O documento descreve o método de Cross para determinar os esforços internos em estruturas hiperestáticas. O método envolve fixar um apoio fictício no nó livre e aplicar o método dos deslocamentos para determinar os esforços iniciais. Em seguida, calcula-se a influência de um momento concentrado aplicado no nó livre sobre os esforços, proporcional à rigidez à rotação de cada barra. Ao somar as influências, obtêm-se os esforços totais. Exemplos mostram a aplicação do

1. ENGENHARIA CIVIL
TEORIA DE ESTRUTURAS II
3º Ano / 2º Semestre – 2001/2002
Prof. João Miranda Guedes (DEC)
MÉTODO DE CROSS
Seja a seguinte estrutura hiperstática:
E,I
R1 p R2
L
Os momentos nos apoios têm valor conhecido, apresentado em tabelas apropriadas, neste
caso:
⋅
R R p L
12
2
= − = −
1 2
Consideremos agora na estrutura anterior um apoio duplo intermédio, i.e. duas barras:
E,I
R1 p R3
L1 L2
=
R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p
L1 L2
R12 M2=-R20 R32
+
L1 L2
Método de Cross 1

2. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação
do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras
correspondentes à fixação do apoio fictício:
R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p
L1 L2
R10
R’20
p R30
R’’20
= +
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
Δ2=1
k’22
R*12 R*32
k’’22
L1 L2
[ ] { } { } { } K2′2 + K2′′2 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
 ⋅
− −
p L
12

 

 ⋅
 


  ⋅
E I
4 4


⋅ + 

E I
L
1 2
2
M
′ + ′′
K K
22 22
Δ =
2
⋅
=
L
i.e.
R12
R’22
R32
R’’22
+
Δ2
2
2
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
′′ = ′′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
M
M
⋅
⋅
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 2

3. O momento flector na extremidade das barras é proporcional à rigidez à rotação das barras
no nó. Somando então as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R1
R’2
p R3
R’’2
+
Δ2
( )
( ) 20
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ + ′ = ′ +
R R R R
2 20 22 20
′′ = ′′ + ′′ = ′′ +
R R R R
2 20 22 20
20
R
R
⋅ −
⋅ −
Os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos
momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do
momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à
rotação da barra e a rigidez à rotação do nó.
Consideremos agora a estrutura anterior constituida por barras axialmente indeformáveis e
tal que a barra da esquerda é vertical:
p
L1
E, I
L2
=
p
L1
+
L2
R20
E, I
L1
E, I
M2=-R20
L2
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 3

4. Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos
flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste
caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
p
L1
=
L2
R20= R’20+ R’’20
R’’20
p
R’20
+
Δ2
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
L1
E, I
L2
Δ2=1
K’22 K’’22
[ ] { } { } { } K2′2 + K2′′2 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
 ⋅
− −
p L
12

 

 ⋅
 


 ⋅
E I
4 4


⋅ + 

E I
L
1 2
2
M
′ + ′′
K K
22 22
Δ =
2

⋅
=
L
i.e.
Δ2
R’22 R’’22
+
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 4

5. 2
2
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
′′ = ′′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
M
M
⋅
⋅
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R’’2
p
R’2
+
Δ2
( )
( ) 20
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ + ′ = ′ +
R R R R
2 20 22 20
′′ = ′′ + ′′ = ′′ +
R R R R
2 20 22 20
20
R
R
⋅ −
⋅ −
Os momentos flectores nas extremidades das barras são iguais aos calculados na
estrutura anterior.
Consideremos agora a mesma estrutura, constituida por barras axialmente indeformáveis,
mas supondo a barra da esquerda numa posição «diagonal»:
p
E, I
L1
L2
=
E, I
R20
p
+
L2
L1
M2=-R20
E, I
L2
L1
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 5

6. Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos
flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste
caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
R20= R’20+ R’’20
R20
p
+
E, I
L2
L1
R’’20
p
R’20
+
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
E, I
L2
L1
Δ2=1
K’22 K’’22
[ ] { } { } { } K2′2 + K2′′2 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
 ⋅
− −
p L
12

 

 ⋅
  

 ⋅
E I
4 4


⋅ + 

E I
L
1 2
2
M
′ + ′′
K K
22 22
Δ =
2

⋅
=
L
i.e.
Δ2
R’22 R’’22
+
2
2
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
′′ = ′′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
M
M
⋅
⋅
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 6

7. Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R’’2
p
R’2
+
Δ2
( )
( ) 20
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ + ′ = ′ +
R R R R
2 20 22 20
′′ = ′′ + ′′ = ′′ +
R R R R
2 20 22 20
20
R
R
⋅ −
⋅ −
Os momentos flectores nas extremidades das barras são ainda iguais aos calculados na
estrutura anterior, i.e. não dependem da orientação das barras.
Seja agora uma estrutura constituida por 3 barras axialmente indeformáveis:
p
3
E, I
α
L2
A
C
2
B
D
1
. cos α
L1 L3
=
p
3
E, I
R20
α
L2
2
1
. cos α
L1 L3
3
E, I
α
L2
M2=-R20
2
1
. cos α
L1 L3
+
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 7

8. Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos
flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste
caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
p
3
E, I
2
(R20)2
(R20)1
α
(R20)3
1
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
(K22)2
Δ2=1
(K22)1 3
E, I
α
2
1
(K22)3
[( ) ( ) ( ) ] { } { } { } K22 1 + K22 2 + K22 3 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
M
( ) ( ) ( )
3
2
 ⋅
− −
p L
12
 ⋅

 

 ⋅

 ⋅

 

E I
E I
4 4 4


⋅ + 

⋅ + 

E I
L
L
1 2 3
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
Δ =
2

⋅
=
L
i.e.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 8

9. (R22)2
Δ2
(R22)1 3
E, I
α
2
1
(R22)3
( ) ( ) ( )
22 1
K
( ) + ( ) +
( )
K K K
22 1 22 2 22 3
= ⋅ Δ =
R K
22 1 22 1 2
( ) ( ) ( )
22 2
K
( ) + ( ) +
( )
K K K
22 1 22 2 22 3
= ⋅ Δ =
R K
22 2 22 2 2
( ) ( ) ( )
22 3
2
2
M
M
M
K
⋅
⋅
⋅
( ) + ( ) +
( ) 2
K K K
22 1 22 2 22 3
= ⋅ Δ =
R K
22 3 22 3 2
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
p
(R2)2
Δ2
(R2)1 3
E, I
α
L2
2
1
. cos α
(R2)3
L1 L3
( ) ( ) ( ) ( ) ( K
)
22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 1 20 1 22 1 20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 2
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 2 20 2 22 2 20 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 3
( ) ( ) ( ) ( ) + +
20
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 3 20 3 22 3 20 3
R
⋅ −
Mais uma vez, os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo
aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do
momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à
rotação da barra e a rigidez à rotação do nó. Note ainda que, por um lado, caso não exista
qualquer momento concentrado aplicado no nó livre,
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 9

10. (R2 )1 + (R2 )2 + (R2 )3 = 0
e por outro, o equilíbrio do nó transfere para as extremidades das barras opostas ao nó que
sofre rotação um momento que, por sobreposição dos efeitos anteriores, é igual a
p
(R2)2
(Ra)2
Δ2
(R2)1 3
E, I
α
2
1
(R2)3
(Ra)1
(Ra)3
=
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
p
3
E, I
(Ra0)2
2
(R20)2
(R20)1
α
(R20)3
1
(Ra0)1
(Ra0)3
(K22)2
(Ra2)2=(Ka2)2
Δ2=1
(K22)1 3
E, I
α
2
1
(K22)3
+
(Ra2)1=(Ka2)1
(Ra2)3=(Ka2)3
x Δ1
( ) ( ) ( ) ( ) r ⋅
( K
)
1 22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
1 0 1 2 1 0 1
a a a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
⋅
r K
R
⋅ −
2 22 3
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 0 2 2 2 0 2
a a a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
⋅
r K
R
⋅ −
3 22 3
( ) ( ) ( ) ( ) + +
20
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
3 0 3 2 3 0 3
R
a a a a
⋅ −
i.e. são calculados adicionando aos momentos de encastramento na situação do apoio
fictício imóvel, um valor r do momento absorvido pela barra na extremidade que sofre
rotação, sendo que para a barra i,
( ) ( )ri ⋅ K22 i = Ka2 i
No caso de barras de secção constante, temos:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 1 0

11.  ⋅
⋅ ⋅ 
i


⋅
=  ⋅ E I
r E I
5 , 0 2 4 = ⇒ 
i r


L
i i
L
Para finalizar esta primeira abordagem do Método de Cross, iremos considerar ainda na
estrutura anterior um apoio duplo na extremidade direita da barra 3,
p
3
E, I
α
L2
A
C
2
B
D
1
. cos α
L1 L3
A resolução da estrutura determina para os esforços nas extremidades das barras
p
(R2)2
(Ra)2
Δ2
(R2)1 3
E, I
α
2
1
(R2)3
(Ra)1
(Ra)3
=
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
p
3
E, I
(Ra0)2
2
(R20)2
(R20)1
α
(R20)3
1
(Ra0)1
(K22)2
(Ra2)2=(Ka2)2
Δ2=1
(K22)1 3
E, I
α
2
1
(K22)3
+
(Ra2)1=(Ka2)1
x Δ1
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 1 1

12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( K
)
22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 1 20 1 22 1 20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 3
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 2 20 2 22 2 20 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 3
( ) ( ) ( ) ( ) + +
20
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 3 20 3 22 3 20 3
R
⋅ −
( ) ( ) ( ) ( ) r ⋅
( K
)
1 22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
1 0 1 2 1 0 1
a a a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
⋅
⋅ −
r K
R
( ) ( ) ( ) ( )
= + = +
R R R R
2 0 2 2 2 0 2
a a a a
( )3 0
20
2 22 3
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
=
⋅ −
a
R
R
A rigidez à rotação da barra 3 no apoio fictício, (K22)3, é, neste caso, igual a (3. E.I / L)3 e não
a (4.E.I / L)3, sendo (Ra0)3 = r3 = 0. Por outro lado, os valores cocientes da rigidez à rotação
das barras nos nós designam-se por coeficientes de distribuição de rigidez nos nós
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 1 2