Fractais são conjuntos geométricos que apresentam auto-similaridade em diferentes escalas, possuem dimensão fracionária e preenchem mais espaço do que curvas ordinárias. Exemplos de fractais auto-similares incluem a Curva de Koch, o Floco de Neve e o Triângulo de Sierpinski, enquanto o Conjunto de Mandelbrot é um fractal quase auto-similar. A dimensão fractal foi concebida por Mandelbrot para medir objetos como a costa da Inglaterra, que não se encaixam per

1. Fractais

2. O QUE SÃO FRACTAIS?
1) São conjuntos auto-similares: ampliações
sucessivas do conjunto reproduzem
exatamente o mesmo conjunto.
ou
2) São conjuntos quase auto-similares:
ampliações sucessivas parecidas com o
conjunto inicial, mas não idênticas.
O importante é que cada ampliação revele
novas estruturas.

3. Características:
— Auto-similaridade
— Estruturas numa série infinita de
escalas
— Preenchem mais espaço que uma
curva
e menos que uma superfície
— Dimensão fracionaria

4. Caos e fractais são primos matemáticos,
a relação entre eles vem através do
atrator que pode ser fractal,
assim as possibilidades de acomodação
do sistema podem ser “infinitas”.

5. Dimensão fractal
Dimensão fracionária - O matemático alemão, Félix
Hausdorf, deu uma das primeiras versões
ao conceito de dimensão.
Para ele, uma superfície plana tem duas dimensões,
pois temos de multiplicar
dois números para calcular sua área.
Do mesmo modo, um bloco é tridimensional,
pois precisamos multiplicar três números
para calcular seu volume.

6. Hausdorf pensou que essa regra simples
era suficiente para catalogar todas as figuras, desde
0-D até ∞-D.
A possibilidade de fracionar o número de dimensões,
foi aventada pelo matemático
Benoit Mandelbrot, da IBM, em 1975.
Ele concluiu que algumas figuras concebidas pelos
matemáticos, no passado, não podiam ser
catalogadas satisfatoriamente pela regra de
Hausdorf e, baseando-se em fenômenos naturais
comuns, apresentou alguns exemplos:

7. Imaginou calcular a área da Inglaterra, fazendo a da
linha da costa, aproximadamente, um retângulo.
Pela regra de Hausdorf,
para calcular a área,
bastava multiplicar o
comprimento pela largura,
mas Mandelbrot percebeu que,
nesse caso, a aplicação da regra
era mais complicada.
Como decidir qual a unidade de
medida para comprimento e
largura do retângulo?

8. Imagine-se voando num balão suficientemente
distante do retângulo para não perceber os recortes
da costa.
Vê-se um retângulo de 1000 km de comprimento e
cerca de 130 km de largura.
Assim, pode concluir que a área do retângulo é de
130.000 km2
.

9. Ao voltar para o solo, você perceberá o ondulado do
retângulo e, ao contorná-lo em um automóvel,
verificará que as melhores medidas para o
comprimento e para a largura do retângulo são 1300
km e 150 km.
Dessa forma, a área saltaria para 195.000 km2
.
A exatidão seria ainda pior, se nos imaginássemos
fazendo a viagem no dorso de um inseto.
Ao percorrermos todas as pequenas reentrâncias do
retângulo, iríamos calcular uma área muito maior.

10. O paradoxo observado por Mandelbrot é que,
à medida que melhoramos as estimativas do
comprimento e da largura, pioramos o cálculo da
área.
Mandelbrot percebeu que alguns objetos
geométricos, teriam sua área calculada,
não pelo produto de dois números, mas,
pelo produto de um número
pela raiz quadrada de outro número.
Isso equivale a dizer que a Inglaterra é um objeto de
dimensão 1,5.
Estava criada a dimensão fracionária.

11. EXEMPLOS DE
OBJETOS FRACTAIS
AUTO-SIMILARES

12. A Curva de Koch
e o Floco de Neve
D=1,26

13. Triângulo de Sierpinski – D=1,58

14. Esponja de Menger – D=2,73

15. UM EXEMPLO
DE FRACTAL
QUASE AUTO-
SIMILAR:
O CONJUNTO
DE
MANDELBROT

30. Conjunto de Mandelbrot animação

32. Outros Objetos fractaisOutros Objetos fractais

57. Final da parte 5Final da parte 5