O documento descreve o método de Cross para determinar os esforços internos em estruturas hiperestáticas. O método envolve fixar um apoio fictício no nó livre e aplicar o método dos deslocamentos para determinar os esforços iniciais. Em seguida, calcula-se a influência de um momento concentrado aplicado no nó livre sobre os esforços, proporcional à rigidez à rotação de cada barra. Ao somar as influências, obtêm-se os esforços totais. Exemplos mostram a aplicação do
O documento apresenta dois problemas de física resolvidos. O primeiro problema trata de uma questão sobre a aceleração resultante de duas forças atuando sobre um corpo. O segundo problema calcula o tempo mínimo para um corpo subir um plano inclinado.
O documento apresenta uma questão sobre o momento angular de uma massa pontual. A resposta correta é que o momento angular tem dimensão LMT-1, ou seja, comprimento x massa x tempo elevado a -1 potência.
1) O documento apresenta as resoluções de questões de física e português de uma prova realizada pelo Elite Resolve AFA 2010.
2) São analisadas 7 questões de física, cobrindo temas como movimento retilíneo uniforme, movimento circular uniforme, lançamento de projéteis e colisões, e energia mecânica.
3) As resoluções fornecem detalhes conceituais e cálculos que levam à resposta correta de cada questão.
1) O documento discute estruturas em treliça, incluindo diferentes tipos de treliças, hipóteses para cálculos, esforços solicitantes, treliças isostáticas e hiperestáticas, treliças simples, e processos de resolução.
2) São descritos processos para resolução de treliças incluindo o processo dos nós, casos de simplificação, processo dos coeficientes de força e processo das seções.
3) Exemplos ilustram conceitos como treliças isostáticas versus hiperestá
1) O documento apresenta tabelas de análise de estruturas com fórmulas para analisar vigas sob diferentes tipos de cargas e condições de apoio. 2) Inclui equações para calcular deformações, esforços, momentos fletores e cortantes em vigas sob cargas pontuais ou distribuídas, assim como sob efeitos de variações de temperatura. 3) Fornece casos particulares para configurações comuns como viga simplesmente apoiada com carga no meio do vão.
O documento descreve métodos para determinar as forças internas em treliças planas, incluindo o Método dos Nós de Cremona e o Método de Seções de Ritter. O Método dos Nós envolve verificar o equilíbrio de cada nó da treliça para calcular as forças nas barras, enquanto o Método de Seções corta a treliça em seções para isolar grupos de barras e nós. Exemplos ilustram a aplicação destes métodos para diferentes treliças sob diferentes carregamentos.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vetores e geometria. As questões envolvem cálculos com vetores, ângulos entre vetores, determinação de áreas e perímetros. O gabarito fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta dois problemas de física resolvidos. O primeiro problema trata de uma questão sobre a aceleração resultante de duas forças atuando sobre um corpo. O segundo problema calcula o tempo mínimo para um corpo subir um plano inclinado.
O documento apresenta uma questão sobre o momento angular de uma massa pontual. A resposta correta é que o momento angular tem dimensão LMT-1, ou seja, comprimento x massa x tempo elevado a -1 potência.
1) O documento apresenta as resoluções de questões de física e português de uma prova realizada pelo Elite Resolve AFA 2010.
2) São analisadas 7 questões de física, cobrindo temas como movimento retilíneo uniforme, movimento circular uniforme, lançamento de projéteis e colisões, e energia mecânica.
3) As resoluções fornecem detalhes conceituais e cálculos que levam à resposta correta de cada questão.
1) O documento discute estruturas em treliça, incluindo diferentes tipos de treliças, hipóteses para cálculos, esforços solicitantes, treliças isostáticas e hiperestáticas, treliças simples, e processos de resolução.
2) São descritos processos para resolução de treliças incluindo o processo dos nós, casos de simplificação, processo dos coeficientes de força e processo das seções.
3) Exemplos ilustram conceitos como treliças isostáticas versus hiperestá
1) O documento apresenta tabelas de análise de estruturas com fórmulas para analisar vigas sob diferentes tipos de cargas e condições de apoio. 2) Inclui equações para calcular deformações, esforços, momentos fletores e cortantes em vigas sob cargas pontuais ou distribuídas, assim como sob efeitos de variações de temperatura. 3) Fornece casos particulares para configurações comuns como viga simplesmente apoiada com carga no meio do vão.
O documento descreve métodos para determinar as forças internas em treliças planas, incluindo o Método dos Nós de Cremona e o Método de Seções de Ritter. O Método dos Nós envolve verificar o equilíbrio de cada nó da treliça para calcular as forças nas barras, enquanto o Método de Seções corta a treliça em seções para isolar grupos de barras e nós. Exemplos ilustram a aplicação destes métodos para diferentes treliças sob diferentes carregamentos.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre vetores e geometria. As questões envolvem cálculos com vetores, ângulos entre vetores, determinação de áreas e perímetros. O gabarito fornece as respostas corretas para cada uma das questões.
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
[1] O documento discute estruturas em treliça, que são estruturas lineares formadas por barras ligadas por articulações. [2] Apresenta diferentes tipos de treliças, hipóteses para cálculos, esforços solicitantes, e processos para resolução de treliças isostáticas e hiperestáticas. [3] Explica como determinar as forças normais nas barras por meio do processo dos nós, dos coeficientes de força ou das seções.
O documento descreve a análise de um circuito de aquecedor de para-brisas traseiro usando resistores impressos no vidro. Ele estabelece as relações entre os resistores com base na distribuição simétrica da temperatura e calcula os valores dos resistores para um exemplo prático.
Este documento fornece notas de aula sobre resistência dos materiais. Resume conceitos-chave como transformações de tensões e deformações em elementos sob cargas, tensões principais, círculo de Mohr para representar estados planos de tensão. Inclui exemplos para ilustrar esses conceitos.
O documento discute três tópicos:
1) A precessão do eixo da Terra, causada pelo torque resultante da atração gravitacional do Sol devido à inclinação do eixo em relação à órbita, fazendo-o girar gradualmente.
2) Cálculos de aceleração e aceleração angular de um sistema homem-escada após o rompimento de uma corda que o prendia.
3) Representação da posição, velocidade e aceleração de um movimento harmônico simples por vetores girantes, onde a veloc
O documento descreve um experimento envolvendo um cilindro semi-imerso em um tanque industrial. Inicialmente com o ar e o líquido a 27°C, o cilindro está aberto e o pistão em uma posição. O cilindro é fechado e o líquido aquecido, fazendo o pistão mover para uma nova posição. O texto pede para calcular a pressão final na câmara superior e a temperatura final do líquido no tanque.
O documento apresenta o método de energia de deformação e o teorema de Castigliano para determinar: (1) a energia de deformação U de uma viga sob carga distribuída, (2) a deflexão δ no ponto B, e (3) a rotação θ no ponto B. Os resultados obtidos foram U = 104,68 J, δ = 3,85 mm e θ = 3,45 × 10-3 radianos.
1. O documento apresenta o cálculo do deslocamento horizontal do nó 3 em uma treliça sob carregamento.
2. São fornecidos os ângulos entre as barras e os esforços normais para cada barra sob a carga original de 20 kN.
3. O deslocamento é calculado somando os produtos dos esforços normais e comprimentos para cada barra, dividindo pelo módulo de elasticidade.
1) O documento apresenta um problema de propagação de ondas em uma corda. Fornece valores numéricos para o período e comprimento de onda da onda, e pede para calcular o tempo para a onda percorrer uma distância dada.
2) A velocidade da onda é calculada usando a equação fundamental da ondulatória.
3) Usando a velocidade constante e a distância dada, o tempo é calculado pela equação da velocidade. A resposta é 1,25 segundos.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo que envolvem integrais em diferentes coordenadas. O exercício 1 calcula o volume de uma região cilíndrica entre planos utilizando coordenadas cilíndricas. O exercício 2 calcula outro volume utilizando coordenadas esféricas. O exercício 3 calcula a massa de um sólido com densidade dada em função das coordenadas. Os exercícios 4 e 5 calculam volumes, centróides e momentos de inércia de outros sólidos.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
1) O documento discute hidrodinâmica, o estudo de líquidos em movimento, focando em escoamento estacionário e não turbulento.
2) Apresenta a equação da continuidade, que relaciona a vazão, área e velocidade em diferentes pontos de um tubo.
3) Detalha a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura ao longo de uma linha de corrente em um fluido.
1) O documento descreve propriedades geométricas de seções transversais, incluindo momento estático, centro de gravidade e momento de inércia.
2) O momento estático é definido como a contribuição de cada elemento de área para o momento em torno de um eixo, e é calculado por integrais.
3) O centro de gravidade é o ponto onde os momentos estáticos em torno de dois eixos ortogonais se anulam, e pode ser calculado a partir dos momentos estáticos.
1) Hidrodinâmica estuda fluidos em movimento como água, sangue e ar.
2) Existem dois tipos de escoamento - turbulento e permanente (estacionário), onde as partículas mantêm a mesma velocidade ao passar por um ponto.
3) As equações de Bernoulli e continuidade relacionam pressão, velocidade e vazão em diferentes seções de um escoamento.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralDiego Oliveira
O documento apresenta 7 exemplos resolvidos de exercícios envolvendo cálculos com a integral. O primeiro exemplo calcula as equações de movimento de uma pedra em queda livre. O segundo exemplo calcula o tempo para uma maleta cair de uma altitude inicial. O terceiro exemplo calcula a velocidade inicial de uma pedra atirada para baixo.
1. O documento apresenta os principais conceitos da Mecânica dos Sólidos II, incluindo análise de tensões e deformações em estados tri-axiais, bi-axiais, uni-axiais e planos. 2. É descrito o método analítico para análise de tensões em estados planos, incluindo cálculo de tensões principais, máximas e nos planos principais. 3. Também é apresentado o método gráfico do Círculo de Mohr para análise de estados planos de tensão.
O documento discute o uso de redes sociais para fins profissionais. Aborda tópicos como criar perfis e páginas nas redes, produzir conteúdo relevante e de qualidade para o público-alvo, e os riscos de compartilhar informações pessoais ou fazer acusações que possam gerar processos jurídicos.
Uma mulher de 24 anos foi internada com convulsões e alucinações após uma dieta vegetariana. Exames iniciais não revelaram a causa. Posteriormente desenvolveu lesões, dificuldade de concentração e retenção urinária, excluindo Parkinson. Novos exames mostraram necrose hepática. Foi diagnosticada intoxicação por esporão de centeio de pão orgânico ingerido, levando a interação de drogas e vasoconstrição.
O documento descreve a história da família Massuia, originária da Itália, que emigrou para o Brasil no final do século XIX. Detalha as cinco famílias Mazzuia que vieram de diferentes regiões da Itália e se estabeleceram em São Paulo e Minas Gerais. Também relata a descendência de Eugênio Mazzuia e seus filhos que fundaram o ramo da família em Poloni, São Paulo.
A China possui uma grande diversidade geográfica e climática. É o país mais populoso do mundo com 1,3 bilhões de habitantes, sendo a maioria rural. Passou por grandes transformações econômicas sob Mao e Deng, tornando-se hoje uma potência global com a 3a maior economia.
A Guerra de Canudos (1896-1897) foi um conflito entre o Estado brasileiro e os moradores da vila de Canudos, liderados por Antônio Conselheiro, que resistiram às tropas por quase um ano. Canudos surgiu como um povoado agrícola fundado por sertanejos nordestinos em busca de melhores condições de vida, mas acabou sendo atacado por representar uma ameaça à recente República. Após várias expedições militares fracassadas devido à resistência dos moradores, uma grande
O documento apresenta exercícios de cálculo sobre curvas planas e no espaço, incluindo parametrizações diferenciáveis e cálculo de integral de linha. O exercício 4 pede para determinar o valor de R tal que a integral de linha sobre uma curva seja igual a 81√3/2. A solução encontra R = 6.
[1] O documento discute estruturas em treliça, que são estruturas lineares formadas por barras ligadas por articulações. [2] Apresenta diferentes tipos de treliças, hipóteses para cálculos, esforços solicitantes, e processos para resolução de treliças isostáticas e hiperestáticas. [3] Explica como determinar as forças normais nas barras por meio do processo dos nós, dos coeficientes de força ou das seções.
O documento descreve a análise de um circuito de aquecedor de para-brisas traseiro usando resistores impressos no vidro. Ele estabelece as relações entre os resistores com base na distribuição simétrica da temperatura e calcula os valores dos resistores para um exemplo prático.
Este documento fornece notas de aula sobre resistência dos materiais. Resume conceitos-chave como transformações de tensões e deformações em elementos sob cargas, tensões principais, círculo de Mohr para representar estados planos de tensão. Inclui exemplos para ilustrar esses conceitos.
O documento discute três tópicos:
1) A precessão do eixo da Terra, causada pelo torque resultante da atração gravitacional do Sol devido à inclinação do eixo em relação à órbita, fazendo-o girar gradualmente.
2) Cálculos de aceleração e aceleração angular de um sistema homem-escada após o rompimento de uma corda que o prendia.
3) Representação da posição, velocidade e aceleração de um movimento harmônico simples por vetores girantes, onde a veloc
O documento descreve um experimento envolvendo um cilindro semi-imerso em um tanque industrial. Inicialmente com o ar e o líquido a 27°C, o cilindro está aberto e o pistão em uma posição. O cilindro é fechado e o líquido aquecido, fazendo o pistão mover para uma nova posição. O texto pede para calcular a pressão final na câmara superior e a temperatura final do líquido no tanque.
O documento apresenta o método de energia de deformação e o teorema de Castigliano para determinar: (1) a energia de deformação U de uma viga sob carga distribuída, (2) a deflexão δ no ponto B, e (3) a rotação θ no ponto B. Os resultados obtidos foram U = 104,68 J, δ = 3,85 mm e θ = 3,45 × 10-3 radianos.
1. O documento apresenta o cálculo do deslocamento horizontal do nó 3 em uma treliça sob carregamento.
2. São fornecidos os ângulos entre as barras e os esforços normais para cada barra sob a carga original de 20 kN.
3. O deslocamento é calculado somando os produtos dos esforços normais e comprimentos para cada barra, dividindo pelo módulo de elasticidade.
1) O documento apresenta um problema de propagação de ondas em uma corda. Fornece valores numéricos para o período e comprimento de onda da onda, e pede para calcular o tempo para a onda percorrer uma distância dada.
2) A velocidade da onda é calculada usando a equação fundamental da ondulatória.
3) Usando a velocidade constante e a distância dada, o tempo é calculado pela equação da velocidade. A resposta é 1,25 segundos.
O documento apresenta 5 exercícios de cálculo que envolvem integrais em diferentes coordenadas. O exercício 1 calcula o volume de uma região cilíndrica entre planos utilizando coordenadas cilíndricas. O exercício 2 calcula outro volume utilizando coordenadas esféricas. O exercício 3 calcula a massa de um sólido com densidade dada em função das coordenadas. Os exercícios 4 e 5 calculam volumes, centróides e momentos de inércia de outros sólidos.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
1) O documento discute hidrodinâmica, o estudo de líquidos em movimento, focando em escoamento estacionário e não turbulento.
2) Apresenta a equação da continuidade, que relaciona a vazão, área e velocidade em diferentes pontos de um tubo.
3) Detalha a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura ao longo de uma linha de corrente em um fluido.
1) O documento descreve propriedades geométricas de seções transversais, incluindo momento estático, centro de gravidade e momento de inércia.
2) O momento estático é definido como a contribuição de cada elemento de área para o momento em torno de um eixo, e é calculado por integrais.
3) O centro de gravidade é o ponto onde os momentos estáticos em torno de dois eixos ortogonais se anulam, e pode ser calculado a partir dos momentos estáticos.
1) Hidrodinâmica estuda fluidos em movimento como água, sangue e ar.
2) Existem dois tipos de escoamento - turbulento e permanente (estacionário), onde as partículas mantêm a mesma velocidade ao passar por um ponto.
3) As equações de Bernoulli e continuidade relacionam pressão, velocidade e vazão em diferentes seções de um escoamento.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
Exercícios Resolvidos: Aplicação da integralDiego Oliveira
O documento apresenta 7 exemplos resolvidos de exercícios envolvendo cálculos com a integral. O primeiro exemplo calcula as equações de movimento de uma pedra em queda livre. O segundo exemplo calcula o tempo para uma maleta cair de uma altitude inicial. O terceiro exemplo calcula a velocidade inicial de uma pedra atirada para baixo.
1. O documento apresenta os principais conceitos da Mecânica dos Sólidos II, incluindo análise de tensões e deformações em estados tri-axiais, bi-axiais, uni-axiais e planos. 2. É descrito o método analítico para análise de tensões em estados planos, incluindo cálculo de tensões principais, máximas e nos planos principais. 3. Também é apresentado o método gráfico do Círculo de Mohr para análise de estados planos de tensão.
O documento discute o uso de redes sociais para fins profissionais. Aborda tópicos como criar perfis e páginas nas redes, produzir conteúdo relevante e de qualidade para o público-alvo, e os riscos de compartilhar informações pessoais ou fazer acusações que possam gerar processos jurídicos.
Uma mulher de 24 anos foi internada com convulsões e alucinações após uma dieta vegetariana. Exames iniciais não revelaram a causa. Posteriormente desenvolveu lesões, dificuldade de concentração e retenção urinária, excluindo Parkinson. Novos exames mostraram necrose hepática. Foi diagnosticada intoxicação por esporão de centeio de pão orgânico ingerido, levando a interação de drogas e vasoconstrição.
O documento descreve a história da família Massuia, originária da Itália, que emigrou para o Brasil no final do século XIX. Detalha as cinco famílias Mazzuia que vieram de diferentes regiões da Itália e se estabeleceram em São Paulo e Minas Gerais. Também relata a descendência de Eugênio Mazzuia e seus filhos que fundaram o ramo da família em Poloni, São Paulo.
A China possui uma grande diversidade geográfica e climática. É o país mais populoso do mundo com 1,3 bilhões de habitantes, sendo a maioria rural. Passou por grandes transformações econômicas sob Mao e Deng, tornando-se hoje uma potência global com a 3a maior economia.
A Guerra de Canudos (1896-1897) foi um conflito entre o Estado brasileiro e os moradores da vila de Canudos, liderados por Antônio Conselheiro, que resistiram às tropas por quase um ano. Canudos surgiu como um povoado agrícola fundado por sertanejos nordestinos em busca de melhores condições de vida, mas acabou sendo atacado por representar uma ameaça à recente República. Após várias expedições militares fracassadas devido à resistência dos moradores, uma grande
Este documento describe un proyecto educativo para fomentar el hábito de la lectura entre padres e hijos. El proyecto consiste en 6 sesiones a lo largo de 2 meses donde padres e hijos participarán juntos en actividades de lectura como leer cuentos, visitar bibliotecas, y crear un libro de memorias familiares. El objetivo es motivar el interés en la lectura de una manera divertida y compartida entre la familia.
La escuela inclusiva_y_el_aprendizaje_cooperatSusana Vila
Este documento describe los principios fundamentales de una educación y escuela inclusiva. Una escuela inclusiva celebra la diversidad, garantiza que todos los estudiantes se sientan cómodos y seguros, y se basa en la igualdad, cooperación y apoyo mutuo entre estudiantes. El objetivo es crear un ambiente donde todos puedan aprender y desarrollarse plenamente.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor desempenho. O dispositivo também possui um preço mais acessível em comparação aos modelos anteriores para atrair mais consumidores. O lançamento ocorrerá no próximo mês e a empresa espera que o novo smartphone ajude a aumentar suas vendas e participação no mercado.
Avaliação Educacional externa para estudantes com necessidades educacionais e...Marisa Teixeira
Projeto para construir proposta de avaliação educacional externa para estudantes com necessidades educacionais especiais, segundo os fundamentos do Pacto para alfabetização na idade certa - Pnaic.
1. La ley 472 de 1998 regula las acciones populares en Colombia, las cuales permiten que cualquier persona defienda derechos e intereses colectivos ante los jueces.
2. Las acciones populares pueden interponerse contra autoridades públicas o privadas que violen o amenacen derechos como la moralidad administrativa, el medio ambiente y la libre competencia.
3. El proceso de la acción popular incluye la presentación de la demanda, la posibilidad de un pacto de cumplimiento, la práctica de pruebas, la
La inteligencia y actividades humanas han modificado el planeta y son los conductores de los problemas globales actuales como el cambio climático. A medida que la población mundial aumenta a 10 mil millones, estos problemas se acelerarán. Estamos en una emergencia planetaria sin precedentes debido al impacto humano en la Tierra, la cual está cambiando de manera irreversible.
O documento compara a arquitetura e arte barroca em Minas Gerais e na Bahia durante o período colonial no Brasil. Minas Gerais teve maior liberdade criativa e uso de talhas douradas, enquanto a Bahia usou mais cores vivas na pintura e esculturas em madeira. O maior artista de Minas foi Aleijadinho, enquanto na Bahia foi Manuel Inácio da Costa.
A matematica eu uso eu gosto eu preciso¹marcosamenosi
O documento discute brevemente o que é matemática e suas utilidades. Também apresenta exemplos de descontos em compras e expressões numéricas interessantes. Finalmente, reflete sobre a importância da matemática estar ao alcance de todos e ser ensinada relacionando o mundo real com conceitos matemáticos.
The document lists the names of four musicians and the instruments they play in a band: Octavio Mosquera plays piano, Elvis Guevar plays guitar, Uriel Chávez plays bass, and Jafet Chávez plays the drums, while Xavier Camarena plays congas.
Este documento apresenta os requisitos mínimos para a elaboração, execução e administração de um Programa de Conservação Auditiva (PCA) em empresas. O objetivo principal de um PCA é prevenir a perda auditiva induzida pelo ruído ocupacional. O documento descreve os conceitos básicos sobre o sistema auditivo, ruído e seus efeitos na saúde, além de detalhar os passos para implementação de um PCA efetivo, incluindo avaliação da exposição, uso de protetores auditivos, treinamento, monitoramento e manuten
Este documento descreve um estudo sobre o risco de incêndios florestais no concelho de Mondim de Basto em Portugal. O estudo avalia três critérios para determinar as áreas de maior risco: 1) a probabilidade de ocorrência de incêndios baseada em variáveis como ocupação do solo, proximidade a estradas e povoações; 2) a dimensão potencial das áreas ardidas com base na cobertura do solo e relevo; e 3) a proximidade a zonas povoadas. Os resultados serão usados para avaliar a rede de
Este documento fornece um panorama histórico da educação no campo no Brasil, desde o período colonial até os dias atuais. Aborda conceitos como campo, educação do campo e as diretrizes operacionais para a educação básica nas escolas do campo. Também destaca a luta dos movimentos sociais para que as políticas educacionais levem em conta a realidade dos povos do campo.
El documento describe el desarrollo de un sistema de conmutadores inalámbricos para alumnos con discapacidad de un colegio. El sistema consiste en emisores acoplados a pulsadores y receptores acoplados a juguetes, los cuales se comunican mediante modulación en frecuencia. El objetivo es permitir a los niños interactuar con los juguetes de forma autónoma e independiente.
O documento apresenta um problema sobre um sistema composto por duas partículas de massas m e M fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento L posicionada dentro de uma casca hemisférica. O equilíbrio estático do sistema requer que a razão entre as massas m/M seja igual a (L2 - 2r2)/(2r2), onde r é o raio da casca hemisférica.
O documento apresenta um problema sobre o equilíbrio de duas partículas de massas m e M fixadas nas extremidades de uma barra posicionada dentro de uma casca hemisférica. A razão entre as massas m/M é igual a (L2 - 2r2)/(2r2), onde L é o comprimento da barra e r é o raio da casca hemisférica.
Este documento apresenta notações matemáticas comuns e a resolução de alguns exercícios. No primeiro exercício, é calculado o número de maneiras de trocar uma moeda de 25 centavos usando moedas menores, chegando-se à resposta de 12 maneiras. No segundo exercício, é calculada a probabilidade de um alvo ser atingido por pelo menos um de dois atiradores que acertam o alvo com probabilidade de 1/3, chegando-se à resposta de 5/9. No terceiro exercício, é calculada a razão entre números complexos rel
A distância percorrida por um automóvel após frear (d) é diretamente proporcional ao quadrado da sua velocidade (v). Para um automóvel específico em uma pista, a constante de proporcionalidade é 1/200. Com d = 50m, a velocidade é 100 km/h.
1. O documento apresenta exercícios sobre sistemas de coordenadas polares e integrais. É construído o gráfico de várias funções em coordenadas polares, como pontos, círculos, espiral, cardióide e caracol.
2. São calculadas áreas de regiões delimitadas por curvas como a lemniscata de Bernoulli e rosácea.
3. São resolvidos nove exercícios sobre representação gráfica de funções polares e cálculo de áreas.
O documento apresenta as equações da circunferência, explicando que a equação reduzida representa uma circunferência quando r>0. Fornece também a equação normal e as condições para que uma equação do segundo grau represente uma circunferência. A seguir, apresenta exercícios para identificar e determinar equações de circunferências.
O documento apresenta exercícios de geometria analítica resolvidos envolvendo circunferências e retas. Nos exercícios, são determinados os pontos de interseção, tangência e posição externa/interna de pontos em relação às circunferências. O documento também obtém a interseção de duas circunferências, resultando nos pontos (6,8) e (8,6).
Este documento apresenta notas de aula sobre modelos nucleares. O capítulo discute tópicos como a composição e estabilidade dos núcleos, o modelo do gás de Fermi, o raio nuclear, a massa nuclear e energia de ligação, modelos nucleares como a gota líquida e camadas, e isospin. Há também exercícios relacionados aos tópicos.
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
1. O documento apresenta 28 questões sobre circunferências no plano cartesiano. As questões abordam conceitos como equações de circunferências, pontos de interseção entre circunferências e retas, tangência, raio, centro e regiões delimitadas por circunferências.
O documento discute a definição de ângulos entre retas e planos no espaço. Para ângulos entre retas, ele define que o ângulo é 0° se as retas forem coincidentes ou paralelas, ou o menor ângulo positivo entre as retas se forem concorrentes. Para planos, o ângulo é 0° se forem paralelos ou coincidentes, ou o ângulo entre as retas perpendiculares aos planos que passam pelo ponto de interseção. Ele também fornece fórmulas para calcular esses ângulos
O documento apresenta 5 questões de matemática resolvidas. A questão 1 compara os valores de x e y. A questão 2 determina o valor de b a partir da função f(x) dada. A questão 3 calcula o 25o termo da sequência de seno de ângulos.
Geometria analítica: ponto, reta e circunferênciaMarcos Medeiros
O documento contém 7 questões sobre geometria analítica que abordam pontos, retas e circunferências. As questões tratam de determinar equações de retas e circunferências dadas condições, encontrar comprimentos e pontos notáveis em figuras geométricas como quadrados e paralelogramos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre elementos geométricos de estradas, curvas horizontais circulares e locação de curvas. Os exercícios envolvem cálculos de comprimentos, ângulos, raios, deflexões e locação de pontos de curva e tangente.
Este documento lista 87 problemas resolvidos de física do capítulo 4 sobre movimento bi e tridimensional do livro Física de Resnick, Halliday e Krane. As soluções fornecem detalhes passo a passo sobre cálculos envolvendo velocidade, aceleração e outros conceitos de movimento em duas e três dimensões. Dois exemplos de problemas resolvidos são fornecidos para ilustrar o tipo de análise e solução apresentadas.
Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdfmafakina Malolo JRr
Este documento apresenta três problemas sobre transmissão de calor através de corpos sólidos. O primeiro problema trata de um ferro de engomar submetido a um fluxo de calor constante em uma superfície e uma temperatura especificada na outra. Os outros problemas envolvem uma conduta cilíndrica e uma esfera submetidas a fluxos de calor uniformes nas superfícies externas. Para cada caso, a equação de condução de calor é formulada e resolvida para determinar as temperaturas nas superfícies e a variação de temper
1) O documento descreve um experimento envolvendo duas partículas conectadas por uma haste rígida e inextensível. A partícula I colide com a partícula II com velocidade VB formando um ângulo θ com a haste.
2) O documento afirma que após a colisão elástica, o componente x do momento linear do sistema é conservado, já que na direção x o sistema é isolado.
3) A resolução confirma que na direção x ocorre conservação do momento linear do sistema formado pelas partícul
Este documento apresenta três problemas envolvendo funções e geometria plana. No primeiro problema, são calculados os valores de uma função em pontos específicos e esboçado seu gráfico. No segundo, são esboçados os gráficos das funções modulo e valor absoluto de outra função. No terceiro, são calculadas probabilidades envolvendo lançamento de dados poliédricos.
A - MATEMÁTICA PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CA edição.pdfPedro Barros Neto
O documento apresenta conceitos fundamentais de análise de circuitos elétricos em corrente contínua e alternada, incluindo: (1) ferramentas matemáticas como fatoração de polinômios e geometria no círculo; (2) trigonometria no triângulo retângulo e funções trigonométricas circulares; (3) conceitos de frequência e período.
Este documento fornece o gabarito de uma prova de geometria analítica sobre circunferências. Nele, são resolvidos exercícios que envolvem determinar as coordenadas do centro e o raio de circunferências dadas por equações, encontrar a equação de circunferências com dados centro e raio, e analisar a posição de pontos em relação a circunferências.
Este documento describe el diseño de pavimentos flexibles según el método de AASHTO. Explica variables como el período de desempeño, datos de tráfico, nivel de confianza, efectos ambientales, criterios de desempeño y propiedades de los materiales necesarios para el diseño estructural. También presenta ecuaciones y abacos utilizados para determinar los espesores requeridos de las capas del pavimento que satisfagan el número estructural necesario.
Este documento introduce el concepto de vulnerabilidad sistémica como un enfoque para evaluar la contribución de la vulnerabilidad sísmica de edificaciones esenciales al riesgo sísmico de una comunidad. Define un sistema como un conjunto de elementos interrelacionados con una función común. Explica que cada instalación puede considerarse como un elemento, y que los elementos forman sistemas o subsistemas según su función. Finalmente, destaca la importancia de identificar los sistemas y subsistemas, y evaluar sus niveles de interrelación e importancia para priorizar
Este documento presenta los métodos para calcular el espesor requerido para un recapeo de acuerdo a la guía AASHTO 93. Explica dos métodos para dividir un proyecto de recapeo, el método de sección uniforme y el método punto por punto. También describe tres métodos para determinar la capacidad estructural efectiva del pavimento existente: relevamiento visual y ensayos de materiales, ensayos no destructivos, y vida remanente por fatiga. Proporciona ecuaciones y factores de ajuste para calcular la capac
Este documento presenta los métodos para calcular el espesor requerido para un recapeo de acuerdo a la guía AASHTO 93. Explica dos métodos para dividir un proyecto de recapeo, así como conceptos como deficiencia estructural. También describe tres métodos para determinar la capacidad estructural efectiva del pavimento existente: relevamiento visual y ensayos de materiales, ensayos no destructivos, y vida remanente por fatiga.
El documento presenta un mapa de proyectos de inversión en transporte en Perú, incluyendo carreteras, aeropuertos, puertos, ferrovías y puentes. Identifica proyectos públicos y privados a nivel nacional y por región, así como obras en ejecución, conservación, transferencias y preinversión. El mapa ubica los principales proyectos y las fuentes de información utilizadas para su elaboración.
Este capítulo describe diferentes metodologías para evaluar la vulnerabilidad sísmica de estructuras. Se clasifican los métodos en empíricos, analíticos y experimentales. Los métodos empíricos se basan en la experiencia y son cualitativos, mientras que los analíticos usan modelos mecánicos y los experimentales realizan pruebas dinámicas. El capítulo también explica que la vulnerabilidad depende de la acción sísmica, la capacidad de resistencia de la estructura y el daño esperado.
1) Se evalúa visualmente un pavimento para determinar su condición mediante el índice de condición del pavimento (PCI), el cual varía de 0 a 100. 2) El PCI se calcula dividiendo el pavimento en secciones y midiendo la densidad y severidad de fallas, luego se deducen puntos según tablas. 3) Se presenta un ejemplo de cálculo del PCI para una sección de pavimento con tres tipos de fallas.
Este documento describe diferentes tipos de fallas que pueden ocurrir en pavimentos rígidos, incluyendo fisuras, defectos en las juntas, defectos de superficie y defectos misceláneos. Describe cuatro tipos principales de fisuras (roturas de esquina, fisuras de durabilidad, fisuras longitudinales y fisuras transversales), e indica cómo medir la severidad de cada fisura en términos de ancho de grieta, presencia de huecos, etc. También describe ocho tipos de defectos en las
1) La construcción de un pavimento rígido incluye operaciones como explanación, construcción de capas granulares o estabilizadas, fabricación y colocación de concreto.
2) Se debe compactar la capa de soporte a la densidad especificada y cumplir las tolerancias de alineamiento horizontal y vertical antes de colocar el concreto.
3) El proceso constructivo incluye la preparación del soporte, producción y transporte de concreto, colocación con una pavimentadora, consolidación, acabado, texturizado, curado
Este documento trata sobre el diseño de refuerzo en pavimentos rígidos. Explica factores como cambios de temperatura y humedad que generan esfuerzos en los pavimentos, y la importancia de incluir juntas para permitir movimiento. También cubre cálculos para determinar esfuerzos térmicos usando fórmulas de Bradbury, y el uso de acero de refuerzo y juntas para manejar dichos esfuerzos. Finalmente, presenta un ejemplo de cálculo de esfuerzos de fricción durante el fragu
1) El documento describe diferentes tipos de pavimentos rígidos de concreto y su aplicación, incluyendo pavimentos de concreto simple, con refuerzo de acero estructural o no estructural, con refuerzo continuo, pre o postensado, y reforzado con fibras. 2) Explica el método AASHTO 93 para el diseño de espesores de losa de pavimentos rígidos basado en factores como tráfico, resistencia del concreto y módulos de reacción y elasticidad. 3) Detalla conceptos clave
El documento describe el método AASHTO 93 para el diseño de pavimentos flexibles. Explica que el número estructural (SN) representa la capacidad estructural requerida considerando factores como el tráfico, suelo, variación en la serviciabilidad y condiciones ambientales. El SN se convierte luego en espesores de capa usando coeficientes estructurales. También describe cómo se calcula el tráfico de diseño, módulo resilente del suelo, serviciabilidad, confiabilidad y coeficientes de drenaje.
El documento resume el Reglamento Nacional de Vehículos y las Inspecciones Técnicas Vehiculares en Perú. Describe la clasificación de vehículos en categorías como M (pasajeros), N (carga) y O (remolques), así como los requisitos técnicos para cada categoría relacionados a seguridad, identificación y pesos. También explica el proceso de incorporación vehicular a través de la inmatriculación y las inspecciones técnicas requeridas para verificar el cumplimiento de los estándares.
El documento describe los esfuerzos y deformaciones que ocurren en los pavimentos flexibles debido a las cargas de rueda. Explica la distribución de presiones de carga de rueda según el modelo de Boussinesq y proporciona ecuaciones para calcular los esfuerzos verticales, horizontales y de corte bajo la línea de carga. También cubre soluciones elásticas para una capa, incluidos métodos para calcular esfuerzos y deformaciones debidas a cargas puntuales y circulares.
El documento habla sobre el diseño de pavimentos. Explica que el tráfico, en particular el número y peso de los ejes de los vehículos, son factores determinantes en el diseño de la estructura del pavimento. También describe el método AASHTO de diseño de pavimentos, desarrollado en los Estados Unidos en la década de 1960 y basado en un ensayo a gran escala. Finalmente, señala que diseñar un pavimento es un arte que implica utilizar materiales imperfectamente conocidos para soportar cargas impredecibles.
El documento presenta un formato de hoja de ruta de trámite administrativo para la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. La hoja de ruta incluye campos para registrar información sobre el expediente, las dependencias por las que pasa, las fechas y firmas de recepción.
Este documento describe los procedimientos de ensayo de Proctor Modificado y la Relación Californiana de Soporte (CBR). El ensayo Proctor Modificado determina la relación entre el contenido de agua y el peso unitario seco de los suelos mediante la compactación en el laboratorio. El ensayo CBR mide la capacidad de soporte de un suelo midiendo la presión requerida para penetrar el suelo en comparación con una muestra patrón de grava machacada.
El documento describe los pasos para evaluar la subrasante de una carretera, incluyendo la exploración del suelo, la definición de áreas homogéneas, ensayos de resistencia, y la determinación de los valores de diseño. Examina cómo la respuesta del suelo depende de los tipos de suelo y su densidad y humedad. También destaca que la respuesta del suelo de subrasante es el factor más importante para determinar los espesores del pavimento.
Este informe final presenta los resultados del Estudio de Demanda de Cargas y Pasajeros en el Perú. Se realizaron conteos vehiculares y encuestas de origen-destino en 174 estaciones a lo largo de la red vial nacional. Se elaboraron matrices origen-destino de carga y pasajeros, y una matriz insumo-producto regional por sector económico. Adicionalmente, se propuso una metodología para actualizar periódicamente las matrices de demanda considerando nuevos relevamientos de datos.
El documento describe tres tipos de vulnerabilidad sísmica: estructural, no estructural y funcional. La vulnerabilidad estructural se refiere a qué tan susceptibles son los elementos estructurales a daños sísmicos. La vulnerabilidad no estructural analiza elementos como equipos, fachadas y vidrios. La vulnerabilidad funcional determina la posibilidad de colapso operacional debido a daños en suministros o accesos. También presenta el Método ATC 21 para evaluación rápida visual de vulnerabilidad identificando edificios potencialmente pel
1. ENGENHARIA CIVIL
TEORIA DE ESTRUTURAS II
3º Ano / 2º Semestre – 2001/2002
Prof. João Miranda Guedes (DEC)
MÉTODO DE CROSS
Seja a seguinte estrutura hiperstática:
E,I
R1 p R2
L
Os momentos nos apoios têm valor conhecido, apresentado em tabelas apropriadas, neste
caso:
⋅
R R p L
12
2
= − = −
1 2
Consideremos agora na estrutura anterior um apoio duplo intermédio, i.e. duas barras:
E,I
R1 p R3
L1 L2
=
R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p
L1 L2
R12 M2=-R20 R32
+
L1 L2
Método de Cross 1
2. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação
do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras
correspondentes à fixação do apoio fictício:
R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p
L1 L2
R10
R’20
p R30
R’’20
= +
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
Δ2=1
k’22
R*12 R*32
k’’22
L1 L2
[ ] { } { } { } K2′2 + K2′′2 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
⋅
− −
p L
12
⋅
⋅
E I
4 4
⋅ +
E I
L
1 2
2
M
′ + ′′
K K
22 22
Δ =
2
⋅
=
L
i.e.
R12
R’22
R32
R’’22
+
Δ2
2
2
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
′′ = ′′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
M
M
⋅
⋅
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 2
3. O momento flector na extremidade das barras é proporcional à rigidez à rotação das barras
no nó. Somando então as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R1
R’2
p R3
R’’2
+
Δ2
( )
( ) 20
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ + ′ = ′ +
R R R R
2 20 22 20
′′ = ′′ + ′′ = ′′ +
R R R R
2 20 22 20
20
R
R
⋅ −
⋅ −
Os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos
momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do
momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à
rotação da barra e a rigidez à rotação do nó.
Consideremos agora a estrutura anterior constituida por barras axialmente indeformáveis e
tal que a barra da esquerda é vertical:
p
L1
E, I
L2
=
p
L1
+
L2
R20
E, I
L1
E, I
M2=-R20
L2
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 3
4. Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos
flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste
caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
p
L1
=
L2
R20= R’20+ R’’20
R’’20
p
R’20
+
Δ2
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
L1
E, I
L2
Δ2=1
K’22 K’’22
[ ] { } { } { } K2′2 + K2′′2 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
⋅
− −
p L
12
⋅
⋅
E I
4 4
⋅ +
E I
L
1 2
2
M
′ + ′′
K K
22 22
Δ =
2
⋅
=
L
i.e.
Δ2
R’22 R’’22
+
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 4
5. 2
2
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
′′ = ′′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
M
M
⋅
⋅
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R’’2
p
R’2
+
Δ2
( )
( ) 20
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ + ′ = ′ +
R R R R
2 20 22 20
′′ = ′′ + ′′ = ′′ +
R R R R
2 20 22 20
20
R
R
⋅ −
⋅ −
Os momentos flectores nas extremidades das barras são iguais aos calculados na
estrutura anterior.
Consideremos agora a mesma estrutura, constituida por barras axialmente indeformáveis,
mas supondo a barra da esquerda numa posição «diagonal»:
p
E, I
L1
L2
=
E, I
R20
p
+
L2
L1
M2=-R20
E, I
L2
L1
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 5
6. Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos
flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste
caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
R20= R’20+ R’’20
R20
p
+
E, I
L2
L1
R’’20
p
R’20
+
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
E, I
L2
L1
Δ2=1
K’22 K’’22
[ ] { } { } { } K2′2 + K2′′2 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
⋅
− −
p L
12
⋅
⋅
E I
4 4
⋅ +
E I
L
1 2
2
M
′ + ′′
K K
22 22
Δ =
2
⋅
=
L
i.e.
Δ2
R’22 R’’22
+
2
2
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
′′ = ′′ ⋅ Δ =
R K
22 22 2
M
M
⋅
⋅
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 6
7. Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
R’’2
p
R’2
+
Δ2
( )
( ) 20
′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′′
22
K
′ + ′′
K K
22 22
′ = ′ + ′ = ′ +
R R R R
2 20 22 20
′′ = ′′ + ′′ = ′′ +
R R R R
2 20 22 20
20
R
R
⋅ −
⋅ −
Os momentos flectores nas extremidades das barras são ainda iguais aos calculados na
estrutura anterior, i.e. não dependem da orientação das barras.
Seja agora uma estrutura constituida por 3 barras axialmente indeformáveis:
p
3
E, I
α
L2
A
C
2
B
D
1
. cos α
L1 L3
=
p
3
E, I
R20
α
L2
2
1
. cos α
L1 L3
3
E, I
α
L2
M2=-R20
2
1
. cos α
L1 L3
+
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 7
8. Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos
flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste
caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
p
3
E, I
2
(R20)2
(R20)1
α
(R20)3
1
e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2
concentrado aplicado na direcção 2:
(K22)2
Δ2=1
(K22)1 3
E, I
α
2
1
(K22)3
[( ) ( ) ( ) ] { } { } { } K22 1 + K22 2 + K22 3 ⋅ Δ2 + 0 = M2
2
M
( ) ( ) ( )
3
2
⋅
− −
p L
12
⋅
⋅
⋅
E I
E I
4 4 4
⋅ +
⋅ +
E I
L
L
1 2 3
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
Δ =
2
⋅
=
L
i.e.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 8
9. (R22)2
Δ2
(R22)1 3
E, I
α
2
1
(R22)3
( ) ( ) ( )
22 1
K
( ) + ( ) +
( )
K K K
22 1 22 2 22 3
= ⋅ Δ =
R K
22 1 22 1 2
( ) ( ) ( )
22 2
K
( ) + ( ) +
( )
K K K
22 1 22 2 22 3
= ⋅ Δ =
R K
22 2 22 2 2
( ) ( ) ( )
22 3
2
2
M
M
M
K
⋅
⋅
⋅
( ) + ( ) +
( ) 2
K K K
22 1 22 2 22 3
= ⋅ Δ =
R K
22 3 22 3 2
Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:
p
(R2)2
Δ2
(R2)1 3
E, I
α
L2
2
1
. cos α
(R2)3
L1 L3
( ) ( ) ( ) ( ) ( K
)
22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 1 20 1 22 1 20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 2
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 2 20 2 22 2 20 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 3
( ) ( ) ( ) ( ) + +
20
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 3 20 3 22 3 20 3
R
⋅ −
Mais uma vez, os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo
aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do
momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à
rotação da barra e a rigidez à rotação do nó. Note ainda que, por um lado, caso não exista
qualquer momento concentrado aplicado no nó livre,
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 9
10. (R2 )1 + (R2 )2 + (R2 )3 = 0
e por outro, o equilíbrio do nó transfere para as extremidades das barras opostas ao nó que
sofre rotação um momento que, por sobreposição dos efeitos anteriores, é igual a
p
(R2)2
(Ra)2
Δ2
(R2)1 3
E, I
α
2
1
(R2)3
(Ra)1
(Ra)3
=
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
p
3
E, I
(Ra0)2
2
(R20)2
(R20)1
α
(R20)3
1
(Ra0)1
(Ra0)3
(K22)2
(Ra2)2=(Ka2)2
Δ2=1
(K22)1 3
E, I
α
2
1
(K22)3
+
(Ra2)1=(Ka2)1
(Ra2)3=(Ka2)3
x Δ1
( ) ( ) ( ) ( ) r ⋅
( K
)
1 22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
1 0 1 2 1 0 1
a a a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
⋅
r K
R
⋅ −
2 22 3
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 0 2 2 2 0 2
a a a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
⋅
r K
R
⋅ −
3 22 3
( ) ( ) ( ) ( ) + +
20
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
3 0 3 2 3 0 3
R
a a a a
⋅ −
i.e. são calculados adicionando aos momentos de encastramento na situação do apoio
fictício imóvel, um valor r do momento absorvido pela barra na extremidade que sofre
rotação, sendo que para a barra i,
( ) ( )ri ⋅ K22 i = Ka2 i
No caso de barras de secção constante, temos:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 1 0
11. ⋅
⋅ ⋅
i
⋅
= ⋅ E I
r E I
5 , 0 2 4 = ⇒
i r
L
i i
L
Para finalizar esta primeira abordagem do Método de Cross, iremos considerar ainda na
estrutura anterior um apoio duplo na extremidade direita da barra 3,
p
3
E, I
α
L2
A
C
2
B
D
1
. cos α
L1 L3
A resolução da estrutura determina para os esforços nas extremidades das barras
p
(R2)2
(Ra)2
Δ2
(R2)1 3
E, I
α
2
1
(R2)3
(Ra)1
(Ra)3
=
R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3
p
3
E, I
(Ra0)2
2
(R20)2
(R20)1
α
(R20)3
1
(Ra0)1
(K22)2
(Ra2)2=(Ka2)2
Δ2=1
(K22)1 3
E, I
α
2
1
(K22)3
+
(Ra2)1=(Ka2)1
x Δ1
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 1 1
12. ( ) ( ) ( ) ( ) ( K
)
22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 1 20 1 22 1 20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 3
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 2 20 2 22 2 20 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
K
R
⋅ −
22 3
( ) ( ) ( ) ( ) + +
20
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
2 3 20 3 22 3 20 3
R
⋅ −
( ) ( ) ( ) ( ) r ⋅
( K
)
1 22 1
( ) ( ) ( ) ( )
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
= + = +
R R R R
1 0 1 2 1 0 1
a a a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
20
⋅
⋅ −
r K
R
( ) ( ) ( ) ( )
= + = +
R R R R
2 0 2 2 2 0 2
a a a a
( )3 0
20
2 22 3
+ +
K K K
22 1 22 2 22 3
=
⋅ −
a
R
R
A rigidez à rotação da barra 3 no apoio fictício, (K22)3, é, neste caso, igual a (3. E.I / L)3 e não
a (4.E.I / L)3, sendo (Ra0)3 = r3 = 0. Por outro lado, os valores cocientes da rigidez à rotação
das barras nos nós designam-se por coeficientes de distribuição de rigidez nos nós
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 1 2