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Matemática
OPERAÇÕES BÁSICAS
Professor Dudan
Operações Matemáticas
Observe que cada operação tem nomes especiais:
Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a
soma ou total.
Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o
subtraendo e o número 3 é a diferença.
Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o
número 30 é o produto.
Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente,
neste caso o resto da divisão é ZERO.
Adição e Subtração
Regra de sinais
A soma de dois números positivos é um número positivo.
(+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7
A soma de dois números negativos é um número negativo.
(– 3) + (– 4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7
Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus
valores absolutos e damos o sinal do número que tiver o maior valor
absoluto.
(– 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses. – 4 + 5 = 1
assim, 6 – 8 = – 2.
Adição e Subtração
Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o oposto
do 2º número.
(+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (– 2) = + 3,
na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto do
segundo número, então: + 5 – 2 = + 3
(o oposto de + 2 é – 2)
Outros exemplos:
(– 9) – (- 3) = – 9 + 3 = – 6
(– 8) – (+ 5) = – 8 – 5 = – 13
Adição e Subtração
Lembrando que quando antes dos parênteses vier um sinal de + ,
ele derruba os parênteses e mantem o sinal de quem está dentro.
Caso venha um sinal de - , ele derruba os parênteses e troca o sinal
de quem está dentro.
1. Calcule:
a) – 5 + 3 = b) + 73 – 41 =
c) – 24 – 13 = d) – 5 + (– 12) =
e) + 51 – 4 = f) + 17 + (–14) =
g) – 9 – (– 25) = h) + 72 – (–12) =
i) + 19 – 25 = j) – 80 + 41 + 57 =
k) – 2 – 22 – 21 = l) – 6 – (+ 31) + 50 =
Adição e Subtração
Adição e Subtração
Adição e Subtração
Múltiplos e Divisores
• Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre
si da seguinte forma:
Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é
múltiplo de 3.
Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo
de 2.
Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é
múltiplo de 5.
• Múltiplos de um número natural
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um
número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é
encontrado na tradicional tabuada.
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20 ... E assim sucessivamente.
Múltiplos e Divisores
 Divisores de um número natural
Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0.
Portanto,
12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.
Observações importantes:
 O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.
 O maior divisor de um número é o próprio número.
 O zero não é divisor de nenhum número.
 Os divisores de um número formam um conjunto finito.
Múltiplos e Divisores
Principais Critérios de Divisibilidade
Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática,
podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número
em partes menores e iguais.
Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o
resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer
situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando
que um número é considerado divisível por outro quando o resto da
divisão entre eles é igual a zero.
Múltiplos e Divisores
 Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
 Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou
4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Regras de divisibilidade
Múltiplos e Divisores
 Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos
seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a
2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
 Divisibilidade por 4
Todo número é divisível por 4 quando for dividido por 2 e resultar em
quociente par, o que permitirá outra divisão por 2.
Exemplo: 156 é divisível por 4 pois se dividido por 2, resulta em 78 que
pode novamente ser dividido por 2.
Múltiplos e Divisores
 Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
90 é divisível por 5, pois termina em 0.
87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao
mesmo tempo.
Exemplos: 54 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 também.
90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos..
87 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Múltiplos e Divisores
 Divisibilidade por 9
Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos
constitui um número múltiplo de 9.
Exemplos: 81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9
1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero)
6342 não é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero).
Múltiplos e Divisores
• Teste a divisibilidade dos números abaixo por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.
a) 1278 b)1450 c)1202154
Múltiplos e Divisores
Multiplicação e Divisão
Regra de sinais
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o
resultado é um número positivo.
Exemplos: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 b) (+12) ÷ (+ 2) = + 6
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o
resultado é um número positivo.
Exemplos: a) (– 6) × (– 5) = + 30 b) (– 9) ÷ (– 3) = + 3
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o
resultado é um número negativo.
Exemplos: a) (– 4) × (+ 3) = – 12 b) (+ 16) ÷ (– 8) = – 2
Multiplicação e Divisão
3. Calcule os produtos e os quocientes:
a) (– 5) × (– 4) = b) 24 ÷ (– 2) =
c) – 5 × 8 = d) (– 14) ÷ (–14) =
e) 32 ÷ (– 16) = f) – 14 × (– 4) =
g) (+ 17) × (+ 2) = h) (– 64) ÷ (– 8) =
Multiplicação e Divisão
4. Efetue os cálculos a seguir:
Regras da DIVISÃO:
 Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo
original (que pretence ao Dividendo) por vez e quando ele cair
devemos efetuar a divisão. Caso não seja possível dividir
colocaremos “0” no quociente e somente assim cairá o próximo
algarismo original.
Após a colocação da vírgula no quociente , mediante empréstimo
do “0” para seguir dividindo, a cada nova rodada de divisão teremos
direito a um “0” gratuito. Caso ele não seja suficiente, na mesma
rodada , um outro “0” sera solicitado devendo para isso colocar “0”
no quociente.
Multiplicação e Divisão
Multiplicação e Divisão
Multiplicação e Divisão
Multiplicação e Divisão
COMO AS BANCAS
COBRAM ISSO?
CESGRANRIO
Ao serem divididos por 5, dois números inteiros, x e y, deixam restos iguais
a 3 e 4, respectivamente.Qual é o resto da divisão de x.y por 5?
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
FCC
Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da divisão de P
por 5 é igual a;
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 3
CESGRANRIO
Seja x um número natural que, dividido por 6, deixa resto 2.
Então, ( x + 1) é necessariamente múltiplo de:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9.
Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, das
dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é
igual a:
a) 6 480.
b) 6 686.
c) 6 840.
d) 5 584.
e) 5 960.
FCC
CESGRANRIO
Os números naturais m, n e p são pares e consecutivos. Seja S = m + n + p.
Conclui-se que S será sempre divisível por
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
e) 12
CESPE
O número resultante da operação matemática 123 + 2x357 é sucessor do
resultante da operação 122 + 2x356.
Certo
Errado
ESAF
O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a
soma dos dois últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X
é:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9
CESPE
Os servidores de uma unidade de atendimento do DETRAN participaram
de um treinamento que foi realizado em duas salas, A e B. Quando da
entrada nas salas, 57 servidores entraram na sala A e apenas 31, na B.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item a seguir.
O número de servidores que deveriam passar da sala A para a sala B
para que a mesma quantidade de servidores assistisse ao treinamento
nas duas salas é igual a 13.
Certo
Errado
Considere que, para os 170 alunos de uma escola, a merendeira
prepare 45 litros de suco para o lanche e que ela saiba que cada litro de suco
corresponde a 10 copos. Nesse caso, se cada aluno beber 2 copos de suco,
ainda sobrarão 11 litros de suco.
Certo
Errado
CESPE
CESGRANRIO
Durante 185 dias úteis, 5 funcionários de uma agência bancária
participaram de um rodízio. Nesse rodízio, a cada dia, exatamente 4 dos 5
funcionários foram designados para trabalhar no setor X, e cada um dos 5
funcionários trabalhou no setor X o mesmo número N de dias úteis.
O resto de N na divisão por 5 é:
a) 4
b) 3
c) 0
d) 1
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  • 2. Operações Matemáticas Observe que cada operação tem nomes especiais: Adição: 3 + 4 = 7, em que os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total. Subtração: 8 – 5 = 3, em que o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o número 3 é a diferença. Multiplicação: 6 × 5 = 30, em que os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o produto. Divisão: 10 ÷ 5 = 2, em que 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o resto da divisão é ZERO.
  • 3. Adição e Subtração Regra de sinais A soma de dois números positivos é um número positivo. (+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7 A soma de dois números negativos é um número negativo. (– 3) + (– 4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7 Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto. (– 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses. – 4 + 5 = 1 assim, 6 – 8 = – 2.
  • 4. Adição e Subtração Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o oposto do 2º número. (+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (– 2) = + 3, na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto do segundo número, então: + 5 – 2 = + 3 (o oposto de + 2 é – 2) Outros exemplos: (– 9) – (- 3) = – 9 + 3 = – 6 (– 8) – (+ 5) = – 8 – 5 = – 13
  • 5. Adição e Subtração Lembrando que quando antes dos parênteses vier um sinal de + , ele derruba os parênteses e mantem o sinal de quem está dentro. Caso venha um sinal de - , ele derruba os parênteses e troca o sinal de quem está dentro.
  • 6. 1. Calcule: a) – 5 + 3 = b) + 73 – 41 = c) – 24 – 13 = d) – 5 + (– 12) = e) + 51 – 4 = f) + 17 + (–14) = g) – 9 – (– 25) = h) + 72 – (–12) = i) + 19 – 25 = j) – 80 + 41 + 57 = k) – 2 – 22 – 21 = l) – 6 – (+ 31) + 50 = Adição e Subtração
  • 9. Múltiplos e Divisores • Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.
  • 10. • Múltiplos de um número natural Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2) 2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20 ... E assim sucessivamente. Múltiplos e Divisores
  • 11.  Divisores de um número natural Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. Observações importantes:  O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.  O maior divisor de um número é o próprio número.  O zero não é divisor de nenhum número.  Os divisores de um número formam um conjunto finito. Múltiplos e Divisores
  • 12. Principais Critérios de Divisibilidade Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Múltiplos e Divisores
  • 13.  Divisibilidade por 1 Todo número é divisível por 1.  Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. Regras de divisibilidade Múltiplos e Divisores
  • 14.  Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.  Divisibilidade por 4 Todo número é divisível por 4 quando for dividido por 2 e resultar em quociente par, o que permitirá outra divisão por 2. Exemplo: 156 é divisível por 4 pois se dividido por 2, resulta em 78 que pode novamente ser dividido por 2. Múltiplos e Divisores
  • 15.  Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6 Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 54 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 também. 90 é divisível por 6, pelo mesmos motivos.. 87 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. Múltiplos e Divisores
  • 16.  Divisibilidade por 9 Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplos: 81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9 1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero) 6342 não é divisível por 10 pois não termina em 0 (zero). Múltiplos e Divisores
  • 17. • Teste a divisibilidade dos números abaixo por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10. a) 1278 b)1450 c)1202154 Múltiplos e Divisores
  • 18. Multiplicação e Divisão Regra de sinais Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um número positivo. Exemplos: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 b) (+12) ÷ (+ 2) = + 6 Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um número positivo. Exemplos: a) (– 6) × (– 5) = + 30 b) (– 9) ÷ (– 3) = + 3 Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado é um número negativo. Exemplos: a) (– 4) × (+ 3) = – 12 b) (+ 16) ÷ (– 8) = – 2
  • 19. Multiplicação e Divisão 3. Calcule os produtos e os quocientes: a) (– 5) × (– 4) = b) 24 ÷ (– 2) = c) – 5 × 8 = d) (– 14) ÷ (–14) = e) 32 ÷ (– 16) = f) – 14 × (– 4) = g) (+ 17) × (+ 2) = h) (– 64) ÷ (– 8) =
  • 20. Multiplicação e Divisão 4. Efetue os cálculos a seguir:
  • 21. Regras da DIVISÃO:  Depois de iniciada a divisão, sempre deve cair um algarismo original (que pretence ao Dividendo) por vez e quando ele cair devemos efetuar a divisão. Caso não seja possível dividir colocaremos “0” no quociente e somente assim cairá o próximo algarismo original. Após a colocação da vírgula no quociente , mediante empréstimo do “0” para seguir dividindo, a cada nova rodada de divisão teremos direito a um “0” gratuito. Caso ele não seja suficiente, na mesma rodada , um outro “0” sera solicitado devendo para isso colocar “0” no quociente. Multiplicação e Divisão
  • 26. CESGRANRIO Ao serem divididos por 5, dois números inteiros, x e y, deixam restos iguais a 3 e 4, respectivamente.Qual é o resto da divisão de x.y por 5? a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
  • 27. FCC Seja P o produto 8726617 × 9827274. O resto da divisão de P por 5 é igual a; a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3
  • 28. CESGRANRIO Seja x um número natural que, dividido por 6, deixa resto 2. Então, ( x + 1) é necessariamente múltiplo de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
  • 29. Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três dígitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a: a) 6 480. b) 6 686. c) 6 840. d) 5 584. e) 5 960. FCC
  • 30. CESGRANRIO Os números naturais m, n e p são pares e consecutivos. Seja S = m + n + p. Conclui-se que S será sempre divisível por a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
  • 31. CESPE O número resultante da operação matemática 123 + 2x357 é sucessor do resultante da operação 122 + 2x356. Certo Errado
  • 32. ESAF O número X tem três algarismos. O produto dos algarismos de X é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de X é 11. O algarismo das centenas de X é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9
  • 33. CESPE Os servidores de uma unidade de atendimento do DETRAN participaram de um treinamento que foi realizado em duas salas, A e B. Quando da entrada nas salas, 57 servidores entraram na sala A e apenas 31, na B. Considerando essa situação hipotética, julgue o item a seguir. O número de servidores que deveriam passar da sala A para a sala B para que a mesma quantidade de servidores assistisse ao treinamento nas duas salas é igual a 13. Certo Errado
  • 34. Considere que, para os 170 alunos de uma escola, a merendeira prepare 45 litros de suco para o lanche e que ela saiba que cada litro de suco corresponde a 10 copos. Nesse caso, se cada aluno beber 2 copos de suco, ainda sobrarão 11 litros de suco. Certo Errado CESPE
  • 35. CESGRANRIO Durante 185 dias úteis, 5 funcionários de uma agência bancária participaram de um rodízio. Nesse rodízio, a cada dia, exatamente 4 dos 5 funcionários foram designados para trabalhar no setor X, e cada um dos 5 funcionários trabalhou no setor X o mesmo número N de dias úteis. O resto de N na divisão por 5 é: a) 4 b) 3 c) 0 d) 1 e) 2