Este documento explica como calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números através da decomposição dos números em seus fatores primos. O MDC é obtido pelo produto dos fatores comuns de maior expoente, enquanto o MMC é obtido pelo produto de todos os fatores comuns e não comuns de maior expoente. Exemplos ilustram como aplicar estas definições para calcular o MDC e MMC de 96 e 60.

1. (m.d.c. e m.m.c.)

2.  Máximo Divisor Comum – é o maior divisor comum
entre dois ou mais números
 Mínimo Múltiplo Comum – é o mínimo múltiplo
comum entre dois ou mais números, e que não anula
(ou seja, não pode ser o zero)

3. Para calcularmos tanto um máximo divisor comum
como um mínimo múltiplo comum é necessário saber
como decompor um números em fatores primos.
Para decompor um número em fatores primos, vamos
ter que dividi-lo sempre pelo número mais pequeno
possível!

4. Exemplo: Queremos decompor em fatores primos o
número 96.
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
96 é divisível por 2, dando 48
48 é divisível por 2, dando 24
24 é divisível por 2, dando 12
1 não é divisível por nenhum
número de modo a dar um
número inteiro que não seja ele
mesmo
12 é divisível por 2, dando 6
6 é divisível por 2, dando 3
3 não é divisível por 2, mas é divisível
por 3, dando 1
Então:
96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
96 = 25 x 3

5. Agora que já sabemos decompor números em fatores
comuns, mais facilmente aprenderemos como obter o
máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum
de dois ou mais números.

6. É o produto dos fatores comuns do maior expoente
Isto significa:
Perante dois números e a sua decomposição em fatores primos,
juntamos todos os números da decomposição que são comuns a ambos
os números, quando o número é igual colocamo-lo só uma vez, mas
quando têm expoentes diferentes, colocamos o número comum com
maior expoente– obtendo assim o máximo divisor comum.

7. Exemplo:
96= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 3
60 = 2 x 2 x 5 x 3 = 22 x 5 x 3
96 2 60 2
48 2 30 2
24 2 15 5
12 2 3 3
6 2 1
3 3
1
Conseguimos ver que entre 96 e 60, os números em comum
na decomposição de fatores primos são o 2 e o 3.
Logo, m.d.c. (96,60) = 2 x 3
Mas... Se olharmos com atenção, o número que temos tanto
na decomposição de 96 como na de 60 não é 2 mas sim 25 ou
22.
Como não podemos colocar dois números iguais, embora
tenham expoentes diferentes, colocamos só aquele que tem o
maior expoente (neste caso, o 25).
Então, m.d.c. (96, 60) = 25 x 3 = 10 x 3 = 30

8. É o produto dos fatores comuns e não comuns do
maior expoente
Isto significa:
Perante dois números e a sua decomposição em fatores primos,
juntamos todos os números da decomposição. Quando o número é
igual colocamo-lo só uma vez, mas quando têm expoentes diferentes,
colocamos o número comum com maior expoente– obtendo assim o
mínimo múltiplo comum.

9. Exemplo:
96= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 3
60 = 2 x 2 x 5 x 3 = 22 x 5 x 3
96 2 60 2
48 2 30 2
24 2 15 5
12 2 3 3
6 2 1
3 3
1
Conseguimos ver que entre 96 e 60, os números em comum
na decomposição de fatores primos são o 2 e o 3 e os não
comum são o 5.
Logo, m.m.c. (96,60) = 2 x 3 x 5
Mas tendo com base o que já aprendemos antes sobre os
expoentes (apenas colocamos o número comum com maior
expoente), obtemos:
m.m.c. (96, 60) = 25 x 3 x 5 = 10 x 3 x 5 = 30 x 5 = 150