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FRACTAIS
CONHEÇA A OBRA PRIMA
DA NATUREZA ESTUDADA
POR MATEMÁTICOS
OBSERVEM AS IMAGENS
BRÓCOLI
GALÁXIA
Nuvens não são esferas,
montanhas não são cones,
continentes não são círculos,
o som do latido não é contínuo
e nem o raio viaja em linha
reta."
(Benoît Mandelbrot, em seu
livro "The Fractal Geometry of
Nature" - 1983)
A Geometria fractal da natureza
Conceito
 "Fractais são
objetos gerados
pela repetição de
um mesmo
processo
recursivo,
apresentando
auto-semelhança
e complexidade
infinita."
O nascimento do Universo
A origem do Universo
Anel
de
Areia
Geometria não-euclidiana
 A Geometria Fractal pode ser utilizada para
descrever diversos fenômenos na natureza,
onde não podem ser utilizadas as
geometrias tradicionais. Nuvens,
montanhas, turbulências, árvores,
crescimento de populações, vasos
sangüíneos e outras formas irregulares
podem ser estudadas e descritas utilizando
as propriedades dos fractais.
Revista Superinteressante
 Segundo o velho Euclides, matemático grego que
viveu dois milênios atrás, existem figuras que não
têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o
caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma
linha, por sua vez - considerada a distância entre
dois pontos quaisquer -, é algo com uma única
dimensão. Já a capa de SUPERINTERESSANTE, de
acordo com a geometria euclidiana, tem duas
dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é
necessário multiplicar dois números - o do
comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um
bloco possui três dimensões, porque precisamos
multiplicar três números (comprimento, largura e
altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava
certo. Mas não resolveu todo o problema.
Os contornos das montanhas, a superfície dos
pulmões humanos, a trajetória das gotículas de
água quando penetram na terra - existe uma
infinidade de fenômenos na natureza que não
podem ser descritos por essa geometria toda
certinha. É preciso apelar para complicados
cálculos que resultam nas chamadas
dimensões fracionárias .
Características dos fractais
 Complexidade Infinita: É uma propriedade dos
fractais que significa que nunca conseguiremos
representá-los completamente, pois a
quantidade de detalhes é infinita. Sempre
existirão reentrâncias e saliências cada vez
menores.
 Auto-similaridade: Um fractal costuma
apresentar cópias aproximadas de si mesmo em
seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao
todo. Visto em diferentes escalas a imagem de
um fractal parece similar
O Pai dos fractais
 Benoît Mandelbrot foi o
pioneiro na investigação da
geometria fractal. No fractal
com o seu nome (Fig.1),
vêem-se pequenos discos
que têm à sua volta outros
pequenos discos, que
também têm à sua volta
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mais pequenos, e assim
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Fractal de Mandelbrot
Dimensões Fractais
- Joãozinho, qual é o comprimento da costa
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ao contrário do que você lê em muitos
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A imagem ao lado ("A Curva de
Koch") é um exemplo
geométrico da construção de
um fractal. Um mesmo
procedimento é aplicado
diversas vezes sobre um objeto
simples, gerando uma imagem
complexa. Cada pedaço da
linha foi dividido em 4 pedaços
menores idênticos ao pedaço
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  • 1. FRACTAIS CONHEÇA A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA POR MATEMÁTICOS
  • 3.
  • 4.
  • 7. Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta." (Benoît Mandelbrot, em seu livro "The Fractal Geometry of Nature" - 1983) A Geometria fractal da natureza
  • 8. Conceito  "Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita." O nascimento do Universo
  • 9. A origem do Universo
  • 11.
  • 12.
  • 13.
  • 14.
  • 15. Geometria não-euclidiana  A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sangüíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos fractais.
  • 17.  Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milênios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Já a capa de SUPERINTERESSANTE, de acordo com a geometria euclidiana, tem duas dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.
  • 18. Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias .
  • 19. Características dos fractais  Complexidade Infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.  Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar
  • 20. O Pai dos fractais  Benoît Mandelbrot foi o pioneiro na investigação da geometria fractal. No fractal com o seu nome (Fig.1), vêem-se pequenos discos que têm à sua volta outros pequenos discos, que também têm à sua volta outros pequenos discos ainda mais pequenos, e assim sucessivamente.
  • 22.
  • 23.
  • 24. Dimensões Fractais - Joãozinho, qual é o comprimento da costa brasileira? - Depende, professor... - Mas como, Joãozinho, depende do quê? - Depende do tamanho do meu barco... - Joãozinho está certo. O comprimento do litoral depende de como ele é medido. Isto acontece porque o litoral, ao contrário do que você lê em muitos livros de geografia, não é uma linha.
  • 25.
  • 26. A imagem ao lado ("A Curva de Koch") é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmo procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa. Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original.
  • 27. Floco de neve de KOCH
  • 29. O tapete de Sierpinsky
  • 32.
  • 34.
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.
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  • 40.
  • 41.
  • 42.
  • 43.
  • 44. ELABORAÇÃO: MEIRE DE FÁTIMA MORALEZ JANEIRO 2009