As informações essenciais do documento são: 1) O documento apresenta várias questões sobre álgebra linear e operações matriciais como soma, subtração, multiplicação e potenciação de matrizes. 2) Muitas questões envolvem o cálculo de expressões matriciais complexas a partir de dados numéricos fornecidos em matrizes. 3) Algumas questões abordam interpretação e análise de dados apresentados em matrizes no contexto de sistemas de transporte, comunicação e vendas.

1. Uni-BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Prof. Laurito
1) Dadas as matrizes A = [
2 3 5
4 6 1
3 3 7
], B = [
−1 3 −4
9 −5 2
−2 5 4
], C = [
8 7 5
3 −1 −3
−2 −4 −9
] e
D = [
−3 −4 −7
−6 −5 4
0 2 9
], determine o que se pede:
a) 2A+3B
b) 5C-4D+3B
c) AB + CD
d) CAC
e) C2
A
f) AC2
g) (AC)2
h) DBA
i) ABCD
j) (2A + B)(C + 3D)
k) (3B – 4C)2
l) A5
2) Considere as matrizes A = [
2 4 1
3 0 7
6 2 4
] e B = [
22 10 34
48 26 31
42 32 36
]. Calcule AB e BA.
3) Considere as matrizes A = [
1 3 7 7
6 4 6 9
], B = [
2 5 7
3 6 11
8
4
2
7
3
6
] e C = [
7 11
6 7
9 4
]. Calcule:
a) ABC
b) BCA
c) CAB
4) Sejam A = [
3 5 8 7
9 11 4 3
6
7
12
4
3 5
7 3
] e B = [
5 6 1 3
4 1 2 5
7
9
2
14
2 6
4 1
]. Calcule:
a) A2
b) B2
c) 2 A B
d) A2
+ 2AB + B2
e) (A+B)
f) (A+B)2
5) Cinco cidades, numeradas de 1 a 5, devem ser visitadas por um vendedor. Na matriz
abaixo, a distância (em km) entre a cidade de número i e a cidade de número j é dada
pelo elemento aij.
𝐷 =
[
0 231 342 541 331
231 0 522 147 162
342
541
331
522
147
162
0 794 32
794 0 422
32 422 0 ]

2. a) Quais são as cidades mais próximas ?
b) E as mais afastadas ?
c) Laurito saiu da cidade 1 e visitou, nessa ordem, as cidades 5, 4, 3 e 2, retornando
depois para a cidade 1. Qual foi a distância que ele percorreu ?
d) Você também deve sair da cidade 1, visitar cada uma das demais cidades, e retornar
depois para a cidade 1. Qual rota você seguiria para percorrer a menor distância
possível ? Explique seu raciocínio.
6) Considere as matrizes I = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] e A = [
3 2 5
−6 7 −4
0 3 6
]. Calcule AI e IA.
7) Um mercado oferece quatro marcas de um mesmo produto, chamadas de marca 1,
marca 2, marca 3 e marca 4. Na matriz P dada abaixo, o elemento que está na linha i e
na coluna j representa a probabilidade de quem tem um produto da marca i comprar
um produto da marca j quando for trocar seu produto por um mais novo.
𝑃 = [
12% 20% 38% 30%
42% 37% 10% 11%
40%
2%
40%
3%
0% 20%
5% 90%
]
a) Explique o significado do número 42% que está na 2ª linha e 1ª coluna
b) Uma das marcas está com graves problemas para manter seus clientes. Qual
delas ?
c) Se você fosse comprar o controle administrativo de uma dessas marcas para
investir seu dinheiro, qual você compraria ? Por que ?
8) Em uma questão de prova, Laurito deu uma matriz A do tipo 8x3 e uma matriz B do
tipo 3x8 e pediu para que os atleticanos calculassem AB e os cruzeirenses calculassem
BA. Quem fez menos contas: atleticanos ou cruzeirenses ?
9) Sabendo que 3 [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] = [
𝑥 6
−1 2𝑡
] + [
4 𝑥 + 𝑦
𝑧 + 𝑡 3
], determine o valor de x + yz + t
10) Considere a função f(x) = x3
+ 2x2
+ 3x e a matriz A = [
3 2 1
4 2 7
2 7 1
]. Calcule:
a) f(2)
b) f(3)
c) f(A)
11) Considere as matrizes A = [
1 0
3 −3
], B = [
−1 6
5 4
] e C = [
10 12
−3 4
]. Determine uma
matriz X tal que 3X + A = 2B + C.

3. 12) Considere as matrizes A = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , 𝐵 = [
3 1
−2 2
] 𝑒 𝐶 = [
5 7
−5 9
] . Determine o valor
de a, b, c e d para que AB = C.
13) Considere as matrizes A = [
𝑎 𝑏
−
𝑎2
𝑏
−𝑎
] e B = [
0 0
𝑐 0
]. Determine o valor de A2
+ B2
.
14) Três lojas – L1, L2 e L3 – vendem três produtos – P1, P2 e P3. Na matriz abaixo, o
elemento que está na linha i e coluna j representa a quantidade de unidades do
produto Pi vendido na loja Lj.
𝑄 = [
30 19 20
15 10 8
12 16 11
]
a) Quantos produtos do tipo P1 foram vendidos na loja L2 ?
b) Qual dos três produtos foi o mais vendido na loja L3 ?
c) Qual loja vendeu mais unidades do produto P3 ?
d) Qual o total de unidades vendidas do produto P1 pelas três lojas ?
15) Considere as matrizes A = [
5 8 2
4 8 9
3 3 2
] e B = [
1 2 −2
3 −1 4
2 −2 −7
]. Determine o valor de A2
B2
.
16) Uma empresa de comunicação tem uma rede de nove antenas de transmissão,
chamadas de antena 1, antena 2, antena 3, ..., antena 9. Cada antena de transmissão
tem uma potência e, consequentemente, com um alcance diferente.
Na matriz dada abaixo, se o elemento da linha i e coluna j é 1 significa que a antena de número
i consegue transmitir para a antena de número j. Mas se o elemento da linha i e coluna j é 0
significa que a antena de número i não consegue transmitir para a antena de número j.
(
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
1 1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1
1 1 0)
Laurito está na antena 9 e precisa transmitir uma mensagem para a antena 5.
a) A antena 9 consegue transmitir diretamente para a antena 5 ?
b) Para que a mensagem de Laurito chegue na antena 5, ela será transmitida a uma outra
antena, que a retransmitirá a outra antena, e assim, sucessivamente, até a antena 5.
Qual trajeto a mensagem pode seguir até chegar à antena 5 ?

4. 17) Considere a matriz A = [
2 −3 1 1
4 −2 −1 3
5
−3
−2
1
2 3
3 −1
] . Determine o valor de A2
.
18) Uma empresa aérea opera em nove cidades, chamadas de cidade 1, cidade 2, cidade 3,
..., cidade 9.
Na matriz dada abaixo, se o elemento da linha i e coluna j é 1 significa que existe um voo que
decola da cidade de número i e pousa na cidade de número j. Mas se o elemento da linha i e
coluna j é 0 significa que não existe voo que decola da cidade de número i e pousa na cidade
de número j.
(
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 1
0 0 0
1 1 0
1 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
1 1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1
1 1 0)
Laurito está na cidade 5 e precisa ir para a cidade 1.
a) Existe um voo direto saindo da cidade 5 e chegando na cidade 1 ?
b) Para Laurito ir da cidade 5 para a cidade 1 ele deve passar em algumas cidades. Qual
trajeto Laurito pode seguir até chegar à cidade 1 ?
19) Vimos na sala de aula como criar uma matriz a partir do jogo Joquenpô ou Pedra-
Papel-Tesoura. Era uma matriz A3x3 em que tínhamos 1=Pedra, 2 = Papel, 3 = Tesoura e
𝑎𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑒 𝑖 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑗
0 𝑠𝑒 𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑗
−1 𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑗
a) Qual foi a matriz obtida na sala de aula ?
b) Você já ouviu falar do jogo pedra-papel-tesoura-lagarto-Spock ? Ele apareceu na série
The Big Bang Theory, na qual o personagem Dr. Sheldon Cooper explica suas regras.
Veja no filme do YouTube que está em
http://www.youtube.com/watch?v=abQj0pQkSOY.
Se você ainda não entendeu, pesquise um pouco mais sobre esse jogo na internet e
entenda suas regras.
Para essa questão, você deve explicar as regras do jogo pedra-papel-tesoura-lagarto-Spock
e construir a matriz associada a esse jogo. Essa matriz deve ser do tipo 5x5. Considere
1=Pedra, 2 = Papel, 3 = Tesoura, 4 = Lagarto e 5 = Spock e considere também que

5. 𝑎𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑒 𝑖 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑎 𝑑𝑒 𝑗
0 𝑠𝑒 𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑗
−1 𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑗
20) Considere as matrizes A3x5 e B5x4 dadas por:
𝑎𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
2 𝑠𝑒 𝑖 − 𝑗 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2
3 𝑛𝑜𝑠 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
𝑏𝑖𝑗 = {
𝑖 𝑗
𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
𝑗 𝑖
𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗
Calcule o valor de AB – BA.
QUESTÕES PARA O TRABALHO (Entregar em maio)
1) Considere as cinco cidades abaixo, assim numeradas:
1 – Belo Horizonte
2 – Rio de Janeiro
3 – Salvador
4 – Vitória
5 – São Paulo
Temos duas matrizes 5x5. Na matriz A, o elemento aij vale 1, se existe um voo que decola da
cidade i e vai diretamente e sem paradas até a cidade j, e vale 0 caso não exista um voo assim.
Já na matriz B, o elemento aij mostra o preço cobrado para ir diretamente e sem parada da
cidade i para a cidade j.
A =
[
0 1 0 1 0
0 0 1 1 1
1
0
1
0
1
0
0 0 0
0 0 1
0 1 0]
B =
[
0 250 0 300 0
0 0 450 150 180
550
0
200
0
180
0
0 0 0
0 0 300
0 350 0 ]
Assinale V ou F conforme as afirmativas dadas abaixo sejam, respectivamente, verdadeiras ou
falsas, justificando todas suas respostas.
a) ( ) A cidade de onde sai a maior quantidade de voos é Vitória
b) ( ) É possível ir diretamente e sem paradas de Belo Horizonte para o Rio de Janeiro
pagando R$ 250,00
c) ( ) Todos passageiros que desejam ir para Salvador devem, obrigatoriamente, fazer
uma escala no Rio de Janeiro.
d) ( ) Para se ir do Rio de Janeiro para Vitória ou de Vitória para o Rio de Janeiro paga-se
a mesma tarifa.
e) ( ) Todo avião que chega em Salvador decola com destino a Vitória.
f) ( ) O preço mais barato a se pagar para ir do Rio de Janeiro para Belo Horizonte é R$
1000,00, passando por Salvador.

6. 2) Dada a matriz A = [
2 3 −5
−2 4 0
3 −2 −1
], quais as posições (linha e coluna) dos elementos
negativos de A2
?