ANALISE combinatória Matemática probabilidade

1
Assunto: Análise
Combinatória
Profª: SIMONE
QUEIROZ
Nome
:
Escola Estadual Regueira
Costa
Data:
- Princípio fundamental da contagem
Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo
que a Regra do Produto, um princípio
combinatório que indica quantas vezes e as
diferentes formas que um acontecimento pode
ocorrer.
O acontecimento é formado por dois estágios
caracterizados como sucessivos e
independentes:
• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos
distintos.
• O segundo estágio pode ocorrer de n modos
distintos.
Desse modo, podemos dizer que o número de
formas diferente que pode ocorrer em um
acontecimento é igual ao produto: m . n
Exemplos
1. Alice decidiu comprar um carro novo, e
inicialmente ela quer se decidir qual a modelo e a
cor do seu novo veículo. Na concessionária onde
Alice foi há três tipos de modelos que são do
interesse dela: Sandero Stepway, Tucson e
EcoSport, sendo que para cada carro há 5
opções de cores: preto, vinho, amarelo, vermelho
e prata.
Qual é o número total de opções que Alice
poderá fazer?
2. Lançando um dado duas vezes seguidas,
quais as possibilidades de obtermos soma igual a
8?
3. No lançamento de um dado e de uma moeda,
quantos são os resultados possíveis?
4. Quantos são os anagramas da palavra
CESTO? Quantos iniciam e terminam com vogal?
Quantos as consoantes não ficam juntas?
5. Uma escola tem 6 portas. De quantas
maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair
da escola?
6. Lançando um dado duas vezes seguidas,
quais as possibilidades de obtermos na soma um
número ímpar?
Fatorial
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos
o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como
sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! =
b) 4! =
c) observe que 6! = 6.5.4!
1. De quantas maneiras podemos organizar 7
alunos numa fila?
2. Simplificar as frações:
a)
!
3
!
5
b)
!
7
!
10
c)
!
9
!
12
d)
!
5
!
2
e)
!
9
!
6
f)
!
3
!
4
!
7
g)
!
4
!
5
!
10
h)
!
9
!
5
!
7
!
10
i)
!
4
!
5
!
6
!
8
j) 1! + 3! k) 2! + 6! l) 5! + 0! – (3!)
m) 4! – (5!)
PERMUTAÇÃO
Pn = n!
Exercícios
1. Calcular o número de anagramas da palavra
TRANCO.
2. Com os algarismos 1, 3, 4, 6, 7 e 9, quantos
números pares de seis algarismos distintos
podemos escrever?
3. Quantos números de 4 algarismos podemos
formar com os símbolos 0, 2, 4, 6 e 8?
- Permutação com elementos repetidos
A expressão do número de permutações com
repetição é:
Pn
(n
1
, n
2
, n
3
, ... , n
k
)
=
Exercícios
1. Quantos são os anagramas da palavra
CANDIDATA ? 30.240
2. Quantos números pares obteremos
permutando os algarismos 1, 2, 2, 3, 3, 3 e 4?
180
3. Numa mesa de bilhar há 4 bolas vermelhas, 3
bolas brancas, 2 bolas amarelas e uma verde,
encostadas umas nas outras, em linha reta. De
quantas maneiras podemos dispor estas bolas?
12.600
4. Considere os anagramas da palavra
PROFESSOR:
a) quantos são? 45.360
b) quantos começam por P? 5.040
c) quantos começam por R? 10.080
d) quantos começam por vogal? 15.120
ARRANJO
An , k =
Exercícios
1. Quantos números de 3 algarismo distintos
podem ser escrito com os algarismos 1, 3, 4, 5, 6,
8 e 9? 210
2. Quantas linhas telefônicas formada de 7
algarismos podemos formar, com todos

2
algarismos distintos, começando com 5 e
terminando com 0? 6.720
3. Dez meninas apostam uma corrida. De
quantos modos diferentes pode ser formado o
grupo das três primeiras colocadas? 720
4. Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma
camiseta, uma bermuda e um par de tênis.
Sabendo que ele dispõe de seis camisetas,
quatro bermudas e três pares de tênis, de
quantas maneiras distintas poderá vestir-se?
5. Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é
formado por uma sequência de três algarismos
distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo
das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão
leva 3 minutos para testar uma possível
sequência, qual o tempo máximo para o ladrão
abrir o cofre?
COMBINAÇÃO
Cn , k =
Exercícios
1. Quantas comissões de 3 elementos podemos
formar com um grupo de 8 pessoas? 56
2. Numa sessão em que estão presentes 18
deputados, 4 serão escolhidos para uma
comissão que vai estudar um projeto do governo.
De quantos modos diferentes poderá ser formada
esta comissão? 3.060
3. Retirando-se 5 cartas de um baralho de 52
cartas, quantas possibilidades existem de saírem
3 valetes nesta retirada? 4.512
4. No final de uma reunião, foram trocados 28
apertos de mão. Sabendo-se que cada pessoa
cumprimentou todas as outras, quantas pessoas
havia nessa reunião? 8
5. De quantas maneiras distintas um grupo de 10
pessoas pode ser dividido em 3 grupos de 5, 3 e
2 pessoas? 2.520
Exercícios mistos
1. Calcular o valor da expressão:
X = 3.A10,2 – 2P4 + C10,1
2. Um jantar constará de três partes: entrada,
prato principal e sobremesa. De quantas
maneiras distintas ele poderá ser composto, se
há como opções oito entradas, cinco pratos
principais e quatro sobremesas?
3. Quantos números de 4 algarismos podemos
formar com os 10 primeiros números naturais?
4. Quantos números distintos podem ser
formados permutando-se os algarismos do
número 21.421?
5. Num colégio há 7 professores de Matemática,
5 de Física e 4 de Química. Quantas comissões
podemos formar com 3 professores de cada
disciplina?
6. (FCChagas- BA) Considerem-se todos os
anagramas da palavra MORENA. Quantos deles
têm todas as vogais juntas?
a) 36 b) 72 c) 120 d) 144 e) 180
7. (FATEC-SP) Quantos números distintos entre
si e menores que 30.000, têm exatamente 5
algarismos não repetidos e pertencem ao
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
a) 90
b) 120
c) 180
d) 240
e) 300
8. Considere a palavra MATRIZES. Quantos
grupos de 4 letras distintas podemos formar:
a) com as letras dessa palavra?
b) começando com a letra T?
c) terminando com as letras ZE?
e) que não comece com a letra A?
9. (UFR-RJ) Em uma sala estão 6 rapazes e 5
moças. Quantas comissões podemos formar,
tendo em cada comissão 3 rapazes e 2 moças?
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250
10. (U. Gama Filho-RJ) Com os algarismos 0, 1,
2, 3, 4 e 5, quantos múltiplos de 5 compostos de
três algarismos distintos podemos formar?
a) 32 b) 36 c) 40 d)60 e) 72
11. (F.I. Anápolis-GO) O número de maneiras
que posso presentear 6 amigos com 6 camisetas
diferentes é:
a) 6 b) 36 c) 720 d) 4 320 e) 66
12. (U. Católica de Salvador-BA) Os
organizadores de um Congresso convidaram 5
conferencistas para proferirem palestras nos 5
dias do evento. Sabendo-se que a programação
previa 1 palestra por dia, o número de maneiras
distintas que as palestras podem ser
programadas, nesses cinco dias, é igual a:
a) 20
b) 25
c) 50
d) 90
e) 120
13. (UF – BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola,
goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule
de quantos sabores diferentes pode-se preparar
um suco, usando-se três frutas distintas.
14. Uma empresa distribui a seus funcionários
um questionário constituído de duas partes. Na
1ª, o funcionário deve colocar a ordem de
preferência de turno de trabalho: diurno,
vespertino e noturno. Na 2ª, o funcionário deve
escolher, em ordem de preferência, dois dos sete
dias da semana para folgar. De quantas
maneiras um funcionário poderá preencher esse
questionário?

3
Exercícios de permutações simples
1. Com as vogais: A, E, I, O e U, quantas
permutações podem ser formadas contendo as
letras: A, e I.
2. De quantos modos distintos podemos
colocar 3 livros juntos em uma estante de
biblioteca?
3. De quantos modos distintos 5 pessoas
podem sentar-se em um banco de jardim com 5
lugares?
4. Qual é o número possível de anagramas
que se pode montar com as letras da palavra
AMOR?
5. Quantos números com cinco algarismos
podemos construir com os números ímpares
1,3,5,7,9.
6. Quantos números com cinco algarismos
podemos construir com os números ímpares
1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os
algarismos 1 e 3.
Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e
31 forma um grupo que junto com os outros,
fornece 4 grupos.
7. Consideremos um conjunto com n letras.
Quantas permutações começam por uma
determinada letra?
8. Quantos são os anagramas possíveis com
as letras: ABCDEFGHI?
as letras: ABCDEFGHI, começando por A?
as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?
as letras: ABCDEFGHI, começando por ABC?
as letras: ABCDEFGHI, começando por uma das
letras A, B ou C?
as letras: ABCDEFGHI, começando pelas três
letras do grupo ABC?
as letras: ABCDEFGHI, começando por uma
vogal e terminando por uma consoante?
15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com
camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com
camisas azuis e 2 com camisas brancas. De
quantos modos podemos perfilar todas essas 10
pessoas de modo que os grupos com as camisas
de mesma cor fiquem juntos?
Exercícios de permutações com repetição
as letras da palavra: ARARA?
17. Quantos são os anagramas possíveis
para a palavra: ULYSSES?
para a palavra: ULYSSES começando por U?
para a palavra: ULYSSES terminando por S?
para a palavra: ULYSSES começando por U e
terminando por S?
AMA?
AMAR?
ARARUNA?
24. O número Pi com 10 algarismos (sem
considerar a vírgula) é indicado por
3141592653. Quantas são as permutações
diferentes que podemos construir com estes 10
algarismos
as letras da palavra: MATEMATICA?
Auxílio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M
aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a
letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez
e a letra C aparece 1 vez.
Exercícios de combinações simples
26. Um indivíduo possui 25 livros diferentes.
De quantas formas distintas ele poderá
empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
27. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser
montados com 8 pessoas?
28. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser
montados com 1000 pessoas?
29. Quantas combinações com 4 elementos
podem ser montadas com as 10 primeiras letras
do alfabeto?

4
do alfabeto, de tal forma que sempre comecem
pela letra A?
do alfabeto, de tal forma que sempre estejam
juntas as letras A e B?
do alfabeto, de tal forma que não contenham
nem as letras A e B?
do alfabeto, de tal forma que somente uma das
letras A ou B esteja presente, mas não as
duas?
do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre
as 3 letras A,B e C?
35. Em uma sala existem 40 pessoas, 18
mulheres e 22 homens. Quantas comissões
podem ser montadas nesta sala contendo 3
mulheres e 5 homens?
36. Calcular o valor de m tal que 5
C(m+1,3)=2 C(m+2,2).
37. Quantos triângulos podem ser traçados
contendo pontos de duas retas paralelas,
sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos
e na outra reta existem 5 pontos?
38. Quantos quadriláteros convexos podem
ser traçados contendo pontos de duas retas
paralelas, sabendo-se que em uma reta existem
6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
39. Em uma classe com 16 pessoas, há 10
homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo
homem e M uma certa mulher. Quantos grupos
podemos formar:
1. com 4 homens e 2 mulheres?
2. contendo H mas não M?
3. contendo M mas não H?
4. contendo H e M?
5. contendo somente H ou somente
M?
40. Quantos números diferentes maiores do
que 100 e menores do que 1000 podem ser
construídos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6,
sendo:
1. que cada algarismo aparece
somente uma vez?
2. que cada algarismo pode repetir
até 3 vezes?
3. os números pares sem repetição?
4. os números ímpares sem
repetição?
5. os números pares com repetição?
6. os números ímpares com
repetição?
41. Para resolver um assunto entre 6
professores e 4 alunos, devemos formar
comissões com 3 professores e 2 alunos.
Quantas são as possibilidades?
Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=180
42. Desejamos formar comissões de 6
pessoas entre cinco pais de alunos e quatro
professores. Quantas comissões terão somente
1 professor?
professores. Quantas comissões terão somente
2 professores?
professores. Quantas comissões terão no
mínimo 2 professores?
professores. Quantas comissões terão no
mínimo 3 professores?
46. Num plano existem 4 pontos, sendo que
3 deles são não colineares. Qual é o número
possível de retas que passam por esses pontos?
47. Num plano colocamos n pontos, sendo
que 3 deles são não colineares. Qual é o número
possível de retas que passam por esses pontos?
48. Quatro pontos são postos num plano,
sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o
número possível de triângulos construídos com
esses pontos?
49. Qual é o número de diagonais de um
polígono regular de n lados?
cubo?
prisma regular cuja base tem 5 lados?
prisma regular cuja base tem 6 lados?

5
prisma regular cuja base tem n lados?
54. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o
conjunto que contém todas as combinações
tomadas 2 a 2.
55. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H,
determinar o número das permutações
possíveis que começam por ABC.
56. Quantas digonais possui um dodecágono?
57. Quantas digonais possui o tetraedro
regular?
58. Quantas digonais possui um prisma
triangular regular?
Exercícios de arranjos simples
59. Quantos números diferentes com 1
algarismo, podemos formar com os algarismos:
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
60. Quantos números distintos com 2
algarismos diferentes, podemos formar com os
dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
algarismos diferentes, podemos formar com os
dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
algarismos diferentes, podemos formar com:
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
63. Quantos números distintos menores que
10000 podem ser formados com algarismos
diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
64. No sistema decimal de numeração,
quantos números existem com 4 algarismos com
2 algarismos repetidos?
65. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o
conjunto solução que contém todos os arranjos
tomados 2 a 2.
66. Usando-se apenas os algarismos
1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos
podem ser montados?
67. Usando-se os algarismos
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4
algarismos podem ser montados?
68. Usando-se as 26 letras do alfabeto:
A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3
letras podem ser montados?
69. Com as 26 letras do alfabeto:
A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
quantas placas de carros podem ser escritas
contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
COMBINAÇÃO
70. Consideremos um baralho contendo 52
cartas distintas.
1. Quantos pares distintos podem
ser formados?
2. Quantas trincas distintas podem
ser formados?
3. Quantas quadras distintas podem
ser formados?
4. Quantos pares distintos podem
ser formados tendo pelo menos um "Ás"?
5. Quantos pares distintas podem
ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um
"Rei"?
ser formados tendo pelo menos um "Ás"?
ser formados tendo pelo menos um "Ás" e um
"Rei"?
Exercícios com o fatorial
71. Se C(n,2)=28, qual é o valor de n?
72. Existe um número n natural tal que
C(n,3)=C(n,2)?
73. Se A(n,2)=42, qual é o valor de n?
Exercícios com a regra do produto
74. Numa festa, três meninos devem ser
apresentados a 5 meninas. De quantas maneiras
possíveis eles podem ser apresentados?
75. Existem quatro estradas ligando duas
cidades A e B, e três estradas ligando as
cidades B e C. De quantos modos diferentes
uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a
cidade C?
76. Uma sala possui 3 portas. Quantas
possibilidades existem para que uma pessoa
possa entrar e sair desta sala?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
Respostas dos exercícios de permutações
simples
2. Auxílio: P(n)=n!, n=3 Resposta:
N=1×2×3=6
N=1×2×3×4×5=120

6
N=1×2×3×4=24
5. Resposta: P(5)=120
6. Resposta: N=2×P(4)=2×24=48
7. Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!
8. Resposta: P(9)=9!
12. Auxílio: Começando por uma das
letras A,B,C: P(8)=8! Resposta: N=3×P(8)=3×8!
13. Auxílio: Começando pelas letras do
grupo ABC: P(3)=3!=6 Resposta:
N=P(3)×P(6)=6×120=720
14. Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as
consoantes. Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720
(???)
15. Auxílio: Temos 4 grupos de camisas,
logo P(4) posições para as equipes e os grupos
podem permutar as suas posições,
respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2).
Resposta: N=P(4)×P(3)×P(3)×P(2)×P(2)=3456
Respostas dos exercícios de permutações
com repetição
16. Auxílio: A letra A aparece 3 vezes e
a letra R aparece 2 vezes. Resposta:
Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10
20. Auxílio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1,
N=Pr(3;2+1)
Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)
Resposta:N=3!/(2!1!)=3
22. Auxílio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!
p3!),A=2,M=1,R=1 Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12
23. Auxílio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3,
R=2, N=1, U=1
Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420
24. Auxílio: n(1)=n(3)=n(5)=2,
n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1
Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600
25. Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!
1!1!] =151200
Respostas dos exercícios de combinações
simples
27. Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3
Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56
28. Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000,
p=2
Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000
29. Conceito: Combinação
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4
Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/
(1×2×3×4)=210
30. Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4,
m1=1, p1=1
Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84
m1=2, p1=2
Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28
m1=2, p1=0
Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70
m1=2, p1=1
Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112
m1=3, p1=2
Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63
41. Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=180
46. Resposta: C(4,2)=6
47. Resposta: C(n,2)=n(n-1)/2
48. Auxílio: C(3,2)=3 triângulos para cada
ponto.
49. Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2
55. Resposta: N=P(5)=120.
56. Resposta: N=12×9/2=54
57.Resposta: N=0
58. Resposta: N=0
Respostas dos exercícios de arranjos
simples
59. Resposta: N1=A(9,1)=9
60.Auxílio: Os números iniciados por 0 não
terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a
A(9,1). Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-
9=90-9=81
61. Auxílio: Os números iniciados por 0 não
A(9,2). Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-
720=648
62. Auxílio: Os números iniciados por 0 não
A(9,3). Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-
504=4536

7
63. Resposta:
N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274
64. Auxílio: A quantidade de números distintos
com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total
de números (com repetição ou não) com 4
algarismos é 9000.
Resposta: N=9000-4536=4464
66. Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3
Resposta: A=5!/2!=60
Resposta: A=10!/6!=5040
Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600
69. Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3,
n=10, q=4
Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000
Respostas dos exercícios com o fatorial
71. Resposta: n=8.
73. Resposta: n=7.
Resposta dos exercícios com a regra do
produto
74. Auxílio: N=p×q, p=3, q=5
Resposta: N=3×5=15
Resposta: N=4×3=12
Resposta: N=3×3=9
Exercícios Complementares
2) Uma agência de turismo oferece bilhetes
aéreos
para o trecho São Paulo – Miami através de
duas
companhias: Varig ou TAM. O passageiro pode
escolher também entre a primeira classe,
classe
executiva e classe econômica. De quantas
maneiras
um passageiro pode fazer tal escolha?
4) O vagão de um trem possui seis portas. De
quantas
maneiras distintas um passageiro pode entrar
no
trem e sair dele por uma porta diferente da
que
usou para entrar?
5) Uma prova consta de dez testes de múltipla
escolha. De quantas maneiras distintas a prova
pode ser resolvida, se cada teste tem cinco
alternativas distintas?
6) Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:
a) Quantos números de quatro algarismos
podemos formar?
b) Quantos números de quatro algarismos
distintos podemos formar?
7) Quantos números de três algarismos
distintos
existem?
8) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6,
quantos
números ímpares de quatro algarismos podemos
formar?
Deseja-se formar números divisíveis por 5,
compostos de quatro algarismos distintos.
Quantas
são as possibilidades dispondo-se dos
algarismos 0,
1, 2, 3, 4, 5 e 6?
11) Resolva a equação .
12) Simplifique .
13) Resolva a equação
14) Resolva as seguintes equações:
a)
b)
15) Resolva as seguintes equações:
a)
b)
16) Para a eleição do corpo dirigente de uma
empresa
candidatam-se oito pessoas. De quantas
maneiras
poderão ser escolhidos presidente e
vicepresidente?
17) A 1ª fase de um torneio de futebol é
disputada por
15 equipes no sistema de turno e returno (a
equipe
A, por exemplo, joga com a equipe B duas
vezes:
uma em seu campo e a outra no campo
adversário). Quantas partidas são disputadas
ao
todo, se os dois melhores classificados da 1ª
fase

8
fazem a final no mesmo sistema?
18) Uma emissora de TV dispõe, ao todo, de 20
programas distintos.
a) Quantas são as possíveis sequências de seis
programas distintos a serem exibidos em um
dia?
b) Suponha que, entre 20 programas, haja
apenas
um musical. De quantas maneiras a
programação acima pode ser escolhida de
modo que sempre se encerre com o programa
musical?
19) Para animar uma festa, uma orquestra
dispõe de
cinco tipos de música: valsa, samba, dance
music,
MPB e rock. De quantas maneiras o anfitrião
poderá escolher os ritmos de abertura e
fechamento da festa, se ele já decidiu manter
samba no restante da festa e não pretende
repetir
nenhum ritmo?
20) Dez enxadristas participam de um
campeonato em
que todos jogam contra todos. Se um deles
vence
todas as partidas, quantas são as classificações
possíveis para os três primeiros colocados?
21) Uma prova de atletismo reúne 15 atletas.
Quantos
são os resultados possíveis para que sejam
distribuídas as medalhas de ouro, prata e
bronze?
Em quantos resultados o atleta X recebe
medalha,
mas o atleta Y não?
22) (FGV – SP) Suponha que uma senha
utilizada
numa rede de computadores seja constituída
de 5
letras, escolhida entre 26 do alfabeto latino,
sendo
permitida a repetição de letras.
Quantas senhas diferentes podem ser
construídas?
b) Quantas senhas podem ser construídas com
uma letra comparecendo pelo menos duas
vezes?
23) Numa dinâmica de grupo, uma psicóloga de
RH
(Recursos Humanos) relaciona de todas as
formas possíveis dois participantes: ao
primeiro faz a pergunta e ao segundo pede que
comente a resposta do colega. Admita que a
psicóloga não repetirá a mesma pergunta mais
de uma vez.
a) Se 10 candidatos participam da dinâmica,
qual
é o número de perguntas feitas pela psicóloga?
b) Qual é o número mínimo de candidatos que
obriga a psicóloga a ter mais de 250 questões
para realizar a dinâmica?
24) Um curso de inglês é dividido em quatro
partes:
vocabulário, gramática, conversação e
interpretação de textos. Todos os dias, essas
partes
são estudadas, mas nunca na mesma ordem. Em
quantos dias se esgotará a sequência possível
de
aulas para o curso?
25) Uma pesquisa deseja saber a ordem de
preferência dos três maiores ídolos do esporte
no Brasil.
a) Quantas respostas diferentes são possíveis,
se a
cada entrevistado é apresentada uma lista com
o nome de 20 esportistas?
b) Quantas dessas respostas têm o nome de
Guga
como 1º colocado?
c) Em quantas respostas não aparece o nome de
Guga?
26) Um torneio de futebol será disputado em
duas
sedes a serem escolhidas entre seis cidades.
De
quantas maneiras poderá ser feita a escolha
das
duas cidades?
27) Quinze alunos participam de um sorteio
promovido
pelo professor de Matemática. Se ele dispõe
de três
prêmios idênticos, de quantas formas poderão
ser
escolhidos os alunos?

9
28) Uma classe tem 30 alunos. Um professor
organiza
uma prova oral para a qual 5 alunos serão
sorteados ao acaso. De quantas formas o
professor
poderá escolher os alunos?
30) De um baralho de 52 cartas, sorteamos
simultaneamente cinco cartas.
a) Quantas são as possibilidades de sorteio das
cartas?
b) De quantas formas essas cartas podem ser
sorteadas de modo que o ás de copas seja
sempre incluído?
31) (FGV - SP) O administrador de um fundo de
ações
dispõe de ações de 10 empresas para a compra,
entre elas as da empresa R e as da empresa S.
a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7
empresas, entre as 10?
b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem
figurar obrigatoriamente as empresas R e S,
de quantas formas ele poderá escolher as
empresas?
32) Em uma reunião havia pessoas; cada uma
saudou as outras com um aperto de mão.
Sabendo
que houve ao todo 66 apertos de mão,
responda:
qual é o valor de ?
33) Uma junta médica deverá ser formada por
quatro
médicos e dois enfermeiros. De quantas
maneiras
ela poderá ser formada se estão disponíveis
dez
médicos e seis enfermeiros?
34) Uma classe tem 10 meninos e 12 meninas.
De
quantas maneiras poderá ser escolhida uma
comissão de três meninos e quatro meninas,
incluindo, obrigatoriamente, o melhor aluno e a
melhor aluna?
35) Uma locadora de automóveis tem à
disposição
de seus clientes uma frota de dezesseis carros
nacionais e quatro carros importados. De
quantas formas uma empresa poderá alugar
três carros de modo que:
a) Todos sejam nacionais?
b) Pelo menos um carro nacional seja escolhido?
36) (FGV – SP) Um processo industrial deve
passar
pelas etapas A, B, C, D e E.
a) Quantas sequências de etapas podem ser
delineadas se A e B devem ficar juntas no
início
do processo e A deve anteceder B?
b) Quantas sequências de etapas podem ser
delineadas se A e B devem ficar juntas, em
qualquer ordem, e não necessariamente no
início do processo?
37) Um professor dispõe de 8 questões de
Álgebra e
duas de Geometria para elaborar uma prova de
10
questões. De quantas maneiras ele poderá
escolher
a ordem delas, sabendo que as de Geometria
não
podem aparecer uma em seguida da outra?
38) (UF – AL) Aline e Cláudia fazem parte de
um grupo
de 6 pessoas que devem ocupar 6 cadeiras
enfileiradas. Se as duas não podem ocupar
simultaneamente as cadeiras das
extremidades, de
quantos modos podem ser acomodadas essas 6
pessoas?
39) Uma classe de 10 alunos, entre eles Júlia e
Alberto, será submetida a uma prova oral em
que todos os alunos serão avaliados. De
quantas maneiras o professor pode escolher a
sequência dos alunos:
a) Se Júlia deve ser sempre a primeira a ser
chamada e Alberto sempre o último a ser
chamado?
b) Se Júlia deve ser, no máximo, a 2ª pessoa a
ser
chamada?
40) Um comício reúne oito políticos de um
partido,
entre eles o presidente e seu vice. Supondo que
todos os políticos presentes irão discursar, de
quantas maneiras pode ser estabelecida a
sequência de discurso:
a) Se o comício for aberto pelo presidente do
partido?
b) Se o presidente e vice devem,em qualquer

10
ordem, iniciar e encerrar o comício?
c) Se presidente e vice, nessa ordem, devem
discursar consecutivamente?
Considere os anagramas da palavra CHAVE. Em
quantos desses anagramas as vogais não
aparecem
lado a lado?
43) (UF – MG) Considere formados e dispostos
em
ordem crescente todos os números que se
obtém
permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 e .
Nessa
disposição, que lugar ocupa o número 75391?
44) Suponha que Fábio tenha uma foto de cada
uma de
suas 3 ex-mulheres, uma foto de seu irmão,
uma
foto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock
e
uma foto do jogador de futebol favorito. De
quantos
modos distintos ele poderá dispor tais fotos
em 5
porta-retratos (3 sobre o aparador e 2 na
parede),
se deseja que as fotos das ex-mulheres
apareçam
juntas sobre o aparador)?
45) Considere os números obtidos do número
12345,
efetuando-se todas as permutações de seus
algarismos. Colocando esses números em ordem
crescente, qual o lugar ocupado pelo número
43521?
46) Uma prova contém 10 testes que devem ser
respondidos com V ou F. De quantos modos
distintos ela pode ser resolvida assinalando-se
3
testes com V e 7 com F?
47) (Unifap – AP) A cidade de Macapá é
banhada
pelo rio Amazonas e cortada pela linha do
Equador. Responda:
a) Quantos são os anagramas da palavra
MACAPÁ?
b) Quantos anagramas da palavra AMAZONAS
começam por consoante?
c) Em quantos anagramas da palavra EQUADOR
as
letras Q, U, A mantém-se juntas?
48) Calcule o número de anagramas obtidos a
partir
de ARARA. Conclua que quando uma palavra de
letras é formada exclusivamente por 2 letras
que se
repetem vezes e vezes , as
fórmulas de permutação e combinação se
equivalem.
49) Uma equipe de futebol disputou 8 jogos em
um
torneio: venceu 4, perdeu 2 e empatou 2.
a) De quantos modos distintos pode ter
ocorrido a
sequência de resultados?
b) Supondo que a equipe estreou no torneio
com
vitória e o encerrou também com vitória, de
quantos modos distintos pode ter ocorrido a
sequência dos outros resultados?
50) Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3
cinzas. De
quantas maneiras é possível retirar, uma a uma,
as 8 bolas dessa urna?
Questões de vestibulares
1) (UFPA – PSS 06) Por ocasião dos festejos da
Semana da Pátria, uma escola decidiu exibir
seus
melhores atletas e as respectivas medalhas.
Desses
atletas, em número de oito e designados por a1,

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