Este documento explica como calcular o máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais números naturais através de dois métodos: 1) decompondo os números em fatores primos e multiplicando os fatores comuns de menores expoentes, 2) dividindo sucessivamente o maior número pelo menor até obter uma divisão exata, sendo o último divisor o mdc. Exemplos e exercícios são fornecidos para praticar os métodos.

1. 1
MÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc) – 5ª SÉRIE
É o maior dos divisores comuns entre dois ou mais números.
Exemplo: Vamos considerar todos os divisores dos números 24 e 30.
Divisores de 24:
D(24) ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 }
Divisores de 30:
D(30) = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }
Podemos notar que:
 os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6;
 o maior desses divisores comuns é o 6.
Dizemos, então, que 6 é o máximo divisor comum entre 24 e 30, e
escrevemos: mdc(24, 30) = 6
DETERMINAÇÃO DO mdc ENTRE NÚMEROS NATURAIS
1º MÉTODO: Através da decomposição em fatores primos
Multiplicamos os fatores primos comuns de menores expoentes.
Exemplo: mdc (60, 168)
60 2 168 2
30 2 84 2
15 3 42 2
5 5 21 3
1 7 7
1
60 = 22 . 3 . 5
168 = 23 . 3 . 7
Fatores comuns de menores expoentes: 22 e 3
Mdc (60, 168) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12
EXERCÍCIOS

2. 2
1) Determine o mdc nos seguintes casos: (faça no caderno)
a) mdc (12, 18) h) mdc ( 20, 4, 8)
b) mdc (20, 25) i) mdc (8, 15)
c) mdc (48, 40) j) mdc (40, 25)
d) mdc (70, 112) l) mdc (14, 49, 70)
e) mdc (8, 24, 28) m) mdc (120, 84)
f) mdc (6, 8, 10) n) mdc (216, 288)
g) mdc (7, 14, 21) o) mdc (200, 1000, 1600)
2º MÉTODO: Através de divisões sucessivas.
Dividimos o maior dos números dados pelo menor e, em seguida,
continuamos a efetuar divisões utilizando os restos como divisores,
até chegarmos a uma divisão exata. O último divisor será o mdc
entre os números dados.
Exemplo: mdc (36, 60)
1 quociente 60 36
1º passo: 60 36 24 1
24
1 quociente 36 24
2º passo: 36 24 12 1
12
2 quociente 24 12
3º passo: 24 12 mdc 0 2
0
Os diversos passos podem ser reunidos num único processo:

3. 3
1 1 2
60 36 24 12 divisores
24 12 0
restos
EXERCÍCIOS
1) Determine o mdc pelo método das divisões sucessivas:
a) mdc (25, 60) i) mdc (40, 25)
b) mdc (28, 35) j) mdc (120, 84)
c) mdc (60, 90) l) mdc (64, 96)
d) mdc (16, 40) m) mdc (180, 450, 90)
e) mdc (32, 120) n) mdc (120, 300, 540)
f) mdc (8, 10) o) mdc (240, 180, 72)
g) mdc (9, 12) p) mdc (75, 60, 150)
h) mdc (60, 15)
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o maior divisor
comum entre eles é o número 1.
Exemplos:
1) 2 e 3 são primos entre si, porque mdc (2, 3) = 1
2) 7, 8 e 15 são primos entre si, porque mdc (7, 8, 15) = 1