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36

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 4
PRODUTOS

Nos

capítulos

anteriores

geométricas também

os

conceitos

chamadas de

foram

introduzidos

Espaços Vetorias:

para

o Plano

duas

regiões

Geométrico,

representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço
Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço).
No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado
geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também
para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos
considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o caso,
voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico.

1 Produto Escalar

Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores, denotado
por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde 0 ≤ θ ≤ π é o
ângulo entre u e v .

Propriedades
1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais,
ou seja, θ = 90o.
2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u
3) u ⋅ u = | u |2
4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ
5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w

1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Por definição
temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos co-senos temos:

cos θ =

| u + v |2 − | u |2 − | v |2
. Substituindo, temos:
2 | u || v |
37

u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅

| u + v |2 − | u |2 − | v |2
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
⇒ u⋅v =
⇒
2 | u || v |
2

u⋅v =

2
2
2
(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2 ⇒
2

u⋅v =

2
2
2
2
2
2
(x1 + 2x1x2 + x2 ) + (y1 + 2y1y2 + y2 ) + (z1 + 2z1z2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2
2
2
2
2

u⋅v =

2
2
2
2
2
2
(x1 + y1 + z1 ) + (x2 + y2 + z2 ) + 2(x1x2 + y1y2 + z1z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2
2
2
2
2

u ⋅ v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Exemplo (1): Sejam u = (−2,3,8), v = (0,2,−1) e w = (1,−2,1) .
a) Determine u ⋅ v .
b) Os vetores u e w são ortogonais?

Solução:
a) u ⋅ v = −2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−1) = 0 + 6 − 8 = −2 ⇒ u ⋅ v = −2
b) Para que os vetores u e w sejam ortogonais é necessário que u ⋅ w = 0 . De fato,

u ⋅ w = −2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−2) + 8 ⋅ 1 = −2 − 6 + 8 = 0 .

Exemplo (2): Os vetores u , v e w , com u = 4 e

v = 15 , determinam o triângulo

abaixo. Determine o produto escalar entre os vetores u e w .

w

u
60

o

v
Solução: Pela figura temos que u + w = v

e o ângulo entre u e v

é θ = 60o .

Multiplicando escalarmente pelo vetor u ambos o lado desta igualdade vem que:

u ⋅ (u + w ) = u ⋅ v . Aplicando a definição do produto escalar e suas propriedades temos:
⇒

u ⋅ u + u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos θ

u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos 60 o − u

2

⇒ u ⋅ w = 4 ⋅ 15 ⋅

u

2

+ u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos θ

1
− 42 ⇒ u ⋅ w = 14
2

⇒
38

1.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar
Sejam dois vetores u e v , sendo | u | = 1 , ou seja, u é um versor. Sejam ainda,

a e b ortogonais entre si, com v = a + b . Vamos projetar o vetor v na direção do
vetor u .

v

b

a
v
proju

u

Na figura acima, temos que a projeção do vetor v na direção do vetor u é
v
v
denotada por proju , a qual é igual ao vetor a = proju . Como a é paralelo a u , então

a = αu . Sendo b é ortogonal a u , então b ⋅ u = 0 . Multiplicando escalarmente por u a
expressão

v = a+b

v
a = proju = α ⋅ u =

u⋅v
2

1

temos:

u ⋅ v = α ⋅ (u ⋅ u) + b ⋅ u .

Então

α=

u⋅v

.

| u |2

Logo:

v
v
⋅ u ⇒ proju = (u ⋅ v) ⋅ u . Portanto, proju = (u ⋅ v) ⋅ u = u ⋅ v ⋅ u ⇒

v
proju = u ⋅ v .

Isso significa que o produto escalar, em módulo, entre os vetores u e v , é o
tamanho da projeção do vetor v na direção do versor u .
Para dois vetores u e v , quaisquer, podemos definir a expressão da projeção
v
de um vetor na direção do outro como sendo: proju =

u⋅v
| u |2

⋅ u . Note que o resultado

desta expressão é um vetor, o qual é a projeção do vetor v na direção do vetor u .

1.3 Ângulo entre dois vetores
O

ângulo

entre

dois

u = AB e v = CD ,

vetores

não

nulos,

é

o

ângulo

θ = ang(u, v) = BPD entre os segmentos orientados que representam os vetores, com
a restrição 0o ≤ θ ≤ 180o , quando os vetores são transportados para um ponto P, de
tal forma que suas origens coincidam com este ponto P.

D

D
A

u

B

v

u

θ
P≡A≡C

C

B

v
39

Podemos determinar o ângulo θ entre os vetores u e v através da expressão do
produto escalar. Da expressão u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ segue que cos θ =

u⋅v
. Logo,
|u| ⋅| v |

 u⋅v 
θ = arccos 
| u | ⋅ | v | .



Exemplo (3): Dados os vetores u = (2,−1,3) e v = (−2,1,2) . Determine:
a) O ângulo entre u e v .
b) A projeção do vetor u na direção do vetor v .

Solução:
a) cos θ =

cos θ =

u⋅v
2 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 − 4 − 1 + 6
1
14
⇒ cos θ =
=
=
=
. Como
|u|⋅| v |
42
4 +1+9 ⋅ 4 +1+ 4
14 ⋅ 9
3 14

 14 
14
.
, o ângulo θ não é um arco notável. Então, θ = arccos
 42 
42



b) proju =
v

−4 − 1 + 6
1
⋅ (−2,1,2) = ⋅ (−2,1,2) .
⋅ v ⇒ proju =
v
4 +1+ 4
9
|v|
u⋅v

2

 2 1 2
Portanto: proju =  − , ,  .
v
 9 9 9

Exemplo (4): Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores u = (3,1,−1) e

v = (−1,1,1) .
Solução: Seja w = (x, y, z) . Como w é unitário, então | w | = 1 . Como w é ortogonal
aos vetores u e v , tem-se: w ⋅ u = 0 e w ⋅ v = 0 . De onde vem:
w ⋅ u = 0 ⇒ (x, y, z) ⋅ (3,1,−1) = 0 ⇒ 3x + y − z = 0
w ⋅ v = 0 ⇒ (x, y, z) ⋅ (−1,1,1) = 0 ⇒ −x + y + z = 0

3x + y − z = 0
. Da primeira equação vem que z = 3x + y

− x + y + z = 0

(*). Substituindo na

segunda equação temos que −x + y + 3x + y = 0 ⇒ x = −y . Substituindo x = −y em
(*) vem que z = 3(−y) + y ⇒ z = −2y .

| w | = x2 + y2 + z2 = (−y)2 + y2 + (−2y)2 = 1 ⇒

6y2 = 1 ⇒ y = ±

para y = +

x = −y ⇒ x = − 6

6
6
6
6

6
 ou
⇒ 
⇒ w = −
,
,−
 6
6
6
6
3 
z = −2y ⇒ z = − 3




para y = −

x = −y ⇒ x = 6
 6
6
6
6

6

⇒ 
⇒ w=
,−
,
 6
6
6
6
3 
z = −2y ⇒ z = 3




6
. Fazendo:
6
40

Exemplo (5): Determine um vetor u tal que u ⋅ v = u ⋅ w = 1 e | u | =

22 , onde

v = (1,1,0) e w = (2,1,−1).
Solução:

Seja

u = (x, y, z) .

u ⋅ w = (x, y, z) ⋅ (2,1,−1) = 1

⇒

Então:

⇒

u ⋅ v = (x, y, z) ⋅ (1,1,0) = 1

2x + y − z = 1 . Daí

vem

que:

x+y =1

e

x + y = 1
. Da

2x + y − z = 1

primeira equação vem que x = 1 − y (*). Substituindo na segunda equação temos que

2(1 − y) + y − z = 1 ⇒ z = 1 − y . Como | u | =
(1 − y)2 + y 2 + (1 − y)2 =

22

⇒

| u | = x2 + y2 + z2 = 22

22 ⇒

3y 2 − 4y + 2 =

22

⇒

⇒

3y 2 − 4y − 20 = 0 .

Resolvendo a equação do 2º grau determinamos as suas raízes y = −2 e y' = 10 .
3

Fazendo:

x = 1 − y ⇒ x = 3
para y = −2 ⇒ 
⇒ u = (3,−2,3) ou
z = 1 − y ⇒ z = 3
x = 1 − y ⇒ x = − 7

3 ⇒ u =  − 7 , 10 ,− 7  .
para y' = 10 ⇒ 


7
3
3
 3 3
z = 1 − y ⇒ z = − 3


Exercícios Propostos:
1) Determine a projeção do vetor u = (−2,3,1) na direção do vetor v = (1,1,2) .

1 1 
Resp: proju =  , ,1
v
2 2 
2) Sejam os vetores a = (1,−m,−3), b = (m + 3,4 − m,1) e c = (m,−2,7) . Determine m

(

)

para que seja verdadeira a expressão a ⋅ b = a + b ⋅ c .

Resp: m = 2

3) Dados | u | = 4, | v | = 3 e w um vetor unitário com: u ortogonal a v , o ângulo
entre (u, w) é
4)

Dados

2π
π
e o ângulo entre (v, w) é
, calcule | u − v + w |2 .
3
3

u = (−1,2,−3) e w = (2,1,−1) ,

a // w, b ⊥ w e u = a + b .

determine

os

vetores

Resp: 33

aeb

tais

que:

3 5
 1 1

Resp: a = 1, ,−  e b =  − 2, ,− 
2 2
 2 2


5) Os módulos dos vetores a e b são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles é
60o. Calcule o ângulo entre os vetores a + b e a − b .
6) Demonstre, vetorialmente, o Teorema de Pitágoras.

 21 

Resp: θ = arccos
 7 


41

2 Produto Vetorial

Definição: Sejam os vetores u e v . O produto vetorial entre esses vetores,
denotado por u × v , é um vetor com as seguintes características:
i) Módulo: | u × v | = | u | ⋅ | v | ⋅ sen θ , onde θ é o ângulo entre u e v .
ii) Direção: normal ao plano que contém u e v .
iii) Sentido: regra da mão direita.
2

1


v ×u

v

v
u

u

u× v

A regra da mão direita diz, no quadro 1, que com a palma da mão estendida na
direção e sentido do vetor v , fechado os dedos na direção do vetor u (linha
tracejada), o polegar ficará apontado para cima, indicando o sentido de v × u . No
quadro 2, com a palma da mão estendida na direção e sentido do vetor u , fechando
os dedos na direção do vetor v , o polegar ficará apontado para baixo, indicando o
sentido de u × v . Podemos notar que v × u = −u × v . Portanto:
u× v

v
u
v ×u

Propriedades
1) u × v = 0 se, e somente se, um deles é o vetor nulo ou se u e v têm a mesma
direção. Consequentemente u × u = 0 .
2) Anti-comutativa: u × v = −v × u (não vale a comutativa: u × v ≠ v × u )
3) (mu) × (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u × v)

a direita :
(u + v) × w = u × w + v × w
4) Distributiva 
a esquerda : w × (u + v) = w × u + w × v
(u × v) × w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u
5) Duplo Produto Vetorial: 
u × (v × w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v)w
42

2.1 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Temos que:

i × j = −j × i = k


(*):  j × k = −k × j = i . Então: u × v = (x1 i + y1 j + z1k) × (x2 i + y2 j + z2k) . Aplicando a
k × i = − i × k = j


propriedade distributiva, teremos:

u × v = (x1x 2 )( i × i ) + (x1y 2 )( i × j) + (x1z2 )( i × k) +
(y1x 2 )( j × i ) + (y1y 2 )( j × j) + (y1z2 )( j × k) + (z1x 2 )(k × i ) + (z1y 2 )(k × j) + (z1z2 )(k × k)
Da definição de produto vetorial e de (*), tem-se:

u × v = (x1x 2 )(0) + (x1y 2 )(k) + (x1z2 )(− j) + (y1x 2 )(−k) + (y1y 2 )(0) + (y1z2 )( i ) +
+ (z1x 2 )( j) + (z1y 2 )(− i ) + (z1z2 )(0)
u × v = (y1z2 − y2z1) i + (x2z1 − x1z2 ) j + (x1y2 − x2y1)k . Note que a expressão anterior é
i
o desenvolvimento do seguinte determinante: u × v = x1
x2

j
y1
y2

k
z1
z2

Exemplo (6): Sejam u = (2,1,−1) e v = (5,−2,1) . Determine u × v .

i
Solução: u × v = x1
x2

j
y1
y2

k
i
j
k
z1 ⇒ u × v = 2
1 − 1 = i − 5 j − 4k − 5k − 2 i − 2 j ⇒
z2
5 −2
1

u × v = − i − 7 j − 9k .

2.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Sejam dois vetores u e v , não nulos e não paralelos. Logo eles determinam um
paralelogramo. Área do paralelogramo: A P = b × h , onde:

b =| u | e sen θ =

h
⇒ h =| v | ⋅ sen θ
|v|

Logo, AP =| u | . | v | ⋅ sen θ ⇒ AP =| u × v |

v
θ

h
u

Pela figura podemos ver que, metade do paralelogramo é um triângulo
determinado pelos vetores u e v , portanto a área do triângulo é dada por:

AT =

|u× v|
2
43

Exemplo (7): Determine o vetor

v do ℜ3 que satisfaça as seguintes condições:

v ⋅ (3 i + 2 j) = 6 e v × (2 j + 3k) = 2 i .
Solução: Seja v = (x, y, z) . Então:

v ⋅ (3 i + 2 j) = 6

⇒

(x, y, z) ⋅ (3,2,0) = 6

(x, y, z) × (0,2,3) = (2,0,0)

(3y − 2z,−3x, 2x) = (2,0,0)

⇒

⇒

3x + 2y = 6

i j k
x y z = (2,0,0)
0 2 3

⇒

⇒

3y − 2z = 2

− 3x = 0 ⇒ x = 0 .
2z = 0 ⇒ x = 0


v × (2 j + 3k) = 2 i

e

(3y − 2z) i − 3x j + 2xk = (2,0,0)

Logo

temos

o

⇒

⇒

sistema

7

3y − 2z = 2 ⇒ z = 2
7


. Portanto o vetor procurado é v =  0,3,  .
x = 0
2

3x + 2y = 6 ⇒ y = 3



Exemplo (8): Os vértices de um triângulo são os pontos A (− 1,2,4) , B(3,−3,4) e
C(− 1,6,1) . Determine a altura relativa ao vértice B.

Solução: A área A T do triângulo pode ser escrita de duas formas:

AT =

| AC | ⋅h | AB × AC |
b ⋅ h | AB × AC |
=
=
⇒
⇒
2
2
2
2

AB

B
h

A

i
j
k
| AB × AC |
h=
⇒ AB × AC = 4 − 5
0 = 15 i + 12 j + 16k ⇒
| AC |
0
4 −3
| AB × AC | = 152 + 122 + 162 = 25
h=

| AB × AC |

⇒ h=

| AC |

e

| AC |= 02 + 42 + (−3)2 = 5 .

C

AC

Portanto,

25
⇒ h = 5 u.c.
5

Exemplo (9): Demonstre vetorialmente que a área de um triângulo equilátero de
lado m é A =

3 2
m .
4

Solução: Vetorialmente a área de qualquer triângulo é dada por: A T =

|u× v|
, onde
2

u e v são os dois vetores que determinam o triângulo. Como o triângulo é equilátero
seus lados são todos iguais e seus ângulos internos todos iguais a θ = 60o . Então:

| u | = | v | = m . Por definição temos:
44

AT =

|u× v|
| u | ⋅ | v | ⋅ sen 60o
⇒ AT =
2
2

m⋅m⋅
AT =

2

3
2 ⇒ A =
T

v
60 o
u

3 2
m
4

Exercícios Propostos
1) Sejam A(1,3,-4), B(5,-3,2) e C(3,1,0) vértices de um triângulo ABC. Sejam P e Q
pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Determine a área do trapézio
Resp: A =

APQC.
2)

Sejam

os

vetores

u = (1,2,0), v = (3,1,1) e w = (−1,2,−2) .

3 11
u.a.
2

Os

vetores

{u , u × v, w × (u × v)} são LI ou LD?

Resp: LI

3) Dados os vetores u = (3,−1,2) e v = (2,3,0) , determine um vetor

w

w ⋅ u = −2 e w × v = (3,−2,−3) .

tal que

Resp: w = (1,3,−1)

4) Calcular a área do paralelogramo ABCD, sabendo-se que suas diagonais são os
vetores AC = (−1,3,4) e BD = (1,−1,2) .

Resp: A = 35u.a.

5) Determine o valor de z, sabendo-se que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,z) são vértices
de um triângulo de área igual a 6.

Resp: z = ±4

a) (u × v) × w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u
6) Demonstre as fórmulas do duplo produto vetorial 
.
b) u × (v × w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v)w
(sugestão: Para demonstrar (b), suponha verdadeira (a) e vice-versa)
7) Mostre que | u × v |2 =| u |2| v |2 −(u ⋅ v)2

3 Produto Misto

Definição: O Produto Misto entre os vetores u, v e w é um número real, denotado e
definido por [u, v, w] = u ⋅ (v × w) .

3.1 Expressão Cartesiana do Produto Misto
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k, v = x2 i + y2 j + z2k e w = x3 i + y3 j + z3k . Então:

v × w = (y2z3 − y3z2 ) i + (x3z2 − x2z3 ) j + (x2y3 − x3y2 )k
[u, v, w] = u ⋅ (v × w) = (x1, y1, z1) ⋅ (y2z3 − y3z2 ) i + (x3z2 − x2z3 ) j + (x2y3 − x3y2 )k =
45

= x1 ⋅ (y2z3 − y3z2 ) + y1 ⋅ (x3z2 − x2z3 ) + z1 ⋅ (x2y3 − x3y2 ) . Esta expressão é igual ao

x1 y1 z1
desenvolvimento do determinante: [u, v, w] = x2 y2 z2 .
x3 y3 z3
Propriedades
1) [u, v, w] = 0 ⇔ um deles é o vetor nulo ou se os vetores são coplanares.
2) [u, v, w] = − [v, u, w] = + [v, w, u] = ...
3) [u + a, v, w] = [u, v, w] + [a, v, w]
4) [αu, v, w] = α ⋅ [u, v, w]

3.2 Interpretação Geométrica Módulo do Produto Misto
Sejam u, v e w . Então [u, v, w] = u ⋅ (v × w) = | u | ⋅ | v × w | ⋅ cos θ , onde θ é o
ângulo entre os vetores

u e v × w . Na figura abaixo temos um paralelepípedo

determinado

vetores

pelos

três

u, v e w .

Vamos

calcular

o

volume

deste

paralelepípedo denotado por VP .

v×w
u

θ h

w

θ

v
O produto misto

[u, v, w]

de vetores LI é igual em módulo ao volume do

paralelepípedo cujas arestas são os vetores u, v e w . O volume VP = Ab ⋅ h , onde
área da base Ab é um paralelogramo determinado pelos vetores v e w . Então:

Ab = | v × w | . No triângulo retângulo da figura temos: cos θ =
VP =| u | ⋅ | v × w | ⋅ cos θ , ou seja,

Portanto:

h
. Logo, h =| u | ⋅ cos θ .
|u|

VP = [u, v, w] . Note que os vetores

u, v e w , determinam também um tetraedro, cujo volume é VT =

VT =

[u, v, w]
6

u

w
v

1
VP , ou seja,
6
46

Exemplo (10): Determine o volume do tetraedro de vértices A(2,1,3), B(2,7,4),
C(3,2,3) e D(1,-2,3).

Solução: Os três vetores que determinam este tetraedro poderiam ser AB, AC e AD .

[AB, AC, AD]
Como

AB = (0,6,1) ,

AC = (1,1,0) ,

AD = (−1,−3,0)

VT =

e

,

6

então;

B

0
6 1
| −2 |
1
[AB, AC, AD] = 1
1 0 = −2 ⇒ VT =
⇒ VT = u.v.
6
3
−1 −3 0

AB

D
AD

A

AC

C

Exemplo (11): Um tetraedro ABCD tem volume igual a 3 u.v. Sendo A(4,3,1),
B(6,4,2) e C(1,5,1), determine o vértice D que pertence ao eixo Ox.

Solução: Como D é um ponto do eixo Ox, então D(x,0,0). Sejam AB, AC e AD os
vetores

que

determinam

o

tetraedro.

AB = (2,1,1) ,

Como

[AB, AC, AD]
AD = (x − 4,−3,−1) e VT =

[AB, AC, AD] = −2x + 10

= 3 vem que: [AB, AC, AD] =

6

⇒

VT =

− 2x + 10
6

AC = (−3,2,0) ,
2
1
1
−3
2
0
x − 4 −3 −1

x = −4
= 3 ⇒ − 2x + 10 = ±18 ⇒ 
.
x = 14

Portanto, D(-4,0,0) ou D(14,0,0).

Exemplo (12): Seja um tetraedro de vértices A(2,0,2), B(0,4,2), C(2,6,4) e
D(4,4,0). Determine a altura relativa ao vértice C.

Solução: Os vetores que determinam o tetraedro são AB , AC e AD . Da teoria de
geometria espacial temos que o volume de um tetraedo é dado por VT =

1
Ab ⋅ h ,
3

onde Ab é área da base do tetraedro e h a sua altura. Como a área da base é um
triângulo determinado pelos vetores AB e AD , então Ab =

| AB × AD |
. Do Cálculo
2

C

[AB, AC, AD]
Vetorial temos que VT =

6

.
D

A

Ab

h
B
47

[AB, AC, AD]
Então:

VT =

6

[AB, AC, AD]
h=
AB × AD

1
Ab ⋅ h
3

[AB, AC, AD]
⇒

=

6

1
⋅
3

AB × AD
2

⋅h

⇒

AB = (−2,4,0)


. Como AC = (0,6,2) ⇒
AD = (2,4,−2)



−2 4
[AB, AC, AD] =

=

0 6

0

i

j

2 = 56 e AB × AD = − 2 4

2 4 −2

k
0 ⇒ AB × AD = −8 i − 4 j − 16k .

2 4 −2

Logo | AB × AD | = 336 = 4 21 . Portanto: h =

56
4 21

⇒h=

2 21
u.c.
3

Exercícios Propostos
1) Determine os valores de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores

a = (2,−3,0), b = (1, m,−1) e c = (3,0,−1) , tenha volume igual a

2
.
3
Resp: m = 1 ou m = 5

2) Sendo A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,5,0), D(3,5,0) e E(3,5,5), determine o volume da
E

figura abaixo.

A
B

C

Resp: V = 25 u.v.

D

3) Determinar o valor de R = u ⋅ (v × w) − [v ⋅ (u + w) + 5u ⋅ w] para u = (1,2,3), v = (2,4,0) e

w = (−1,3,−1) .

Resp: R = 0

4) Determine o vetor u = (m − 1, m, m + 1) , para que os vetores {u, v, w} sejam
coplanares, onde v = (0,3,3) e w = (4,1,−1) .

Resp: u = (−2,−1,0)

5) Sejam u = (2,2,1), v = (−2,0,−3) e w = (1,−2,3) . Verificar a dependência linear dos
vetores { u, v, w] ⋅ (u + v), [u, w, v] ⋅ (u + w), [w, u, v] ⋅ (v + w)}.
[

Resp: LI

6) Provar que [u + v, v + w, u + w] = 2[u, v, w]

COMENTÁRIOS IMPORTANTES
1) Só existem três operações básicas aplicadas aos vetores que são: adição,
subtração e multiplicação por escalar, como vimos no capítulo 2. Os produtos
estudados neste capítulo são importantes, mas não confundir com as operações
básicas, ou seja, não existe multiplicação entre vetores, logo também não existem a
divisão, potenciação e radiciação de vetores.
2) Não confundir produto por escalar com produto escalar. Apesar de usarmos o
mesmo símbolo (•) para as duas operações, eles têm significados diferentes, ou seja:
48

α • v (produto por escalar ou multiplicação por escalar, cujo resultado é um vetor) e
u • v (produto escalar, cujo resultado é um número real).
3) O mesmo cuidado devemos ter com o produto vetorial. Sabemos que não existe
multiplicação, nem divisão e muito menos potenciação entre vetores. Logo, não
v
existem as notações
ou v 2 = v ⋅ v . Não confundir o produto escalar ( v ⋅ u ) ou
u
produto vetorial ( v × u ) entre dois vetores com multiplicação entre vetores. Portanto,

v ⋅ v ≠ v × v ≠ v 2 , pois, v ⋅ v =| v |2 , v × v = 0 e v2 não existe.
4) No início deste capítulo foi informado que alguns conceitos não são aplicados e não
podem ser interpretados geometricamente para vetores do plano (ℜ2) e que, de agora
em diante, eles serão introduzidos somente para vetores do espaço (ℜ3). Pois bem, o
produto escalar é um conceito que se aplica aos vetores do plano, da mesma forma
como é aplicado aos vetores do espaço, mas o mesmo não acontece com o produto
vetorial e o produto misto, os quais não tem interpretação geométrica no plano.
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  • 1. 36 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 4 PRODUTOS Nos capítulos anteriores geométricas também os conceitos chamadas de foram introduzidos Espaços Vetorias: para o Plano duas regiões Geométrico, representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço). No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o caso, voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico. 1 Produto Escalar Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores, denotado por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde 0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre u e v . Propriedades 1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais, ou seja, θ = 90o. 2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u 3) u ⋅ u = | u |2 4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ 5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w 1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Por definição temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos co-senos temos: cos θ = | u + v |2 − | u |2 − | v |2 . Substituindo, temos: 2 | u || v |
  • 2. 37 u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ | u + v |2 − | u |2 − | v |2 | u + v |2 − | u |2 − | v |2 ⇒ u⋅v = ⇒ 2 | u || v | 2 u⋅v = 2 2 2 (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 ) 2 2 2 ⇒ 2 u⋅v = 2 2 2 2 2 2 (x1 + 2x1x2 + x2 ) + (y1 + 2y1y2 + y2 ) + (z1 + 2z1z2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 ) 2 2 2 2 2 2 2 u⋅v = 2 2 2 2 2 2 (x1 + y1 + z1 ) + (x2 + y2 + z2 ) + 2(x1x2 + y1y2 + z1z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 ) 2 2 2 2 2 2 2 u ⋅ v = x1x2 + y1y2 + z1z2 Exemplo (1): Sejam u = (−2,3,8), v = (0,2,−1) e w = (1,−2,1) . a) Determine u ⋅ v . b) Os vetores u e w são ortogonais? Solução: a) u ⋅ v = −2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−1) = 0 + 6 − 8 = −2 ⇒ u ⋅ v = −2 b) Para que os vetores u e w sejam ortogonais é necessário que u ⋅ w = 0 . De fato, u ⋅ w = −2 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−2) + 8 ⋅ 1 = −2 − 6 + 8 = 0 . Exemplo (2): Os vetores u , v e w , com u = 4 e v = 15 , determinam o triângulo abaixo. Determine o produto escalar entre os vetores u e w . w u 60 o v Solução: Pela figura temos que u + w = v e o ângulo entre u e v é θ = 60o . Multiplicando escalarmente pelo vetor u ambos o lado desta igualdade vem que: u ⋅ (u + w ) = u ⋅ v . Aplicando a definição do produto escalar e suas propriedades temos: ⇒ u ⋅ u + u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos θ u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos 60 o − u 2 ⇒ u ⋅ w = 4 ⋅ 15 ⋅ u 2 + u ⋅ w = u ⋅ v ⋅ cos θ 1 − 42 ⇒ u ⋅ w = 14 2 ⇒
  • 3. 38 1.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar Sejam dois vetores u e v , sendo | u | = 1 , ou seja, u é um versor. Sejam ainda, a e b ortogonais entre si, com v = a + b . Vamos projetar o vetor v na direção do vetor u . v b a v proju u Na figura acima, temos que a projeção do vetor v na direção do vetor u é v v denotada por proju , a qual é igual ao vetor a = proju . Como a é paralelo a u , então a = αu . Sendo b é ortogonal a u , então b ⋅ u = 0 . Multiplicando escalarmente por u a expressão v = a+b v a = proju = α ⋅ u = u⋅v 2 1 temos: u ⋅ v = α ⋅ (u ⋅ u) + b ⋅ u . Então α= u⋅v . | u |2 Logo: v v ⋅ u ⇒ proju = (u ⋅ v) ⋅ u . Portanto, proju = (u ⋅ v) ⋅ u = u ⋅ v ⋅ u ⇒ v proju = u ⋅ v . Isso significa que o produto escalar, em módulo, entre os vetores u e v , é o tamanho da projeção do vetor v na direção do versor u . Para dois vetores u e v , quaisquer, podemos definir a expressão da projeção v de um vetor na direção do outro como sendo: proju = u⋅v | u |2 ⋅ u . Note que o resultado desta expressão é um vetor, o qual é a projeção do vetor v na direção do vetor u . 1.3 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois u = AB e v = CD , vetores não nulos, é o ângulo θ = ang(u, v) = BPD entre os segmentos orientados que representam os vetores, com a restrição 0o ≤ θ ≤ 180o , quando os vetores são transportados para um ponto P, de tal forma que suas origens coincidam com este ponto P. D D A u B v u θ P≡A≡C C B v
  • 4. 39 Podemos determinar o ângulo θ entre os vetores u e v através da expressão do produto escalar. Da expressão u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ segue que cos θ = u⋅v . Logo, |u| ⋅| v |  u⋅v  θ = arccos  | u | ⋅ | v | .    Exemplo (3): Dados os vetores u = (2,−1,3) e v = (−2,1,2) . Determine: a) O ângulo entre u e v . b) A projeção do vetor u na direção do vetor v . Solução: a) cos θ = cos θ = u⋅v 2 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 − 4 − 1 + 6 1 14 ⇒ cos θ = = = = . Como |u|⋅| v | 42 4 +1+9 ⋅ 4 +1+ 4 14 ⋅ 9 3 14  14  14 . , o ângulo θ não é um arco notável. Então, θ = arccos  42  42   b) proju = v −4 − 1 + 6 1 ⋅ (−2,1,2) = ⋅ (−2,1,2) . ⋅ v ⇒ proju = v 4 +1+ 4 9 |v| u⋅v 2  2 1 2 Portanto: proju =  − , ,  . v  9 9 9 Exemplo (4): Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores u = (3,1,−1) e v = (−1,1,1) . Solução: Seja w = (x, y, z) . Como w é unitário, então | w | = 1 . Como w é ortogonal aos vetores u e v , tem-se: w ⋅ u = 0 e w ⋅ v = 0 . De onde vem: w ⋅ u = 0 ⇒ (x, y, z) ⋅ (3,1,−1) = 0 ⇒ 3x + y − z = 0 w ⋅ v = 0 ⇒ (x, y, z) ⋅ (−1,1,1) = 0 ⇒ −x + y + z = 0 3x + y − z = 0 . Da primeira equação vem que z = 3x + y  − x + y + z = 0 (*). Substituindo na segunda equação temos que −x + y + 3x + y = 0 ⇒ x = −y . Substituindo x = −y em (*) vem que z = 3(−y) + y ⇒ z = −2y . | w | = x2 + y2 + z2 = (−y)2 + y2 + (−2y)2 = 1 ⇒ 6y2 = 1 ⇒ y = ± para y = + x = −y ⇒ x = − 6  6 6 6 6  6  ou ⇒  ⇒ w = − , ,−  6 6 6 6 3  z = −2y ⇒ z = − 3    para y = − x = −y ⇒ x = 6  6 6 6 6  6  ⇒  ⇒ w= ,− ,  6 6 6 6 3  z = −2y ⇒ z = 3    6 . Fazendo: 6
  • 5. 40 Exemplo (5): Determine um vetor u tal que u ⋅ v = u ⋅ w = 1 e | u | = 22 , onde v = (1,1,0) e w = (2,1,−1). Solução: Seja u = (x, y, z) . u ⋅ w = (x, y, z) ⋅ (2,1,−1) = 1 ⇒ Então: ⇒ u ⋅ v = (x, y, z) ⋅ (1,1,0) = 1 2x + y − z = 1 . Daí vem que: x+y =1 e x + y = 1 . Da  2x + y − z = 1 primeira equação vem que x = 1 − y (*). Substituindo na segunda equação temos que 2(1 − y) + y − z = 1 ⇒ z = 1 − y . Como | u | = (1 − y)2 + y 2 + (1 − y)2 = 22 ⇒ | u | = x2 + y2 + z2 = 22 22 ⇒ 3y 2 − 4y + 2 = 22 ⇒ ⇒ 3y 2 − 4y − 20 = 0 . Resolvendo a equação do 2º grau determinamos as suas raízes y = −2 e y' = 10 . 3 Fazendo: x = 1 − y ⇒ x = 3 para y = −2 ⇒  ⇒ u = (3,−2,3) ou z = 1 − y ⇒ z = 3 x = 1 − y ⇒ x = − 7  3 ⇒ u =  − 7 , 10 ,− 7  . para y' = 10 ⇒    7 3 3  3 3 z = 1 − y ⇒ z = − 3  Exercícios Propostos: 1) Determine a projeção do vetor u = (−2,3,1) na direção do vetor v = (1,1,2) . 1 1  Resp: proju =  , ,1 v 2 2  2) Sejam os vetores a = (1,−m,−3), b = (m + 3,4 − m,1) e c = (m,−2,7) . Determine m ( ) para que seja verdadeira a expressão a ⋅ b = a + b ⋅ c . Resp: m = 2 3) Dados | u | = 4, | v | = 3 e w um vetor unitário com: u ortogonal a v , o ângulo entre (u, w) é 4) Dados 2π π e o ângulo entre (v, w) é , calcule | u − v + w |2 . 3 3 u = (−1,2,−3) e w = (2,1,−1) , a // w, b ⊥ w e u = a + b . determine os vetores Resp: 33 aeb tais que: 3 5  1 1  Resp: a = 1, ,−  e b =  − 2, ,−  2 2  2 2  5) Os módulos dos vetores a e b são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles é 60o. Calcule o ângulo entre os vetores a + b e a − b . 6) Demonstre, vetorialmente, o Teorema de Pitágoras.  21   Resp: θ = arccos  7   
  • 6. 41 2 Produto Vetorial Definição: Sejam os vetores u e v . O produto vetorial entre esses vetores, denotado por u × v , é um vetor com as seguintes características: i) Módulo: | u × v | = | u | ⋅ | v | ⋅ sen θ , onde θ é o ângulo entre u e v . ii) Direção: normal ao plano que contém u e v . iii) Sentido: regra da mão direita. 2 1  v ×u v v u u u× v A regra da mão direita diz, no quadro 1, que com a palma da mão estendida na direção e sentido do vetor v , fechado os dedos na direção do vetor u (linha tracejada), o polegar ficará apontado para cima, indicando o sentido de v × u . No quadro 2, com a palma da mão estendida na direção e sentido do vetor u , fechando os dedos na direção do vetor v , o polegar ficará apontado para baixo, indicando o sentido de u × v . Podemos notar que v × u = −u × v . Portanto: u× v v u v ×u Propriedades 1) u × v = 0 se, e somente se, um deles é o vetor nulo ou se u e v têm a mesma direção. Consequentemente u × u = 0 . 2) Anti-comutativa: u × v = −v × u (não vale a comutativa: u × v ≠ v × u ) 3) (mu) × (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u × v) a direita : (u + v) × w = u × w + v × w 4) Distributiva  a esquerda : w × (u + v) = w × u + w × v (u × v) × w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u 5) Duplo Produto Vetorial:  u × (v × w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v)w
  • 7. 42 2.1 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Temos que: i × j = −j × i = k   (*):  j × k = −k × j = i . Então: u × v = (x1 i + y1 j + z1k) × (x2 i + y2 j + z2k) . Aplicando a k × i = − i × k = j   propriedade distributiva, teremos: u × v = (x1x 2 )( i × i ) + (x1y 2 )( i × j) + (x1z2 )( i × k) + (y1x 2 )( j × i ) + (y1y 2 )( j × j) + (y1z2 )( j × k) + (z1x 2 )(k × i ) + (z1y 2 )(k × j) + (z1z2 )(k × k) Da definição de produto vetorial e de (*), tem-se: u × v = (x1x 2 )(0) + (x1y 2 )(k) + (x1z2 )(− j) + (y1x 2 )(−k) + (y1y 2 )(0) + (y1z2 )( i ) + + (z1x 2 )( j) + (z1y 2 )(− i ) + (z1z2 )(0) u × v = (y1z2 − y2z1) i + (x2z1 − x1z2 ) j + (x1y2 − x2y1)k . Note que a expressão anterior é i o desenvolvimento do seguinte determinante: u × v = x1 x2 j y1 y2 k z1 z2 Exemplo (6): Sejam u = (2,1,−1) e v = (5,−2,1) . Determine u × v . i Solução: u × v = x1 x2 j y1 y2 k i j k z1 ⇒ u × v = 2 1 − 1 = i − 5 j − 4k − 5k − 2 i − 2 j ⇒ z2 5 −2 1 u × v = − i − 7 j − 9k . 2.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial Sejam dois vetores u e v , não nulos e não paralelos. Logo eles determinam um paralelogramo. Área do paralelogramo: A P = b × h , onde: b =| u | e sen θ = h ⇒ h =| v | ⋅ sen θ |v| Logo, AP =| u | . | v | ⋅ sen θ ⇒ AP =| u × v | v θ h u Pela figura podemos ver que, metade do paralelogramo é um triângulo determinado pelos vetores u e v , portanto a área do triângulo é dada por: AT = |u× v| 2
  • 8. 43 Exemplo (7): Determine o vetor v do ℜ3 que satisfaça as seguintes condições: v ⋅ (3 i + 2 j) = 6 e v × (2 j + 3k) = 2 i . Solução: Seja v = (x, y, z) . Então: v ⋅ (3 i + 2 j) = 6 ⇒ (x, y, z) ⋅ (3,2,0) = 6 (x, y, z) × (0,2,3) = (2,0,0) (3y − 2z,−3x, 2x) = (2,0,0) ⇒ ⇒ 3x + 2y = 6 i j k x y z = (2,0,0) 0 2 3 ⇒ ⇒ 3y − 2z = 2  − 3x = 0 ⇒ x = 0 . 2z = 0 ⇒ x = 0  v × (2 j + 3k) = 2 i e (3y − 2z) i − 3x j + 2xk = (2,0,0) Logo temos o ⇒ ⇒ sistema 7  3y − 2z = 2 ⇒ z = 2 7   . Portanto o vetor procurado é v =  0,3,  . x = 0 2  3x + 2y = 6 ⇒ y = 3   Exemplo (8): Os vértices de um triângulo são os pontos A (− 1,2,4) , B(3,−3,4) e C(− 1,6,1) . Determine a altura relativa ao vértice B. Solução: A área A T do triângulo pode ser escrita de duas formas: AT = | AC | ⋅h | AB × AC | b ⋅ h | AB × AC | = = ⇒ ⇒ 2 2 2 2 AB B h A i j k | AB × AC | h= ⇒ AB × AC = 4 − 5 0 = 15 i + 12 j + 16k ⇒ | AC | 0 4 −3 | AB × AC | = 152 + 122 + 162 = 25 h= | AB × AC | ⇒ h= | AC | e | AC |= 02 + 42 + (−3)2 = 5 . C AC Portanto, 25 ⇒ h = 5 u.c. 5 Exemplo (9): Demonstre vetorialmente que a área de um triângulo equilátero de lado m é A = 3 2 m . 4 Solução: Vetorialmente a área de qualquer triângulo é dada por: A T = |u× v| , onde 2 u e v são os dois vetores que determinam o triângulo. Como o triângulo é equilátero seus lados são todos iguais e seus ângulos internos todos iguais a θ = 60o . Então: | u | = | v | = m . Por definição temos:
  • 9. 44 AT = |u× v| | u | ⋅ | v | ⋅ sen 60o ⇒ AT = 2 2 m⋅m⋅ AT = 2 3 2 ⇒ A = T v 60 o u 3 2 m 4 Exercícios Propostos 1) Sejam A(1,3,-4), B(5,-3,2) e C(3,1,0) vértices de um triângulo ABC. Sejam P e Q pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. Determine a área do trapézio Resp: A = APQC. 2) Sejam os vetores u = (1,2,0), v = (3,1,1) e w = (−1,2,−2) . 3 11 u.a. 2 Os vetores {u , u × v, w × (u × v)} são LI ou LD? Resp: LI 3) Dados os vetores u = (3,−1,2) e v = (2,3,0) , determine um vetor w w ⋅ u = −2 e w × v = (3,−2,−3) . tal que Resp: w = (1,3,−1) 4) Calcular a área do paralelogramo ABCD, sabendo-se que suas diagonais são os vetores AC = (−1,3,4) e BD = (1,−1,2) . Resp: A = 35u.a. 5) Determine o valor de z, sabendo-se que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,z) são vértices de um triângulo de área igual a 6. Resp: z = ±4 a) (u × v) × w = (u ⋅ w)v − (v ⋅ w)u 6) Demonstre as fórmulas do duplo produto vetorial  . b) u × (v × w) = (u ⋅ w)v − (u ⋅ v)w (sugestão: Para demonstrar (b), suponha verdadeira (a) e vice-versa) 7) Mostre que | u × v |2 =| u |2| v |2 −(u ⋅ v)2 3 Produto Misto Definição: O Produto Misto entre os vetores u, v e w é um número real, denotado e definido por [u, v, w] = u ⋅ (v × w) . 3.1 Expressão Cartesiana do Produto Misto Sejam u = x1 i + y1 j + z1k, v = x2 i + y2 j + z2k e w = x3 i + y3 j + z3k . Então: v × w = (y2z3 − y3z2 ) i + (x3z2 − x2z3 ) j + (x2y3 − x3y2 )k [u, v, w] = u ⋅ (v × w) = (x1, y1, z1) ⋅ (y2z3 − y3z2 ) i + (x3z2 − x2z3 ) j + (x2y3 − x3y2 )k =
  • 10. 45 = x1 ⋅ (y2z3 − y3z2 ) + y1 ⋅ (x3z2 − x2z3 ) + z1 ⋅ (x2y3 − x3y2 ) . Esta expressão é igual ao x1 y1 z1 desenvolvimento do determinante: [u, v, w] = x2 y2 z2 . x3 y3 z3 Propriedades 1) [u, v, w] = 0 ⇔ um deles é o vetor nulo ou se os vetores são coplanares. 2) [u, v, w] = − [v, u, w] = + [v, w, u] = ... 3) [u + a, v, w] = [u, v, w] + [a, v, w] 4) [αu, v, w] = α ⋅ [u, v, w] 3.2 Interpretação Geométrica Módulo do Produto Misto Sejam u, v e w . Então [u, v, w] = u ⋅ (v × w) = | u | ⋅ | v × w | ⋅ cos θ , onde θ é o ângulo entre os vetores u e v × w . Na figura abaixo temos um paralelepípedo determinado vetores pelos três u, v e w . Vamos calcular o volume deste paralelepípedo denotado por VP . v×w u θ h w θ v O produto misto [u, v, w] de vetores LI é igual em módulo ao volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores u, v e w . O volume VP = Ab ⋅ h , onde área da base Ab é um paralelogramo determinado pelos vetores v e w . Então: Ab = | v × w | . No triângulo retângulo da figura temos: cos θ = VP =| u | ⋅ | v × w | ⋅ cos θ , ou seja, Portanto: h . Logo, h =| u | ⋅ cos θ . |u| VP = [u, v, w] . Note que os vetores u, v e w , determinam também um tetraedro, cujo volume é VT = VT = [u, v, w] 6 u w v 1 VP , ou seja, 6
  • 11. 46 Exemplo (10): Determine o volume do tetraedro de vértices A(2,1,3), B(2,7,4), C(3,2,3) e D(1,-2,3). Solução: Os três vetores que determinam este tetraedro poderiam ser AB, AC e AD . [AB, AC, AD] Como AB = (0,6,1) , AC = (1,1,0) , AD = (−1,−3,0) VT = e , 6 então; B 0 6 1 | −2 | 1 [AB, AC, AD] = 1 1 0 = −2 ⇒ VT = ⇒ VT = u.v. 6 3 −1 −3 0 AB D AD A AC C Exemplo (11): Um tetraedro ABCD tem volume igual a 3 u.v. Sendo A(4,3,1), B(6,4,2) e C(1,5,1), determine o vértice D que pertence ao eixo Ox. Solução: Como D é um ponto do eixo Ox, então D(x,0,0). Sejam AB, AC e AD os vetores que determinam o tetraedro. AB = (2,1,1) , Como [AB, AC, AD] AD = (x − 4,−3,−1) e VT = [AB, AC, AD] = −2x + 10 = 3 vem que: [AB, AC, AD] = 6 ⇒ VT = − 2x + 10 6 AC = (−3,2,0) , 2 1 1 −3 2 0 x − 4 −3 −1 x = −4 = 3 ⇒ − 2x + 10 = ±18 ⇒  . x = 14 Portanto, D(-4,0,0) ou D(14,0,0). Exemplo (12): Seja um tetraedro de vértices A(2,0,2), B(0,4,2), C(2,6,4) e D(4,4,0). Determine a altura relativa ao vértice C. Solução: Os vetores que determinam o tetraedro são AB , AC e AD . Da teoria de geometria espacial temos que o volume de um tetraedo é dado por VT = 1 Ab ⋅ h , 3 onde Ab é área da base do tetraedro e h a sua altura. Como a área da base é um triângulo determinado pelos vetores AB e AD , então Ab = | AB × AD | . Do Cálculo 2 C [AB, AC, AD] Vetorial temos que VT = 6 . D A Ab h B
  • 12. 47 [AB, AC, AD] Então: VT = 6 [AB, AC, AD] h= AB × AD 1 Ab ⋅ h 3 [AB, AC, AD] ⇒ = 6 1 ⋅ 3 AB × AD 2 ⋅h ⇒ AB = (−2,4,0)   . Como AC = (0,6,2) ⇒ AD = (2,4,−2)   −2 4 [AB, AC, AD] = = 0 6 0 i j 2 = 56 e AB × AD = − 2 4 2 4 −2 k 0 ⇒ AB × AD = −8 i − 4 j − 16k . 2 4 −2 Logo | AB × AD | = 336 = 4 21 . Portanto: h = 56 4 21 ⇒h= 2 21 u.c. 3 Exercícios Propostos 1) Determine os valores de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores a = (2,−3,0), b = (1, m,−1) e c = (3,0,−1) , tenha volume igual a 2 . 3 Resp: m = 1 ou m = 5 2) Sendo A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,5,0), D(3,5,0) e E(3,5,5), determine o volume da E figura abaixo. A B C Resp: V = 25 u.v. D 3) Determinar o valor de R = u ⋅ (v × w) − [v ⋅ (u + w) + 5u ⋅ w] para u = (1,2,3), v = (2,4,0) e w = (−1,3,−1) . Resp: R = 0 4) Determine o vetor u = (m − 1, m, m + 1) , para que os vetores {u, v, w} sejam coplanares, onde v = (0,3,3) e w = (4,1,−1) . Resp: u = (−2,−1,0) 5) Sejam u = (2,2,1), v = (−2,0,−3) e w = (1,−2,3) . Verificar a dependência linear dos vetores { u, v, w] ⋅ (u + v), [u, w, v] ⋅ (u + w), [w, u, v] ⋅ (v + w)}. [ Resp: LI 6) Provar que [u + v, v + w, u + w] = 2[u, v, w] COMENTÁRIOS IMPORTANTES 1) Só existem três operações básicas aplicadas aos vetores que são: adição, subtração e multiplicação por escalar, como vimos no capítulo 2. Os produtos estudados neste capítulo são importantes, mas não confundir com as operações básicas, ou seja, não existe multiplicação entre vetores, logo também não existem a divisão, potenciação e radiciação de vetores. 2) Não confundir produto por escalar com produto escalar. Apesar de usarmos o mesmo símbolo (•) para as duas operações, eles têm significados diferentes, ou seja:
  • 13. 48 α • v (produto por escalar ou multiplicação por escalar, cujo resultado é um vetor) e u • v (produto escalar, cujo resultado é um número real). 3) O mesmo cuidado devemos ter com o produto vetorial. Sabemos que não existe multiplicação, nem divisão e muito menos potenciação entre vetores. Logo, não v existem as notações ou v 2 = v ⋅ v . Não confundir o produto escalar ( v ⋅ u ) ou u produto vetorial ( v × u ) entre dois vetores com multiplicação entre vetores. Portanto, v ⋅ v ≠ v × v ≠ v 2 , pois, v ⋅ v =| v |2 , v × v = 0 e v2 não existe. 4) No início deste capítulo foi informado que alguns conceitos não são aplicados e não podem ser interpretados geometricamente para vetores do plano (ℜ2) e que, de agora em diante, eles serão introduzidos somente para vetores do espaço (ℜ3). Pois bem, o produto escalar é um conceito que se aplica aos vetores do plano, da mesma forma como é aplicado aos vetores do espaço, mas o mesmo não acontece com o produto vetorial e o produto misto, os quais não tem interpretação geométrica no plano. (verifique!)