1) O documento discute limites de funções e continuidade. Primeiramente reescreve o expoente de uma expressão e calcula valores de constantes e limites.

1. 333
T g ‰ 3 ‰ 3 6e dQa 7
cb
‰ ˆ ƒ„…‚ 'e dQa cb e:
…„ƒ‚ então
‘ ’ ‰
, . Por outro lado observamos que se , temos que Fazendo
‘ #
 …„ƒ‚ © † ‡ © 3 ‰ ‡ © † © 3 ‰
‡
T © † © …„ƒ‚ ˆ 'e r€dQa7
3 c b ca b
‡ © † © 6e
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:
w
fxs
vutsvutsq iprehq ipyihf gP X§¨§ ¦ ¥ ©
.
[2] Calcule:
cb
'e dQ$aA
T ` 3 @6 $54I Y §¨§ ¦ ¥ © 3 ( F §¨§¦ ¥ ©
; então: X
' $210S V(
W3
Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,
T
U@6 $54I @6 $54IS R
3
( EC
D
P (
Q@6 $54I HGF A 3
D
( EC B
(
@' $940 8) 3 6 %$540% ( 3 (
( 6 %$270%
6 %$540% ' $210
' $210
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
limite.
e calcule o ( ) §¨§ ¦ ¥ © para que exista £ ¡
¤¢ [1] Determine o valor da constante
' %$#!
9.1 Limites
por ceder, gentilmente estes exercícios.
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,
Exemplos Diversos
Capítulo 9

2. $
¤ ¦VP © E V © D S ¤ © $ H© © H©
T 3 1$ 1 I 3
V© E
D 1
© $ © H©
4 G 4 E 3 G 4 E 3
4 G 1 4 F
G
P F EG P E E
G
F E A 7 4 F D A 3 7 F D
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
T 7 4 F 3 1
42
§¨§¦¥ ©
E D
[5] Calcule:
. )
‘ 3
e
3 , ou seja e
‘ 3) ‘ 3¢ . Logo, @ 9 A @ 9 31
' 42©
7 C £ B 8 £ £ ‘ 3 'ee 87 §¨§¦¥ se Sabemos que
T ¤ 65655 3 ¤ 65655
3 P ¤ 65655 )
# ) 65655 ) 2 @@ V # @@ V ) 65655 ) 4 @@ V ¤ @@ V
4 A
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:
5
T ‘ 3 P ¤S65650 ) A 42¥§¦1§¨ © 3
¤ @@ V
tais que ) '
£ ¡ 0( [4] Determine as constantes
$
¤
T ( ¥ b 3 ¡ ¥ V %P P ¤ #‰ C !A X§¨§¦ ¥¡ 3 w ¢¤ P ‰ C A X§¨§¦ ¥¡ 3 © ¡ P 'e ‰ A ©§ §¨§¦¥ ©
‡ †(
e: , então Por outro lado observamos que se
‘ ’ ‰ 
T ‰ ‰ 3 6e ( ‰ C 3 ‰
que e D 'e ‰ D 6 D
‰ ˆ 3 'e ‰
, temos Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo
6e ( ‰ 6 3 ‰
. © ¨©
§
[3] Calcule:
‡
© P 6e ‰ A ¨ §¦¥
q f w †( ¡
X vutsipq ehyfxs
©
¥
TV b 3 V ¥ ¢¤ ¥ ¢¤
‰ ˆ$ £ ‰ ˆ$ §¨ ¥¦ ¡ 3 V ¦£ ‰ ˆ$ §¨§¦¥¡ 3 vutsripihgP 'e dQ Aa ¨ §¦¥
cb Logo:
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 334

3. .
D ( ¨ ( c b $ X© [8] Calcule:
)g¨ D ¦ ' '!''e r€a $%G'e a #!„ §¨§¦¥
. V ( „ „ 3 c c D c ddrddT ˆ gS 3 $ 7
TTTTT D Por outro lado,
„ ‡ 1 † „ # 5 E 9
V ©
V ©
T
$ 7 3 'e 7 §¨ ¥¦ 3 c T T T T T #1 „ „ „ ¨ §¦¥
1I ( 0 ddrddT ( ¥ „ 0 V ¥ „ 0 „ „
. Logo:
TT
D ddT 7
onde
„ c g c ¤ ( E c 9 ¥ „ ( „¥ g V ¥ 3 'e
D„
'
TTTTT
6e 7 #!e 3 c 7I ( 0 ddddT ( ¥ V ¥ 0
Solução : Dividindo os polinômios:
T V ©
TTTTTT
c 70 ( 0 ddrdd#7 ( ¥ „ 0 V ¥ „ I „ §¨ ¥¦
[7] Calcule:
T #A se
D se
(
D 3 se
D D 3 'e ¡
D ¥ ¨
2g¦‘ ‘ Então:
„ © „ „ © „ „ „ „
T 3
( ( S E 41 §¨§¦¥ 3 ( ( p 3 3
( 3 ( p© S E 42¥¦1 §¨ 3 ( 01 „ ( D 42¥§¦1 §¨
§ © (
: . Agora estudemos o caso se logo
„ 2A D D ¥ ¨
2¤g©‘ ‘ 3 6e ¡
'
(© p S E 42¥§¦1 §¨ „ „ „ „ 41 §¨§¦¥ „
‘ 3 ( (p
3 3 ) ( D 3 (
§ © (1 , temos: Se
„ „ „ „ „ D ¤g¦‘
¥ ¥
T D 41 3 D 3 1
42
D
D D 3 „ GD ( D §¨§¦¥ 3 ( g 1 „ D ( D §¨§¦¥ 3 D ¡
(
temos: ; se , então Solução : Observe que, se
D „ 3 „ ‘ 3 i‘ ¡ „ ‘ 3
T 3 1
42
#¤ ¢ F01 „ ( D §¨ ¥¦ 3 6e ¡
‘ £ ( (
[6] Determine a função definida por:
5 P V © E V©
TD 3 D 341 ¨ §¥ © 3
¦ 7 E 3 1
42
§¨§¦¥ ©
V© E S D
D
Logo:
335 9.1. LIMITES

4. se
…„…‚
T ‘#A
se
‡ © † ©
‘ 3 se
…„…‚ 3 6e ¡
‘ #¥ ‡ © † ©
é contínua em . Reescrevamos a função: Solução : Claramente, o problema é determinar se
‘ ¡
T‘ 3 se
ƒ„…‚ 3 [1]
se
‘
¨3 ‡ © † © 6e ¡
Analise a continuidade das seguintes funções:
9.2 Continuidade
3
T Y D 3 6e ‰ # 'e ‰ # D ¡§ §¨§¦¥ © X'e ‰ 8'edQb a ‰ # ¡§ §¨§¦¥ ©
¤
c
cb
6e dQa #¢
Logo:
T 6e ‰ # 'e ‰ D 3 'e ‰ # 8'e ‰ # 'e ‰ D 3 6e ‰ # 6erc €b a ‰ #
¤
c
'e rb€a cb
G6e ‰ #! 'e dQa
#¢ 4
, então: pois
‘ ©'e dQa
¨3 c b
' P
'e ‰ A 'e D r€a 3 cb
cb cb cb
P'e r€a 8'e a A D 3 6e a # ( § ¥ dQa ( § ¥ a # 'e r€a 3 ( § ¦ dQa ¥ cb
Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:
§
T 6e ‰ # G'edc Qb a ‰ ¡¨§¨§¦¥ ©
¤
¢
#£4 [9] Calcule:
não existe. cb
© Consequentemente,
w '!'6e $%8'e #
dQa $ w a §¨§¦¥
§¦§¨ ¥ ©
T D 3 5 'e a §¦¨ ¥ © 3
'
© 6e ¡ ©
3 'e a # § §¨§¦¥ 3 6e ¡ § ¨ §¦¥
Então
se T( 3 X
se
( ¤ g¦‘
se
¥ ¨
6e a # 3 6e ¡
‘ ¥
2¤g¨ (
¤ 6e a #
. Logo 3 (
e 3 ( r€a cb ( 3
, então . Se
a 3
, logo 3 cb e
r€a $ cb
então . Se
dQa X ¡ ( '' $$ 6e a #
¨ ‘ ¥ ¨ ‘ , logo
3 6e '¡ e X'e 3¡
e , então
3 '!''e‘ r€a $'$!''e #¥ $6e dc Qa ¥ ¨ 6Xe . Se Solução : Seja
cb ‘ b ‘ ¥
##¨ ( '!''e r€a $%G'e a # 3
cb $ 6e ¡
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 336

5. § ¨
b
¡ @ 3 [3]
§ ¨
¥ 4§¨1 §¦¥ ¡ 3 6e ¡
¡ © b ¥
¥
s¦
. Figura 9.2: Gráfico de
¥ ¦
VV ¥1 s ¢¢ (( 3 6e ¡
-1
-0.5
2 1 -1 -2
0.5
1
não é contínua em . Então,
‘ w
¡ ¡
w ¡ ©
T 3 P ¤ © V D ˆ A § §¦§¨ ¥ © 3 6e ¡ § §¦§¨ ¥ © X e
3 P 5 © V D C A §¦¨ ¥ © 3 6e
¡ §¨§¦¥
D D
, temos:
3 V© ¢ ¤
e
§ © §¨§¦¥ ¢ £
3 V © w © §¨§¦¥ Sabendo que
¡ ¡ ¡
T ¤ © V D V ¡ ¡
3 ¤ © V D 3
D C 3 E ¤5© © D V D
D # © V D 'e ¡
Solução : Reescrevamos a função:
¡
. 5 ¡
© VD 3 [2]
2 © V D 6e ¡
Figura 9.1: Gráfico de .
¡
-1
-0.5
6 4 2 -2 -4 -6
0.5
1
não é contínua em . Então
‘ w ¡
T
©
X© e
©
©
3 'e r€a § ¨ §¦¥ 3 'e ¡ § ¨ §¦¥
cb cb
X 3 6e dQa § §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥
Logo,
337 9.2. CONTINUIDADE

6. ¥ ©
¥ © w
¤ ¤
e ¥¦
T
X 3 ( a # §¨§¦¥ 3 'e ¡ § §¨§¦¥ 3 §¨¥ © 3 6e ¡ §¨¥ ¥¦ ©
. Por outro lado: , então Solução : Se
3 ( $ a 3 $ ¡ se
3
T %A
se
4 c [1]
%¨g©
¨
© a 3 6e ¡
¤
se
9¤¥
4
Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
Figura 9.3: Gráfico de .
¡
3 -3
3
£ é contínua em . Então,
¡
T‘ se
2A ' 3 se
‘#¨¤ ‘ 'e ¡
§ ¨
. Reescrevendo a função:
b 3
¥ 4¨1 §¦¥ ¡ , então Se
h ‘ 3 ¡ D ‘ 3
§ ¨
¡V
¢ £¡ 3
T ¤ ¢ 1 3 1 §¥
4¨ 2 ¡
¦ § ¨
3 ¡ b b S ¥ ¥ 4§¨2¥§¦1 ¡
¢ £¡
3 ¤ ¢s h ¡ 1 V 4 ¡ © Sv
Logo:
§
T¡b ¥ ‰ 3 ¡b § ¨ ¥
b § § ¨ § ¨
b b %
¡ b ¥ 3 ¦b ¡ ¡ b ¥ 3 ¡ b S ¥
¡ © § ¨ § ¨ § ¨ § ¨ § ¨
¥ ‰ 3 ¡© ¥ ¡
Sv v © b ¥ 3 ¡ © S ¡ © b ¥ 3 ¡ © b Sv ¥
, então: Se
‘ #A
§ ¨
T b ¥ 42 3 1
‘ 3 ¡ ¡ © b v ¥ §¨ ¥¦ ¡ § ¨
. Logo, 3 1
42 3 41 e , então, Solução : Se
¢ ¤ 3 ¡ b %$ §¨ ¥¦ ¡ ‘ 3 ¡ © b §¨§¦¥ ¡
‘ ¥
#
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 338

7. T 3 ¤ § ( §¨§¦¥ © 3 Y SF ( © ©
y ¡ w § D ¥ § ( §¨ ¥¦ 3 'e ¡ w§ ( §¨ ¥¦
3P ‰ y ( w D ¥
¨§¦§¥ ¡ 3 E!eC ( §¨§¦¥ © 3 'e ¡ ( §¨§¦©
y ‰ y y dQa A y
cb @ DE e y dQa
cb
¤
. Logo: 3 D ¡ , então Se
D 3
TP ‰
‰
y 3 ‰ c b D
3 E!eC c b 3 § 7 b
c
y rb€a A y ‰ y dQa D
@ E!e y r€a yE!'y$ „ d‚c Qa DD e:
, ¥ , então , temos que , fazendo ¥ ƒ…„‚ ¥ …ƒ Por outro lado:
‘ ’ ‰ ¥ D  D E! 3 ‰ ‡‡ ( ‡ ¥ ( © † @V© †V 3 ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
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D (
3 Y )
D
¡ e ( 1e D
§ y ( ¥
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
T D2A se ¥
se
¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ © 1 P ©
¤
[2]
D 3 se ¥ …ƒ
„ ‚ 3 6e ¡
D ¥
2¤ ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
Figura 9.4: Gráfico de .
¡
-1
3 -3
1
se
T %A
se
©
a 3
¤g©
¨ ¨ se
© # 6e ¡
9 ¥ ©
. Logo: 3 c , isto é, Como os limites laterais devem ser iguais, temos que e
X 3 c w ©
e
©
T c 3 4 c §¨§¦ ¥ © 3 6e ¡ § §¨§¦¥ ©
X 3 ( a # ¨§§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥
então . Por outro lado:
, . Se 3 ¤
, isto é, ¤
X 3 ( a 3 ¡
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que
3
X 3 %
339 9.2. CONTINUIDADE

8. V V ¡
se
5
T %A ¢ V HH©11 © ¥ ¥ © ©  @V¥ P 1 © P ©
¦ ¤
§¥
se
¨ ¨
%#©‘ se
‡
¢( ( q 3
V© ¥† vuts©ipehf ‚ 6e ¡
‘ ¥
#
¤
. e que tem soluções
¢( 3 c ( 3
' ¤
Y 3 c
¤
3 c
¤
. Então, temos o sistema: logo,
Y 3 c
' D © D © ©
Y 3 g4 § §¨¦§¥ 3 g e ( !e § §¨§¦¥ 3 § §¨§¦¥
¤ ¢ £ ¢ £
y ¤ e ( 1e w © 'e ¡ w ©
' c ¤
¤
3 c ' ( a # §¨§¦¥ 3 6e ¡ §¨§¦¥
¤ ¤
c 3 ¡, e: , então 3 . Se 3 c logo,
¤ ¤
' c 3c ( a §¨ ¥¦ §¨ ¥¦
§ X© 3 ¡ § X©
'
cb w
dQa © 66 # w © 'e w X©
cb ‡
3 P 'e dQ…aA P #6e© † ƒ„…‚ $bA §¨¦§¥ 3 g © † „…ƒ‚ b §¨§¦¥ 3 'e ¡ §¨§¦¥ ‡
¤
, e:
c 3 i‘ ¡ , então Se
‘ 3
D
T g e ( 1e 3 ` ¤ ( Y
¢ £
y ¤ e ( 1e ¥ ¤ ( 'y¤
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
V1 V ¡
se
T %A ¢ V 1 H© ¥ ¥ © @V¥ P ©
¤
se [3]
%¨g¦‘ ¨ se
c H© '5 ( © a 1 P ©
V ¥ vutsrq© ipihf ‚
3 6e ¡
‘ ¥
#¤
Figura 9.5: Gráfico de .
¡
-1
6 5 4 3 2 1 -1
1
2
3
4
T D2A se ¥
se
¤ H1 © 1 ( © ¥ © P ¢ ©
D 3 se ¥ ƒ…
@V1 „ V P ‚ © 3 'e ¡
D ¥
2 ‡ @(( ¥¤ © @V© V †
¤
e: @V V 3 Então,
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 340

9. Figura 9.7: Gráfico de .
¡
0.1 0.05 -0.05 -0.1
T ‘#A se
©‡‡ © @@ V 1 V…„† ƒ‚ ¢ £¡
se †
¤ ¤ ¢
¥£
‘ 3 ‡ 3
se
© @VV 1 ¥ 'e ¡
‘ #¥ ( † V ¡ H©
e: , temos que por outro lado,
; ‘ , temos,
‘ y‘ s 3 c § ¨
3 § X§¦§¨ ¥ ©
© i‘ ¡ s 'e ¡ § ¨ § ¨
X© Como:
y‘dc 3 'e ¡ § ¥¦§¨ © ‘yd 3 @ V b ¥ 3 ¢ '8y‘d¤ $ § ¨ §¦¥ ¥ 3 ¢ 68yd5$ ¥ § §¨§¦¥
‘ s ‘ ‘‘
§ ¨
‘‘
T P ¢ '8yd¤%$ ¥ A § X¥¦§¨ © c 3
§ ¨ § ¨
P ‘‘ ‘
68yd¤$ ¥ A § §¦§¨ ¥ © c 3 P 68‘yd¤c $ ¥ A P c c dQ Aa § X¥¦§¨ © 3 'e ¡ § X¥¦§¨ ©
6 c b
¤
. Por outro lado: isto é,
w Y 3
¤
' ¤
¤
# 3 ‘i ¡ 3 Y ( 6e ¡
3 §¦§¨ ¥ ©
¤
. Logo, necessáriamente devemos ter que:
2 3 i‘ ¡ , então 3 Solução : Se
T ‘gA ‡
se © @‡ © „ V ‘ 1ƒ„V…‚†  ¢ £¡
se † ¤
[4]
¤ ¤ ¢
¥£
‘ 3 ‡ 3 se
@VV #1 ¥ 6e ¡
‘ ¥
g ‡© ¥† ¡ † H© ¡
Figura 9.6: Gráfico de .
¡
6 4 2 -2
1
2
3
4
341 9.2. CONTINUIDADE

10. . , que é paralela à reta [3] Determine a equação da reta normal à curva
‘ 3 ¥ D 8 D ¨
'e c © 3 ¥
T D 3 ¥ D § g!eCD 3 ¥
¥
D
3 ¥ E7 § #!e D 3
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
¥
T D 3 $ ( ¤
§ ¤
( D
) ! gˆ G 3 3 (
D 3 V ¤
§ D
( ! g 3 ¥ 3 V ¤
$
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
Logo, o único ponto de interseção é . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
‘ ' $
T 3 ¦ ‘ 3 2D7 ¦
cb
‘ 3 2D7 r€a 9
, temos: Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos . Se
‘ 3 ¥
no ponto onde a curva intersecta o eixo dos .
V (¥ cb ¥
[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
© r€a 9 3
. e , , Então
Y 3 c V 3 V( 3 ) 3
T cb
'e dQa 3
Y
' D ` ( a ' DD a Y 3
' Y a ' D D a ` 3 'e ¡
, logo: e Por outro lado,
cb D
'e ( r€a ˆ
3 6 D a # #8' D ( a # D 3 ' Y a #
T `
6 Y a #
6 DD a # ` 3 'e ¡
; então: e
V 3 V( 3 ) 3 , cuja solução é
'
‘ 3 Y )
3 )
‘ 3 ) obtemos o sistema:
; logo, e , Solução : Primeiramente note que
) 3 ( ¡ Y ) 3 i‘ ¤¡ ) 3 i‘ ¡ e .
c H(' ' ) determine
„
, ¢ , pode ser escrita na forma
£¡ c 'e dQa 3 'e ¡
cb e que
¡
‘ 3 i‘ ‡ † ¡ 3 i‘ ¡¡ 3 i‘ ¡¡ 3 i‘ ¡
, , onde )
£ ¡ ' 0' . Sabendo que [1] Considere a função
3 ( ¡ ' Y a # x' D a ) 3 6e ¡
9.3 Derivada
CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS 342

11. 9.3. DERIVADA 343
Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficiente
3 ‘ 3 ¥ E! D
D
angular da reta é . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
¤
V
S 3 ¥ 3 ( ¤
T 'e c ¨
( 3V
Como as retas são paralelas, temos que ¤ ¤
, isto é:
3 'e c ¨ § 'e ¨ S
3 c D § ¢(¥b 3
logo, temos que
( ¥ b D 3 ( ¥ b c¨ ( ¥ b 3 ¥ . A equação da reta normal à curva que passa pelo
ponto é:
( ¥ b D ' ( ¥ b
§
( ¥ b 7 3 ( ¥ b g ¥
D ¥ T(¥b 3
0.6
0.4
0.2
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.2
-0.4
Figura 9.8: A reta ¥
(¥b 3 .
[4] Determine os parâmetros , e
tais que a parábola
) £ B¡ ¥
) ( 3 tangencie a reta
¥
3
no ponto de abscissa e passe pelo ponto .
‘ ' X$
Solução : Como o ponto
‘ ' X$
deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que:
T ‘ 3 ) $
3
Como a parábola deve tangenciar a reta
3 no ponto de abscissa , temos que se
3 ¥ , então
' $ ¥
. Isto é, o ponto é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:
T 3 ) D
O coeficiente angular da reta é ¤
3 e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é
¤
D 3 ¥ 3 (, logo ) ( 3V ¤
)
V D 3 $ (
. Como :¤ ¤
T 3 ) D
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
)
‘ 3
) 3
)
D 3 '

12. 344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
cuja solução é: V 3 3 e ) V( 3 .
2
1
1
Figura 9.9: Exemplo [4].
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação
¥
§ § B ‘ ( D C 3
¢
, sendo
£ y ¨ ¨ §
. Um caçador, munido de um rifle está localizado no yd
‘‘
ponto . A partir de que ponto da colina, a fauna estará segura?
'
Solução : Denotemos por
¥ ' e 3 7
o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto
‘ ' D
. A fauna estará a salvo, além do ponto onde a reta que liga
7
‘ ' D
à colina seja tangente à mesma.
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
Observe que
5 D 3 ¥
¢ £
é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,
no ponto , temos
7 5 D 3 ¥ ¢ £
e a equação da reta tangente é:
¥ T !e'y ¤ D $ 3 ¥
¢ £
Como a reta passa por
‘ ' D , temos:
$ T D 'y 5 D $ 3 ¥
¢ £
7
O ponto também pertence à parábola; então:
T § § ¤ ( ˆ 3 ¥ D
¢ £

13. 9.3. DERIVADA 345
Igualando (1) e (2):
‘ 3 Y e' ` e 3 y Y (
D §
` 3 e T§ 3 ¥
Então,
7 ` A §' ` 3
e a fauna estará a salvo a partir de .
D ' $
[6] A reta tangente à curva
2 ( D ˆ 3 ¥
no ponto é também tangente à curva em
um outro ponto. Ache este ponto.
Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é , como ¥
Y Y 3 D ' $
é um ponto comum à reta e a curva, temos
3 $ ¥
. A equação da reta tangente que passa
pelo ponto é:
D ' $ 3
. Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,
¥
resolvemos o sistema:
0 ( # C 3 ¥
D
'
54 3 ¥
obtendo
¡3 ‘ 3 ( # ( e 3 ¤ ( E
D e . O ponto procurado é
‘ ' X$
.
2
-1 1
Figura 9.11: Exemplo [6]
[7] O ponto
7 ' § 3
pertence à parábola
Y 3( ¥ . Determine todos os pontos
8
da parábola
8 7
tais que a normal em passe por
Solução : Um ponto arbitrário da parábola é
(© 3 ¤£V ¢ 3 8 3
e o coeficiente angular da reta normal
' ¢
8
à curva é: ¤
. A equação da reta normal à curva no ponto é:
V
T !e D 3 ( Y
¥
Mas a normal passa pelo ponto
' § , logo:
§ D 3 ( Y 3 ` Y ` D § T ‘ 3 Y ' # ' §
D
3V 8
Os pontos procurados são 3 8 ' D $ 3 ( 8 Y ' Y $
, e .
' §

14. 346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
9
4
1
-4 -2 6
Figura 9.12: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseção da reta com a curva
, traçam-se as
¥
‘ 3 9
¥ ¥ Y ( 3
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtende
os referidos pontos de interseção.
Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta
‘ 3 ¤ ¥ 1
com a curva:
¥
(
¥ Y ¤4 3
¥ T 3
Obtemos
‘ 3 Y e' e 3 Y C ¥ (
; então e
Y 3 3
; logo temos os pontos
7 D ' $ 3
e
7 ¥' Y 3 (
. Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
V
¤
3 ¢ Y ! D 3
¥
¤
V( 3 $
e ¤
V 3 Y . As equações das normais em (7 V7 e , são respectivamente:
D '
3 ¥
Y T Y D 3 0 ¥
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
D ¥
4 3
Y ¥ ¢ Y #4C 3
D
obtemos
§ 3 5( 3 ¥
e . Seja
5
' ( § 37 . A área do triângulo de vértices
7 (7 V
, e
7
é dada por
, onde:
(¡ 3
¢ ¥ D 3 ££££ § Y ££££ 3 §
T
T @ ¥Y 3
£ D ¥ ¥ D £
¤