uma esfera de 3,0 kg de massa suspensa em um fio inextensível de 1,50 m de comprimento. A esfera é abandonada, a partir do repouso, de uma distância h = 25 cm abaixo do teto, como ilustrado na figura abaixo, em uma região onde o módulo da aceleração gravitacional é 10,0 m/s2. Desprezando-se os atritos e o efeito do ar, faça o que se pede, apresentando o raciocínio utilizado: a) Desenhe, na própria figura, o diagrama das forças que agem sobre a esfera, quando esta se encontra no ponto mais baixo de sua trajetória. b) Determine o módulo da velocidade da esfera no ponto mais baixo de sua trajetória. c) Determine o módulo da tração no fio no ponto mais baixo da trajetória da esfera. RESOLUÇÃO: a) P → = peso da esfera T → B = força de tração aplicada pelo fio b) (ref. em A) = mg (L – h) 2 VB = 2g ( L – h ) = 2 . 1 0 ,0 . 1 ,2 5 (m/s) c) TB – P = FcpB = 2 TB = 30,0 + (N) mV0 ––––– 2 k x2 –––– 2 –5,0 ± 25, 0 + 1 20 0 x = –––––––––––––––––– 300 –5,0 ± 35,0 –––––––––– 300 x = 0,10m mV0 ––––– 2 5,0 –––– 2 Ed –––– E0 2,5 –––– 10,0 Ed = 25% E0 EB = EA mVB ––––– 2 VB = 5,0m/s mVB ––––– L 3,0 . 25,0 ––––––––– 1,5 TB = 80,0 N 5,0 –––– 2 1,5 . 103 ––––––– 2
  • 22. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 20 FÍSICA A 3.aS 1. (VUNESP-UFTM-MG-2010) – O punção é uma ferramenta utilizada pelo serralheiro para criar sobre o metal, uma pequena reentrância que guiará o perfeito posicionamento da broca nos momentos iniciais da perfuração. Um modelo de punção muito prático conta com a liberação de um martelete que se movimenta rapidamente, a partir do repouso, de encontro ao marcador. Admitindo-se que o tempo de interação entre o martelete e a mola que o impulsiona seja de 0,15s, e sabendo-se que o impulso transferido para o martelete nessa ação tem módulo de 3,0 kg . m/s, determine: a) a intensidade da força média aplicada pela mola sobre o martelete; b) O módulo da velocidade com que o martelete atinge o marcador, sabendo-se que a massa do martelete é de 0,10 kg. RESOLUÇÃO: a) TI: I = Fm . Δt 20 – 3,0 = Fm . 0,15 ⇒ b) I = ΔQ = m V – mV0 3,0 = 0,10 . V ⇒ Respostas: a) 20 N b) 30m/s 2. (UFF-RJ) – Um móvel de massa 1,5 . 102kg é acelerado a partir do repouso em trajetória retilínea. Durante os primeiros 10 s a intensidade da resultante das forças que nele atuam é dada por: FR = F0 – Kt, onde F0 = 1,0 . 102 N, K = 5,0 N/s e t é o tempo a contar desde o instante da partida. Determine: a) a velocidade escalar do móvel após os 10s; b) o trabalho da força resultante nestes 10s. c) a potência média da força resultante nestes 10s. d) a potência da força resultante no instante t = 10s. RESOLUÇÃO: a) FR = 1,0 . 102 – 5,0t (SI) 1) IR = área (F x t) IR = (100 + 50) (N . s) ⇒ 2) TI : IR = ΔQ = m V1 7,5 . 102 = 1,5 . 102 . V1 2 b) TEC: τR = Δ Ecin ⇒ τR = ⇒ τR = (5,0)2 (J) τR = 18,75 . 102 J ⇒ c) Potm = ⇒ d) Pot1 = F1 . V1 ⇒ Pot1 = 50 . 5,0 (W) ⇒ Respostas: a) 5,0 m/s b) 1,9 kJ c) 1,9 . 102 W d) 2,5 . 102W Fm = 20 N V = 30m/s 10 ––– 2 IR = 7,5 . 102 N . s V1 = 5,0m/s m V1 –––––– 2 1,5 . 102 –––––––– 2 τR 1,9 . 103 J τ ––R–– Δt Potm = 1,9 102W Pot1 = 2,5 . 102W MÓDULO 88 Impulso e Quantidade de Movimento
  • 23. FÍSICA A 3.aS – 21 3. (EE MAUÁ-2010) – O diagrama mostra os gráficos horários das posições de duas partículas A e B que se movimentam sobre o eixo x. As partículas colidem unidimensionalmente no instante t = 1,0. Sabendo-se que a massa da partícula A é mA = 4,0 kg, determine a) as velocidades escalares das partículas A e B antes e depois da colisão; b) a massa da partícula B. RESOLUÇÃO: a) Δx V = –––– Δt – 1,0 –––––– 1,0 VA = (m/s) = –1,0m/s 2,0 ––––– 1,0 VB = (m/s) = 2,0m/s 2,0 ––––– 1,0 V’A = (m/s) = 2,0m/s V’B = (m/s) = 1,0m/s b) Conservação da quantidade de movimento no ato da colisão: Qf = Qi mA V’A + mB V’B = mA VA + mB VB mA . 2,0 + mB . 1,0 = mA (–1,0) + mB (2,0) mB = 3,0 mA Como mA = 4,0kg ⇒ 4. (UNICAMP-SP-2010) – O lixo espacial é composto por partes de naves espaciais e satélites fora de operação abandonados em órbita ao redor da Terra. Esses objetos podem colidir com satélites, além de pôr em risco astronautas em atividades extravei culares. Considere que durante um reparo na estação espacial, um astronauta substitui um painel solar, de massa mp = 80 kg, cuja estrutura foi danificada. O astronauta estava inicial mente em repouso em relação à estação e ao abandonar o painel no espaço, lança-o com uma velocidade de módulo vp = 0,15 m/s. a) Sabendo-se que a massa do astronauta é ma = 60 kg, cal cule o módulo de sua velocidade de recuo. b) O gráfico no espaço de resposta mostra, de forma simplificada, o módulo da força aplicada pelo astro nauta sobre o painel em função do tempo durante o lançamento. Sabendo-se que a variação de momento linear é igual ao impulso, cujo módulo pode ser obtido pela área do gráfico, calcule a intensidade da força máxima Fmax. RESOLUÇÃO: a) No ato de lançar o painel, o astronauta e o painel formam um sistema isolado e haverá conservação da quantidade de movimento total: →Q após = →Q antes →Q a + →QP = →0 ⇒ →Q A = →Q P maVa = mP . VP 60 Va = 80 . 0,15 b) I =N área (F x t) = ΔQ = maVa (0,9 + 0,3) = 60 . 0,20 0,6 Fmáx = 12 Respostas: a) Va = 0,20m/s b) Fmáx = 20N mB = 12,0kg 1,0 ––––– 1,0 Va = 0,20m/s F ––m–á–x– 2 Fmáx = 20N REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 21
  • 24. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 22 FÍSICA A 3.aS 5. (UFES-2010) – Uma mola ideal de constante elástica k lança dois blocos unidos por um dispositivo de massa desprezível. O bloco mais próximo da mola tem massa M e o outro tem massa 3M. Após o lançamento, os blocos se movem sobre uma superfície plana, horizontal e lisa. a) Sabendo-se que a mola estava comprimida de x0 antes do lançamento, determine o módulo da velocidade dos blocos após o lançamento. Em um determinado instante, após o lançamento, o dispositivo (explosivo) que une os blocos é acionado, lançando o bloco de massa M de volta contra a mola. b) Sabendo-se que o bloco de massa M, ao retornar, comprime a mola de , determine os módulos das velocidades dos blocos de massa M e de massa 3M imediatamente após a separação. O bloco de massa 3M, após a separação, continua movendo-se no mesmo sentido até chegar a uma região da superfície não lisa AB, muito extensa. c) Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético entre a região não lisa e o bloco de massa 3M é μ , determine a distância percorrida por esse bloco na região não lisa. RESOLUÇÃO: a) (conservação da energia mecânica) 22 – 2= x0 2 = ⇒V0 2 ⇒ 2 b) 1) Para o bloco de massa M (bloco 1) temos: = 2 ⇒ V1 2 = 2 ⇒ 2 2) No ato da explosão o sistema formado pelos dois blocos é isolado e haverá conservação da quantidade de movimento total: Qapós = Qantes 3M V2 + M (–V1) = 4M V0 3 V2 – = 4 3 V2= x0 ⇒ c) TEC: τat = Δ Ecin μ 3Mg d (–1) = 0 – 2 . 2 d = . . x0 2 Respostas: a) V0 = b) V1 = V2 = c) d = kx0 ––––– 2 4M V0 –––––– 2 k –––– 4M x0 k V0 = ––– –––– 2 M M V1 ––––– 2 k ––– 2 x0 ––– 4 k –––– M x0 ––– 4 x0 k V1 = ––– –––– 4 M x0 ––– 4 k –– M x0 ––– 2 k –– M 9 ––– 4 k –– m 3 k V2 = ––– x0 ––– 4 M 2 3M V2 –––––– 2 V2 d = ––––– 2 μg 1 ––––– 2 μg 9 ––– 16 k ––– M 9 k x0 d = ––– . ––––– 32 μ Mg Ei = Ef x0 ––– 2 k –– M x0 ––– 4 k –– M 3x0 ––– 4 k –– M 9 ––– 32 2 k x0 ––––– μ M g x0 ––– 4
  • 25. FÍSICA A 3.aS – 23 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 23 1. (UNICAMP-SP) – A terceira Lei de Kepler diz que “o quadrado do período de revolução de um planeta (tempo para dar uma volta em torno do Sol) dividido pelo cubo da distância média do planeta ao Sol é uma constante”. A distância média da Terra ao Sol é equivalente a 1 ua (unidade astronômica). a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de as teróides (vide figura). Os asteróides são corpos sólidos que teriam sido originados do resíduo de matéria existente por ocasião da formação do sistema solar. Se no lugar do cinturão de asteróides essa matéria tivesse se aglutinado formando um planeta, quanto duraria o ano deste planeta (tempo para dar uma volta em torno do Sol)? b) De acordo com a terceira Lei de Kepler, o ano de Mer cúrio é mais longo ou mais curto que o ano terrestre? Dado: 5 ≅ 2,2 RESOLUÇÃO: a) O raio médio da órbita do hipotético planeta, de acordo com a escala apresentada, é da ordem de 2,7 ua. Aplicando-se a 3ª Lei de Kepler, comparando-se a Terra com o planeta hipotético, vem: = 3 RP = 2,7ua, RT = 1ua e TT = 1a = 2 = (2,7)3 20 ⇒ TP = 2 5 anos TP 3 b) De acordo com a 3.a Lei de Kepler, o período T é função crescente do raio médio da órbita. Como RMercúrio RTerra ⇒ Isto é: o ano de Mercúrio é menor que o ano da Terra. Respostas: a) Aproximadamente 4,4 anos terrestres. b) O ano de Mercúrio é mais curto que o ter res tre. 2. (UFV-MG-2010) – Considere um satélite artificial que será colocado em uma órbita circular em torno da Terra. Nos seus desenvolvimentos abaixo, use a seguinte notação: G = constante de gravitação universal e M = massa da Terra. a) Se quisermos que o raio da órbita do satélite seja R, calcule qual deverá ser o módulo da velocidade orbital do satélite, em termos de G, M e R. b) Se quisermos que o satélite seja geossíncrono, ou seja, se quisermos que seu período de translação seja igual ao período T de rotação da Terra, calcule qual deverá ser o raio da órbita do satélite, em termos de G, M e T. RESOLUÇÃO: a) FG = Fcp = ⇒ b) V = = = ⇒ = r3 = RT –––– TT 2 RP –––– TP 2 (1) 3 –––– 12 (2,7)3 ––––– TP 2 TP 4,4 anos terrestres TMercúrio TTerra GMm –––––– R2 mV2 –––– R GM V= –––– R GM –––– r 2 π r –––– T GM –––– r 4 π2 r2 ––––––– T2 r3 ––– T2 GM –––– 4π2 GMT2 –––––– 4π2 GMT2 r = 3 ––––––– 4π2 MÓDULO 99 Gravitação
  • 26. FÍSICA A 3.aS 3. (Olimpíada Brasileira de Física) – Dois satélites de massa m se movem em uma mesma órbita circular de raio r em torno de um planeta de massa M, como ilustra a figura. Os dois satélites estão sempre em extremidades opostas de um mesmo diâmetro enquanto realizam seu movimento. Calcule o período do movimento orbital. RESOLUÇÃO: FcpA = FCA + FBA m ω2 r = + ω2 r = + = ω2 = = 24 – 2 = 4. (UFES) – Uma sonda espacial encontra-se em órbita circular em torno de um planeta. Sabe-se apenas que a sonda tem massa m e a órbita circular tem período T e raio R. Em relação à sonda, deter mine a) o módulo da velocidade; b) a energia cinética; c) a energia potencial; d) a energia mecânica total. RESOLUÇÃO: a) V = ⇒ b) Ec = = c) Ep = – Porém: FG = F cp = ⇒ = mV2 Ep = – mV2 = − 2Ec ⇒ d) Em = EP + Ec Ep = – 2Ec Em = –2Ec + Ec ⇒ Em = – Ec ⇒ Respostas: a) V = b) Ec = c) Ep = d) Em = GMm –––––– r2 Gmm ––––––– 4r2 GM –––– r2 Gm –––– 4r2 4 GM + Gm ––––––––––– 4r2 G (4M + m) ––––––––––– 4r3 2π ––– T T –––– 2π 4 r3 –––––––––––– G (4M + m) 4 π3 T = 2π –––––––––– G (4M + m) π3 T = 4π –––––––––– G (4M + m) NOTE E ANOTE 1) A força gravitacional entre dois corpos de massas M e m, com centros de massa separados por uma distância d, tem intensidade F dada por: Mm F = G ––––– d2 2) Para um referencial no infinito, a energia potencial gra - vitacional Ep entre dois cor pos de massas M e m, com centros de mas sa separados por uma distância d, vale: – G M m Ep = ––––––––– d Δs ––– Δt V = –2–π–R–– T mV2 –––– 2 m ––– 2 4π2 R2 –––––– T2 2π2 m R2 Ec= ––––––––– Τ2 G M m ––––––– R G M m ––––––– R2 mV2 ––––– R G M m ––––––– R –4π2 m R2 Ep = –––––––––– T2 2π2 m R2 Em = – ––––––––– T2 2π R ––––– T 2π2 m R2 ––––––––– T2 –4π2 m R2 ––––––––– T2 2π2 m R2 – ––––––––– T2 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 24
  • 27. FÍSICA A 3.aS – 25 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 25 MÓDULO 11 00 Física Moderna e Dimensões 1. (UFPE-2010) – Quando um feixe de luz de comprimento de onda 4,0 . 10–7m (Efóton = 3,0 eV) incide sobre a superfície de um metal, os fotoelétrons mais energéticos têm energia cinética igual a 2,0 eV. Suponha que o comprimento de onda dos fótons incidentes seja reduzido à metade. Qual será a energia cinética máxima dos fotoelétrons, em eV? RESOLUÇÃO: 1) Ec = Ef – τ 2,0 = 3,0 – τ 2) Ec = hf – τ Ec = h – τ E’c= –τ E’c = 2 – τ E’c = 2 . 3,0 – 1,0 (eV) ⇒ 2. (UFRN-2010) – Sobre um átomo de hidrogênio no estado fundamental, incidem três fótons, cujas energias, em elétrovolt (eV), são, respectivamente, 13,20, 12,09 e 10,20. Uma vez num estado excitado, o átomo de hidrogênio decairá, emitindo energia na forma de fótons. Na figura abaixo, estão representadas as energias dos quatro primeiros níveis de energia do átomo de hidrogênio. A partir dessas informações: a) determine quais desses fótons incidentes podem ser absorvidos pelo átomo de hidrogênio no estado fundamental e explique qual o estado final do átomo em cada caso; b) represente, na figura localizada acima, as possíveis transições dos elétrons que se encontram nos níveis excitados, após a emissão dos respectivos fótons; c) determine as energias dos fótons emitidos. RESOLUÇÃO: a) Para o fóton ser absorvido sua energia deve coincidir com aquela de um salto quântico, isto é, diferença de energias entre dois níveis: fundamental – 1.o nível: 10,2 eV fundamental – 2.o nível: 12,09 eV fundamental – 3.o nível: 12,75 eV Podem ser absorvidos as fótons com energia de 10,20 eV (1.o nível) e 12,09 (2.o nível) b) c) As energias dos fótons emitidos são os mesmos dos fótons absorvidos: 10,20 eV e 12,09 eV τ = 1,0 eV hc ––– λ ––– 2 E’c = 5,0 eV c –– λ hc ––– λ
  • 28. FÍSICA A 3.aS 3. (UnB) – A biotecnologia tem aumentado a produtividade agrícola, o que tem impulsionado o desenvolvimento de técnicas de armazenamento e de conservação de alimentos. A radiação ionizante é uma técnica eficiente na conservação dos alimentos, pois reduz perdas naturais causadas por processos fisiológicos, tais como brotamento, maturação e envelhecimento, além de eliminar ou reduzir microrganismos, parasitas e pragas, sem causar prejuízo ao alimento. As radiações ionizantes utilizadas no tratamento de alimentos se limi - tam àquelas classificadas como ondas eletromagnéticas de alta fre quên - cia. Nos equipamentos utilizados para a geração dessas ra dia ções, ocorre a seguinte sequência de decaimento de radioisótopos. 26 – 60 27 Co ⎯→ 60 28 Ni ⎯→ 60 Ni 28 instável estável Apesar de ocorrerem duas emissões diferentes de radiação, apenas uma delas é empregada para radiar alimentos. Internet: www.cena.usp.br (com adaptações). Considere que, no momento em que um equipamento de radiação de alimentos foi desativado, a massa do isótopo de cobalto-60 en contrado em seu interior correspondia a 3,125% da massa inicial quando o equipamento foi fabricado. Sabe-se que o tempo de meia-vida do cobalto-60 é de 5,27 anos. Calcule o tempo decorrido, em anos, desde a fabricação do referido equipamento, ou seja, quando havia 100% da massa do isótopo de cobalto-60 em seu interior, até o instante da desativação do referido equipamento. RESOLUÇÃO: 1) m = m0 = massa inicial do material radioativo m = massa final do material radioativo após n meias-vidas Dado: m = m0 = 3,125 . 10–2 = 2–n 2n = = 32 ⇒ 2) Δt = nT = 5 . 5,27 anos = 26,35 anos Resposta: 26,35 anos 4. Quando uma esfera de raio R se desloca em linha reta, no interior de um líquido de viscosidade η, com velocidade de módulo V a força de resistência ao seu movimento tem intensidade F dada pela lei de Stokes: A viscosidade η tem equação dimensional em relação à massa M, comprimento L e tempo T dada por: [η] = M L–1 T–1 Obter os expoentes x, y e z. RESOLUÇÃO: [F] = [η]x [R]y [V]z MLT–2 = (ML–1T–1)x . Ly . (LT–1)z MLT–2 = Mx L–x + y + z T–x – z Identificando-se os expoentes: –x + y + z = 1 (1) –x – z = –2 (2) Em (2) –1 – z = –2 ⇒ Em (1) –1 + y + 1 = 1 ⇒ Resposta: x = 1; y = 1; z = 1 m––0– 2n 3,125 ––––– 100 m ––– m0 100 –––––– 3,125 n = 5 F = 6π ηx Ry Vz x = 1 z = 1 y = 1 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 26
  • 29. FÍSICA A 3.aS – 27 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 27 1. (Olimpíada de Portugal) – Numa aula experimental de Física, um grupo de alunos colocou sobre o prato de uma balança-dinamômetro: • um recipiente de 120g de massa, contendo 200cm3 de água; • um corpo de alumínio de 270g de massa e de volume igual a 100cm3. a) Indique qual o valor indicado na balança-dinamômetro, calibrada em newtons b) Na fase seguinte da experiência os alunos suspenderam o corpo de alumínio de um dinamômetro e mergulharam-no totalmente no recipiente com água. Quais foram, nestas condições, os valores indicados no dinâmometro e na balança-dinamômetro? Justifique cuidadosamente a sua resposta. Dados: densidade da água: 1,0 . 103kg/m3; g = 10,0m/s2 RESOLUÇÃO: a) M = mR + ma + mal M = 120 + 200 + 270 (g) = 590g = 0,59kg P = Mg = 0,59 . 10,0 (N) = 5,9N b) 1) E = μa V g E = 1,0 . 103 . 100 . 10–6 . 10,0 (N) E = 1,0N 2) Fdin + E = P Fdin + 1,0 = 0,27 . 10,0 3) Fbalança = PR + Pa + E Fbalança = 0,12 . 10,0 + 0,20 . 10,0 + 1,0 (N) Fbalança = 1,2 + 2,0 + 1,0 (N) 2. (Olimpíada Brasileira de Física) – Um cone maciço e homogêneo de base circular de densidade ρc e altura H flutua em um líquido de densidade ρ. A parte do cone acima do líquido tem altura h, como mostra a figura. Determine a altura h em função de H, ρc e ρ. RESOLUÇÃO: E = P ρ Vi g = ρc VT g = = 3 Ve = VT – Vi = 3 1 – = 3 ⇒ 1 – = 3 = 3 = Fbalança = 5,9N Fdin = 1,7N Fbalança = 4,2N V ––––i – VT ρc –––– ρ Ve –––– VT h ––– H VT – Vi ––––––– VT h ––– H Vi –––– VT h ––– H ρc –––– ρ h ––– H ρ – ρc ––––––– ρ h ––– H h –––– H ρ 3 – ρc ––––––– ρ 3 ρ– h = H ρc ––––––– ρ MÓDULO 11 11 Hidrostática
  • 30. FÍSICA A 3.aS 3. (UFF) – Um corpo de chumbo com volume de 12cm3 é preso por um fio e mergulhado em um recipiente de 50g de massa contendo 60g de água. Todo o sistema está apoiado sobre uma balança, e o bloco de chumbo não toca no fundo, conforme ilustrado na figura abaixo. Calcule o valor marcado pela balança, em gramas. Justifique sua resposta aplicando o príncipio de Arquimedes e as Leis de Newton. Dados: densidade da água, ρ = 1,0g/cm3. 28 – g = 10m/s2 RESOLUÇÃO: 1) Cálculo do empuxo: E = ρ V g E = 1,0 . 103 . 12 . 10–6 . 10 (N) 2) De acordo com a lei da ação e reação o corpo de chumbo aplicará na água uma força vertical para baixo de 0,12 N, isto é, a contribuição do chumbo para o peso do sistema é de 0,12 N ou ainda uma contribuição em massa de 0,012kg = 12g 3) A balança indicará a massa do recipiente, mais a massa de água e mais os 12g que correspondem à contribuição do corpo de chumbo: Mindicada = 50g + 60g + 12g = 122g Resposta: 122g 4. (UnB-2010-Adaptado) – Considere um balão com volume igual a 5,0 . 106 L deslocando-se horizontalmente a uma altitude constante na qual a pressão atmosférica e a temperatura são iguais, respectivamente, a 50kPa e 283K. Sendo g = 10m/s2 calcule a massa total do balão e de seu conteúdo. A massa molar média do ar vale 0,0289kg/mol) e a constante universal dos gases perfeitos vale 8,3 J . mol–1K–1. RESOLUÇÃO: 1) Cálculo da densidade do ar: p V = R T p = R T ⇒ μ = μ = (kg/m3) 0,62kg/m3 2) Cálculo do empuxo: E = μar V g E = 0,62 . 5,0 . 103 . 10 (N) = 3,1 . 104 N 3) E = mg 3,1 . 104 = m . 10 Resposta: 3,1 . 103kg ou 3,1t. E = 0,12N m –––– M μ –––– M p M –––– R T 50 . 103 . 0,0289 –––––––––––––– 8,3 . 283 m = 3,1 . 103kg REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 28
  • 31. FÍSICA A 3.aS – 29 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 29 1. (UFTM-MG) – Em hospitais, o tradicional termômetro a mer - cúrio está sendo trocado por termômetros eletrônicos cujo funcio - namento conta com o uso de semicondutores. A tendência vem ao encontro do movimento de preservação do planeta uma vez que o mercúrio, por ser um metal pesado, contamina os mananciais e provoca danos irreversíveis quando ingerido. a) O termômetro esquematizado está indicando um quadro febril. De - termine o valor correspondente a essa temperatura na escala Fahrenheit. b) Considere as seguintes informações sobre esse termômetro: • a distância entre a marca dos 37ºC até a marca dos 39ºC é de 18mm; • a 37ºC, o volume do mercúrio contido no termômetro é de 6mm3; • o coeficiente de dilatação volumétrico do mercúrio é 1,8 . 10–4 ºC–1. Determine, em mm2, a área da secção transversal do cilindro que constitui o tubo capilar desse termômetro. RESOLUÇÃO: a) O termômetro indica a temperatura de 38ºC. A conversão para a escala Fahrenheit é feita através da expressão: = = 68,4 = θF – 32 b) Na dilatação do mercúrio, supondo que o vidro não dilatou, temos: ΔV = V0 γ Δθ Ah = V0 γ Δθ A . 18 = 6 . 1,8 . 10–4 . (39 – 37) Respostas: a) 100,4ºF b) 1,2 . 10–4mm2 2. Você conta com seus conhecimentos de Física e com as seguintes informações: I. A antiga escala de temperaturas Réaumur assinala zero (0) para o ponto do gelo e oitenta (80) para o ponto do vapor. II. Um paciente internado em um hospital apresentou o seguinte gráfico de temperaturas (em Celsius), do momento da internação (10 horas) até a sua alta (18 horas). Qual a temperatura desse paciente às 12 horas e 30 minutos, expressa na escala Réaumur? RESOLUÇÃO: No gráfico, temos: Às 12h30min, a temperatura do paciente era 37,5°C. Fazendo-se a conversão para a escala Réaumur, vem: θR – 0 37,5 – 0 –––––– = –––––––– 80 – 0 100 – 0 θR 37,5 –––– = ––––– 80 100 Resposta: 30°R θ ––c– 5 θF – 32 –––––––– 9 38 ––– 5 θF – 32 –––––––– 9 θF = 100,4ºF A = 1,2 . 10–4mm2 θR = 30°R MÓDULO 11 22 Termologia I
  • 32. FÍSICA A 3.aS 3. Uma lei para transferência de calor em regime estacionário é a Lei de Fourier. Ela diz o seguinte: “A quantidade de calor que flui por unidade de área em um dado material homogêneo é proporcional à variação da temperatura, na razão direta, e à espessura, na razão inversa”. A constante de proporcionalidade é chamada condutibilidade ou condutividade térmica. Considere, agora, uma cabana de inverno, com temperatura interna constante e igual a 22°C e a externa igual a 0°C. Considere, ainda, a cabana bem isolada termicamente, e que ocorra perda de calor somente pela única janela, feita de vidro e cuja dimensão é 1,0m x 1,0m e espessura 5,0cm. Responda: a) Qual o sentido do fluxo de calor? Justifique. b) Qual o valor do fluxo de calor através dessa janela? Dê a resposta em watts. c) Dobrando-se a área da janela e usando-se o mesmo tipo de vidro com espessura 10,0cm, o que ocorre com o fluxo de calor? RESOLUÇÃO: a) O fluxo de calor é de A para B, pois o fluxo de calor tem sentido do meio de maior temperatura para o de menor temperatura. b) Lei de Fourier φ = = φ = (W) c) Dobrando-se a área da janela, o fluxo dobra. Dobrando-se a espessura do vidro da janela, o fluxo de calor se reduz à metade. Assim, o resultado dessas duas ações é manter o mesmo fluxo. Respostas: a) De A para B 30 – b) 352 W c) 352 W 4. O esquema a seguir representa o aparelho de Searle, no qual se notam duas câmaras, A e B, por onde circulam fluidos a temperaturas constantes e respectivamente iguais a 100°C e 0°C. Duas barras metálicas, 1 e 2, de mesma secção transversal, são associadas como se indica; as extremidades da associação adentram as câmaras A e B. Os comprimentos das barras 1 e 2 valem, respectivamente, 10cm e 16cm e os coeficientes de condutibilidade térmica, na mesma ordem, são 1,0cal/s cm °C e 0,4cal/s cm °C. a) Estabelecido o regime permanente de condução, qual é a tempe - ratura na junção da associação das barras? b) Construa o gráfico da temperatura ao longo das barras. Considere a origem do gráfico na extremidade esquerda da barra 1. RESOLUÇÃO: a) No regime estacionário vale a relação: φ1 = φ2 Os fluxos através das barras 1 e 2 são iguais. Utilizando-se a Lei de Fourier: φ = vem: = = 4 θ = 1600 – 16 θ⇒ b) Representando os valores em um gráfico temperatura (θ) x compri - mento (L), temos: Respostas: a) 80°C b) ver gráfico ambiente 0°C A vidro B cabana 22°C Q ––– Δt C S Δθ –––––– L 0,80 . 1,0 . 1,0 . (22 – 0) ––––––––––––––––––––– 5,0 . 10–2 φ = 352 W φ’ = 352 W K A Δθ –––––––– L K1 A Δθ1 –––––––– L1 K2 A Δθ2 –––––––– L2 1,0 (100 – θ) –––––––––––– 10 0,4 (θ – 0) ––––––––––– 16 θ = 80°C REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 25/10/10 09:20 Página 30
  • 33. FÍSICA A 3.aS – 31 5. (UFG-2010) – Para realizar a medida do coeficiente de dilatação linear de um objeto, cujo material é desconhecido, montou-se o ar-ranjo ex perimental ilustrado na figura a seguir, na qual d = 3,0cm e D = 150,0cm. O objeto tem um comprimento inicial de 4,0 cm. Após ser submetido a uma variação de temperatura de 250°C, sua imagem projetada na tela aumentou 1,0cm. Com base no exposto, calcule o valor do coeficiente de dilatação linear do objeto. RESOLUÇÃO: 1) Cálculo do aumento linear produzido pela lente esférica. A = Assim: A = = A = – 50 A imagem projetada é invertida, com tamanho 50 vezes ao objeto. 2) Se a imagem aumenta de 1,0cm, o objeto correspondente aumenta: ΔL = ΔL = 2,0 . 10–2cm 3) Aplicando-se a equação da dilatação linear, temos: ΔL = L0 α Δθ 2,0 . 10–2 = 4,0 . α . 250 Resposta: 2,0 . 10–5 °C–1 6. (UFG-2010) – Um recipiente, cujo volume é exatamente 1.000cm3, à temperatura de 20°C, está completamente cheio de glicerina a essa temperatura. Quando o conjunto é aquecido até 100°C, são entornados 38,0cm3 de glicerina. Dado: coeficiente de dilatação volumétrico da glicerina = 0,5 x 10–3°C–1. Calcule: a) a dilatação real da glicerina; b) a dilatação do frasco; c) o valor do coeficiente de dilatação volumétrica do recipiente. RESOLUÇÃO: a) Cálculo da dilatação real da glicerina. ΔVg = V0 γg Δθ ΔVg = 1000 . 0,5 . 10–3 (100 – 20) (cm3) b) Cálculo da dilatação volumétrica do frasco: ΔVf = ΔVg – ΔVap ΔVf = (40,0 – 38,0) cm3 c) Aplicando-se a dilatação volumétrica para o recipiente, temos: ΔV = V0 γ Δθ 2,0 = 1000 . γ . (100 – 20) Respostas: a) 40,0cm3 b) 2,0cm3 c) 2,5 . 10–5°C–1 – p’ ––– P – D ––– d – 150cm –––––––– 3cm 1,0cm –––––––– 50 α = 2,0 . 10–5 . C–1 ΔVg = 40,0cm3 ΔVf = 2,0cm3 γ = 2,5 . 10–5 °C–1 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 31
  • 34. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 32 FÍSICA A 3.aS 1. (UNICAMP) – Uma dona de casa dispõe de água à temperatura ambiente (25ºC) e de um fogão, mas não de um termômetro. Ela necessita de 1,0 litro de água a temperatura de 50ºC. a) Para obter o que deseja sem que haja desperdício de água, que quantidade de água fervendo e à temperatura ambiente a dona de casa deve misturar? b) Quanta energia a dona de casa gastou para aquecer a quantidade de água à temperatura ambiente determinada no item anterior até que ela fervesse? Considere que a dona de casa está no nível do mar, a densidade da água vale 1,0 x 103kg/m3 e o calor específico da água vale 1,0 x 103cal/kgºC. RESOLUÇÃO: a) Utilizando-se o balanço energético, temos: Qcedido + Qrecebido = 0 (m c Δ θ)água quente + (m c Δ θ)água fria = 0 mq c (50 – 100) + mf c (50 – 25) = 0 25 mf = 50 mq mf = 2mq Mas: μ = ⇒ m = μ V Assim: μVf = 2 μ Vq Vf = 2Vq Como: Vf + Vq = 1 Vem: 2Vq + Vq = 1 32 – e b) Usando-se a equação fundamental da Calorimetria, temos: Q = m c Δ θ Q = μ V c Δ θ Q = 1,0 . 103. . 10–3 . 1,0 . 103 (100 – 25) (cal) Respostas: a) e b) 2,5 . 104cal 2. (VUNESP-FMJ-SP) – Num calorímetro ideal, são misturados 300g de um líquido a 80°C com 700g do mesmo líquido a 20°C e, após alguns minutos, eles entram em equilíbrio térmico a uma temperatura θ. Em seguida, o calorímetro é aberto, e o sistema passa a perder calor para o ambiente, que está uma temperatura constante de 15°C, até entrar em equilíbrio térmico com ele. Sabendo que desde a abertura do calorímetro até ser atingido o equilíbrio término com o ambiente o sistema perdeu 18 400cal, determine o calor específico do líquido, em cal/(g°C). RESOLUÇÃO: 1) Cálculo da temperatura θ. Qcedido + Qrecebido = 0 (m c Δ θ)quente + (m c Δ θ)frio = 0 300 . c (θ – 80) + 700 . c (θ – 20) = 0 3θ – 240 + 7θ – 140 = 0 10θ = 380 θ = 38°C 2) No resfriamento de toda a massa líquida, de 38°C para 15°C, o sistema perdeu 18 400cal. Assim: Q = m c Δ θ –18 400 = (300 + 700) c (15 – 38) –18 400 = –23 000 c c = (cal/g°C) Respostas: a) 38°C b) 0,80 cal/g°C m ––– V 1 Vq = —— 3 2 Vf = —— 3 1 ––– 3 Q = 2,5 . 104 cal 1 ––– 3 2 ––– 3 18 400 –––––––– 23 000 c = 0,80 cal/g°C MÓDULO 11 33 Termologia II
  • 35. FÍSICA A 3.aS – 33 3. (UEG-2010) – Foi realizado o seguinte experimento em uma aula de Laboratório de Física: Uma jarra de vidro aberta foi aquecida até que a água no seu interior fervesse. Cessando-se o aquecimento, a água parou de ferver. Posteriormente, a jarra foi tampada e em cima dela despejou-se água à temperatura ambiente. Então, observou-se que a água voltou a ferver. Sobre esse experimento, responda ao que se pede. a) Justifique o motivo que levou a água a voltar a ferver. b) Se esse mesmo experimento fosse realizado a uma altitude superior em relação ao anterior, a temperatura de ebulição da água aumen - taria, diminuiria ou permaneceria constante? Justifique. RESOLUÇÃO: a) A água fria provoca condensação de parte do vapor existente no interior do recipiente. Esse fato produz redução na pressão sobre o líquido. A redução de pressão diminui a temperatura de ebulição. Dessa forma, o líquido volta a entrar em ebulição. b) Em uma altitude maior, a pressão atmosférica fica menor. Assim, a ebulição do líquido ocorre em uma temperatura menor do que aquela no laboratório. Respostas: a) ver justificativa b) Diminuirá. 4. (UFF-RJ) – Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Levam um recipiente térmico adiabático contendo uma quantidade de gelo a – 4°C e 60 latas com 350m de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de 22°C. Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água. Sabendo-se que, no equilíbrio térmico, a temperatura no interior do recipiente adiabático é 2°C, calcule a) a quantidade de calor cedida pelas latas e pelo refrigerante; b) a massa de gelo, em quilogramas, que foi colocada no recipiente. Dados: calor específico sensível do gelo cg ≅ 0,50 cal/g°C; calor específico sensível da água ca ≅ 1,0 cal/g°C; calor específico sensível do alumínio cA ≅ 0,22 cal/g°C; calor específico latente de fusão do gelo L ≅ 80 cal/g; massa de alumínio em cada lata mlata ≅ 30 g; densidade da água ρa ≅ 1,0 g/cm3 RESOLUÇÃO: a) Cálculo do calor cedido pelas latas e pelo refrigerante. Q = Qlatas + Qrefrigerante Q = (m c Δ θ)latas + (m c Δ θ)refrigerante Mas: 1 – Latas mL = 60 . 30g = 1800g 2 – Refrigerante d = ⇒ m = d V m ––– V mR = 1,0 . 60 . 350g = 2,1 . 104g Assim: Q = [1800 . 0,22 . (2 – 22) + 2,1 . 104 . 1,0 (2 – 22)] (cal) Q = (–7920 – 420 000) (cal) |Q| = 427 920 cal O sinal negativo indica que essa energia saiu das latas e do refrigerante. b) Utilizando-se o balanço energético, vem: Qcedido + Qrecebido = 0 – 427 920 + [(m c Δ θ)gelo + (m LF)gelo + (m c Δ θ)água] = 0 – 427 920 + m 0,50 [0 – (– 4)] + m 80 + m . 1,0 . (2 – 0) = 0 – 427 920 + 2m + 80m + 2m = 0 84m = 427 920 m ≅ 5094g m ≅ 5,1kg Respostas: a) 427 920cal b) 5,1kg REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 33
  • 36. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 34 FÍSICA A 3.aS 5. (FUVEST-SP) – Um roqueiro iniciante improvisa efeitos especiais utilizando gelo seco (CO2 sólido) adquirido em uma fábrica de sorvetes. Embora o início do show seja à meia-noite (24 h), ele o compra às 18 h, mantendo-o em uma “geladeira” de isopor, que absorve calor a uma taxa de aproximadamente 60 W, provocando a sublimação de parte do gelo seco. Para produzir os efeitos desejados, 2 kg de gelo seco devem ser jogados em um tonel com água, à tem - peratura ambiente, provocando a sublimação do CO2 e a produção de uma “névoa”. A parte visível da “névoa”, na verdade, é constituída por gotículas de água, em suspensão, que são carregadas pelo CO2 gasoso para a atmosfera, à medida que ele passa pela água do tonel. Estime: a) A massa de gelo seco, Mgelo, em kg, que o roqueiro tem de com prar, para que, no início do show, ainda restem os 2 kg necessários em sua “geladeira”. b) A massa de água, Mágua, em kg, que se transforma em “névoa” com a sublimação de todo o CO2, supondo que o gás, ao deixar a água, esteja em CNTP, incorporando 0,01g de água por cm3 de gás formado. NOTE E ADOTE: Sublimação: passagem do estado sólido para o gasoso. Temperatura de sublimação do gelo seco = – 80º C. Calor latente de sublimação do gelo seco = 648 J/g. Para um gás ideal, PV = nRT. Volume de 1 mol de um gás em CNTP = 22,4 litros. Massa de 1 mol de CO2 = 44 g. Suponha que o gelo seco seja adquirido a – 80ºC. RESOLUÇÃO a) Cálculo da massa inicial Mgelo da barra: Pot Δt = (Mgelo – m)Ls 60 · 6 · 3600 = (Mgelo – 2000) · 648 Mgelo = 4000 g Mgelo = 4 kg b) A sublimação de 2 kg de CO2 “carrega” uma massa Mágua de vapor-d’água, Mágua ≅ 10 kg 34 – que representa 0,01 g/cm3. Assim: 0,01 g 1 cm3 Mágua V(cm3) Mágua = V · 0,01 (g) Como cada 44 g de CO2 ocupam 22,4 , temos: 44 g de CO2 22,4 2000 g de CO2 V() 2000 · 22,4 ––––––––– V = ⇒V = 1018,18 · 103 cm3 44 Portanto: Mágua = 1018,18 · 103 · 0,01 (g) Mágua ≅ 10,18 · 103 g Respostas: a) 4 kg b) 10 kg
  • 37. FÍSICA A 3.aS – 35 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 35 1. (ITA) – Estime a massa de ar contida em uma sala de aula. Indique claramente quais as hipóteses utilizadas e os quantitativos estimados das variáveis empregadas. Dados: M (O2) = 32g M(N2) = 28g RESOLUÇÃO: Professor, procure exercitar a criatividade do aluno. Uma sala de aula típica, destinada a 45 alunos, deve ter área próxima de 50m2 e pé-direito (altura) de 3,0m. Assim, o volume de ar contido nessa sala fica determinado por: V = Ah = 50 . 3,0 (m3) ⇒ Supondo-se que o ar se comporta como gás perfeito, pode-se aplicar a Equação de Clapeyron: pV = RT ⇒ m = Adotando: p = 1,0 atm, R = 0,082 atm /mol. K, T = 27°C = 300K, Mar = 30% O2 + 70% N2 = 29,2 . 10–3kg e V = 150 . 103, calculemos a massa de gás contida na sala: m = (kg) ⇒ Atenção que M(O2) = 32g e M(N2) = 28g Resposta: 178kg 2. (UFC-2010) – Um cilindro de área de seção reta S e comprimento L, completamente isolado, é dividido em partições A e B, ambas de volumes iguais, por uma parede diatérmica, móvel e impermeável. Cada partição é preenchida com um gás ideal, de modo que a partição A possui o dobro do número de mols da partição B. Ambas as partições encontram-se em uma mesma temperatura T durante o processo. Despreze quaisquer efeitos de atrito e, quando o sistema estiver em equilíbrio, determine: a) os volumes das partições A e B em função de S e L. b) o módulo do deslocamento da parede em função de L. RESOLUÇÃO: a) No equilíbrio, as pressões exercidas nas faces da parede diatérmica (que separa as porções de gás) são iguais: PA = PB Como, a equação de Clapeyron garante que: P = temos: = Sendo nA = 2 nB, vem: = ⇒ VA = 2 VB mas: V = S . h Sendo S constante, temos hA = 2hB e hA + hB = L Assim: Portanto: e b) No início os volumes são iguais. No final, o volume da parte A vale: Assim, o deslocamento da parede diatérmica foi de: Respostas: a) ; b) V = 150m3 m ––– M pVM ––––– RT 1,0 . 150 . 103 . 29,2 . 10–3 –––––––––––––––––––––––– 0,082 . 300 m ≅ 178kg n R T ––––– V nA R T –––––––– VA nB R T –––––––– VB 2 nB ––––– VA nB –––– VB 2 hA = –– L 3 1 hB = –– L 3 2 VA = –– S L 3 1 VB = –– S L 3 L VA = S ––– 2 3L VA = S ––– 2 2L L 4L – 3L Δx = S ––– – —— = –––––––– 3 2 6 L Δx = ––– 6 2 –– S L 3 1 –– S L 3 L –– 6 MÓDULO 11 44 Termologia III
  • 38. FÍSICA A 3.aS 3. (FUVEST-2010) – Um balão de ar quente é constituído de um envelope (parte inflável), cesta para três passageiros, queimador e tanque de gás. A massa total do balão, com três passageiros e com o envelope vazio, é de 400 kg. O envelope totalmente inflado tem um volume de 1500 m3. a) Que massa de ar M1 caberia no interior do envelope, se totalmente inflado, com pressão igual à pressão atmosférica local (Patm) e temperatura T = 27°C? b) Qual a massa total de ar M2, no interior do envelope, após este ser totalmente inflado com ar quente a uma temperatura de 127°C e pressão Patm? c) Qual a aceleração do balão, com os passageiros, ao ser lançado nas condições dadas no item b) quando a temperatura externa é T = 27°C ? RESOLUÇÃO: a) Usando-se a equação da densidade volumétrica, temos: μ = Assim: 1,2 = ⇒ b) Da Equação de Clapeyron, vem: pV = nRT pV = RT 36 – = mT = constante Assim: M1T1 = M2T2 1800 . (27 + 273) = M2 (127 + 273) = M2 c) Nas condições do item b, temos: E – P = m a μar g V – mg = ma 1,2 . 10 . 1500 – (1350 + 400) . 10 = (1350 + 400) . a 18000 – 17500 = 1750 . a 500 = 1750 . a Respostas: a) 1800 kg b) 1350 kg c) ≅ 0,29 m/s2 4. (UFES-2008) – No interior de um recipiente cilíndrico, encon-tra- se um pistão de massa nula preso a uma mola ideal de constante elás - tica 8,3 . 106 N/m. A extremi dade su perior da mola está presa à base superior do cilindro. Entre a base inferior e o pistão, encontram-se 2,0 mols de um gás ideal monoa tô - mico e, entre o pistão e a base su - perior, é feito vácuo. As paredes do cilindro são adiabá ticas, exceto a base inferior, que é diatérmica. Com base nessas informações e considerando a constante universal dos gases 8,3J mol–1 K–1, faça o que se pede. a) Sabendo que o sistema se encontra em equilíbrio inicialmente a uma temperatura 200K e com o pistão a uma distância h0 = 4,0cm da base inferior, determine a compressão inicial da mola. A temperatura do gás é, então, aumentada muito lentamente até que a distância do pistão à base seja 3h0/2. Determine b) a variação de energia interna sofrida pelo gás durante esse pro cesso; c) a quantidade de calor recebida pelo gás durante esse processo. RESOLUÇÃO: a) A pressão exercida pelo gás, no êmbolo, é dada por: p0 = ⇒ p0A = kx0 Da equação de Clapeyron, obtemos: pV = nRT Sendo V = Ah, temos: pAh = nRT pA = Assim: kx0= (I) 8,3 . 106 . x0 = x0 = 1 . 10–2m b) A nova altura h do êmbolo é dada por: h = = h = 6,0cm Dessa forma, o êmbolo subiu 2,0cm fazendo a mola ficar comprimida de 3,0cm (x = 3,0cm). Usando-se a expressão (I) do item a, tem-se: kx = 8,3 . 106 . 3,0 . 10–2 = T = 900K Sendo o gás monoatômico, a energia interna é calculada por: U = nRT ΔU = nRΔT ΔU = . 2 . 8,3 . (900 – 200) (J) NOTE E ADOTE: Densidade do ar a 27°C e à pressão atmosférica local = 1,2 kg/m3. Aceleração da gravidade na Terra, g = 10 m/s2. Considere todas as operações realizadas ao nível do mar. Despreze o empuxo acarretado pelas partes sólidas do balão. T (K) = T (°C) + 273 Indique a resolução da questão. Não é suficiente ape nas escrever as respostas. m ––– V M1 ––––– 1500 M1 = 1800 kg m ––– M pV M –––––– R 1800 . 300 ––––––––– 400 M2 = 1350 kg a ≅ 0,29 m/s2 F ––– A nRT –––– h nRT0 ––––– h0 2 . 8,3 . 200 –––––––––– 4,0 . 10–2 x0 = 1,0cm 3h0 –––– 2 3 . 4,0cm ––––––––– 2 nRT –––– h 2 . 8,3 . T –––––––––– 6,0 . 10–2 3 ––– 2 3 ––– 2 3 ––– 2 ΔU = 17430J REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 36
  • 39. FÍSICA A 3.aS – 37 c) O trabalho realizado pelo gás na sua expansão transfere energia para a mola. Assim: τgás= – 2 τgás = [(3 . 10–2)2 – (1 . 10–2)2] (J) τgás = (9 . 10–4 – 1 . 10–4) (J) τgás = 8 . 10–4 (J) τgás = 3320J Da 1.ª Lei da Termodinâmica, temos: Q = τ + ΔU Q = (3320 + 17430) J Respostas: a) 1,0cm b) 17 430J c) 20 750J 5. (VUNESP-SP) – Certa quantidade de um gás é man tida sob pressão constante dentro de um cilindro, com o auxílio de um êmbolo pesado, que pode deslizar livremente. O peso do êmbolo mais o peso da coluna do ar acima dele é de 300 N. Através de uma resistência elétrica de 5,0 Ω, em contato térmico com o gás, se faz circular uma corrente elétrica de 0,10 A durante 10 min. a) Determine a quantidade de calor fornecida ao sis tema. b) Desprezando as capacidades térmicas do cilindro, êmbolo e resis - tência, e sabendo que o êmbolo se eleva lentamente de 0,030 m durante o processo, determine a variação de energia interna do gás. RESOLUÇÃO: a) A energia elétrica dissipada no resistor será fornecida ao sistema na forma de calor. Eel = Q = P . Δt Eel = Q = R i2 Δt = 5,0 . (0,10)2 . 600 (J) b) As forças de pressão do gás têm um valor F, em módulo, igual ao peso do êmbolo mais a força aplicada pela atmosfera sobre o êmbolo (F = 300N). O trabalho τ das forças de pressão do gás será dado por: τ = F . h τ = 300 . 0,030 (J) τ = 9,0J A variação da energia interna do gás nesse pro cesso será dada por: ΔU = Q – τ ΔU = 30,0 – 9,0 (J) Respostas: a) 30,0J b) 21,0J kx2 –––– 2 kx0 –––– 2 8,3 . 106 –––––––– 2 8,3 . 106 –––––––– 2 8,3 . 106 –––––––– 2 Q = 20 750J Eel = Q = 30,0J ΔU = 21,0J REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 37
  • 40. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 38 FÍSICA A 3.aS 1. Fotografias obtidas diante de um ou mais espelhos planos são bas - tan te comuns. Com essa técnica, que exige especiais cuidados do fotógrafo, belos e curiosos efeitos visuais podem ser registrados. No esquema abaixo se vê, de cima, o jovem Paulo, um fotógrafo principiante, posicionado no local P diante da superfície refletora de um espelho plano vertical E. Paulo deseja fotografar a imagem fornecida por E para o corpo de sua irmã, Regina, posicionada no local R. Os comprimentos d1, d2 e d3, indicados na figura, são tais que d1 = 4,0 m, d2 = 3,6 m e d3 = 0,8 m. a) Para que distância Paulo deverá regular sua câmara para obter uma foto devidamente focalizada da imagem de Regina? Em relação a E, essa imagem é de natureza real ou virtual? b) Supondo-se que Paulo queira obter uma foto de sua própria imagem utilizando um flash acoplado à câmara (o que não deve ser feito quando se dirige, como no caso de Paulo, o eixo do equipamento perpendicularmente ao espelho, sob pena de se inserir na imagem um brilho comprometedor), qual o intervalo de tempo, em nano segundos (1 ns = 10–9 s), gasto pela luz do flash para retornar à câmara após o disparo? Adote para a velocidade da luz o va - lor c = 3,0 . 108 m/s. RESOLUÇÃO: a) A imagem de Regina, R’, é simétrica do objeto em relação à superfície refletora. 38 – Aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo POR’, vem: D2 = (d1 + d3)2 + d2 2 ⇒ D2 = (4,0 + 0,8)2 + (3,6)2 D2 = (4,8)2 + (3,6)2 ⇒ D = 6,0 m Em relação a E, a imagem R’ é de natureza virtual. 2d1 –––– Δt b) c = ⇒ 3,0 . 108 = Δt ≅ 2,7 . 10–8 s ⇒ 2 . 4,0 –––––– Δt Δt ≅ 27 ns Respostas: a) 6,0 m; virtual; b) aproximadamente 27 ns 2. Considere um espelho plano retangular, disposto perpendicular - mente ao solo, considerado plano e horizontal. O espelho tem altura h desprezível em comparação com o comprimento de sua base. Admita que esse espelho esteja em movimento na direção do seu eixo longitudinal, com velocidade v→de módulo 1,0 m/s, conforme ilustra o esquema a seguir, que também mostra um garoto G que pode caminhar sobre o solo. MÓDULO 11 55 Óptica (I)
  • 41. FÍSICA A 3.aS – 39 a) Supondo G em repouso em relação ao solo, qual o módulo da velocidade da imagem de G em relação ao espelho? b) Supondo que G se aproxime do espelho, percorrendo a reta r coplanar à reta s com velocidade de módulo 4,0 2 m/s em relação ao solo, qual o módulo da velocidade da imagem de G em relação ao espelho? RESOLUÇÃO: a) Com G em repouso em relação ao solo, sua imagem G’ também se apresenta em repouso em relação ao solo. Como o espelho tem velo - cidade v→em relação ao solo, G’ tem velocidade v→ G’ = –v → em relação ao espelho (propriedade simétrica). Logo: b) |v → G’ | = |v → A velocidade da imagem G’ em relação ao espelho E é v→ G’,E, dada pela seguinte expressão vetorial: v → G’,E = v→ G’ – v→ O módulo de v→ G’,E é obtido aplicando-se a Lei dos Cossenos. |v → G’,E |2 = (4,0 2 )2 + (1,0)2 – 2 . 4,0 2 . 1,0 cos 45° Da qual Respostas: a) 1,0 m/s b) 5,0 m/s 3. Espelhos esféricos podem ser utilizados para diversos fins. Os côncavos, por exemplo, encontram largo uso em sistemas de ilumi - nação, como holofotes, faróis e lanternas. Suponha que em um farol de automóvel, dois espelhos esféricos côncavos, admitidos em operação de acordo com as condições de Gauss, sejam utilizados para se obter um feixe de luz paralelo a partir de uma lâmpada S aproximadamente pontual. O espelho principal E1 tem raio de curvatura igual a 16,0 cm, enquanto o espelho secundário E2, tem raio de curvatura igual a 2,0 cm. A figura abaixo ilustra a montagem do farol. Para que o feixe luminoso produzido seja efetivamente paralelo, quais as distâncias de S aos vértices M e N, respectivamente de E1 e E2? RESOLUÇÃO: A lâmpada S encontra-se no foco principal de E1, já que os raios incidentes nesse espelho a partir de S refletem-se paralelamente ao eixo principal. Logo: SM = ⇒ SM = cm ⇒ Por outro lado, a lâmpada S encontra-se no centro de curvatura de E2, já que os raios incidentes nesse espelho a partir de D refletem-se sobre si mesmos. Assim: SN = R2 ⇒ Respostas: SM = 8,0 cm SN = 2,0 cm |v → G’E | = 5,0 m/s | = 1,0 m/s SM = 8,0 cm 16,0 –––– 2 R1 ––– 2 SM = 2,0 cm REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 39
  • 42. REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 40 FÍSICA A 3.aS 4. Coloca-se um lápis AB de comprimento L sobre o eixo principal de um espelho esférico côncavo E, de distância focal igual a f, que obede - ce às condições de estigmatismo de Gauss. A extremidade B do lápis é posicionada diante da superfície refletora a uma distância D (D f) do vértice V do espelho, conforme indica a figura abaixo. a) Calcule o comprimento C da imagem do lápis produzida por E, em função de f, L e D. L ––– 2 b) Admitindo-se C = , determine a relação entre L e f para o caso particular de a imagem da extremidade B do lápis se formar sobre a mesma posição de B. RESOLUÇÃO: a) Equação de Gauss: = + Posição da imagem B: 40 – = + ⇒ = – ⇒ = Da qual: Posição da imagem A: = + ⇒ = – ⇒ = Da qual: Cálculo de C: C = p’B– p’A ⇒ C = – C = C = Donde: b) Se p’B = D (a imagem do ponto B forma-se sobre esse mesmo ponto), vem: D = ⇒ D – f = f ⇒ D = 2f Levando em conta a condição de C = , temos: = ⇒ f(f + L) = 2f2 ⇒ f + L = 2f ⇒ L = f Portanto: Respostas: a) C = b) 5. Um automóvel cujo velocímetro não funciona está se deslocando em movimento uniforme ao longo de uma avenida retilínea em que a velocidade máxima permitida é de 50 km/h. Esse veículo possui um espelho retrovisor esférico (convexo) de raio de curvatura igual a 2,0 m. Ao passar diante de uma estaca vertical de altura 1,8 m, o motorista põe em marcha um cronômetro, verificando que transcorreram 14 s desde o instante em que foi acionado o instrumento até o instante em que a altura da imagem da estaca dada pelo espelho é de 10 mm. Considerando válidas as condições de Gauss no funcionamento do espelho retrovisor, determine se o automóvel trafega ou não dentro do limite de velocidade da avenida. RESOLUÇÃO: I) A = = ⇒ (A 0 ⇒ imagem direita) II) A = = = – 1,0 – p = – 180 ⇒ (f 0 ⇒ espelho convexo; foco virtual) III) V = = = . 3,6 km/h Da qual: Resposta: O automóvel trafega dentro do limite de velocidade, já que sua velocidade (46 km/h) é menor que a máxima permitida na avenida (50 km/h). f (D + L) p’A = –––––––––– D + L – f Df ––––– D – f f (D + L) –––––––– D + L – f Df (D + L – f) – (Df + Lf) (D – f) ––––––––––––––––––––––––––––– (D – f) (D + L – f) D2f + DfL – Df2 – (D2f – Df2 + DfL – Lf2) ––––––––––––––––––––––––––––––––––– (D – f) (D + L – f) Lf2 C = –––––––––––––––– (D – f) (D + L – f) Df –––––– D – f L ––– 2 Lf2 –––––––––––––––– (2f – f) (2f + L – f) L ––– 2 L –– = 1 f Lf2 –––––––––––––––– (D – f) (D + L – f) L ––– = 1 f 1 A = –––– 180 10 mm ––––––––– 1800 mm i ––– o – 1,0 –––––––– – 1,0 – p 1 –––– 180 f ––––– f – p p = 179 m 179 –––– 14 179 m –––––– 14 s Δp ––– Δt V 46 km/h Df p’B = –––––– D – f D + L – f ––––––––– f (D + L) 1 ––– p’A 1 ––––– D + L 1 ––– f 1 ––– p’A 1 ––– p’A 1 ––––– D + L 1 ––– f D – f –––––– Df 1 ––– p’B 1 ––– D 1 ––– f 1 ––– p’B 1 ––– p’B 1 ––– D 1 ––– f 1 ––– p’ 1 ––– p 1 ––– f
  • 43. FÍSICA A 3.aS – 41 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 41 1. (UNIRIO-RJ-2010) – Um raio de luz monocromática incide sobre a superfície de uma lâmina delgada de vidro, com faces paralelas, fazendo com ela um ângulo de 30°, como ilustra a figura abaixo. A lâmina está envolvida pelo ar e sua espessura é de 3 cm. Sabendo-se que os índices de refração desse vidro e do ar valem, respectivamente, 3 e 1, determine o deslocamento lateral x, em mm, sofrido pelo raio de luz ao atravessar a lâmina. RESOLUÇÃO: I) Lei de Snell: nv sen r = nar sen i 3 sen r = 1 . sen 60° ⇒ 3 sen r = sen r = ⇒ II) Triângulo retângulo ABC: cos r = ⇒ cos 30° = = ⇒ III) α + r = i ⇒α+ 30° = 60° ⇒ IV) Triângulo retângulo ABD: sen α = ⇒ sen 30° = = ⇒ Resposta: 10 mm 3 ––– 2 1 ––– 2 r = 30° e ––– AB 3 ––– AB 3 ––– 2 3 ––– AB AB = 2 cm = 20 mm α = 30° x ––– AB x ––– 20 1 –– 2 x ––– 20 x = 10 mm MÓDULO 11 66 Óptica (II)
  • 44. FÍSICA A 3.aS 2. (UNICAMP-2010) – Há atualmente um grande interesse no de sen - volvimento de materiais artificiais, conhecidos como metamateriais, que têm propriedades físicas não convencionais. Este é o caso de metamateriais que apresentam índice de refração negativo, em contras - te com materiais convencionais que têm índice de refração positivo. Essa propriedade não usual pode ser aplicada na camuflagem de objetos e no desenvolvimento de lentes especiais. a) Na figura no espaço de resposta é representado um raio de luz A que se propaga em um material convencional (Meio 1) com índice de refração o n1 = 1,8 e incide no Meio 2 formando um ângulo θ1 = 30° com a normal. Um dos raios B, C, D ou E apresenta uma trajetória que não seria possível em um material convencional e que ocorre quando o Meio 2 é um metamaterial com índice de refração negativo. Identifique este raio e calcule o módulo do índice de refração do Meio 2, n2, neste caso, utilizando a lei de Snell na forma: |n1| sen θ1= |n2| sen θ2. Se necessário use 2 = 1,4 e 3 = 1,7. b) O índice de refração de um meio material, n, é definido pela razão entre as velocidades da luz no vácuo e no meio. A velocidade da luz em um material é dada por v = , em que ε é a permissi-vidade 42 – elétrica e μ é a permeabilidade magnética do material. Calcule o índice de refração de um material que tenha ε = 2,0 . 10–11 e μ = 1,25 . 10–6 . A velocidade da luz no vácuo é c = 3,0 . 108 m/s. RESOLUÇÃO: a) O raio luminoso que está em desacordo com um material convencional é o E. Aplicando-se a Lei de Snell com os dados indicados na figura (θ1 = 30° e θ2 = 45°) e lembrando-se de que n1 = 1,8, determinemos o módulo do índice de refração, |n2|, do meio 2. |n1| sen θ1 = |n2| sen θ2 1,8 . sen 30° = |n2| sen 45° ⇒ 1,8 . 0,5 = |n2| 0,9 = |n2| ⇒ b) A intensidade da velocidade de propagação da luz no material consi - derado é obtida fazendo-se: V = ⇒V = (m/s) Da qual: O índice de refração n fica determinado por: n = ⇒ n = Da qual: Respostas: a) Aproximadamente 1,3 b) 1,5 ––1––– ε μ C2 ––––– Nm2 Ns2 ––––– C2 2 ––– 2 1,4 ––– 2 |n2| 1,3 1 –––– ε μ 1 –––––––––––––––––––––– 2 ,0 . 1 0 – 1 1 . 1 ,2 5 . 1 0 – 6 V = 2,0 . 108 m/s c ––– V 3,0 . 108 –––––––– 2,0 . 108 n = 1,5 REV_II_A_FISICA_Prof_Rose 08/10/10 15:52 Página 42