movimento retilíneo

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movimento retilíneo

  1. 1. 25/04/2014 1 www.mamn.com.br 1 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari Cinemática do Ponto Material A análise cinemática desconsidera as causas dos movimentos: descreve geometricamente posições, deslocamentos, velocidades e acelerações ao longo do tempo. No caso do movimento retilíneo (a trajetória é um segmento de reta), pode-se fazer uma análise escalar (não-vetorial). MOVIMENTO RETILÍNEO 1 – POSIÇÃO (x , xo) Considere-se um ponto material (ou partícula, isto é, um corpo com dimensões desprezíveis) movendo-se em uma trajetória retilínea. À trajetória será associado um segmento de reta orientado: eixo das posições X. Aos pontos do eixo (orientado para a direita) serão associados números reais: - a posição zero é a origem O; - as posições à direita da origem são positivas; O 1 2 3 4 5 X(m) -5 -4 -3 -2 -1 -as posições à esquerda da origem são negativas. No instante inicial to (=0s, neste caso), a partícula está na posição inicial xo (= - 5 m, neste caso) No instante final t (=2s, neste caso), a partícula está na posição final x (= 4,48 m, neste caso) (2s)(0s) 4,48 www.mamn.com.br 2 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 2 – DESLOCAMENTO (∆x) Considere o movimento analisado. O deslocamento (∆x) da partícula é dado por ∆x = x – xo No caso exemplificado, tem-se: ∆x = 4,48 – (-5) → ∆x = 9,48 m O deslocamento no sentido de orientação do eixo de posições é positivo. Considere agora o seguinte exemplo: O deslocamento (∆x) da partícula é dado por ∆x = (-2) – 4 → ∆x = -6 m O deslocamento contrário à orientação do eixo de posições é negativo. O 1 2 3 4 5 X(m) -5 -4 -3 -2 -1 (1s)(4s) A posição inicial é xo = 4 m A posição final é x = -2 m O 1 2 3 4 5 X(m) -5 -4 -3 -2 -1 (2s)(0s) 4,48
  2. 2. 25/04/2014 2 www.mamn.com.br 3 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 3 – VELOCIDADE MÉDIA (vm) Considere o movimento analisado. O intervalo de tempo (∆t) durante o qual ocorre o movimento observado é dado por ∆t = t – to No caso exemplificado, tem-se: ∆t = 2 – 0 → ∆t = 2 s Determine a velocidade média no seguinte exemplo: A velocidade média contrária à orientação do eixo de posições é negativa. O 1 2 3 4 5 X(m) -5 -4 -3 -2 -1 (1s)(4s) O deslocamento no caso exemplificado é: ∆x = 4,48 – (-5) → ∆x = 9,48 m A velocidade média vm é a velocidade constante fictícia que a partícula deveria ter para fazer o mesmo deslocamento, no mesmo intervalo de tempo. No exemplo analisado, seria vm = 2 s 9,48 m → vm = 4,74 m/s Então: ∆t ∆x vm = ∆t ∆x vm = → vm = t - to x - xo vm = 4 - 1 (-2) - 4 → vm = 3 -6 → vm = - 2 m/s (1 m/s = 3,6 km/h)O 1 2 3 4 5 X(m) -5 -4 -3 -2 -1 (2s)(0s) 4,48 www.mamn.com.br 4 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 4 – VELOCIDADE INSTANTÂNEA (v) Considere o movimento analisado. Quer-se determinar a velocidade no instante t = 1,5 s. ∆t ∆x v = Pode-se fazer um cálculo aproximado, determinando-se a velocidade média entre os instantes antes e depois do instante de interesse t. Calcular-se-ia a velocidade média entre os instantes 0 s e 2 s, entre 1 s e 1,8 s , entre 1,4 s e 1,6 s e assim por diante, aproximando-se gradativamente do instante de interesse t = 1,5 s . Observe que o intervalo de tempo vai se reduzindo: 2 s , 0,8 s , 0,2 s etc. No limite, quando o intervalo de tempo tende a zero, tem-se a velocidade instantânea: Então: lim ∆t→0 ou v = x’ , isto é, primeira derivada da posição em relação ao tempo. dt dx v = No movimento analisado, a partícula tem sua posição variando com o tempo de acordo com x = - 5 + 32/27 t3 (unidades do SI). Quer-se determinar a posição e a velocidade no instante t = 1,5 s . A posição no instante dado é: → x = - 1 mx = - 5 + 32/27 . 1,53 -1 O 1 2 3 4 5 X(m) -5 -4 -3 -2 (2s)(0s) (1,5 s) O 1 2 3-5 -4 -3 -2 4,48
  3. 3. 25/04/2014 3 www.mamn.com.br 5 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari e x = - 5 + 32/27 t3 . A velocidade no instante de interesse é: v = 8 m/s (ou 8 · 3,6 km/h = 28,8 km/h) v = 32/9 · 1,52 Tem-se dt dx v = v = 3 · 32/27 t2 dt d (- 5 + 32/27 t3 ) Então v = → v = 32/9 t2 Qual é a velocidade inicial do movimento? Para t = 0 s , tem-se v = 0 m/s, isto é, o movimento se inicia do repouso. www.mamn.com.br 6 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 5 – ACELERAÇÃO MÉDIA (am) Considere o mesmo movimento analisado anteriormente, observado agora entre os instantes 0 s e 3 s : O intervalo de tempo (∆t) durante o qual ocorre o movimento observado é dado por X (3s)(0s) ∆t = t – to = 3 – 0 = 3 s Então, a velocidade inicial (em t = 0 s) é A variação da velocidade (∆v) é : ∆v = v - vo → ∆v = 32 – 0 A aceleração média am é a aceleração constante fictícia que a partícula deveria ter para sofrer a mesma variação de velocidade no mesmo intervalo de tempo. No exemplo analisado, seria am = 3 s 32 m/s → am = 10,667 m/s2 Então: ∆t ∆v am = vo=0m/s v=32m/s → ∆v = 32 m/s e a velocidade final (em t = 3 s) é Já se obteve a função horária da velocidade deste movimento: v = 32/9 t2 vo = 0 m/s v = 32 m/s .
  4. 4. 25/04/2014 4 www.mamn.com.br 7 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 6 – ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA (a) Considere o movimento sob análise: Quer-se determinar a aceleração em um instante t (no caso, no instante t = 1,5 s). ∆t ∆v a = Pode-se fazer um cálculo aproximado, determinando-se a aceleração média entre instantes antes e depois do instante de interesse t. Calcular-se-ia a aceleração média entre os instantes 0 s e 3 s, entre os instantes 1 s e 2 s, entre os instantes 1,4 s e 1,6 s e assim por diante, aproximando-se gradativamente do instante t = 1,5 s . Observe que o intervalo de tempo vai se reduzindo: 3 s, 1 s, 0,2 s etc. No limite, quando o intervalo de tempo tende a zero, tem-se a aceleração instantânea: ou lim ∆t→0 ou a = v’ , isto é, primeira derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a = x”) dt dv a = No movimento analisado, a posição varia segundo com x = - 5 + 32/27 t3 . Foi obtida a equação horária da velocidade: v = 32/9 t2 . Quer-se a aceleração no instante t = 1,5 s . X (3s)(0s) vo=0m/s v=32m/s(t) e v = 32/9 t2 . dt dv Tem-se a = a = 2 · 32/9 t dt d (32/9 t2 ) a = → a = 64/9 t Então www.mamn.com.br 8 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari A aceleração no instante de interesse é: a = 10,667 m/s2 a = 64/9 · 1,5 Qual é a aceleração inicial deste movimento? Para t = 0 s , tem-se a = 0 m/s2 (força resultante nula) Uma partícula qualquer pode ter, em um determinado instante, velocidade nula e aceleração diferente de zero? Cite um exemplo. Sim. Se uma força é aplicada a uma partícula com velocidade nula, apesar de estar em repouso ela já está submetida a uma aceleração diferente de zero. O movimento analisado é uniforme ou uniformemente variado? Não é uniforme porque a velocidade não é constante (é função quadrática do tempo). Não é uniformemente variado porque a aceleração não é constante (é função linear do tempo). Exemplo: uma partícula arremessada verticalmente para cima pára no ponto mais alto da trajetória, mas está constantemente submetida à aceleração gravitacional (durante a subida, na posição da parada instantânea e durante a descida). Por que a aceleração no instante 1,5 s resultou igual à aceleração média entre 0s e 3s? Porque a aceleração tem variação linear com o tempo e t = 1,5 s é o instante médio do intervalo 0s a 3s .
  5. 5. 25/04/2014 5 www.mamn.com.br 9 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 7 – DEFINIÇÃO ALTERNATIVA DA ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA (a) Sabe-se que a aceleração instantânea é definida por dt dv a = dt dx v = Multiplicando e dividindo a expressão anterior por dx tem-se dt dv a = dx dx · dt dv a = dx dx · Sabe-se que a velocidade instantânea é definida por [1] ou [2] Substituindo-se [2] em [1], tem-se uma definição alternativa para a aceleração instantânea: dv dx ·a = v www.mamn.com.br 10 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari 8 – CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS a) Movimento Progressivo: tem velocidade positiva, isto é, se desenvolve no sentido do eixo das posições. b) Movimento Regressivo ou Retrógrado: tem velocidade negativa, isto é, se desenvolve em sentido contrário ao do eixo das posições. c) Movimento Acelerado: o módulo da velocidade aumenta (velocidade e aceleração são ambas positivas ou ambas negativas). d) Movimento Retardado: o módulo da velocidade diminui (velocidade e aceleração possuem sinais opostos, isto é, uma é positiva e a outra é negativa).
  6. 6. 25/04/2014 6 www.mamn.com.br 11 9 - ATIVIDADES 9.1 – EM AULA 9.1.1 - Leia os itens teóricos 11.1 (p.1) e 11.2. 9.1.2 - Leia o Problema Resolvido 11.1 (p. 11). 9.1.3 - Resolva o Problema Resolvido 11.1 novamente, mas com a função horária da posição x = 2 t3 - 3 t2 - 10 t + 20 . Pede-se: a) instante em que a partícula para; b) posição neste instante e distância percorrida até este instante; c) aceleração neste instante; d) instante em que se anula a força atuante na partícula; e) instante em que a função da velocidade tem seu ponto de mínimo; f) instante em que a função da posição tem seu ponto de inflexão; g) gráficos horários da posição, da velocidade e da aceleração; h) deslocamento entre os instantes 0,2s e 3s; i) distância percorrida entre os instantes 0,2 s e 3s. j) Classificação do movimento nos intervalos 0 s a 0,5 s , 0,5 s a 1,8844 s e de 1,8844 s em diante. 9.2 – DOMICILIARES 9.2.1 – Resolva, do livro, os Problemas Propostos 11.2 (p.18) e 11.6. 9.2.2 - Problema Proposto Extra 01 Uma partícula move-se ao longo do eixo X com posição dada pela função horária x = 6 t2 – t3 (unidades do SI: x em m; t em s). Pede-se: a) função da velocidade da partícula; b) função horária da aceleração da partícula; o movimento é uniformemente variado (aceleração constante)? c) instantes em que a partícula para; MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari www.mamn.com.br 12 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari d) instantes em que a partícula passa pela origem; e) instante em que se anula a força resultante aplicada na partícula; f) diagramas horários da posição, da velocidade e da aceleração (faça tabelas auxiliares com valores das três grandezas nos instantes ti = 0 s, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s e 6 s); g) instante em que a velocidade é máxima; h) instante em que a posição é máxima; i) instante correspondente ao ponto de inflexão da função horária da posição; este instante corresponde à velocidade máxima e à aceleração nula? Isto era previsível, à luz do cálculo diferencial? Por quê? j) distância percorrida entre os instantes 0s e 6s; k) deslocamento entre os instantes 0 s e 6 s; l) velocidades médias entre os instantes 0 s e 4 s, 4 s e 6 s, 0 s e 6 s; m) área entre o eixo dos tempos e a curva da função da velocidade entre os instantes 0 s e 4 s; o valor desta área equivale ao valor de que grandeza? n) acelerações médias entre os instantes 0 s e 2 s, 2 s e 4 s, 0 s e 4 s, 0 s e 6 s; o) classificação do movimentos nos instantes 1 s, 3 s e 5 s. (respostas nas próximas páginas)
  7. 7. 25/04/2014 7 www.mamn.com.br 13 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari RESPOSTAS Da atividade em aula 9.1.3 : a) A equação da velocidade é v = 6 t² - 6 t – 10 ; a partícula para (v = 0) no instante t = 1,8844 s (a outra raiz da equação do segundo grau é desprezada por ser negativa; não se considera tempo negativo) b) A posição no instante 1,8844 s é 3,886 m. Como a partícula inicia o movimento no instante 0 s da posição 20 m, a distância percorrida (em módulo) é de 16,114 m; c) A equação da aceleração é a = 12 t – 6 . A aceleração inicial (0 s) é – 6 m/s² . No instante 1,8844 s tem-se a = 16,613 m/s² . d) Quando a força é nula a aceleração vale 0, isto é, no instante 0,5 s. e) O ponto de mínimo da função da velocidade ocorre quando sua primeira derivada é nula, isto é, quando a aceleração é nula, no instante 0,5 s. f) O ponto de inflexão da função da posição ocorre quando sua segunda derivada é nula, isto é, quando a aceleração é nula, no instante 0,5 s. g) - Gráfico da aceleração: resulta uma reta, já que a função horária da aceleração (a = 12 t – 6 ) é do primeiro grau. A reta inicia no ponto (0 s; - 6 m/s²), passa pelo ponto (0,5 s; 0 m/s²) e pelo ponto (1,8844 s; 16,613 m/s²) - Gráfico da velocidade: resulta uma parábola pois a função horária da velocidade (v = 6 t² - 6 t – 10 ) é do segundo grau. A parábola tem concavidade voltada para cima porque o termo de segundo grau (6 t²) tem coeficiente positivo. A parábola inicia no ponto (0 s; - 10 m/s), tem ponto de mínimo em (0,5 s; - 11,5 m/s) e passa pelo ponto (1,8844 s; 0 m/s) www.mamn.com.br 14 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari - Gráfico da posição: resulta uma curva do terceiro grau. A curva inicia no ponto (0 s; 20 m) e se desenvolve com concavidade para baixo até o ponto de inflexão (0,5 s; 14,5 m); desse ponto em diante, a curva passa a ter concavidade para cima, com ponto de mínimo em (1,844 s; 3,886 m). h) A posição no instante 0,2 s é 17,896 m; a posição no instante 3 s é 17 m. O deslocamento entre os instantes 0,2s e 3s vale – 0,896 m; i) Entre os instantes 0,2 s e 1,8844 s a partícula percorre uma distância de 14,01 m para a esquerda. Entre os instantes 1,8844 s e 3 s a partícula percorre uma distância de 13,114 m para a direita. A distância total percorrida entre os instantes 0,2 s e 3 s vale 27,124 m (distâncias em módulo). j) Classificação do movimento: - entre 0 s e 0,5 s : regressivo ou retrógrado (velocidade negativa), acelerado (velocidade e aceleração com mesmo sinal, ambas negativas). - entre 0,5 s e 1,8844 s : regressivo ou retrógrado (velocidade negativa), retardado (velocidade e aceleração com sinais contrários, velocidade negativa e aceleração positiva). - de 1,8844 s em diante: progressivo (velocidade positiva), acelerado (velocidade e aceleração com mesmo sinal, ambas positivas).
  8. 8. 25/04/2014 8 www.mamn.com.br 15 MECÂNICA GERAL 2 – prof. Moacyr Molinari RESPOSTAS Do problema Proposto Extra 01 (item 9.2.2) a) v = 12 t - 3 t2 ; b) a = 12 – 6 t; não, já que a aceleração varia com o tempo; c) 0 s e 4 s; d) 0 s e 6 s; e) 2 s; f) g) 2 s; h) 4 s; i) 2 s; sim; sim; Porque v = dx/dt e a = d2x/dt2 j) 64 m; k) 0 m; l) 8 m/s, - 16 m/s, 0 m/s; m) 32 m; deslocamento n) 6 m/s2 , - 6 m/s2 , 0 m/s2 , - 6 m/s2; o) 1 s : progressivo acelerado; 3 s : progressivo retardado; 5 s : retrógrado (ou regressivo) acelerado.

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