O documento apresenta três métodos para calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) entre números: 1) Algoritmo de Euclides, que realiza divisões sucessivas até obter resto zero; 2) Decomposição em fatores primos, onde o MDC é dado pelo produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes; 3) Características do MDC, como ser igual a 1 para números primos e a 2 para números pares consecutivos.

1. 1.0 - Máximo Divisor Comum - M.D.C.
Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum
entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus
divisores :
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior,
ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores
:
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e
dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12
2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.
2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números
dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e
o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o
quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse
processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.
Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado .
Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24

2. Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números
dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor
252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o
quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.
Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele
36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.
Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim
M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36
2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos
menores expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
5 3 2
96 = 2 X 3 e 360 = 2 X 3 X 5. E aplicando a regra, teremos :
3 1 3
fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 2 e 3 . Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 2 X 3 =
8 X 3 = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
2 2 2 2 3
100 = 2 X 5 180 = 2 X 3 X 5 e 840 = 2 X 3 X 5 X 7
E aplicando a regra, teremos :

3. 2 1 2
fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 2 e 5 . Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 2 X
5 = 4 X 5 = 20
Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :
2 5
A = 2 X 3 X 54
6 3 3 3
B = 2 X 3 X 5 X 11 e
4 4 2 5
C=2 X 3 X 5 X 7
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.
Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52
3.0 - Características Marcantes do M.D.C.
5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.
5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.
5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares e consecutivos será sempre igual a 2.
5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles
também ficará multiplicado
por esse número.
5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles
também ficará dividido por
esse número.
5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são
chamados primos entre