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AULA 27
GEOMETRIAANALÍTICA E
ÁLGEBRA LINEAR
Professor: João Alessandro
ESPAÇOS VETORIAIS
Definição:
Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão
definidas duas operações
Soma:
Multiplicação por escalar:
VvuVvu ∈+=>∈,
VkvRkVv ∈=>∈∈ ,
ESPAÇO VETORIAL - 1
Devem satisfazer, para quaisquer RbaVwvu ∈∈ ,e,,
As seguintes propriedades:
V∈0
Vu∈−
ESPAÇO VETORIAL - 2
DA ADIÇÃO:
A1) u + v = v + u (comutativa)
A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)
A3) Existe tal que u+0 = u (elemento neutro)
A4) Existe tal que u+(-u) = 0 (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)
M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)
M4) 1.u = u (elemento neutro)
EXERCÍCIO - EXEMPLO
PROBLEMA PROPOSTO
Apresenta-se um conjunto com as operações de adição e
multiplicação por escalar nele definidos. Verifique quais deles são
Espaços Vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais,
citar os axiomas que não verificam.
Com as propriedades abaixo, vamos verificar no quadro branco:
DA ADIÇÃO:
A1) u + v = v + u (comutativa)
A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)
A3) u+0 = u (elemento neutro)
A4) u+(-u) = 0 (elemento oposto)
EXERCÍCIO - EXEMPLO
( ){ }
( ) ( ) ( )32,3xw22,2xv12,1xu
:vetoresosdefinirVamos
ADAPTADO-usuaisoperaçõesascom;2,)2
xxx
Rxxx
===
∈
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)
M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)
M4) 1.u = u (elemento neutro)
DÚVIDAS?
joaoalessandro.luz@gmail.com
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  • 3. Devem satisfazer, para quaisquer RbaVwvu ∈∈ ,e,, As seguintes propriedades: V∈0 Vu∈− ESPAÇO VETORIAL - 2 DA ADIÇÃO: A1) u + v = v + u (comutativa) A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa) A3) Existe tal que u+0 = u (elemento neutro) A4) Existe tal que u+(-u) = 0 (elemento oposto) DA MULTIPLICAÇÃO: M1) (ab).u = a(bu) (comutativa) M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor) M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar) M4) 1.u = u (elemento neutro)
  • 4. EXERCÍCIO - EXEMPLO PROBLEMA PROPOSTO Apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidos. Verifique quais deles são Espaços Vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não verificam.
  • 5. Com as propriedades abaixo, vamos verificar no quadro branco: DA ADIÇÃO: A1) u + v = v + u (comutativa) A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa) A3) u+0 = u (elemento neutro) A4) u+(-u) = 0 (elemento oposto) EXERCÍCIO - EXEMPLO ( ){ } ( ) ( ) ( )32,3xw22,2xv12,1xu :vetoresosdefinirVamos ADAPTADO-usuaisoperaçõesascom;2,)2 xxx Rxxx === ∈ DA MULTIPLICAÇÃO: M1) (ab).u = a(bu) (comutativa) M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor) M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar) M4) 1.u = u (elemento neutro)