O documento discute os três casos possíveis para a resolução de equações do segundo grau dependendo do valor de Delta (Δ). Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais distintas. Se Δ = 0, a equação tem uma raiz real dupla. Se Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Exemplos ilustram cada caso.

2. A resolução de uma equação do
segundo grau dependerá do valor de Δ,
exclusivamente. Então, dada a forma
genérica da equação do segundo grau:
ax² +bx + c = 0 [(∀a, b, c) ∈ IR; a ≠ 0,
devemos considerar três casos:

3. Primeiro caso: Δ > 0
Neste caso, a equação proposta
admitirá duas raízes reais e
distintas:
∆ > 0
x′ ≠ 𝑥"
⇒ 𝑆 =
− 𝑏 − ∆
2𝑎
,
− 𝑏 + ∆
2𝑎

4. Segundo caso: Δ = 0
Neste caso, a equação proposta
admitirá duas raízes reais
e idênticas:
∆ = 𝟎
x′ = 𝒙"
⇒ 𝑺 =
− 𝒃
𝟐𝒂
,

5. Terceiro caso: Δ < 0
Neste caso, U = IR, a equação proposta
não admitirá raízes no campo IR:
∆ < 𝟎
∄ x′, 𝒙"
⇒ 𝑺 = ou ∅
Diz-se que as raízes são imaginárias.

6. Exemplo 1
Discuta em IR a existência ou não das raízes das seguintes
equações do segundo grau.
a) X² - 7x + 10 = 0
Solução:
𝒂 = 𝟏
𝒃 = −𝟕
𝒄 = 𝟏𝟎
∆ = −𝟕 𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 10 = 49 - 40 = 9 => ∆ > 0
Se ∆ > 0, então a equação proposta admitirá duas raízes
reais e distintas.

7. Resolver o restante

8. b) t² - 4t + 4 = 0
Solução:
Se ∆ = 0, então a equação proposta admitirá duas raízes
reais e idênticas

9. Para que valores de k a equação: 3x² - 2x – k = 0
Admite:
𝑎) 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
𝑏) 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑒 𝑖𝑑ê𝑛𝑡𝑐𝑎𝑠
𝑐) 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎𝑠

10. Exercícios
1) Discuta em IR a existência das raízes:
a) 3x² - 7x + 4 = 0
b) y² - 3y + 9 = 0
c) t² - 6t + 9 = 0
2) Para que valores de K, a equação :
a) 3x² - 7x - 2k +3 = 0 admite raízes reais e distintas?
b) kx² - 3x + 1 = 0 admite raízes reais e idênticas?
c) kx² - (4k + 2)x + 4k – 3 = 0 admite raízes reais?