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esolução de equações

EQUAÇÕES DO 1º GRAU
EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões
onde, pelo menos numa delas, figura
uma ou mais letras .
3x+5=2-x+4
Sou equação

3
x − 2 + 3 x = −4 − x
2
1º membro
membro

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação
3
• termos: x ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x
2

• incógnita: x
2º

• termos com incógnita: 3x ; - x ;
• termos independentes: -2 ; -4

3
x
2
Solução de uma equação:

3 x = 18

é um número que colocado no
lugar da incógnita transforma
a equação numa igualdade
numérica verdadeira
6

SOLUÇÃO

3 × 6 = 18 proposição verdadeira

x + 7 = 12
5

SOLUÇÃO

20 − x = 15
5

Mesmo conjunto solução
Equações equivalentes:

SOLUÇÃO

x + 7 = 12 ⇔ 20 − x = 15
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
Equações sem parênteses e sem denominadores

5 x − 6 = 3x + 4
⇔ 5x

⇔
⇔
⇔

⇔

− 3x = + 6 + 4 ⇔

2 x = 10

⇔

2 x 10
=
2
2
x=5
Conjunto solução

⇔

= { 5}

•Resolver uma equação é
determinar a sua solução.
•Numa equação podemos mudar
termos de um membro para o
outro, desde que lhes
troquemos o sinal
•Num dos membros ficam os
termos com incógnita e no
outro os termos independentes
•efectuamos as operações.
•Dividimos ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita.
•Determinamos a solução.
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
parênteses
trocando os sinais dos
− ( 2 x + 2 − 3 x − 5) = − 2 x − 2 + 3 x + 5 termos que estão dentro
•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
mantendo os sinais que
+ ( − 3 x − 2 + 5 x − 1) = −3 x − 2 + 5 x − 1
estão dentro.
•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,
aplicando a propriedade
distributiva.

− 2( − 3x + 3 + x − 1) = + 6 x − 6 − 2 x + 2
Como resolver uma equação com parênteses.

− ( − 2 x + 1) − 3( 5 x − 2 ) = − 6 + ( − x + 8) ⇔

⇔ 2 x − 1 − 15 x + 6 = −6 − x + 8 ⇔
⇔ 2 x − 15 x + x = 1 − 6 − 6 + 8 ⇔
⇔ −12 x = −3

⇔

⇔ −12 x = −3 ⇔

− 12

⇔

1
x=
4

− 12

1 
C.S =  
4

•Eliminar
parênteses.
•Agrupar os
termos com
incógnita.
•Efectuar as
operações

•Dividir ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita
•Determinar a solução, de
forma simplificada.
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
1
2x
3+ x
−
+
=
2 ( 6 ) 4 ( 3)
3 ( 4)

⇔

6 6 x 12 + 4 x
− +
=
12 12
12
− 6 + 6x
12 + 4 x
=
12
12

⇔

⇔
⇔

⇔

⇔ −6 + 6 x = 12 + 4 x ⇔
⇔ 6 x − 4 x = 6 +12 ⇔
⇔ 2 x = 18 ⇔
⇔

18
x=
=9
2

•Começamos por reduzir todos os
termos ao mesmo denominador.

•Duas fracções com o mesmo
denominador são iguais se os
numeradores forem iguais.
•Podemos tirar os
denominadores desde que sejam
todos iguais.
Sinal menos antes de uma fracção

− 3 x + 2 − 5 x − 3 •O sinal menos que se encontra antes da
−
fracção afecta todos os termos do numerador.
2
Esta fracção pode
ser apresentada da
seguinte forma

3x 2 5 x 3
− +
+
2 2 2 2

1 − 2x
1− x
⇔
= 8−
3
2
1 − 2x
1
x
⇔
= 8− +
⇔
3
2
2
1
(2)

(6) (3)

(3)

⇔
− 4 x − 3 x = −2 + 48 − 3 ⇔

•Começamos por “desdobrar” a
fracção que tem o sinal menos
antes.(atenção aos sinais!)
•Reduzimos ao mesmo
denominador e eliminamos os
denominadores.

⇔
⇔

2 − 4 x = 48 − 3 + 3 x

⇔

43
43
− 7 x = 43 ⇔ x =
⇔x =−
−7
7
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

•Devemos começar por eliminar os parênteses e
depois os denominadores

2x + 1
 x −1  x
− 3
+ = −
3
 2  2

−3 x 3 x
2x 1
⇔
+ + =−
− ⇔
2(3) 2 2(3) 3 3
(3)

(2)

(2)

⇔ −9 x + 9 + 3x = −4 x − 2 ⇔ −9 x + 3x + 4 x = −9 − 2 ⇔
⇔ −2 x = −11 ⇔
11 
C.S.=  
2

−11
x=
⇔
−2

11
x=
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  • 2. EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras . 3x+5=2-x+4 Sou equação 3 x − 2 + 3 x = −4 − x 2 1º membro membro 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação 3 • termos: x ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x 2 • incógnita: x 2º • termos com incógnita: 3x ; - x ; • termos independentes: -2 ; -4 3 x 2
  • 3. Solução de uma equação: 3 x = 18 é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira 6 SOLUÇÃO 3 × 6 = 18 proposição verdadeira x + 7 = 12 5 SOLUÇÃO 20 − x = 15 5 Mesmo conjunto solução Equações equivalentes: SOLUÇÃO x + 7 = 12 ⇔ 20 − x = 15
  • 4. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
  • 5. Equações sem parênteses e sem denominadores 5 x − 6 = 3x + 4 ⇔ 5x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − 3x = + 6 + 4 ⇔ 2 x = 10 ⇔ 2 x 10 = 2 2 x=5 Conjunto solução ⇔ = { 5} •Resolver uma equação é determinar a sua solução. •Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal •Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes •efectuamos as operações. •Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. •Determinamos a solução.
  • 6. EQUAÇÕES COM PARÊNTESES • simplificação de expressões com parênteses: •Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses parênteses trocando os sinais dos − ( 2 x + 2 − 3 x − 5) = − 2 x − 2 + 3 x + 5 termos que estão dentro •Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que + ( − 3 x − 2 + 5 x − 1) = −3 x − 2 + 5 x − 1 estão dentro. •Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. − 2( − 3x + 3 + x − 1) = + 6 x − 6 − 2 x + 2
  • 7. Como resolver uma equação com parênteses. − ( − 2 x + 1) − 3( 5 x − 2 ) = − 6 + ( − x + 8) ⇔ ⇔ 2 x − 1 − 15 x + 6 = −6 − x + 8 ⇔ ⇔ 2 x − 15 x + x = 1 − 6 − 6 + 8 ⇔ ⇔ −12 x = −3 ⇔ ⇔ −12 x = −3 ⇔ − 12 ⇔ 1 x= 4 − 12 1  C.S =   4 •Eliminar parênteses. •Agrupar os termos com incógnita. •Efectuar as operações •Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita •Determinar a solução, de forma simplificada.
  • 8. EQUAÇÕES COM DENOMINADORES 1 2x 3+ x − + = 2 ( 6 ) 4 ( 3) 3 ( 4) ⇔ 6 6 x 12 + 4 x − + = 12 12 12 − 6 + 6x 12 + 4 x = 12 12 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −6 + 6 x = 12 + 4 x ⇔ ⇔ 6 x − 4 x = 6 +12 ⇔ ⇔ 2 x = 18 ⇔ ⇔ 18 x= =9 2 •Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador. •Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. •Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.
  • 9. Sinal menos antes de uma fracção − 3 x + 2 − 5 x − 3 •O sinal menos que se encontra antes da − fracção afecta todos os termos do numerador. 2 Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma 3x 2 5 x 3 − + + 2 2 2 2 1 − 2x 1− x ⇔ = 8− 3 2 1 − 2x 1 x ⇔ = 8− + ⇔ 3 2 2 1 (2) (6) (3) (3) ⇔ − 4 x − 3 x = −2 + 48 − 3 ⇔ •Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) •Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores. ⇔ ⇔ 2 − 4 x = 48 − 3 + 3 x ⇔ 43 43 − 7 x = 43 ⇔ x = ⇔x =− −7 7
  • 10. EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES •Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores 2x + 1  x −1  x − 3 + = − 3  2  2 −3 x 3 x 2x 1 ⇔ + + =− − ⇔ 2(3) 2 2(3) 3 3 (3) (2) (2) ⇔ −9 x + 9 + 3x = −4 x − 2 ⇔ −9 x + 3x + 4 x = −9 − 2 ⇔ ⇔ −2 x = −11 ⇔ 11  C.S.=   2 −11 x= ⇔ −2 11 x= 2