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Geometria: algumas noções

Formação Contínua em Matemática para
Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico

Escola Superior de Educação
Universidade do Algarve

Fundo Social Europeu
União Europeia

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Linha Poligonal
Linha poligonal é uma linha formada por sucessivos segmentos de recta, tendo os
segmentos consecutivos um extremo comum, não estando na mesma recta dois
segmentos consecutivos e não tendo os segmentos de recta pontos comuns para além
dos extremos.
Exemplos: A linha

é uma linha poligonal aberta, enquanto que as linhas

e

são linhas poligonais fechadas

De acordo com a definição, as seguintes linhas não são consideradas linhas poligonais:

A

B

Nas linhas A e B, há segmentos que têm um ponto em comum para além dos extremos.

POLÍGONO
Polígono é uma região plana limitada por uma linha poligonal fechada.

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Classificação de polígonos
Convexidade
Um polígono diz-se convexo quando, quaisquer que sejam os dois pontos que
considerarmos no seu interior ou na sua fronteira, o segmento de recta que os une
também está contido no interior do polígono. Quando tal não acontece, o polígono diz-se
não convexo (ou côncavo):

Polígono convexo

Polígono não convexo

Número de lados
Alguns polígonos são designados consoante o número de segmentos de recta que formam
a sua fronteira. A esses segmentos de recta chamamos lados do polígono:
Nº de lados
do polígono

Nº de lados
do polígono

Designação

3

Triângulo

9

Eneágono

4

Quadrilátero

10

Decágono

5

Pentágono

11

Undecágono

6

Hexágono

15

Pentadecágono

7

Heptágono

20

Icoságono

8

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Designação

Octógono

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20

n-ágono

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Regularidade
Um polígono diz-se regular quando tem os lados e os ângulos todos iguais:

Triângulo regular

Quadrilátero regular

(equilátero)

Pentágono regular

Heptágono regular

(quadrado)

ÂNGULO
Chama-se ângulo convexo à intersecção de dois semi-planos do mesmo plano, cujas
origens se intersectam.
Na figura abaixo está representado a verde o ângulo convexo BVA que é a intersecção de
dois semi-planos, um a azul e o outro a amarelo.
B

A’

A

V
B’

Chama-se ângulo côncavo à reunião de dois semi-planos do mesmo plano.

V

A

B

Ao ponto V chama-se vértice do ângulo.
Os lados do ângulo são as semi-rectas VA e VB.

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No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas opostas (da mesma recta) com origem
comum, o ângulo diz-se raso. As semi-rectas são os lados do ângulo e a sua origem
comum é o vértice.

A

B

C

O ângulo da figura acima é raso porque as semi-rectas BA e BC sã o opostas. BA e BC
são os lados do ângulo e B é o seu vértice.
Um ângulo recto é o que é igual a metade de um ângulo raso.
No caso dos lados do ângulo serem semi-rectas coincidentes temos um ângulo nulo e um
ângulo giro.

A um ângulo, não nulo, menor que um ângulo recto chama-se ângulo agudo.
A um ângulo maior que um ângulo recto e menor que um ângulo raso chama-se obtuso.

TRIÂNGULOS
Um polígono com três lados (e com 3 ângulos) chama-se trilátero ou triângulo.
Os triângulos podem ser classificados quanto à grandeza relativa dos lados ou atendendo
à natureza dos seus ângulos.
Se os comprimentos dos lados de um triângulo forem todos diferentes, este diz-se
escaleno. Um triângulo com dois lados com o mesmo comprimento diz-se isósceles. Se,
além disso, o terceiro lado de um triângulo isósceles tiver o mesmo comprimento que os
outros dois lados, diz-se equilátero.
Se um triângulo tiver todos os ângulos agudos, diz-se acutângulo. Se tiver um ângulo
recto, trata-se de um triângulo rectângulo e, se tiver um ângulo obtuso é um triângulo
obtusângulo.
É possível encontrar os seguintes tipos de triângulos:

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(

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Escaleno

Isósceles

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Equilátero

Acutângulo

Rectângulo

Obtusângulo

QUADRILÁTEROS
Um quadrilátero é um polígono com 4 lados (e quatro ângulos).
Uma classificação possível:
Quadrilátero – Polígono de quatro lados

Quadrilátero Não Convexo

Quadrilátero Convexo

Trapézio: Quadrilátero com lados paralelos

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Paralelogramo: Quadrilátero com dois pares
de lados paralelos

Rectângulo: Quadrilátero com todos os lados consecutivos
perpendiculares (ou com 4 ângulos rectos)

Losango ou Rombo: Quadrilátero
com todos os lados iguais

Quadrado: Rectângulo com lados iguais ou losango com os lados
consecutivos perpendiculares.

Papagaio: Quadrilátero com dois lados
consecutivos congruentes

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*

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Podemos sintetizar a classificação no seguinte diagrama de Venn:

Quadrados

Se pretendêssemos classificar os quadriláteros de acordo com as propriedades das suas
diagonais, poderíamos averiguar quais os quadriláteros cujas diagonais se bissectam

(intersectam-se no ponto médio dessas diagonais). Esta propriedade é verificada por todos
os paralelogramos (e só por esses quadriláteros):

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+

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Em todos os outros quadriláteros, as diagonais não se bissectam:

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS e CILINDRO
Chama-se superfície cilíndrica à superfície gerada por uma recta que se move,
paralelamente a si mesma, sobre uma linha.
A recta móvel é a geratriz e a linha é a directriz.
Todas as posições particulares da geratriz têm ainda o nome de
geratriz.
Uma superfície cilíndrica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta
ou fechada a sua directriz.
Na figura ao lado está representada uma superfície cilíndrica fechada
cuja geratriz é, por exemplo, a recta HB e a directriz é a linha fechada representada na
figura que passa pelos pontos A, B, C, D, E, F e G.
Como caso particular das superfícies cilíndricas temos as
superfícies prismáticas em que a directriz é uma linha poligonal.
Na figura ao lado está representada uma superfície prismática cuja
geratriz é a recta EF e a directriz é a linha poligonal [ABCD].
As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais
denominam-se arestas e as porções planas determinadas por
duas arestas consecutivas denominam-se faces.

Cilindro é o sólido limitado por uma superfície cilíndrica fechada e por
dois planos paralelos que intersectam as geratrizes da superfície.

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As porções dos planos que limitam o cilindro são as bases.
Como caso particular do cilindro temos o prisma, em que as bases são polígonos e a
superfície lateral é formada por paralelogramos que tomam o nome de faces laterais.
Exemplos de prismas:

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SUPERFÍCIES CÓNICAS E CONES
Chama-se superfície cónica à superfície gerada por uma recta que
passa por um ponto fixo e se move apoiando-se numa linha.
Na figura ao lado está representada uma superfície cónica fechada
cujo vértice é o ponto V, a geratriz é, por exemplo, a recta VA e a
directriz é a linha fechada representada na figura que passa pelos
pontos A, B, C e D.
O ponto fixo é o vértice, a recta móvel a geratriz e a linha a directriz.
Uma superfície cónica é dividida em duas partes pelo vértice, chamando-se cada uma
delas folha da superfície cónica.
Uma superfície cónica diz-se aberta ou fechada conforme é aberta ou fechada a sua
directriz.
Como caso particular das superfícies cónicas temos as superfícies
piramidais em que a directriz é uma linha poligonal.
Na figura ao lado está representada uma superfície piramidal cujo
vértice é o ponto V, a geratriz a recta VE e a directriz a linha poligonal
[ABCD].
As geratrizes que passam pelos vértices das linhas poligonais
denominam-se arestas e as porções planas determinadas por duas arestas consecutivas
denominam-se faces.

Cone é o sólido limitado por uma folha de superfície cónica fechada e por
um plano que intersecta todas as geratrizes.
À porção de plano que limita o cone chama-se base, ao vértice da
superfície chama-se vértice do cone e às porções das geratrizes
compreendidas entre o vértice e a base dá-se o nome de geratrizes.
Como caso particular do cone temos a pirâmide em que a base é um polígono e a
superfície lateral é composta por triângulos.

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POLIEDROS
Poliedros são sólidos limitados por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro (são
as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são
os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices
do poliedro (são os pontos de encontro das arestas). Os vértices, as arestas e as faces de
um poliedro dizem-se os elementos do poliedro.

Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se
encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas
faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço.
São exemplos de poliedros convexos: o cubo, o paralelepípedo, os prismas e as
pirâmides. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos.
Exemplo de poliedros convexos:

Exemplo de poliedros côncavos:

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Em qualquer poliedro convexo verifica-se a relação de Euler:
V + F =A + 2

Um poliedro diz-se regular quando as faces são polígonos regulares geometricamente
iguais e, em cada vértice, convergem o mesmo número de arestas e de faces.

POLIEDROS REGULARES CONVEXOS (SÓLIDOS PLATÓNICOS)

NÃO POLIEDROS
Os sólidos limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas chamam-se Não
Poliedros. São exemplos de não poliedros os cilindros e os cones já referidos
anteriormente, bem como a esfera.
De entre estes são particularmente importantes os Sólidos de
Revolução. São sólidos de revolução a esfera e alguns
cilindros e cones.
Cilindro de revolução é o sólido gerado por um rectângulo
(rectângulo gerador) que roda em torno de um dos seus lados
(eixo) até dar uma volta completa.
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O lado do rectângulo paralelo ao eixo é a geratriz do cilindro.
Os dois lados perpendiculares ao eixo são chamados raios do cilindro e geram dois
círculos que são as bases do cilindro.
A altura de um cilindro de revolução é dada pela medida do seu eixo ou de qualquer das
suas geratrizes.

Cone de revolução é o sólido gerado por um triângulo rectângulo
(triângulo gerador) que roda em torno de um dos seus catetos (eixo)
até dar uma volta completa.
A hipotenusa do triângulo gerador é a geratriz.
O outro cateto é o raio do cone e gera um círculo que é base do cone.
A altura de um cone de revolução é dada pela medida do seu eixo.
Esfera é o sólido gerado por um semicírculo (semicírculo gerador) que roda em torno do
seu diâmetro (eixo) até dar uma volta completa.

O centro e o raio do semicírculo tomam, respectivamente, o nome de centro e raio da
esfera.

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