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FUNÇÃO MODULAR APOSTILA
06
1. Módulo de um número real
Dado um número real , denomina-se módulo ou valor absoluto
de , indicado por | |, o número que pode ser definido da seguinte
maneira:
| |
, 0
, 0
Exemplo 1
|7| 7 | 7| 7 7
Exemplo 2
Calcule:
a) 3 | 5| c) | 2 5| e) | 3 |2 5||
b) 4. | 2| d) | 6 . 7 | f) | 12 2 . 5 3|
2. Função Modular
Chama-se função modular uma função : → tal que
| |.
Baseado no conceito de módulo de um número real, podemos
definir | | por:
, 0
, 0
3. Gráfico da função
Construa o gráfico da função | |.
0 ⇒ 0 ⇒ | |
4. Translação do gráfico da função modular
De acordo com as características dos gráficos das funções
modulares, podem ocorrer três tipos de translação: vertical,
horizontal e mista.
4.1. Translação vertical
Ocorre quando o limite do gráfico
se movimenta sobre ou
paralelamente ao eixo das
ordenadas (eixo ).
4.2. Translação horizontal
Ocorre quando o limite do
gráfico se movimenta
sobre ou paralelamente ao
eixo das abscissas (eixo
).
4.3. Translação mista
É o caso em que ocorre tanto a translação vertical quanto a
horizontal.
Exemplo 3
Construa o gráfico das seguintes funções:
a) | | 1
b) | 1|
c) | 3| 1
5. Propriedades do módulo
Para que possamos trabalhar os conceitos de equação e
inequação modular, antes precisamos conhecer algumas de
suas propriedades.
P1 - | | 0, ∀ ∈
P2 - | | 0 ⇔ 0
P3 - | | | |, ∀ ∈
P4 - | | ! ⇔ ! "# !
P5 - | | ⇒ 0
P6 - | |$ | $| ²
P7 - & ² | |
P8 - | | ' ⇔ ' ', (") ' * 0
P9 - | | * ' ⇔ ' "# * ', (") ' * 0
6. Equação Modular
São chamadas de equações modulares aquelas nas quais a
incógnita aparece nos módulos.
Exemplo 5
a) | 5| 30
b) |3 1| 2
c) | ² 9| 0
d) |2 1| | 3|
e) |2 3| 2
Questão 1
Utilizando a definição de módulo calcule:
a) | $|, ∀ ∈ c) | 12|, ∀ ∈
b) | ,|, ∀ ∈ d) | 6|, ∀ ∈
Questão 2
Esboce os gráficos das funções a seguir e determine seu
domínio e sua imagem.
| 3|
|2 1| 5
| | 2
Questão 3
(FEI – SP) Construa o gráfico de | 1| 1.
Questão 4
(PUC – MG) O gráfico de | 3| 2 1 é também o
gráfico da função -, definida por:
(A) - .
3 4, 3
3 4, 3
(B) - .
4 , 3
2 3, 3
(C) - .
4, 3
3 2, 3
(D) - .
2, 3
3 4, 3
(E) - .
3 2, 3
4, 3
Questão 5
(FUVEST – SP) Determine as raízes das equações a seguir:
a) |2 3| 5 b) |2 $ 1| 0
Questão 6
(FGV – SP) Quantos números inteiros não-negativos satisfazem
a inequação | 2| 5?
(A) Infinitos (C) 5 (E) 7
(B) 4 (D) 6
Questão 7
(PUC – SP) A soma de todos os números inteiros que
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Função Modular (AP 06)

  • 1. 01PROEBE – Tv. Santo Antônio, nº 1190, fone: (91) 81448701 Acesse nossa página: http://proebe.blogspot.com.br MATEMÁTICA I ProfProfProfProf.... GIANCARLOGIANCARLOGIANCARLOGIANCARLO –––– CURSINHOCURSINHOCURSINHOCURSINHO FUNÇÃO MODULAR APOSTILA 06 1. Módulo de um número real Dado um número real , denomina-se módulo ou valor absoluto de , indicado por | |, o número que pode ser definido da seguinte maneira: | | , 0 , 0 Exemplo 1 |7| 7 | 7| 7 7 Exemplo 2 Calcule: a) 3 | 5| c) | 2 5| e) | 3 |2 5|| b) 4. | 2| d) | 6 . 7 | f) | 12 2 . 5 3| 2. Função Modular Chama-se função modular uma função : → tal que | |. Baseado no conceito de módulo de um número real, podemos definir | | por: , 0 , 0 3. Gráfico da função Construa o gráfico da função | |. 0 ⇒ 0 ⇒ | | 4. Translação do gráfico da função modular De acordo com as características dos gráficos das funções modulares, podem ocorrer três tipos de translação: vertical, horizontal e mista. 4.1. Translação vertical Ocorre quando o limite do gráfico se movimenta sobre ou paralelamente ao eixo das ordenadas (eixo ). 4.2. Translação horizontal Ocorre quando o limite do gráfico se movimenta sobre ou paralelamente ao eixo das abscissas (eixo ). 4.3. Translação mista É o caso em que ocorre tanto a translação vertical quanto a horizontal. Exemplo 3 Construa o gráfico das seguintes funções: a) | | 1 b) | 1| c) | 3| 1 5. Propriedades do módulo Para que possamos trabalhar os conceitos de equação e inequação modular, antes precisamos conhecer algumas de suas propriedades. P1 - | | 0, ∀ ∈ P2 - | | 0 ⇔ 0 P3 - | | | |, ∀ ∈ P4 - | | ! ⇔ ! "# ! P5 - | | ⇒ 0 P6 - | |$ | $| ² P7 - & ² | | P8 - | | ' ⇔ ' ', (") ' * 0 P9 - | | * ' ⇔ ' "# * ', (") ' * 0 6. Equação Modular São chamadas de equações modulares aquelas nas quais a incógnita aparece nos módulos. Exemplo 5 a) | 5| 30 b) |3 1| 2 c) | ² 9| 0 d) |2 1| | 3| e) |2 3| 2 Questão 1 Utilizando a definição de módulo calcule: a) | $|, ∀ ∈ c) | 12|, ∀ ∈ b) | ,|, ∀ ∈ d) | 6|, ∀ ∈ Questão 2 Esboce os gráficos das funções a seguir e determine seu domínio e sua imagem. | 3| |2 1| 5 | | 2 Questão 3 (FEI – SP) Construa o gráfico de | 1| 1. Questão 4 (PUC – MG) O gráfico de | 3| 2 1 é também o gráfico da função -, definida por: (A) - . 3 4, 3 3 4, 3 (B) - . 4 , 3 2 3, 3 (C) - . 4, 3 3 2, 3 (D) - . 2, 3 3 4, 3 (E) - . 3 2, 3 4, 3 Questão 5 (FUVEST – SP) Determine as raízes das equações a seguir: a) |2 3| 5 b) |2 $ 1| 0 Questão 6 (FGV – SP) Quantos números inteiros não-negativos satisfazem a inequação | 2| 5? (A) Infinitos (C) 5 (E) 7 (B) 4 (D) 6 Questão 7 (PUC – SP) A soma de todos os números inteiros que satisfazem a sentença 2 / |3 1| 5 é: