Este documento apresenta um resumo sobre Matemática Financeira. Aborda conceitos como juros simples e compostos, taxas de juros, fórmulas para cálculo de juros, montante, rendas certas e sugestões de atividades. Tem como objetivo contextualizar esses conceitos matemáticos e torná-los úteis para a vida financeira dos estudantes.
1) O documento apresenta os principais conceitos de Matemática Financeira como juros, capital inicial, taxa de juros, prazo, montante e prestação.
2) Os autores do livro são Alessandro da Silva Saadi e Felipe Morais da Silva, ambos da Universidade Federal do Rio Grande.
3) O livro ensina o uso da calculadora financeira HP-12C para cálculos de juros, descontos, montantes e valores atuais associando-os aos conceitos matemáticos financeiros.
Na edição de Janeiro de 2011 do Relatório Mensal de Economia registamos a tendência para a perda de dinamismo da actividade económica em Portugal, apesar de, em Novembro, o índice de produção industrial ter recuperado uma variação homóloga positiva, após dois meses em quebra.
No plano internacional, a economia alemã continua a ser a grande impulsionadora da recuperação europeia. Salientamos ainda os resultados da Comissão de Inquérito à Crise Financeira, que concluiu que a crise iniciada nos EUA era “evitável”, tendo distribuído as culpas pelos reguladores, políticos e banqueiros.
Na edição de Setembro de 2010 do Relatório Mensal de Economia, o destaque vai para as contas nacionais relativas ao segundo trimestre de 2010, onde se realça, pela positiva, o bom comportamento das exportações e, pela negativa, o pior desempenho do investimento.
No que respeita à execução orçamental, os números mostram que a despesa primária está a aumentar bastante acima do previsto. Os preços acusam já a subida das taxas do IVA, mas há sinais de que este impacto foi parcialmente absorvido pelo lado da oferta.
SPED – Sistema Público de Escrituração Digital 5ª edição – Revisada e Atualiz...IOB News
1. O documento resume os principais aspectos da Nota Fiscal Eletrônica (NF-e) no Brasil, incluindo sua história, implementação, processamento, benefícios e leiautes.
2. Discutem-se tópicos como o projeto SPED, credenciamento para emissão da NF-e, processamento das notas fiscais eletrônicas, contingência, consultas às NF-es, Danfe, Conhecimento de Transporte Eletrônico (CT-e) e Escrituração Fiscal Digital (EFD).
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Matemática Financeira – Com o uso da HP 12CIOB News
A finalidade principal deste livro é auxiliar os inúmeros profissionais que são estudantes universitários, profissionais do mercado de capitais, gerentes de instituições financeiras, executivos financeiros de empresas e profissionais que não pertencem à área financeira e, portanto, não estão acostumados a trabalhar com todos esses conceitos financeiros de mercado.
O autor também concentrou esforços no sentido de transmitir conhecimentos. Tendo a preocupação com a didática, a forma objetiva com que trata as diversas situações e a preocupação com a atualização das informações, permitindo assim um aprendizado passo a passo dos conceitos financeiros e uso da Calculadora Financeira HP12c.
Matemática Financeira – Com o uso da HP 12C - IOB e-StoreIOB News
Este documento apresenta um sumário detalhado de um livro sobre matemática financeira, com 15 capítulos que discutem tópicos como razões e proporções, juros simples e compostos, taxas de juros, fluxo de caixa, amortização de empréstimos e mais. O sumário fornece os títulos e subtítulos de cada capítulo para dar uma visão geral do conteúdo e escopo abrangido no livro.
O documento apresenta um sumário detalhado do conteúdo de um livro sobre contabilidade, incluindo capítulos sobre demonstrações contábeis, balanço patrimonial, apuração de resultados e outros tópicos contábeis.
Documento de Estratégia Orçamental 2013 - 2017Jorge Barbosa
Este documento fornece uma estratégia orçamental para Portugal de 2013 a 2017. Apresenta o contexto macroeconômico atual e previsões de crescimento, analisa os riscos orçamentais e a sustentabilidade das finanças públicas, e descreve reformas para melhorar a qualidade do processo orçamental.
1) O documento apresenta os principais conceitos de Matemática Financeira como juros, capital inicial, taxa de juros, prazo, montante e prestação.
2) Os autores do livro são Alessandro da Silva Saadi e Felipe Morais da Silva, ambos da Universidade Federal do Rio Grande.
3) O livro ensina o uso da calculadora financeira HP-12C para cálculos de juros, descontos, montantes e valores atuais associando-os aos conceitos matemáticos financeiros.
Na edição de Janeiro de 2011 do Relatório Mensal de Economia registamos a tendência para a perda de dinamismo da actividade económica em Portugal, apesar de, em Novembro, o índice de produção industrial ter recuperado uma variação homóloga positiva, após dois meses em quebra.
No plano internacional, a economia alemã continua a ser a grande impulsionadora da recuperação europeia. Salientamos ainda os resultados da Comissão de Inquérito à Crise Financeira, que concluiu que a crise iniciada nos EUA era “evitável”, tendo distribuído as culpas pelos reguladores, políticos e banqueiros.
Na edição de Setembro de 2010 do Relatório Mensal de Economia, o destaque vai para as contas nacionais relativas ao segundo trimestre de 2010, onde se realça, pela positiva, o bom comportamento das exportações e, pela negativa, o pior desempenho do investimento.
No que respeita à execução orçamental, os números mostram que a despesa primária está a aumentar bastante acima do previsto. Os preços acusam já a subida das taxas do IVA, mas há sinais de que este impacto foi parcialmente absorvido pelo lado da oferta.
SPED – Sistema Público de Escrituração Digital 5ª edição – Revisada e Atualiz...IOB News
1. O documento resume os principais aspectos da Nota Fiscal Eletrônica (NF-e) no Brasil, incluindo sua história, implementação, processamento, benefícios e leiautes.
2. Discutem-se tópicos como o projeto SPED, credenciamento para emissão da NF-e, processamento das notas fiscais eletrônicas, contingência, consultas às NF-es, Danfe, Conhecimento de Transporte Eletrônico (CT-e) e Escrituração Fiscal Digital (EFD).
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Matemática Financeira – Com o uso da HP 12CIOB News
A finalidade principal deste livro é auxiliar os inúmeros profissionais que são estudantes universitários, profissionais do mercado de capitais, gerentes de instituições financeiras, executivos financeiros de empresas e profissionais que não pertencem à área financeira e, portanto, não estão acostumados a trabalhar com todos esses conceitos financeiros de mercado.
O autor também concentrou esforços no sentido de transmitir conhecimentos. Tendo a preocupação com a didática, a forma objetiva com que trata as diversas situações e a preocupação com a atualização das informações, permitindo assim um aprendizado passo a passo dos conceitos financeiros e uso da Calculadora Financeira HP12c.
Matemática Financeira – Com o uso da HP 12C - IOB e-StoreIOB News
Este documento apresenta um sumário detalhado de um livro sobre matemática financeira, com 15 capítulos que discutem tópicos como razões e proporções, juros simples e compostos, taxas de juros, fluxo de caixa, amortização de empréstimos e mais. O sumário fornece os títulos e subtítulos de cada capítulo para dar uma visão geral do conteúdo e escopo abrangido no livro.
O documento apresenta um sumário detalhado do conteúdo de um livro sobre contabilidade, incluindo capítulos sobre demonstrações contábeis, balanço patrimonial, apuração de resultados e outros tópicos contábeis.
Documento de Estratégia Orçamental 2013 - 2017Jorge Barbosa
Este documento fornece uma estratégia orçamental para Portugal de 2013 a 2017. Apresenta o contexto macroeconômico atual e previsões de crescimento, analisa os riscos orçamentais e a sustentabilidade das finanças públicas, e descreve reformas para melhorar a qualidade do processo orçamental.
978 85-87686-51-0-introducao-a-economia curso de gest finalberto medeiros
Este documento apresenta um sumário de um livro introdutório sobre economia. O sumário descreve os cinco capítulos do livro, com suas respectivas seções, abordando tópicos como conceitos básicos de economia, funcionamento da economia de mercado, elementos de macroeconomia, noções sobre a economia brasileira e elementos de microeconomia.
1) O governo português visa reduzir o défice orçamental para menos de 10068 milhões de euros em 2011, 7645 milhões em 2012, e 5224 milhões em 2013 através de cortes de gastos e aumento de receitas.
2) As medidas de austeridade incluem cortes nos salários e pensões do setor público, racionalização dos serviços governamentais, cortes nos subsídios e no sistema de saúde, e aumento de impostos sobre empresas.
3) O objetivo final é equilibrar o orçamento a médio
1) O documento detalha as políticas orçamentais de Portugal para 2011-2014, incluindo cortes de despesas e aumentos de receitas.
2) Ele também descreve medidas para regular o setor bancário, como aumentar os requisitos de capital e liquidez dos bancos.
3) As reformas fiscais estruturais incluem privatizações, cortes nos gastos com saúde e administração pública, e uma revisão do quadro de gestão das finanças públicas.
Este documento discute a gestão do risco operacional e o papel da auditoria no setor financeiro. Aborda conceitos como gestão de risco, controlo interno, compliance e governação de TI, analisando como estas áreas se relacionam e contribuem para a redução do risco operacional. Defende que auditorias independentes são essenciais para garantir controlos efetivos sobre o risco e mantê-lo num nível aceitável. Apresenta também técnicas como Seis Sigma que podem ajudar na gestão do risco.
Este documento fornece informações sobre o sistema de gerenciamento de chamados OTRS. Ele discute o que é o OTRS, suas características, instalação, primeiros passos de uso, configurações, área administrativa e edição de temas.
Este documento fornece informações sobre:
1) A abertura da Semana da Cidadania em nossa diocese com o tema "Trabalho para a vida, não para a morte".
2) As Comunidades Eclesiais de Base (CEBs) sendo tema prioritário na 48a Assembléia Geral da CNBB.
3) O seminário do Iser Assessoria que debateu a vitalidade das CEBs na Igreja do Brasil.
O documento apresenta um curso de matemática financeira com o objetivo de ensinar conceitos e ferramentas matemáticas aplicadas à administração financeira de empresas. Aborda tópicos como porcentagens, taxas de juros, fluxos de caixa, juros simples e compostos, séries uniformes e sistemas de financiamento. Inclui também métodos para análise de alternativas de investimento e financiamento.
Este documento discute opções de reforma da despesa pública em Portugal, focando-se em áreas como salários do estado, pensões, benefícios sociais, educação e saúde. O objetivo é melhorar a eficiência e equidade no fornecimento de bens e serviços públicos, reduzindo custos e estimulando o crescimento econômico. O governo português planeja realizar uma revisão aprofundada das despesas para identificar poupanças permanentes em 2014.
1) Este documento é uma apostila sobre eletrônica digital dividida em três unidades, apresentando conceitos básicos de sistemas digitais como portas lógicas, flip-flops, registradores de deslocamento e contadores.
2) A segunda unidade aborda sistemas digitais sequenciais como flip-flops SR, JK, T e D e componentes como registradores de deslocamento e contadores assíncronos e síncronos.
3) A terceira unidade trata de conversores A/D e D/A, multiplexadores
Este documento resume o memorando da Troika sobre as condições econômicas de Portugal em 3 frases:
1) O memorando exige cortes de gastos e aumentos de impostos de Portugal para reduzir o déficit orçamentário nos próximos anos.
2) Ele também requer reformas no setor bancário, sistema de saúde, mercado de trabalho e outros mercados para aumentar a competitividade da economia portuguesa.
3) O documento monitora de perto a implementação destas medidas e o progresso de Portugal em direção a metas
Este documento apresenta uma aula sobre juros simples e compostos ministrada no curso online de Matemática e Raciocínio Lógico do Senado. O documento define juros, taxa de juros e elementos de uma operação de juros, e explica as diferenças entre capitalização simples, onde os juros de cada período são os mesmos, e capitalização composta, onde os juros de um período agregam-se ao capital e geram juros no período seguinte.
O documento apresenta os índices de conteúdos abordados em uma prova para o cargo de Técnico Bancário no Banco de Desenvolvimento do Espírito Santo. Os assuntos incluem: língua portuguesa, matemática, informática e conhecimentos gerais sobre direito, economia e contabilidade.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise boosts blood flow, releases endorphins, and promotes changes in the brain which help enhance one's emotional well-being and mental clarity.
AJAX permite recuperar dados do servidor de forma assíncrona sem interferir na página, permitindo aplicações mais dinâmicas e processamento paralelo de requisições. Bibliotecas como jQuery facilitam o uso de AJAX para interagir com APIs, enviar formulários e construir aplicações ricas.
Slide usado para apresentação do primeiro parque eólico da Bahia, gerido pela DESENVIX com programas de prevenção de impacto socioambiental gerido pelo Instituto IDEAS http://www.ideasambientais.com.br/
Slides apresentando os programas de prevenção de impacto socioambiental do primeiro parque eólico da Bahia, desenvolvidos pelo IDEAS. Este slide foi apresentado na cidade de Brotas de Macaúbas, num seminário público.
La estudiante Paulina Merchán de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo en el curso 2do A presentó su trabajo sobre isometría y vistas para el período de Febrero a Agosto del 2010.
Este documento trata de um recurso de apelação cível interposto por uma empresa contra uma decisão judicial que a condenou a pagar uma dívida. A empresa alega que o contrato entre as partes estipulava que eventuais disputas deveriam ser resolvidas por arbitragem na Itália, e não na justiça brasileira. O tribunal analisa a cláusula de arbitragem à luz do princípio da autonomia da vontade e conclui que ela é válida, já que não fere a ordem pública, envolvendo part
Este documento presenta una serie de "leyes inexorables" o principios que describen situaciones comunes de la vida cotidiana en las que las cosas tienden a salir mal o no como se planea. Algunas de estas leyes incluyen que siempre sonará el teléfono cuando estás en la bañera, que perderás las llaves cuando necesites abrir una puerta con una sola mano disponible, y que siempre llegarás justo cuando cuelgan el teléfono. En general, estas leyes sugieren que hay fuerzas más allá de nuestro control que a menudo conspiran
O documento discute o uso de um jogo de dados e resolução de problemas para ensinar raciocínio combinatório em alunos do ensino médio. O jogo envolve lançar dois dados e somar os valores para obter uma pontuação. Problemas são propostos para que os alunos determinem o número de pontuações possíveis e maneiras de jogar. A abordagem visa desenvolver habilidades matemáticas por meio de situações concretas em vez de definições formais.
Recurso Especial provido, onde o recorrente teve como objetivo a extinção do processo sem julgamento do mérito por haver cláusula compromissória no contrato.
978 85-87686-51-0-introducao-a-economia curso de gest finalberto medeiros
Este documento apresenta um sumário de um livro introdutório sobre economia. O sumário descreve os cinco capítulos do livro, com suas respectivas seções, abordando tópicos como conceitos básicos de economia, funcionamento da economia de mercado, elementos de macroeconomia, noções sobre a economia brasileira e elementos de microeconomia.
1) O governo português visa reduzir o défice orçamental para menos de 10068 milhões de euros em 2011, 7645 milhões em 2012, e 5224 milhões em 2013 através de cortes de gastos e aumento de receitas.
2) As medidas de austeridade incluem cortes nos salários e pensões do setor público, racionalização dos serviços governamentais, cortes nos subsídios e no sistema de saúde, e aumento de impostos sobre empresas.
3) O objetivo final é equilibrar o orçamento a médio
1) O documento detalha as políticas orçamentais de Portugal para 2011-2014, incluindo cortes de despesas e aumentos de receitas.
2) Ele também descreve medidas para regular o setor bancário, como aumentar os requisitos de capital e liquidez dos bancos.
3) As reformas fiscais estruturais incluem privatizações, cortes nos gastos com saúde e administração pública, e uma revisão do quadro de gestão das finanças públicas.
Este documento discute a gestão do risco operacional e o papel da auditoria no setor financeiro. Aborda conceitos como gestão de risco, controlo interno, compliance e governação de TI, analisando como estas áreas se relacionam e contribuem para a redução do risco operacional. Defende que auditorias independentes são essenciais para garantir controlos efetivos sobre o risco e mantê-lo num nível aceitável. Apresenta também técnicas como Seis Sigma que podem ajudar na gestão do risco.
Este documento fornece informações sobre o sistema de gerenciamento de chamados OTRS. Ele discute o que é o OTRS, suas características, instalação, primeiros passos de uso, configurações, área administrativa e edição de temas.
Este documento fornece informações sobre:
1) A abertura da Semana da Cidadania em nossa diocese com o tema "Trabalho para a vida, não para a morte".
2) As Comunidades Eclesiais de Base (CEBs) sendo tema prioritário na 48a Assembléia Geral da CNBB.
3) O seminário do Iser Assessoria que debateu a vitalidade das CEBs na Igreja do Brasil.
O documento apresenta um curso de matemática financeira com o objetivo de ensinar conceitos e ferramentas matemáticas aplicadas à administração financeira de empresas. Aborda tópicos como porcentagens, taxas de juros, fluxos de caixa, juros simples e compostos, séries uniformes e sistemas de financiamento. Inclui também métodos para análise de alternativas de investimento e financiamento.
Este documento discute opções de reforma da despesa pública em Portugal, focando-se em áreas como salários do estado, pensões, benefícios sociais, educação e saúde. O objetivo é melhorar a eficiência e equidade no fornecimento de bens e serviços públicos, reduzindo custos e estimulando o crescimento econômico. O governo português planeja realizar uma revisão aprofundada das despesas para identificar poupanças permanentes em 2014.
1) Este documento é uma apostila sobre eletrônica digital dividida em três unidades, apresentando conceitos básicos de sistemas digitais como portas lógicas, flip-flops, registradores de deslocamento e contadores.
2) A segunda unidade aborda sistemas digitais sequenciais como flip-flops SR, JK, T e D e componentes como registradores de deslocamento e contadores assíncronos e síncronos.
3) A terceira unidade trata de conversores A/D e D/A, multiplexadores
Este documento resume o memorando da Troika sobre as condições econômicas de Portugal em 3 frases:
1) O memorando exige cortes de gastos e aumentos de impostos de Portugal para reduzir o déficit orçamentário nos próximos anos.
2) Ele também requer reformas no setor bancário, sistema de saúde, mercado de trabalho e outros mercados para aumentar a competitividade da economia portuguesa.
3) O documento monitora de perto a implementação destas medidas e o progresso de Portugal em direção a metas
Este documento apresenta uma aula sobre juros simples e compostos ministrada no curso online de Matemática e Raciocínio Lógico do Senado. O documento define juros, taxa de juros e elementos de uma operação de juros, e explica as diferenças entre capitalização simples, onde os juros de cada período são os mesmos, e capitalização composta, onde os juros de um período agregam-se ao capital e geram juros no período seguinte.
O documento apresenta os índices de conteúdos abordados em uma prova para o cargo de Técnico Bancário no Banco de Desenvolvimento do Espírito Santo. Os assuntos incluem: língua portuguesa, matemática, informática e conhecimentos gerais sobre direito, economia e contabilidade.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise boosts blood flow, releases endorphins, and promotes changes in the brain which help enhance one's emotional well-being and mental clarity.
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Slides apresentando os programas de prevenção de impacto socioambiental do primeiro parque eólico da Bahia, desenvolvidos pelo IDEAS. Este slide foi apresentado na cidade de Brotas de Macaúbas, num seminário público.
La estudiante Paulina Merchán de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo en el curso 2do A presentó su trabajo sobre isometría y vistas para el período de Febrero a Agosto del 2010.
Este documento trata de um recurso de apelação cível interposto por uma empresa contra uma decisão judicial que a condenou a pagar uma dívida. A empresa alega que o contrato entre as partes estipulava que eventuais disputas deveriam ser resolvidas por arbitragem na Itália, e não na justiça brasileira. O tribunal analisa a cláusula de arbitragem à luz do princípio da autonomia da vontade e conclui que ela é válida, já que não fere a ordem pública, envolvendo part
Este documento presenta una serie de "leyes inexorables" o principios que describen situaciones comunes de la vida cotidiana en las que las cosas tienden a salir mal o no como se planea. Algunas de estas leyes incluyen que siempre sonará el teléfono cuando estás en la bañera, que perderás las llaves cuando necesites abrir una puerta con una sola mano disponible, y que siempre llegarás justo cuando cuelgan el teléfono. En general, estas leyes sugieren que hay fuerzas más allá de nuestro control que a menudo conspiran
O documento discute o uso de um jogo de dados e resolução de problemas para ensinar raciocínio combinatório em alunos do ensino médio. O jogo envolve lançar dois dados e somar os valores para obter uma pontuação. Problemas são propostos para que os alunos determinem o número de pontuações possíveis e maneiras de jogar. A abordagem visa desenvolver habilidades matemáticas por meio de situações concretas em vez de definições formais.
Recurso Especial provido, onde o recorrente teve como objetivo a extinção do processo sem julgamento do mérito por haver cláusula compromissória no contrato.
O documento descreve a evolução do modelo atômico ao longo do tempo, desde a proposta inicial de Dalton de que os átomos eram esferas maciças e indivisíveis até os modelos modernos baseados na mecânica quântica. Os principais modelos abordados incluem as descobertas de Thomson, Rutherford, Bohr e de Broglie, que levaram à compreensão do átomo como tendo um núcleo denso cercado por elétrons.
San Martín nació en Yapeyú, Argentina en 1778. Se trasladó a España de niño para estudiar carreras militares y luchar en batallas. Regresó a Buenos Aires en 1812 para luchar por la independencia de Argentina. Cruzó los Andes en 1817 y derrotó a los realistas en Chile y Perú, declarando la independencia de esos países. Pasó sus últimos años en Francia, donde murió en 1850.
O documento apresenta uma aula sobre os biomas brasileiros ministrada para alunos do 1o ano do ensino fundamental. Ele define o que é bioma e lista os principais biomas do Brasil - Amazônia, Mata Atlântica, Caatinga, Cerrado, Pantanal e Pampas - fornecendo breves informações sobre cada um. O objetivo é que os alunos conheçam melhor a diversidade de ecossistemas encontrados no Brasil.
El documento presenta cuatro fotografías tomadas para un proyecto sobre la moda a través de los años 1940, 1950, 1960 y 1970, con detalles sobre el plano, ángulo y tipo de luz utilizados en cada una.
O documento discute três tipos principais de contaminação: da água, do solo e do ar. A contaminação da água ocorre quando resíduos industriais ou agrícolas em excesso poluem as fontes de água. A contaminação do solo envolve a presença de elementos químicos estranhos que prejudicam a vida. E a contaminação do ar se refere à presença de substâncias poluentes que afetam a saúde humana.
Este documento resume los orígenes e ideas principales del liberalismo político en Colombia, incluyendo su fundación en 1848, las reformas propuestas en el siglo XIX como la abolición de la esclavitud y la pena de muerte, y algunos de sus líderes más importantes como Rafael Uribe Uribe, Alfonso López Pumarejo y Jorge Eliecer Gaitán. También menciona la alternancia entre los partidos conservador y liberal en el poder entre 1900 y 2002, con 13 presidentes liberales durante ese periodo.
Este documento apresenta um trabalho de conclusão de curso sobre educação financeira no ensino médio. Ele introduz o tema discutindo a importância de incluir educação financeira na escola devido às transformações econômicas e financeiras pelas quais o Brasil passou. O objetivo é promover uma reflexão sobre interfaces entre educação financeira e conteúdos de matemática no ensino médio por meio de um curso. O trabalho descreve o conteúdo desse curso e conceitos matemáticos financeiros como juros, taxas e aplicações financeiras.
Analise da viablidade_economica_de_novos_projetoshenriquefb
1. Apresenta um estudo sobre a análise da viabilidade econômica de novos projetos realizado por um aluno de economia.
2. Aborda métodos para avaliação de investimentos como payback, VPL e TIR para determinar a viabilidade de projetos.
3. Aplica esses métodos em um caso prático de avaliação de viabilidade de um empreendimento hidrelétrico.
Este documento apresenta sequências didáticas para inserir o ensino de matemática financeira no ensino básico brasileiro. É discutido o conceito de letramento financeiro e apresentadas doze sequências didáticas cobrindo tópicos como juros simples e compostos, taxas de juros, financiamentos e poupança. Cada sequência inclui o conceito financeiro, o cenário pedagógico adequado e atividades sugeridas.
1. This document provides study material for the CPA-20 certification exam, including an overview of the Brazilian financial system and market participants.
2. It introduces Edgar Abreu and Lucas Silva, the professors who authored the material, and their backgrounds.
3. The document is divided into modules covering the Brazilian financial system, compliance and ethics, investor profiling, and basic economics and finance concepts. It aims to prepare students for the CPA-20 certification exam through explanatory text and practice questions.
Este documento discute a integração do ensino de matemática com a educação financeira. Ele apresenta como a educação financeira pode dar mais significado à matemática e educar financeiramente os alunos. A pesquisa investigou alunos do ensino médio e mostrou que eles têm interesse na educação financeira e aprendem matemática mais facilmente quando os conceitos são apresentados em contextos financeiros. A integração da matemática com finanças pode beneficiar tanto os alunos quanto a sociedade.
REFORMULAÇÃO DA COMUNICAÇÃO DIGITAL DO PMI ESLuiz Aquino
Monografia apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Gerência de Projetos da Universidade Vila Velha, como requisito parcial para obtenção do título de especialista MBA em Gerência de Projetos
Este documento fornece informações sobre o processo de elaboração do orçamento público municipal para 2010, incluindo os principais passos e requisitos legais. Detalha o sistema orçamentário brasileiro, princípios básicos, estimativa de receitas e despesas, e parâmetros para áreas como educação e saúde.
Este documento fornece um guia detalhado sobre o processo de elaboração do orçamento municipal para o ano de 2010, incluindo a estrutura do sistema orçamentário brasileiro, princípios básicos, metodologia, parâmetros legais e fontes de recursos.
Este documento apresenta um diagnóstico organizacional da empresa Artstylo com ênfase nos custos. Ele descreve as classificações de custos, como matéria-prima, depreciação, mão de obra e salários. Além disso, aborda o fluxo de caixa da empresa e fornece detalhes sobre o processo produtivo.
1) O Brasil busca o desenvolvimento econômico e a redução das desigualdades sociais desde a Independência, tendo alcançado progressos significativos principalmente no período Vargas, porém sem resolver os problemas estruturais.
2) A partir da década de 1980, o país enfrentou uma crise de balanço de pagamentos e viu suas taxas de crescimento declinarem, enquanto a capacidade de planejamento estratégico do Estado foi enfraquecida.
3) Atualmente, o Brasil precisa reconstru
1. O documento apresenta as noções preliminares de contabilidade geral, incluindo seus objetivos, usuários da informação contábil e atributos da informação contábil. 2. Aborda os principais conceitos do balanço patrimonial como ativo, passivo e patrimônio líquido. 3. Discutem os procedimentos contábeis básicos do método das partidas dobradas, incluindo contas, lançamentos e demonstrações financeiras.
1. O documento apresenta uma pesquisa sobre como as companhias seguradoras que atuam no Brasil alocam as provisões técnicas de acordo com a resolução 3.308 de 2005 do Conselho Monetário Nacional.
2. A pesquisa analisou dados secundários fornecidos pelas seguradoras e órgãos reguladores para verificar se a carteira de ativos garantidores do mercado segue a resolução.
3. Os resultados demonstraram que a carteira segue a resolução e há grande concentração de recursos em ativos de baixo
Apostila rotinas dpto pessoal e trabalhistaadmcontabil
Este documento fornece orientações sobre as rotinas trabalhistas e previdenciárias para organizações contábeis. Resume os principais pontos sobre o recrutamento, seleção e treinamento de funcionários, documentos necessários para admissão, exigências legais como livros de registro, salários, férias, INSS, FGTS e demissão.
1. O documento apresenta informações sobre uma apostila CPA-20 para estudos de certificação.
2. A apostila é gratuita e de propriedade de EA Certificações, não podendo ser reproduzida para fins comerciais.
3. Instruções sobre como contribuir com atualizações da apostila também são fornecidas.
1. O documento apresenta uma introdução à análise bayesiana de decisões, discutindo aspectos teóricos e práticos da disciplina.
2. Os autores destacam a necessidade de um texto que cubra o assunto em nível apropriado para graduação e que combine teoria e aplicações práticas.
3. O livro é organizado em sete capítulos, abordando conceitos básicos, modelos gráficos, probabilidade subjetiva e utilidade, análise de sensibilidade, programação dinâmica e métodos Monte Carlo
Este documento apresenta um modelo de Asset Liability Management (ALM) para planos previdenciários tradicionais abertos através de otimização estocástica com restrições probabilísticas. O modelo é aplicado a um plano previdenciário tradicional aberto com rentabilidade mínima garantida e comparado com uma versão determinística. Uma análise de sensibilidade é feita variando o parâmetro de aversão ao risco.
Este documento apresenta um resumo de cinco unidades sobre modelagem matemática. A primeira unidade discute os conceitos de modelagem e formulação de problemas, incluindo as etapas do processo de modelagem. As unidades subsequentes abordam métodos de ajuste de curvas, equações em diferenças, equações diferenciais ordinárias e aplicações destas equações em modelos de dinâmica populacional.
O documento discute os fundamentos da gestão financeira para pequenas e médias empresas, abordando tópicos como administração do capital de giro, fluxo de caixa, custos para tomada de decisões e análise de investimentos. Apresenta fórmulas e conceitos relevantes para a área, com o objetivo de discutir as ferramentas e aplicações da administração financeira.
O documento discute os fundamentos da gestão financeira para pequenas e médias empresas, abordando tópicos como administração do capital de giro, fluxo de caixa, custos para tomada de decisões e análise de investimentos. Apresenta fórmulas e conceitos relevantes para a área, com o objetivo de discutir as ferramentas e aplicações da administração financeira.
Este manual apresenta as informações gerais e técnicas sobre o sistema eSocial, que unifica o envio de dados trabalhistas, previdenciários e tributários. O manual descreve quem deve utilizar o eSocial, os eventos e tabelas a serem enviados, as regras de preenchimento e envio, além de orientações específicas para cada evento.
O documento fornece instruções sobre leitura, escrita e operações com números decimais. Explica como ler e escrever números decimais, transformar frações em decimais e vice-versa, e como realizar operações como adição, subtração e multiplicação com números decimais.
Este documento apresenta as aulas 18 a 36 de Álgebra II, Volume 2. A Aula 18 introduz o conceito de transformação linear e apresenta exemplos de transformações matriciais. As Aulas 19 a 25 discutem propriedades, núcleo, imagem e representações matriciais de transformações lineares. As Aulas 26 a 34 abordam transformações lineares especiais, operações lineares inversíveis, mudança de base, autovetores e autovalores de matrizes. Por fim, as Aulas 35 e 36 tratam de matrizes ortogonais e suas propri
Este documento apresenta as funções reais de várias variáveis. Introduz o conceito de funções de duas ou mais variáveis, onde o resultado depende de mais de uma variável independente. Fornece exemplos de funções de duas variáveis e discute a representação geométrica de seus gráficos em três dimensões. Também aborda o conceito de domínio para funções de várias variáveis.
§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
Aula 1: Matrizes
1) Uma matriz é definida como uma tabela de números dispostos em linhas e colunas;
2) Matrizes especiais incluem matrizes linha, coluna e quadradas;
3) A igualdade entre matrizes ocorre quando possuem as mesmas dimensões e elementos iguais.
O documento discute as funções reais de variável real. A seção 1 apresenta os conceitos fundamentais das funções, incluindo princípios para construir uma função e exemplos de situações do cotidiano que podem ser modeladas por funções. A seção também aborda domínios e operações com funções.
O documento discute conceitos de ácidos e bases inorgânicas, incluindo suas definições segundo Arrhenius, Bronsted-Lowry e Lewis. Exemplos de ácidos como o ácido clorídrico e sulfúrico são usados para ilustrar essas definições. A classificação de ácidos é também apresentada de acordo com número de elementos, ponto de ebulição e presença de oxigênio.
Este documento apresenta um resumo sobre cálculo estequiométrico. Ele introduz o assunto e explica que o objetivo é determinar as quantidades de substâncias envolvidas em uma reação química. Também descreve brevemente as leis ponderais de Lavoisier, Dalton, Proust e suas contribuições para o desenvolvimento da estequiometria.
O documento descreve as primeiras tentativas de classificação dos elementos químicos, incluindo as tríades de Döbereiner, a lei das oitavas de Newlands e a tabela periódica de Mendeleev. Explica como a tabela periódica atual é organizada com base no número atômico de cada elemento, resolvendo inconsistências das classificações anteriores.
O documento descreve conceitos básicos de física sobre grandezas escalares e vetoriais. Resume que grandezas escalares são completamente determinadas por seu valor numérico e unidade, enquanto grandezas vetoriais também requerem orientação de direção. Explica operações matemáticas com cada tipo de grandeza e apresenta exemplos de adição e subtração de vetores.
Este documento apresenta os conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo: (1) a definição de ponto material e corpo extenso, (2) os conceitos de trajetória, posição, deslocamento e velocidade escalar média, e (3) a distinção entre movimento e repouso.
1. A matéria é constituída de átomos, que são as menores partículas que identificam um elemento químico.
2. Os átomos são formados por um núcleo central com prótons e nêutrons, rodeado por elétrons. O número de prótons define o elemento químico.
3. As substâncias podem ser puras, formadas por um único tipo de átomo, ou misturas de vários tipos de átomos ou substâncias.
1) A física estuda as propriedades e fenômenos naturais de forma qualitativa e quantitativa, associando números a grandezas físicas como comprimento, massa e tempo.
2) As principais unidades de medida no Sistema Internacional são o metro para comprimento, o quilograma para massa e o segundo para tempo.
3) O documento fornece exemplos de conversão entre unidades de medida e apresenta conceitos básicos de grandezas físicas fundamentais.
Este documento discute conceitos de física sobre movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Ele fornece as equações para calcular posição, velocidade e aceleração nesses tipos de movimento e apresenta exemplos numéricos de problemas resolvidos.
1. O documento apresenta um resumo sobre o conceito de movimento em física, abordando tópicos como movimento uniforme, movimento com velocidade variável, queda livre e resolução de problemas.
2. Inclui definições de termos como referencial, trajetória, posição escalar, velocidade escalar média, aceleração e funções que descrevem esses grandezas no tempo.
3. Apresenta as equações que relacionam grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração nos movimentos unifor
O documento discute o conceito e cálculo de diferentes tipos de fórmulas químicas, incluindo fórmula percentual, fórmula mínima e fórmula molecular. Exemplos são fornecidos para ilustrar como determinar cada tipo de fórmula a partir da composição química ou massa molecular de um composto. Alguns exercícios resolvidos também são apresentados para reforçar os métodos de cálculo.
O documento discute associações de resistores em série e paralelo. Apresenta como calcular a resistência equivalente, tensão e corrente em circuitos com resistores associados em série e paralelo. Também introduz a Lei de Kirchhoff para tensões e explica como aplicá-la para determinar tensões desconhecidas em circuitos.
Este documento descreve as leis ponderais e fórmulas químicas, incluindo exemplos de cálculos estequiométricos. Resume as principais leis ponderais como a lei de conservação de massa de Lavoisier e a lei das proporções fixas de Proust. Também fornece exemplos de cálculos envolvendo fórmulas químicas e reações químicas.
Este documento trata de conceitos geométricos relacionados à esfera. Ele define superfície esférica, área da superfície esférica, volume da esfera, plano secante a uma esfera, área do fuso esférico e volume da cunha esférica. O documento também apresenta exemplos numéricos de cálculo destas grandezas.
I) O documento apresenta conceitos matemáticos sobre funções, relações binárias, produto cartesiano e função quadrática.
II) São definidos pares ordenados, produto cartesiano, relação binária, função, função polinomial do 1o e 2o grau, vértice da parábola, valor máximo e mínimo da imagem e função modular.
III) Exemplos ilustram os conceitos apresentados.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cilindro e cone. Descreve as definições, elementos, áreas e volumes destes sólidos geométricos. Explica que um cilindro é formado por segmentos paralelos entre dois planos, enquanto um cone é formado por segmentos com extremos em um plano e em um ponto. Apresenta também exercícios resolvidos relacionados a estes tópicos.
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Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
1. Matem´tica Financeira
a
Uma abordagem contextual
Prof. PDE: Epaminondas Alves dos Santos
Orientador (UEL): Prof. Dr. Ulysses Sodr´
e
Trabalho desenvolvido junto ao PDE
1
3. 3 Sugest˜es de Atividades
o 28
3.1 Encaminhamento metodol´gico . . . . . . . . . . . . . . .
o 28
3.2 Atividades com calculadora simples . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Calculando potˆncias com a calculadora simples . .
e 28
3.2.2 Explorando as teclas de mem´ria . . . . . . . . . .
o 29
3.3 Atividades com o software Calc . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Calculando a taxa de juros de uma renda uniforme 31
3.3.2 Calculando a taxa de juros de uma renda n˜o uniforme 34
a
3
4. Introdu¸˜o
ca
Grandes problemas enfrentados pelos professores de Matem´tica atual-
a
mente tais como a apatia, o desinteresse e, at´ mesmo, a indisciplina
e
por parte dos nossos alunos, s˜o provavelmente frutos de uma aparente
a
contradi¸˜o que existe entre a origem e desenvolvimento dos conte´dos
ca u
matem´ticos e a forma como eles s˜o disseminados pela escola.
a a
´
E sabido de todos que a Matem´tica originou e se desenvolveu em fun¸˜o
a ca
das necessidades enfrentadas pelo homem nas suas rela¸˜es sociais e no
co
enfrentamento das dificuldades impostas pela natureza. Apesar disso, de-
vido `s diversas transforma¸˜es ocorridas pelas pol´
a co ıticas educacionais, o
que se vˆ hoje em dia ´ um ensino da Matem´tica pouco contextualizado,
e e a
contribuindo para a falta de est´
ımulo dos nossos alunos.
Neste contexto, a Matem´tica Financeira se apresenta como uma exce-
a
lente alternativa para compor o curr´ ıculo do Ensino M´dio, visto que ela ´
e e
contextual por excelˆncia, ´ atual e necess´ria para a forma¸˜o de um in-
e e a ca
div´
ıduo cr´ıtico, pois ela d´ subs´
a ıdios necess´rios para a tomada de decis˜es
a o
importantes para a sua vida.
´
E indiscut´
ıvel, nos dias atuais, a relevˆncia da Matem´tica Financeira
a a
no cotidiano das pessoas. O fato de vivermos num pa´ capitalista em
ıs
desenvolvimento e que sofre os efeitos da globaliza¸˜o da economia tornam
ca
essa importˆncia ainda maior.
a
Com a economia em fase de estabiliza¸˜o e crescimento, aumenta a oferta
ca
de cr´dito e as pessoas est˜o se endividando cada vez mais. Torna-se
e a
necess´rio que o cidad˜o tome conhecimento, pelo menos um pouco dos
a a
mecanismos que regem o sistema financeiro.
Esse trabalho prop˜e atividades e discuss˜es no ˆmbito do Ensino M´dio,
o o a e
sobre as principais f´rmulas da Matem´tica Financeira e suas aplica¸˜es,
o a co
como, por exemplo, as que regem as amortiza¸˜es de d´
co ıvidas pelo Sistema
Francˆs. Visando facilitar o entendimento, as demonstra¸˜es s˜o feitas
e co a
sem muito rigor matem´tico, com ˆnfase `s demonstra¸˜es mecˆnicas ou
a e a co a
visuais.
Conhecer os conte´dos matem´ticos que est˜o envolvidos nas atividades
u a a
financeiras tais como os c´lculos dos juros simples e compostos, os de-
a
scontos, as capitaliza¸˜es e amortiza¸˜es de d´
co co ıvidas ´, sem d´vida, uma
e u
forma agrad´vel de dar significado a diversos conte´dos importantes da
a u
4
5. Matem´tica do Ensino Fundamental e M´dio, tais como: Raz˜es, Pro-
a e o
por¸˜es, Porcentagem, Fun¸˜es, Progress˜es Aritm´ticas e Geom´tricas,
co co o e e
entre outros.
A Matem´tica Financeira fazia parte do curr´
a ıculo dos antigos cursos profis-
sionalizantes da ´rea de contabilidade. Com a mudan¸a para o atual En-
a c
sino M´dio ela ficou relegada a um plano secund´rio, figurando apenas em
e a
algumas institui¸˜es como complemento de carga hor´ria, inserida como
co a
conte´do da parte diversificada.
u
O que esse trabalho prop˜e ´ a sua inser¸˜o definitiva na grade curricu-
o e ca
lar do Ensino M´dio, visto que a Matem´tica Financeira tem uma desta-
e a
cada importˆncia no cotidiano das pessoas. N˜o s˜o raras as situa¸˜es
a a a co
do dia-a-dia em que necessitamos de lan¸ar m˜o de algum conhecimento
c a
de Matem´tica Financeira para nos orientarmos na tomada de decis˜es
a o
importantes na nossa vida.
Partindo de alguns conhecimentos b´sicos adquiridos pelos alunos no en-
a
sino fundamental, tais como as no¸˜es de proporcionalidade, juros simples
co
e a no¸˜o de fun¸˜es o professor pode, aos poucos, ir refor¸ando esses
ca co c
conceitos e lan¸ando as bases da Matem´tica Financeira, introduzindo os
c a
conceitos da capitaliza¸˜o composta, da equivalˆncia de capitais e dos sis-
ca e
temas de amortiza¸˜o de d´
ca ıvidas.
Para esse prop´sito, o professor deve fazer um planejamento bastante cri-
o
terioso das suas a¸˜es tendo em vista as limita¸˜es de tempo e a disponi-
co co
bilidade de recursos tecnol´gicos da sua escola.
o
Quando poss´ıvel, o uso adequado de recursos computacionais pode ajudar
a dar mais agilidade e melhorar a qualidade dos trabalhos desenvolvidos,
mas na impossibilidade desses recursos, uma calculadora simples, usada
de forma eficiente, pode ser um bom instrumento para se trabalhar a
Matem´tica Financeira.
a
5
6. 1 Juros
Quando se toma emprestado de algu´m por um certo tempo algum bem
e
ou dinheiro, ´ natural que se pague ao fim desse prazo, al´m do valor
e e
emprestado, alguma compensa¸˜o financeira, o aluguel, no caso de um
ca
bem ou os juros, no caso de dinheiro.
Ao valor emprestado denominamos Principal, Capital Inicial ou simples-
`
mente Capital. A soma dos juros com o Capital em um determinado
per´
ıodo ´ dado o nome de Montante.
e
Constitui a base principal da Matem´tica Financeira os estudos dos mecan-
a
ismos que regem a forma¸˜o dos juros e a sua incorpora¸˜o ao Capital,
ca ca
tamb´m denominada Capitaliza¸˜o. O intervalo de tempo decorrente en-
e ca
tre cada capitaliza¸˜o ´ denominado Per´odo de Capitaliza¸˜o.
ca e ı ca
Quanto aos Sistemas ou Regimes de Capitaliza¸˜o, destacamos dois:
ca
• Juros Simples – Ao fim de cada per´ ıodo de capitaliza¸˜o s˜o incorpo-
ca a
rados os juros calculados sobre o Capital Inicial.
• Juros Compostos – Ao fim de cada per´ ıodo de capitaliza¸˜o s˜o in-
ca a
corporados os juros calculados sobre o montante do per´ıodo anterior.
1.1 Juros Simples
No regime de capitaliza¸˜o a Juros Simples, a compensa¸˜o financeira
ca ca
mencionada na se¸˜o anterior, ou seja, os (juros) s˜o diretamente propor-
ca a
cionais ao valor do capital emprestado (C), dentro de um per´ıodo unit´rio
a
de tempo (dia, mˆs, ano, etc.), e tamb´m diretamente proporcionais `
e e a
quantidade de per´ ıodos em que o mesmo ficar emprestado.
Para um per´ ıodo unit´rio, a parcela dos juros (combinada previamente
a
entre as partes), ´ dada por uma porcentagem do capital inicial, ou seja,
e
um valor r para cada 100 (cem) partes desse valor. r ´ denominada a taxa
e
de juros.
Por exemplo se r = 5, escreve-se r = 5% e lˆ-se (cinco por cento). Pode-se
e
5
escrever tamb´m r =
e ou o que ´ equivalente r = 0, 05.
e
100
r
Sendo r% a taxa de juros, chamaremos = i de taxa unit´ria.
a
100
6
7. 1.1.1 Taxas de juros – Classifica¸˜o
ca
Uma taxa de juros ´ denominada taxa efetiva, quando o per´
e ıodo a que ela
se refere coincide com o per´
ıodo de capitaliza¸˜o.
ca
Exemplo: 4% ao semestre capitalizados semestralmente.
Uma taxa de juros ´ denominada taxa nominal, quando o per´
e ıodo a que
ela se refere n˜o coincide com o per´
a ıodo de capitaliza¸˜o.
ca
Exemplo: 7% ao ano capitalizados mensalmente.
Esse tipo de taxa n˜o ´ aplicavel aos juros simples uma vez que o per´
a e ıodo
de referˆncia da taxa j´ determina o per´
e a ıodo de capitaliza¸˜o. No entanto
ca
ela ´ de extrema importˆncia para os juros compostos, dando origem aos
e a
conceitos de taxa proporcional e equivalente que ser˜o discutidas a seguir.
a
Duas taxas de juros s˜o proporcionais quando formam uma propor¸˜o
a ca
direta com os per´
ıodos de capitaliza¸˜o a elas referidos.
ca
Exemplo: A taxa de juros de 2% ao bimestre ´ proporcional a 6% ao
e
semestre, pois:
2 1
=
6 3
´
E uma propor¸˜o direta, ou seja, a raz˜o entre as taxas ´ igual a raz˜o
ca a e a
entre os per´
ıodos a elas referidos. Na pr´tica, quando a rela¸˜o entre os
a ca
per´
ıodos ´ de 1 : n, basta multiplicar ou dividir uma taxa de um pe´
e ıodo
por n para obter a taxa proporcional a ela relativa ao outro per´ıodo.
Exemplos:
1. Para obter a taxa semestral proporcional a 10% ao ano, observamos
que a rela¸˜o entre os per´
ca ıodos ´ de 1 : 2, ou seja, 1 ano = 2 semestres,
e
basta dividir 10 por 2, resultando na taxa semestral de 5%.
2. Para obter a taxa anual proporcional a 3% ao bimestre, lembramos
que a rela¸˜o entre os per´
ca ıodos ´ de 1 : 6, isto ´, (1 ano = 6 bimestres).
e e
Multiplicamos ent˜o 3 por 6 e obtemos a taxa proporcional procurada
a
de 18% ao ano.
Defini¸˜o: Duas taxas s˜o equivalentes quando se referindo a per´
ca a ıodos
de capitaliza¸˜es diferentes, produzem os mesmos juros num determinado
co
per´
ıodo, quando aplicadas sobre um mesmo capital.
7
8. No regime de capitaliza¸˜o a juros simples as taxas equivalentes para dois
ca
per´ıodos de capitaliza¸˜o distintos s˜o tamb´m proporcionais para esses
ca a e
mesmos per´ ıodos, pois a incidˆncia dos juros ocorre apenas sobre capital
e
inicial.
Por´m no regime de capitaliza¸˜o a juros compostos essas duas taxas s˜o
e ca a
bastantes distintas, como ser´ visto na se¸˜o 1.2.3.
a ca
Outro conceito muito importante e que as pessoas em geral n˜o d´ muita
a a
aten¸˜o ´ o de taxa real de juros. Essa taxa exprime o ganho real de um
ca e
investimento em um per´ ıodo pois ela relaciona a taxa efetiva e a taxa de
infla¸˜o (perda do valor do dinheiro) de um per´
ca ıodo de capitaliza¸˜o, da
ca
seguinte forma:
1 + taxa efetiva
taxa real = −1
1 + taxa de inflac˜oa
Em ´pocas de infla¸˜o alta, a n˜o observˆncia dessa taxa fez que muitas
e ca a a
pessoas perdessem as suas economias. As taxas de juros para investimento
eram altas e as pessoas emprestavam e gastavam os rendimentos dos juros.
Quando retiravam o montante do investimento, elas percebiam que haviam
perdido consideravelmente o seu valor devido ` taxa de infla¸˜o.
a ca
Recomendamos aos professores de Matem´tica do Ensino M´dio n˜o dedicar
a e a
muito tempo das aulas no estudo dos juros simples, pois h´ muito tempo
a
j´ n˜o se pratica os juros simples em nossa economia, tamb´m porque ele
a a e
j´ figura na grade do ensino fundamental. O que sugerimos aqui ´ uma
a e
revis˜o r´pida e bem elaborada desse conte´do que tem sua importˆncia
a a u a
para facilitar o entendimento da capitaliza¸˜o composta.
ca
1.1.2 F´rmula de Juros Simples
o
Se C ´ o capital emprestado ` taxa de r% ao mˆs, durante n meses, o
e a e
c´lculo dos juros produzidos, denotado por j, ´ dado pela f´rmula
a e o
r
j=C· ·n
100
Demonstra¸˜o : Para calcular os juros em cada per´
ca ıodo (mˆs), multi-
e
r
plicamos o valor C pela taxa percentual i = e para obter o total
100
dos juros dos n per´
ıodos, multiplica-se por n. Ou seja:
r
j=C· ·n
100
8
9. O que ´ equivalente a
e
j =C ·i·n (1)
1.1.3 F´rmulas derivadas
o
A f´rmula 1 para o c´lculo da taxa de juros, tamb´m pode ser usada para
o a e
gerar o c´lculo do Capital C, do tempo n e da taxa i. Como esta f´rmula
a o
envolve quatro vari´veis, basta conhecer trˆs delas para gerar a vari´vel
a e a
desconhecida.
Para calcular o capital, isolamos a inc´gnita C na f´rmula 1 para obter
o o
j
C= (2)
i·n
Para obter o per´
ıodo n, temos
j
n= (3)
C ·i
Para calcular a taxa i, temos
j
i= (4)
C ·n
Observa¸˜o importante! A taxa r e o tempo n devem estar expressas
ca
coerentemente, ou seja, se a taxa for mensal, o tempo deve ser expresso
em meses, caso contr´rio, deve-se transformar a taxa, usando-se uma taxa
a
proporcional (Ver subse¸˜o 1.2.3) ou o tempo, usando a rela¸˜o de propor-
ca ca
cionalidade entre os per´
ıodos.
Aplica¸˜es
co
1. Calcular os juros simples obtidos pela aplica¸˜o do capital R$ 1200,00,
ca
colocado ` taxa de 5% ao mˆs, durante 8 meses.
a e
Resolu¸˜o:
ca
5
• i= = 0, 05
100
• C = 1200
• n=8
• j =?
9
10. Aplicando a f´rmula 1, temos
o
j = 1200 · 0, 05 · 8 = 480
Resposta: Os juros obtidos foram de R$ 480,00.
2. Qual o capital, que emprestado a juros simples de 15% ao ano, produz
em 5 anos juros no valor de R$ 210,00?
Resolu¸˜o:
ca
15
• i= = 0, 15
100
• C =?
• n=5
• j = 210
Aplicando a f´rmula 2, obtemos
o
210
C= = 280
0, 15 · 5
Resposta: O capital emprestado deve ser de R$ 280,00.
3. Durante quanto tempo o capital R$ 850,00 deve ficar emprestado, `a
taxa de juros simples de 3% ao mˆs para gerar a renda R$ 76,50 de
e
juros?
Resolu¸˜o:
ca
3
• i= = 0, 03
100
• C = 850
• n =?
• j = 76, 50
Aplicando a f´rmula 3, temos
o
76, 50
n= =3
850 · 0, 03
Resposta: O capital deve ficar emprestado por 3 meses.
4. A que taxa de juros simples devemos emprestar R$ 2500,00, para que
em 4 bimestres, possamos ter a renda R$ 180,00 de juros?
Resolu¸˜o:
ca
10
11. • i =?
• C = 2500
• n=4
• j = 180
Aplicando a f´rmula 4, obtemos
o
180
i= = 0, 018
2500 · 4
Logo
r = 0, 018 · 100 = 1, 8
Resposta: A taxa deve ser de 1, 8% ao bimestre.
1.1.4 Montante
Montante (M ) ´ o nome dado ` soma do capital com os juros produzidos
e a
em um determinado per´ıodo, ou seja:
M =C +j (5)
´
E poss´
ıvel calcular os juros ou o capital que comp˜em um montante,
o
quando se conhece, al´m do montante, apenas a taxa e o tempo.
e
Observe que este c´lculo ´ muito complicado para se realizar com o uso das
a e
f´rmulas anteriores, pois elas necessitam que se identifique que parcela do
o
montante corresponde aos juros, uma vez que o montante n˜o se apresenta
a
de forma expl´
ıcita nessas f´rmulas.
o
Substituindo o resultado da equa¸˜o 2 na equa¸˜o 5, segue que
ca ca
C +j =M
´ equivalente a
e
j j
+ =M
i·n 1
que equivale a
j+j·i·n
=M
i·n
11
12. de onde segue que
j(1 + i · n)
M=
i·n
Isolando a inc´gnita j na ultima equa¸˜o, obtemos
o ´ ca
M ·i·n
j= (6)
1 + in
Para obter o capital, temos o desenvolvimento:
M =C +j
que ´ equivalente a
e
M =C +C ·i·n
ou seja
M = C(1 + i · n)
Isolando a inc´gnita C na ultima equa¸˜o, obtemos
o ´ ca
M
C= (7)
1+i·n
1.1.5 Aplica¸˜es
co
1. Um certo capital ficou emprestado ` taxa de juros simples de 10% ao
a
ano, durante 8 anos. Qual ´ o valor dos juros produzidos, se ao fim
e
desse per´
ıodo o montante correspondia a R$ 900,00?
Resolu¸˜o:
ca
10
• i= = 0, 1
100
• M = 900
• n=8
• j =?
Aplicando a f´rmula 6, obtemos:
o
900 · 0, 1 · 8
j= = 400
1 + 0, 1 · 8
Resposta: Os juros produzidos foram de R$ 400,00.
12
13. 2. Qual ´ o capital, que ficando emprestado por 5 meses, ` taxa de juros
e a
simples de 4% ao mˆs, produz o montante de R$ 5400,00?
e
Resolu¸˜o:
ca
4
• i= = 0, 04
100
• M = 5400
• n=5
• C =?
Aplicando a f´rmula 7, obtemos:
o
5400
C= = 4500
1 + 0, 04 · 5
Resposta: O capital deve ser de R$ 4500,00.
1.2 Juros Compostos
Denominamos capitaliza¸˜o composta ou capitaliza¸˜o com juros compos-
ca ca
tos ao regime de capitaliza¸˜o pelo qual os juros auferidos em cada per´
ca ıodo
s˜o somados ao capital anterior, para render juros no per´
a ıodo seguinte.
Esta pr´tica ´ denominada anatocismo ou, mais popularmente “juros so-
a e
bre juros”.
Para saber mais sobre anatocismo, consulte as p´ginas abaixo:
a
http://www.direitonet.com.br/dicionario_juridico/x/33/88/338
http://forum.jus.uol.com.br/discussao/16999/legalidade-ilegal-do-anatocismo
http://www.iesc.edu.br/pesquisa/arquivos/o_anatocismo_dos_sistemas_de_amortizacao.
pdf
1.2.1 Demonstra¸˜o da f´rmula
ca o
Seja Cn o montante ao fim de n per´ ıodos de capitaliza¸˜o composta, C0 o capital no per´
ca ıodo 0
em que ocorreu o empr´stimo, i a taxa unit´ria e Jn , os juros do per´
e a ıodo n.
Para calcular o montante C1 relativo ao primeiro per´ ıodo, ou seja C0 + J1 , devemos aplicar a
taxa i de juros simples durante 1 per´
ıodo ao capital C0 , para obter:
C1 = C0 + C0 · i = C0 (1 + i) = C0 (1 + i) = C0 (1 + i)1
C2 = C1 + C1 · i = C1 (1 + i) = C0 (1 + i)(1 + i) = C0 (1 + i)2
C3 = C2 + C2 · i = C2 (1 + i) = C0 (1 + i)2 (1 + i) = C0 (1 + i)3
E assim por diante.
13
14. Podemos acreditar que, ao fim de n per´
ıodos, o montante Cn ser´ dado pela f´rmula:
a o
Cn = C0 (1 + i)n (8)
Isolando C0 na equa¸˜o anterior, obtemos uma f´rmula que fornece o capital inicial, em fun¸˜o
ca o ca
do montante Cn , da taxa i e do tempo n.
Cn
C0 = (9)
(1 + i)n
1.2.2 Exemplos de aplica¸˜o
ca
1. Calcular o montante produzido pelo capital R$ 7800,00, aplicado a juros compostos de
5% ao mˆs, durante 6 meses.
e
Resolu¸˜o:
ca
• C6 =?
• C0 = 7800
5
• i= = 0, 05
100
• n=6
Aplicando a f´rmula 8, obtemos
o
C6 = 7800(1 + 0, 05)6 = 7800(1, 05)6 ∼ 7800 · 1, 34009 = 10452, 70
=
Resposta: O valor aproximado do montante produzido foi de R$ 10452,70.
2. Calcular o capital inicial necess´rio para que, a juros compostos de 4% ao mˆs, produza
a e
o montante de R$ 5600,00, durante 7 meses.
Resolu¸˜o:
ca
• C7 = 5600
• C0 =?
4
• i= = 0, 04
100
• n=7
Aplicando a f´rmula 9, obtemos
o
5600 5600 5600
C0 = 7
= 7
= = 4255, 54
(1 + 0, 04) (1, 04) 1, 315931
Resposta: O capital inicial deve ser de R$ 4255,54.
Observa¸˜o importante: Para o c´lculo do tempo e da taxa no regime de capitaliza¸˜o
ca a ca
a juros compostos, h´ necessidade da aplica¸˜o de equa¸˜es exponenciais e de logaritmos,
a ca co
o que `s vezes pode obrigar o uso de calculadora cient´
a ıfica ou de t´buas de logaritmos.
a
14
15. 1.2.3 C´lculo de taxas equivalentes
a
Duas taxas s˜o equivalentes quando se referindo a per´
a ıodos de capitaliza¸˜es diferentes, pro-
co
duzem os mesmos juros num determinado per´ ıodo, quando aplicadas sobre um mesmo capital.
Como j´ fora definido anteriormente, no regime de capitaliza¸˜o a juros composto os juros inci-
a ca
dem tamb´m sobre os juros do per´
e ıodo anterior. O que significa que quanto mais capitaliza¸˜es
co
o capital sofrer em um determinado per´ıodo, maior ser´ o seu rendimento.
a
Exemplos: Em juros compostos as taxas 21% ao ano ´ equivalente a 10% ao semestre. (Con-
e
fira!)
Observe que a taxa proporcional ´ de 20% ao ano.
e
F´rmulas para o c´lculo das taxas equivalentes: Para facilitar a nomenclatura vamos
o a
denotar por i o valor da taxa correspondente ao menor per´
ıodo de capitaliza¸˜o e por I o valor
ca
da taxa do maior per´ ıodo de capitaliza¸˜o.
ca
A Figura 1 a seguir mostra a rela¸˜o entre duas taxas equivalentes aplicadas sobre um mesmo
ca
capital C0 . Observe que que o efeito de trˆs aplica¸˜es da taxa i ´ o mesmo de uma unica
e co e ´
aplica¸˜o da taxa I e a rela¸˜o entre os per´
ca ca ıodos ´ de 1 : 3.
e
Figura 1: Taxas equivalentes.
Supondo conhecida a taxa i do menor per´ ıodo, queremos obter a taxa I equivalente a i. Como
o efeito dessas duas taxas sobre o capital C0 ´ o mesmo nesse per´
e ıodo, temos:
C0 (1 + I) = C0 (1 + i)3
logo
(1 + I) = (1 + i)3
e assim
I = (1 + i)3 − 1
Se se o per´
ıodo maior fosse igual a n vezes o per´
ıodo menor, ter´
ıamos a f´rmula
o
I = (1 + i)n − 1 (10)
Agora, suponhamos conhecida a taxa I do maior per´
ıodo e queremos conhecer a taxa i equiva-
lente a I.
Pelo mesmo racioc´
ınio usado na demonstra¸˜o anterior, temos que
ca
C0 (1 + i)3 = C0 (1 + I)
15
16. logo
(1 + i)3 = (1 + I)
assim √
3
(1 + i) = 1+I
de onde segue √
3
i= 1+I −1
Buscando generalizar o racioc´
ınio usado para gerar o resultado anterior, ´ f´cil perceber que se
e a
a taxa I do per´
ıodo maior fosse igual a n vezes a taxa i do per´
ıodo menor, ter´ıamos a f´rmula
o
√
i= n1+I −1 (11)
Observa¸oes importantes:
c˜
1. Para trabalhar com as f´rmulas anteriores atrav´s de uma calculadora simples, quanto
o e
a o
` F´rmula 10, n˜o h´ problemas pois ser´ necess´rio o c´lculo de uma potˆncia. (Ver
a a a a a e
atividade 3.2.1).
2. Para o uso da F´rmula 11 ´ necess´rio o c´lculo de ra´
o e a a ızes. Neste caso, para que sejam
poss´
ıveis os c´lculos, sugerimos que a rela¸˜o entre os per´
a ca ıodos de capitaliza¸˜o seja de
ca
1 : 2, 1 : 4, 1 : 8, ... que s˜o poss´
a ıveis em uma calculadora simples com aplica¸˜es co
sucessivas da raiz quadrada, pois, das propriedades da radicia¸˜o, temos:
ca
√ √
4
a= a
√ √
8
a= a
Caso contr´rio o c´lculo s´ ser´ poss´ com calculadora cient´
a a o a ıvel ıfica.
2 Rendas Certas
Uma lista de quantias (usualmente denominadas presta¸˜es, pagamentos ou termos), referidas
co
a ´pocas diversas ´ denominada s´rie, anuidade ou ainda, renda certa. Se esses pagamentos
e e e
forem iguais e em intervalos de tempo iguais, a s´rie recebe o nome de uniforme.
e
Quanto ` sua finalidade, as rendas certas podem servir ao prop´sito de constituir um capital
a o
(capitaliza¸˜o) ou liquidar uma d´
ca ıvida (liquida¸˜o).
ca
S˜o exemplos de rendas certas as poupan¸as e capitaliza¸˜es programadas, os pagamentos de
a c co
alugu´is, impostos e as presta¸˜es de financiamentos em geral.
e co
Quanto `s amortiza¸˜es de d´
a co ıvidas, existem diversos sistemas de amortiza¸˜es, destacando-se o
co
francˆs, o sistema de amortiza¸˜o constante (SAC), o americano e o alem˜o, cada um com as
e ca a
suas peculiaridades.
16
17. 2.1 Sistema francˆs de amortiza¸˜o
e ca
No sistema francˆs de amortiza¸˜o de d´
e ca ıvidas, o valor das presta¸˜es e o per´
co ıodo entre as
presta¸˜es s˜o constantes.
co a
Esse ´ o sistema mais usado no com´rcio atualmente. Em geral, as presta¸˜es, s˜o pagas
e e co a
mensalmente.
Quanto ao pagamento da primeira presta¸˜o, as rendas certas podem ser classificadas como:
ca
antecipadas, postecipadas ou diferidas.
2.1.1 Rendas antecipadas – Com entrada
Nas rendas antecipadas, ou com entrada, o pagamento da primeira presta¸˜o se d´ na data
ca a
atual, ou seja, no momento da constitui¸˜o da d´
ca ıvida. Denotaremos esse momento de per´
ıodo
0.
O exemplo mostrado na Figura 2 representa uma s´rie antecipada uniforme de n = 4 pagamentos
e
iguais a P para liquidar uma d´
ıvida D sujeita a uma taxa de juros i.
ca ´
Observa¸˜o: E usual em Matem´tica Financeira indicar o coeficiente de capitaliza¸˜o 1 + i pela
a ca
letra u, ou seja
u=1+i
Figura 2: Esquema de pagamento antecipado.
17
18. Como a d´ ıvida dever´ ser liquidada no fim do quarto per´
a ıodo, podemos estabelecer, nesse
per´
ıodo uma equivalˆncia de capitais entre o valor da d´
e ıvida D e o somat´rio das presta¸˜es P ,
o co
ou seja:
Du4 = P + P u + P u2 + P u3 + P u4 (12)
S5
Observe que a seq¨ˆncia (P, P u, P u2 , P u3 , P u4 ) dos montantes das presta¸˜es forma uma progress˜o
ue co a
geom´trica de n = 5 termos, de raz˜o q = u e primeiro termo a1 = P , assim, o segundo membro
e a
da equa¸˜o 12, ´ a soma dos n = 5 termos de uma PG.
ca e
A f´rmula geral para a soma dos termos uma progress˜o geom´trica finita ´
o a e e
qn − 1
Sn = a1
q−1
Substituindo os valores conhecidos na f´rmula acima, obtemos
o
u5 − 1
S5 = P
u−1
Como u = 1 + i, o denominador da ultima equa¸˜o fica u − 1 = 1 + i − 1 = i e realizando a
´ ca
substitui¸˜o, resulta
ca
u5 − 1
S5 = P (13)
i
Comparando as express˜es 13 e 12, obtemos
o
u5 − 1
Du4 = P
i
Isolando o valor de P na f´rmula anterior, obtemos
o
u4 · i
P =D· (14)
u5 − 1
Observa¸˜es:
co
1. O expoente (5) de u no denominador da f´rmula 14 est´ relacionado com o n´mero de
o a u
termos da renda. (Ver Figura 2)
2. O expoente (4) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da
a u co
d´
ıvida.
3. Para uma renda antecipada, o n´mero de presta¸˜es ser´ sempre de uma unidade a mais
u co a
que o n´mero de capitaliza¸˜es da d´
u co ıvida.
Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do
co ca
c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos, do seguinte modo:
a u
Para calcular a presta¸˜o necess´ria para saldar uma d´
ca a ıvida D, a uma taxa i com uma renda
antecipada de n per´ıodos com presta¸˜es iguais a P , podemos usar a seguinte f´rmula:
co o
un−1 · i
P =D· (15)
un − 1
18
19. Isolando-se a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se obter uma f´rmula que permite calcular
o o o
o valor da d´
ıvida que ser´ amortizada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na
a co
´poca 0:
e
un − 1
D=P · (16)
un−1 · i
2.1.2 Rendas postecipadas – Sem entrada
Na amortiza¸˜o postecipada, imediata ou sem entrada, a primeira presta¸˜o ou pagamento se
ca ca
d´ no fim do primeiro per´
a ıodo, ou seja, na ´poca 1. Vamos analisar a Figura 3 a seguir, que
e
representa uma renda postecipada de n = 4 termos ou presta¸˜es:
co
Figura 3: Esquema de pagamento postecipado.
Pelo mesmo racioc´ınio usado na demonstra¸˜o da f´rmula anterior, aplicando a equivalˆncia de
ca o e
capitais no fim do quarto per´ıodo, temos:
Du4 = P + P u + P u2 + P u3 (17)
S4
onde o segundo membro representa a soma dos termos de uma PG de n = 4 termos. Calculando
essa soma, obtemos:
P (u4 − 1)
S4 =
u−1
ou seja
P (u4 − 1)
S4 = (18)
i
19
20. Comparando as express˜es 18 e 17, resulta:
o
P (u4 − 1)
Du4 =
i
Isolando P , obtemos
u4 · i
P =D· (19)
u4 − 1
Observa¸˜es:
co
1. O expoente (4) de u no denominador da f´rmula 19 est´ relacionado com o n´mero de
o a u
termos da renda. (Ver Figura 3)
2. O expoente (4) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da
a u co
d´
ıvida.
3. Para uma renda postecipada, o n´mero de presta¸˜es ser´ sempre de igual que o n´mero
u co a u
de capitaliza¸˜es da d´
co ıvida.
Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do
co ca
c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos, do seguinte modo:
a u
Para calcular o valor da presta¸˜o necess´ria para liquidar uma d´
ca a ıvida D a uma taxa i, em n
pagamentos iguais a P , com a primeira presta¸˜o vencendo no fim do primeiro per´
ca ıodo, podemos
utilizar a f´rmula:
o
un · i
P =D· n (20)
u −1
Isolando-se a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se calcular o valor da d´
o o ıvida que ser´
a
amortizada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na ´poca 1:
co e
un − 1
D=P · (21)
un · i
2.1.3 Rendas diferidas – Com carˆncia
e
Neste sistema, como nos anteriores, o per´ ıodo e as presta¸˜es s˜o constantes, sendo que a
co a
primeira presta¸˜o vence m per´
ca ıodos ap´s a ´poca 1, e, a este diferimento se d´ o nome de
o e a
carˆncia. A Figura 4 representa essa situa¸˜o, para o caso de n = 4 presta¸˜es e um diferimento
e ca co
de m = 2 per´ıodos:
Fazendo a equivalˆncia de capitais na ´poca 6, obtemos:
e e
Du6 = P + P u + P u2 + P u3 (22)
S4
Como o segundo termo corresponde ` soma dos termos de uma PG de 4 termos, obtemos:
a
u4 − 1
S4 = P
u−1
ou seja
u4 − 1
S4 = P (23)
i
20
21. Figura 4: Esquema de pagamento diferido de 2 per´
ıodos.
Comparando as express˜es 23 e 22, obtemos:
o
u4 − 1
Du6 = P
i
Isolando P na ultima express˜o, resulta:
´ a
u6 · i
P =D· (24)
u4 − 1
Observa¸˜es:
co
1. O expoente (4) de u no denominador da f´rmula 24 est´ relacionado com o n´mero de
o a u
termos da renda. (Ver Figura 4)
2. O expoente (6) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da
a u co
d´
ıvida.
3. Para uma renda diferida, o n´mero de capitaliza¸˜es da d´
u co ıvida ser´ sempre m unidades
a
a mais que o n´mero de presta¸˜es.
u co
Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do
co ca
c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos e um per´
a u ıodo m qualquer de carˆncia,
e
do seguinte modo:
Para calcular o valor P das n presta¸˜es necess´rias para saldar a d´
co a ıvida D, sujeita ` taxa i,
a
sendo que o vencimento da primeira presta¸˜o se d´ m per´
ca a ıodos ap´s a ´poca 1, pode se usar a
o e
seguinte f´rmula:
o
un+m · i
P =D· n (25)
u −1
21
22. Isolando a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se calcular o valor da d´
o o ıvida que ser´ amorti-
a
zada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na ´poca m + 1:
co e
un − 1
D=P · (26)
un+m · i
2.1.4 Observa¸˜es
co
1. A condi¸˜o “m per´
ca ıodos ap´s a ´poca 1 ”, deve-se ao fato que sistema postecipado ou sem
o e
entrada ´ o sistema padr˜o utilizado atualmente. Quando n˜o se faz men¸˜o ao tipo,
e a a ca
subentende-se que ´ o tipo postecipado.
e
2. Observando melhor f´rmulas 15, 20 e 25, demonstradas anteriormente, podemos perceber
o
que os denominadores s˜o iguais em todas elas e que o expoente de u no numerador varia
a
conforme o vencimento da primeira presta¸˜o: n − 1 para o per´
ca ıodo 0, n para o per´
ıodo 1,
e n + m para uma carˆncia de m per´
e ıodos. Denotando por p esse expoente, denominamos
coeficiente de amortiza¸˜o, as express˜es do tipo:
ca o
up · i
un − 1
2.1.5 M´todo pr´tico para o c´lculo do coeficiente de amortiza¸˜o
e a a ca
Muitos professores n˜o gostam de trabalhar com a Matem´tica Financeira porque acreditam
a a
ser necess´rio o uso de calculadora financeira ou cient´
a ıfica para efetuar os c´lculos.
a
Isso n˜o ´ verdade, com um pouco de habilidade ´ poss´ se trabalhar esses c´lculos com o uso
a e e ıvel a
de uma calculadora comum. Bastando para isso usar os seus recursos de c´lculos constantes e
a
as teclas de mem´ria, indicadas na Figura 5 a seguir.
o
Figura 5: Uma calculadora padr˜o.
a
Exemplos
1. Para calcular a potˆncia 1, 0310 , em uma calculadora simples, seguir os seguintes passos:
e
(a) Digitar 1, 03;
22
23. (b) Pressionar = 9 vezes.
Observa¸˜o: Para elevar o n´mero dado a uma determinada potˆncia n, basta pres-
ca u e
sionar = n-1 vezes).
2. Fun¸˜es das teclas de mem´ria:
co o
• A tecla M+ adiciona o n´mero atual ` mem´ria.
u a o
• A tecla M– subtrai o n´mero atual da mem´ria.
u o
• A tecla MR ou a tecla MRC permite acessar o n´mero que est´ guardado na
u a
mem´ria.
o
3. A Figura 6 a seguir mostra, passo a passo, como se pode calcular o coeficiente de amor-
tiza¸˜o, para o caso de um pagamento postecipado, usando uma calculadora comum.
ca
• As setas vermelhas indicam a ordem das inser¸˜es de dados e das opera¸˜es;
co co
• Primeiro se calcula o denominador e memoriza o resultado;
• Depois se calcula o numerador e por fim se faz a divis˜o pelo resultado guardado na
a
mem´ria.
o
Figura 6: M´todo pr´tico
e a
4. Vamos ilustrar com um exemplo, como esse processo pode ser usado.
Comprei uma geladeira no valor de R$ 1200,00, em n = 10 presta¸˜es mensais iguais
co
sem entrada. Se a taxa de juros da loja ´ de 3% ao mˆs, qual deve ser o valor de cada
e e
presta¸˜o?
ca
Resolu¸˜o:
ca
• r = 3%
3
• i= = 0, 03
100
• u = 1 + 0, 03 = 1, 03
• n = 10 (n´mero de presta¸˜es)
u co
• D = 1200 (d´
ıvida)
23
24. • P =?
Aplicando a f´rmula 20, obtemos
o
1, 0310 · 0, 03 ∼ 1, 343916 · 0, 03 ∼
P = 1200 · 10 − 1 =
1200 · = 0, 11723 = 140, 67
1, 03 1, 343916 − 1
Resposta: O valor da presta¸˜o ser´ de R$ 140,67.
ca a
5. Qual deve ser o valor de um produto a ser comprado, de modo que eu possa pag´-lo a
totalmente em 6 presta¸˜es mensais de R$ 250,00, sem entrada, se a taxa de juros cobrada
co
pela loja ´ de 3, 5 % ao mˆs?
e e
Resolu¸˜o:
ca
• r = 3, 5%
3, 5
• i= = 0, 035
100
• u = 1 + 0, 035 = 1, 035
• n = 6 (n´mero de presta¸˜es)
u co
• D =?
• P = 250 (valor de cada presta¸˜o)
ca
Aplicando a f´rmula 21, temos
o
1, 0356 − 1 ∼ 1, 229255 − 1 ∼
D = 250 · 6 · 0, 035 =
250 · = 250 · 5, 328661 = 1332, 16
1, 035 1, 229255 · 0, 035
Resposta: O valor do produto a ser comprado deve ser de R$ 1332,16.
2.2 Sistema de Amortiza¸˜o Constante – SAC
ca
Esse ´ o sistema mais usado atualmente para financiamentos da casa pr´pria. Suas principais
e o
caracter´
ısticas s˜o:
a
1. As parcelas de amortiza¸˜o s˜o constantes;
ca a
2. O valor das presta¸˜es s˜o decrescentes.
co a
O valor P de cada presta¸˜o ´ composto de duas parcelas, os juros indicados por J, calculados
ca e
sobre o saldo devedor do per´ıodo anterior e a quota de amortiza¸˜o indicada por A, que ´ igual
ca e
D
ao valor da d´
ıvida dividido pelo n´mero de presta¸˜es, isto ´: A = .
u co e
n
Exemplo
Elaborar a planilha te´rica de amortiza¸˜o para um empr´stimo de R$ 10.000,00, pelo sistema
o ca e
SAC, sendo r = 2% ao mˆs, a taxa de financiamento e n = 5 presta¸˜es mensais.
e co
24
25. Resolu¸˜o: Sejam D0 , D1 , D2 , ..., D5 , os saldos devedores nos per´
ca ıodos 0, 1, 2, ..., 5, respectiva-
mente e Jn os juros do per´ıodo n, temos ent˜o a
J1 = 10000 · 0, 02 = 200
J2 = 8000 · 0, 02 = 160
J3 = 6000 · 0, 02 = 120
J4 = 4000 · 0, 02 = 80
J5 = 2000 · 0, 02 = 40
Resultando na Tabela 1:
n P J A D
0 - - - 10000
1 2200 200 2000 8000
2 2160 160 2000 6000
3 2120 120 2000 4000
4 2080 80 2000 2000
5 2040 40 2000 -
Tabela 1: Planilha te´rica (SAC)
o
2.3 Capitaliza¸˜o
ca
Quando se deseja constituir um Montante Mn ao longo de um certo tempo, podemos realizar n
dep´sitos em uma institui¸˜o financeira, um mesmo valor ou termo indicado por T , periodica-
o ca
mente.
Ao final desse per´ıodo, as somas dos montantes de cada um desses valores ir´ formar o Mon-
a
tante desejado. Todas estas aplica¸˜es recebem o nome dePlano de Capitaliza¸˜o ou Poupan¸a
co ca c
Programada.
A Figura 7 a seguir d´ uma id´ia de como isso ocorre, para uma renda antecipada (primeiro
a e
dep´sito no per´
o ıodo 0 ) de 5 termos.
Observe que a seq¨ˆncia (T, T u1 , T u2 , T u3 , T u4 ) dos montantes de cada termo T , ´ uma PG
ue e
de raz˜o u, primeiro termo T , com 5 termos. Para saber o valor do Montante M5 , no fim do
a
quarto per´
ıodo, basta calcular a soma dos 5 termos dessa PG. Assim.
q5 − 1
S5 = a1
q−1
e desse modo
u5 − 1
M5 = T
u−1
que tamb´m pode ser escrita como
e
u5 − 1
M5 = T (27)
i
25
26. Figura 7: Esquema de capitaliza¸˜o antecipado.
ca
A partir de observa¸˜es cuidadosas na f´rmula 27 e na figura 7, podemos perceber que o n´mero
co o u
(5) do numerador da f´rmula est´ relacionado com o n´mero de termos da renda. Podemos
o a u
ent˜o, de forma intuitiva, estabelecer uma f´rmula que dˆ o montante para um n´mero n
a o e u
qualquer de termos, como a que se segue.
´ a
E f´cil perceber que para uma renda de n termos iguais a T , sujeita a uma taxa i, o Montante
Mn ao fim de n − 1 per´ ıodos pode ser calculado pela f´rmula:
o
un − 1
Mn = T · (28)
i
Isolando a inc´gnita T na equa¸˜o anterior, pode-se calcular o valor dos n dep´sitos iguais a T ,
o ca o
necess´rios para se constituir o montante M .
a
i
T =M· (29)
un −1
Exemplos
1. Desejando constituir um capital, depositei mensalmente R$ 150,00, em uma poupan¸a c
programada durante 12 meses. Se a taxa de juros foi de 1, 5 % ao mˆs, qual ´ o valor
e e
atual do montante?
Resolu¸˜o:
ca
1, 5
• i= = 0, 015
100
• u = 1 + 0, 15 = 1, 015
• M12 =?
• n = 12
• T = 150
26
27. Aplicando a f´rmula 28, obtemos:
o
1, 01512 − 1 ∼ 1, 195618 − 1 ∼
M12 = 150 · = 150 · = 150 · 13, 0412 = 1956, 18
0, 015 0, 015
Resposta: O montante ao final desse per´
ıodo ser´ de aproximadamente R$ 1956,18.
a
2. Que valor devo depositar mensalmente em uma poupan¸a programada que rende 1, 2 %
c
de juros ao mˆs, durante n = 8 meses, para que constitua ao fim desse per´
e ıodo um capital
de R$ 5000,00?
Resolu¸˜o:
ca
1, 2
• i= = 0, 012
100
• u = 1 + 0, 12 = 1, 012
• M8 = 8000
• n=8
• T =?
Aplicando a f´rmula 29, temos
o
0, 012 0, 012 ∼ 8000 · 0, 119844 = 958, 75
T = 8000 · 8−1
= 8000 · =
1, 012 1, 100130 − 1
Resposta: Devo depositar durante 8 meses o valor R$ 958,75.
27
28. 3 Sugest˜es de Atividades
o
3.1 Encaminhamento metodol´gico
o
As atividades propostas neste trabalho s˜o indicadas para que sejam realizadas pelos alunos,
a
ap´s as demonstra¸˜es, por parte do professor, das principais f´rmulas da Matem´tica Finan-
o co o a
ceira e da resolu¸˜o de pelo menos alguns exerc´
ca ıcios exemplos para cada uma delas.
As atividades 3.2.1 e 3.2.2 podem ser realizadas em sala de aula, pois foram preparadas para
apresenta¸˜o com aux´ de calculadora simples.
ca ılio
As atividades 3.3.1 e 3.3.2 devem ser realizadas em um laborat´rio de inform´tica com um
o a
n´mero de computadores suficiente para atender aos alunos de uma turma, individualmente ou
u
em grupos pequenos. Uma boa parte dos estabelecimentos de ensino atualmente j´ possuem
a
esses laborat´rios.
o
Antes de levar os alunos ao laborat´rio, ´ muito importante que o professor, al´m da parte
o e e
te´rica, j´ tenha trabalhado com os alunos esses tipos de exerc´
o a ıcios com resolu¸˜es por outros
co
processos simples, com o uso de calculadora simples ou at´ mesmo pelos algoritmos operacionais.
e
3.2 Atividades com calculadora simples
3.2.1 Calculando potˆncias com a calculadora simples
e
Pedir que os alunos calculem os valores de diversas potˆncias de expoentes naturais, especial-
e
mente aquelas com expoentes maiores e bases com n´meros decimais.
u
Inicialmente, deixem os alunos livremente para realizar os c´lculos, interferindo somente ao final
a
para mostrar as vantagens de m´todos pr´ticos que visam facilitar esses c´lculos, como aquele
e a a
que est´ descrito na seq¨ˆncia. Eles s˜o muito importantes para a Matem´tica como um todo,
a ue a a
especialmente para Matem´tica Financeira.
a
Objetivos pedag´gicos
o
• Mostrar que n˜o s˜o necess´rios aparatos sofisticados como as calculadoras cient´
a a a ıficas ou
financeiras para se trabalhar c´lculos financeiros.
a
• Explorar ao m´ximo os recursos de uma calculadora simples.
a
• Facilitar o c´lculo de potˆncias que surgem naturalmente nas f´rmulas da Matem´tica
a e o a
Financeira.
• Com a racionaliza¸˜o do tempo de c´lculo, aproveitar o tempo excedente para avan¸ar
ca a c
em novos conte´dos.
u
• Incentivar o uso das opera¸˜es constantes e das teclas de mem´ria das calculadoras.
co o
Material necess´rio
a
• Uma calculadora simples;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
28
29. Regra pr´tica para o c´lculo de potˆncias
a a e
Em uma calculadora simples, pode-se calcular o valor da potˆncia an , onde n ´ um n´mero
e e u
natural, obedecendo as seguintes etapas:
1. Digitar o n´mero que representa a base a da potˆncia;
u e
2. Pressionar a tecla X ;
3. Pressionar a tecla = (n-1) vezes.
Explorando essa atividade
• Pedir que cada aluno explique porque se deve apertar a tecla = (n-1) vezes se o expoente
da potˆncia ´ n.
e e
• Aplicar o m´todo mostrado acima para calcular o montante nos juros compostos, em cuja
e
f´rmula aparece potˆncias com expoentes naturais.
o e
Sugest˜o: Montar uma lista de atividades nas quais figurem essas potˆncias.
a e
• Mostrar aos alunos as vantagens de se usar o m´todo pr´tico descrito anteriormente e a
e a
sua real necessidade para a Matem´tica Financeira.
a
• Explorar com alunos outras opera¸˜es constantes das calculadoras comuns, como: soma,
co
subtra¸˜o, divis˜o e raiz quadrada, tentando descobrir poss´
ca a ıveis aplica¸˜es.
co
• Pedir que cada aluno mostre alguma outra situa¸˜o dentro da Matem´tica ou mesmo em
ca a
outra ciˆncia onde esse m´todo pode ser util.
e e ´
3.2.2 Explorando as teclas de mem´ria
o
Muitos usu´rios de calculadoras simples n˜o conhecem as fun¸˜es das teclas de mem´ria M ,
a a co o
M+ , MRC ou MR das calculadoras, ou quando sabem, n˜o as usam pois n˜o se d˜o conta
a a a
da sua real importˆncia para o c´lculo de f´rmulas matem´ticas.
a a o a
Nesta atividade o professor dever´ explicar as fun¸˜es dessas teclas (Ver 2.1.5) e montar uma
a co
lista de exerc´
ıcios de Matem´tica Financeira que envolvam f´rmulas cujos c´lculos podem ser
a o a
facilitados com o uso dessas calculadoras.
Ver as subse¸˜es 2.1 e 2.3. Inicialmente, os alunos devem ser deixados ` vontade para resolver
co a
os exerc´
ıcios do jeito que quiserem, mas o professor deve intervir em seguida para introduzir o
m´todo pr´tico mostrado abaixo, incentivando o seu uso.
e a
Objetivos pedag´gicos
o
• Mostrar aos alunos a importˆncia de saber realizar c´lculos financeiros para o cotidiano
a a
da pessoas.
• Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´
ca ıduos cr´
ıticos.
• Incentivar o uso das teclas de mem´ria das calculadoras.
o
29
30. • Discutir com os alunos sobre as vantagens de se usar as teclas de mem´ria das calculadoras
o
e da sua real necessidade para a Matem´tica Financeira.
a
• Aplicar o m´todo pr´tico exposto nesta atividade para se calcular os coeficientes de amor-
e a
tiza¸˜o de d´
ca ıvidas e de capitaliza¸˜o.
ca
Sugest˜o: Montar uma lista de atividades;
a
Material necess´rio
a
• Uma calculadora simples;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
M´todo pr´tico
e a
Para calcular o coeficiente de amortiza¸˜o do pagamento postecipado (sem entrada), cuja f´rmula
ca o
´ dada a seguir, onde n representa o n´mero de pagamentos, i ´ a taxa unit´ria e u = 1 + i,
e u e a
devemos proceder da seguinte forma:
un · i
un − 1
1. Digitar o n´mero u e pressionar a tecla = (n-1) vezes;
u
2. Pressionar em seq¨ˆncia, a tecla – , a tecla 1 e a tecla = ;
ue
3. Pressionar a tecla M+ para guardar o resultado atual (denominador da f´rmula) na
o
mem´ria da m´quina;
o a
4. Pressionar, ou a tecla MR ou a tecla MRC para acessar o valor que est´ guardado
a
na mem´ria da m´quina.
o a
5. Pressionar a tecla + , depois a tecla 1 e a tecla = para restituir o valor da potˆncia
e
un , que ´ necess´ria ao c´lculo do numerador.
e a a
6. Pressionar a tecla X , digitar o n´mero i e pressionar = para obter no visor da m´quina
u a
o resultado do numerador;
7. Pressionar ÷ , pressionar, ou MR ou MRC e finalmente pressionar a tecla = para
obter o resultado final.
Explorando essa atividade
• Estabelecer uma discuss˜o com os alunos a respeito da eficiˆncia e da real necessidade
a e
desse m´todo para a Matem´tica Financeira;
e a
• Pedir aos alunos que tentem fazer adapta¸˜es do m´todo para calcular os outros coefi-
co e
cientes (pagamento antecipado e diferido).
• Discutir com os alunos sobre a validade do uso deste m´todo.
e
• Pedir aos alunos que descubram outras aplica¸˜es para este m´todo dentro da Matem´tica
co e a
ou at´ mesmo em outras ciˆncias como a F´
e e ısica.
30
31. 3.3 Atividades com o software Calc
As atividades para esta se¸˜o visam utilizar o software Calc, uma planilha eletrˆnica que integra
ca o
o pacote de aplicativos BrOffice.Org, um software livre que pode ser baixado gratuitamente
no link http://www.broffice.org/download. O seu layout e funcionalidade s˜o semelhantes
a
ao Microsoft Excel e as atividades podem ser facilmente adaptadas do Excel para esse software.
3.3.1 Calculando a taxa de juros de uma renda uniforme
Inicialmente, o professor deve demonstrar aos alunos a dificuldade de se efetuar certos c´lculos
a
financeiros, particularmente os que visam encontrar o valor da taxa em problemas de rendas
certas, pois a vari´vel i, em quest˜o se apresenta de modo impl´
a a ıcito, ou seja n˜o pode ser
a
isolada facilmente por meio de uma equa¸˜o, necessitando muitas vezes de m´todos num´ricos
ca e e
de aproxima¸˜o.
ca
O professor deve pedir aos alunos que tragam, para a aula seguinte, folhetos com ofertas de
financiamentos de produtos, desses que as empresas distribuem contendo o pre¸o ` vista, o valor
c a
e a quantidade das presta¸˜es e a forma de pagamento, que neste caso deve ser sem entrada e
co
com o valor das presta¸˜es iguais.
co
Depois de uma breve introdu¸˜o sobre o software Calc na sala de aula e do m´todo que ser´
ca e a
utilizado, o professor dever´ pedir aos alunos que montem uma lista de atividades, auxiliando-os
a
se necess´rio, na escrita dos enunciados.
a
Em seguida, o professor dever´ conduzir os alunos ao laborat´rio de inform´tica para a resolu¸˜o
a o a ca
dos exerc´
ıcios.
Observa¸˜o: Algumas empresas cobram a TAC, que ´ uma tarifa para abertura de cr´dito.
ca e e
Neste caso, o valor dessa taxa deve ser acrescido ao valor da d´
ıvida. Devemos acrescentar
tamb´m o valor do IOF, imposto cobrado sobre opera¸˜es financeiras, caso este seja repassado
e co
ao consumidor. Pesquisar o valor dessa tarifa.
Objetivos pedag´gicos
o
• Resolver problemas de Matem´tica Financeira de dif´ solu¸˜o por m´todos simples,
a ıcil ca e
como os que visam o c´lculo da taxa em uma renda uniforme;
a
• Mostrar que a Matem´tica Financeira, at´ mesmo nos seus c´lculos mais complexos pode
a e a
ser acess´ aos nossos alunos;
ıvel
• Incentivar o uso da tecnologia computacional na resolu¸˜o de problemas;
ca
• Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´
ca ıduos cr´
ıticos.
Material necess´rio
a
• Um computador pessoal com o software Calc instalado;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
31
32. Procedimentos
Os procedimentos a seguir podem ser realizados individualmente ou em pequenos grupos, con-
forme a disponibilidade de computadores no laborat´rio:
o
1. Abrir uma planilha do Calc; (Ver Figura 8)
Figura 8: Abrindo uma planilha no Calc
2. Na c´lula B2, escrever N´mero de presta¸~es e na c´lula C2, escrever o valor correspon-
e u co e
dente ao N´mero de presta¸˜es;
u co
3. Na c´lula B3, escrever Valor da presta¸~o e na c´lula C3, escrever o valor correspon-
e ca e
dente ao Valor da presta¸˜o com o sinal negativo;
ca
4. Na c´lula B4, escrever Valor da d´vida e na c´lula C4, escrever o valor correspondente
e ı e
ao Valor da d´
ıvida;
5. Na c´lula B5, escrever Taxa.
e
6. Ajustar a largura da coluna B para caber estes textos;
7. Deixe a c´lula C5 vazia.
e
8. Selecionar a c´lula C5 e clicar no Assistente de fun¸˜es, cujo ´
e co ıcone ´ [ f(x) ];
e
9. Na guia Fun¸˜es, em categoria escolha financeiro e em fun¸˜o escolha TAXA, clicando
co ca
em pr´ximo; (Ver Figura 9)
o
10. Nas caixas NPER, Pgto, VP, n˜o digitar nada. Para inserir cada um desses dados, clique
a
sobre o bot˜o ` direita de cada uma delas para minimizar o assistente e visualizar os
a a
dados anteriormente inseridos.
32
33. Figura 9: Inserindo os dados
11. Com o prompt em cada uma dessas caixas selecionar respectivamente os valores da
planilha correspondentes do N´mero de presta¸~es para NPER, Valor da presta¸~o
u co ca
para Pgto, Valor da d´vida para VP.
ı
12. Na caixa Tipo, digitar o n´mero 1 e deixar as demais caixas deixar em branco.
u
13. Clicar em OK e o valor da taxa aparecer´ na c´lula B4. (Ver Figura 10)
a e
Figura 10: Trabalhando no assistente de fun¸˜o
ca
33
34. Explorando esta atividade
• Pedir aos alunos que confiram a taxa obtida nos c´lculos com a taxa declarada pela em-
a
presa (em geral, no rodap´ do an´ncio e em letras menores) e verifiquem se elas coincidem.
e u
• Pedir que cada aluno aumente o N´mero de presta¸˜es e responda `s quest˜es:
u co a o
– O valor da taxa se altera? Para mais ou para menos? Por que isso ocorre?
• Pedir que cada aluno diminua o Valor das presta¸˜es e responda `s perguntas:
co a
– O valor da taxa se altera? Para mais ou para menos? Por que isso ocorre?
• Em seguida, pedir para que cada aluno ajuste o Valor das presta¸˜es de modo que a Taxa
co
esteja pr´xima de 0 e responda `s seguintes perguntas:
o a
– Quando ocorre a taxa 0? A a taxa pode ser negativa? Quando isso ocorre? Se a
taxa ´ negativa, quem estaria pagando essa taxa? O cliente ou a empresa? O caso
e
da taxa negativa tem a ver com a realidade? Por que?
• Pedir aos alunos que pesquisem sobre as taxas cobradas no com´rcio local e com as taxas
e
calculadas na atividade anterior, pedir aos alunos que fa¸am a prova real dos c´lculos, ou
c a
seja, usem estas taxas nas f´rmulas para o c´lculo das presta¸˜es e verifiquem se os valores
o a co
coincidem. Se a resposta for negativa, sugerir que refa¸am os c´lculos para detectar o
c a
erro.
3.3.2 Calculando a taxa de juros de uma renda n˜o uniforme
a
Para essa atividade, deve-se seguir os mesmos passos da atividade anterior, diferindo apenas na
etapa seguinte:
O professor pedir´ aos alunos que tragam folhetos com ofertas de financiamentos de produtos,
a
desses que as empresas distribuem contendo o pre¸o ` vista, o valor, o n´mero de presta¸˜es e a
c a u co
forma de pagamento, n˜o importando se a opera¸˜o ser´ realizada com entrada ou sem entrada.
a ca a
Observa¸˜o: Para essa atividade as presta¸˜es n˜o necessariamente precisam ser iguais.
ca co a
Objetivos pedag´gicos
o
1. Resolver problemas de Matem´tica Financeira de dif´ solu¸˜o por m´todos simples;
a ıcil ca e
2. Mostrar que a Matem´tica Financeira, mesmo nos seus c´lculos mais complexos pode ser
a a
acess´ para os nossos alunos;
ıvel
3. Incentivar o uso da tecnologia computacional na resolu¸˜o de problemas;
ca
4. Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´
ca ıduos cr´
ıticos.
Material necess´rio
a
• Computador com o software Calc instalado;
• Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno).
ca a
34
35. Procedimentos
Para as atividades seguintes, sugerimos que sejam realizadas individualmente ou em pequenos
grupos, conforme a disponibilidade de computadores no laborat´rio:
o
1. Abrir uma nova planilha no Calc; (Ver Figura 8)
2. Na c´lula B2 escrever D e na c´lula C2 digitar o Valor da d´
e e ıvida.
3. Na c´lula B3 escrever E e na c´lula C3 digitar o Valor da entrada, caso o plano seja com
e e
entrada. Se o plano for sem entrada, escrever 0.
4. Na c´lula B4 escrever D-E e na c´lula C4, calcular o valor do Saldo devedor, isto ´, a
e e e
diferen¸a entre a D´
c ıvida e o Valor da entrada;
5. Nas c´lulas B5 e C5 n˜o escrever nada;
e a
6. Na c´lula B6 escrever Saldo Devedor e na c´lula C6 digitar o valor do Saldo devedor;
e e
7. Na c´lula B7 escrever Presta¸~o 1 e na c´lula C7 digitar o valor da Presta¸˜o 1 (com
e ca e ca
sinal negativo);
8. Na c´lula B8 escrever Presta¸~o 2 e na c´lula C8 digitar o valor da Presta¸˜o 2 (com
e ca e ca
sinal negativo);
9. Na c´lula B9 escrever Presta¸~o 3 e na c´lula C9 digitar o valor da Presta¸˜o 3 (com
e ca e ca
sinal negativo); Observa¸˜o: O valor da d´
ca ıvida deve ser menor que o valor da soma das
presta¸˜es tomadas em valor absoluto.
co
10. Na c´lula B10 escrever Taxa;
e
11. Selecionar a c´lula C10 e clicar no Assistente de fun¸˜es, cujo ´
e co ıcone ´ [f(x)];
e
12. Na guia Fun¸~es, em Categoria escolher financeiro e em Fun¸~o escolher TIR e clicar
co ca
em pr´ximo; (Ver Figura 11)
o
Figura 11: Inserindo os dados
35
36. 13. Na caixa Valores n˜o digitar nada. Com o prompt nessa caixa, clicar no bot˜o ` direita
a a a
(Indicado com uma seta na Figura 12) para minimizar o Assistente. Selecionar apenas o
intervalo (de C6 a C9), da coluna dos valores e retornar ao Assistente, clicando no mesmo
bot˜o para maximiz´-lo. Clique em OK. O valor da taxa ir´ aparecer na c´lula B10 da
a a a e
planilha. (Ver Figura 12)
Figura 12: Trabalhando no assistente de fun¸˜o
ca
Explorando esta atividade
• Pedir que cada aluno aumente o valor de uma ou mais presta¸˜es e responda `s seguintes
co a
quest˜es:
o
– O que acontece com a taxa?
– Por que isso ocorre?
• Pedir que cada aluno diminua o valor de uma ou mais presta¸˜es e responda `s quest˜es:
co a o
– O que acontece com a taxa?
– Por que isso ocorre?
– Ela pode se tornar negativa? Em que situa¸˜o?
ca
– Nesse caso quem estar´ pagando essa taxa? Essa situa¸˜o pode ocorrer na realidade?
a ca
Estabele¸a uma discuss˜o sobre este assunto.
c a
36
37. Referˆncias
e
[1] D’Ambr´sio, Nicolau e Ubiratan, Matem´tica Comercial e Financeira, Companhia Editora
o a
Nacional, 29a edi¸˜o, S˜o Paulo, 1983.
ca a
[2] Lima, Elon Lages, et al, Temas e Problemas, Cole¸˜o do Professor de Matem´tica, SBM,
ca a
Rio de Janeiro, 2001.
[3] Faria, Rog´rio G. de, Matem´tica Comercial e Financeira, Makron Books, 5a edi¸˜o, S˜o
e a ca a
Paulo, 2000.
[4] Sobrinho, J. D. Vieira, Manual de Aplica¸˜es Financeiras – HP-12C, Atlas, 2a edi¸˜o, S˜o
co ca a
Paulo, 1985.
Conte´ dos dispon´
u ıveis na Internet
http://www.mat.uel.br/matessencial/financeira/financeira.htm
(acessado em 29 de novembro de 2007).
http://pa.esalq.usp.br/desr/dum/node2.html
(acessado em 30 de novembro de 2007).
http://www.iesc.edu.br/pesquisa/arquivos/o_anatocismo_dos_sistemas_de_amortizacao.
pdf
(acessado em 20 de dezembro de 2007).
37