Matemática ufpe

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ÉticaMatemática
1. NÚMEROS NATURAIS
1. Conjunto dos números Naturais (I)
I = { 0, 1, 2, 3 ... }
1.1 Operações com números Naturais
1.1.1 Adição
x + y = z x e y  parcelas
z  soma ou total
Propriedades da adição
a) Fechamento: a soma de dois números
naturais é um número natural.
Ex.: 5 + 12 = 17
b) Comutativa: a ordem das parcelas não
altera a soma.
Ex.: 3 + 8 = 11
3 + 8 = 8 + 3
8 + 3 = 11
c) Elemento Neutro: o número zero.
Ex.: 0 + 5 = 5
5 + 0 = 5
d) Associativa: a adição de três números
naturais pode ser feita associando-se as
duas primeiras ou as últimas parcelas.
Ex.:
(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 (2 + 3) + 5 =
2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10 2 + (3 + 5)
Exercício Resolvido: Numa adição de 5 parcelas, a
1ª e a 2ª são respectivamente, 600 e 700; a 3ª é igual
à diferença entre as duas primeiras; a 4ª é igual à
soma da 1ª com a 3ª e a 5ª é igual à diferença entre a
4ª e a 3ª. Calcule a soma.
1ª = 600
2ª = 700
3ª = 700 – 600 = 100
4ª = 600 + 100 = 700
5ª = 700 – 100 = 600
Total: 2700
1.1.2 Subtração
x  minuendo
x - y = z y subtraendo
z resto ou diferença
Exercício Resolvido: Numa subtração, o dobro do
minuendo é 160. Calcule o resto, sabendo que o
subtraendo vale 20.
2x = 160  x = 80
y = 20 z = 80 – 20 = 60
1.1.3 Multiplicação
x . y = z x e y  fatores
z  produto
Propriedades da multiplicação
a) Fechamento: o produto de dois números
naturais é um número natural.
Ex.: 5 . 8 = 40
b) Comutativa: a ordem dos fatores não
altera o produto.
Ex. 2 . 7 = 14
2 . 7 = 7 . 2
7 . 2 = 14
c) Elemento Neutro: o número um.
Ex. 8 . 1 = 8 ou 1 . 8 = 8
d) Associativa: a multiplicação de três
números naturais pode ser feito
associando-se os dois primeiros ou os
dois últimos fatores.
Ex.
(3 . 5) . 2 = 15 . 2 = 30
(3.5).2=3 . (5.2)
3 . (5 . 2) = 3 . 10 = 30
e) Distributiva em relação à adição: na
multiplicação de uma soma por um
número natural, multiplica-se cada um
dos termos por esse número.
Ex.
5 (3 + 2) = 5 . 5 = 25
5(3+2)=5.3+5.2
5.3+ 5.2 = 15+10 = 25
Exercício Resolvido: O produto de dois números é
96. Qual é o produto de um número 2 vezes maior do
que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que
o segundo?
a . b = 96
2a . 5b = 10 . ab = 10 . 96 = 960
1.1.4 Divisão
D | d
r q ou D = d . q + r
D  Dividendo
d  Divisor
q  quociente
r Resto
Obs.: Divisão exata: r = 0.
Maior resto possível: R = d – 1
Não existe divisão por zero (0).

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Exercício Resolvido: O quíntuplo de um número,
dividido por este número aumentado de duas
unidades, dá quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este
número?
5x x + 2
2 3
5x = 3 . (x + 2) + 2
5x = 3x + 6 + 2
2x = 8
x =
2
8
= 4
1.1.5 Potenciação
x  base
xy
= z y  expoente
z  potência
Propriedades da potenciação
a) x0
= 1, x  0
100
= 1
b) x1
= x
101
= 10
c) xm
. xn
= xm+n
32
. 33
= 32+3
= 35
= 243
d)
n-m
xn
m
x
x
, x  0
8133
3
3 437
3
7
 
e) (xm
)n
= xm . n
(32
)3
= 36
= 729
f) (x . y)m
= xm
. ym
(2 . 3)3
= 23
. 33
= 8 . 27 = 216
g) m
m
yy
x m
x






, y  0
125
8
1000
2
10
2
10
3
33






Obs.:
3
22 xx
3





Exercícios Resolvidos
Calcule
a) 23
= Resp.: 8
b) 30
= Resp.: 1
c) 51
= Resp.: 5
d) 23
. 22
= Resp.: 25
e) 54
: 52
= Resp.: 56
f) (23
)2
= Resp.: 26
g) 2
2
3 Resp.: 29
h) (2 . 3)3
= Resp.: 23
.33
i) 





3
2
2
Resp.:
9
4
j) 2
15505271
3
 Resp.: 8
k) 2
9255707200
5
 Resp.: 2
l) 












5
5
10
3
17
2
23
Resp.:25
m)
   
 32
3232
22729
546754



Resp.: 3
1.1.6 Radiciação
yn
x x  Radicando
n  índice
y  Raiz
Exercícios Resolvidos
a) 36 Resp.: 6
b) 144 Resp.:12
c) 1024 Resp.:32
d) 3 729 Resp.: 9
e) 4 625 Resp.: 5
1.2 Expressões numéricas envolvendo as
operações estudadas.
1. Resolvemos as potências e raízes /
eliminamos os parênteses.
2. Resolvemos as multiplicações e divisões
/ eliminamos os colchetes.

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3. Resolvemos adições e subtrações /
eliminamos as chaves.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
01. Abaixo está representada uma adição onde os
algarismosA, B e C são desconhecidos. Qual
o valor da soma A + B + C?
A 3 C
+ 5 B 8
1 3 3 3
(A) 16
(B) 19
(C) 21
(D) 26
(E) 25
02. Um escritor escreveu, em certo dia, as vinte
primeiraspáginas de um livro. A partir desse
dia, ele escreveu, em cada dia, tantas páginas
havia escrito no dia anterior, mais 5 páginas.
Se o escritor trabalhou 4 dias ele escreveu:
(A) 80 páginas.
(B) 85 páginas.
(C) 95 páginas.
(D) 110 páginas.
(E) 200 páginas.
03. A diferença entre o maior número de três
algarismos diferentes e o menor número
também de três algarismos diferentes é:
(A) 864
(B) 885
(C) 887
(D) 899
(E) 888
04. Um pai tem 35 anos e seus filhos, 6, 7 e 9
anos. Daqui a 8 anos, a soma das idades dos
três filhos menos a idade do pai será de:
(A) 2 anos.
(B) 3 anos.
(C) 11 anos.
(D) 13 anos.
(E) 15 anos.
05. Um estacionamento cobra R$ 3,00 pela
primeira hora. A partir da segunda o valor é de
R$ 2,00. Quanto pagará um proprietário de um
carro que esteve estacionado durante 7
horas?
06. Em uma festa existem 4 homense 3 mulheres.
O numero de casaisdiferentesque podem ser
formados é:
(A) 4
(B) 6
(C) 7
(D) 12
(E) 20
07. Se numa divisão o divisor é 30, o quociente é
12 e o resto é o maior possível, então o
dividendo é:
(A) 390
(B) 389
(C) 381
(D) 361
(E) 350
08. Uma diretora deseja formar turmas de 38
alunos. Como existem 450 alunos matricula-
dos, uma delas ficará incompleta. Para
completar esta turma, ela deverá matricular:
(A) 6 alunos.
(B) 11 alunos.
(C) 12 alunos.
(D) 32 alunos.
(E) 8 alunos.
09. Uma empresa tem 750 empregadose comprou
marmitas individuais congeladas suficientes
para o almoço deles durante 25 dias. Se essa
empresa tivesse mais 500 empregados, a
quantidade de marmitas já adquiridas seria
suficiente para um número de dias igual a:
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 18
(E) 20
10. Um vendedor de vinhos quer reduzir o preço
de seu vinho de R$ 5,00 para R$ 4,00 o litro,
sem reduzir sua receita de vendas. Para isso
ele quer adicionar água ao seu vinho. Tendo
um estoque de 320 litros, o vendedor deverá
adicionar:
(A) De 50 a 100 litros de água;
(B) de 150 a 200 litros de água;
(C) menos de 50 litros de água;
(D) exatamente de 50 litros de água;
(E) exatamente 100 litros de água.

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Gabarito
01. C 02. D 03. B 04. B 05. R$ 15,00
06. D 07. B 08. A 9. C 10. A
2. MULTIPLOS E DIVISORES
Dados os números naturais A e B, dizemos que A
é múltiplo de B, se e somente se, a divisão de A por B
for exata, ou seja, deixar resto zero. Então dizemos
que A é múltiplo de B. Em contrapartida, B é divisor
de A.
Ex.: 6 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 6.
Obs.: O número zero (0) é múltiplo de qualquer
número, masnão é divisor, poisnão existe divisão
por zero.
O QUE É NÚMERO PRIMO?
Um número natural é primo quando só possui
dois divisores, 1 e ele mesmo. Caso ele tenha mais de
dois divisores, então esse número é chamado de
número composto.
O número 1 não é primo nem composto.
 ,...23,19,17,13,11,7,5,3,2P Aqui temos alguns
números primos.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Um número será divisível por:
a) Dois, quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4,
6, 8.
Ex.: 60, 86, 92, 1298.
b) Três, quando a soma de seus algarismos for um
número divisível por 3.
Ex.: 123 (1+2+3=6), 702(7+0+2=9),
1836(1+8+3+6=18).
c) Quatro, quando seus dois últimos algarismos
formarem um número divisível por 4.
Ex.: 104 (04 é divisível por 4)
524 (24 é divisível por 4)
1384 (84 é divisível por 4)
d) Cinco, quando terminar em zero ou em cinco.
Ex.: 100, 625, 1005.
e) Seis, quando for divisível por dois e por três
simultaneamente.
Ex.: 102, 324, 82314.
f) Sete, quando a diferença entre o dobro do último
algarismo e o número formado pelos algarismos
restantes for um número divisível por sete.
Ex.: 238
(8 x 2 = 16 → 23 – 16 = 7: como 7 é divisível por 7,
238 também é divisível).
693
(3 x 2 = 6 → 69 – 6 = 63; 63: 3 x 2 = 6; 6 – 6 = 0:
como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível).
g) Oito, quando os três últimos algarismos formar um
número divisível por oito.
Ex.: 12240, é divisível por 8 pois240 é divisível por
8.
95880, é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8.
h) Nove, quando a soma dos algarismos for um
número divisível por nove.
Ex.: 567 (5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9).
2124 (2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9).
i) Dez, quando terminar em zero.
Ex.: 10, 100, 120, 2490.
j) Onze, quando a diferença entre a soma dos
algarismos de ordem par e a soma dos algarismos
de ordem ímpar for um número divisível por onze.
Ex.: 7.973.207 S(ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23.
S(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferença = 11.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Todo número natural maior que 1 pode ser escrito
como um produto de fatores primos. Decompor em
fatores primos significa escrever o número como um
produto de fatores primos.
Ex.: decompor os números 16, 40, 240, 108.
Temos que começar dividindo o número pelo
menor número primo caso este seja divisível e
continuamos dividindo por ele até que não seja
mais divisível e assim passamos para o próximo
primo que seja divisor do quociente.
NÚMERO DE DIVISORES NATURAIS
Admitamos que um certo número é representado
na forma fatorada da seguinte maneira:

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N = ax
. by
. cz
. dw
então:
n.d.n. = (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)
n.d.i. = 2. (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1)
Quantosdivisoresnaturais possui o número 240?
Primeiro fatoramos 240. Temos que:
240 = 24
. 31
. 51
n.d.n. = (4 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 5 . 2 . 2 = 20
Então, o número 240 possui 20 divisores positivos
(naturais). E, por sua vez, o dobro disso ( 2 . 20 )
de divisores inteiros (positivos e negativos).
20 divisores naturais
40 divisores inteiros
OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO
Encontre os divisores de 108:
Fatoramos o número dado.
Anotamos o número 1, que é divisor universal.
Multiplicamos o 1º fator primo pelo 1 e anotamos o
resultado.
Multiplicamos os próximos fatores pelos divisores já
obtidos e anotamos os resultados.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
O maior divisor comum (mdc) de dois números A
e B é o maior número diferente de um, na qual divide
A e B ao mesmo tempo. Por exemplo: se
considerarmos os números 36 e 24, podemos
perceber que os números 2, 3, 4, 6, 12 são divisores
comuns, ou seja, dividem tanto o 24 como o 36.
Porém, o maior deles, que é o 12, será o mdc.
Nesse exemplo, fica fácil de encontrar o maior
divisor comum. Quando passamos para números um
tanto grandes, por esse método torna-se cansativo e
muito trabalhoso. Partimos então para métodos mais
práticos.
O MDC de vários números naturais é o produto
dos fatores primos comuns elevados aos seus
menores expoentes.
A exemplo, vamos calcular o mdc (108, 180):
Fatorando 108 e 180:
O mdc será o produto dos fatorescomuns, quem é
comum? O 2 e o 3. Elevados aos menores
expoentes, no caso: 22
e 32
. O 5 não participa pois
não é comum.
mdc (108, 180) = 22
. 32
= 4 . 9 = 36
OBSERVAÇÃO: Se o mdc de dois números for
igual a 1, então dizemos que esses números são
primosentre si. Por exemplo, osnúmeros 25 e 36
são primos entre si, pois o único número que
divide os dois ao mesmo tempo é o número 1.
Também podemos usar o método das divisões
sucessivas, chamado vulgarmente de jogo da
velha.
Procedemosda seguinte forma: dividimoso maior
dos númerospelo menor, colocando na parte de
cima o quociente e o resto na parte debaixo:

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Esse resto é colocado ao lado do número 108 e
faremos a divisão de 108 pelo resto, no caso 72,
colocando o quociente na parte de cima e o resto
na parte debaixo:
Esse resto 36 é colocado ao lado do 72 e será feita
a divisão de 72 por 36, o quociente será colocado
na parte de cima e o resto na parte debaixo e
procedemos assim até que o resto seja igual a
zero:
Chegamos ao fim, obtendo como mdc o número
36.
APLICANDO MDC A PROBLEMAS
a) Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate
e 60 balas de leite. Quero formar pacotes de
balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes
devem ter a mesma quantidade de balas e essa
quantidade deve ser a maior possível. Quantas
balas devo colocar em cada pacote? Quantos
pacotes devo formar?
Percebemos que a questão é de mdc porque o
problema fala em formar pacotes, ou seja, dividir
as balas. O problema diz “mesma quantidade de
balas”, ou seja, a divisão tem que ser exata. O
divisor é comum. E o xeque-mate, “essa quanti-
dade deve ser a maior possível”, pronto é mdc.
Toda vez que o problema se referir a “dividir”,
“repartir”, “distribuir”, “em partes iguais”,
“quantidadesiguais”, “sem sobras”, “com a maior
quantidade possível”, estamos diante de um
problema de mdc.
Podemos usar qualquer um dos dois métodos
acima:
Os fatores primos comuns com os menores
expoentes são:
mdc (84, 60, 144) = 22
. 3 = 4 . 3 = 12
Todos os pacotesdevem ter a mesma quantidade
de balas, sem misturar sabores, logo:
devemos ter em cada pacote 12 balas.
Iremos formar:
84 : 12 = 7 pacotes de sabor coco
60 : 12 = 5 pacotes de sabor leite
144 : 12 = 12 pacotes de sabor chocolate
7 + 5 + 12 = 24 pacotes no total
Podemosusar o método das divisões sucessivas,
para isso, começamos achando o mdc de dois
deles.
Feito isso, calculamos o mdc do número que
sobrou, no caso 60, com o mdc encontrado.
MÉTODO PRÁTICO
O método prático consiste em fatorar simulta-
neamente os números 60, 84, 144 apenas pelos
divisores comuns, vejam:
Percebam que só dividimos pelos divisores
comuns e paramos em 5, 7, 12, pois não há
divisores comuns entre eles a não ser o 1. Logo

ÉticaMatemática
eles são primos entre si.
5, 7 e 12, são as quantidades de pacotes que
iremosformar de sabores respectivamente, leite,
coco e chocolate. No total de 5 + 7 + 12 = 24
pacotes.
b) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três
vigas, cujos comprimentos são respectivamente,
30 dm , 42 dm e 54 dm, devendo a medida de
cada um dos pedaços ser a maior possível. Qual
a medida de cada uma das partes? Qual a
quantidade de partes irá formar?
Pelo método prático:
Cada uma daspartesterá 6 dm e iremos formar 5
+ 7 + 9 = 21 pedaços.
MÍNIMO MÚLTIPLOCOMUM (MMC)
Calcular o mmc de dois números A e B é encon-
trar o menor número diferente de zero, tal que seja ao
mesmo tempo divisível por A e B.
A exemplo disso, vamos considerar os números
24 e 36. Olhando para os múltiplos de 24 em
sequência temos: (24, 48, 72, 98,...) e os múltiplos de
36 (36, 72, 108, ...) percebamos que o número 72 é o
menor múltiplo existente de 24 e 36. Existem outros
múltiplos de 24 e 36 ao mesmo tempo como, 144,
216..., entre outros. Mas 72 é o menor deles.
Quando passarmos para outros números,
sucumbiremos na dificuldade e morosidade dos
cálculos. Iremos adotar assim métodos mais simpli-
ficados. Vejamos:
O MMC de vários números naturais é o
produto dosfatoresprimoscomunse não comuns
elevados aos seus maiores expoentes.
A exemplo, vamos calcular o MMC (108, 180):
Os fatores comuns 2 e 3. Com os maiores
expoentes22
e 33
. O 5 não é comum, mas no mmc
ele participa.
MMC (108, 180) = 22
. 33
. 5 = 4 . 27 . 5 = 540
Podemos utilizar um método prático, que é a
fatoração simultânea. Nesse caso fatoramos108 e
180 ao mesmo tempo.
Obs.: a . b = mmc (a, b) . mdc (a, b)
Veja que:
108 . 180 = mmc (108, 180) . mdc (108, 180)
108 . 180 = 540 . 36 = 19.440
APLICANDO MMC A PROBLEMAS
a) Fazer lição dá uma fome... Luciana comeu muitos
doces e tomou vários refrigerantes. Era dia 1º de
maio. Luciana decidiu que, a partir de então, para
não engordar, só comeria doces de 4 em 4 dias e
só tomaria refrigerantes de 6 em 6 dias. Em que
dias do mês de maio ela voltaria a comer doces e
tomar refrigerantes no mesmo dia?
Vamos analisar o problema da seguinte forma:
dias que ela toma refrigerante a partir de hoje
6º, 12º, 18º, 24º, ...
dias que ela come doces a partir de hoje
4º, 8º, 12º, 16º, 20º, 24º, ...
Verifique que no 12º ela toma refrigerante e come
doces. Logo, ela coincide o refrigerante com os
docesde 12 em 12 dias. Então se hoje é dia 1º de
maio, ela comerá docese tomará refrigerantesnos
dia 13 de maio e 25 de maio.
Pelo mmc também chegamos na resposta, veja:
Usamos mmc em problemas que desejam
descobrir encontros, como, por exemplo, “em que
dia se encontrarão”, “depoisde quantosdiasvolta
a acontecer”, assim por diante.
b) Dois ciclistas largaram juntos numa pista,
percorrendo-a com velocidade constante. Alberto
completa cada volta em 18 minutos. Barreto leva
22 minutos em cada volta. Depois de quantas
horas os dois cruzarão juntos pela primeira vez o
ponto de largada? E pela segunda vez?

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Logo, transformando os 198 minutos em horas
temos:
198 min = 3 . 60 min + 18 min =
3 horas e 18 minutos (1ª vez)
2 x (3 h 18 min) = 6 h 36min
6 horas e 36 minutos (2ª vez)
01. (T.T.N) Numa corrida de automóveis, o
primeiro corredor dá a volta completa na pista
em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos
e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas
terão dado cada um, respectivamente, até o
momento em que passarão juntosna linha de
saída?
(A) 66, 60 e 55.
(B) 62, 58 e 54.
(C) 60, 55 e 50.
(D) 60, 55 e 45.
(E) 50, 45 e 40.
02. Sabe-se que o número A=23.3x tem 20
divisoresnaturais. Nestas condições, x é um
número:
(A) primo.
(B) divisível por 3.
(C) múltiplo de 5.
(D) quadrado perfeito.
(E) cubo perfeito.
03. Uma senhora possui 3 filhas em idade
escolar. O produto da sua idade com as
idades de suas 3 filhas é 16555. A diferença
entre a idade de sua filha maisvelha e a idade
de sua filha mais nova é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
04. Hoje, dois amigos encontraram-se num
mesmo cinema que costumam frequentar
sistematicamente; um, a cada 18 dias, e o
outro, a cada 24 dias. A próxima vez que
ambosse encontrarão em tal cinema ocorrerá
daqui a:
(A) 36 dias.
(B) 48 dias.
(C) 72 dias.
(D) 94 dias.
(E) 96 dias.
05. No alto de uma torre de uma emissora de
televisão, duasluzes “piscam” com frequên-
cias diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes
por minuto, e a segunda “pisca” 10 vezes por
minuto. Se num certo instante, as luzes
piscam simultaneamente, após quantos
segundos elas voltarão a piscar simulta-
neamente?
(A) 12
(B) 10
(C) 20
(D) 15
(E) 30
06. Um colecionador possui maisde 2500 selos e
menosde 3000. Contando o número de selos
de 15 em 15, de 25 em 25, e de 35 em 35,
sempre sobram 13. O número de selos do
colecionador é:
(A) 2963
(B) 2918
(C) 2715
(D) 2638
(E) 2625
07. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos
num determinado instante. Um deles
permanece 10 segundosfechado e 40 segun-
dos aberto, enquanto o outro permanece 10
segundos fechado e 30 segundos aberto. O
número mínimo de segundos necessários, a
partir daquele instante, para que os dois
sinaisvoltem a fechar juntos outra vez é de:
(A) 150
(B) 160
(C) 190
(D) 200
08. (UFMG) Entre algumasfamílias de um bairro,
foi distribuído um total de 144 cadernos, 192
lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi
feita de modo que o maior número possível
de famílias fosse contemplado e todas
recebessem o mesmo número de cadernos, o
mesmo número de lápis e o mesmo número
de borrachas, sem haver sobra de qualquer
material. Nesse caso, o número de cadernos
que cada família ganhou foi:
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 9
09. (UFPE) Uma escola deverá distribuir um total
de 1260 bolasde gude amarelas e 9072 bolas
de gude verdesentre alguns de seus alunos.
Cada aluno contemplado receberá o mesmo
número de bolas amarelas e o mesmo
número de bolas verdes. Se a escola possui
300 alunos e o maior número possível de
alunos da escola deverá ser contemplado,

ÉticaMatemática
qual o total de bolas que cada aluno
contemplado receberá?
(A) 38
(B) 39
(C) 40
(D) 41
(E) 42
10. No almoxarifado de certa empresa, havia dois
tipos de canetasesferográficas: 224 com tinta
azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário
foi incumbido de empacotar todas essas
canetasde modo que cada pacote contenha
apenascanetascom tinta de uma mesma cor.
Se todos os pacotes devem conter igual
número de canetas, a menor quantidade de
pacotes que ele poderá obter é:
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
(E) 16
Gabarito
1. A 2. D 3. C 4. C 5. A
6. D 7. D 8. B 9. D 10. C
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Definimos o conjunto dos números inteiros como
a reunião do conjunto dos números naturais, o
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero.
Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen =
número em alemão). Este conjunto pode ser escrito
por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z
(a) Conjunto dos números inteiros excluído o
número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
(d) Conjunto dos números inteiros positivos
Z* + = {1, 2, 3, ...}
(e) Conjunto dos números inteiros negativos
Z* = {..., -3, -2, -1}
1.1.Reta Numérica
Uma forma de representar geometricamente
o conjunto Z é construir uma reta numerada,
considerar o número 0 como a origem e o número 1
em algum lugar, tomar a unidade de medida como a
distância entre 0 e 1 e pôr os números inteiros da
seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a
ordem que os números inteiros obedecem é crescente
da esquerda para a direita.

ÉticaMatemática
1.2.Operação com Números Inteiros
1.2.1. Adição / Subtração
Para melhor entendimento desta operação,
associaremos aos números inteiros positivos a idéia
de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de
perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) =
(+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-
7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) =
(+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-
3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode
ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número
negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
(a) -3 + 3 = 0
(b) +6 + 3 = 9
(c) +5 - 1 = 4
(d) -6 + 3 = -3
Propriedades da Adição
Fechamento: A soma de dois números inteiros
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a, b, c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a, b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a
cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em
Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
1.2.2. Multiplicação / Divisão
Para realizar a multiplicação e também a
divisão de números inteiros, devemos obedecer à
seguinte regra de sinais:
Sinais dos números Resultado
iguais positivo
diferentes negativo
Exemplo:
a) (-2) . (+3) = - 6
b) (+5) . (+2) = +10
c) (-15) : (-5) = +3
d) (+20) : (-4) = - 5
Propriedades da Multiplicação
Fechamento: A multiplicação de dois números
inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a, b, c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a, b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado
por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Distributiva: Para todos a, b, c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5)
1.3.Potenciação de Números Inteiros
Para trabalhar a potenciação dos inteiros,
devemos observar o sinal da base e trabalhar com a
seguinte regra:
Sinal da base Resultado
positivo Positivo
negativo  Positivo se o expoente for par
 Negativo se o expoente for impar
Exemplo:
(a) 32
= 9
(b) (-3)2
= 9
(c) 33
= 27
(d) (-3)3
= -27
OBS: (-3)2
= 9
-32
= - 9

ÉticaMatemática
EXERCÍCIOS
01. Qual o valor da expressão:
[ - 3 + 3 . (-7 + 3) – 10] . (-2)?
(A) 35
(B) 40
(C) 45
(D) 50
(E) 55
02. O intervalo da reta numérica compreendidos
entre -72 e -18 foi dividido em 9 partes iguais,
como mostrado na figura abaixo.
O numero inteiro que corresponde ao ponto A
assinalado nesta reta numérica é:
(A) – 60
(B) – 54
(C) – 45
(D) – 42
(E) – 36
03. Após uma nevasca sofrida por toda Gravatá,
a temperatura que era de 12 graus centí-
grados, caiu o triplo. Então, a temperatura
nesse momento era de:
(A) 12 graus
(B) 12 graus negativos
(C) 24 graus
(D) 24 graus negativos
(E) 0 graus
04. Amplitude térmica é a diferença entre a tem-
peratura máxima e mínima registrada em um
lugar. Num dia de inverno em Berlim (Alema-
nha), a temperatura mínima registrada foi de
-3ºc e a temperatura máxima foi de 2ºc. Qual
foi a amplitude térmica registrada nessa
cidade?
(A) 5ºc
(B) 1ºc
(C) 6ºc
(D) - 5ºc
(E) -1º c
05. No planeta Marte, a temperatura média na
superfície é de -53ºc, enquanto que na
superfície da terra essa temperatura é de, em
média, +14ºc. Qual a diferença entre a
temperatura média na terra e na superfície de
Marte?
(A) 67ºc
(B) 57ºc
(C) 41ºc
(D) 39ºc
(E) 28ºc
06. Calcule o valor das expressões?
(A) – [ ( 11 - 12) – ( - 7 + 9)] – [( 3 - 6) + 14] =
(B) – { - [ 7 – ( 2 + 5 + 7 )] + 11 } + 13 =
(C) (-3 + 2)2
. ( - 1 - 1)3
– [( - 2 + 3)3
. ( - 2)2
] =
(D) (- 4 + 3 - 2) . (- 2 + 1 + 3)2
– ( - 5 - 1)2
=

ÉticaMatemática
(E) (- 4 - 3)2
: [( - 1 - 7)0
+ (- 2 - 6)3
: (- 1 - 7)2
] =
Gabarito
01. D 02. B 03. D 04. A 05. A
06. a) - 8 b) -5 c) -12 d) -48 e) -7
4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Um número racional é o que pode ser escrito na
forma
b
a
onde a e b são números inteiros, sendo que
b deve ser diferente de zero. Freqüentemente usamos
b
a
para significar a divisão de a por b.
Fração: número que representa pedaços de um
inteiro.
Generalidades sobre Frações
Fração Própria:
Fração imprópria:
Fração decimal:
Fração ordinária:
Fração irredutível:
Obs.: Complemento de uma fração própria para um
inteiro.
De
y
x
tomados, faltam tomar
y
x-y
para
completar um inteiro.
Ex.: Tomando-se
7
2
, faltam tomar ___ para
completar um inteiro.
Operações com Frações
Adição / Subtração
Denominadores iguais: mantemos o denomina-
dor e operamos com os numeradores.
Ex.: 
5
1
-
5
2
5
3
Denominadores diferentes: reduzimos as frações
ao mesmo denominador através do cálculo do MMC
dos denominadores e, em seguida, aplicamos a regra
anterior.
Ex.: 1
4
3
-
3
2
Multiplicação: multiplicamos numerador por
numerador e denominador por denominador.
Ex.: 
5
7
3
2
Divisão: repetimos a primeira fração e multipli-
camos pelo inverso da segunda fração.
Ex.: 
5
7
3
2
Potenciação: devemos elevar o numerador e o
denominador ao expoente em questão.
Ex.: 





2
3
4
Potência de expoente negativo:
n
n
a
1
a 
Ex.:2-5
=
Potencia de expoente fracionário:
q pq
p
aa 
Ex.: 23
2
Exercício. Calcule o valor das seguintes expressões
a)












































222
4
1
-1
3
1
-1
2
1
-1 Resp.:
8
5
b)





























4
3
1
2
1
-
4
15
1 2
2
Resp.:
28
129
c)
4
1
-1
4
1
1
2
1
-1
2
1
1 


Resp.:
5
9
d)
1
1
1-0
2-2
2-2

 







Resp.: -3

ÉticaMatemática
e)
49
13
3
2
2
1
6
1
3
1
2
1
2















Resp.: 1
f)
0
3
1
3
2
3
36
1
125
1
5
2
4
1


























Resp.: 25
Operações com números decimais
Adição e Subtração. Para efetuar a adição ou a
subtração de números decimais temos que seguir
alguns passos:
 Igualar a quantidade de casas decimais dos nú-
meros decimais a serem somados ou subtraí-
dos acrescentando zeros à direita de suas
partes decimais.
Exemplos:
2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723
 Escrever os numerais de tal modo que fique
vírgula sob a outra vírgula e, em seguida,
realiza-se a operação.
Exemplos:
2,400
+
1,723
4,123
2,400
-
1,723
0,677
Multiplicação de Números Decimais. Podemos
multiplicar os números decimais como se fossem
inteiros e dar ao produto tantas casas decimais
quantas forem o total de casas dos fatores envolvidos
no cálculo.
Exemplo:
2,25 2 casas decimais fator
x 3,5 1 casa decimal fator
1125
+
675
7,875 3 casas decimais Produto
Divisão de Números Decimais. Para dividirmos
dois números decimais devemos igualar o número de
casas decimais e, em seguida, efetuar a divisão como
se fossem números inteiros.
Exemplo: 1,2975 : 0,15  12.975 : 1500 = 8,65
Geratriz de uma dízima periódica
Dízima simples. A geratriz de uma dízima sim-
ples é uma fração que tem para numerador o período
e para denominador tantos noves quantos forem os
algarismos do período.
Exemplos:
9
7
777,0 
99
23
2323,0 
Dízima Composta. A geratriz de uma dízima
composta é uma fração da forma
d
n
, onde
n é a parte não periódica seguida do período,
menos a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do
período seguidos de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
0,1252525 ...= 125 – 1 = 124 = 62
990 990 445
900
43
900
04-047
047777,0 
Exercício. Encontre a fração geratriz de cada uma
das seguintes dízimas
a) 0,666 . . . d) 0,25666 . . .
b) 0,252525 . . . e) 0,3222 . . .
c) 1,333 . . . f) 0,23141414 . . .
Exemplos:
1º Em uma casa comercial, metade dos empregados
são homens,
3
1
são mulheres e os 6 restantes são
meninos. Quantos empregados há na casa?
2º Uma pessoa dá a metade do seu salário para a
esposa. Em seguida dá um terço do que sobrou para
o filho mais velho. Depois dá
5
1
do que restou para a
caçula. Sabendo-se que sobraram R$ 640,00, calcular
o seu salário.
3º
6
5
dos
5
4
dos
4
3
dos
3
2
de um número é 9. Qual
é esse número?

ÉticaMatemática
01. (B.N.B) A expressão decimal 0,011363636... é
uma dízima periódica composta e representa
um número racional x. Se a geratriz desta
dízima for escrita sob a forma de uma fração
irredutível
n
m , então m + n é igual a:
(A) 88
(B) 89
(C) 90
(D) 91
(E) 92
02. (T.R.T) O valor da expressão
0,6 x 98,12
3x...333,0
5
4
3
1


+ 12 é:
(A) 51
(B) 52
(C) 53
(D) 54
(E) 55
03. (T.R.F) Certo dia, uma equipe de técnicos
especializados em higiene dental trabalhou
em um programa de orientação aos
funcionários do tribunal, sobre a prática de
higiene bucal. Sabe-se que
3
1
do total de
membrosda equipe atuou no período de 8 às
10 horas e
5
2
do número restante, das 10 às
12 horas. Se no período da tarde a orientação
foi dada pelos últimos 6 técnicos, o total de
membros da equipe era:
(A) 12
(B) 15
(C) 18
(D) 21
(E) 24
04. (T.R.T) Do total de processos arquivados por
um técnico Judiciário, sabe-se que
8
3
foram
arquivadosnuma primeira etapa e
4
1
numa
segunda. Se os 9 processos restantes foram
arquivados numa terceira etapa, o total de
processos era:
(A) 34
(B) 30
(C) 27
(D) 24
(E) 18
05. (CORREIOS) Uma dona de casa foi a um
supermercado e gastou
9
2
do que possuía
em compras e depois foi à feira e gastou
7
3
do resto do que tinha em frutas e ainda lhe
sobrou R$ 8,00 a quantia que ela tinha antes
de fazer essas compras era:
(A) R$ 12,40
(B) R$ 15,20
(C) R$ 18,00
(D) R$ 18,20
(E) R$ 19,40
06. (T.R.T) Do total de ingressos para um
espetáculo,
5
2
foram compradospor homens
e
8
3
por mulheres. Se ainda restaram 135
ingressos para serem vendidos, o número de
ingressos comprados por homem foi:
(A) 240
(B) 270
(C) 320
(D) 450
(E) 600
07. (T.S.T) Depois de gastar a metade do meu
dinheiro, gastei
4
3
do que sobrou e recebi
uma quantia igual a
5
7
do que restava.
Quanto tinha se agora tenho R$ 30,00?
(A) R$ 50,00
(B) R$ 60,00
(C) R$ 80,00
(D) R$ 90,00
(E) R$ 100,00

ÉticaMatemática
08. (T.T.N) Os
3
2
de
3
5
do preço de uma moto
equivalem a
2
3
de
5
2
do preço de um
automóvel, avaliado em R$ 9.600,00. O preço
da moto é de:
(A) R$ 5.760,00
(B) R$ 8.640,00
(C) R$ 6,400,00
(D) R$ 16.000,00
(E) R$ 5.184,00
09. Um operário gasta
3
1
do seu salário com
alimentação,
5
1
com moradia e
15
4
com
passeios, e o restante R$300,00 aplica na
poupança. O operário recebe um salário de:
(A) R$ 2000,00
(B) R$1800,00
(C) R$ 1700,00
(D) R$ 1600,00
(E) R$ 1500,00
10. Uma certa porção de líquido foi distribuída
igualmente pelosrecipientesA, B, e C. Poste-
riormente, os conteúdos de B e C foram de
partidos igualmente pelos recipientes A , B,
C, D e E. Que fração de porção total ficou
contida no recipiente A?
(A)
3
2
(B)
15
7
(C)
12
5
(D)
5
1
(E)
9
5
Gabarito
01. B 02. B 03. B 04. D 05. C
06. A 07. E 08. E 09. E 10. B
5. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
5.1. Definição:
Sistema métrico decimal é o conjunto de medidas
que tem por base o metro.
5.2. PrincipaisUnidades
Metro: Para as medidas de comprimento.
Metro Quadrado: Para as medidas de área ou
superfície.
Are: Para as medidas agrárias, isto é, medidas de
grandes extensões de terra.
Metro Cúbico: Para as medidas de volume.
Grama: Para as medidas de massa.
Obs.: 1m3
= 1000 1dm3
= 1
1t = 1000Kg 1ha = 10.000 m2
Unidades Múltiplos
Unid.
Principal
Submúltiplos
Comprimento Km, Hm,
Dam
M dm, cm, mm
Superfície Km2
,
Hm2
,
Dam2
M2
dm2
,
cm2
,
mm2
Agrária Há a Ca
Volume Km3
,
Hm3
,
Dam3
M3
dm3
,
cm3
,
mm3
Capacidade K, H,
Da
 d,c,m
Massa Kg,Hg,
Dag
G dg,cg,MG
1ª. A relação nas medidas de comprimento,
capacidade e massa é decimal. As mudanças de
unidades são feitas, deslocando-as a vírgula de
uma em uma casa.
2ª. A relação nas medidas de superfície a agrária; é
centesimal. As mudanças de unidades são: feitas
deslocando-se a virgula de duas em duas casas.

ÉticaMatemática
3ª. A relação nas medidas de volume é milesimal.
As mudanças de unidades são feitas
deslocando-se a vírgula de três em três casas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Exprimir em dm, a adição abaixo:
8,5 m + 0,75 Dam + 300mm + 10cm.
Resp.: 164 dm
02. Exprimir em m2
, expressão:
12 Dam + 0,3 Hm2
– 450 m2
.
Resp.: 3750 m2
5.3. MEDIDAS DE TEMPO
O Sistema para medida do tempo é sexagesimal,
ou seja, as unidades variam tendo como base o
número 60.
Assim, a hora é a principal unidade e, minuto e
segundo são seus submúltiplos.
1 h = 60 min
1 min = 60 seg
1 h = 3600 seg
5.4. SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO
No Brasil, atualmente, a nossa unidade monetária é
o Real. O principal submúltiplo do real é o centavo.
Obs.: A conversão da moda de um país, da moeda
de outro país é denominada cambio.
01. Se um dólar vale R$ 3,15 quanto valem, em
reais, 420 dólares?
Resp.: R$ 1.323,00
02. A cotação do dólar, em um dia, era R$ 2,50
para um dólar. Sendo assim R$ 8.000,00
valem quantos dólares?
Resp.: US$ 3.200
EXERCÍCIOS
01. Uma caixa de água tem dimensões 50cm, 1m
e 2m. Ao encher totalmente a caixa, faz-se um
furo na sua base que provoca uma vazão de 5
litros por minuto. Em quanto tempo ela ficará
totalmente vazia?
(A) 2h
(B) 3h 20min
(C) 4h
(D) 8h
(E) 4h 40min
02. As dimensõesinternasde uma geladeira são
de 6dm de largura, 50cm de profundidade e
0,8m de altura. Determine em litros a capaci-
dade total desta geladeira.
(A) 200
(B) 220
(C) 240
(D) 260
(E) 280
03. Vinte e quatro metros cúbicos de certo
produto devem ser acondicionados em fras-
cos de 800ml. Quantos frascos serão
necessários?
(A) 300 frascos
(B) 3000 frascos
(C) 30.000 frascos
(D) 300.000 frascos
(E) 3 frascos
04. Calcular o volume de água contida numa
caixa que tem 120cm de altura, 18dm de lar-
gura e 0,22dam de comprimento.
(A) 4.456 litros
(B) 4.549 litros
(C) 4.654 litros
(D) 4.752 litros
(E) 4.890 litros
05. Um reservatório contém 1,8m3 de óleo.
Calcule quantaslatasde 150dl estão contidas
nesse reservatório, se está cheio até os 5/6
de sua altura.

ÉticaMatemática
(A) 32 latas
(B) 45 latas
(C) 52 latas
(D) 67 latas
(E) 100 latas
06. Em um temporal que aconteceu em junho,a
chuva caiu com intensidade de 200 milíme-
tros de precipitação. Isso significa que se
deixarmos a chuva cair em uma caixa cujo
fundo tem um metro por um metro, a água
atinge, em uma hora, uma altura de 20
centímetros. Essa quantidade corresponde a
quantos litros de água de chuva?
(A) 100 litros
(B) 200 litros
(C) 400 litros
(D) 600 litros
(E) 800 litros
07. O eclipse lunar ocorrido em janeiro de 2001
começou às 19h 42min, terminando às 22h
59min. Qual a duração total desse eclipse?
(A) 2h 17min
(B) 2h 18min
(C) 2h 35min
(D) 3h 17min
(E) 3h 18min
08. Uma prova de matemática começa às 12h
35min e tem duração de
6
45
horas. A que
horas termina a prova?
(A) 17h
(B) 17h e 25min
(C) 20h e 5min
(D) 16h e 40min
(E) 16h e 80min
09. Dona Tida comprou: 5 pacotes de açúcar de
2kg cada um; 10 pacotes de maisena com
600g cada um; 20 pacotes de margarina de
250g cada um. Qual a massa total dessa
compra?
(A) 2,1kg
(B) 21kg
(C) 11.100g
(D) 2.100g
(E) 855g
10. (Tec. Cont. – SC) A caixa de água de uma
casa tem capacidade de armazenamento de
2000 litros. Sabendo que ela possui base
quadrada, com 1 metro de lado, assinale a
alternativa que indica a altura desta caixa de
água.
(A) 2 metros
(B) 20 metros
(C) 2 centímetros
(D) 2 decímetros
(E) 20000 centímetros
6. RAZÃO E PROPORÇÃO
Chama-se de razão entre dois números
racionais a e b, com b  0, ao quociente entre eles.
Indica-se a razão de a para b por
b
a
.
Exercício. Na sala da 6ª B de um colégio há 20
rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número
de rapazes e o número de moças. (lembrando que
razão é divisão).
Resp.:
5
4
Razão =
5
4
25
20

Exercício. Voltando ao exercício anterior, vamos
encontrar a razão entre o número de moças e
rapazes.
Resp.:
4
5
Razão =
4
5
20
25

Lendo Razões
5
2
, lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5.
Termos de uma Razão
Na razão
8
5
, o número 5 é o antecedente e o
número 8 é o conseqüente.
Grandezas Especiais
Escala é a razão entre a medida no desenho e o
correspondente na medida real.
realMedida
desenhodoMedida
Escala 
Exercício. Em um mapa, a distância entre Montes
Claros e Viçosa é representada por um segmento de
7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de
4320km. Vamos calcular a escala deste mapa.
Gabarito
01. B 02. C 03. C 04. D 05. E
06. B 07. D 08. C 09. B 10. A

ÉticaMatemática
Resp.:
000.000.60
1
000.000.432
2,7

Velocidade média é a razão entre a distância a
ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste
caso as unidades são diferentes)
Tempo
Distância
Velocidade 
Exercício. Um carro percorre 320km em 4h. Deter-
mine a velocidade média deste carro.
Resp.: Vm = hkm/80
4
320

PROPORÇÕES
Proporção é a igualdade entre duas razões. A
proporção entre
d
c
e
b
a
é a igualdade:
d
c
b
a
 .
Propriedade Fundamental das Proporções
Numa proporção:
d
c
b
a
 os números a e d são
chamados de extremos enquanto os números b e c
são os meios e vale a propriedade: o produto dos
meios é igual ao produto dos extremos, isto é: a .
d = b .
c..
Outras Propriedades das Proporções
 Numa proporção, a soma (ou diferença) dos
dois primeiros termos está para o primeiro
termo, assim como a soma (ou diferença) dos
dois últimos termos está para o terceiro termo.
c
d-c
a
b-a
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a





dois primeiros termos está para o segundo
termo, assim como a soma (ou diferença) dos
dois últimos termos está para o quarto termo.
d
d-c
b
b-a
ou
d
dc
b
ba
d
c
b
a





antecedentes está para a soma (ou diferença)
dos conseqüentes, assim como cada
antecedente está para seu conseqüente.
d
c
b
a
d-b
c-a
d
c
b
a
ou
d
c
b
a
db
ca
d
c
b
a




Exercícios
01. Numa escola, a razão do número de professores
para o número de alunos é de 1 para 5. Se nessa
escola há 40 professores, qual é o número de
alunos
5
140
5
1

AA
P
A = 200
02. Aplicando as propriedades estudadas, calcule os
valores desconhecidos em cada caso:
a)






10b
3
2
a
b
a
2510
532


623
422


b
a
b)







8b-a
b
a
3
5
428
235


1243
2045


b
a
c)







15ba3
10
b
5
a
3a e 6b
d)







135zyx
4
z
3
y
2
x
159135
9432


60154
45153
30152



z
y
x
01. A soma de dois números é 60. Encontre esses
números, sabendo que a razão entre o triplo do
maior e o menor é 9.
60ba
39
9
3 ba
b
a

51260
1239


1553
4559


b
a
DIVISÃO PROPORCIONAL
1. Diretamente Proporcionais: Duas seqüên-
cias são diretamente proporcionais quando é cons-
tante o quociente entre os termos correspondentes.
(a1, a2, a3) e (b1, b2, b3)
Dir. Prop.: k
b
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1

Ex.: Determine x e y para que as seqüências (1,
x, 5) e (2, 6, y) sejam diretamente proporcionais.

ÉticaMatemática
3
62
15
62
1
 x
x
y
x
10
5
2
1
 y
y
Ex.: Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a
2, 3 e 6.






121
632
cba
cba
1111121
11632


66116
33113
22112



c
b
a
2. Inversamente Proporcionais: Duas seqüên-
cias são inversamente proporcionais quando é
constante o produto entre os termos correspondentes
(a1, a2, a3) e (b1, b2, b3)
Inv. Prop.: a1
.
b1 = a2
.
b2 = a3
.
b3 = k
Ex.: Determine x e y de modo que as seqüências (x,
8, 10) e (20, 5, y) sejam inversamente proporcionais.
 4020105820 xyx 2x
44010  yy
Ex.: Dividir 450 em partes inversamente proporcionais
a 3, 6 e 8
M.M.C.(3, 6, 8) =24
348
8
1
6
1
3
1
450
cbacba
cba


90303
120304
240308
3015450
15328





c
b
a
3. Direta e Inversamente Proporcionais: Divide-
se pelo produto dos dois, ou seja, diretamente pelo
próprio número e inversamente, pelo inverso dos
números.
Ex.: Dividir 93 em partes ao mesmo tempo,
diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente
proporcionais a 3, 6 e 9.
M.M.C. (2, 3, 9) = 18
10912
9
5
2
1
3
2
9
1
5
6
1
3
3
1
2
93
cbacbacba
cba







3110912 
30310
2739
36312
33193




c
b
a
EXERCÍCIOS
01. Para equilibrar as contas de seu estado, um
governador resolveu cortar drasticamente o
número de cargos de confiança. Serão
demitidos2.400 funcionáriossem concurso, e
o corte será diretamente proporcional ao
orçamento de cada Secretaria. Porexemplo, a
Secretaria que tem o maior orçamento terá o
maior número de cortes. O quadro abaixo
mostra o orçamento das 4 Secretarias que
terão corte de funcionários.
Secretaria A B C D
Orçamento (em milhões
de reais)
22 15 18 25
De acordo com essesdados, quantos funcio-
nários não concursados serão demitidos da
Secretaria C?
(A) 450 funcionários.
(B) 540 funcionários.
(C) 660 funcionários.
(D) 750 funcionários.
(E) 800 funcionários.
02. Dividindo 700 em partes diretamente pro-
porcional a 2 e 3 e inversamente propor-
cional a 4 e 8, obtemos dois números cujo
produto é igual a
(A) 120000
(B) 130000
(C) 140000
(D) 150000
(E) 160000
03. Se os termos da seqüência (10, x, 5) são
inversamente proporcionais aos termos da
sequência (20, 50, y), então:
(A) x – y = 4
(B) x + y = 40
(C) x – y = 30
(D) x + y = 54
(E) x + y = 44

ÉticaMatemática
04. Dois recipientes de igual volume estão
cheios de uma mistura de álcool e gasolina
na proporção de 2:5 e 3:4, respectivamente.
Juntando-se seusconteúdos em um terceiro
recipiente, obtém-se uma mistura de álcool e
gasolina na proporção de:
(A) 5 para 9
(B) 3 para 8
(C) 8 para 7
(D) 5 para 6
(E) 7 para 9
05. Analise as seguintes afirmações:
I. Se duas grandezas x e y variam de tal modo que
o seu produto permanece constante, as grande-
zas são inversamente proporcionais.
II. Se os termos da seqüência (10, x, 5) são
inversamente proporcionais aos da seqüência
(20, 50, y) então x + y = 44.
III. 30 é a quarta proporcional dos números 12, 5 e
2.
Estão corretas:
(A) II e III
(B) Somente I
(C) Somente II
(D) I e III
(E) I e II
06. A sequência (2, 3, 5, x) é diretamente pro-
porcional a (4, x, 10, y). O valor de x + y é
(A) 12
(B) 6
(C) 16
(D) 18
(E) 20
07. Eliane, engenheira química de uma indústria,
ao estudar certa liga metálica, percebe que
esta é composta de cobre, estanho e zinco.
Nela existem 2 partes de estanho para 5
partes de cobre e 3 partes de zinco para 15
partesde cobre. Com base neste estudo, ela
precisa determinar a razão entre a quantidade
de zinco e a de estanho na liga. Ajude-a neste
novo estudo.
(A) 2/1
(B) 2/3
(C) 1/2
(D) 3/2
(E) 3/4
08. Uma substância é constituída de uma mistura
das substâncias A e B, na proporção de 3
litros de A para 5 litros de B. Quantos litros
da substância B devemosadicionar à mistura
para que esta passe a conter
4
3
da
substância B?
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 4
(E) 3
09. Atualmente, a “gasolina” que abastece
nossos carros é, na verdade, uma mistura,
em que a cada quatro litros de gasolina é
adicionado um litro de álcool. O tanque de
um posto de abastecimento está com 60 mil
litros dessa mistura. Nessas condições,
quantos litros de álcool existem nesse tan-
que?
(A) 12 mil litros.
(B) 13 mil litros.
(C) 20 mil litros.
(D) 40 mil litros.
(E) 48 mil litros.
10. Para a cobertura da última Copa do Mundo,
disputada na França, a FIFA, Federação
Internacional de Futebol Association, distri-
buiu 1.880 credenciais às imprensas argen-
tina, brasileira e colombiana. Tal distribuição
foi feita nessa ordem, mas em partes
diretamente proporcionais aos números 3, 5
e 6, e, inversamente proporcionais a 12, 15 e
30, respectivamente. Perguntou-se a um
estudante do 1º período do Ensino Médio da
ETFPE: quantas credenciais a imprensa
brasileira teve a mais que a colombiana? O
aluno pensou e prontamente respondeu:
(A) 300
(B) 320
(C) 260
(D) 240
(E) 220
11. Em um desenho de uma casa, o comprimento
da sala, que é de 6m, está representado por
um segmento de 3 cm. A escala utilizada foi
de
(A) 1 : 50
(B) 1 : 100
(C) 1 : 200
(D) 1 : 500
(E) 1 : 10
12. O Sr. João Carlos depositou uma pequena
parcela do seu salário numa poupança. No
mês de dezembro, o saldo dessa poupança
era de R$ 3.330,00. Ele repartiu essa quantia,
como presente de natal, entre seus filhos em
partes diretamente proporcionais às suas
idades. Júnior tem 15 anos, Beatriz 12 e
Natália 10 anos. Quanto recebeu o mais
velho?
(A) R$ 1.330,00
(B) R$ 1.335,00
(C) R$ 1.340,00
(D) R$ 1.345,00
(E) R$ 1.350,00

ÉticaMatemática
3600
300018
 x




20000.12
6000.204
x
4800
168008
 x
dh/2
7. REGRA DE TRÊS
Chama-se “Regra de Três” a certos problemas nos
quais,sendo dados valores de várias grandezas,sempre
em número ímpar de, no mínimo três, propôs-se
determinar o valor de uma, e somente uma grandeza
desconhecida.
Regra prática: O termo que se relaciona com x
(termo desconhecido) fica sempre no numerador.
Compara-se cada razão com a razão que tem x. A
pergunta é para saber qual termo da razão que vai para
o numerador. Se a resposta for mais (+), o que vai para
o numerador é o maior termo da razão. Se a resposta for
menos (-), é o menor.
Existem dois tipos de Regra de Três.
1º Regra de Três Simples.Quando envolver apenas
duas grandezas.
Ex.:
1º Com 4.800kg de farinha de trigo Lúcia fez 8 bolos
em sua confeitaria. Quantos bolos inteiros conseguirá
fazer com 16.800kg de farinha de trigo, usando a
mesma receita (mesmas medidas e mesma forma)?
kg Bolos
4.800 8
÷ 28x
16.800 X
2º Um total de 3.000 insetos destrói uma lavoura em
18 horas. Em quantas horas 3.600 insetos destruiriam
a mesma lavoura?
Insetos Tempo
3000 18
hx 15
3600 x
2. Regra de Três Composta: Quando envolver mais
de duas grandezas.
Ex.:
1º Uma máquina funcionando 4 horas por dia, fabrica
12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia,
deveria funcionar, para fabricar 20.000 pregos em 20
dias?
H/D Pregos Dias
4 12.000 6
x 20.000 20
2º Vinte e quatro operários fazem
5
2
de determinado
serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em
quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se
que foram dispensados 4 operários e o regime de
trabalho diminuído de uma hora por dia?
OP ServiçosDias H/D
24
5
2
10 7
20
5
3
x 6
6220
732410


x diasx 21
EXERCÍCIOS
01. Um aluno resolve passar os quinze dias de
seu recesso escolar na casa de um amigo no
interior e, para isto, ele leva uma quantidade
em dinheiro suficiente para tal período.
Chegando à casa do amigo, ele se empolga
com asnovidadese resolve passar vinte dias
e não mais quinze. Como não tem acesso a
mais dinheiro, deve fazer uma redução dos
gastos para se manter noscinco dias a mais.
Nestas condições, o seu gasto fora reduzido
em
(A) 30%
(B) 25%
(C) 20%
(D) 15%
(E) 10%
02. Uma família resolve passar 18 dias do verão,
na praia de Tamandaré/PE. Para tal, reserva
uma quantidade de dinheiro x para a tempo-
rada, estimando, assim, uma quantidade de
dinheiro por dia. Chegando ao local, decide
ampliar a temporada que se estende para 30
dias; nessa condição, o dinheiro gasto por
dia fica reduzido em
(A) 70%
(B) 60%
(C) 50%
(D) 40%
(E) 30%
03. Um automóvel, com velocidade de 60km/h,
percorre 900km em 3 dias, viajando 5 horas
por dia. Então, a velocidade média necessária
para percorrer 1200 km em 2 dias, viajando 8
horas por dia é de:
(A) 75 km/h
(B) 78 km/h
(C) 80 km/h
Gabarito
01. B 02. A 03. E 04. A 05. E
06. D 07. C 08. D 09. A 10. B
11. C 12. E
-
+ -
+++ + +

ÉticaMatemática
(D) 85 km/h
(E) 88 km/h
04. Para alimentar 12 criançasdurante 20 diassão
necessários 400Kg de alimentos. Assinale a
alternativa abaixo que indica a quantidade de
criançasque podem ser alimentadas, durante
24 dias com 600Kg de alimentos.
(A) 13
(B) 15
(C) 12
(D) 6
(E) 14
05. Quinze operários, trabalhando 9h por dia,
construíram 36m de muro em 16 dias. Em
quanto tempo 18 operários farão 60m do
mesmo muro, trabalhando 8h por dia?
(A) 22 dias
(B) 20 dias
(C) 16 dias
(D) 18 dias
(E) 25 dias
06. Se um trem leva 2 minutos para percorrer o
trajeto entre duasestações, o esperado é que
outro trem, cuja velocidade média é 80% da
velocidade do primeiro, percorra o mesmo
trajeto em:
(A) 2 minutos e 40 segundos.
(B) 2 minutos e 30 segundos.
(C) 2 minutos e 20 segundos.
(D) 2 minutos e 15 segundos.
(E) 2 minutos e 5 segundos.
07. Numa gráfica, 7 máquinas do mesmo rendi-
mento imprimem 50.000 cartazes iguais em 2
horas de funcionamento. Se duas maquinas
não estiverem funcionando, as 5 máquinas
farão o mesmo serviço em
(A) 3 horas e 10 minutos
(B) 3 horas
(C) 2 horas e 55 minutos
(D) 2 horas e 50 minutos
(E) 2 horas e 48 minutos
08. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual
eficiência, são capazesde produzir 500 peças
em 5 dias, operando 5 horas por dia. Se 10
máquinas iguais às primeiras operassem 10
horas por dia, durante 10 dias, o número de
peças produzidas seria
(A) 1000
(B) 2000
(C) 4000
(D) 5000
(E) 8000
09. Um motor de avião consome 450 litros de
gasolina em duas horas de vôo, quando
funciona a 3.000 rotações por minuto, na
altitude de 2.500 metros. Sabendo-se que
quanto maior é a altitude, maior é o consumo,
em uma hora de vôo a 3.000 metrosde altura,
funcionando a 4.500 rotações por minutos, o
consumo será de
(A) 405 litros
(B) 540 litros
(C) 1.000 litros
(D) 500 litros
(E) 300 litros
10. Em um plantão de 4 horas, 5 médicos aten-
dem 40 pacientes. Supondo que os médicos
gastam o mesmo tempo para atender um
paciente e que o plantão passou a ser de 6
horas, o número de médicos necessários
para atender 60 pacientes é igual a
(A) 7
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 4
Gabarito
01. B 02. D 03. A 04. B 05. E
06. B 07. E 08. C 09. A 10. B
8. PORCENTAGEM
1. Razão Centesimal é a razão cujo conseqüente
é igual a 100.
Ex.:
100
15
100
30
2. Taxa Percentual é a taxa equivalente à razão
centesimal
Ex.: 27%
100
27
15%
100
15

3. Transformação de Porcentagem em Fração
Irredutível
Ex.: 25% =
4
1
100
25
 40% =
5
2
100
40

50% =
2
1
100
50

4. Transformação de Fração Irredutível em
Porcentagem
Ex.: %250
2
5
%75
4
3
%20
5
1

5. Percentual de uma Quantidade
Exercício. Calcule 45% de 1600



100
160045
x 720
Exercício. Calcule 20% dos 30% dos 40% dos 50%
de 6000
 6000
100
50
100
40
100
30
100
20
72

ÉticaMatemática
6. Fator de Aumento (100% + i);i  taxa
percentual.
Exercício. O preço de uma calça é de R$ 80,00.
Se ela sofresse um reajuste de 25% qual seria seu
novo preço?



100
80125
x 00,100
7. Fator de Desconto (ou Redução)(100% - i)
Exercício. O preço de um rádio é R$ 150,00.
Quanto devo pagar por esse rádio se o vendedor
concedeu-me um desconto de 20%?



100
15080
x 120
8. Aumentos Sucessivos
(1 + i1) (1 + i2)  (1 + in) – 1
Exercício. Uma mercadoria sofreu um aumento
de 20% no primeiro mês e, no mês seguinte, um novo
aumento de 40%. Qual foi o aumento acumulado
nesses dois meses?
20
%20.
100

aum
168
48
%40.
120 

aum
Aumento = 68%
Exercício. Três aumentos consecutivos de 20%,
25% e 30% correspondem a um único aumento de:
20
%20.
100

aum
195
45
%30.
150
30
%25.
120 



aumaum
Aumento = 95%
9. Descontos Sucessivos
1 – (1 – i1 (1 – i2) (1 – i3)  (1 – in)
Exercício. Dando-se um desconto de 20% e, em
seguida, outro de 40%. Qual será o desconto total
acumulado?
48
32
%40.
80
20
%20.
100 



descdesc
Desconto = 52%
Exercício. Três descontos consecutivos de 20%,
25% e 30% equivalem a um só desconto de:
42
18
%30.
60
20
%25.
80
20
%20.
100 





descdescdesc
Desconto = 58%
EXERCÍCIOS
01. Num supermercado, um produto foi posto em
promoção com 20% de desconto sobre o seu
preço de tabela, por um período de 5 dias.
Concluído esse período, o preço promocional
foi elevado em 10%. Com esse aumento, o
desconto em relação ao preço de tabela
passou a ser
(A) 8% (D) 15%
(B) 10% (E) 15%
(C) 12%
02. Depois de dois descontos sucessivos de 4%
e de 5%, uma mercadoria passou a custar R$
27,36. Qual era o valor de mercadoria, antes
de serem aplicados os descontos?
(A) R$ 30,80
(B) R$ 30,60
(C) R$ 30,40
(D) R$ 30,20
(E) R$ 30,00
03. Se Ana ganha 25% a mais que Beatriz, Carla
25% a menosque Ana, e a diferença entre os
salários de Ana e Carla são de R$ 1.250,00,
quanto ganha Beatriz?
(A) R$ 3.200,00
(B) R4 3.400,00
(C) R$ 3.600,00
(D) R$ 3.800,00
(E) R$ 4.000,00
04. Na eleição para prefeito de uma cidade, os
candidatos A e B foram para o 2º turno. Em
uma pesquisa de opinião sobre intenção de
voto no segundo turno da eleição, uma
amostra de eleitores revelou que
 360 votariam no candidato A
 480 votariam no candidato B e eram contra a lei.
 44% dos eleitores estavam indecisos.

ÉticaMatemática
A porcentagem de eleitores que votariam no
candidato A, em relação ao total de
entrevistados, foi
(A) 21% (D) 23%
(B) 22% (E) 25%
(C) 24%
05. Numa turma mista de certo colégio, 40 estu-
dantes inscreveram-se para uma excursão.
No dia da viagem, faltaram 25% dos rapazes,
diminuindo para 36 o número de estudantes
presentes para a viagem. Assim, é correto
afirmar que, dentre os inscritos, viajaram:
(A) 15 rapazes
(B) 14 rapazes
(C) 13 rapazes
(D) 12 rapazes
(E) 11 rapazes
06. O preço de venda de um eletrodoméstico é de
R$ 700,00. Sabendo que o ganho é de 40%
sobre o preço do custo do eletrodoméstico. O
valor do preço de custo é:
(A) R$ 350,00
(B) R$ 400,00
(C) R$ 500,00
(D) R$ 550,00
(E) R$ 600,00
07. Em um relatório sobre asatividadesdesenvo-
lvidas em um dado mês pelos funcionários
lotados em certa estação do Metrô, foi
registrado que:
- 25% do total de funcionários eram do sexo
feminino e que, destes, 45% haviam cumprido
horas-extras;
- 60% do número de funcionários do sexo
masculino cumpriram horas-extras;
- 70 funcionários não cumpriram horas-extras.
Com base nessas informações, nesse mês, o
total de funcionários lotados em tal estação
era:
(A) 120 (D) 180
(B) 150 (E) 190
(C) 160
08. O salário de um profissional da Empresa
Pernambuco S/A é reajustado semestral-
mente. No primeiro semestre de 2003, o
aumento salarial foi de 10%, e, no segundo
semestre do mesmo ano, foi de 22%. O
percentual de aumento salarial do citado
profissional, no ano de 2003, foi de
(A) 32,2%
(B) 33,2%
(C) 34,0%
(D) 32,0%
(E) 34,2%
09. Do faturamento anual de uma indústria, 7
milhões de reais foram utilizados para o
pagamento dos empregados e para aquisi-
ção de matéria prima. Do que sobrou, 25%
foram gastos com publicidade, sobrando 3
milhões de reais para outras despesas,
incluindo pagamento dos impostos. Nestas
condições, qual o faturamento dessa indús-
tria?
(A) 10,0 milhões de reais.
(B) 11,0 milhões de reais.
(C) 11,5 milhões de reais.
(D) 12,0 milhões de reais.
(E) 12,5 milhões de reais.
10. Dentre os inscritos num concurso, 60% são
homense 40% são mulheres. Já têm emprego
80% dos homense 30%das mulheres. Qual a
porcentagem dos candidatos que já têm
emprego?
(A) 60%
(B) 40%
(C) 30%
(D) 24%
(E) 12%
Gabarito
01. C 02. E 03. E 04. C 05. D
06. C 07. C 08. E 09. B 10. A
9. MÉDIAS
1. Média Aritmética
É o quociente entre a soma dos termos e o número de
termos.
MA =
n
aaaa n ...321
Ex.: Calcule a média aritmética dos números 3,5 e 7.
2. Média Ponderada
É o quociente da soma do produto dos termos por
seus respectivos pesos e a soma dos pesos.
MP =
n
nn
pppp
papapapa


...
...
321
332211
Ex.: Numa equipe de futebol temos três jogadores
com 21 anos, 4 com 22 anos, 2 com 24 anos e 2 com
27 anos. Qual a idade média dos jogadores dessa
equipe?
Ex.: Um copo de suco de limão custa R$3,40 e um
copo de água custa R$ 0,40. Misturam-se 10 copos

ÉticaMatemática
de suco de limão e 20 copos de água. Quanto custará
o copo dessa limonada?
01. A média aritmética de um conjunto de 11
númerosé 45. Se o número 8 for retirado do
conjunto, a média aritmética dos números
restantes será:
(A) 48,7
(B) 48
(C) 47,5
(D) 42
(E) 41,5
02. A média aritmética de um conjunto de 12
númerosé 9. Se osnúmeros10, 15 e 20 forem
retiradosdo conjunto, a média aritmética dos
restantes será:
(A) 7 (D) 17
(B) 10 (E) 18
(C) 12
03. Numa turma com igual número de moças e
rapazes foi aplicada uma prova de Mate-
mática. A média aritmética das notas das
moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a
média aritmética das notas de toda a turma
nesta prova?
(A) 7
(B) 8,9
(C) 9
(D) 9,1
(E) 9,2
04. Aplicou-se um teste aos alunos de uma
disciplina ao qual compareceram 180 alunos
foram distribuídos em 3 turmas com 55, 60 e
65 estudantes, e que as médias aritméticas
dasnotas obtidas, em cada uma das turmas,
foram 5,2, 6,6 e 6,8, respectivamente, indique
qual foi a média das notas do referido teste:
(A) 6,12
(B) 6,16
(C) 6,20
(D) 6,24
(E) 6,28
05. As bebidasL, V, R possuem teor alcoólico de
24%, 44% e 36%, respectivamente. Qual o teor
alcoólico de um coquetel consistindo de 50
ml de L, 25 ml de V, 25 ml de R e 100 ml de
água?
(A) 15% (D) 17%
(B) 20% (E) 19%
(C) 16%
06. No concurso para cabo de uma Instituição
Militar, o candidato é submetido a 4 avalia-
ções: Matemática e Português com peso 2,0,
Avaliação Física com peso 3,0 e Conhe-
cimentos Específicos com peso 1,0. O
soldado Marcelo se submeteu ao concurso e
obteve os seguintes resultados:
Português: Nota 5,0
Matemática: Nota 8,0
Avaliação Física: Nota 3,0
Conhecimentos Específicos: Nota 5,0
A média ponderada do soldado Marcelo, no
concurso, foi de
(A) 4,0 (D) 5,5
(B) 5,0 (E) 3,8
(C) 4,5
07. A média aritmética das idades de um grupo
de médicose advogados é 40 anos. A média
aritmética dasidades dos médicos é 35 anos
e a dosadvogadosé 50 anos. Pode-se, então,
afirmar que:
(A) O número de advogados é o dobro do número de
médicos no grupo.
(B) O número de médicos é o dobro do número de
advogados no grupo.
(C) Há um médico a mais no grupo.
(D) Há um advogado a mais no grupo. Existem as
mesmas quantidades de médicos e advogados
no grupo.
(E) Existem as mesmas quantidades de médicos e
advogados no grupo.
08. Um automobilista desenvolve as velocidades
seguintes:
75 km/h durante 2 horas
80 km/h durante 3 horas
90 km/h durante 1 hora
A velocidade média alcançada foi de:
(A) 85 km/h
(B) 70 km/h
(C) 90 km/h
(D) 80 km/h
(E) 82 km/h
09. A prova de um concurso é formada pelas
disciplinas Português, Matemática, Informá-
tica e Administração, que têm pesos respec-

ÉticaMatemática
tivos 1,5; 2,0; 2,5 e 4,0. Se um candidato
obteve média ponderada 7,1 e suas notas
respectivas em Português, Matemática e
Informática foram 7,0; 8,0 e 9,0, qual foi a nota
do candidato em Administração?
(A) 5,4 (D) 5,7
(B) 5,5 (E) 5,8
(C) 5,6
10. Em uma repartição, trabalham seis mulheres
e quatro homens. A média das idades das
mulheresé de 45 anos, e a média das idades
dos homensé de 40 anos. Qual a média das
idades dos trabalhadores da repartição?
(A) 42 anos
(B) 43 anos
(C) 44 anos
(D) 45 anos
(E) 46 anos
Gabarito
01. A 02. A 03. C 04. D 05. C
06. B 07. B 08. D 09. B 10. B
10. JUROS SIMPLES
 Juros
Pode-se dizer que juros é uma compensação ou
prêmio que se recebe quando se empresta uma
quantia, por certo tempo, a alguém. Na Matemática
temos, basicamente, dois tipos de juros: os Simples e
os Compostos. Neste capítulo estudaremos os Juros
Simples.
 Juros Simples (Fórmulas)
Para trabalhar as questões de Juros Simples
devemos aplicar as seguintes fórmulas:
100
tiC
J

 e JCM 
J  Juros M  Montante
C  Capital C  Capital
i  taxa J  Juros
t  tempo
Ex.: Calcular os juros (simples) produzidos pelo
capital de R$ 1.500,00 à taxa de 20% ao ano, em 3
anos.
Solução: pelos dados do problema, temos: 500.1C 
, %20i  , 3t  anos. Aplicando direto na fórmula,
vem:
90090032015
100
320500.1
100




 J
tiC
J , ou seja,
os juros simples serão de R$ 900,00.
Ex.: Voltando ao exemplo anterior, quanto dará o
montante daquela aplicação? Em outras palavras,
quanto você retiraria do banco, caso se tratasse de
uma poupança?
Solução: basta aplicar diretamente na fórmula do
montante:
400.2M900500.1MJCM  .
Ex.: Qual o capital que, aplicado a 40% ao ano,
rende, em 4 anos, juros de R$ 2.000,00?
Solução:
25010002016
10
16
0002
100
440
0002
100
.C.C
C
.
C
.
tiC
J








O capital aplicado foi de R$ 1.250
EXERCÍCÍOS COMPLEMENTARES
01. (B.B) Um capital de R$ 100.000,00 rendeu
R$ 10.800,00 de juros, em 90 dias. Quanto
renderia em 12 meses, a uma taxa mensal
0,1% maior que a primeira?
(A) R$ 26.400,00
(B) R$ 42.000,00
(C) R$ 44.400,00
(D) R$ 55.200,00
(E) R$ 79.200,00
02. Carlos Eduardo colocou metade do seu
capital a 5%a.m. e a outra metade a 8% a.m.,
durante 2 meses, obtendo um rendimento de
R$ 26.000,00. Determinar o capital total.
(A) R$ 100.000,00
(B) R$ 150.000,00
(C) R$ 200.000,00
(D) R$ 250.000,00
(E) R$ 180.000,00
03. (CEF) Um capital qualquer, empregado a juros
simples de 10,5% a.m., produzirá um rendi-
mento igual a 70% do seu próprio valor, se
ficar aplicado durante:
(A) 140 dias.
(B) 175 dias.
(C) 180 dias.
(D) 200 dias.
(E) 210 dias.
04. (B.B) Em quantos meses um capital duplica
de valor à taxa de 60% a.a.?
(A) 10
(B) 15
(C) 18
(D) 20
(E) 25

ÉticaMatemática
05. (C.E.F) Uma geladeira é vendida à vista por
R$ 1000,00 ou em duas parcela, sendo a
primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a
segunda, dois meses após, no valor de
R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros
simples utilizada?
(A) 6%
(B) 5%
(C) 4%
(D) 3%
(E) 2%
06. Em um regime de capitalização simples, um
capital de R$ 12.800,00 foi aplicado à taxa
anual de 15%. Para se obter o montante de
R$ 14.400,00 esse capital deve ficar aplicado
por um período de:
(A) 8 meses.
(B) 10 meses.
(C) 1 ano e 2 meses.
(D) 1 ano e 5 meses.
(E) 1 ano e 8 meses.
07. (CEF) Um capital foi aplicado a juros simples,
e ao completar um período de 1 ano e 4
meses, produziu um montante equivalente a
5
7
de seu valor. A taxa mensal dessa aplica-
ção foi de:
(A) 2%
(B) 2,2%
(C) 2,5%
(D) 2,6%
(E) 2,8%
08. Trêsoitavosde um capital foram empregados
a 6% a.a. e o restante a 12% a.a.. No final de
um ano obteve-se um total de R$ 975,00, de
juros. O capital empregado foi de:
(A) R$ 10.000,00
(B) R$ 9.000,00
(C) R$ 8.500,00
(D) R$ 8.000,00
(E) R$ 7.000,00
09. Paulo resolveu aplicar uma parte de seu
salário a jurossimples de 2,1% ao mês. Qual
foi o valor aplicado, sabendo que ele recebe
no final de 1 ano e 3 meses, juros de
R$ 472,50?
(A) R$ 1.464,75
(B) R$ 1.730,70
(C) R$ 1.150,00
(D) R$ 1.730,00
(E) R$ 1.500,00
10. Um capital aplicado a juros simples triplica
em 3 anose 4 meses. Qual a taxa mensal de
juros simples correspondente?
(A) 10%
(B) 8%
(C) 2,5%
(D) 5%
(E) 7,5%
Gabarito
01. C 02. C 03. D 04. D 05. B
06. B 07. C 08. A 09. E 10. D
11. JUROS COMPOSTOS
Determinado capital está submetido ao regime de
juros compostos, quando no final de cada período de
capitalização, os rendimentos do período são incor-
porados ao capital, gerando um montante (M = C + J),
que se transforma em novo capital, que será a base
para o cálculo do período seguinte; este processo se
repete até o final do último período.
Obs.: No sistema de capitalização simples os juros de
cada período são calculados sempre com base no
capital inicial.
Na solução de problemas de juros compostos,
devemos observar o seguinte:
1) Quando a questão não indicar o período de
capitalização, será utilizado aquele ao qual se
refere à taxa.
2) A taxa e o período de capitalização devem,
rigorosamente, estar na mesma unidade.
3) Trabalharemos sempre com a taxa na forma
unitária.
Ex.: 20% =
100
20
= 0,2
Comparação entre os regimes de juros simples e
juros compostos.
Suponha a aplicação de um capital de R$
1.000,00, à taxa de 10% a.m., no fim de 4m, com
capitalização mensal.
C = R$ 1000,00
i = 10% =
100
10
= 0,1
n = 4m  n = 4

ÉticaMatemática
Juros Simples
n Juros por período Montante
1 1000 x 0,1 = 100 1100
2 1000 x 0,1 = 100 1200
3 1000 x 0,1 = 100 1300
4 1000 x 0,1 = 100 1400
Juros Compostos
n Juros por período Montante
1 1000 x 0,1 = 100 1100
2 1100 x 0,1 = 110 1210
3 1210 x 0,1 = 121 1331
4 1331 x 0,1 = 133,10 1.464,10
Obs.: n = 1  MC = MS
n > 1  MC > MS
o < n < 1  MC < MS
Gráficos do Montante
Juros Simples Juros Compostos
M = C + Cin M = C (1 + i)n
Cálculo do Montante em Juros Compostos
M1 = C(1 + i)
M2 = M1.(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3 = M2.(1 + i) = C(1 + i)2
. (1 + i) = C(1 + i)3
M4 = M3.(1 + i) = C(1 + i)3
. (1 + i) = C(1 + i)4
M = C(1 + i)n
(1 + i)n
, é chamado de fator de acumulação de capital.
Obs.: Se n for superior a 5, devemos resolver com
auxílio de: TABELAS FINANCEIRAS.
01. Calcular o Montante que aplicado a juros
compostos de 6% a.a., capitalizados
semestralmente durante 1 ano e 6 meses
atingirá um capital de R$ 200.000,00.
C = R$ 200.000,00
i = 6% a.a. = 3% a.s.
n = 1a 6m  n = 3
M = ?
M = C(1 + i)n
M = 200.000 (1 + 0,03)3
M = 200.000 (1,03)3
M = 200.000 x 1,0927  M = R$ 218.540,00
02. Calcular o capital que aplicado a juros
compostos, capitalizados bimestralmente a
taxa de 12% a.a. durante 8 meses, produziu
um montante de R$ 108.240,00.
C = ?
i = 12% a.a. =
6
12
= 2% a.b.
n = 8 m  n = 4 bim.
M = R$ 108.240,00
M = C(1 + i)n
108.240 = C(1 + 0,02)4
108.240 = C(1,02)4
108.240 = C x 1,0824
C =
0824,1
240.108
 C = R$ 100.000,00
03. Um banco remunera mensalmente as aplica-
ções, incorporando os juros obtidos ao
investimento. O valor de certa aplicação
aumentou 21% em 2 meses. Assinale, em
percentagem, a taxa mensal de juros com que
o banco opera?
M = 121% C.
n = 2
M = C(1 + i)n
121%C = C(1 + i)2
100
C121
= C (1 + i)2
1 + i =
100
121
 1 + i =
10
11
 1 + i = 1,1
i = 1,1 – 1  0,1
 i = 10% a.m
04. Um montante de R$ 3.600,00 foi resultado de
uma aplicação de R$ 2.500,00 à taxa efetiva
mensal de 20%. Quantos períodos mensais
durou essa aplicação?
M = R$ 3.600,00
C = R$ 2.500,00
i = 20% a.m = 0,2
n = ?
3600 = 2500 (1 + 0,2)n
25
36
= (1,2)n
 1,2n
= 1,44  1,2n
= 1,22
 n = 2

ÉticaMatemática
01. No regime de juros compostos, após um ano
de aplicação a uma taxa de 10% ao semestre
obteve-se um montante de R$ 8.470,00. Qual
foi o capital aplicado?
(A) R$ 6.500,00
(B) R$ 7.500,00
(C) R$ 8.000,00
(D) R$ 8.500,00
(E) R$ 7.000,00
02. Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compos-
tos, rendendo 7% a cada bimestre quanto
teremos após 3 anos?
(A) R$ 25.000,00 x (1,70)6
(B) R$ 25.000,00 x (1,07)18
(C) R$ 25.000,00 x (0,93)3
(D) R$ 25.000,00 x (1,70)3
(E) R$ 25.000,00 x (0,07)18
03. Se desejo comprar um apartamento no valor
de R$ 600.000,00, quanto devo aplicar hoje,
num investimento cuja rentabilidade é de 10%
a.s., para que possa efetuar a compra daqui a
2 anos?
(A) R$ 409.808,10
(B) R$ 419.808,10
(C) R$ 429.808,10
(D) R$ 432.808,10
(E) R$ 439.808,10
04. Uma pessoa recebe uma proposta de invés-
timento para hoje, quando uma quantia de
R$ 200,00 fará com que, no final do segundo
ano, o valor do montante seja R$ 242,00. No
regime de juros compostos, a taxa de
rentabilidade anual desse investimento é: de:
(A) 5% (D) 12,5%
(B) 7,5% (E) 15%
(C) 10%
05. Num regime de capitalização composta o
montante M, resultante da aplicação de um
capital C, à taxa percentual i, por n período, é
dado pela lei M = C(1 + i)n. Assim, dados, M, C
e n, a taxa i pode ser calculada pela
expressão:
(A) i = 




 
C
Cn
(B) i =
n
1
C
M






(C) i =
n
1
C
CM





 
(D) i =
n
1
n
1
n
1
C
CM 
(E) i =
n
nn
C
CM 
06. Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juros
simplespor 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O
montante obtido nessa foi aplicado a juros
compostos por 2 mesesà taxa de 5% a.m. ao
final da segunda aplicação, o montante obtido
era de:
(A) R$ 560,00
(B) R$ 585,70
(C) R$ 593,00
(D) R$ 616,00
(E) R$ 617,40
07. Um técnico judiciário aplicou R$ 300,00 a
juros simplespor 1 bimestre, à taxa anual de
30%. O montante obtido nessa aplicação foi
aplicado a juros compostos por 2 meses, à
taxa de 3%ao mês. Dosvaloresabaixo, o que
mais se aproxima do montante obtido na
segunda aplicação é:
(A) R$ 333,00
(B) R$ 326,22
(C) R$ 334,18
(D) R$ 324,00
(E) R$ 315,00
08. Um investidor aplicou R$ 10.000,00, por 2
anos, à taxa de juros compostos anuais de
10%. Com base no texto, é correto afirmar
que, ao final do período de 2 anos, o juro
obtido nesse investimento foi:
(A) superior a R$ 1.300,00 e inferior a R$ 1.600,00.
(B) superior a R$ 1.600,00 e inferior a R$ 1.900,00.
(C) superior a R$ 1.900,00 e inferior a R$ 2.200,00.
(D) superior a R$ 2.200,00.
(E) inferior a R$ 1.300,00.
09. Um cartão de crédito cobra juroscumulativos
de 14% ao mês. Em quantos anos, um débito
de R$ 1,00 neste cartão se transforma em
uma dívida de R$ 12. 500,00?
Dado: use a aproximação 1,14
72
≈ 12.500

ÉticaMatemática
(A) 10 anos
(B) 9 anos
(C) 8 anos
(D) 7 anos
(E) 6 anos
10. O setor de cultivo de flores no Brasil cresceu
20% ao ano, cumulativamente, em relação ao
ano anterior, desde 1996. Qual foi o
crescimento percentual total deste setor nos
14 anos, de 1996 a 2010?
Dado: use a aproximação 1,2
14
≈ 12,84.
(A) 1284%
(B) 1184%
(C) 280%
(D) 128,4%
(E) 118,4%
Gabarito
01. E 02. B 03. A 04. C 05. D
06. E 07. C 08. C 09. E 10. B

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