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JOÃO CANDIDO PEREIRA DE CASTRO NETO




 CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA




           CURITIBA – PR
               2002
ÍNDICE

                ÍNDICE........................................................................................................................................... I


                LISTA DE TABELAS ................................................................................................................... III


                1      INTRODUÇÃO.......................................................................................................................1


                2      PERCENTAGENS..................................................................................................................2

                    2.1         ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SOBRE PREÇOS INICIAIS E FINAIS .................................................2
                    2.2         ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS ...........................................................................6

                3      FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................10

                    3.1         O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA .........................................................................................10
                    3.2         AS TAXAS DE JUROS .......................................................................................................11
                    3.3         DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA .......................................................................................12

                4      O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES........................................................................13

                    4.1         JUROS SIMPLES .............................................................................................................13
                    4.2         MONTANTE SIMPLES .......................................................................................................14
                    4.3         TAXAS ..........................................................................................................................15
                    4.4         DESCONTOS SIMPLES .....................................................................................................15
                        4.4.1        Cálculo do Desconto Simples Comercial.................................................................16
                        4.4.2        Cálculo do Valor Atual Comercial............................................................................17

                5      O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................19

                    5.1         MONTANTE E JUROS DE UM ÚNICO PAGAMENTO ...................................................................19
                    5.2         DESCONTO ...................................................................................................................20
                    5.3         TAXAS DE JUROS COMPOSTOS ..........................................................................................20
                    5.4         TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................20
                    5.5         TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS.............................................................................................21
                    5.6         REGIME DE CAPITALIZAÇÃO MISTA.....................................................................................22
                    5.7         EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ..................................................................................23

                6      SÉRIES UNIFORMES..........................................................................................................26

                    6.1         CLASSIFICAÇÃO, ELEMENTOS E CÁLCULOS ..........................................................................26
                    6.2         SÉRIES ANTECIPADAS .....................................................................................................26
                    6.3         SÉRIES IMEDIATAS ..........................................................................................................28
                    6.4         SÉRIES DIFERIDAS ..........................................................................................................29
                    6.5         SÉRIES GRADIENTES ......................................................................................................30

                    6.6         DECOMPOSIÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA                         32



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7      SISTEMAS DE FINANCIAMENTO.......................................................................................33

                    7.1         SISTEMA DO MONTANTE ..................................................................................................34
                    7.2         SISTEMA DO JURO ANTECIPADO (DESCONTOS) ...................................................................34
                    7.3         SISTEMA FRANCÊS OU SISTEMA PRICE ...............................................................................35
                    7.4         SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES .........................................................................36

                8      ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO ..........................39

                    8.1         MÉTODOS DE ANÁLISE ....................................................................................................40
                        8.1.1        Método do Custo Anual .........................................................................................40
                        8.1.2        Método do Valor Presente Líquido .........................................................................45
                        8.1.3        Método da Taxa Interna de Retorno.......................................................................50
                    8.2         CLASSIFICAÇÃO DE ALTERNATIVAS ....................................................................................53
                        8.2.1        Alternativas Singulares...........................................................................................53
                        8.2.2        Alternativas Múltiplas .............................................................................................53
                        8.2.3        Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes ......................................................54

                ANEXOS......................................................................................................................................55


                BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................................62




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LISTA DE TABELAS


                VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO .................................................................................56


                VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO .....................................................................................57


                VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA......................................................58


                VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA..........................................................59


                FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA .........................................60


                TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS ..............................................................61




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1. Introdução

                Tornou-se lugar comum afirmar que, no Brasil, a grande maioria das
empresas fecha suas portas ao final dos cinco primeiros anos de operação e parece
ser consenso entre professores, consultores e administradores que as dificuldades
na obtenção e administração do capital de giro respondem pela quase totalidade
dessas baixas.
                Sabe-se, também, que a maior parte do tempo destinado à administração
das empresas brasileiras é dedicada à administração financeira. De fato, o ambiente
econômico e financeiro nacional não perdoa os amadores. Altos níveis de
concentração de renda, taxas de juros estratosféricas e carga tributária extorsiva
constituem entraves seriíssimos à atividade econômica que tornam o dia a dia da
gestão empresarial um desafio gigantesco.
                Nesse contexto, o conhecimento da matemática comercial e financeira,
mais que nunca, é fundamental para a administração nas mais diversas áreas.
                Do cálculo das comissões de vendas, à avaliação de projetos alternativos
de investimento, buscou-se, neste trabalho, apresentar as poderosas ferramentas
da matemática comercial e financeira com uma preocupação permanente com a
linguagem acessível e com a sua utilidade prática. Sempre que possível, buscou-se
utilizar uma nomenclatura idêntica à das calculadoras financeiras, de modo a
facilitar a compreensão e o uso daqueles instrumentos.
                Nos anexos apresentam-se tabelas de índices que têm o objetivo de
possibilitar cálculos rápidos para algumas taxas e prazos e, ainda, uma tabela
prática para cálculo de prazos entre datas.
                Espera-se oferecer um instrumento de aprendizado e consulta que possa
auxiliar nossos alunos e treinandos na ampliação e consolidação de seus
conhecimentos e na sua evolução profissional.




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2. Percentagens

                Uma percentagem é um número relativo, que pode ser utilizado para
comparar grandezas de qualquer espécie: volume, área, peso, etc.
                A percentagem (r) representa parte (p) de uma grandeza que foi dividida
em cem unidades, que chamamos de principal (P).
                Fazendo uma regra de três, temos:
                 P   p               P×r       r
                   =            p=       = P×       p = P×i
                100 r                100      100
                Onde i é uma taxa e é igual à percentagem dividida por cem:
                       r
                i=
                      100
                Exemplo: Calcular 8% de 560.
                Comentário: Podemos calcular utilizando a percentagem ou a taxa.
                        560 × 8
                 p=             = 44,8
                         100
                 ou
                 p = 560 × 0,08 = 44,8


2.1      Acréscimos e abatimentos

                O valor resultante de um acréscimo é chamado de valor bruto (B) e é igual
ao principal mais a parte que foi acrescida.
                  B = P+ p
                Nós já vimos que a parte é igual ao principal multiplicado pela taxa:
                 p = P×i
                Substituindo na equação anterior, temos:
                 B = P + P×i
                 ou
                 B = P × (1 + i )
                Da mesma forma, ao fazermos um abatimento, o valor resultante é o valor
líquido (L), que é igual ao principal menos a parte que foi abatida.




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                 L = P− p
                Como:
                 p = P×i
                Substituindo na equação anterior:
                 L = P − P×i
                 ou
                 L = P × (1 − i )

2.2      Operações com mercadorias

                Nos acréscimos como nos abatimentos, podemos considerar como
principal tanto o preço inicial (Po), que é o preço antes da operação ou preço de
custo, como o preço final (Pn) que é o preço depois da operação ou preço de venda.
                Isso costuma gerar muita confusão, pois um mesmo acréscimo ou
abatimento pode ser representado por duas percentagens, uma calculada "sobre" o
preço inicial e outra calculada "sobre" o preço final.
                Assim, se o principal é o preço inicial, o que é mais comum, em um
acréscimo o preço final é um valor bruto igual ao preço inicial mais o acréscimo:
                 B = P × (1 + i )    Pn = P0 × (1 + i0 )

                Em um abatimento, o preço final é um valor líquido igual ao preço inicial
menos o abatimento:
                 L = P × (1 − i )    Pn = P0 × (1 − i0 )

                Porém, em certas ocasiões como no cálculo do ICMS, por exemplo, o
principal é o preço final, isto é, o cálculo é feito sobre o preço que já inclui a
operação. Nesse caso, em um acréscimo, o preço inicial é um valor líquido igual ao
preço final menos o acréscimo:
                 L = P × (1 − i )    P0 = Pn × (1 − in )

                ou
                            P0
                 Pn =
                         (1 − in )

                Em um abatimento, o preço inicial é um valor bruto igual ao preço final
mais o abatimento:

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                                                                       http://www.fesppr.br/~candido
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                  B = P × (1 + i )   P0 = Pn × (1 + in )

                ou
                            P0
                 Pn =
                         (1 + in )




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EXERCÍCIOS

1) Quanto é 8% de 1.253.897,33?
2) Quanto por cento 1.200 é de 8.000?
3) 1.000,00 são 3% de quanto?
4) A cotação da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variação percentual?
5) A saca de café passou de US$ 40,00 para US$ 30,00. Qual foi a variação percentual?
6) A saca de café passou de R$ 75,00 para R$ 100,00. Qual foi a variação percentual?
7) O preço de venda de certa mercadoria representa um acréscimo de 15% sobre o preço de custo
de R$ 5.800,00. Qual é o preço de venda?
8) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e representa um acréscimo de 25% sobre o
preço de custo. Calcule o preço de custo.
9) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00, o que inclui uma margem que representa
25% desse preço de venda. Calcule o preço de custo.
10) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que permite vendê-la com uma
margem que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda.
11) Uma mercadoria que custou R$ 12.000,00 foi vendida por R$ 16.000,00. Qual foi a margem
sobre o preço de custo? Qual sobre o de venda?
12) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e resulta de um abatimento de 25% sobre o
preço de custo. Calcule o preço de custo.
13) Uma mercadoria custou R$ 9.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo de 30% sobre o
preço de custo. Calcular o preço de venda.
14) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00 e resulta de um desconto de 25% sobre
a venda. Calcule o preço de custo.
15) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que obriga a vendê-la com um
prejuízo que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda.




RESPOSTAS:

1) 100.311,79 2) 15% 3) 33.333,33 4) 2,15% 5) - 25% 6) 33,33% 7) R$ 6.670,00 8) R$ 1.200,00 9) R$
5.025,00 10) R$ 10.000,00 11) 33,33% e 25% 12) R$ 2.000,00 13) R$ 6.300,00 14) R$ 8.375,00 15)
R$ 6.666,67




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2.3      Acréscimos e abatimentos sucessivos

                Os acréscimos e abatimentos podem ser feitos de forma sucessiva. Isso
quer dizer que, em uma série de Operações, cada operação é realizada de forma
acumulada, "sobre" o resultado da operação anterior. Dessa forma, o bruto de cada
acréscimo ou o líquido de cada abatimento passa a ser o principal da operação
seguinte.
                Vamos imaginar uma série de acréscimos feitos de forma sucessiva, a
partir de um principal. O bruto do primeiro acréscimo seria calculado por:
                 B1 = P × (1 + i1 )
                O do segundo, por:
                 B2 = B1 × (1 + i 2 ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 )
                O terceiro, por:
                 B3 = B2 × (1 + i3 ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 )

                E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de acréscimos,
poderíamos escrever que:
                 Bn = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in )

                E se fossem vários acréscimos iguais, teríamos:
                 Bn = P × (1 + i ) × (1 + i ) × ... × (1 + i )      Bn = P × (1 + i ) n

                Como esses acréscimos são realizados sobre principais diferentes, o
acréscimo total é sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma das
taxas. Isto nos leva à busca de uma taxa única que corresponda à aplicação de
diversas taxas de forma sucessiva. Assim, o valor bruto produzido por essa taxa
única de acréscimos (iua) será igual ao valor bruto produzido pelas diversas taxas de
acréscimos sucessivos:
                 Bu = B n

                sendo:
                 Bu = P × (1 + iua )         e        Bn = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in )

                assim,




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                 P × (1 + iua ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in )

                1 + iua = (1 + i1 ) × (1 + i 2 ) × ... × (1 + in )

                e, finalmente:
                iua = (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) − 1

                Se fossem vários acréscimos iguais, teríamos:
                iua = (1 + i) × (1 + i) × ... × (1 + i) − 1          iua = (1 + i ) n − 1

                Vamos imaginar, agora, uma série de abatimentos feitos de forma
sucessiva, a partir de um principal. O líquido do primeiro abatimento seria:
                 L1 = P × (1 − i1 )
                O do segundo, por:
                 L2 = L1 × (1 − i 2 ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 )
                O terceiro, por:
                 L3 = L2 × (1 − i3 ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × (1 − i3 )

                E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de abatimentos,
poderíamos escrever que:
                 Ln = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n )

                E se fossem vários abatimentos iguais, teríamos:
                 Ln = P × (1 − i) × (1 − i) × ... × (1 − i )          Ln = P × (1 − i ) n

                Como os abatimentos sucessivos resultam em um abatimento total
diferente da (menor que a) soma das taxas de abatimento, podemos calcular a taxa
única que corresponde à aplicação de diversas taxas de abatimento sucessivas. O
valor líquido produzido por essa taxa única de abatimentos, ou taxa única de
descontos (iud) será igual ao valor líquido produzido pelas diversas taxas de
abatimentos sucessivos:
                 Lu = Ln

                sendo:
                 Lu = P × (1 − iud )

                e
                 Ln = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n )


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                Assim,
                 P × (1 − iud ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n )

                1 − iud = (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − in )

                 − iud = (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − i n ) − 1

                E, finalmente:
                iud = 1 − (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − in )

                E, se fossem vários abatimentos iguais, teríamos:
                iud = 1 − (1 − i) × (1 − i) × ... × (1 − i )         iud = 1 − (1 − i) n




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EXERCÍCIOS

1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 1.200,00 por unidade e
que sofre os acréscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%.
2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, os acréscimos de 5%,
10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.000,00.
3) Calcular o valor líquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, os abatimentos de 5%,
10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 100.000,00.
4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.000,00 após sofrer os
abatimentos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%.
5) Qual a taxa única que corresponde aos acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma
sucessiva?
6) Qual a taxa única que corresponde aos abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma
sucessiva?
7) Uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 15.000,00 sofre, de forma sucessiva, os
acréscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preço final a R$ 21.024,36. Qual a
percentagem do o último acréscimo?
8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.000,00, obtive os descontos de 15%, 20% e um terceiro.
Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preço da etiqueta de R$ 42.016,81. Qual
a percentagem do último desconto?
9) O acréscimo total de 27,63% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva.
Qual a percentagem dessas taxas?
10) O abatimento total de 22,62% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma
sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas?




RESPOSTAS:

1) R$ 1.388,65 2) R$ 94.108,79 3) R$ 58.140,00 4) R$ 165.343,92 5) 59,39% 6) 41,86% 7) 20,00% 8)
30,00% 9) 5,00% 10) 5,00%



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3. Fundamentos da Matemática Financeira


3.1      O Princípio da Equivalência

                O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da
equivalência. O princípio da equivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda
de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados
econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambiente não
inflacionário. A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia,
situada em época futura, que tenha o mesmo significado econômico, o mesmo valor,
que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV)
equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar
que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia
conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente
equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto.
                A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela
correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o
aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entre elas podemos
citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros
fatores de produção, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores
de produção, os juros correspondem à remuneração do fator capital, da mesma
forma, por exemplo, que os salários remuneram o fator trabalho. Outra teoria é a do
preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que
diz que um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem
futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem
presente, os juros compensariam essa diferença. Assim, o Valor Futuro é o
resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma de juros:


                 FV = PV + j




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3.2      As Taxas de Juros

                O nível de preços dos bens e serviços é função de sua escassez. Da
mesma maneira que as forças de oferta e demanda determinam o preço dos bens e
serviços, as forças de oferta de fundos e a procura de crédito determinam o preço
do crédito que é representado pela taxa de juros. Na verdade, essas forças de
mercado determinam o nível (i0) da taxa de juros pura (ip), correspondente a uma
situação de virtual equilíbrio de mercado decorrente da quantidade (Q0) de recursos
demandados (Q).


  ip

                  D                                  S




  io

                                       Q0                Q



                O mercado adiciona, a essa taxa pura, um conjunto de outras taxas
(spread) que visam cobrir impostos (IOF), comissões (flat) e custos de
intermediação financeira e uma taxa correspondente à remuneração do fator risco
(iρ), que é variável e visa remunerar o risco específico daquele tipo de operação. O
resultado é a taxa real (ir) de juros, que corresponde ao custo real das operações
financeiras. Assim, a taxa real é:


                ir = ip + IOF + flat + custos + iρ




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  ir



  ir0

                                                    iρ



                ip + flat + IOF + custos



                                               ρ0                        ρ



                À taxa real pode, então, ser acumulada a expectativa de inflação (iη) para
constituir a taxa efetiva (ie) de juros, como a seguir:


                ie = (1 + ir) . (1 + iη) - 1


                Observe que a taxa de inflação acumula-se à taxa real de juros, como nos
acréscimos sucessivos (2.3), para formar a taxa efetiva. Não basta, portanto,
somar a taxa de inflação à taxa de juros, pois os juros incidem sobre o capital já
corrigido monetariamente, i. e., já compensado pelo desgaste da inflação.

3.3      Diagrama de Fluxos de Caixa

                O Diagrama de Fluxos de Caixa (DFC) é a representação gráfica das
operações financeiras. Como o valor de um fluxo de caixa (pagamento ou
recebimento) é função do tempo, necessita ser representado em uma escala
cronológica que o situe exatamente na época de sua ocorrência. Assim, o DFC é
constituído de um segmento de reta graduado de forma a representar os intervalos
de tempo entre os fluxos. Estes são representados por vetores verticais orientados
para cima (recebimentos - fluxos positivos) ou para baixo (pagamentos - fluxos



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negativos) com origem na escala cronológica, na graduação correspondente à
época de ocorrência. Um Diagrama de Fluxos de Caixa pode ter o seguinte aspecto:

                                            200                                              200

                          100                                         100                              100


   0        1         2         3   4   5         6   7     8   9     10    11       12         13        14




  50
                                                          100               100
                                                                                     150
                                                                200




4. O Regime de Capitalização Simples


4.1      Juros Simples

                Juro é o prêmio que se paga pela utilização de um capital por certo tempo.
                A capitalização simples é um regime de cálculo de juros (j) em que estes
são definidos, em cada período, como uma parte de um mesmo principal. Este
principal é o capital (C) da operação financeira. Os juros são, então, obtidos pela
aplicação de uma percentagem ou taxa, a taxa de juros (i) sobre este principal.
                Como sabemos,


                p=P.i


                Logo,


                j=C.i




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                Para obter o total de juros produzidos em certo número de períodos (n),
fazemos:


                j=C.i.n


                Exemplo: Calcular os juros simples do capital de R$ 1000,00, a 15% a.a.,
em cinco meses.
                Comentário: Para todo o cálculo financeiro, é fundamental que o prazo e a
taxa de juros estejam se referindo ao mesmo período de capitalização. No exemplo
acima, temos uma taxa ao ano (a.a.) e um prazo expresso em meses. No entanto,
esse prazo pode ser expresso como uma fração do período de capitalização anual:


                C = 100                j = C.i.n
                                                         5
                i = 0,15a.a.           j = 1000.0,15.
                                                        12
                                 5
                 n = 5me =         a   j = R$62,50
                                12

4.2      Montante Simples

                Montante Simples (M) é o resultado da soma do capital com os juros.
                Portanto,
                M=C+j
                Como vimos anteriormente,
                j=C.i.n
                Logo,
                M = C + C. i. n
                ou
                M = C . ( 1 + i . n)


                Exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 700,00, a 10% a.me.,
em 6 meses.




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                Comentário: Nesse caso, a taxa e o prazo já se referem ao mesmo período
de capitalização (um mês). Podemos, portanto, aplicar a fórmula diretamente:
                C = 700          M = C .(1 + i.n)
                i = 0,10a.me.     M = 700.(1 + 0,10.6)
                n = 6me          M = R$1.120, 00

4.3      Taxas

                As taxas de juros podem ser classificadas em proporcionais e
equivalentes.
                Taxas proporcionais são aquelas que se relacionam com os prazos a que
se referem formando uma proporção. Assim, a taxa de 24% ao ano é proporcional a
12 % ao semestre, a 2% ao mês, etc.
                Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo resultado quando
aplicadas pelo mesmo prazo. No Regime de Capitalização Simples, as taxas
proporcionais são equivalentes.
                Assim, se aplicarmos um capital a 5% ao mês durante dois anos, iremos
obter a mesma quantidade de juros que obteríamos aplicando por dois anos esse
capital a 10 % ao bimestre, a 30% ao semestre ou a 60% ao ano.
                A matemática financeira utiliza duas convenções para contagem do prazo
das operações financeiras (período financeiro): o ano comercial, com 360 dias e,
portanto, 12 meses com 30 dias cada, e o ano civil, com 365 ou 366 dias quando
bissexto e com os 12 meses com a respectiva quantidade de dias. Em geral, quando
o contrato não especifica se é juro comercial ou juro civil, utiliza-se a convenção
comercial por maior facilidade. No entanto, quando o contrato especifica o contrário,
ou quando o prazo é estabelecido entre duas datas, utiliza-se o ano civil. Para a
contagem de dias entre duas datas, ver a Tabela nº 4.2 - p.59 .

4.4      Descontos Simples

                A operação de desconto é inversa à da capitalização e consiste em se
determinar um Valor Presente equivalente a um determinado Valor Futuro. Em
termos práticos, as operações de desconto são realizadas com os títulos de crédito
que são os instrumentos de crédito que possuem garantia legal (duplicatas, notas

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promissórias, etc.). Possuindo garantia legal, esses títulos podem ser negociados
livremente, antes de sua data de vencimento. Assim, um título de crédito pode ser
convertido em dinheiro ou substituído por outro(s) título(s) anteriormente à data
prevista para sua liquidação. A conversão é feita pelo Valor Atual (An) ou Valor
Presente do título, que corresponde ao Valor de Face, Valor Nominal (N) ou Valor
Futuro do título, menos o desconto (d) que é a compensação em valor pela
antecipação do resgate do título.
                O Regime de Capitalização Simples utiliza duas formas de cálculo para o
desconto: o Desconto Simples Comercial e o Desconto Simples Racional. Como
apenas a modalidade comercial é praticada, ainda que sua utilização seja restrita a
operações de curto prazo, nos ateremos ao seu estudo.

4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial

                O Desconto Simples Comercial (dc), também chamado Desconto Simples
"Por Fora", equivale aos juros simples calculados sobre o Valor Nominal (F) do
título. Da fórmula dos juros simples:
                j=C.i.n


                Tiramos, substituindo j por dc e C por N,
                dc = N . i . n


                Exemplo: Calcular o desconto comercial de um título de R$ 500,00,
descontado 27 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 5% ao mês.
                Comentário: Como o prazo não está em uma unidade de tempo compatível
com o período de capitalização da taxa, é necessário expressá-lo em função dessa
nova unidade de tempo.
                 N = 500                dc = N .i.n
                                                           27
                i = 0, 05a.me.           dc = 500.0, 05.
                                                           30
                                27
                 n = 27 d =        me    d c = R$22, 50
                                30




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4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial

                O Valor Atual é o valor pelo qual o título é resgatado ou negociado antes
do seu vencimento e corresponde à diferença entre o Valor Nominal e o Desconto:
                Anc = N - dc


                Porém, como
                dc = N . i . n,


                podemos escrever:
                Anc = N - N . i . n     =>      Anc = N (1 - i . n)


                Exemplo: Calcular o Valor de Resgate de um título de R$ 1100,00, 25 dias
antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 8% a.me.
                Comentário: O exemplo não especifica a modalidade de desconto simples
utilizada. Sendo assim, como norma, utilizamos o desconto comercial.


                 N = 1100               Anc = N (1 − i.n)
                                                                 25
                i = 0, 08a.me.          Anc = 1100.(1 − 0, 08.      )
                                                                 30
                                25
                 n = 25d =         me   Anc = R$1.026, 67
                                30




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EXERCÍCIOS
1) Calcular os juros simples do capital de R$ 1.000,00 durante 19 dias 16% ao mês.
2) Calcular o montante a juros simples do capital de R$ 2.500,00, durante 23 dias, a 14% ao mês.
3) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00 a 20% a.a. produzirá juros simples de R$
1.500,00?
4) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 2.500,00 a 10% ao ano produzirá o montante a juros
simples de R$3.250,00?
5) Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em Letras de Câmbio no dia 15 de janeiro de 1995 e, ao
resgatá-las no dia 16 de março do mesmo ano, recebeu R$ 320.500,00. Quanto recebeu de juros?
Que taxa mensal remunerou seu capital nesse período?
6) Um empresário pediu um empréstimo de R$ 25.000,00 a uma instituição financeira, por certo
período. Na liberação do empréstimo, pagou antecipadamente, como previa o contrato, 22% de
juros. Qual o valor pago de juros? Qual a quantia efetivamente liberada? Considerando a quantia
liberada como empréstimo, qual foi a taxa efetiva de juros?
7) Um título foi descontado, 47 dias antes de seu vencimento, à taxa de 7% a.me., por R$ 4.451,67.
Calcular o Valor Nominal do título.
8) Uma nota promissória de R$ 7.500,00 foi resgatada, dois meses antes de seu vencimento, por R$
5.250,00. Calcular a taxa de desconto.
9) Uma empresa descontou em um banco, no dia 26 de maio, três títulos de R$ 20.000,00; R$
15.000,00 e R$35.000,00, vencíveis, respectivamente, em 27 de junho, 28 de julho e 24 de agosto
do mesmo ano. Calcule o valor atual utilizando a taxa de desconto de 15% a.me.
10) Uma empresa devedora de três títulos de R$ 2.000,00; R$ 1.500,00 e R$ 3.000,00, vencíveis em
32, 63 e 90 dias, respectivamente, propõe ao banco credor substituí-los por dois outros, de mesmo
valor nominal, para 40 e 75 dias. Calcule o valor nominal desses títulos a uma taxa de desconto de
15% ao mês.




RESPOSTAS:

1) R$ 101,33 2) R$ 268,33 3) 1a6me 4) 3a 5) R$ 70 500,00; 14,10% a.me. 6) R$ 5.500,00; R$
19.500,00; 28,21% 7) R$ 5.000,00 8) 15% a.me. 9) R$ 46.325,00 10) R$ 3.057,89



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5. O Regime de Capitalização Composta


5.1      Montante e juros de um único pagamento

                No Regime de Capitalização Composta, os juros são sempre calculados
sobre o valor bruto do período anterior. Ao contrário do que ocorre no Regime de
Capitalização Simples, no qual temos sempre o mesmo principal, neste regime o
principal muda a cada período de capitalização. O principal é sempre o Montante ou
Valor Futuro (FV) do período anterior.
                É claro que para o primeiro período não temos montante do período
anterior. Assim, os juros compostos do primeiro período são iguais aos juros
simples, se usarmos a mesma taxa e o mesmo capital e, claro, o montante também
é o mesmo.
                Partindo de um certo Capital Inicial (PV), os juros do primeiro período
seriam, como em juros simples:


                j = PV . i


                e o montante seria:
                FV1 = PV . (1 + i . 1) = PV . (1 + i)


                O montante do segundo período seria:
                FV2 = FV1 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i)2


                O montante do terceiro período seria:
                                                  2                         3
                FV3 = FV2 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i)


                E assim por diante, o que nos permite generalizar assim:
                FV = PV. (1 + i)n
                (Ver Tabela 2 - p.64)




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                Ao trabalhar com juros compostos, é mais simples obter o montante e
depois subtrair o capital inicial para obter o valor dos juros. Assim:
                j = FV - PV
                j = PV . (1 + i)n - PV


                e, finalmente,
                j = PV . [(1 + i)n - 1]

5.2      Desconto

                O desconto é a operação inversa da capitalização. Enquanto a operação
de capitalização agrega, a cada período, os juros ao capital inicial ou Valor
Presente para produzir o montante ou Valor Futuro, a operação de desconto retira,
a cada período, os juros de um determinado Valor Futuro para produzir o Valor
Presente daquele período.
                Usando a fórmula do montante, basta isolarmos no primeiro membro o
Valor Presente:
                FV = PV . (1 + I)n =>     PV = FV . (1 + i)-n
                (Ver Tabela 1 - p. 63)

5.3      Taxas de juros compostos


5.4      Taxas proporcionais e equivalentes

                A exemplo do que vimos em juros simples, as taxas podem ser
classificadas em proporcionais e equivalentes. Porém, ao contrário do que ocorre
nos juros simples, no Regime de Capitalização Composta as taxas proporcionais
não são equivalentes. Isso ocorre porque, nesse regime, os juros não são
calculados sempre sobre o mesmo principal, mas sim sobre o montante do período
anterior. Como as taxas incidem, a cada período, sobre um principal diferente, a
taxa equivalente ao fim de um certo número de períodos não pode ser
simplesmente o resultado do produto da taxa ao período pelo número de períodos,
como uma taxa proporcional.



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                Usando a fórmula do valor futuro e um valor presente igual a um, vamos
imaginar uma taxa (iq) que produza, no mesmo prazo, o mesmo montante em um
número de períodos (1/q) que outra taxa (it) produziria em outro número de períodos
(1/t). As fórmulas ficariam assim:
                FV = PV. (1 + iq)1/q
                FV = PV . (1 + it)1/t


                Como ambas dão como resultado o mesmo FV, podemos igualá-las:
                PV . (1 + iq)1/q = PV . (1 + it)1/t


                e, simplificando PV, temos:
                           1/q                1/t
                (1 + iq)         = (1 + it)
                1 + iq = (1 + it)q/t
                iq = (1 + it)q/t - 1
                Para facilidade de aplicação, podemos ler esta fórmula desta forma pouco
ortodoxa: "A taxa que queremos (iq) é igual a 1 mais a taxa que temos (it), elevado
ao número de capitalizações que queremos (q), em um certo prazo, dividido pelo
número de capitalizações que temos (t), no mesmo prazo, menos 1." P. Ex. calcular
a taxa anual equivalente a 2% a.m..
                it = 2% a.m. (a taxa que temos)
                t   = 1 (número de capitalizações que temos – 1 mês)
                q    = 12 (número de capitalizações que queremos – 12 meses)
                iq = (1 + it)q/t – 1
                iq = (1 + 0,02)12/1 – 1
                iq = 1,0212 – 1
                iq = 1,2682 – 1
                iq = 0,2682 = 26,82% a.a.

5.5      Taxas nominais e efetivas

                É comum que os contratos financeiros apresentem a taxa de juros relativa
a um período de tempo (geralmente ao ano), chamado de período financeiro, mas


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que os cálculos considerem a incidência dos juros em um período diferente
(geralmente ao mês), chamado de período de capitalização. O cálculo, nesses
casos, é feito com a utilização da taxa no período de capitalização proporcional à
taxa contratada no período financeiro. P. Ex. 10% a.a. capitalizados mensalmente:


                taxa contratada:       10% a.a.   período financeiro:               um ano
                capitalização: mensal             período de capitalização:         um mês
                taxa proporcional no período de capitalização:     10% ÷ 12 = 0,83% a.m.


                Sabemos, no entanto, que, por se tratar do regime de capitalização
composta, o resultado obtido será diferente do resultado indicado pela taxa
contratada.             Assim, a taxa contratada de 10% a.a. é apenas uma taxa anual
proporcional à taxa no período de capitalização, é uma taxa meramente nominal,
pois não corresponde ao resultado da operação.
                A taxa que realmente reflete o custo financeiro anual da operação é a taxa
anual equivalente a 0,83% a.m.. Já vimos como calculá-la:
                iq = (1 + it)q/t – 1
                iq = (1 + 0,0083)12/1 – 1
                iq = 1,008312 – 1
                iq = 1,1043 – 1
                iq = 0,1043 = 10,43% a.a.
                Esta taxa de 10,43% a.a. é a taxa efetiva da operação e corresponde ao
custo anual da operação, diferentemente da taxa nominal de 10% a.a..

5.6      Regime de Capitalização Mista

                Já      pudemos    verificar que o montante gerado pelo Regime de
Capitalização Composta é maior que o gerado pelo Regime de Capitalização
Simples. Porém, isso só ocorre para um número inteiro de períodos. Quando o
prazo é uma quantidade não inteira de períodos de capitalização, o montante
gerado na parte fracionária do prazo, e apenas nessa parte fracionária, será maior
se for calculado a juros simples. Assim, o mercado adota a Convenção Linear, que


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calcula o montante a juros compostos pela parte inteira de períodos de capitalização
de um prazo, e o montante desse resultado a juros simples pela sua parte
fracionária. Considerando um prazo fracionário, representado pela fração mista np/q,
teríamos como valor futuro a juros compostos da parte inteira do prazo, FVn,:
                 FVn = PV .(1 + i )n
                E para a parte fracionária do prazo, tomando FVn como valor presente no
segundo cálculo, o valor futuro a juros simples, FVnp/q,:
                                          p
                 FVn p q = FVn. 1 + i.
                                          q

                Porém, como:
                 FVn = PV .(1 + i )n ,

                                                    p
                 FVn p q = FV .(1 + i) n . 1 + i.
                                                    q

5.7      Equivalência de Fluxos de Caixa

                Como vimos no item sobre Desconto (2.3.2), as operações de Desconto e
Capitalização são operações inversas. Isso significa que, capitalizando um
determinado valor presente (PV) por um certo número de períodos (n) a uma
determinada taxa (i), obtendo, assim, um valor futuro (FV), se descontarmos esse
valor futuro (FV) à mesma taxa (i), pelo mesmo número de períodos (n), iremos
obter o mesmo valor presente (PV). Esse raciocínio ilustra bem o princípio
fundamental da matemática financeira: o Princípio da Equivalência.
                Este princípio nos diz que capitais iguais, situados em épocas diferentes,
têm valores diferentes, mesmo no pressuposto de uma economia com moeda
constante, ou seja, mesmo com inflação nula. Assim, podemos imaginar um capital
situado em uma data futura que, embora diferente, tenha o mesmo valor que outro
capital situado no presente; da mesma forma podemos imaginar um capital no
presente que, embora diferente, possua o mesmo valor que outro colocado no
futuro. Esses capitais diferentes, colocados em datas diferentes, teriam, na mesma
data, o mesmo valor, seriam equivalentes. O mecanismo que estabelece o grau de




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equivalência e, portanto, que capital situado em uma determinada data é
equivalente a outro em outra data é a taxa de juros.
                Isso é de extrema valia quando se trata de comparar valores (fluxos de
caixa) situados em épocas diferentes, pois podemos, indiferentemente, capitalizar
um ou mais fluxos para uma data futura, ou descontar um ou mais fluxos para uma
data presente. Como só podemos comparar, operar algebricamente ou trocar fluxos
de caixa situados na mesma data, utilizamos os recursos da capitalização e do
desconto para "movimentá-los" ao longo do tempo, "atualizando-os" para a mesma
data e, então, realizando a operação que desejamos.
                A equivalência permite, na prática, a troca de um título de crédito
(duplicata, nota promissória, etc.) ou de um grupo de títulos situados em uma, ou
diversas datas, por outro título ou por outro grupo situados em outra ou em outras
datas diferentes. Para isso, é necessário que, em uma data qualquer, os seus
valores equivalentes (presentes ou futuros) sejam iguais. Tomando o seguinte
conjunto de fluxos de caixa equivalentes:


                                            PV4
                                                  FV3
                                                  FV2



      0           1             2   3   4     5          6   7     8       9          10



                                                  1000

                                                  FV4
                                            PV5

                Temos que:
                PV4 + FV3 + FV2 = 1000 + FV4 + PV5
EXERCÍCIOS

1) Calcular a taxa efetiva anual correspondente a 180% ao ano, capitalizados mensalmente.
2) Qual o tempo necessário para que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40, à taxa de
24% a.a. com capitalizações trimestrais?
3) No fim de quanto tempo os capitais de R$ 5.000,00, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e de
R$ 15.000,00 u.m., a 10% a.a. capitalizados semestralmente produzirão juros iguais?



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4) No fim de quanto tempo o capital de R$ 500,00 a 10% a.a. e R$ 400,00 a 12% a.a. produzirão
montantes iguais?
5) Qual deve ser a taxa média mensal de inflação para que os preços dupliquem em 3 anos?
6) Qual a taxa anual de juros capitalizada mensalmente que faz com que R$ 2.500,00 produzam o
montante de R$ 5.190,40 em 7 meses e meio?
7) O desconto de um título, pagável em 3 meses e 18 dias, é de R$ 2.164,74. Calcular o Valor
Nominal do título, sabendo que a taxa empregada foi de 30% a.a. com capitalizações mensais.
8) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00, a 40% a.a. capitalizados mensalmente
produzirá R$4.500,00 de juros?
9) Duas notas promissórias, de R$ 5.000,00 para 1 ano e 6 meses e de R$ 8.000,00 para 2 anos e 3
meses, serão substituídas por uma única para 3 anos. Estipulando a taxa de 18% a.a. capitalizados
mensalmente para essa operação, calcular o Valor Nominal do título.
10) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200,00 por três anos a 20% a.a. capitalizados
mensalmente. Algum tempo após, propõe saldar a dívida com três pagamentos anuais realizáveis no
fim do 2º, 3º e 4º anos. O primeiro pagamento será de R$ 50,00 e o segundo, de R$ 100,00. Calcular
o valor do último pagamento, sabendo que a taxa do desconto real é de 12% a.a. com capitalizações
mensais.




RESPOSTAS:

1) 435,03% a.a.; 2) 3a1me19d; 3) 7a1me8d; 4) 12a4me19d; 5) 1,94% a.me.; 6) 122,76% a.a. cap.
mens.; 7) R$ 25.450,49; 8) 1a7m18d; 9) R$ 15.683,82; 10) R$ 251,54




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6. Séries Uniformes


6.1      Classificação, elementos e cálculos

                  As séries uniformes são constituídas, tanto nas operações de recuperação
de capital (amortização), como nas de formação de capital (capitalização). Nas
operações de amortização (empréstimos, financiamentos, etc.) o valor a ser
amortizado é anterior à série, é a sua causa, e recebe o nome de Valor Atual ou
Valor Presente (PV) de uma série. Nas operações de capitalização, o capital
formado é posterior à série, é a sua conseqüência, e recebe o nome de Montante ou
Valor Futuro (FV) da série. Os fluxos de caixa que constituem a série são
denominados Termos ou Pagamentos (PMT), o número de termos (n) e a taxa no
período (i) são os demais elementos de uma operação com séries uniformes.
                  As     séries     uniformes      classificam-se         em    Antecipadas,             Imediatas
(Postecipadas) e Diferidas em função da época em que ocorrem os seus fluxos.

6.2      Séries Antecipadas

                  Em uma Série Antecipada, os fluxos ocorrem no início dos respectivos
períodos. As séries antecipadas são mais freqüentes nas operações de
capitalização, embora sejam utilizadas, também, em operações de amortização.
                  O DFC de uma Série Antecipada tem o seguinte aspecto:

     0        1         2       3    4     5     ...                                n-2        n-1      n




                  O Valor Presente da uma série Antecipada corresponde à soma dos
valores presentes de todos os termos (PMT) iguais que a compõem. Calculando os
valores presentes de todos os termos e somando-os temos:


PV (a) = PMT .(1 + i )− n+1 + ... + PMT .(1 + i) −3 + PMT .(1 + i )−2 + PMT .(1 + i )−1 + PMT

PV (a) = PMT .[(1 + i)− n+1 + ... + (1 + i )−3 + (1 + i) −2 + (1 + i )−1 + 1]


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Fazendo:

(1 + i ) = u ,

temos:

PV (a) = PMT .(u − n+1 + ... + u −3 + u −2 + u −1 + 1)

                Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de
uma Progressão Geométrica de razão q = u. A fórmula que permite calcular a soma
dos termos de uma P.G. é:
        an .q − a1
Sn =               ;
          q −1

Substituindo os elementos, temos:

        1.u − u − n+1 u − u − n+1
Sn =                 =            ;
           u −1           i

Multiplicando ambos os termos da fração por un-1:

        u − u − n+1 u n−1 u.u n −1 − u − n+1.u n −1 u n − 1
Sn =               . n−1 =                         = n−1
            i       u              i.u n −1         i.u

                        un −1                                  (1 + i )n − 1
PV (a) = PMT .                    ou       PV (a) = PMT .
                        i.u n−1                                i.(1 + i )n −1

                O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o desenvolvimento das
fórmulas para cálculo do Valor Futuro:


FV (a) = PMT .(1 + i )n + ... + PMT .(1 + i)3 + PMT .(1 + i )2 + PMT .(1 + i )1

FV (a) = PMT .[(1 + i) n + ... + (1 + i )3 + (1 + i )2 + (1 + i )1 ]

Fazendo:

(1 + i ) = u ,

temos:


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FV (a) = PMT .(u n + ... + u 3 + u 2 + u1 )

                Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de
uma Progressão Geométrica Decrescente de razão q = u-1. Substituindo os
elementos na fórmula do cálculo da soma dos termos da P.G. decrescente:
        a1 − an .q
Sn =
          1− q

        u n − u.u −1 u n − 1
Sn =                =          ;
          1 − u −1    1 − u −1

Multiplicando ambos os termos da fração por u:

        u n − 1 u u n .u − 1.u u.(u n − 1)      un −1
Sn =            . =             =          = u.
        1 − u −1 u 1.u − u −1.u   u −1            i

                           u n −1                                          (1 + i) n − 1
FV (a) = PMT .u.                        ou       FV (a) = PMT .(1 + i ).
                              i                                                  i

6.3      Séries Imediatas

                Em uma série Imediata, os fluxos ocorrem no final dos respectivos
períodos.
                As séries Imediatas são mais características das operações de
amortização, embora possam ser utilizadas, também, em operações especiais de
capitalização na constituição de fundos de reembolso para o resgate de dívidas ou
fundos de provisão para a substituição de equipamentos.
                O DFC de uma série Imediata tem o seguinte aspecto:
   0        1         2         3   4        5       6 ...                                    n-1        n




                O Valor Presente da uma série Imediata pode ser obtido pela seguinte
fórmula:
                       un −1                                  (1 + i )n − 1
PV (i ) = PMT .                     ou       PV (i) = PMT .
                        i.u n                                  i.(1 + i )n


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(Ver Tabela 3 - P.65)

O Valor Futuro é calculado por:

                       un −1                              (1 + i )n − 1
FV (i ) = PMT .                     ou   FV (i) = PMT .
                         i                                      i

(Ver Tabela 4 - p.66)


6.4      Séries Diferidas

                  Em uma série Diferida, os fluxos ocorrem no final dos respectivos
períodos, posteriores a um prazo de carência ou diferimento.
                  As séries Diferidas são praticamente exclusivas das operações de
amortização, embora sejam utilizadas, ainda que raramente, em operações de
capitalização nos mesmos casos previstos nas séries imediatas. As séries diferidas
incluem no cálculo um elemento adicional: a carência ou prazo de diferimento (m).
                  O DFC de uma série Diferida tem o seguinte aspecto:
                                     0   1      2     3         4         ...        n-1        n


     0        1         2 ...        m   m+1   m+2   m+3      m+4 ...              m+n-1      m+ n




                  O Valor Presente da uma série Diferida pode ser obtido pela seguinte
fórmula:


                        un −1                               (1 + i) n − 1
PV (d ) = PMT .                     ou    PV (d ) = PMT .
                        i.u m + n                           i.(1 + i)m + n

                  O Valor Futuro é calculado de forma idêntica ao das séries imediatas, já
que o prazo de carência ou diferimento não interfere nesse cálculo:


                      un −1                          (1 + i) n − 1
FV (d ) = PMT .               ou     FV (d ) = PMT .
                        i                                  i
                  Todos esses valores podem ser calculados pelas fórmulas acima, pelo
emprego de tábuas financeiras e com as calculadoras financeiras, e, ainda, por
decomposição dos fluxos de caixa.

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6.5      Séries Gradientes

                Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos
cujos termos crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro
termo também é igual a G e ocorre no segundo período.
                O DFC de uma Série Gradiente tem o seguinte aspecto:

   0        1         2         3    4    5    6 ...                      n-1        n




                     G          2G   3G   4G   5G                       n-2G n-1G




                Para efeito de cálculo, a Série Gradiente é convertida em uma série
imediata equivalente, segundo o fator de conversão:


                 1 n    i
                  − . n
                 i i u −1


                (Ver Tabela 5 - p.66)
                Assim, o valor do termo (PMT) de uma Série Imediata equivalente a uma
Série Gradiente em G é:


                                1 n    i
P M T (i ) = G .                 − . n
                                i i u −1




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EXERCÍCIOS

Calcule o valor equivalente das seguintes séries, usando a taxa de 10%:
1)




2)




3)




RESPOSTAS:

1) PV=R$ 1.071,16; 2) FV=R$ 14.024,93; 3) PV=R$ 2.677,23




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6.6      Decomposição de Fluxos de Caixa

                Nem todas as operações financeiras se comportam de forma uniforme. As
operações mais complexas parecem conjuntos desordenados de fluxos de caixa
quando traduzidas para um diagrama. No entanto, podemos decompô-las em dois
ou mais conjuntos de pagamentos isolados e séries uniformes, simplificando o seu
cálculo. A decomposição de fluxos de caixa é feita por "cortes" verticais ou
horizontais nos diagramas, que, assim, são decompostos em outros diagramas mais
simples e uniformes, como no exemplo a seguir:




                Que pode ser decomposto horizontalmente em:




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7. Sistemas de financiamento

                São vários os sistemas utilizados para o pagamento de um empréstimo ou
de um financiamento. Trataremos dos mais freqüentes no nosso mercado. Para
exemplificarmos, utilizaremos como exemplo, o empréstimo do capital de R$
30.000,00, a 10% ao mês, por cinco meses.



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7.1      Sistema do Montante

                É o sistema no qual o devedor restitui ao credor, ao final de um prazo
estipulado, o capital e os juros correspondentes. O cálculo é feito pela fórmula do
Valor Futuro de um pagamento único:
                FV = PV . (1 + i)n


                FV = 30000 . (1 + 0,10)5 = R$ 48.315,30

7.2      Sistema do Juro Antecipado (Descontos)

                É o sistema utilizado no cálculo dos penhores e nas operações de
empréstimo com desconto de duplicatas. É, também, a forma utilizada para cálculo
de taxas e comissões cobradas antecipadamente (flat), como os seguros de crédito,
o IOF, etc. Em geral, o desconto é calculado no regime de capitalização simples.
Porém, como os juros são pagos antecipadamente, a taxa de juros efetiva da
operação            é     bastante      diferente da taxa de desconto anunciada, o que
freqüentemente conduz a erros de avaliação. Vejamos como ficaria a operação com
a taxa de 10% ao mês para o desconto simples:


                                PV
                FV = ----------
                           1 - i.n


                                30000
                FV = --------------- = R$ 60.000,00
                           1 - 0,10 . 5


                Assim, para um empréstimo de R$ 30.000,00, temos um Valor Futuro de
R$ 60.000,00 em 5 meses. Substituindo esses valores na fórmula do Valor Futuro
de um pagamento único a juros compostos, temos:


                FV = PV . (1 + i)n


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                60000 = 30000 . (1 + i)5


                 60000
                --------- = (1 + i)5
                 30000


                2 = (1 + i)5


                1 + i = 21/5


                1 + i = 1,1487


                i = 0,1487 => 14,87% a.m.


                Sendo 14,87% ao mês, portanto, a taxa efetiva de juros. Essa diferença se
acentua à medida que cresce o prazo e a taxa de desconto.

7.3      Sistema Francês ou Sistema Price

                É o sistema em que o pagamento do empréstimo ou financiamento é feito
através de prestações iguais, a intervalos de tempo constantes, geralmente ao mês.
Essas prestações são compostas de duas partes: os juros mensais calculados sobre
o saldo devedor e o restante que compõe uma quota destinada a amortizar o
principal da dívida.
                O cálculo das prestações é feito pelas fórmulas das séries uniformes.
Utilizando o exemplo para uma série uniforme imediata, temos:


                                   (1+i)n - 1
                PV(i) = PMT . -------------
                                       i . (1+i)n




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                                         (1+0,10)5 - 1
                30000 = PMT . --------------------
                                         0,10 . (1+0,10)5


                                         0,6105
                30000 = PMT . ----------
                                         0,1611


                30000 = PMT . 3,7908


                                30000
                PMT = --------- = R$ 7.913,92
                                3,7908


                Através do seguinte Plano de Amortização, podemos observar a evolução
dos principais componentes da operação, período a período.


Plano de Amortização - Sistema Francês
Capital                :        30.000,00
Nº de Pagamentos       :                5
Taxa de Juros          :          10,00%

   Per.             Pagamento                   Juros         Quota de      Fundo de               Saldo De-
    (n)                 (PMT)                               Amortização   Amortização             vedor (PV)

       0                       -                   -                 -             -                 30000,00
       1                 7913,92             3000,00           4913,92       4913,92                 25086,07
       2                 7913,92             2508,60           5405,31      10319,24                 19680,75
       3                 7913,92             1968,07           5945,84      16265,08                 13734,91
       4                 7913,92             1373,49           6540,43      22805,52                  7194,47
       5                 7913,92              719,44           7194,47      30000,00                     0,00

7.4        Sistema de Amortizações Constantes

                É o sistema pelo qual o empréstimo ou financiamento é pago através de
prestações decrescentes. A quota destinada à amortização do principal é fixa e
corresponde à divisão do principal pelo número de prestações. A essa quota são




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acrescentados os juros calculados sobre o saldo devedor do período anterior, para
formar a prestação do período.
                O Plano de Amortização a seguir ilustra bem a solução do nosso exemplo
por esse sistema:
Plano de Amortização - Sistema de Amortizações Constantes
Capital                :         30000,00
Nº de Pagamentos       :                5
Taxa de Juros          :           10,00%

   Per.             Pagamento        Juros       Quota de      Fundo de               Saldo De-
    (n)                 (PMT)                  Amortização   Amortização             vedor (PV)

       0                       -         -               -             -                30000,00
       1                 9000,00   3000,00         6000,00       6000,00                24000,00
       2                 8400,00   2400,00         6000,00      12000,00                18000,00
       3                 7800,00   1800,00         6000,00      18000,00                12000,00
       4                 7200,00   1200,00         6000,00      24000,00                 6000,00
       5                 6600,00    600,00         6000,00      30000,00                    0,00




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EXERCÍCIOS
1) Uma família decidiu comprar um refrigerador a crédito. O esquema de pagamento oferecido pela
loja é o seguinte:
15.03.02                                         R$ 500,00
15.06.02                                         R$ 300,00
15.07.02                                         R$ 300,00
15.08.02                                         R$ 300,00
15.09.02                                         R$ 300,00
Sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês, determine o valor do refrigerador em 15.05.02.
2) Qual o valor presente de uma série de oito prestações mensais imediatas de R$ 5.000,00,
sabendo-se que a taxa mensal de juros é de 3,0%?
3) Qual o valor da prestação mensal de um fundo de investimentos que capitaliza os depósitos à
taxa composta de 10% ao ano capitalizados mensalmente, para se obter, no fim de 20 anos, o
montante de R$ 500.000,00?
4) Em quanto tempo duplicará um capital aplicado a uma taxa de juros de 1,25% ao mês?
5) Logo que tenha economizado R$ 10.000,00 em valores de hoje, o Sr. Saddam Sahva pretende
instalar uma quitanda. Se economizar R$ 500,00 por mês, investindo-os a 1,0% ao mês, quantos
meses serão necessários para que o Sr. Saddam obtenha a importância desejada, sabendo-se que a
inflação mensal é de 0,485%?
6) O Sr. Komero Toda Furuta comprou uma Kombi em 10 prestações mensais iguais. Sabendo que a
Kombi tem seu preço à vista fixado em R$ 30.000,00 e que a taxa de financiamento é de 1,75% ao
mês, determine:
a) O valor da prestação.
b) O saldo devedor após o pagamento da 5ª parcela.




RESPOSTAS:

1) R$ 1.615,04 2) R$ 35.098,46 3) R$ 658,44 4) 4 anos, 7 meses e 24 dias 5) 20 meses 6) R$
3.296,26 e R$15.650,17


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8. Análise de alternativas de financiamento e investimento

                A Análise de Alternativas de Financiamento e Investimento conta com um
conjunto de técnicas da Engenharia Econômica que permitem a comparação, de
forma científica, entre alternativas diferentes. Ao permitir que essas diferenças
sejam explicitadas de forma quantitativa, elas constituem ferramenta da maior
utilidade no processo de tomada de decisões em qualquer empresa, de qualquer
porte ou ramo de atividade.
                São exemplos típicos da utilização dessas técnicas as alternativas de
investimento financeiro, de distribuição em marketing, de automatização na
contabilidade, de planos de carreira em administração de pessoal, de aquisição e
substituição de equipamentos na administração da produção, na engenharia de
produto, etc.
                Para ser eficiente, a Análise de Investimentos pressupõe alguns princípios
fundamentais:
                −      Não existe decisão com alternativa única, todas as alternativas devem ser
                       consideradas;
                −      Somente são comparáveis alternativas homogêneas, não se pode optar
                       entre pouco retorno com pouco investimento e muito retorno com muito
                       investimento, por exemplo;
                −      Apenas as diferenças entre as alternativas são relevantes, não perca tempo
                       com o que é comum a elas;
                −      Os critérios para decisão entre alternativas econômicas devem levar em
                       consideração o valor do dinheiro no tempo, o princípio da equivalência é
                       básico;
                −      Não devem ser subestimados os problemas relativos ao racionamento de
                       capital, a menos que isso não seja problema para você;
                −      Decisões separáveis são tomadas separadamente;
                −      As previsões são necessariamente falhas e o seu grau e tipos de incerteza
                       devem ser explicitados;
                −      O evento qualitativo não quantificava monetariamente devem ser claramente
                       especificados;
                −      A retroalimentação (feedback) de informações é fundamental e é a única
                       maneira de minimizar o impacto dos erros das previsões;
                −      Os dados relevantes são os econômicos e gerenciais, os dados contábeis só
                       são importantes na avaliação após o Imposto de Renda. Não importa de um
                       equipamento é depreciado contabilmente em 10 anos, se está obsoleto em 5
                       anos.


                E tem, também, algumas limitações:


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82100 – 010     Curitiba – PR                                                   E-mail: jcandido@fesppr.br
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                −      A escolha do método, que deve considerar o aspecto mais abrangente do
                       problema, uma vez que é impossível levar em consideração e quantificar
                       todas as variáveis em situações reais. Premissas, restrições e limitações
                       devem ser claramente caracterizadas;
                −      Os modelos estudados pressupõem taxas de juros e retorno iguais, embora
                       no mercado as taxas de juros (empréstimos) sejam sempre maiores que as
                       taxas de retorno (aplicação). A taxa de retorno será denominada doravante
                       de Taxa Mínima de Atratividade, ou simplesmente TMA, refletindo a menor
                       taxa de retorno aceitável para um investimento;
                −      Os modelos pressupõem taxas constantes, o que recomenda a utilização de
                       uma média das taxas projetadas, ou a explicitação de que a solução está
                       vinculada às circunstâncias presentes;
                −      Os modelos pressupõem viabilidade econômica e financeira para o fluxo de
                       caixa real final;
                −      Os modelos levam em consideração que os fluxos de caixa ocorrem no final
                       dos respectivos períodos (anos), embora a maioria possa ocorrer durante o
                       período. Nesses casos, esses fluxos de caixa são os valores equivalentes,
                       no final do período, dos demais fluxos ocorridos durante aquele período.
                −      A complexidade do modelo deve ser compatível com a confiabilidade dos
                       dados assumidos.

8.1      Métodos de Análise

                As principais técnicas utilizadas pela Análise de Investimentos são os
métodos de análise, também chamados “Métodos Equivalentes Para Avaliação de
Alternativas de Financiamento e Investimento”. Em seguida, veremos uma
apresentação desses métodos e suas principais características.

8.1.1 Método do Custo Anual

                Consiste em transformar os fluxos de caixa das alternativas em séries
uniformes equivalentes, utilizando uma taxa de juros igual à Taxa Mínima de
Atratividade. É possível, então, chegar a um Custo Anual Equivalente, que servirá
de parâmetro para comparação entre as alternativas.
                Cabe ressaltar que, embora chamado de Método do Custo Anual, o
método se presta a análises em períodos diferentes do ano. É importante, no
entanto que, por ora, as alternativas tenham a mesma duração de tempo, i.e., a
mesma Vida Econômica.
                Vejamos o Exemplo 1, a seguir:




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Alterna-          Investimento                         Despesas                                Valor
   tiva                  Inicial                         Anuais                             Residual

      A                       -                        10000,00                                   -
      B                15000,00                         5000,00                                   -
      C                20000,00                         4000,00                             2000,00
TMA:            10% ao ano
Vida Econômica: 10 anos


                Solução:
                . Alternativa A
                Custo Anual Dado                         = 10000


                . Alternativa B
                Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):


                                   0,10 . 1,1010
                PMT(PV) = 15.000 . -----------------           = 2441
                                    1,1010 - 1
                Custo Anual Dado                         = 5000
                                                       -----
                Custo Anual Total                              = 7441




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                . Alternativa C


                Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):


                                0,10 . 1,1010
                PMT(PV) = 20000 . ---------------           = 3255
                                   1,1010 - 1
                Custo Anual Dado                      = 4000


                Retorno Anual Equivalente do Valor Residual (FV):


                                    0,10
                PMT(FV) = -2000 . ------------        = - 125
                                     1,1010 - 1
                                                    -----
                Custo Anual Total                     = 7130


                A alternativa C é a mais vantajosa por apresentar os menores custos
anuais equivalentes.


                Exemplo 2


                Uma companhia deseja mecanizar uma operação de movimentação de
materiais em seu almoxarifado. Atualmente, esta operação é realizada manualmente
por uma equipe de operários. Os custos anuais com salários e encargos sociais são
de R$ 8000,00.
                A mecanização será obtida com a aquisição de um equipamento cujo valor
é de R$ 20000,00. Espera-se uma redução nos custos com mão-de-obra a R$
2000,00 ao ano. As despesas anuais de operação são estimadas em R$ 500,00 de
energia, R$ 1.500,00 de manutenção e R$ 500,00 de seguro e demais despesas.




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                O equipamento tem vida econômica de 10 anos e um valor de revenda de
R$ 2000,00. A uma TMA de 18% a.a., qual a alternativa mais vantajosa
economicamente?
                Solução:


                . Alternativa A
                Custo Anual Dado                            = 8000


                . Alternativa B
                Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV):


                                  0,18 . 1,1810
                PMT(PV) = 20000 . ---------------                   = 4450
                                         1,1810 - 1
                Despesas Anuais                             = 4500
                - Mão-de-Obra                               = 2000
                - Energia                                   =      500
                - Manutenção                          = 1500
                - Seguro, etc.                        =   500


                Retorno Anual Equivalente do Valor de Revenda (FV):
                                  0,18
                PMT(FV) = -2000 . ------------              =      - 85
                                1,1810 - 1
                                                          ------
                Custo Anual Total                            = 8865


                O maior custo anual da segunda alternativa a desaconselha como decisão
econômica.




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EXERCÍCIOS

1) Calcular e comparar os custos anuais dos motores A e B, cuja compra é considerada para 12 anos
de serviço a uma TMA de 10%a.a.

Item                               Motor A                  Motor B
Custo Inicial                      2.500            4.000
Valor Residual Estimado                         -           1.000
Custo Anual de Energia                       500              300
Custo Anual de Reparos                       300              220

CAA = R$ 1.166,91               CAB = 1.060,29 (MELHOR COMPRA)

2) Um serviço de encanamento precisa ser executado em uma empresa. As alternativas que se
apresentam são as seguintes:
Item                      Tubo 30 cm         Tubo 50 cm
Custo Inicial             21.000             32.000
Custo Anual de Operação          6.700               3.850

O período de serviço esperado é de sete anos, após os quais o encanamento será removido com
Valor Residual previsto de 5% de seu custo. O retorno mínimo exigido é de 8% ao ano. Comparar os
custos anuais.

CAA = 10.615,84                 CAB = 9.817,00 (MELHOR COMPRA)




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8.1.2 Método do Valor Presente Líquido

                Consiste em se calcular a soma algébrica dos valores equivalentes de
todos os fluxos de caixa no período zero utilizando a Taxa Mínima de Atratividade. A
soma desses Valores Presentes resulta no Valor Presente Líquido da alternativa. A
alternativa mais indicada é aquela que apresenta o maior retorno em relação a um
investimento, ou o menor custo. É fundamental que se observe o sinal dos
respectivos fluxos de caixa.
                Assim, um VPL positivo significa que o Valor Presente dos retornos é
maior que o Valor Presente dos investimentos e das despesas. Quanto maior o VPL
positivo, maior essa diferença e, portanto, maior a razão entre retorno e
investimento. Se VPL=0 (nulo) o projeto oferece a mesma rentabilidade que a
alternativa de investimento financeiro remunerada pela TMA. Se VPL<0 (negativo),
o Valor Presente dos desembolsos supera o Valor Presente dos recebimentos, o
que não recomenda economicamente o projeto. No caso da escolha obrigatória
entre alternativas com VPL<0, a opção mais econômica será a que apresentar o
menor VPL negativo. Tomemos o Exemplo 1 do método anterior:


                . Alternativa A
                                     (1+0,10)10 - 1
                VPLA = - PV(PMT) = - 10000 . --------------------   = - 61.446
                                    0,10 . (1+0,10)10
                . Alternativa B
                                                  (1+0,10)10 - 1
                VPLB = - 15000 - PV(PMT) = - 15000 - 5000 . ----------------
                                                  0,10.(1+0,10)10


                VPLB = - 15000 - 30723                       = - 45723


                . Alternativa C




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82100 – 010     Curitiba – PR                                                 E-mail: jcandido@fesppr.br
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                VPLc = - 20000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 20000 - 4000 .


                    (1+0,10)10 - 1
                . --------------------- + 2000 . (1+0,10)-10
                   0,10 . (1+0,10)10


                VPLc = - 2000O - 24578 + 771                            = - 43807
                A melhor alternativa é C, pois apresenta o menor VPL negativo, o que
significa menor custo real.


                Exemplo 2
                Escolher entre os seguintes planos, com vida econômica de 10 anos,
usando uma TMA de 10% ao ano:
Item           Plano A                                     Plano B                                     Plano C
Despesas Anuais 8000                                          5100                                        4300
Custo Inicial        -                                      15000                                        25000
Valor Residual       -                                           -                                        5000
                Solução:
                . Plano A
                                       (1+0,10)10 - 1
                VPLA = - PV(PMT) = - 8000 . ---------------------       =       - 49157
                                       0,10 . (1+0,10)10
                . Plano B
                                                               (1+0,10)10 - 1
                VPLB = - 15.000 - PV(PMT) = - 15.000 - 5.100 . ----------------
                                                                0,10.(1+0,10)10


                VPLB = - 15.000 - 31.337 =                              =       - 46337


                . Plano C


                VPLc = - 25.000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 25.000 - 4.300 .



Rua Luiz Leduc, 210 s. 03                                                            Fone /fax: 41 – 339 – 6270
82100 – 010     Curitiba – PR                                                        E-mail: jcandido@fesppr.br
                                                                                  http://www.fesppr.br/~candido
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  • 1. JOÃO CANDIDO PEREIRA DE CASTRO NETO CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA CURITIBA – PR 2002
  • 2. ÍNDICE ÍNDICE........................................................................................................................................... I LISTA DE TABELAS ................................................................................................................... III 1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................1 2 PERCENTAGENS..................................................................................................................2 2.1 ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SOBRE PREÇOS INICIAIS E FINAIS .................................................2 2.2 ACRÉSCIMOS E ABATIMENTOS SUCESSIVOS ...........................................................................6 3 FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .............................................................10 3.1 O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA .........................................................................................10 3.2 AS TAXAS DE JUROS .......................................................................................................11 3.3 DIAGRAMA DE FLUXOS DE CAIXA .......................................................................................12 4 O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES........................................................................13 4.1 JUROS SIMPLES .............................................................................................................13 4.2 MONTANTE SIMPLES .......................................................................................................14 4.3 TAXAS ..........................................................................................................................15 4.4 DESCONTOS SIMPLES .....................................................................................................15 4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial.................................................................16 4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial............................................................................17 5 O REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...................................................................19 5.1 MONTANTE E JUROS DE UM ÚNICO PAGAMENTO ...................................................................19 5.2 DESCONTO ...................................................................................................................20 5.3 TAXAS DE JUROS COMPOSTOS ..........................................................................................20 5.4 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................20 5.5 TAXAS NOMINAIS E EFETIVAS.............................................................................................21 5.6 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO MISTA.....................................................................................22 5.7 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ..................................................................................23 6 SÉRIES UNIFORMES..........................................................................................................26 6.1 CLASSIFICAÇÃO, ELEMENTOS E CÁLCULOS ..........................................................................26 6.2 SÉRIES ANTECIPADAS .....................................................................................................26 6.3 SÉRIES IMEDIATAS ..........................................................................................................28 6.4 SÉRIES DIFERIDAS ..........................................................................................................29 6.5 SÉRIES GRADIENTES ......................................................................................................30 6.6 DECOMPOSIÇÃO DE FLUXOS DE CAIXA 32 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 i Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 3. 7 SISTEMAS DE FINANCIAMENTO.......................................................................................33 7.1 SISTEMA DO MONTANTE ..................................................................................................34 7.2 SISTEMA DO JURO ANTECIPADO (DESCONTOS) ...................................................................34 7.3 SISTEMA FRANCÊS OU SISTEMA PRICE ...............................................................................35 7.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES .........................................................................36 8 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO ..........................39 8.1 MÉTODOS DE ANÁLISE ....................................................................................................40 8.1.1 Método do Custo Anual .........................................................................................40 8.1.2 Método do Valor Presente Líquido .........................................................................45 8.1.3 Método da Taxa Interna de Retorno.......................................................................50 8.2 CLASSIFICAÇÃO DE ALTERNATIVAS ....................................................................................53 8.2.1 Alternativas Singulares...........................................................................................53 8.2.2 Alternativas Múltiplas .............................................................................................53 8.2.3 Alternativas com Vidas Econômicas Diferentes ......................................................54 ANEXOS......................................................................................................................................55 BIBLIOGRAFIA ...........................................................................................................................62 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 ii Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 4. LISTA DE TABELAS VALOR PRESENTE DE UM PAGAMENTO .................................................................................56 VALOR FUTURO DE UM PAGAMENTO .....................................................................................57 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA......................................................58 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME IMEDIATA..........................................................59 FATOR DE CONVERSÃO DE SÉRIE GRADIENTE PARA IMEDIATA .........................................60 TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DATAS ..............................................................61 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 iii Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 5. 1 1. Introdução Tornou-se lugar comum afirmar que, no Brasil, a grande maioria das empresas fecha suas portas ao final dos cinco primeiros anos de operação e parece ser consenso entre professores, consultores e administradores que as dificuldades na obtenção e administração do capital de giro respondem pela quase totalidade dessas baixas. Sabe-se, também, que a maior parte do tempo destinado à administração das empresas brasileiras é dedicada à administração financeira. De fato, o ambiente econômico e financeiro nacional não perdoa os amadores. Altos níveis de concentração de renda, taxas de juros estratosféricas e carga tributária extorsiva constituem entraves seriíssimos à atividade econômica que tornam o dia a dia da gestão empresarial um desafio gigantesco. Nesse contexto, o conhecimento da matemática comercial e financeira, mais que nunca, é fundamental para a administração nas mais diversas áreas. Do cálculo das comissões de vendas, à avaliação de projetos alternativos de investimento, buscou-se, neste trabalho, apresentar as poderosas ferramentas da matemática comercial e financeira com uma preocupação permanente com a linguagem acessível e com a sua utilidade prática. Sempre que possível, buscou-se utilizar uma nomenclatura idêntica à das calculadoras financeiras, de modo a facilitar a compreensão e o uso daqueles instrumentos. Nos anexos apresentam-se tabelas de índices que têm o objetivo de possibilitar cálculos rápidos para algumas taxas e prazos e, ainda, uma tabela prática para cálculo de prazos entre datas. Espera-se oferecer um instrumento de aprendizado e consulta que possa auxiliar nossos alunos e treinandos na ampliação e consolidação de seus conhecimentos e na sua evolução profissional. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 6. 2 2. Percentagens Uma percentagem é um número relativo, que pode ser utilizado para comparar grandezas de qualquer espécie: volume, área, peso, etc. A percentagem (r) representa parte (p) de uma grandeza que foi dividida em cem unidades, que chamamos de principal (P). Fazendo uma regra de três, temos: P p P×r r = p= = P× p = P×i 100 r 100 100 Onde i é uma taxa e é igual à percentagem dividida por cem: r i= 100 Exemplo: Calcular 8% de 560. Comentário: Podemos calcular utilizando a percentagem ou a taxa. 560 × 8 p= = 44,8 100 ou p = 560 × 0,08 = 44,8 2.1 Acréscimos e abatimentos O valor resultante de um acréscimo é chamado de valor bruto (B) e é igual ao principal mais a parte que foi acrescida. B = P+ p Nós já vimos que a parte é igual ao principal multiplicado pela taxa: p = P×i Substituindo na equação anterior, temos: B = P + P×i ou B = P × (1 + i ) Da mesma forma, ao fazermos um abatimento, o valor resultante é o valor líquido (L), que é igual ao principal menos a parte que foi abatida. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 7. 3 L = P− p Como: p = P×i Substituindo na equação anterior: L = P − P×i ou L = P × (1 − i ) 2.2 Operações com mercadorias Nos acréscimos como nos abatimentos, podemos considerar como principal tanto o preço inicial (Po), que é o preço antes da operação ou preço de custo, como o preço final (Pn) que é o preço depois da operação ou preço de venda. Isso costuma gerar muita confusão, pois um mesmo acréscimo ou abatimento pode ser representado por duas percentagens, uma calculada "sobre" o preço inicial e outra calculada "sobre" o preço final. Assim, se o principal é o preço inicial, o que é mais comum, em um acréscimo o preço final é um valor bruto igual ao preço inicial mais o acréscimo: B = P × (1 + i ) Pn = P0 × (1 + i0 ) Em um abatimento, o preço final é um valor líquido igual ao preço inicial menos o abatimento: L = P × (1 − i ) Pn = P0 × (1 − i0 ) Porém, em certas ocasiões como no cálculo do ICMS, por exemplo, o principal é o preço final, isto é, o cálculo é feito sobre o preço que já inclui a operação. Nesse caso, em um acréscimo, o preço inicial é um valor líquido igual ao preço final menos o acréscimo: L = P × (1 − i ) P0 = Pn × (1 − in ) ou P0 Pn = (1 − in ) Em um abatimento, o preço inicial é um valor bruto igual ao preço final mais o abatimento: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 8. 4 B = P × (1 + i ) P0 = Pn × (1 + in ) ou P0 Pn = (1 + in ) Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 9. 5 EXERCÍCIOS 1) Quanto é 8% de 1.253.897,33? 2) Quanto por cento 1.200 é de 8.000? 3) 1.000,00 são 3% de quanto? 4) A cotação da libra esterlina passou de R$ 1,86 para R$ 1,90. Qual foi a variação percentual? 5) A saca de café passou de US$ 40,00 para US$ 30,00. Qual foi a variação percentual? 6) A saca de café passou de R$ 75,00 para R$ 100,00. Qual foi a variação percentual? 7) O preço de venda de certa mercadoria representa um acréscimo de 15% sobre o preço de custo de R$ 5.800,00. Qual é o preço de venda? 8) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e representa um acréscimo de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 9) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00, o que inclui uma margem que representa 25% desse preço de venda. Calcule o preço de custo. 10) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que permite vendê-la com uma margem que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda. 11) Uma mercadoria que custou R$ 12.000,00 foi vendida por R$ 16.000,00. Qual foi a margem sobre o preço de custo? Qual sobre o de venda? 12) O preço de venda de certa mercadoria é R$ 1.500,00 e resulta de um abatimento de 25% sobre o preço de custo. Calcule o preço de custo. 13) Uma mercadoria custou R$ 9.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Calcular o preço de venda. 14) O preço de venda de certa mercadoria é de R$ 6.700,00 e resulta de um desconto de 25% sobre a venda. Calcule o preço de custo. 15) O preço de custo de certa mercadoria é de R$ 8.000,00, o que obriga a vendê-la com um prejuízo que representa 20% do preço de venda. Calcule esse preço de venda. RESPOSTAS: 1) 100.311,79 2) 15% 3) 33.333,33 4) 2,15% 5) - 25% 6) 33,33% 7) R$ 6.670,00 8) R$ 1.200,00 9) R$ 5.025,00 10) R$ 10.000,00 11) 33,33% e 25% 12) R$ 2.000,00 13) R$ 6.300,00 14) R$ 8.375,00 15) R$ 6.666,67 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 10. 6 2.3 Acréscimos e abatimentos sucessivos Os acréscimos e abatimentos podem ser feitos de forma sucessiva. Isso quer dizer que, em uma série de Operações, cada operação é realizada de forma acumulada, "sobre" o resultado da operação anterior. Dessa forma, o bruto de cada acréscimo ou o líquido de cada abatimento passa a ser o principal da operação seguinte. Vamos imaginar uma série de acréscimos feitos de forma sucessiva, a partir de um principal. O bruto do primeiro acréscimo seria calculado por: B1 = P × (1 + i1 ) O do segundo, por: B2 = B1 × (1 + i 2 ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) O terceiro, por: B3 = B2 × (1 + i3 ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × (1 + i3 ) E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de acréscimos, poderíamos escrever que: Bn = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) E se fossem vários acréscimos iguais, teríamos: Bn = P × (1 + i ) × (1 + i ) × ... × (1 + i ) Bn = P × (1 + i ) n Como esses acréscimos são realizados sobre principais diferentes, o acréscimo total é sempre diferente do (maior que o) obtido pela simples soma das taxas. Isto nos leva à busca de uma taxa única que corresponda à aplicação de diversas taxas de forma sucessiva. Assim, o valor bruto produzido por essa taxa única de acréscimos (iua) será igual ao valor bruto produzido pelas diversas taxas de acréscimos sucessivos: Bu = B n sendo: Bu = P × (1 + iua ) e Bn = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) assim, Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 11. 7 P × (1 + iua ) = P × (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) 1 + iua = (1 + i1 ) × (1 + i 2 ) × ... × (1 + in ) e, finalmente: iua = (1 + i1 ) × (1 + i2 ) × ... × (1 + in ) − 1 Se fossem vários acréscimos iguais, teríamos: iua = (1 + i) × (1 + i) × ... × (1 + i) − 1 iua = (1 + i ) n − 1 Vamos imaginar, agora, uma série de abatimentos feitos de forma sucessiva, a partir de um principal. O líquido do primeiro abatimento seria: L1 = P × (1 − i1 ) O do segundo, por: L2 = L1 × (1 − i 2 ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) O terceiro, por: L3 = L2 × (1 − i3 ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × (1 − i3 ) E assim por diante. Sendo n uma quantidade qualquer de abatimentos, poderíamos escrever que: Ln = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n ) E se fossem vários abatimentos iguais, teríamos: Ln = P × (1 − i) × (1 − i) × ... × (1 − i ) Ln = P × (1 − i ) n Como os abatimentos sucessivos resultam em um abatimento total diferente da (menor que a) soma das taxas de abatimento, podemos calcular a taxa única que corresponde à aplicação de diversas taxas de abatimento sucessivas. O valor líquido produzido por essa taxa única de abatimentos, ou taxa única de descontos (iud) será igual ao valor líquido produzido pelas diversas taxas de abatimentos sucessivos: Lu = Ln sendo: Lu = P × (1 − iud ) e Ln = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n ) Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 12. 8 Assim, P × (1 − iud ) = P × (1 − i1 ) × (1 − i2 ) × ... × (1 − i n ) 1 − iud = (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − in ) − iud = (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − i n ) − 1 E, finalmente: iud = 1 − (1 − i1 ) × (1 − i 2 ) × ... × (1 − in ) E, se fossem vários abatimentos iguais, teríamos: iud = 1 − (1 − i) × (1 − i) × ... × (1 − i ) iud = 1 − (1 − i) n Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 13. 9 EXERCÍCIOS 1) Calcular o valor bruto de uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 1.200,00 por unidade e que sofre os acréscimos sucessivos de 3%, 5% e 7%. 2) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que sofreu, de forma sucessiva, os acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% e foi vendida por R$ 150.000,00. 3) Calcular o valor líquido de uma mercadoria que sofreu, sucessivamente, os abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% sobre o valor inicial de R$ 100.000,00. 4) Calcular o valor inicial de uma mercadoria que foi vendida por R$ 50.000,00 após sofrer os abatimentos sucessivos de 10%, 20%, 30% e 40%. 5) Qual a taxa única que corresponde aos acréscimos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 6) Qual a taxa única que corresponde aos abatimentos de 5%, 10%, 15% e 20% aplicados de forma sucessiva? 7) Uma mercadoria cujo preço de fábrica é de R$ 15.000,00 sofre, de forma sucessiva, os acréscimos de 3%, 5%, 8% e um quarto que eleva o seu preço final a R$ 21.024,36. Qual a percentagem do o último acréscimo? 8) Ao comprar certa mercadoria por R$ 20.000,00, obtive os descontos de 15%, 20% e um terceiro. Os descontos foram realizados de forma sucessiva, sobre o preço da etiqueta de R$ 42.016,81. Qual a percentagem do último desconto? 9) O acréscimo total de 27,63% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas? 10) O abatimento total de 22,62% foi resultante da aplicação de cinco taxas iguais de forma sucessiva. Qual a percentagem dessas taxas? RESPOSTAS: 1) R$ 1.388,65 2) R$ 94.108,79 3) R$ 58.140,00 4) R$ 165.343,92 5) 59,39% 6) 41,86% 7) 20,00% 8) 30,00% 9) 5,00% 10) 5,00% Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 14. 10 3. Fundamentos da Matemática Financeira 3.1 O Princípio da Equivalência O princípio fundamental da Matemática Financeira é o princípio da equivalência. O princípio da equivalência baseia-se no fato de que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo. Assim, uma determinada quantia teria significados econômicos diferentes em épocas diferentes, ainda que em ambiente não inflacionário. A partir desse raciocínio, podemos imaginar uma outra quantia, situada em época futura, que tenha o mesmo significado econômico, o mesmo valor, que certa quantia conhecida no presente. Em outras palavras, um Valor Futuro (FV) equivalente ao Valor Presente (PV) conhecido. Da mesma forma, podemos imaginar que exista, no presente, uma quantia com o mesmo valor que outra quantia conhecida no futuro, ou prevista. Em outras palavras, um Valor Presente equivalente ao Valor Futuro conhecido ou previsto. A diferença entre o Valor Presente e o Valor Futuro é a parcela correspondente aos juros (j). Os juros podem ser definidos livremente como o aluguel do capital. Existem várias justificativas para os juros. Entre elas podemos citar a teoria da produtividade marginal do capital: o capital, associado aos outros fatores de produção, é, também produtivo. Como o capital é, então, um dos fatores de produção, os juros correspondem à remuneração do fator capital, da mesma forma, por exemplo, que os salários remuneram o fator trabalho. Outra teoria é a do preço do tempo ou abstinência de Böhm-Bawerk (escola psicológica austríaca) que diz que um capital emprestado é um bem presente que se dá em troca de um bem futuro. Como a expectativa de um bem futuro vale menos que a realidade do bem presente, os juros compensariam essa diferença. Assim, o Valor Futuro é o resultado da soma do Valor Presente com a sua remuneração sob a forma de juros: FV = PV + j Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 15. 11 3.2 As Taxas de Juros O nível de preços dos bens e serviços é função de sua escassez. Da mesma maneira que as forças de oferta e demanda determinam o preço dos bens e serviços, as forças de oferta de fundos e a procura de crédito determinam o preço do crédito que é representado pela taxa de juros. Na verdade, essas forças de mercado determinam o nível (i0) da taxa de juros pura (ip), correspondente a uma situação de virtual equilíbrio de mercado decorrente da quantidade (Q0) de recursos demandados (Q). ip D S io Q0 Q O mercado adiciona, a essa taxa pura, um conjunto de outras taxas (spread) que visam cobrir impostos (IOF), comissões (flat) e custos de intermediação financeira e uma taxa correspondente à remuneração do fator risco (iρ), que é variável e visa remunerar o risco específico daquele tipo de operação. O resultado é a taxa real (ir) de juros, que corresponde ao custo real das operações financeiras. Assim, a taxa real é: ir = ip + IOF + flat + custos + iρ Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 16. 12 ir ir0 iρ ip + flat + IOF + custos ρ0 ρ À taxa real pode, então, ser acumulada a expectativa de inflação (iη) para constituir a taxa efetiva (ie) de juros, como a seguir: ie = (1 + ir) . (1 + iη) - 1 Observe que a taxa de inflação acumula-se à taxa real de juros, como nos acréscimos sucessivos (2.3), para formar a taxa efetiva. Não basta, portanto, somar a taxa de inflação à taxa de juros, pois os juros incidem sobre o capital já corrigido monetariamente, i. e., já compensado pelo desgaste da inflação. 3.3 Diagrama de Fluxos de Caixa O Diagrama de Fluxos de Caixa (DFC) é a representação gráfica das operações financeiras. Como o valor de um fluxo de caixa (pagamento ou recebimento) é função do tempo, necessita ser representado em uma escala cronológica que o situe exatamente na época de sua ocorrência. Assim, o DFC é constituído de um segmento de reta graduado de forma a representar os intervalos de tempo entre os fluxos. Estes são representados por vetores verticais orientados para cima (recebimentos - fluxos positivos) ou para baixo (pagamentos - fluxos Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 17. 13 negativos) com origem na escala cronológica, na graduação correspondente à época de ocorrência. Um Diagrama de Fluxos de Caixa pode ter o seguinte aspecto: 200 200 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 100 100 150 200 4. O Regime de Capitalização Simples 4.1 Juros Simples Juro é o prêmio que se paga pela utilização de um capital por certo tempo. A capitalização simples é um regime de cálculo de juros (j) em que estes são definidos, em cada período, como uma parte de um mesmo principal. Este principal é o capital (C) da operação financeira. Os juros são, então, obtidos pela aplicação de uma percentagem ou taxa, a taxa de juros (i) sobre este principal. Como sabemos, p=P.i Logo, j=C.i Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 18. 14 Para obter o total de juros produzidos em certo número de períodos (n), fazemos: j=C.i.n Exemplo: Calcular os juros simples do capital de R$ 1000,00, a 15% a.a., em cinco meses. Comentário: Para todo o cálculo financeiro, é fundamental que o prazo e a taxa de juros estejam se referindo ao mesmo período de capitalização. No exemplo acima, temos uma taxa ao ano (a.a.) e um prazo expresso em meses. No entanto, esse prazo pode ser expresso como uma fração do período de capitalização anual: C = 100 j = C.i.n 5 i = 0,15a.a. j = 1000.0,15. 12 5 n = 5me = a j = R$62,50 12 4.2 Montante Simples Montante Simples (M) é o resultado da soma do capital com os juros. Portanto, M=C+j Como vimos anteriormente, j=C.i.n Logo, M = C + C. i. n ou M = C . ( 1 + i . n) Exemplo: Calcular o montante de um capital de R$ 700,00, a 10% a.me., em 6 meses. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 19. 15 Comentário: Nesse caso, a taxa e o prazo já se referem ao mesmo período de capitalização (um mês). Podemos, portanto, aplicar a fórmula diretamente: C = 700 M = C .(1 + i.n) i = 0,10a.me. M = 700.(1 + 0,10.6) n = 6me M = R$1.120, 00 4.3 Taxas As taxas de juros podem ser classificadas em proporcionais e equivalentes. Taxas proporcionais são aquelas que se relacionam com os prazos a que se referem formando uma proporção. Assim, a taxa de 24% ao ano é proporcional a 12 % ao semestre, a 2% ao mês, etc. Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo resultado quando aplicadas pelo mesmo prazo. No Regime de Capitalização Simples, as taxas proporcionais são equivalentes. Assim, se aplicarmos um capital a 5% ao mês durante dois anos, iremos obter a mesma quantidade de juros que obteríamos aplicando por dois anos esse capital a 10 % ao bimestre, a 30% ao semestre ou a 60% ao ano. A matemática financeira utiliza duas convenções para contagem do prazo das operações financeiras (período financeiro): o ano comercial, com 360 dias e, portanto, 12 meses com 30 dias cada, e o ano civil, com 365 ou 366 dias quando bissexto e com os 12 meses com a respectiva quantidade de dias. Em geral, quando o contrato não especifica se é juro comercial ou juro civil, utiliza-se a convenção comercial por maior facilidade. No entanto, quando o contrato especifica o contrário, ou quando o prazo é estabelecido entre duas datas, utiliza-se o ano civil. Para a contagem de dias entre duas datas, ver a Tabela nº 4.2 - p.59 . 4.4 Descontos Simples A operação de desconto é inversa à da capitalização e consiste em se determinar um Valor Presente equivalente a um determinado Valor Futuro. Em termos práticos, as operações de desconto são realizadas com os títulos de crédito que são os instrumentos de crédito que possuem garantia legal (duplicatas, notas Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 20. 16 promissórias, etc.). Possuindo garantia legal, esses títulos podem ser negociados livremente, antes de sua data de vencimento. Assim, um título de crédito pode ser convertido em dinheiro ou substituído por outro(s) título(s) anteriormente à data prevista para sua liquidação. A conversão é feita pelo Valor Atual (An) ou Valor Presente do título, que corresponde ao Valor de Face, Valor Nominal (N) ou Valor Futuro do título, menos o desconto (d) que é a compensação em valor pela antecipação do resgate do título. O Regime de Capitalização Simples utiliza duas formas de cálculo para o desconto: o Desconto Simples Comercial e o Desconto Simples Racional. Como apenas a modalidade comercial é praticada, ainda que sua utilização seja restrita a operações de curto prazo, nos ateremos ao seu estudo. 4.4.1 Cálculo do Desconto Simples Comercial O Desconto Simples Comercial (dc), também chamado Desconto Simples "Por Fora", equivale aos juros simples calculados sobre o Valor Nominal (F) do título. Da fórmula dos juros simples: j=C.i.n Tiramos, substituindo j por dc e C por N, dc = N . i . n Exemplo: Calcular o desconto comercial de um título de R$ 500,00, descontado 27 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 5% ao mês. Comentário: Como o prazo não está em uma unidade de tempo compatível com o período de capitalização da taxa, é necessário expressá-lo em função dessa nova unidade de tempo. N = 500 dc = N .i.n 27 i = 0, 05a.me. dc = 500.0, 05. 30 27 n = 27 d = me d c = R$22, 50 30 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 21. 17 4.4.2 Cálculo do Valor Atual Comercial O Valor Atual é o valor pelo qual o título é resgatado ou negociado antes do seu vencimento e corresponde à diferença entre o Valor Nominal e o Desconto: Anc = N - dc Porém, como dc = N . i . n, podemos escrever: Anc = N - N . i . n => Anc = N (1 - i . n) Exemplo: Calcular o Valor de Resgate de um título de R$ 1100,00, 25 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 8% a.me. Comentário: O exemplo não especifica a modalidade de desconto simples utilizada. Sendo assim, como norma, utilizamos o desconto comercial. N = 1100 Anc = N (1 − i.n) 25 i = 0, 08a.me. Anc = 1100.(1 − 0, 08. ) 30 25 n = 25d = me Anc = R$1.026, 67 30 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 22. 18 EXERCÍCIOS 1) Calcular os juros simples do capital de R$ 1.000,00 durante 19 dias 16% ao mês. 2) Calcular o montante a juros simples do capital de R$ 2.500,00, durante 23 dias, a 14% ao mês. 3) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00 a 20% a.a. produzirá juros simples de R$ 1.500,00? 4) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 2.500,00 a 10% ao ano produzirá o montante a juros simples de R$3.250,00? 5) Um investidor aplicou R$ 250.000,00 em Letras de Câmbio no dia 15 de janeiro de 1995 e, ao resgatá-las no dia 16 de março do mesmo ano, recebeu R$ 320.500,00. Quanto recebeu de juros? Que taxa mensal remunerou seu capital nesse período? 6) Um empresário pediu um empréstimo de R$ 25.000,00 a uma instituição financeira, por certo período. Na liberação do empréstimo, pagou antecipadamente, como previa o contrato, 22% de juros. Qual o valor pago de juros? Qual a quantia efetivamente liberada? Considerando a quantia liberada como empréstimo, qual foi a taxa efetiva de juros? 7) Um título foi descontado, 47 dias antes de seu vencimento, à taxa de 7% a.me., por R$ 4.451,67. Calcular o Valor Nominal do título. 8) Uma nota promissória de R$ 7.500,00 foi resgatada, dois meses antes de seu vencimento, por R$ 5.250,00. Calcular a taxa de desconto. 9) Uma empresa descontou em um banco, no dia 26 de maio, três títulos de R$ 20.000,00; R$ 15.000,00 e R$35.000,00, vencíveis, respectivamente, em 27 de junho, 28 de julho e 24 de agosto do mesmo ano. Calcule o valor atual utilizando a taxa de desconto de 15% a.me. 10) Uma empresa devedora de três títulos de R$ 2.000,00; R$ 1.500,00 e R$ 3.000,00, vencíveis em 32, 63 e 90 dias, respectivamente, propõe ao banco credor substituí-los por dois outros, de mesmo valor nominal, para 40 e 75 dias. Calcule o valor nominal desses títulos a uma taxa de desconto de 15% ao mês. RESPOSTAS: 1) R$ 101,33 2) R$ 268,33 3) 1a6me 4) 3a 5) R$ 70 500,00; 14,10% a.me. 6) R$ 5.500,00; R$ 19.500,00; 28,21% 7) R$ 5.000,00 8) 15% a.me. 9) R$ 46.325,00 10) R$ 3.057,89 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 23. 19 5. O Regime de Capitalização Composta 5.1 Montante e juros de um único pagamento No Regime de Capitalização Composta, os juros são sempre calculados sobre o valor bruto do período anterior. Ao contrário do que ocorre no Regime de Capitalização Simples, no qual temos sempre o mesmo principal, neste regime o principal muda a cada período de capitalização. O principal é sempre o Montante ou Valor Futuro (FV) do período anterior. É claro que para o primeiro período não temos montante do período anterior. Assim, os juros compostos do primeiro período são iguais aos juros simples, se usarmos a mesma taxa e o mesmo capital e, claro, o montante também é o mesmo. Partindo de um certo Capital Inicial (PV), os juros do primeiro período seriam, como em juros simples: j = PV . i e o montante seria: FV1 = PV . (1 + i . 1) = PV . (1 + i) O montante do segundo período seria: FV2 = FV1 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i)2 O montante do terceiro período seria: 2 3 FV3 = FV2 . (1 + i) = PV . (1 + i) . (1 + i) = PV . (1 + i) E assim por diante, o que nos permite generalizar assim: FV = PV. (1 + i)n (Ver Tabela 2 - p.64) Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 24. 20 Ao trabalhar com juros compostos, é mais simples obter o montante e depois subtrair o capital inicial para obter o valor dos juros. Assim: j = FV - PV j = PV . (1 + i)n - PV e, finalmente, j = PV . [(1 + i)n - 1] 5.2 Desconto O desconto é a operação inversa da capitalização. Enquanto a operação de capitalização agrega, a cada período, os juros ao capital inicial ou Valor Presente para produzir o montante ou Valor Futuro, a operação de desconto retira, a cada período, os juros de um determinado Valor Futuro para produzir o Valor Presente daquele período. Usando a fórmula do montante, basta isolarmos no primeiro membro o Valor Presente: FV = PV . (1 + I)n => PV = FV . (1 + i)-n (Ver Tabela 1 - p. 63) 5.3 Taxas de juros compostos 5.4 Taxas proporcionais e equivalentes A exemplo do que vimos em juros simples, as taxas podem ser classificadas em proporcionais e equivalentes. Porém, ao contrário do que ocorre nos juros simples, no Regime de Capitalização Composta as taxas proporcionais não são equivalentes. Isso ocorre porque, nesse regime, os juros não são calculados sempre sobre o mesmo principal, mas sim sobre o montante do período anterior. Como as taxas incidem, a cada período, sobre um principal diferente, a taxa equivalente ao fim de um certo número de períodos não pode ser simplesmente o resultado do produto da taxa ao período pelo número de períodos, como uma taxa proporcional. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 25. 21 Usando a fórmula do valor futuro e um valor presente igual a um, vamos imaginar uma taxa (iq) que produza, no mesmo prazo, o mesmo montante em um número de períodos (1/q) que outra taxa (it) produziria em outro número de períodos (1/t). As fórmulas ficariam assim: FV = PV. (1 + iq)1/q FV = PV . (1 + it)1/t Como ambas dão como resultado o mesmo FV, podemos igualá-las: PV . (1 + iq)1/q = PV . (1 + it)1/t e, simplificando PV, temos: 1/q 1/t (1 + iq) = (1 + it) 1 + iq = (1 + it)q/t iq = (1 + it)q/t - 1 Para facilidade de aplicação, podemos ler esta fórmula desta forma pouco ortodoxa: "A taxa que queremos (iq) é igual a 1 mais a taxa que temos (it), elevado ao número de capitalizações que queremos (q), em um certo prazo, dividido pelo número de capitalizações que temos (t), no mesmo prazo, menos 1." P. Ex. calcular a taxa anual equivalente a 2% a.m.. it = 2% a.m. (a taxa que temos) t = 1 (número de capitalizações que temos – 1 mês) q = 12 (número de capitalizações que queremos – 12 meses) iq = (1 + it)q/t – 1 iq = (1 + 0,02)12/1 – 1 iq = 1,0212 – 1 iq = 1,2682 – 1 iq = 0,2682 = 26,82% a.a. 5.5 Taxas nominais e efetivas É comum que os contratos financeiros apresentem a taxa de juros relativa a um período de tempo (geralmente ao ano), chamado de período financeiro, mas Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 26. 22 que os cálculos considerem a incidência dos juros em um período diferente (geralmente ao mês), chamado de período de capitalização. O cálculo, nesses casos, é feito com a utilização da taxa no período de capitalização proporcional à taxa contratada no período financeiro. P. Ex. 10% a.a. capitalizados mensalmente: taxa contratada: 10% a.a. período financeiro: um ano capitalização: mensal período de capitalização: um mês taxa proporcional no período de capitalização: 10% ÷ 12 = 0,83% a.m. Sabemos, no entanto, que, por se tratar do regime de capitalização composta, o resultado obtido será diferente do resultado indicado pela taxa contratada. Assim, a taxa contratada de 10% a.a. é apenas uma taxa anual proporcional à taxa no período de capitalização, é uma taxa meramente nominal, pois não corresponde ao resultado da operação. A taxa que realmente reflete o custo financeiro anual da operação é a taxa anual equivalente a 0,83% a.m.. Já vimos como calculá-la: iq = (1 + it)q/t – 1 iq = (1 + 0,0083)12/1 – 1 iq = 1,008312 – 1 iq = 1,1043 – 1 iq = 0,1043 = 10,43% a.a. Esta taxa de 10,43% a.a. é a taxa efetiva da operação e corresponde ao custo anual da operação, diferentemente da taxa nominal de 10% a.a.. 5.6 Regime de Capitalização Mista Já pudemos verificar que o montante gerado pelo Regime de Capitalização Composta é maior que o gerado pelo Regime de Capitalização Simples. Porém, isso só ocorre para um número inteiro de períodos. Quando o prazo é uma quantidade não inteira de períodos de capitalização, o montante gerado na parte fracionária do prazo, e apenas nessa parte fracionária, será maior se for calculado a juros simples. Assim, o mercado adota a Convenção Linear, que Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 27. 23 calcula o montante a juros compostos pela parte inteira de períodos de capitalização de um prazo, e o montante desse resultado a juros simples pela sua parte fracionária. Considerando um prazo fracionário, representado pela fração mista np/q, teríamos como valor futuro a juros compostos da parte inteira do prazo, FVn,: FVn = PV .(1 + i )n E para a parte fracionária do prazo, tomando FVn como valor presente no segundo cálculo, o valor futuro a juros simples, FVnp/q,: p FVn p q = FVn. 1 + i. q Porém, como: FVn = PV .(1 + i )n , p FVn p q = FV .(1 + i) n . 1 + i. q 5.7 Equivalência de Fluxos de Caixa Como vimos no item sobre Desconto (2.3.2), as operações de Desconto e Capitalização são operações inversas. Isso significa que, capitalizando um determinado valor presente (PV) por um certo número de períodos (n) a uma determinada taxa (i), obtendo, assim, um valor futuro (FV), se descontarmos esse valor futuro (FV) à mesma taxa (i), pelo mesmo número de períodos (n), iremos obter o mesmo valor presente (PV). Esse raciocínio ilustra bem o princípio fundamental da matemática financeira: o Princípio da Equivalência. Este princípio nos diz que capitais iguais, situados em épocas diferentes, têm valores diferentes, mesmo no pressuposto de uma economia com moeda constante, ou seja, mesmo com inflação nula. Assim, podemos imaginar um capital situado em uma data futura que, embora diferente, tenha o mesmo valor que outro capital situado no presente; da mesma forma podemos imaginar um capital no presente que, embora diferente, possua o mesmo valor que outro colocado no futuro. Esses capitais diferentes, colocados em datas diferentes, teriam, na mesma data, o mesmo valor, seriam equivalentes. O mecanismo que estabelece o grau de Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 28. 24 equivalência e, portanto, que capital situado em uma determinada data é equivalente a outro em outra data é a taxa de juros. Isso é de extrema valia quando se trata de comparar valores (fluxos de caixa) situados em épocas diferentes, pois podemos, indiferentemente, capitalizar um ou mais fluxos para uma data futura, ou descontar um ou mais fluxos para uma data presente. Como só podemos comparar, operar algebricamente ou trocar fluxos de caixa situados na mesma data, utilizamos os recursos da capitalização e do desconto para "movimentá-los" ao longo do tempo, "atualizando-os" para a mesma data e, então, realizando a operação que desejamos. A equivalência permite, na prática, a troca de um título de crédito (duplicata, nota promissória, etc.) ou de um grupo de títulos situados em uma, ou diversas datas, por outro título ou por outro grupo situados em outra ou em outras datas diferentes. Para isso, é necessário que, em uma data qualquer, os seus valores equivalentes (presentes ou futuros) sejam iguais. Tomando o seguinte conjunto de fluxos de caixa equivalentes: PV4 FV3 FV2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1000 FV4 PV5 Temos que: PV4 + FV3 + FV2 = 1000 + FV4 + PV5 EXERCÍCIOS 1) Calcular a taxa efetiva anual correspondente a 180% ao ano, capitalizados mensalmente. 2) Qual o tempo necessário para que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40, à taxa de 24% a.a. com capitalizações trimestrais? 3) No fim de quanto tempo os capitais de R$ 5.000,00, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e de R$ 15.000,00 u.m., a 10% a.a. capitalizados semestralmente produzirão juros iguais? Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 29. 25 4) No fim de quanto tempo o capital de R$ 500,00 a 10% a.a. e R$ 400,00 a 12% a.a. produzirão montantes iguais? 5) Qual deve ser a taxa média mensal de inflação para que os preços dupliquem em 3 anos? 6) Qual a taxa anual de juros capitalizada mensalmente que faz com que R$ 2.500,00 produzam o montante de R$ 5.190,40 em 7 meses e meio? 7) O desconto de um título, pagável em 3 meses e 18 dias, é de R$ 2.164,74. Calcular o Valor Nominal do título, sabendo que a taxa empregada foi de 30% a.a. com capitalizações mensais. 8) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 5.000,00, a 40% a.a. capitalizados mensalmente produzirá R$4.500,00 de juros? 9) Duas notas promissórias, de R$ 5.000,00 para 1 ano e 6 meses e de R$ 8.000,00 para 2 anos e 3 meses, serão substituídas por uma única para 3 anos. Estipulando a taxa de 18% a.a. capitalizados mensalmente para essa operação, calcular o Valor Nominal do título. 10) Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200,00 por três anos a 20% a.a. capitalizados mensalmente. Algum tempo após, propõe saldar a dívida com três pagamentos anuais realizáveis no fim do 2º, 3º e 4º anos. O primeiro pagamento será de R$ 50,00 e o segundo, de R$ 100,00. Calcular o valor do último pagamento, sabendo que a taxa do desconto real é de 12% a.a. com capitalizações mensais. RESPOSTAS: 1) 435,03% a.a.; 2) 3a1me19d; 3) 7a1me8d; 4) 12a4me19d; 5) 1,94% a.me.; 6) 122,76% a.a. cap. mens.; 7) R$ 25.450,49; 8) 1a7m18d; 9) R$ 15.683,82; 10) R$ 251,54 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 30. 26 6. Séries Uniformes 6.1 Classificação, elementos e cálculos As séries uniformes são constituídas, tanto nas operações de recuperação de capital (amortização), como nas de formação de capital (capitalização). Nas operações de amortização (empréstimos, financiamentos, etc.) o valor a ser amortizado é anterior à série, é a sua causa, e recebe o nome de Valor Atual ou Valor Presente (PV) de uma série. Nas operações de capitalização, o capital formado é posterior à série, é a sua conseqüência, e recebe o nome de Montante ou Valor Futuro (FV) da série. Os fluxos de caixa que constituem a série são denominados Termos ou Pagamentos (PMT), o número de termos (n) e a taxa no período (i) são os demais elementos de uma operação com séries uniformes. As séries uniformes classificam-se em Antecipadas, Imediatas (Postecipadas) e Diferidas em função da época em que ocorrem os seus fluxos. 6.2 Séries Antecipadas Em uma Série Antecipada, os fluxos ocorrem no início dos respectivos períodos. As séries antecipadas são mais freqüentes nas operações de capitalização, embora sejam utilizadas, também, em operações de amortização. O DFC de uma Série Antecipada tem o seguinte aspecto: 0 1 2 3 4 5 ... n-2 n-1 n O Valor Presente da uma série Antecipada corresponde à soma dos valores presentes de todos os termos (PMT) iguais que a compõem. Calculando os valores presentes de todos os termos e somando-os temos: PV (a) = PMT .(1 + i )− n+1 + ... + PMT .(1 + i) −3 + PMT .(1 + i )−2 + PMT .(1 + i )−1 + PMT PV (a) = PMT .[(1 + i)− n+1 + ... + (1 + i )−3 + (1 + i) −2 + (1 + i )−1 + 1] Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 31. 27 Fazendo: (1 + i ) = u , temos: PV (a) = PMT .(u − n+1 + ... + u −3 + u −2 + u −1 + 1) Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de uma Progressão Geométrica de razão q = u. A fórmula que permite calcular a soma dos termos de uma P.G. é: an .q − a1 Sn = ; q −1 Substituindo os elementos, temos: 1.u − u − n+1 u − u − n+1 Sn = = ; u −1 i Multiplicando ambos os termos da fração por un-1: u − u − n+1 u n−1 u.u n −1 − u − n+1.u n −1 u n − 1 Sn = . n−1 = = n−1 i u i.u n −1 i.u un −1 (1 + i )n − 1 PV (a) = PMT . ou PV (a) = PMT . i.u n−1 i.(1 + i )n −1 O mesmo raciocínio pode ser utilizado para o desenvolvimento das fórmulas para cálculo do Valor Futuro: FV (a) = PMT .(1 + i )n + ... + PMT .(1 + i)3 + PMT .(1 + i )2 + PMT .(1 + i )1 FV (a) = PMT .[(1 + i) n + ... + (1 + i )3 + (1 + i )2 + (1 + i )1 ] Fazendo: (1 + i ) = u , temos: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 32. 28 FV (a) = PMT .(u n + ... + u 3 + u 2 + u1 ) Com a expressão entre parênteses representando a soma dos termos de uma Progressão Geométrica Decrescente de razão q = u-1. Substituindo os elementos na fórmula do cálculo da soma dos termos da P.G. decrescente: a1 − an .q Sn = 1− q u n − u.u −1 u n − 1 Sn = = ; 1 − u −1 1 − u −1 Multiplicando ambos os termos da fração por u: u n − 1 u u n .u − 1.u u.(u n − 1) un −1 Sn = . = = = u. 1 − u −1 u 1.u − u −1.u u −1 i u n −1 (1 + i) n − 1 FV (a) = PMT .u. ou FV (a) = PMT .(1 + i ). i i 6.3 Séries Imediatas Em uma série Imediata, os fluxos ocorrem no final dos respectivos períodos. As séries Imediatas são mais características das operações de amortização, embora possam ser utilizadas, também, em operações especiais de capitalização na constituição de fundos de reembolso para o resgate de dívidas ou fundos de provisão para a substituição de equipamentos. O DFC de uma série Imediata tem o seguinte aspecto: 0 1 2 3 4 5 6 ... n-1 n O Valor Presente da uma série Imediata pode ser obtido pela seguinte fórmula: un −1 (1 + i )n − 1 PV (i ) = PMT . ou PV (i) = PMT . i.u n i.(1 + i )n Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 33. 29 (Ver Tabela 3 - P.65) O Valor Futuro é calculado por: un −1 (1 + i )n − 1 FV (i ) = PMT . ou FV (i) = PMT . i i (Ver Tabela 4 - p.66) 6.4 Séries Diferidas Em uma série Diferida, os fluxos ocorrem no final dos respectivos períodos, posteriores a um prazo de carência ou diferimento. As séries Diferidas são praticamente exclusivas das operações de amortização, embora sejam utilizadas, ainda que raramente, em operações de capitalização nos mesmos casos previstos nas séries imediatas. As séries diferidas incluem no cálculo um elemento adicional: a carência ou prazo de diferimento (m). O DFC de uma série Diferida tem o seguinte aspecto: 0 1 2 3 4 ... n-1 n 0 1 2 ... m m+1 m+2 m+3 m+4 ... m+n-1 m+ n O Valor Presente da uma série Diferida pode ser obtido pela seguinte fórmula: un −1 (1 + i) n − 1 PV (d ) = PMT . ou PV (d ) = PMT . i.u m + n i.(1 + i)m + n O Valor Futuro é calculado de forma idêntica ao das séries imediatas, já que o prazo de carência ou diferimento não interfere nesse cálculo: un −1 (1 + i) n − 1 FV (d ) = PMT . ou FV (d ) = PMT . i i Todos esses valores podem ser calculados pelas fórmulas acima, pelo emprego de tábuas financeiras e com as calculadoras financeiras, e, ainda, por decomposição dos fluxos de caixa. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 34. 30 6.5 Séries Gradientes Séries Gradientes ou Séries em Gradiente são séries de pagamentos cujos termos crescem em progressão aritmética de razão G, sendo que o primeiro termo também é igual a G e ocorre no segundo período. O DFC de uma Série Gradiente tem o seguinte aspecto: 0 1 2 3 4 5 6 ... n-1 n G 2G 3G 4G 5G n-2G n-1G Para efeito de cálculo, a Série Gradiente é convertida em uma série imediata equivalente, segundo o fator de conversão: 1 n i − . n i i u −1 (Ver Tabela 5 - p.66) Assim, o valor do termo (PMT) de uma Série Imediata equivalente a uma Série Gradiente em G é: 1 n i P M T (i ) = G . − . n i i u −1 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 35. 31 EXERCÍCIOS Calcule o valor equivalente das seguintes séries, usando a taxa de 10%: 1) 2) 3) RESPOSTAS: 1) PV=R$ 1.071,16; 2) FV=R$ 14.024,93; 3) PV=R$ 2.677,23 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 36. 32 6.6 Decomposição de Fluxos de Caixa Nem todas as operações financeiras se comportam de forma uniforme. As operações mais complexas parecem conjuntos desordenados de fluxos de caixa quando traduzidas para um diagrama. No entanto, podemos decompô-las em dois ou mais conjuntos de pagamentos isolados e séries uniformes, simplificando o seu cálculo. A decomposição de fluxos de caixa é feita por "cortes" verticais ou horizontais nos diagramas, que, assim, são decompostos em outros diagramas mais simples e uniformes, como no exemplo a seguir: Que pode ser decomposto horizontalmente em: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 37. 33 7. Sistemas de financiamento São vários os sistemas utilizados para o pagamento de um empréstimo ou de um financiamento. Trataremos dos mais freqüentes no nosso mercado. Para exemplificarmos, utilizaremos como exemplo, o empréstimo do capital de R$ 30.000,00, a 10% ao mês, por cinco meses. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 38. 34 7.1 Sistema do Montante É o sistema no qual o devedor restitui ao credor, ao final de um prazo estipulado, o capital e os juros correspondentes. O cálculo é feito pela fórmula do Valor Futuro de um pagamento único: FV = PV . (1 + i)n FV = 30000 . (1 + 0,10)5 = R$ 48.315,30 7.2 Sistema do Juro Antecipado (Descontos) É o sistema utilizado no cálculo dos penhores e nas operações de empréstimo com desconto de duplicatas. É, também, a forma utilizada para cálculo de taxas e comissões cobradas antecipadamente (flat), como os seguros de crédito, o IOF, etc. Em geral, o desconto é calculado no regime de capitalização simples. Porém, como os juros são pagos antecipadamente, a taxa de juros efetiva da operação é bastante diferente da taxa de desconto anunciada, o que freqüentemente conduz a erros de avaliação. Vejamos como ficaria a operação com a taxa de 10% ao mês para o desconto simples: PV FV = ---------- 1 - i.n 30000 FV = --------------- = R$ 60.000,00 1 - 0,10 . 5 Assim, para um empréstimo de R$ 30.000,00, temos um Valor Futuro de R$ 60.000,00 em 5 meses. Substituindo esses valores na fórmula do Valor Futuro de um pagamento único a juros compostos, temos: FV = PV . (1 + i)n Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 39. 35 60000 = 30000 . (1 + i)5 60000 --------- = (1 + i)5 30000 2 = (1 + i)5 1 + i = 21/5 1 + i = 1,1487 i = 0,1487 => 14,87% a.m. Sendo 14,87% ao mês, portanto, a taxa efetiva de juros. Essa diferença se acentua à medida que cresce o prazo e a taxa de desconto. 7.3 Sistema Francês ou Sistema Price É o sistema em que o pagamento do empréstimo ou financiamento é feito através de prestações iguais, a intervalos de tempo constantes, geralmente ao mês. Essas prestações são compostas de duas partes: os juros mensais calculados sobre o saldo devedor e o restante que compõe uma quota destinada a amortizar o principal da dívida. O cálculo das prestações é feito pelas fórmulas das séries uniformes. Utilizando o exemplo para uma série uniforme imediata, temos: (1+i)n - 1 PV(i) = PMT . ------------- i . (1+i)n Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 40. 36 (1+0,10)5 - 1 30000 = PMT . -------------------- 0,10 . (1+0,10)5 0,6105 30000 = PMT . ---------- 0,1611 30000 = PMT . 3,7908 30000 PMT = --------- = R$ 7.913,92 3,7908 Através do seguinte Plano de Amortização, podemos observar a evolução dos principais componentes da operação, período a período. Plano de Amortização - Sistema Francês Capital : 30.000,00 Nº de Pagamentos : 5 Taxa de Juros : 10,00% Per. Pagamento Juros Quota de Fundo de Saldo De- (n) (PMT) Amortização Amortização vedor (PV) 0 - - - - 30000,00 1 7913,92 3000,00 4913,92 4913,92 25086,07 2 7913,92 2508,60 5405,31 10319,24 19680,75 3 7913,92 1968,07 5945,84 16265,08 13734,91 4 7913,92 1373,49 6540,43 22805,52 7194,47 5 7913,92 719,44 7194,47 30000,00 0,00 7.4 Sistema de Amortizações Constantes É o sistema pelo qual o empréstimo ou financiamento é pago através de prestações decrescentes. A quota destinada à amortização do principal é fixa e corresponde à divisão do principal pelo número de prestações. A essa quota são Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 41. 37 acrescentados os juros calculados sobre o saldo devedor do período anterior, para formar a prestação do período. O Plano de Amortização a seguir ilustra bem a solução do nosso exemplo por esse sistema: Plano de Amortização - Sistema de Amortizações Constantes Capital : 30000,00 Nº de Pagamentos : 5 Taxa de Juros : 10,00% Per. Pagamento Juros Quota de Fundo de Saldo De- (n) (PMT) Amortização Amortização vedor (PV) 0 - - - - 30000,00 1 9000,00 3000,00 6000,00 6000,00 24000,00 2 8400,00 2400,00 6000,00 12000,00 18000,00 3 7800,00 1800,00 6000,00 18000,00 12000,00 4 7200,00 1200,00 6000,00 24000,00 6000,00 5 6600,00 600,00 6000,00 30000,00 0,00 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 42. 38 EXERCÍCIOS 1) Uma família decidiu comprar um refrigerador a crédito. O esquema de pagamento oferecido pela loja é o seguinte: 15.03.02 R$ 500,00 15.06.02 R$ 300,00 15.07.02 R$ 300,00 15.08.02 R$ 300,00 15.09.02 R$ 300,00 Sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês, determine o valor do refrigerador em 15.05.02. 2) Qual o valor presente de uma série de oito prestações mensais imediatas de R$ 5.000,00, sabendo-se que a taxa mensal de juros é de 3,0%? 3) Qual o valor da prestação mensal de um fundo de investimentos que capitaliza os depósitos à taxa composta de 10% ao ano capitalizados mensalmente, para se obter, no fim de 20 anos, o montante de R$ 500.000,00? 4) Em quanto tempo duplicará um capital aplicado a uma taxa de juros de 1,25% ao mês? 5) Logo que tenha economizado R$ 10.000,00 em valores de hoje, o Sr. Saddam Sahva pretende instalar uma quitanda. Se economizar R$ 500,00 por mês, investindo-os a 1,0% ao mês, quantos meses serão necessários para que o Sr. Saddam obtenha a importância desejada, sabendo-se que a inflação mensal é de 0,485%? 6) O Sr. Komero Toda Furuta comprou uma Kombi em 10 prestações mensais iguais. Sabendo que a Kombi tem seu preço à vista fixado em R$ 30.000,00 e que a taxa de financiamento é de 1,75% ao mês, determine: a) O valor da prestação. b) O saldo devedor após o pagamento da 5ª parcela. RESPOSTAS: 1) R$ 1.615,04 2) R$ 35.098,46 3) R$ 658,44 4) 4 anos, 7 meses e 24 dias 5) 20 meses 6) R$ 3.296,26 e R$15.650,17 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 43. 39 8. Análise de alternativas de financiamento e investimento A Análise de Alternativas de Financiamento e Investimento conta com um conjunto de técnicas da Engenharia Econômica que permitem a comparação, de forma científica, entre alternativas diferentes. Ao permitir que essas diferenças sejam explicitadas de forma quantitativa, elas constituem ferramenta da maior utilidade no processo de tomada de decisões em qualquer empresa, de qualquer porte ou ramo de atividade. São exemplos típicos da utilização dessas técnicas as alternativas de investimento financeiro, de distribuição em marketing, de automatização na contabilidade, de planos de carreira em administração de pessoal, de aquisição e substituição de equipamentos na administração da produção, na engenharia de produto, etc. Para ser eficiente, a Análise de Investimentos pressupõe alguns princípios fundamentais: − Não existe decisão com alternativa única, todas as alternativas devem ser consideradas; − Somente são comparáveis alternativas homogêneas, não se pode optar entre pouco retorno com pouco investimento e muito retorno com muito investimento, por exemplo; − Apenas as diferenças entre as alternativas são relevantes, não perca tempo com o que é comum a elas; − Os critérios para decisão entre alternativas econômicas devem levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, o princípio da equivalência é básico; − Não devem ser subestimados os problemas relativos ao racionamento de capital, a menos que isso não seja problema para você; − Decisões separáveis são tomadas separadamente; − As previsões são necessariamente falhas e o seu grau e tipos de incerteza devem ser explicitados; − O evento qualitativo não quantificava monetariamente devem ser claramente especificados; − A retroalimentação (feedback) de informações é fundamental e é a única maneira de minimizar o impacto dos erros das previsões; − Os dados relevantes são os econômicos e gerenciais, os dados contábeis só são importantes na avaliação após o Imposto de Renda. Não importa de um equipamento é depreciado contabilmente em 10 anos, se está obsoleto em 5 anos. E tem, também, algumas limitações: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 44. 40 − A escolha do método, que deve considerar o aspecto mais abrangente do problema, uma vez que é impossível levar em consideração e quantificar todas as variáveis em situações reais. Premissas, restrições e limitações devem ser claramente caracterizadas; − Os modelos estudados pressupõem taxas de juros e retorno iguais, embora no mercado as taxas de juros (empréstimos) sejam sempre maiores que as taxas de retorno (aplicação). A taxa de retorno será denominada doravante de Taxa Mínima de Atratividade, ou simplesmente TMA, refletindo a menor taxa de retorno aceitável para um investimento; − Os modelos pressupõem taxas constantes, o que recomenda a utilização de uma média das taxas projetadas, ou a explicitação de que a solução está vinculada às circunstâncias presentes; − Os modelos pressupõem viabilidade econômica e financeira para o fluxo de caixa real final; − Os modelos levam em consideração que os fluxos de caixa ocorrem no final dos respectivos períodos (anos), embora a maioria possa ocorrer durante o período. Nesses casos, esses fluxos de caixa são os valores equivalentes, no final do período, dos demais fluxos ocorridos durante aquele período. − A complexidade do modelo deve ser compatível com a confiabilidade dos dados assumidos. 8.1 Métodos de Análise As principais técnicas utilizadas pela Análise de Investimentos são os métodos de análise, também chamados “Métodos Equivalentes Para Avaliação de Alternativas de Financiamento e Investimento”. Em seguida, veremos uma apresentação desses métodos e suas principais características. 8.1.1 Método do Custo Anual Consiste em transformar os fluxos de caixa das alternativas em séries uniformes equivalentes, utilizando uma taxa de juros igual à Taxa Mínima de Atratividade. É possível, então, chegar a um Custo Anual Equivalente, que servirá de parâmetro para comparação entre as alternativas. Cabe ressaltar que, embora chamado de Método do Custo Anual, o método se presta a análises em períodos diferentes do ano. É importante, no entanto que, por ora, as alternativas tenham a mesma duração de tempo, i.e., a mesma Vida Econômica. Vejamos o Exemplo 1, a seguir: Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 45. 41 Alterna- Investimento Despesas Valor tiva Inicial Anuais Residual A - 10000,00 - B 15000,00 5000,00 - C 20000,00 4000,00 2000,00 TMA: 10% ao ano Vida Econômica: 10 anos Solução: . Alternativa A Custo Anual Dado = 10000 . Alternativa B Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV): 0,10 . 1,1010 PMT(PV) = 15.000 . ----------------- = 2441 1,1010 - 1 Custo Anual Dado = 5000 ----- Custo Anual Total = 7441 Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 46. 42 . Alternativa C Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV): 0,10 . 1,1010 PMT(PV) = 20000 . --------------- = 3255 1,1010 - 1 Custo Anual Dado = 4000 Retorno Anual Equivalente do Valor Residual (FV): 0,10 PMT(FV) = -2000 . ------------ = - 125 1,1010 - 1 ----- Custo Anual Total = 7130 A alternativa C é a mais vantajosa por apresentar os menores custos anuais equivalentes. Exemplo 2 Uma companhia deseja mecanizar uma operação de movimentação de materiais em seu almoxarifado. Atualmente, esta operação é realizada manualmente por uma equipe de operários. Os custos anuais com salários e encargos sociais são de R$ 8000,00. A mecanização será obtida com a aquisição de um equipamento cujo valor é de R$ 20000,00. Espera-se uma redução nos custos com mão-de-obra a R$ 2000,00 ao ano. As despesas anuais de operação são estimadas em R$ 500,00 de energia, R$ 1.500,00 de manutenção e R$ 500,00 de seguro e demais despesas. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 47. 43 O equipamento tem vida econômica de 10 anos e um valor de revenda de R$ 2000,00. A uma TMA de 18% a.a., qual a alternativa mais vantajosa economicamente? Solução: . Alternativa A Custo Anual Dado = 8000 . Alternativa B Custo Anual Equivalente do investimento inicial (PV): 0,18 . 1,1810 PMT(PV) = 20000 . --------------- = 4450 1,1810 - 1 Despesas Anuais = 4500 - Mão-de-Obra = 2000 - Energia = 500 - Manutenção = 1500 - Seguro, etc. = 500 Retorno Anual Equivalente do Valor de Revenda (FV): 0,18 PMT(FV) = -2000 . ------------ = - 85 1,1810 - 1 ------ Custo Anual Total = 8865 O maior custo anual da segunda alternativa a desaconselha como decisão econômica. Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 48. 44 EXERCÍCIOS 1) Calcular e comparar os custos anuais dos motores A e B, cuja compra é considerada para 12 anos de serviço a uma TMA de 10%a.a. Item Motor A Motor B Custo Inicial 2.500 4.000 Valor Residual Estimado - 1.000 Custo Anual de Energia 500 300 Custo Anual de Reparos 300 220 CAA = R$ 1.166,91 CAB = 1.060,29 (MELHOR COMPRA) 2) Um serviço de encanamento precisa ser executado em uma empresa. As alternativas que se apresentam são as seguintes: Item Tubo 30 cm Tubo 50 cm Custo Inicial 21.000 32.000 Custo Anual de Operação 6.700 3.850 O período de serviço esperado é de sete anos, após os quais o encanamento será removido com Valor Residual previsto de 5% de seu custo. O retorno mínimo exigido é de 8% ao ano. Comparar os custos anuais. CAA = 10.615,84 CAB = 9.817,00 (MELHOR COMPRA) Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 49. 45 8.1.2 Método do Valor Presente Líquido Consiste em se calcular a soma algébrica dos valores equivalentes de todos os fluxos de caixa no período zero utilizando a Taxa Mínima de Atratividade. A soma desses Valores Presentes resulta no Valor Presente Líquido da alternativa. A alternativa mais indicada é aquela que apresenta o maior retorno em relação a um investimento, ou o menor custo. É fundamental que se observe o sinal dos respectivos fluxos de caixa. Assim, um VPL positivo significa que o Valor Presente dos retornos é maior que o Valor Presente dos investimentos e das despesas. Quanto maior o VPL positivo, maior essa diferença e, portanto, maior a razão entre retorno e investimento. Se VPL=0 (nulo) o projeto oferece a mesma rentabilidade que a alternativa de investimento financeiro remunerada pela TMA. Se VPL<0 (negativo), o Valor Presente dos desembolsos supera o Valor Presente dos recebimentos, o que não recomenda economicamente o projeto. No caso da escolha obrigatória entre alternativas com VPL<0, a opção mais econômica será a que apresentar o menor VPL negativo. Tomemos o Exemplo 1 do método anterior: . Alternativa A (1+0,10)10 - 1 VPLA = - PV(PMT) = - 10000 . -------------------- = - 61.446 0,10 . (1+0,10)10 . Alternativa B (1+0,10)10 - 1 VPLB = - 15000 - PV(PMT) = - 15000 - 5000 . ---------------- 0,10.(1+0,10)10 VPLB = - 15000 - 30723 = - 45723 . Alternativa C Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido
  • 50. 46 VPLc = - 20000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 20000 - 4000 . (1+0,10)10 - 1 . --------------------- + 2000 . (1+0,10)-10 0,10 . (1+0,10)10 VPLc = - 2000O - 24578 + 771 = - 43807 A melhor alternativa é C, pois apresenta o menor VPL negativo, o que significa menor custo real. Exemplo 2 Escolher entre os seguintes planos, com vida econômica de 10 anos, usando uma TMA de 10% ao ano: Item Plano A Plano B Plano C Despesas Anuais 8000 5100 4300 Custo Inicial - 15000 25000 Valor Residual - - 5000 Solução: . Plano A (1+0,10)10 - 1 VPLA = - PV(PMT) = - 8000 . --------------------- = - 49157 0,10 . (1+0,10)10 . Plano B (1+0,10)10 - 1 VPLB = - 15.000 - PV(PMT) = - 15.000 - 5.100 . ---------------- 0,10.(1+0,10)10 VPLB = - 15.000 - 31.337 = = - 46337 . Plano C VPLc = - 25.000 - PV(PMT) + PV(FV) = - 25.000 - 4.300 . Rua Luiz Leduc, 210 s. 03 Fone /fax: 41 – 339 – 6270 82100 – 010 Curitiba – PR E-mail: jcandido@fesppr.br http://www.fesppr.br/~candido