1) O documento apresenta notas de aula sobre rotação, incluindo variáveis como posição angular, deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular.
2) Aborda conceitos como momento de inércia, torque e a segunda lei de Newton para rotação.
3) Fornece exemplos de cálculo de momento de inércia para diferentes objetos como bastões, anéis e corpos rígidos em geral.
O documento descreve conceitos básicos de hidrostática, incluindo: 1) Hidrostática estuda líquidos e gases em equilíbrio estático; 2) Pressão e densidade são grandezas fundamentais para o estudo; 3) São apresentadas definições, unidades e exemplos de pressão e densidade.
1) O documento discute os princípios da estática, incluindo a estática de pontos materiais e corpos extensos.
2) A estática estuda o equilíbrio dos corpos sob a ação de forças, dividindo-se em estática de pontos e corpos rígidos.
3) Para um ponto material estar em equilíbrio, as forças sobre ele devem se cancelar resultando em uma força resultante nula.
Este documento discute conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos. Em três frases ou menos:
O documento apresenta definições e propriedades básicas de fluidos, incluindo que fluidos não suportam deformações de cisalhamento e exercem forças perpendiculares às superfícies. Também discute conceitos como pressão, densidade, hidrostática, hidrodinâmica e escoamento laminar versus turbulento. Por fim, introduz o modelo de fluido ideal para simplificar a compreensão do movimento de fluidos reais.
O documento descreve vários tipos de forças e suas aplicações, incluindo: (1) a força peso que atrai objetos para a Terra, variando em diferentes planetas; (2) a força normal que surge quando objetos se pressionam; (3) a força elástica em molas e elásticos; e (4) as forças de atrito estático e cinético que atuam quando objetos se movem sobre superfícies.
1) O documento discute os conceitos fundamentais de fluidos estáticos, incluindo os estados da matéria, densidade, pressão e sua variação com a profundidade.
2) É introduzido o princípio de Pascal e como ele é aplicado em sistemas hidrostáticos como manômetros e vasos comunicantes.
3) O documento também aborda a pressão atmosférica e sua variação com a altitude, assim como a medição da pressão por meio de barômetros.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
1) Hidrodinâmica estuda fluidos em movimento como água, sangue e ar.
2) Existem dois tipos de escoamento - turbulento e permanente (estacionário), onde as partículas mantêm a mesma velocidade ao passar por um ponto.
3) As equações de Bernoulli e continuidade relacionam pressão, velocidade e vazão em diferentes seções de um escoamento.
O documento discute conceitos de física como densidade, pressão, hidrostática e atmosférica. Explica que a pressão de um líquido depende da profundidade e pode ser medida por colunas de mercúrio ou água. Também aborda o funcionamento de bombas de sucção e sifões devido à diferença de pressão hidrostática.
O documento descreve conceitos básicos de hidrostática, incluindo: 1) Hidrostática estuda líquidos e gases em equilíbrio estático; 2) Pressão e densidade são grandezas fundamentais para o estudo; 3) São apresentadas definições, unidades e exemplos de pressão e densidade.
1) O documento discute os princípios da estática, incluindo a estática de pontos materiais e corpos extensos.
2) A estática estuda o equilíbrio dos corpos sob a ação de forças, dividindo-se em estática de pontos e corpos rígidos.
3) Para um ponto material estar em equilíbrio, as forças sobre ele devem se cancelar resultando em uma força resultante nula.
Este documento discute conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos. Em três frases ou menos:
O documento apresenta definições e propriedades básicas de fluidos, incluindo que fluidos não suportam deformações de cisalhamento e exercem forças perpendiculares às superfícies. Também discute conceitos como pressão, densidade, hidrostática, hidrodinâmica e escoamento laminar versus turbulento. Por fim, introduz o modelo de fluido ideal para simplificar a compreensão do movimento de fluidos reais.
O documento descreve vários tipos de forças e suas aplicações, incluindo: (1) a força peso que atrai objetos para a Terra, variando em diferentes planetas; (2) a força normal que surge quando objetos se pressionam; (3) a força elástica em molas e elásticos; e (4) as forças de atrito estático e cinético que atuam quando objetos se movem sobre superfícies.
1) O documento discute os conceitos fundamentais de fluidos estáticos, incluindo os estados da matéria, densidade, pressão e sua variação com a profundidade.
2) É introduzido o princípio de Pascal e como ele é aplicado em sistemas hidrostáticos como manômetros e vasos comunicantes.
3) O documento também aborda a pressão atmosférica e sua variação com a altitude, assim como a medição da pressão por meio de barômetros.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
1) Hidrodinâmica estuda fluidos em movimento como água, sangue e ar.
2) Existem dois tipos de escoamento - turbulento e permanente (estacionário), onde as partículas mantêm a mesma velocidade ao passar por um ponto.
3) As equações de Bernoulli e continuidade relacionam pressão, velocidade e vazão em diferentes seções de um escoamento.
O documento discute conceitos de física como densidade, pressão, hidrostática e atmosférica. Explica que a pressão de um líquido depende da profundidade e pode ser medida por colunas de mercúrio ou água. Também aborda o funcionamento de bombas de sucção e sifões devido à diferença de pressão hidrostática.
O documento discute conceitos fundamentais de cinemática, como movimento, repouso, velocidade e deslocamento. Apresenta exemplos de movimento retilíneo uniforme e exercícios resolvidos sobre o tema.
O documento resume as Leis de Ohm, explicando que: (1) a resistência elétrica é proporcional à área da seção transversal de um condutor e inversamente proporcional ao seu comprimento; (2) a intensidade da corrente elétrica é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada e inversamente proporcional à resistência do circuito; (3) a resistividade de um material depende da temperatura.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de hidrostática e hidrodinâmica, incluindo definições de fluidos, densidade, pressão, princípios de Pascal e Arquimedes.
2) São descritas propriedades de fluidos ideais e reais, unidades de medida de densidade e pressão, e experimentos como o de Torricelli para medir a pressão atmosférica.
3) Princípios como a distribuição uniforme de pressão em um fluido e a transmissão de pressão em sistemas hidrául
1) O documento discute a primeira lei da termodinâmica e suas aplicações.
2) A primeira lei da termodinâmica corresponde ao princípio da conservação de energia, onde a variação na energia de um sistema é igual à quantidade de calor transferido mais o trabalho realizado.
3) Exemplos históricos e experimentais ilustram como a energia se conserva nas transformações termodinâmicas através da conversão entre calor, trabalho e variação de energia interna.
Este documento descreve um experimento sobre o movimento oscilatório de um pêndulo físico. Foram realizadas medidas do período de oscilação variando a distância do ponto de suspensão ao centro de massa. Os resultados mostraram que o período é menor quando o ponto de suspensão está na metade da distância, e que a energia mecânica total não é constante, indicando um movimento amortecido.
Este documento discute conceitos fundamentais de análise termodinâmica através de volume de controle, incluindo:
1) O princípio da conservação de massa aplicado a volumes de controle com múltiplas entradas e saídas de fluxo de massa.
2) Os princípios da conservação da quantidade de movimento e da energia aplicados a volumes de controle, levando em conta forças externas e fluxo de massa, energia e momento.
3) Os conceitos de escoamento permanente, pressão, força viscosa e suas
O documento discute a termodinâmica e as leis da termodinâmica. A primeira lei afirma a conservação de energia, enquanto a segunda lei diz que a parcela de energia disponível para trabalho torna-se menor a cada transformação, à medida que parte da energia se converte em calor dissipado. Máquinas térmicas podem transformar calor em trabalho, porém nunca de forma integral devido à segunda lei.
1) O documento discute as teorias iniciais sobre a queda livre de Aristóteles e Galileu, que realizou experimentos na Torre de Pisa e concluiu que todos os objetos caem na mesma velocidade independente de sua massa.
2) É introduzida a noção de aceleração da gravidade g na Terra de aproximadamente 9,8 m/s2 e seus valores em outros planetas.
3) São apresentadas equações matemáticas para calcular a velocidade, altura, tempo e deslocamento de um objeto lanç
Este documento resume os principais conceitos de hidrostática, incluindo:
1) A hidrostática estuda as propriedades dos fluidos em equilíbrio estático;
2) A densidade é a relação entre a massa e o volume de um fluido;
3) A pressão hidrostática depende da densidade do fluido, da altura e da gravidade.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da cinemática da rotação, incluindo posição angular, deslocamento angular, velocidade angular, aceleração angular, momento de inércia, torque e equações para movimento com aceleração angular constante. Resolve vários problemas de física envolvendo esses conceitos.
1) O documento discute os princípios da termodinâmica e sua aplicação em engenharia de materiais.
2) A primeira lei da termodinâmica é explicada, incluindo conceitos como energia interna, trabalho e calor.
3) Vários processos termodinâmicos são descritos, como processos adiabáticos, isotérmicos e cíclicos.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento circular uniforme e transmissão de movimento em sistemas mecânicos como bicicletas. Explica que (1) a velocidade angular é constante no movimento circular uniforme, (2) a relação entre o diâmetro das polias ou número de dentes das engrenagens determina a relação entre as velocidades angulares, e (3) nas bicicletas, a relação entre os raios das coroas dianteira e traseira determina a velocidade final.
O documento discute o que é força de atrito e seus tipos. A força de atrito é a resistência que corpos em contato oferecem ao movimento, sendo definida por Fat=μN, onde μ é o coeficiente de atrito e N é a força normal. Existem atrito estático e dinâmico, sendo o coeficiente estático maior que o dinâmico.
O documento discute conceitos físicos de trabalho, potência e rendimento. Trabalho é definido como a transferência de energia quando uma força causa um deslocamento. Potência é a taxa de trabalho realizado e é medida em watts. Rendimento é a proporção de energia útil produzida em relação à energia total consumida por uma máquina. Exemplos ilustram cálculos destas grandezas físicas.
Física lei de lenz e indução eletromagnéticaFelipe Bueno
O documento discute a lei de Lenz, que completa os estudos de Faraday sobre indução eletromagnética. A lei de Lenz estabelece que a corrente induzida em um circuito sempre ocorre de modo a contrariar a variação do fluxo magnético que a originou. O documento também descreve características do campo magnético associado a uma espira circular e lista referências bibliográficas sobre física e eletromagnetismo.
A 3a Lei de Newton estabelece que para toda a força de uma interação existem duas forças iguais em magnitude e opostas em direção. Isto significa que quando um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo corpo exerce uma força igual e oposta sobre o primeiro.
O documento descreve o que são resistores, como são fabricados e como funcionam em circuitos elétricos. Resumidamente:
1) Resistores são dispositivos que oferecem resistência à passagem de corrente elétrica e são usados para controlar e dissipar energia em circuitos.
2) Eles podem ser fixos ou variáveis, sendo os variáveis chamados de potenciômetros ou trimpots para ajustes.
3) A associação de resistores em série ou paralelo altera a resistência equivalente do circuito.
O documento descreve um experimento sobre a Lei de Ohm, realizando medidas de resistência e associando resistores em série e paralelo. Foram obtidos valores de tensão e corrente para cada resistor isolado e combinações, e traçados gráficos que confirmaram a linearidade prevista pela lei, apesar dos erros nas medidas não terem permitido precisão total nos valores calculados.
O documento descreve o movimento retilíneo uniforme (MRU), caracterizado por uma velocidade constante e aceleração nula. Apresenta as equações para calcular a posição em função do tempo e os gráficos de velocidade versus tempo e posição versus tempo para movimentos progressivos e retrógrados. Por fim, exemplifica o cálculo da posição inicial, velocidade e posição final a partir de uma equação horária dada.
O documento discute máquinas térmicas e como elas transformam energia de uma forma para outra. Exemplos incluem usinas termelétricas que transformam energia química em energia elétrica através de caldeiras, turbinas e geradores, e motores a vapor e de combustão interna que transformam energia térmica em energia mecânica para mover veículos. O documento também explica como geladeiras funcionam transferindo calor do interior para o exterior.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da cinemática da rotação, incluindo: (1) as variáveis da rotação como posição angular, deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular; (2) a relação entre as variáveis lineares e angulares; e (3) conceitos como momento de inércia, torque e energia cinética de rotação. O documento também fornece exemplos numéricos de cálculo de momento de inércia.
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA, VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR, ACELERAÇÃO, ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL, ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE
O documento discute conceitos fundamentais de cinemática, como movimento, repouso, velocidade e deslocamento. Apresenta exemplos de movimento retilíneo uniforme e exercícios resolvidos sobre o tema.
O documento resume as Leis de Ohm, explicando que: (1) a resistência elétrica é proporcional à área da seção transversal de um condutor e inversamente proporcional ao seu comprimento; (2) a intensidade da corrente elétrica é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada e inversamente proporcional à resistência do circuito; (3) a resistividade de um material depende da temperatura.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de hidrostática e hidrodinâmica, incluindo definições de fluidos, densidade, pressão, princípios de Pascal e Arquimedes.
2) São descritas propriedades de fluidos ideais e reais, unidades de medida de densidade e pressão, e experimentos como o de Torricelli para medir a pressão atmosférica.
3) Princípios como a distribuição uniforme de pressão em um fluido e a transmissão de pressão em sistemas hidrául
1) O documento discute a primeira lei da termodinâmica e suas aplicações.
2) A primeira lei da termodinâmica corresponde ao princípio da conservação de energia, onde a variação na energia de um sistema é igual à quantidade de calor transferido mais o trabalho realizado.
3) Exemplos históricos e experimentais ilustram como a energia se conserva nas transformações termodinâmicas através da conversão entre calor, trabalho e variação de energia interna.
Este documento descreve um experimento sobre o movimento oscilatório de um pêndulo físico. Foram realizadas medidas do período de oscilação variando a distância do ponto de suspensão ao centro de massa. Os resultados mostraram que o período é menor quando o ponto de suspensão está na metade da distância, e que a energia mecânica total não é constante, indicando um movimento amortecido.
Este documento discute conceitos fundamentais de análise termodinâmica através de volume de controle, incluindo:
1) O princípio da conservação de massa aplicado a volumes de controle com múltiplas entradas e saídas de fluxo de massa.
2) Os princípios da conservação da quantidade de movimento e da energia aplicados a volumes de controle, levando em conta forças externas e fluxo de massa, energia e momento.
3) Os conceitos de escoamento permanente, pressão, força viscosa e suas
O documento discute a termodinâmica e as leis da termodinâmica. A primeira lei afirma a conservação de energia, enquanto a segunda lei diz que a parcela de energia disponível para trabalho torna-se menor a cada transformação, à medida que parte da energia se converte em calor dissipado. Máquinas térmicas podem transformar calor em trabalho, porém nunca de forma integral devido à segunda lei.
1) O documento discute as teorias iniciais sobre a queda livre de Aristóteles e Galileu, que realizou experimentos na Torre de Pisa e concluiu que todos os objetos caem na mesma velocidade independente de sua massa.
2) É introduzida a noção de aceleração da gravidade g na Terra de aproximadamente 9,8 m/s2 e seus valores em outros planetas.
3) São apresentadas equações matemáticas para calcular a velocidade, altura, tempo e deslocamento de um objeto lanç
Este documento resume os principais conceitos de hidrostática, incluindo:
1) A hidrostática estuda as propriedades dos fluidos em equilíbrio estático;
2) A densidade é a relação entre a massa e o volume de um fluido;
3) A pressão hidrostática depende da densidade do fluido, da altura e da gravidade.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da cinemática da rotação, incluindo posição angular, deslocamento angular, velocidade angular, aceleração angular, momento de inércia, torque e equações para movimento com aceleração angular constante. Resolve vários problemas de física envolvendo esses conceitos.
1) O documento discute os princípios da termodinâmica e sua aplicação em engenharia de materiais.
2) A primeira lei da termodinâmica é explicada, incluindo conceitos como energia interna, trabalho e calor.
3) Vários processos termodinâmicos são descritos, como processos adiabáticos, isotérmicos e cíclicos.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento circular uniforme e transmissão de movimento em sistemas mecânicos como bicicletas. Explica que (1) a velocidade angular é constante no movimento circular uniforme, (2) a relação entre o diâmetro das polias ou número de dentes das engrenagens determina a relação entre as velocidades angulares, e (3) nas bicicletas, a relação entre os raios das coroas dianteira e traseira determina a velocidade final.
O documento discute o que é força de atrito e seus tipos. A força de atrito é a resistência que corpos em contato oferecem ao movimento, sendo definida por Fat=μN, onde μ é o coeficiente de atrito e N é a força normal. Existem atrito estático e dinâmico, sendo o coeficiente estático maior que o dinâmico.
O documento discute conceitos físicos de trabalho, potência e rendimento. Trabalho é definido como a transferência de energia quando uma força causa um deslocamento. Potência é a taxa de trabalho realizado e é medida em watts. Rendimento é a proporção de energia útil produzida em relação à energia total consumida por uma máquina. Exemplos ilustram cálculos destas grandezas físicas.
Física lei de lenz e indução eletromagnéticaFelipe Bueno
O documento discute a lei de Lenz, que completa os estudos de Faraday sobre indução eletromagnética. A lei de Lenz estabelece que a corrente induzida em um circuito sempre ocorre de modo a contrariar a variação do fluxo magnético que a originou. O documento também descreve características do campo magnético associado a uma espira circular e lista referências bibliográficas sobre física e eletromagnetismo.
A 3a Lei de Newton estabelece que para toda a força de uma interação existem duas forças iguais em magnitude e opostas em direção. Isto significa que quando um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo corpo exerce uma força igual e oposta sobre o primeiro.
O documento descreve o que são resistores, como são fabricados e como funcionam em circuitos elétricos. Resumidamente:
1) Resistores são dispositivos que oferecem resistência à passagem de corrente elétrica e são usados para controlar e dissipar energia em circuitos.
2) Eles podem ser fixos ou variáveis, sendo os variáveis chamados de potenciômetros ou trimpots para ajustes.
3) A associação de resistores em série ou paralelo altera a resistência equivalente do circuito.
O documento descreve um experimento sobre a Lei de Ohm, realizando medidas de resistência e associando resistores em série e paralelo. Foram obtidos valores de tensão e corrente para cada resistor isolado e combinações, e traçados gráficos que confirmaram a linearidade prevista pela lei, apesar dos erros nas medidas não terem permitido precisão total nos valores calculados.
O documento descreve o movimento retilíneo uniforme (MRU), caracterizado por uma velocidade constante e aceleração nula. Apresenta as equações para calcular a posição em função do tempo e os gráficos de velocidade versus tempo e posição versus tempo para movimentos progressivos e retrógrados. Por fim, exemplifica o cálculo da posição inicial, velocidade e posição final a partir de uma equação horária dada.
O documento discute máquinas térmicas e como elas transformam energia de uma forma para outra. Exemplos incluem usinas termelétricas que transformam energia química em energia elétrica através de caldeiras, turbinas e geradores, e motores a vapor e de combustão interna que transformam energia térmica em energia mecânica para mover veículos. O documento também explica como geladeiras funcionam transferindo calor do interior para o exterior.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais da cinemática da rotação, incluindo: (1) as variáveis da rotação como posição angular, deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular; (2) a relação entre as variáveis lineares e angulares; e (3) conceitos como momento de inércia, torque e energia cinética de rotação. O documento também fornece exemplos numéricos de cálculo de momento de inércia.
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA, VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR, ACELERAÇÃO, ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL, ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE
O documento discute movimentos circulares, definindo conceitos como velocidade angular, aceleração angular, período e frequência. Explica a relação entre grandezas escalares e angulares e como o movimento é transmitido através de polias e engrenagens. Por fim, apresenta duas questões sobre movimento circular uniforme.
1. O documento discute a exploração espacial, especificamente satélites geostacionários.
2. Satélites geostacionários giram com o mesmo período da Terra, permanecendo sobre o mesmo ponto.
3. Esses satélites são úteis para comunicações e coletam dados ambientais, climáticos e de poluição.
[1] O documento apresenta conceitos de física sobre rolamento e momento angular, que descrevem o movimento de objetos rolando sem deslizar. [2] É introduzido o conceito de momento angular como análogo à quantidade de movimento para rotações, e discutidas suas propriedades vetoriais. [3] São mostrados exemplos de cálculos envolvendo rolamento, incluindo de uma bola em uma rampa e de objetos rolando sem deslizar.
O documento apresenta os conceitos fundamentais do movimento circular, incluindo: (1) movimento circular uniforme e não uniforme, (2) velocidades angular e linear, (3) período e frequência, (4) força centrípeta e suas aplicações nas leis de Newton, (5) transmissão de movimento através de engrenagens e correias. Exemplos e exercícios ilustram esses conceitos.
O documento discute conceitos fundamentais de cinemática, incluindo movimento uniformemente variado, aceleração escalar média e instantânea, e movimento circular uniforme. Aborda definições de velocidade angular média, frequência, ângulo horário e relações entre essas grandezas no movimento circular. Também menciona a queda livre dos corpos e o uso de polias para acoplar motores a sistemas com diferentes frequências de rotação.
www.aulasapoio.com.br -Física - Movimento CircularBárbara Cristina
Este documento discute o movimento circular e conceitos relacionados. Ele define movimento circular, classifica-o em movimento circular uniforme e movimento circular uniformemente variado, e discute conceitos importantes como deslocamento angular, velocidade angular, período e frequência. Ele também aborda equações do movimento circular, exercícios de aplicação e transmissão de movimento.
1) O documento discute os movimentos de corpos rígidos, que são sistemas de partículas cujas distâncias entre si permanecem constantes no tempo.
2) Corpos rígidos podem se movimentar através de translação, onde todo o corpo se desloca, e rotação, onde partes do corpo giram em torno de eixos.
3) A rotação ocorre quando torques são aplicados ao corpo, fazendo com que seu momento angular mude de acordo com a segunda lei de Newton.
O documento descreve o movimento circular uniforme (MCU), definindo-o como o movimento de uma partícula em uma circunferência com velocidade linear de módulo constante. Explica que, embora a velocidade seja constante, a direção varia, causando uma aceleração centrípeta. Apresenta as definições de período, frequência, velocidade linear, velocidade angular e força centrípeta no contexto do MCU.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento circular uniforme (MCU), incluindo força centrípeta, força centrífuga e suas características. Exemplos de exercícios resolvidos ilustram como calcular período, frequência, velocidade angular, velocidade escalar e aceleração centrípeta para objetos em MCU.
Aula 04 mecância - movimento circular uniformeJonatas Carlos
O documento discute conceitos fundamentais de movimento circular uniforme, definindo grandezas como ângulo horário, velocidade angular média e instantânea, período e frequência. Explica as relações entre essas grandezas e apresenta exercícios sobre aplicações desses conceitos a situações como rotação de ponteiros de relógio e movimento de objetos em órbitas.
Este documento discute conceitos fundamentais de cinemática, incluindo aceleração escalar média e instantânea, movimento acelerado e retardado, movimento uniformemente variado, queda livre, movimento circular uniforme, frequência, ângulo horário, velocidade angular média e relações fundamentais entre essas grandezas. O documento também explica como polias podem ser usadas para acoplar motores a sistemas giratórios que requerem diferentes frequências de rotação.
O documento apresenta um resumo sobre rolamento, torque e momento angular. Discute-se:
1) O rolamento pode ser descrito como uma combinação de rotação e translação ou como uma rotação pura. A energia cinética de um corpo em rolamento é dada por sua energia rotacional mais sua energia translacional;
2) O torque é definido como o produto vetorial entre o vetor posição de uma partícula e a força aplicada sobre ela;
3) O momento angular de um sistema é a soma dos momentos angulares de suas partículas e
O documento discute o movimento circular uniforme (MCU), definindo-o como o movimento em que a trajetória é uma circunferência e a velocidade permanece constante no tempo. Apresenta as definições de frequência, período, velocidade angular e linear, e relaciona essas grandezas no contexto do MCU. Fornece também exemplos do MCU no cotidiano e exercícios sobre o tema.
Este documento apresenta um estudo teórico e experimental sobre as velocidades teóricas e experimentais de uma esfera ao rolar em um plano inclinado. Analisa a comparação entre as velocidades finais teórica e experimental e o ângulo limite a partir do qual ocorre o rolamento puro. Faz isso variando a altura e o ângulo do plano inclinado para encontrar as velocidades e o ângulo limite do deslocamento puro.
O documento discute o cálculo do momento de inércia para vários objetos geométricos. Primeiro, apresenta a fórmula geral para o cálculo do momento de inércia para distribuições contínuas e discretas de massa. Em seguida, aplica esta fórmula para calcular o momento de inércia de objetos como varinhas, discos, cilindros, placas retangulares e esferas.
O documento discute o processo de infiltração da água no solo. Explica que a taxa de infiltração é alta no início, mas diminui com o tempo à medida que a frente de umidade se desloca para baixo no perfil do solo. A taxa de infiltração eventualmente se estabiliza em um valor constante conhecido como VIB. Também descreve fatores que afetam a capacidade de infiltração como o tipo de solo, umidade inicial, cobertura vegetal e compactação.
Este documento apresenta o dimensionamento de um sistema de tratamento de esgoto individual composto por fossa séptica e sumidouro para uma residência com sete moradores localizada em região semiárida. Calcula-se o volume da fossa séptica em 2,6 m3 e as dimensões em 2,7m de largura por 0,8m de comprimento por 1,2m de altura. Já para o sumidouro, definem-se um diâmetro de 1,5m e profundidade de 3m, com área de infiltração de 13,92m2
O documento discute os tipos de precipitação, sua formação e medição. Existem três tipos principais de precipitação: ciclônica, convectiva e orográfica. A precipitação ocorre quando o vapor d'água se condensa em gotículas ao resfriar o ar úmido. Ela é medida por pluviômetros e pluviógrafos, que fornecem dados sobre a altura e intensidade da chuva. Há vários métodos para estimar a precipitação média em uma bacia, como o método aritmé
Este documento apresenta um estudo sobre funções definidas por várias sentenças. Ele contém uma situação descrevendo o trajeto de David com velocidade variando em diferentes etapas e atividades para modelar esta situação com gráficos e equações. Há também exercícios algébricos sobre funções definidas por partes em diferentes intervalos.
Este documento fornece especificações técnicas para a construção de moradias camponesas, incluindo requisitos para fundação, estrutura, alvenaria, cobertura, revestimentos, esquadrias, instalações elétricas e hidráulicas, louças e metais. Detalha os materiais e dimensões permitidos para cada elemento da construção.
Este manual fornece instruções sobre o uso do software AditivoCAD 1LT, descrevendo seus principais comandos e ferramentas para desenho arquitetônico 2D. Inclui tópicos sobre configurações iniciais, bibliotecas de blocos, formatos, desenho de paredes, portas e janelas, plantas de cobertura, escadas e inserção de cotas. O documento ressalta os direitos autorais do software e fornece referências a outras marcas registradas citadas.
O documento lista os requisitos de documentação necessários para propostas de projetos habitacionais individuais ou globais, incluindo formulários, cronogramas, projetos, orçamentos e documentos dos responsáveis técnicos.
O documento lista os documentos necessários para a abertura de uma conta de pessoa física, incluindo documentos de identidade, CPF e comprovante de estado civil do beneficiário, além de formulários e resultados de pesquisas para verificar pendências.
O documento descreve o programa GPS TrackMaker, que permite a comunicação entre GPS e computador para editar waypoints, trilhas e rotas coletados pelo GPS. O programa oferece recursos como mapas vetoriais, edição gráfica de dados, suporte a diversos formatos e sistemas de coordenadas, cálculos, navegação em tempo real e impressão.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
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1. Versão preliminar
24 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
11. ROTAÇÃO.................................................................................................................... 2
AS VARIÁVEIS DA ROTAÇÃO.................................................................................................. 2
Posição angular ............................................................................................................ 2
Deslocamento angular .................................................................................................. 2
Velocidade angular ....................................................................................................... 3
Aceleração angular ....................................................................................................... 3
ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE .............................................................. 3
AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES ................................................................................. 4
A posição ...................................................................................................................... 4
A velocidade escalar..................................................................................................... 4
A aceleração ................................................................................................................. 4
ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO.......................................................................................... 5
MOMENTO DE INÉRCIA......................................................................................................... 5
Teorema dos eixos paralelos ........................................................................................ 6
Alguns exemplos de cálculo de momento de inércia .................................................... 7
TORQUE .......................................................................................................................... 10
A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA A ROTAÇÃO.................................................................... 11
TRABALHO, POTÊNCIA, E O TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINÉTICA............................... 12
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 13
02................................................................................................................................ 13
10................................................................................................................................ 13
12................................................................................................................................ 14
23................................................................................................................................ 14
34................................................................................................................................ 15
40................................................................................................................................ 15
42................................................................................................................................ 16
51................................................................................................................................ 17
73................................................................................................................................ 18
74................................................................................................................................ 19
75................................................................................................................................ 19
81................................................................................................................................ 20
2. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 2
11. Rotação
A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de translação e rotação. No
movimento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo desloca-
mento linear. Por outro lado, no movimento de rotação pura as partes de um corpo des-
crevem trajetórias circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta - chamada
de eixo de rotação. No movimento de rotação pura todas as partes de um corpo sofrem o
mesmo deslocamento angular. O movimento que se aproxima mais de uma situação real
é aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação.
As variáveis da rotação
À semelhança do movimento de translação, para a análise da rotação utilizamos de
parâmetros equivalentes a aqueles definidos anteriormente.
Posição angular
Quando um objeto de um formato arbitrário,
tem uma trajetória circular em torno de um
certo eixo, podemos definir algumas gran-
dezas que descreverão esse movimento.
Podemos marcar um dado ponto do objeto
e analisar o seu movimento. A distância
deste ponto ao eixo de rotação é chamado
de raio r da trajetória. A sua trajetória des-
creve um arco de comprimento s . A posi-
ção angular associada ao arco e o raio é o
ângulo θ .
r
θ s
r
s
rs =∴= θθ
Deslocamento angular
Quando um corpo está em rotação, ele está
variando a sua posição angular de modo
que num dado momento ela é definida pelo
ângulo θ1 e num instante posterior é defini-
da pelo ângulo θ2 , de modo que o deslo-
camento angular entre os instantes conside-
rados é:
∆θ = θ2 - θ1
θ2
θ1
3. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 3
Velocidade angular
A velocidade angular é a taxa com que a posição angular está variando; é a razão
entre o deslocamento angular e o tempo necessário para fazer esse deslocamento.
Definimos a velocidade angular média como:
ttt
w
∆
∆
=
−
−
=
θθθ
12
12
Definimos a velocidade angular instantânea como:
dt
d
t
Limw t
θθ
=
∆
∆
= →∆ 0
Aceleração angular
Quando a velocidade angular de um corpo não é constante mas varia no tempo
com uma certa taxa, esse corpo terá uma aceleração angular.
Definimos a aceleração angular média como:
t
w
tt
ww
∆
∆
=
−
−
=
12
12
α
Definimos a aceleração angular instantânea como:
dt
dw
t
w
Limt
=
∆
∆
= →∆ 0
α
Rotação com aceleração angular constante
À semelhança do movimento de translação com aceleração constante, as equa-
ções para rotação são obtidas integrando-se a equação de movimento:
tecons
dt
dw
tan==α
twwdtwdw αα +=⇒+= ∫∫ 00 ( 1 )
e também:
( )∫∫ ∫ ++=+=⇒= dttwdtwd
dt
d
w αθθθ
θ
000
ou seja:
2
2
0000
t
twdtdtw
α
θθαθθ ++=⇒++= ∫∫ ( 2 )
4. Prof. Romero Tavares da Silva
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A velocidade angular média foi definida de modo que:
tw
t
w +=⇒
−
= 0
0
θθ
θθ
mas quando estamos analisando o movimento com aceleração constante, também pode-
mos definir a velocidade angular média como:
2
0ww
w
+
=
e usando essa equação na anterior, temos que:
−
+
+=
+
+=
α
θθθ 00
0
0
0
22
wwww
t
ww
ou seja:
( )0
2
0
2
2 θθα −+= ww ( 3 )
As variáveis lineares e angulares
A posição
Ao analisarmos o movimento de rotação de um objeto o parâmetro que descreve o
deslocamento espacial é
s = r θ
A velocidade escalar
Quando observamos os corpos rígidos, a rotação se faz com raio constante, ou
seja: cada ponto observado mantém uma distância constante ao eixo de rotação. Desse
modo:
wrv
dt
d
r
dt
ds
v =⇒==
θ
onde v é a velocidade linear de um certo ponto do corpo e w é a velocidade angular
desse ponto considerado. Na realidade, w é a velocidade angular do corpo por inteiro.
A aceleração
De maneira equivalente, a aceleração de uma dado ponto de um corpo é definida
como:
αra
dt
dw
r
dt
dv
a =⇒==
5. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 5
Essa aceleração é também conhecida como aceleração tangencial, pois dá conta
da variação do módulo da velocidade. Como a velocidade é tangencial à curva, para que
o seu módulo varie é necessário uma aceleração nesta direção.
Com a definição dessa aceleração, temos agora dois tipos de aceleração no movi-
mento circular: a aceleração tangencial e a aceleração radial (ou centrípeta), ou seja:
==
=
+=
rw
r
v
a
ra
ondeaaa
R
T
RT
2
2
α
!!!
Energia cinética de rotação
Vamos considerar um conjunto de N partículas, cada uma com massa mi e velo-
cidade iv
!
girando em torno de um mesmo eixo do qual distam ri . A energia cinética
deste sistema é:
( )∑ ∑ ∑
= = =
=
===
N
i
N
i
N
i
iiiiii wIwrmrwmvmK
1 1
22
1
222
2
1
2
1
2
1
2
1
onde ri é a distância de cada partícula ao eixo, w a velocidade angular das partículas
em torno do eixo considerado e definimos o momento de inércia I do conjunto de partí-
culas como:
∑
=
=
N
i
ii
rmI
1
2
Vamos usar a definição de momento inércia principalmente para calcular a energia
cinética de rotação de corpos rígidos. Quando uma roda está girando em torno do seu
eixo, as diversas partes da roda se movem com velocidade diferentes, mas todas as suas
partes têm a mesma velocidade angular. Daí a importância da definição do momento de
inércia para computar a energia cinética associada ao movimento de rotação de um sis-
tema de partículas ou um corpo rígido.
Momento de inércia
Se dividirmos um corpo rígido em pequenas partes, cada parte com uma massa
∆mi , podemos em tese calcular o momento de inércia deste corpo usando a equação
anteriormente apresentada para um sistema de partículas:
∑
=
∆=
N
i
ii mrI
1
2
Se aumentarmos essa subdivisão de modo que aqueles elementos de massa ∆mi
se transformem em grandezas diferencias dm , poderemos identificar como:
∫∑ =∆=
=→∆
dmrmrLimI
N
i
ii
m
2
1
2
0
6. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 6
onde essa é uma integral simbólica que significa a integração sobre todo o volume do
corpo rígido considerado, seja ele de uma, duas ou três dimensões.
Teorema dos eixos paralelos
Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qual-
quer que passe por seu centro de massa, podemos inferir o momento de inércia desse
corpo em relação a qualquer eixo paralelo ao primeiro eixo considerado. Se a distância
entre os dois eixos for H , a massa do corpo for M e ICM for o seu momento de inércia
em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inércia I
mencionado:
I = ICM + M H2
Para demonstrar essa equação vamos considerar um corpo de um formato qual-
quer, como no desenho a seguir. O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular
ao papel, que cruza com a origem do referencial (xy) e que passa pelo centro de massa é
ICM
∫= dmRICM
2
onde dm é um elemento de massa (representado pelo pequeno círculo) localizado pelo
vetor posição R
!
.
HrR
!!!
+=
yjxiR ˆˆ +=
!
bjaiH ˆˆ +=
!
( ) ( )byjaxir −+−= ˆˆ!
y'
y
R
!
r
!
x'
x
H
!
Para calcular o outro momento de inércia vamos considerar um segundo referencial
(x'y') e um segundo eixo que passe pela origem desse referencial e seja perpendicular ao
papel. O momento de inércia em relação a esse segundo eixo é:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∫ ∫∫ +−+++=−+−== dmbyaxbayxdmbyaxdmrI 22222222
Mas
( )∫ ∫ ==+ CMIdmRdmyx 222
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( ) 2222
MHdmHdmba ==+ ∫∫
∫ ∫ === 0222 MXadmxadmax CM
∫ ∫ === 0222 MYbdmybdmby CM
onde nas duas últimas equações utilizamos a premissa inicial que o centro de massa se-
ria escolhido como origem do referencial, e desse modo XCM = YCM = 0 .
Coletando os resultados das últimas equações, encontramos que:
I = ICM + M H2
Alguns exemplos de cálculo de momento de inércia
a. Momento de inércia de um bastão fino de massa M e comprimento L em relação a
um eixo perpendicular ao bastão e que passa por seu centro de massa.
∫= dmrI 2
Vamos considerar a fatia dx , distante x
da origem, que contém uma massa dm .
Podemos usar a proporção:
dx
L
M
dm
L
dx
M
dm
=⇒=
dx
-L/2 L/2 x
x
123
2
2/
2/
32/
2/
2/
2/
22 MLx
L
M
dxx
L
M
dmxI
L
L
L
L
L
L
====
+
−
+
−
+
−
∫ ∫
b. Momento de inércia de um anel de raio R e massa M , em relação a um eixo que
passa pelo centro, perpendicular ao plano do anel.
∫= dmrI 2
Vamos considerar o pedaço de anel limi-
tado pelo ângulo dθ , que contém uma
Vamos considerar o pedaço de anel limi-
tado pelo ângulo dθ , que faz um ângulo
θ com a horizontal e que contém uma
massa dm . Podemos usar a proporção:
dθ
θ
Anel de raio R
θ
ππ
θ
d
M
dm
d
M
dm
=⇒=
22
8. Prof. Romero Tavares da Silva
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2
2
0
22
0
22
22
MRId
MR
d
M
RIdmrI =∴=
=⇒= ∫∫∫
ππ
θ
π
θ
π
c. Momento de inércia de um anel de raio R e massa M , em relação a um eixo que
passa por um diâmetro qualquer.
∫= dmrI 2
A distância r de um elemento de massa
dm ao eixo é:
r = R cosθ
O elemento de massa dm e o ângulo
dθ que limita essa massa se relacionam
como:
θ
ππ
θ
d
M
dm
d
M
dm
=⇒=
22
r
dθ
θ
Anel de raio R
( ) ∫∫∫ =
=⇒=
ππ
θθ
π
θ
π
θ
2
0
2
22
0
22
cos
22
cos d
MR
d
M
RIdmrI
Mas
+=⇒
+
= ∫∫
ππ
θθθ
π
θ
θ
2
0
2
0
2
2
2cos
2
1
2
1
22
2cos1
cos dd
MR
I
ou seja
{ }
222
2sen
2
1
2
1
2
222
0
2
0
2
MR
I
MRMR
I =∴=
+= π
π
θ
θ
π
π
π
d. Momento de inércia de um cilindro anular em torno do eixo central.
O cilindro tem raio interno R1 , raio exter-
no R2 , comprimento L e massa M .
∫= dmrI 2
Vamos considerar uma casca cilíndrica
de raio r , espessura dr e comprimento
L.. O volume dV dessa casca é
dV = (2π r L) dr
A massa dm contida nessa casca é:
dm = ρ dV
logo
dm = 2π L ρ r dr
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[ ] ∫∫ ∫
−
====
2
1
2
1 4
222
4
1
4
2322
R
R
R
R
RR
LdrrLrdrLrdmrI πρπρρπ
Mas
( )
( )2
1
2
2
2
1
2
2
RRL
M
V
M
RRLV
−
==⇒−=
π
ρπ
então
( )
( )2
1
2
22
1
2
2
4
1
4
2
22
RR
M
I
RRL
MRR
LI +=⇒
−
−
=
π
π
e. Momento de inércia de um cilindro sólido de massa M , raio a e comprimento L em
relação ao diâmetro central
z
Eixo
z
r
dm
Eixo
∫= dmRI 2
dV
La
M
dV
V
M
dVdm 2
π
ρ ===
O elemento de massa dm está limitado
pelo ângulo dθ e dista R do eixo , que
no desenho está na horizontal.
222
' zrR +=
θsen' rr =
( )( )( )dzdrrddV θ=
( ) ( )[ ]dzdrdrzrI
aL
L
θρ
π
∫∫∫ +=
+
−
2
0
22
0
2/
2/
'
z
r
θ
z R
Eixo
r'
θ
z R
r r'
( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫
+
−
+
−
+
−
+=+=
2/
2/
2
0
2
0
2/
2/0
3
2
0
2
2/
2/
222
0
2
0
sensen
L
L
aL
L
aL
L
a
dzzdrrddzdrrddzzrdrrdI
πππ
θρθθρθθρ
10. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 10
Mas
2
2cos1
sen2 θ
θ
−
=
logo
πθπθθθθθ
π
πππ
=−=+= ∫∫∫
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2sen2
2
1
2
2
1
2cos
2
1
2
1
sen ddd
ou seja:
( ) ( ) ( )
12443
1
2
2
4
324324
LaLaLa
L
a
I
ρπρπ
πρπρ +=
+
=
124124
2222
2 MLMa
I
La
LaI +=⇒
+= ρπ
Torque
Define-se o troque τ
!
produzido pela força F
!
quando ela atua sobre uma partícula
como sendo o produto vetorial dessa força
pelo vetor posição da partícula:
Fr
!!!
×=τ
Se no exemplo da figura ao lado de-
finirmos o plano da folha de papel com sen-
do x - y o torque estará ao longo do eixo z
e será um vetor saindo da folha
F
!
M
r
!
o
Convenção para simbolizar um vetor
saindo perpendicular à folha.
Convenção para simbolizar um vetor
entrando perpendicular à folha.
Nesse exemplo ao lado, em
particular, o resultado do produto vetorial é
( )θτ senˆ FrkFr =×=
!!!
onde
τ = r F senθ = r F⊥
Podemos perceber que apenas a
componente F⊥ da força F
!
é quem
contribui para o torque.
y
F
!
θ
F⊥
F||
r
!
x
11. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 11
Podemos visualizar o resultado do produto
vetorial de uma maneira equivalente à ante-
rior, ou seja:
( )θτ senˆ FrkFr =×=
!!!
onde
τ = r F senθ = r⊥ F
r⊥ = braço de alavanca
r|| = linha de ação
y
F
!
r
!
θ
r||
x
r⊥
A segunda Lei de Newton para a rotação
A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movi-
mentos que envolvem rotação. Se fizermos a decomposição da força aplicada a uma par-
tícula segundo as suas componentes perpendicular e paralela ao vetor posição dessa
partícula, teremos:
amF
!!
=
F|| = m a||
e
F⊥ = m a⊥
Mas, quando consideramos o torque associado a essa força, temos:
τ = r F⊥ = m r a⊥ = m r ( r α ) = ( m r2
) α
e o torque toma a forma:
τ = I α
onde I é o momento de inércia da partícula considerada.
Se tivermos N partículas girando em torno de um eixo cada uma delas sob a ação
de uma força, teremos um torque associado à essa força, onde:
∑∑
==
×==
N
i
ii
N
i
i Fr
11
!!!
ττ
Mas
τ = Σ ri Fi⊥ = Σ ri mi ai⊥ = Σ ri mi ( ri α ) = Σ ( mi ri
2
) α
τ = I α
12. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 12
Trabalho, potência, e o teorema do trabalho - energia cinética
Para calcular o trabalho elementar
dW executado por uma força F
!
temos
que:
rdFdW
!!
⋅= = F⊥ dr = F⊥ r dθ
dW = τ dθ
∫=
f
i
dWif
θ
θ
θτ
Mas
dt
dw
II == ατ
F
!
rd
!
dθ
r
!
e
( ) dwwI
dt
d
Idwd
dt
dw
Id ==
=
θ
θθτ
ou seja:
ififif
w
w
w
w
if
KKwIwIW
w
IdwwIIdW
f
i
f
i
f
i
−=−=⇒=== ∫∫
22
2
2
1
2
1
2
θ
θ
θτ
Para calcular a potência P associada à atuação da força F
!
, devemos consi-
derar que:
dW = τ dθ
e também que:
wP
dt
d
dt
dW
P τ
θ
τ =⇒==
13. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 13
Solução de alguns problemas
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
02 Durante um intervalo de tempo t , a turbina de um gerador gira um ângulo
θ = a t + b t3
- c t4
, onde a , b e c são constantes.
a) Determine a expressão para sua velocidade angular.
32
43 ctbta
dt
d
w −+==
θ
b) Determine a expressão para sua aceleração angular.
2
126 ctbt
dt
dw
−==α
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
10 Uma roda tem oito raios de 30cm . Está montada sobre um eixo fixo e gira a
2,5rev/s . Você pretende atirar uma flecha de 20cm de comprimento através da
roda, paralelamente ao eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha
que tanto a flecha quanto os raios são muito finos.
a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter?
r = 30cm = 0,30m
w = 2,5rev/s = 2,5 . 2πrad/s
L = 20cm = 0,20m
A flecha vai atravessar a roda usando
as "fatias" de vazio entre dois raios. A
distância angular entre dois raios é de
2π/8 radianos.
Quando a roda gira, os raios se movem e depois de um certo tempo t0 um raio
passa a ocupar a posição do raio adjacente. Nesse tempo, cada raio "varre" to-
talmente o espaço entre a sua posição inicial e a posição do raio adjacente e
nesse movimento se desloca de θ0 = 2π/8 radianos . É precisamente esse tem-
po que dispõe a flecha para atravessar a roda.
w
twt 0
000
θ
θ =∴=
A flecha tem comprimento L , e dispõe de um tempo t0 para atravessar a roda,
logo:
00
0
θ
Lw
t
L
vvtL ==⇒= = 4,0m/s
14. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 14
b) A localização do ponto em que você mira, entre o eixo e a borda, tem importân-
cia? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?
Não tem importância a distância do eixo onde se mira, pois sempre teremos dis-
ponível o mesmo ângulo. Se perto da borda dispomos de um espaço linear mai-
or, mas a velocidade linear da roda também é maior. Se mirarmos perto do eixo
teremos um espaço linear menor, mas a velocidade linear da roda também é me-
nor. Em suma, a velocidade angular é a mesma para todos os pontos.
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
12 Um prato de toca-discos, rodando a 33 1/3 rev/min , diminui e pára 30s após o
motor ser desligado.
a) Determine a sua aceleração angular (uniforme) em rev/min2
.
w0 = 33,33rev/min
t = 30s = 0,5min
w = 0
t
w
t
ww
tww 00
0 −=
−
=⇒+= αα = -66,66rev/min2
b) Quantas revoluções o motor realiza neste intervalo?
2
2
0
t
tw
α
θ += =8,33rev
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
23 Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular
constante, até alcançar a rotação de 10rev/s . Depois de completar 60 revoluções ,
a sua velocidade angular é de 15rev/s .
w0 = 0
w1 = 10rev/s
θ2 = 60rev
w2 = 15rev/s
a) Calcule a aceleração angular.
θ
ααθ
2
2
2
1
2
22
1
2
2
ww
ww
−
=⇒+= = 1,02rev/s2
b) Calcule o tempo necessário para completar as 60 revoluções .
α
α 12
2212
ww
ttww
−
=⇒+= = 4,80s
15. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 15
c) Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de 10rev/s .
α
α 01
1101
ww
ttww
−
=⇒+= = 9,61s
d) Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 10rev/s .
α
θαθ
2
2
2
0
2
1
11
2
0
2
1
ww
ww
−
=⇒+= = 48,07rev
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
34 Uma certa moeda de massa M é colocada a uma distância R do centro de um
prato de um toca discos. O coeficiente de atrito estático é µE . A velocidade angular
do toca discos vai aumentando lentamente até w0 , quando, neste instante, a moeda
escorrega para fora do prato. Determine w0 em função das grandezas M , R , g e
µE .
amNPFa
!!!!
=++
=
=−
maF
NP
a
0
Fa = µE N = µE m g ⇒ a = µE g
Mas
( )
Rwm
R
Rw
m
R
v
mma 2
0
2
0
2
===
ou seja:
a = w0
2
R = µE g
R
g
w Eµ
=0
R
N
!
aF
!
P
!
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
40 Um carro parte do repouso e percorre uma trajetória circular de 30m de raio. Sua
velocidade aumenta na razão constante de 0,5m/s2
.
a) Qual o módulo da sua aceleração linear resultante , depois de 15s ?
==
=
+=
rw
r
v
a
ra
ondeaaa
R
T
RT
2
2
α
!!!
v
!
Ta
!
Ra
!
16. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 16
2
/0166,0
60
1
srad
r
a
ra T
T ===⇒= αα
( ) rtwrwaR
2
0
2
α+== = 1,875m/s2
=+= 22
TR aaa 1,94m/s2
aT = 0,5m/s2
w0 = 0
t = 15s
r = 30m
b) Que ângulo o vetor aceleração resultante faz com o vetor velocidade do carro
nesse instante?
T
R
a
a
=θtan = 3,75
θ = 75,060
a
!
θ
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
42 Quatro polias estão conectadas por duas correias conforme mostrado na figura a se-
guir. A polia A ( rA = 15cm ) é a polia motriz e gira a 10rad/s . A polia B ( rB = 10cm )
está conectada à A pela correia 1 . A polia B' ( rB' = 5cm ) é concêntrica à B e está
rigidamente ligada à ela. A polia C ( rC = 25cm ) está conectada à polia B' pela correia
2.
a) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 1.
wA = 10rad/s
rA = 15cm = 0,15m
rB = 10cm = 0,10m
rB' = 5cm = 0,05m
rC = 25cm = 0,25m
vA = wA rA = 10 . 0,15 = 1,5 m/s
b) Calcule a velocidade angular da polia B.
vA = vB = wB rB
B
A
A
B
A
B
r
r
w
r
v
w == =15rad/s
Correia 1
rA
Polia B
rB rB'
Polia A
Correia 2
Polia C
rC
c) Calcule a velocidade angular da polia B'.
wB' = wB = 15rad/s
17. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 17
d) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 2.
vB' = wB' rB' = wB rB' = 15 . 0,05 = 0,75m/s
e) Calcule a velocidade angular da polia C.
C
BB
C
B
CCCCB
r
rw
r
v
wrwvv ''
' ==⇒== =3rad/s
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
51 Duas partículas de massa m cada uma, estão ligadas entre si e a um eixo de rota-
ção em O , por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada um,
conforme mostrado na figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação
com velocidade angular w .
a) Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto
em relação a O .
Já foi calculado anteriormente que o
momento de inércia de um bastão fino
de massa M e comprimento L em
relação a um eixo perpendicular ao
bastão e que passa por seu centro de
massa, vale ML2
/12 .
Por outro lado, o teorema dos eixos
paralelos diz que: se a distância entre
os dois eixos for H , a massa do corpo
for M e ICM for o seu momento de
w
L m
L m
Eixo (perpendicular à folha )
inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o mo-
mento de inércia I mencionado:
I = ICM + M H2
Vamos calcular o momento de inércia de cada componente desse conjunto:
I1 = Momento de inércia da partícula mais afastada.
I1 = M ( 2L )2
= 4 m L2
I2 = Momento de inércia do bastão mais afastado. A distância do centro de massa
desse bastão até o eixo vale 3L/2 , logo:
2
22
2
12
28
2
3
12
ML
L
M
ML
I =
+=
I3 = Momento de inércia da partícula mais próxima.
I3 = M ( L )2
= m L2
18. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 18
I4 = Momento de inércia do bastão mais próximo. A distância do centro de massa
desse bastão até o eixo vale L/2 , logo:
2
22
4
12
4
212
ML
L
M
ML
I =
+=
Finalmente:
2222
4321
12
4
12
28
4 MLmLMLmLIIIII +++=+++=
22
3
8
5 MLmLI +=
b) Determine algebricamente a expressão para a energia cinética de rotação do
conjunto em relação a O .
222
3
4
2
5
2
1
LwMmwIK
+==
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
73 Numa máquina de Atwood, um bloco tem massa 500g e o outro 460g . A polia, que
está montada sobre um suporte horizontal sem atrito, tem um raio de 5cm . Quando
ela é solta, o bloco mais pesado cai 75cm em 5s . A corda não desliza na polia.
a) Qual a aceleração de cada bloco?
m1 = 500g = 0,5kg
m2 = 460g = 0,46kg
R = 5cm = 0,05m
v0 = 0
h = 75cm = 0,75m
t = 5s
2
2
0
2
2 t
h
a
at
tvh =⇒+= = 0,06m/s2
b) Qual a tensão na corda que suporta o bloco
mais pesado?
amTpamTp 1111111 =−⇒=+
!!!
T1 = p1 - m1 a = m1 (g - a) = 4,87N
c) Qual a tensão na corda que suporta o bloco
mais leve?
ampTamTp 2222222 =−⇒=+
!!!
T2 = p1 + m1 a = m2 (g + a) = 4,93N
1F
!
2F
!
1T
!
m1
2T
!
1p
!
m2
2p
!
19. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 19
d) Qual a aceleração angular da polia?
r
a
ra =⇒= αα = 1,2rad/s2
e) Qual o seu momento de inércia?
τ = I α ⇒ F1 r - F2 r = I α
( )
α
rTT
I 21 −
= = 0,0141kg.m2
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
74 A figura a seguir mostra dois blocos de massa m suspensos nas extremidades de
uma haste rígida, de peso desprezível, de comprimento L = L1 + L2 , com L1 = 20cm
e L2 = 80cm . A haste é mantida na posição horizontal e então solta. Calcule a acele-
ração dos dois blocos quando eles começam a se mover.
L1 = 20cm = 0,2m
L2 = 80cm = 0,8m
τ = I α
m g L2 - m g L1 = I α
Mas
2
2
2
1 mLmLI +=
Logo
L1 L2
CF
!
EF
!
DF
!
( ) ( ) g
LL
LL
LLmLLmg
+
−
=⇒+=− 2
1
2
2
122
2
2
112 αα = 8,64rad/s2
+=+=
−=−=
2
22
2
11
/91,6
/72,1
smLa
smLa
α
α
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
75 Dois blocos idênticos, de massa M cada uma, estão ligados por uma corda de mas-
sa desprezível, que passa por uma polia de raio R e de momento de inércia I . A
corda não desliza sobre a polia; desconhece-se existir ou não atrito entre o bloco e a
mesa; não há atrito no eixo da polia.
Quando esse sistema é liberado, a polia gira de um ângulo θ num tempo t , e a
aceleração dos blocos é constante
20. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 20
a) Qual a aceleração angular da polia?
2
2
0
2
2 t
t
tw
θ
α
α
θ =⇒+=
b) Qual a aceleração dos dois blocos?
2
2
t
R
Ra
θ
α ==
c) Quais as tensões na parte superior e
inferior da corda? Todas essas res-
postas devem ser expressas em fun-
ção de M , I , R , θ , g e t .
maFPamTP =−⇒=+ 11111
!!!
( )agmFamPF −=⇒−= 111
N
!
M 2T
!
2F
!
R, I
1F
!
2P
!
1T
!
M
1P
!
−= 21
2
t
R
gmF
θ
R
IFFIRFRFI
α
αατ −=∴=−⇒= 1221
+−=
R
I
mR
t
mgF 22
2θ
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a
. edição
81 Um bastão fino de comprimento L e massa m está suspenso livremente por uma
de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente para oscilar como um pêndulo,
passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular w .
a) Calcule a sua energia cinética ao passar por esse ponto.
O momento de inércia de uma haste em
relação a um eixo perpendicular que
passe por sua extremidade é:
3
2
mL
I =
A energia cinética tem a forma:
62
1 22
2 Lmw
wIK ==
h
21. Prof. Romero Tavares da Silva
Cap 11 romero@fisica.ufpb.br 21
b) A partir desse ponto, qual a altura alcançada pelo seu centro de massa? Despre-
ze o atrito e a resistência do ar.
Usando a conservação da energia mecânica, encontramos que:
g
Lw
mg
wI
hmghwIUK FI
622
1 222
2
==∴=⇒=