O documento discute o Método de Dedução Natural, um sistema formal para provar argumentos lógicos. 1) O método caracteriza-se por regras de inferência ao invés de axiomas. 2) As regras incluem introdução e eliminação de conectivos lógicos como conjunção e implicação. 3) Provas podem ser representadas por árvores mostrando a aplicação das regras.
O documento discute os conceitos de orbitais, hibridização e tipos de ligação. Resume que orbitais representam regiões de maior probabilidade de encontrar elétrons e que a hibridização mistura orbitais atômicos originando novos orbitais híbridos que determinam a geometria molecular. Ligações podem ser sigma ou pi dependendo da sobreposição dos orbitais envolvidos.
Resumo a lógica matemática para concursosLuiz Ladeira
Este é resumo que fiz para o concurso de lógica matemática da CEMIG segue a matéria pedida com alguns resumos que os ajudaram um melhor entendimento, lembrando este é o resumo de minha autoria baseado no livro de
Uma breve aula sobre teoria dos conjuntos, aula que ministro para alunos de ENEM, concursos militares e matemática para negócios. Visite nosso site e conheça mais a Coens Cursos e Concursos.
O documento introduz conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, frequência relativa e interpretação frequentista de probabilidade. Resolve um exercício sobre as propriedades da frequência relativa.
O documento descreve a Teoria da Ligações de Valência (TLV), que explica a formação de ligações covalentes considerando os orbitais atômicos. A TLV introduz os conceitos de hibridização de orbitais para explicar as geometrias de moléculas com mais de duas ligações, gerando orbitais híbridos sp, sp2, sp3 e sp3d.
Este documento descreve os cinco postulados de Euclides e conceitos geométricos básicos como planos, retas, ângulos e posições relativas. Explica propriedades de paralelismo entre retas e planos, retas perpendiculares a planos, e planos perpendiculares. Também define plano mediador de um segmento de reta.
Apresentação feita por alunos do 2º semestre de Sistemas de Informações da Faculdade de Juazeiro do Norte (FJN) na disciplina de Matemática Discreta II.
Este documento discute distribuições de probabilidade discretas, incluindo a distribuição binomial, Poisson e hipergeométrica. Apresenta exemplos e fórmulas para calcular probabilidades nestas distribuições.
O documento discute os conceitos de orbitais, hibridização e tipos de ligação. Resume que orbitais representam regiões de maior probabilidade de encontrar elétrons e que a hibridização mistura orbitais atômicos originando novos orbitais híbridos que determinam a geometria molecular. Ligações podem ser sigma ou pi dependendo da sobreposição dos orbitais envolvidos.
Resumo a lógica matemática para concursosLuiz Ladeira
Este é resumo que fiz para o concurso de lógica matemática da CEMIG segue a matéria pedida com alguns resumos que os ajudaram um melhor entendimento, lembrando este é o resumo de minha autoria baseado no livro de
Uma breve aula sobre teoria dos conjuntos, aula que ministro para alunos de ENEM, concursos militares e matemática para negócios. Visite nosso site e conheça mais a Coens Cursos e Concursos.
O documento introduz conceitos básicos de probabilidade, incluindo experimentos aleatórios, espaço amostral, eventos, frequência relativa e interpretação frequentista de probabilidade. Resolve um exercício sobre as propriedades da frequência relativa.
O documento descreve a Teoria da Ligações de Valência (TLV), que explica a formação de ligações covalentes considerando os orbitais atômicos. A TLV introduz os conceitos de hibridização de orbitais para explicar as geometrias de moléculas com mais de duas ligações, gerando orbitais híbridos sp, sp2, sp3 e sp3d.
Este documento descreve os cinco postulados de Euclides e conceitos geométricos básicos como planos, retas, ângulos e posições relativas. Explica propriedades de paralelismo entre retas e planos, retas perpendiculares a planos, e planos perpendiculares. Também define plano mediador de um segmento de reta.
Apresentação feita por alunos do 2º semestre de Sistemas de Informações da Faculdade de Juazeiro do Norte (FJN) na disciplina de Matemática Discreta II.
Este documento discute distribuições de probabilidade discretas, incluindo a distribuição binomial, Poisson e hipergeométrica. Apresenta exemplos e fórmulas para calcular probabilidades nestas distribuições.
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.numerosnamente
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano, incluindo referenciais ortonormados, distância entre pontos, equações de retas e circunferências, e conceitos básicos sobre vetores.
2. São definidos conceitos como ponto médio de um segmento, mediatriz de um segmento, elipses, semiplanos definidos por retas, círculos e suas partes, vetores, operações com vetores e coordenadas de vetores.
3. São apresentadas fórmulas e exemplos para calcular dist
O documento descreve conceitos fundamentais de eletrostática, como a descoberta da eletricidade no âmbar, a existência de cargas elétricas positivas e negativas em prótons e elétrons, e os processos de eletrização por atrito, contato e indução.
Escola Estadual Edwards
Três Lagoas, de março de 2009
Disciplina: História
Professora: Ana Maria Queiroz
Professor STE: José Miguel
Aluno(a):
Nº: Fase: Turma:
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
Este documento descreve os principais conceitos da Teoria de Ligações de Valência (TLV), incluindo: (1) a TLV foi a primeira descrição da ligação covalente em termos de orbitais atômicos; (2) a TLV explica a formação de ligações σ e π através da sobreposição de orbitais atômicos; (3) a teoria introduz o conceito de orbitais híbridos para explicar a geometria de moléculas.
Este documento fornece instruções de segurança para o manuseio de equipamentos elétricos, incluindo sempre solicitar ajuda do professor, manter a área de trabalho limpa e seca, e não tocar em fios ou equipamentos enquanto ligados. Também resume os principais conceitos elétricos como condutores, diferença de potencial, intensidade da corrente, resistência e a Lei de Ohm.
Exemplos de Questões de Física do Enem por Habilidades (Word) - Conteúdo vinc...Rodrigo Penna
Este documento apresenta exemplos de questões do ENEM para exemplificar as habilidades da matriz de física. As questões abordam tópicos como propriedades de fenômenos ondulatórios, eficiência de lâmpadas, consumo de energia elétrica doméstica, obtenção de combustíveis e processos de geração de energia.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Este documento apresenta 15 questões sobre eletrodinâmica e circuitos elétricos. As questões abordam tópicos como cálculo de corrente elétrica, lei de Ohm, resistência elétrica, efeitos da corrente elétrica no corpo humano. Há também questões sobre os componentes básicos de um circuito elétrico como bateria, resistor, motor elétrico e amperímetro.
1) A diferença de potencial entre dois pontos é definida como o trabalho realizado pela força elétrica para transportar uma carga entre esses pontos, dividido pela carga transportada.
2) Quando uma carga é deslocada perpendicularmente às linhas de força elétrica, sem trabalho realizado, os potenciais elétricos nos dois pontos são iguais.
3) A diferença de potencial é também chamada de tensão ou voltagem e sua unidade é o volt.
1) O documento aborda conceitos básicos de trigonometria, incluindo tipos de triângulos, teorema de Pitágoras, funções trigonométricas e suas relações no círculo trigonométrico.
2) São apresentados exemplos numéricos ilustrando aplicações das funções seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos.
3) As tabelas de valores notáveis e as relações fundamentais entre as funções trigonométricas são explicadas detalhadamente.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
1) O documento descreve os conceitos básicos de estatística descritiva, incluindo medidas de posição como média, mediana e percentis, e medidas de dispersão como amplitude, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) É apresentada uma tabela de dados com informações demográficas e salariais de 36 funcionários como um exemplo para ilustrar essas medidas estatísticas.
3) O documento explica como construir uma tabela de frequências para variáveis qualitativas a partir dos dados da tabela.
1) O documento discute os conceitos fundamentais da mecânica quântica, incluindo a dualidade onda-partícula, o princípio da incerteza de Heisenberg e a equação de Schrödinger.
2) A equação de Schrödinger descreve como a função de onda Ψ varia no espaço e no tempo e como os níveis de energia dos elétrons em átomos são quantizados.
3) Os orbitais atômicos são soluções da equação de Schrödinger e descrevem a probabilidade
O plano inclinado nada mais é do que um plano que se encontra em um desnível, ou seja, o seu ponto de início se encontra em uma altura diferente em relação ao seu ponto final.
O documento discute a teoria das ligações covalentes e como elas mantêm moléculas ligadas através da partilha de elétrons de valência. Ele também descreve como a ordem da ligação, energia de ligação e comprimento da ligação estão relacionados, e fornece exemplos de geometrias moleculares para moléculas diatômicas e poliatômicas.
Cap4 - Parte 5 - Distribuição De PoissonRegis Andrade
Este documento descreve a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson modela eventos raros que ocorrem independentemente em intervalos de tempo ou espaço fixos. O documento fornece exemplos de como calcular a probabilidade de eventos usando a distribuição de Poisson, como a probabilidade de morte entre mulheres grávidas.
O documento discute critérios para determinar posições relativas de retas e planos em geometria euclidiana, como paralelismo e perpendicularidade. Fornece definições formais de paralelismo entre retas/planos e perpendicularidade entre retas/planos com base em suas relações geométricas. Também menciona que a geometria euclidiana constrói novos conceitos e teoremas a partir de termos primitivos e axiomas usando lógica dedutiva.
1) A teoria dos grafos surgiu a partir do problema das sete pontes de Königsberg na Alemanha no século 18.
2) Euler resolveu o problema ao modelá-lo matematicamente usando vértices e arestas, fundando assim a teoria dos grafos.
3) Grafos podem ser usados para modelar diversos sistemas reais como redes de transporte, relações sociais em redes sociais.
1) A Teoria do Orbital Molecular descreve a ligação química usando os métodos da teoria de grupos para determinar como os orbitais atômicos interagem e formam orbitais moleculares. 2) Os orbitais moleculares podem ser combinações lineares dos orbitais atômicos originais e determinam a distribuição eletrônica e propriedades das moléculas. 3) A sobreposição dos orbitais atômicos forma orbitais moleculares ligantes de baixa energia e anti-ligantes de alta energia, e a diferença entre esses orbit
Este documento apresenta um resumo dos principais tópicos da lógica proposicional em 5 capítulos: (1) proposições e operadores lógicos, como conjunção, disjunção e negação; (2) dedução na lógica proposicional, incluindo argumentos válidos e regras de dedução; (3) sentenças abertas e quantificadores; (4) lógica de predicados, incluindo estruturas, interpretação e validade de fórmulas; (5) exemplos e exercíci
Geometria Analítica no Plano: Teoria e Exemplos de Aplicação.numerosnamente
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano, incluindo referenciais ortonormados, distância entre pontos, equações de retas e circunferências, e conceitos básicos sobre vetores.
2. São definidos conceitos como ponto médio de um segmento, mediatriz de um segmento, elipses, semiplanos definidos por retas, círculos e suas partes, vetores, operações com vetores e coordenadas de vetores.
3. São apresentadas fórmulas e exemplos para calcular dist
O documento descreve conceitos fundamentais de eletrostática, como a descoberta da eletricidade no âmbar, a existência de cargas elétricas positivas e negativas em prótons e elétrons, e os processos de eletrização por atrito, contato e indução.
Escola Estadual Edwards
Três Lagoas, de março de 2009
Disciplina: História
Professora: Ana Maria Queiroz
Professor STE: José Miguel
Aluno(a):
Nº: Fase: Turma:
Este documento resume uma aula sobre indução matemática. Ele contém três exemplos de demonstrações por indução, explicando o princípio da indução matemática e como aplicá-lo para provar propriedades sobre números inteiros positivos.
Este documento descreve os principais conceitos da Teoria de Ligações de Valência (TLV), incluindo: (1) a TLV foi a primeira descrição da ligação covalente em termos de orbitais atômicos; (2) a TLV explica a formação de ligações σ e π através da sobreposição de orbitais atômicos; (3) a teoria introduz o conceito de orbitais híbridos para explicar a geometria de moléculas.
Este documento fornece instruções de segurança para o manuseio de equipamentos elétricos, incluindo sempre solicitar ajuda do professor, manter a área de trabalho limpa e seca, e não tocar em fios ou equipamentos enquanto ligados. Também resume os principais conceitos elétricos como condutores, diferença de potencial, intensidade da corrente, resistência e a Lei de Ohm.
Exemplos de Questões de Física do Enem por Habilidades (Word) - Conteúdo vinc...Rodrigo Penna
Este documento apresenta exemplos de questões do ENEM para exemplificar as habilidades da matriz de física. As questões abordam tópicos como propriedades de fenômenos ondulatórios, eficiência de lâmpadas, consumo de energia elétrica doméstica, obtenção de combustíveis e processos de geração de energia.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Este documento apresenta 15 questões sobre eletrodinâmica e circuitos elétricos. As questões abordam tópicos como cálculo de corrente elétrica, lei de Ohm, resistência elétrica, efeitos da corrente elétrica no corpo humano. Há também questões sobre os componentes básicos de um circuito elétrico como bateria, resistor, motor elétrico e amperímetro.
1) A diferença de potencial entre dois pontos é definida como o trabalho realizado pela força elétrica para transportar uma carga entre esses pontos, dividido pela carga transportada.
2) Quando uma carga é deslocada perpendicularmente às linhas de força elétrica, sem trabalho realizado, os potenciais elétricos nos dois pontos são iguais.
3) A diferença de potencial é também chamada de tensão ou voltagem e sua unidade é o volt.
1) O documento aborda conceitos básicos de trigonometria, incluindo tipos de triângulos, teorema de Pitágoras, funções trigonométricas e suas relações no círculo trigonométrico.
2) São apresentados exemplos numéricos ilustrando aplicações das funções seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos.
3) As tabelas de valores notáveis e as relações fundamentais entre as funções trigonométricas são explicadas detalhadamente.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
1) O documento descreve os conceitos básicos de estatística descritiva, incluindo medidas de posição como média, mediana e percentis, e medidas de dispersão como amplitude, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) É apresentada uma tabela de dados com informações demográficas e salariais de 36 funcionários como um exemplo para ilustrar essas medidas estatísticas.
3) O documento explica como construir uma tabela de frequências para variáveis qualitativas a partir dos dados da tabela.
1) O documento discute os conceitos fundamentais da mecânica quântica, incluindo a dualidade onda-partícula, o princípio da incerteza de Heisenberg e a equação de Schrödinger.
2) A equação de Schrödinger descreve como a função de onda Ψ varia no espaço e no tempo e como os níveis de energia dos elétrons em átomos são quantizados.
3) Os orbitais atômicos são soluções da equação de Schrödinger e descrevem a probabilidade
O plano inclinado nada mais é do que um plano que se encontra em um desnível, ou seja, o seu ponto de início se encontra em uma altura diferente em relação ao seu ponto final.
O documento discute a teoria das ligações covalentes e como elas mantêm moléculas ligadas através da partilha de elétrons de valência. Ele também descreve como a ordem da ligação, energia de ligação e comprimento da ligação estão relacionados, e fornece exemplos de geometrias moleculares para moléculas diatômicas e poliatômicas.
Cap4 - Parte 5 - Distribuição De PoissonRegis Andrade
Este documento descreve a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson modela eventos raros que ocorrem independentemente em intervalos de tempo ou espaço fixos. O documento fornece exemplos de como calcular a probabilidade de eventos usando a distribuição de Poisson, como a probabilidade de morte entre mulheres grávidas.
O documento discute critérios para determinar posições relativas de retas e planos em geometria euclidiana, como paralelismo e perpendicularidade. Fornece definições formais de paralelismo entre retas/planos e perpendicularidade entre retas/planos com base em suas relações geométricas. Também menciona que a geometria euclidiana constrói novos conceitos e teoremas a partir de termos primitivos e axiomas usando lógica dedutiva.
1) A teoria dos grafos surgiu a partir do problema das sete pontes de Königsberg na Alemanha no século 18.
2) Euler resolveu o problema ao modelá-lo matematicamente usando vértices e arestas, fundando assim a teoria dos grafos.
3) Grafos podem ser usados para modelar diversos sistemas reais como redes de transporte, relações sociais em redes sociais.
1) A Teoria do Orbital Molecular descreve a ligação química usando os métodos da teoria de grupos para determinar como os orbitais atômicos interagem e formam orbitais moleculares. 2) Os orbitais moleculares podem ser combinações lineares dos orbitais atômicos originais e determinam a distribuição eletrônica e propriedades das moléculas. 3) A sobreposição dos orbitais atômicos forma orbitais moleculares ligantes de baixa energia e anti-ligantes de alta energia, e a diferença entre esses orbit
Este documento apresenta um resumo dos principais tópicos da lógica proposicional em 5 capítulos: (1) proposições e operadores lógicos, como conjunção, disjunção e negação; (2) dedução na lógica proposicional, incluindo argumentos válidos e regras de dedução; (3) sentenças abertas e quantificadores; (4) lógica de predicados, incluindo estruturas, interpretação e validade de fórmulas; (5) exemplos e exercíci
1. A dedução natural é um processo para estabelecer a validade de argumentos de forma rigorosa, derivando a conclusão das premissas usando um sistema de regras lógicas.
2. O documento descreve o sistema de dedução natural, incluindo seu formato de demonstrações em tabelas e suas regras de inferência lógica, como introdução e eliminação de operadores.
3. Exemplos ilustram como usar as regras para provar a validade de argumentos.
O documento descreve um problema de raciocínio lógico envolvendo dados econômicos do Reino de Leones entre 1995 e 2000. O setor público e privado empregavam o mesmo número de pessoas em 1995. O emprego público caiu mais do que o privado cresceu de 1995 a 2000, mas a taxa de desemprego permaneceu a mesma, o que é ilógico dado os outros dados apresentados.
Este documento discute lógica proposicional e raciocínio lógico. Apresenta conceitos como proposições simples e compostas, conectivos lógicos, tabela verdade, negações e validações. Explica como representar proposições logicamente e analisar suas possibilidades de validação usando tabelas verdade.
O documento discute conceitos básicos de raciocínio lógico, incluindo proposições, valores lógicos, conectivos lógicos como conjunção, disjunção e condicional. Também apresenta exemplos de tabelas verdade e define o conceito de tautologia.
Este documento fornece exemplos de exercícios de probabilidade e métodos de contagem de um livro didático de Estatística I. Inclui soluções detalhadas para 6 exercícios e notas sobre quais capítulos de 3 livros didáticos contêm exercícios relevantes para a matéria cobriada.
Este documento fornece um resumo de 3 frases ou menos sobre o conteúdo da aula de Lógica de Programação em Java. Apresenta os principais tópicos abordados como sintaxe, variáveis, tipos primitivos, expressões, promoção e casting entre tipos, além de circuitos lógicos e exercícios propostos.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de lógica, incluindo proposições, valores lógicos, negação e conectivos lógicos como conjunção, disjunção e condicional.
2) Os conectivos lógicos permitem combinar proposições para formar novas proposições complexas.
3) As tabelas-verdade definem os valores lógicos das proposições complexas com base nos valores das proposições componentes.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de lógica, incluindo proposições, valores lógicos, e conectivos lógicos.
2) Os principais conectivos lógicos discutidos são "e" (conjunção), onde uma proposição composta é verdadeira se todas as partes forem verdadeiras, e "ou" (disjunção), onde uma proposição composta é falsa apenas se ambas as partes forem falsas.
3) Tabelas-verdade são introduzidas para mostrar os valores lógicos de proposições
O documento apresenta os conceitos e métodos para resolução de equações do segundo grau. Em três frases ou menos, o documento resume:
1) Equações do segundo grau podem ser completas ou incompletas e são representadas pela forma geral ax2 + bx + c = 0, sendo resolvidas pela fórmula de Bháskara. 2) Uma equação do segundo grau pode ter zero, uma ou duas raízes reais, e as relações entre os coeficientes a, b e c determinam o número de soluções. 3) Além de equações numéricas,
O documento discute os diferentes tipos de inferência na ciência, especialmente a indução. Empiristas lógicos tentaram desenvolver uma teoria lógica da evidência e confirmação, mas enfrentaram problemas ao lidar com generalizações sobre um número infinito de casos e como prever resultados futuros com base em observações passadas. Diferentes abordagens, como a probabilística e a bayesiana, tentaram resolver esses problemas, mas nenhuma solução definitiva foi encontrada.
Lógica e Matemática Computacional - Exercícios 02thomasdacosta
O documento apresenta os conceitos básicos de lógica proposicional, incluindo tabelas verdade, conectivos lógicos e suas representações simbólicas. Exemplos são fornecidos para ilustrar como construir tabelas verdade e traduzir proposições para a linguagem simbólica. Exercícios são propostos para que os alunos apliquem os conceitos aprendidos.
Este documento discute lógica proposicional e métodos dedutivos para provar validade de argumentos. Ele introduz representação simbólica de proposições e argumentos, regras de equivalência e inferência para lógica proposicional, e como usar suposição para provar conclusões de argumentos na forma R → S.
Silogismo: Termo, modo figura e regras da inferência validapcls66
Este documento discute lógica formal, proposições categóricas, juízos, termos, silogismos e falácias. Define proposições categóricas como compostas por sujeito, predicado e cópula. Explora a extensão e compreensão dos termos e classifica juízos por quantidade e qualidade. Discute regras de distribuição dos termos, modos de silogismos e figuras lógicas. Identifica falácias formais como violações das regras de inferência válida.
Lógica e Matemática Computacional - Aula 03thomasdacosta
O documento discute os conceitos de tautologia, contradição e contingência em lógica proposicional. Uma tautologia é uma proposição cujo valor de verdade é verdadeiro independente dos valores das proposições elementares. Uma contradição é uma proposição cujo valor de verdade é falso independente dos valores das proposições elementares. Uma contingência é uma proposição cujo valor de verdade pode ser verdadeiro ou falso dependendo dos valores das proposições elementares. Exemplos de cada um desses conceitos são apresentados e resolvidos por meio de tabelas-
O documento apresenta os seguintes tópicos sobre lógica formal: (1) lógica proposicional e lógica de predicados, (2) técnicas básicas de demonstração, incluindo indução matemática.
Slides do professo Celso Kaestner, complementados por mim, sobre Lógica Proposicional.
Obs.: foretemente baseados em SILVA, Flávio S. C. da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. V. de. Lógica para Computação. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
Raciocínio lógico aula 1-6 - conceitos iniciais 1J M
1) O documento apresenta os conceitos básicos de lógica, incluindo proposições, valores lógicos verdadeiro e falso, e conectivos lógicos.
2) Os principais conectivos lógicos discutidos são "e" (conjunção), onde uma proposição composta é verdadeira se todas as partes forem verdadeiras, e "ou" (disjunção), onde uma proposição composta é falsa apenas se ambas as partes forem falsas.
3) Também é introduzido o conectivo "ou...ou" para dis
Este documento discute dedução lógica e matemática. Resume: (1) Apresenta métodos para realizar deduções a partir de premissas usando regras de inferência; (2) Discute como analisar a validade de argumentos usando tabelas-verdade; (3) Exemplifica regras de inferência como modus ponens e modus tollens.
(1) O documento apresenta um resumo introdutório sobre lógica matemática, abordando conceitos como fórmulas proposicionais bem formadas, conectivos lógicos e cálculo proposicional; (2) Inclui também uma introdução à lógica de predicados de primeira ordem, tratando de linguagens formais, interpretações, satisfatibilidade e o cálculo de predicados; (3) Por fim, discute a teoria da computabilidade, máquinas de Turing, funções computáveis e incompletude da aritmética
Este documento apresenta uma introdução concisa à lógica proposicional e lógica de predicados, incluindo:
1) A linguagem e semântica da lógica proposicional e de predicados.
2) Propriedades semânticas e métodos para determinar propriedades semânticas de fórmulas nestas lógicas.
3) Sistemas axiomáticos e de dedução natural para a lógica proposicional.
4) Aplicações como tableaux semânticos e resolução na lógica
Este vídeo apresenta conceitos básicos de combinatória como combinação, arranjo, fatorial e permutação utilizando uma história sobre uma menina que quer ser cartomante. O vídeo fornece definições, fórmulas e exemplos para calcular cada um destes conceitos.
- O documento apresenta um resumo de uma aula sobre Lógica Matemática, incluindo implicação lógica, regras de inferência e aviso sobre a avaliação da disciplina.
1. O documento apresenta um trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos no Ensino Médio, abordando noções básicas como conjuntos, subconjuntos, operações com conjuntos (união, interseção, diferença), e conjuntos numéricos fundamentais.
2. É dividido em seções de Introdução, Desenvolvimento e Conclusão, com explicações detalhadas dos principais conceitos da Teoria dos Conjuntos.
3. A seção Desenvolvimento define termos como conjunto, subconjunto, relação de pertinência, operações com conjuntos e
Este documento contém uma compilação de exercícios de lógica para a disciplina de Lógica para Programação. Está organizado em 14 capítulos cobrindo tópicos como argumentos e validade, lógica proposicional, lógica de primeira ordem, Prolog, entre outros. O objetivo é fornecer exercícios para aulas práticas e avaliações da disciplina.
Este documento apresenta uma série de exercícios de lógica propostos para uma aula de Lógica Matemática B ministrada pela professora Ruth Portanova. Os exercícios envolvem verificar a validade de argumentos usando regras como silogismo disjuntivo, adição e outras regras lógicas. Também inclui justificar cada linha de demonstrações lógicas de argumentos.
Aula 01 - Introdução à teoria de conjuntos.pdfThiago620596
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria da probabilidade, como:
1) A definição de experimento aleatório e determinístico e o conceito de espaço amostral;
2) A definição de evento como subconjunto do espaço amostral e exemplos de eventos;
3) Operações básicas entre eventos como união, interseção e complementar.
1) A geração de números pseudo-aleatórios através de algoritmos determinísticos pode parecer inadequada, mas as sequências geradas podem ter as mesmas propriedades estatísticas de longo prazo que sequências aleatórias naturais.
2) O algoritmo congruencial multiplicativo é o gerador de números pseudo-aleatórios mais simples, mas outros como o congruencial linear podem ter melhores propriedades estatísticas.
3) Para simular distribuições não uniformes, como a exponencial, pode-
1. O documento introduz os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo proposições, conectivos lógicos, tabelas verdade e diagramas lógicos.
2. As proposições podem ser simples ou compostas e são combinadas usando conectivos como "e", "ou", "se...então".
3. As tabelas verdade definem as regras para determinar o valor de verdade de proposições compostas usando os valores das proposições componentes.
Caderno de Resumos XVIII ENPFil UFU, IX EPGFil UFU E VII EPFEM.pdfenpfilosofiaufu
Caderno de Resumos XVIII Encontro de Pesquisa em Filosofia da UFU, IX Encontro de Pós-Graduação em Filosofia da UFU e VII Encontro de Pesquisa em Filosofia no Ensino Médio
LIVRO MPARADIDATICO SOBRE BULLYING PARA TRABALHAR COM ALUNOS EM SALA DE AULA OU LEITURA EXTRA CLASSE, COM FOCO NUM PROBLEMA CRUCIAL E QUE ESTÁ TÃO PRESENTE NAS ESCOLAS BRASILEIRAS. OS ALUNOS PODEM LER EM SALA DE AULA. MATERIAL EXCELENTE PARA SER ADOTADO NAS ESCOLAS
Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
2. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
2
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
CENTRO DE ESTUDOS GERAIS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ANÁLISE
TRABALHO DE MONITORIA
Tutorial Prático sobre o
Método de Dedução
Natural
Disciplina: Lógica para Ciência da Computação
Monitor: Ariel Alves da Fonseca
Professor Orientador: Marcelo da Silva Corrêa
Período: Ano letivo de 2003
3. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
3
Resumo
O Método de Dedução Natural é um dos tópicos tratados no curso de Lógica para
Ciência da Computação, oferecido pelo Departamento de Análise. A carência de livros
didáticos em português que abordam este método, usando árvores de prova, nos fez
construir esse tutorial prático, tendo como objetivo principal oferecer a alunos e professores
da disciplina um material didático complementar sobre o assunto. O texto é baseado na
apresentação das técnicas básicas para construção de provas no sistema de dedução natural
por meio de exemplos e discussão de estratégias simples.
4. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
4
Dedução Natural
Sistema de Dedução Natural
A dedução natural é um método de demonstração introduzido independentemente
por Gerhard Gentzen em 1935 e Stanislaw Jaskowski em 1934. Os sistemas de dedução
natural caracterizam-se, entre outros aspectos, por não apresentarem um conjunto de
axiomas, mas apenas um conjunto de regras de inferências. Neste tutorial apresentaremos
um conjunto de regras primitivas de dedução natural, reservando para o final algumas
regras derivadas.
No sistema de dedução natural as regras de inferência são projetadas num padrão de
regras de introdução e eliminação de conectivos e quantificadores, que são combinadas
para a construção de uma prova.
Podemos representar as provas por árvores, sobrepondo as instâncias das regras de
inferência utilizadas na sua obtenção.
Deixaremos um espaço reservado para inserir as premissas e as hipóteses geradas no
processo. Esse espaço é chamado de base de premissas e hipóteses.
Portanto, graficamente, uma prova possuirá a seguinte forma:
A figura anterior mostra uma prova com apenas um ramo, mas uma prova pode ter vários
ramos, dependendo da regra considerada, como é exemplificado na figura seguinte:
Conclusão
[Premissas e Hipóteses]
.
.
.
Premissas e Hipóteses
Base de Premissas e Hipóteses
Conclusão
[Premissas e Hipóteses]
.
.
.
Premissas e Hipóteses
Base de Premissas e Hipóteses
.
.
.
[Premissas e Hipóteses]
1º ramo 2º ramo
5. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
5
É importante perceber que as hipóteses geradas especificamente no 1º ramo não
poderão ser usadas no 2º ramo e vice-versa, ou seja, os ramos de prova são independentes.
As regras de inferência
O Sistema de Dedução Natural para a Lógica Sentencial dispõe de onze regras
básicas de inferência, que podem ser divididas em dois grupos: as regras não hipotéticas, e
as regras hipotéticas.
As regras não hipotéticas
Nesta seção introduziremos oito das onze regras básicas de inferência.
Eliminação da implicação(→E): De um condicional e seu antecedente, podemos inferir seu
conseqüente. Esta regra também é chamada de Modus Ponens, que abreviamos por ‘MP’.
Exemplo:
Prove:
p, q →→→→ r, p →→→→ q r
Usamos a regra → E em q e q → r, podemos inferir r, e da mesma forma, provar q a
partir das premissas p e p → q, usando a mesma regra.
Eliminação da negação(~E) : De uma sentença ~~φ, podemos inferir φ.
φ φ →→→→ ψ
ψ
→→→→E
p p →→→→ q →→→→E
q q →→→→ r →→→→E
r
p,
q →→→→ r
p →→→→ q
φ
~~φ
~E
6. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
6
Exemplo:
Prove:
~p → ~~q , ~~~p q
Observe que a regra ~E não permite inferir ‘~p→q’ a partir de ‘~p → ~~q’, pois a
premissa é uma sentença condicional. Assim, precisamos primeiro inferir ‘~~q’, por
aplicação da regra →E, e desta forma usar ~E para inferir ‘q’.
Introdução da conjunção (∧∧∧∧I): De quaisquer sentenças φ e Ψ, podemos inferir a
conjunção φ ∧ Ψ.
Eliminação da conjunção (∧∧∧∧E): De uma conjunção podemos inferir qualquer um dos seus
componentes.
Exemplo:
p ∧ q q ∧ p
Introdução da disjunção (∨∨∨∨I ) : Podemos inferir uma disjunção a partir de qualquer um de
seus componentes.
~~~p
~p
~E
~~q
q
~E
~p →→→→ ~~q →→→→E
~p → ~~q
~~~p
φ ψ
∧I
φ ∧ψ
φ ∧ψ ∧∧∧∧E
φ
φ ∧ψ ∧∧∧∧E
ψ
p ∧q
∧∧∧∧E
q
p ∧q
∧∧∧∧I
∧∧∧∧E
p
p ∧q
φ
φ ∨ ψ
∨∨∨∨I
p ∧ q
ψ
φ ∨ ψ
∨∨∨∨I
7. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
7
Exemplo:
p (p∨q) ∨ (p∨r)
Introdução do bimplicação (↔↔↔↔I): A partir de sentenças (φ→ψ) e (ψ→φ) podemos inferir
(φ↔ψ).
Eliminação do bimplicação (↔↔↔↔E): A partir de uma sentença da forma (φ↔ψ) podemos
inferir tanto (φ→ψ) quanto (ψ→φ).
Exemplo:
p↔(q∨r), q p
p
p ∨ q
∨∨∨∨I
∨∨∨∨I
(p∨q) ∨ (p∨r)
p
φ→ψ
ψ↔φ ↔↔↔↔E
↔↔↔↔I
ψ→φφ→ψ
ψ↔φ
q ∨∨∨∨I ↔↔↔↔E
→→→→E
p↔(q∨r)
(q∨r) (q∨r)→p
p
p↔(q∨r)
q
ψ→φ
ψ↔φ ↔↔↔↔E
8. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
8
Introdução do ⊥⊥⊥⊥(⊥⊥⊥⊥I): Introduzimos o símbolo ⊥ para identificar a derivação de uma
contradição.
Regras Hipotéticas
Agora introduziremos as três regras restantes que completam as regras de inferência
para o Lógica Sentencial.
As regras de introdução da implicação(→I) e da negação (~I) diferem das outras,
pois elas empregam um raciocínio hipotético, ou seja, devemos construir uma prova de uma
sentença tomando outra como uma hipótese local. A hipótese é descartada após a aplicação
da regra e isto é denotado por um traço transversal sobre ela. Cada hipótese é numerada e
seu identificador é colocado na barra que discrimina a aplicação da regra hipotética que
permitiu sua adoção.
Introdução da implicação (→→→→I) : Dada uma derivação de uma sentença φ obtida ao
tomarmos como hipótese uma sentença ψ, podemos inferir ψ→φ (descartando a hipótese
após a aplicação da regra).
Exemplo:
p→q, q→ r p→r
[ψ]1
→→→→I(1)
.
.
.
φ
ψ → φ
p→q
q→ r
[p] 1
[p]1
p→q
p→r
r
q q→r
→→→→I
→→→→E
(1)
⊥
ψ ~ψ
⊥ I
9. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
9
Introdução da Negação (~I) : Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma
hipótese ~φ, podemos descartar a hipótese e inferir φ.
Exemplo:
p→q, ~q ~p
Observe que somente a partir das premissas dadas não concluiriamos a sentença
‘~p’, logo tentamos uma prova indireta, colocando como hipótese ‘p’. Isso nos permitiu
concluir a prova facilmente.
Eliminação da disjunção(∨∨∨∨E): De uma sentença da forma φ ∨ ψ, podemos inferir uma
sentença θ se obtivermos uma derivação para θ, tomando φ como hipótese, e uma outra
derivação de θ, tomando ψ como hipótese.
Observe o seguinte argumento:
Hoje é sábado ou domingo.
Se hoje é sábado, então é fim de semana.
Se hoje é domingo, então é fim de semana.
∴∴∴∴ É fim de semana.
φ
⊥
.
.
.
[~φ]1
~I(1)
θ θ ∨∨∨∨E
[φ]1
[ψ]2
. .
. .
. .
φ ∨ ψ(1) (2)
θ
~p
⊥
q ~q
[p] 1
p →q →→→→E
~ I
⊥⊥⊥⊥ I
(1)
p→q
~q
[p]
1
10. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
10
Formalizando o argumento teríamos:
Uma prova para o argumento acima seria:
p ∨ q, p → r, q → r r
Erro comum ao tentar provar uma sentença a partir de uma disjunção : Extrair um
componente da disjunção como nas formas abaixo.
Em ambos os casos, a inferência feita não é correta. Note que somente a partir da
premissa ‘hoje é sábado ou domingo’, não podemos concluir que ‘hoje é sábado’ ou da
mesma forma, não podemos concluir que ‘hoje é domingo’.
Resumimos, na tabela seguinte, a coleção de regras de inferência para LS:
p ∨ q
p → r
q → r
r
p : Hoje é sábado.
q: Hoje é domingo.
r: É fim de semana.
p ∨ q
p
p ∨ q
q
ou
r
→→→→I
r
[q]2
q → r[p]1
p → r
r →→→→Ip ∨ q(1) (2) ∨∨∨∨E
p∨q
p→r
q→r
[p]1
[q]2
12. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
12
Introdução do bimplicação (↔I)
Eliminação do bimplicação (↔E)
Introdução do ⊥
Tabela 1.
Como obter uma prova?
Não existe uma forma única de construir uma prova. Se um dado tipo de argumento
é válido, então existem várias formas de prová-lo. A utilização de estratégias na busca por
uma prova poderá facilitar a sua obtenção. Podemos destacar duas estratégias gerais,
chamadas de análise e síntese, descritas a seguir.
Síntese - inspeciona-se a conclusão buscando observar um modo de derivá-la a partir das
premissas e hipóteses.
Premissas e Hipóteses
.
.
.
↔↔↔↔I
ψ→φφ→ψ
ψ↔φ
⊥
ψ ~ψ
⊥⊥⊥⊥ I
Conclusão
φ→ψ
ψ↔φ ↔↔↔↔E
ψ→φ
ψ↔φ ↔↔↔↔E
ou
13. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
13
Análise – inspeciona-se as premissas e hipóteses buscando um meio de derivar a conclusão.
Exemplos Resolvidos:
Observação
Quando for utilizada a estratégia de análise, a sentença analisada será descrita com
um tamanho maior de letra para contribuir na sua visualização. Em alguns casos será
destacada apenas parte de uma sentença, para mostrar que a sentença alvo pode ser
derivada especificamente daquela em destaque.
Prove:
~p→(q→r), ~p, q r
Este é um exemplo típico da utilização da estratégia de análise. Como a conclusão é
atômica devemos tentar derivá-la a partir das premissas.
Após a consulta à base de premissas e hipóteses perceberemos a ocorrência das
sentenças ‘q’ e ‘q→r’, a partir das quais, usando a regra →E, podemos inferir ‘r’.
Premissas e Hipóteses
.
.
.
Conclusão
r
~p→(q→r)
~p
q
r
q q→r →→→→E
análise
~p→(q→r)
~p
q
14. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
14
A sentença ‘q’ é uma premissa, e por isso não precisa ser provada. Entretanto, a
sentença ‘q→r’ é apenas parte de uma premissa. Como provar ‘q→r’ ? Podemos usar duas
estratégias, análise ou síntese. No entanto, a sentença alvo é molecular, então poderíamos
começar tentando uma estratégia de síntese, aplicando a regra → I.
Observe que neste passo não houve uma progressão para uma solução, pois
retornamos a situação inicial. Mudaremos de estratégia, vamos tentar análise, ou seja,
provar ‘q→r’ a partir das premissas.
Ao inspecionarmos a base de premissas e hipóteses, encontramos as sentenças ‘~p’,
e ‘~p→(q→r)’ e a partir delas, usando a regra →E, podemos inferir ‘q→r’:
~p→(q→r)
~p
q
[q]1
r
q q → r
r →→→→I
→→→→E
(1)
síntese
r
q q→r →→→→E
~p→(q→r)
~p
q
r
q q→r →→→→E
~p→(q→r)
~p
q
~p→(q→r)~p
→→→→E
análise
15. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
15
Neste ponto a prova deve ser finalizada, pois o todo de todos os ramos da árvore é
composto apenas por premissas ou hipóteses.
Prove:
(p∧q)→(r→s), ~~p, q s
Ao inspecionarmos a base de premissas e hipóteses, notamos que é possível inferir a
sentença ‘s’ a partir da sentença ‘r∧s’.
Neste passo, a sentença alvo é ‘r∧s’. Inspecionando a base de premissas e hipóteses,
percebemos a existência da sentença ‘(p∧q)→(r∧s)’. Logo, se obtivermos a sentença ‘p∧q’
podemos inferir a sentença alvo ‘(r∧s)’.
A sentença alvo nesta etapa será ‘p∧q’. Como a sentença é uma conjunção,
podemos começar tentando uma estratégia de síntese, pois se obtivermos cada componente
da conjunção podemos provar a sentença alvo.
s
(p∧q)→(r∧s)
~~p
q
s
r∧s ∧∧∧∧E
(p∧q)→(r∧s)
~~p
q
análise
s
r∧s
→→→→E
(p∧q)→(r∧s)
~~p
q
(p∧q)→(r∧s)p∧q
∧∧∧∧E
análise
16. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
16
Inspecionando a base de premissas é hipóteses notamos que podemos provar a
sentença ‘p’ a partir da premissa ‘~~p’.
Neste ponto a prova pode ser finalizada.
Observação:
Uma premissa pode ser usada várias vezes em uma mesma prova, e não há restrição
na utilização de premissas em ramos diferentes. Mas o mesmo não ocorre em relação às
hipóteses, estas devem ser usadas apenas nos ramos em que foram geradas.
Na prova abaixo exemplificaremos a utilização de uma mesma premissa em ramos
distintos.
Prove:
p p∧p
s
r∧s
→→→→E
(p∧q)→(r∧s)
~~p
q
(p∧q)→(r∧s)p∧q
∧∧∧∧E
p q ∧∧∧∧I
síntese
p∧p
p
s
r∧s
→→→→E
(p∧q)→(r∧s)
~~p
q
(p∧q)→(r∧s)p∧q
~E
p q ∧∧∧∧I
~~p
análise
17. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
17
A conclusão é uma conjunção, logo devemos procurar as regras associadas a este
conectivo. Note que se obtivermos cada componente da disjunção e usarmos a regra ∧I
poderemos inferir a sentença ‘p∧p’.
Neste passo devemos focalizar a sentença ‘p’ do ramo direito. Entretanto, ‘p’ é uma
premissa, logo não precisa ser provada. O mesmo ocorre para a sentença do ramo esquerdo,
que também é uma premissa. Logo, a prova está finalizada.
Um fato importante a ser percebido é que a premissa ‘p’ foi usada duas vezes na
prova, sem haver restrições de ramos.
Prove:
p, ~~(p→q) (r∧s)∨q
Como o conetivo principal da conclusão é uma sentença disjuntiva, podemos
começar tentando provar ao menos um dos componentes da disjunção. Mas qual
componente devemos escolher? A resposta é bem simples, o que mais se adeqüe à base de
premissas é hipóteses. Observe que, neste caso, temos duas opções: provar a sentença ‘r∧s’
ou provar a sentença‘q’.
p∧p
p
p p
(∧∧∧∧I )
(r∧s)∨q
p
~~(p→q)
18. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
18
Mas é importante notar que as sentenças ‘r’ e ‘s’ não ocorrem na base de premissas
e hipóteses, logo seria uma péssima escolha optar pela conjunção delas.
Neste passo devemos focalizar a sentença ‘q’. Como ‘q’ é uma sentença atômica,
podemos tentar derivá-la a partir das premissas. Ao inspecionar a base de premissas e
hipóteses, notamos que podemos extrair ‘q’ a partir de parte da sentença ‘~~(p→q)’.
Podemos considerar como sentença alvo a sentença ‘p’, mas esta é uma das
premissas da base de premissas e hipóteses, logo, não precisamos prová-la.
Assim, a sentença alvo passa a ser ‘(p→q)’ que pode se derivada a partir da
premissa ‘~~(p→q), aplicando a regra ~ - E.
Como ‘~~(p→q)’ é uma premissa então a prova está finalizada.
(r∧s)∨q
p
~~(p→q)
q ∨∨∨∨I
(r∧s)∨q
p
~~(p→q)
q ∨∨∨∨I
(p→q)p →→→→E
(r∧s)∨q
p
~~(p→q)
q ∨∨∨∨I
(p→q)p →→→→E
~~(p→q) ~E
19. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
19
Quando aplicar a regra de eliminação do ∨∨∨∨?
Nas provas em que a base de premissas possui sentenças disjuntivas devemos ter um
pouco de cautela, pois uma sentença disjuntiva, quando eliminada pela regra ∨E , duplica a
quantidade de ramos existentes na prova, dificultando a realização da derivação. Desta
forma surge a necessidade de analisar a melhor hora de utilizar este tipo de sentença.
Podemos tentar aplicar a regra ∨E no começo da prova, pois sempre conseguiremos
demonstrar a validade de um argumento desta forma, mas não se esqueça dos custos
associados à utilização desta técnica. Os dois exemplos seguintes ilustram a utilização da
regra ∨E.
Prove:
p∨p, p→(q∧r) r
Como temos uma premissa disjuntiva, então, primeiramente, vamos usar a regra ∨E,
sobre ‘p∨p’ buscando obter duas derivações independentes para r, tomando como hipótese
em cada uma delas um componente da disjunção.
r
p∨p
p→(q∧r)
p∨p
p→(q∧r)
[p]1
r
r rp∨p ∨∨∨∨E
(1)(2)
20. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
20
Neste passo a sentença alvo será ‘r’, no entanto, como a sentença alvo é atômica,
então podemos tentar uma estratégia de síntese.
Inspecionando a base de premissas é hipóteses, notamos a ocorrência de ‘r’ na
premissa ‘p→(q∧r)’ , mais especificamente em seu conseqüente, logo a partir da sentença
‘(q∧r)’ e a regra do ∧E podemos inferir a sentença alvo.
A sentença alvo nesta etapa é ‘q∧r’. Observando a base de premissas e hipóteses
notamos que a sentença alvo pode ser provada a partir da premissa ‘p→(q∧r)’ e da
hipótese ‘p’ após a aplicação da regra →E.
De forma análoga provamos r tomando como hipótese o segundo componente da disjunção,
no ramo da direita:
Note que o topo de cada ramo da árvore é composto apenas por hipóteses
descartadas ou premissas por isso a prova deve ser finalizada.
A prova contém duas “sub-provas” idênticas. Caso tivéssemos utilizado a
eliminação do ∨ apenas quando necessário, como no exemplo seguinte, obteríamos uma
prova ligeiramente mais curta.
p∨p
p→(q∧r)
[p]1
r
r rp∨p ∨∨∨∨E
(1)(2)
(q∧r) ∧∧∧∧E
p∨p
p→(q∧r)
[p]1
[p]2
r
r rp∨p ∨∨∨∨E
(1)(2)
(q∧r) ∧∧∧∧E (q∧r) ∧∧∧∧E
p→(q∧r)[p]1
p→(q∧r)[p]2
→→→→E→→→→E
p∨p
p→(q∧r)
[p]1
r
r rp∨p ∨∨∨∨E
(1)(2)
(q∧r) ∧∧∧∧E
p→(q∧r)[p]1
→→→→E
21. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
21
Observação:
A partir deste ponto alguns passos mais simples serão omitidos no comentário, para
evitar que a leitura se torne monótona. Mas caso tenha dúvidas, de como realizar certa
etapa, busque rever os exemplos anteriores.
Prove:
(p∧q) ∨ (p∧r) p ∧ (q∨ r)
Nesta prova podemos usar a regra do ∨E, pois existe uma única premissa é a
conclusão é uma conjunção.
Neste ponto tentaremos provar a sentença alvo ‘p∧(q∨r)’ a partir das sentenças ‘p’ e
‘q∨r’, utilizando a regra ∧ I.
p∧(q∨r)
(p∧q) ∨ (p∧r)
p∧(q∨r)
(p∧q) ∨ (p∧r)
[p∧q]
1
(p∧q) ∨ (p∧r) p∧(q∨r) p∧(q∨r) ∨∨∨∨E
(1)(2)
r
q∧r
p p→q∧r
p∨p
(1)(2)
[p]1
[p]2
∧ E
∨∨∨∨ E
→→→→ I
p∧(q∨r)
(p∧q) ∨ (p∧r) p∧(q∨r) p∧(q∨r) ∨∨∨∨E
(1)(2)
p q∨r
∧∧∧∧I
(p∧q) ∨ (p∧r)
[p∧q]
1
22. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
22
Continuamos a tentativa de construção de uma prova desenvolvendo o ramo mais a
esquerda. Podemos escolher como sentença alvo ‘p’, que pode ser derivada a partir da
hipótese 1, pela regra ∧E.
Analisando a outra parte do ramo da esquerda, temos como sentença alvo ‘q∨r’ que
pode ser derivada de um de seus componentes. No entanto, a escolha de qual componente
desta disjunção deveremos provar é feita inspecionado a base de premissas de hipóteses,
verificando qual componente pode ser mais facilmente obtido. Neste caso é a sentença ‘q’,
visto que ela ocorre na hipótese 1, que é uma conjunção.
Finalizamos a prova do ramo esquerdo, descartando a hipótese [p∧q]1
, que não
poderá ser utilizada na prova do outro ramo.
Agora tentaremos obter uma prova referente ao ramo mais a direita. Neste ramo a
sentença alvo é ‘p∧(q∨r)’, que é uma conjunção, e deveremos prová-la tomando como
hipótese [p∧r]2
, o outro componente da disjunção. Se observarmos atentamente as
sentenças envolvidas para a prova neste ramo, perceberemos que são bem parecidas com as
sentenças utilizadas no ramo esquerdo, com uma pequena, mas crucial, diferença, as
hipóteses locais são distintas.
Neste passo, temos que escolher com qual componente da disjunção devemos tentar
provar. Entretanto note que a sentença ‘r’ pode ser facilmente inferida a partir da hipótese
2.
p∧(q∨r)
(p∧q) ∨ (p∧r)
[p∧q]1
(p∧q) ∨ (p∧r) p∧(q∨r) p∧(q∨r)
∨∨∨∨E(1)(2)
p q∨r
∧∧∧∧I
[p∧q]1
q
∨∨∨∨I
[p∧q]1
∧∧∧∧ E
p∧(q∨r)
(p∧q) ∨ (p∧r)
[p∧q]1
[p∧r]2
(p∧q) ∨ (p∧r) p∧(q∨r) p∧(q∨r)
∨∨∨∨E(1)(2)
p q∨r
∧∧∧∧ I
[p∧r]2
q
∨∨∨∨I
p
[p∧q]1
[p∧q]1
q∨r
∧∧∧∧ E
∧∧∧∧ I
∧∧∧∧ E
23. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
23
Neste ponto a prova está finalizada, pois todos os ramos já foram concluídos.
Prove:
p ↔ ~q ~(p∧q)
Nesta prova, utilizaremos a regra ~I, pois a sentença é uma negação.
Agora devemos escolher com quais sentenças formaremos uma contradição.
Inspecionando a base de premissas e hipóteses perceberemos que podemos extrair a
sentença ‘~q’ a partir da premissa ‘p↔~q’ e extrair ‘q’ a partir da hipótese 1.
p∧(q∨r)
~(p∧q)
p↔~q
(p∧q) ∨ (p∧r)
[p∧q]1
[p∧r]2
(p∧q) ∨ (p∧r) p∧(q∨r) p∧(q∨r)
∨∨∨∨E(1)(2)
p q∨r
∧∧∧∧ I
[p∧r]2
q
∨∨∨∨I
[p∧q]1
p
r
[p∧r]2
[p∧q]1
q∨r
∧∧∧∧ E
∧∧∧∧ I
∨∨∨∨I
∧∧∧∧ E
~(p∧q)
p↔~q
[p∧q]
1
⊥
~I(1)
24. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
24
Neste passo poderíamos tentar provar o ramo da esquerda, desta forma, a sentença
‘q’ pode ser derivada a partir da hipótese 1 utilizando a regra ∧ E.
Como provar a sentença ‘~q’? Analisando a base de premissas e hipóteses notamos
que ‘~q’ pode ser derivada da premissa ‘p↔~q’ aplicando algumas regras, como realizado
logo abaixo:
∧∧∧∧ E
Neste ponto a prova está finalizada, pois todos os ramos já foram provados.
~(p∧q)
p↔~q
[p∧q]1
⊥
q ~q
~I
⊥⊥⊥⊥- I
(1)
~(p∧q)
p↔~q
[p∧q]1
⊥
q ~q
~I
⊥⊥⊥⊥ I
(1)
[p∧q]1
∧∧∧∧ E
~(p∧q)
p↔~q
[p∧q]1
⊥
q ~q
~I
⊥⊥⊥⊥ I
(1)
[p∧q]1
∧∧∧∧ E
p p→~q
p↔~q
→→→→E
↔↔↔↔E[p∧q]1
25. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
25
Estratégias para construção de uma prova
Não há maneira única de se construir uma prova. Se uma sentença é derivável, ela
pode ser provada de maneiras diferentes, trocando a ordem de aplicação das regras ou
usando outras regras. No entanto, algumas estratégias contribuem para indicar um caminho
mais direto para a obtenção de uma prova. É importante observar que isso não é feito como
em um passe de mágica, para obter algumas provas será necessário pensar muito e testar
vários caminhos, somente com a experiência as provas realmente serão realizadas mais
facilmente. As tabelas que se seguem trazem alguns dos mais comuns procedimentos
adotados, quando nos deparamos com alguns tipos de sentença alvo.
Estratégias para Síntese
Se a sentença alvo for um(a) Então
Sentença atômica Tente prová-la a partir das premissas, adotando as
estratégias de análise.
⊥ Tente provar uma sentença e sua negação a partir das
premissas, adotando as estratégias de análise.
Negação Tente aplicar a regra ~I, gerando como hipótese a
sentença alvo sem o símbolo da negação.
Conjunção Tente aplicar ∧I, provando cada um das partes da
conjunção separadamente.
Disjunção Tente aplicar ∨I, provando um dos componentes da
disjunção.
Implicação Use a regra → I.
Bimplicação Use a regra ↔ I .
Em qualquer caso Se nenhuma estratégia tem sucesso, tente aplicar a
regra derivada RA, apresentada a seguir.
Estratégias para Análise
Se a premissa ou hipótese for uma
Sentença atômica Este tipo de sentença é usado em várias situações, por
exemplo:
- Como antecedente de uma implicação para
aplicação da regra →E.
- Contribuindo para formar as contradições para a
utilização da regra ~I.
- Um dos componentes de uma conjunção,
provada através da regra ∧ I .
- Para provar uma disjunção, através da regra ∨ I
Negação Pode ser usada da mesma forma que as sentenças
atômicas ou na aplicação da regra ~E.
Conjunção Pode ser usada da mesma forma que as fórmulas
26. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
26
atômicas ou usada na aplicação da regra ∧ E.
Disjunção Usa-se ∨ E para obter uma prova para uma certa
sentença.
Implicação Normalmente tenta-se usar a regra →E.
Bimplicação Usa-se a regra ↔E, obtendo-se a implicação desejada.
Regras Derivadas
As regras de introdução e eliminação de conectivos nem sempre determinam as
provas mais simples ou curtas. Os matemáticos utilizam algumas outras regras que
facilitam a tarefa de construir provas. Muitas delas são provadas a partir das regras
apresentadas acima e são chamadas de regras derivadas. Apresentaremos algumas delas a
seguir:
Redução ao Absurdo (RA): Dada uma derivação de uma contradição a partir de uma
hipótese ~φ, podemos descartar a hipótese e inferir φ. Normalmente, esta regra é usada
quanto nenhuma estratégia imediata tem sucesso.
Esta regra condensa as aplicações, em seqüência, das regras ~I e ~E.
Prove:
~p→q ~q→p
φ
⊥
.
.
.
[~φ]1
RA(1)
~~φ
⊥
.
.
.
[~φ]1
~ I(1)
~E
φ
27. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
27
Utilizaremos a regra RA para provar ‘p’, pois não foi possível prová-la diretamente
a partir da premissa ‘~p→q’ e da hipótese ‘~q’.
Prove:
~(p→q) p
Convém destacar que apesar de termos tomado a sentença ‘~q’ como hipótese, em
função da aplicação da regra RA para a prova da sentença ‘q’, não foi necessário utilizá-la,
pois já havia uma contradição envolvendo duas outras hipóteses.
Em geral, nas aplicações de regras hipotéticas, não é obrigatória a utilização da
respectiva hipótese na prova. Por outro lado, é possível utilizar a hipótese mais de uma vez,
como ocorreu em exemplos anteriores. Tais aspectos são peculiaridades da Lógica
Matemática, que não ocorrem em algumas outras lógicas.
Prove:
p∨~p
p
(p→q) ~(p→q)
RA(1) ⊥
~(p→q)
[~p]1
[p]2
[~q]3q
⊥⊥⊥⊥ I
→→→→ I
⊥
[~p]1
RA
[p]2
(3)
⊥⊥⊥⊥ I
~q→p
~p→q
[~q]1
[~p]2
p
⊥
q [~q]1
[~p]2
~p→q
RA
⊥⊥⊥⊥ I
→→→→ E
→→→→ I(1)
(2)
28. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
28
Podemos tentar provar esta sentença utilizando uma instância de uma das regras de
introdução do conectivo ∨:
Entretanto, não seria possível provar ‘p’, no primeiro caso, e nem provar ‘~p’, pois
não há qualquer premissa ou hipótese que nos auxilie nestas tarefas. Portanto, resta-nos
apenas a opção de utilizar a regra RA.
Modus Tollens (MT):
Prove:
p→q, ~q ~p
~φ
~ψφ → ψ
MT
~p
⊥
q ~q
[p] 1
p →q →→→→E
~ - I
⊥⊥⊥⊥ - I
(1)
p→q
~q
[p]1
p∨~p
p∨~p [~ (p∨~p)]1
RA(1) ⊥
[~ (p∨~p)]1
[p]2
~p
⊥⊥⊥⊥ I
∨∨∨∨ I
⊥ RA(2)
⊥⊥⊥⊥ I
[~ (p∨~p)]1
p∨~p
[p]2
∨∨∨∨ I
p
p∨~p
∨∨∨∨ I
~p
p∨~p
∨∨∨∨ I
29. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
29
p→q, ~q ~p
Silogismo Hipotético(SH): ψ → φ, φ → Φ ψ → Φ
Prove:
p→q, q→r p→ r
Absorção (ABS) : ψ → φ ψ→(ψ ∧ φ)
Prove:
p→ q p→(p∧q)
Contradição (CONTRAD) : φ , ~φ ψ
ψ → Φ
ψ → φ
SH
φ → Φ
→ I
p→ r
r
q q→ r
[p]1
p→q
p→(p∧q)
p∧q
[p]1
(1)
q
[p]1
p→q
p→q
q→r
[p]1
→ E
(1)
∧∧∧∧ - I
→→→→ I
→→→→ - I
p→ q
[p]1
~p
~q p→q
MT
p→q
~q
30. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
30
Prove:
p, ~p q
Silogismo Disjuntivo: ψ ∨ φ, ~φ ψ ou também pode ser escrito ψ ∨ φ, ~ψ φ
SD SD
Prove:
p ∨ q, ~p q
Outra prova, utilizando diretamente o Silogismo Disjuntivo:
p ∨ q ~p
SD
q
Prove:
p ∨ q ~p→ q
p ∨ q [~p]1
SD
q
→ I
~p→q
q
⊥
RA
⊥ I
~pp
φ
ψ∨φ ~ψ
ψ
ψ∨φ ~φ
q
q [q]2
p∨q
(1) (2)
[p]1
~p
CONTRAD
∨∨∨∨ - E
(1)
p ∨ q
[~p]1
[q]2
p
~p
[~q]1
p ∨ q
[~p]1
31. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
31
O Sistema de Dedução Natural para a Lógica
de Predicados de Primeira Ordem (LPPO)
Na Lógica de Predicados de Primeira Ordem o conjunto de regras do Sistema de
Dedução Natural consiste no acréscimo de quatro regras à coleção de regras básicas
apresentadas para a Lógica Sentencial, podendo assim avaliar a validade de qualquer tipo
de argumento da LPPO.
Apresentaremos a seguir as quatro regras do Sistema de Dedução Natural para a Lógica de
Predicados de Primeira Ordem.
Introdução do ∀∀∀∀: Se pudermos provar α para uma constante arbitrária a, então podemos
inferir ∀x α.
Restrição da regra: A constante a não pode ocorrer em qualquer hipótese da qual α
dependa.
Eliminação do ∀∀∀∀: Se pudermos provar ∀x α, então podemos inferir qualquer instância de
α, ou seja, α(x/t), para qualquer termo t.
Introdução do ∃∃∃∃: Se pudermos provar α para um termo t, então podemos inferir que ∃x α.
α(x/t)
∃x α
∀∀∀∀ - E
∀x α
α(x/t)
∀∀∀∀ - E
∀x α
α(x/a)
∀∀∀∀ - I
32. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
32
Eliminação do ∃∃∃∃: O que podemos inferir a partir da sentença ∃x α? É certo que não
podemos inferir ‘α(x/a)’, pois, intuitivamente, estaríamos afirmando que o objeto particular
representado pela constante ‘a’ satisfaz a propriedade representada por α, quando temos
garantida apenas a existência de um tal objeto (não conhecido). Assim, só podemos inferir
alguma sentença que não dependa da escolha de tal objeto (ou do conhecimento de
propriedades específicas dele) . Isto é capturado pela regra a seguir:
Dado que:
a) A constante a não pode ocorrer em β.
b) A constante a não pode ocorrer em ∃xα.
c) A constante a não pode ocorrer em qualquer premissa ou hipótese (diferente de
α(x/a)) da qual β dependa.
Podemos ver o quantificador ∃ como sendo uma disjunção infinita, α(x/a1) ∨
α(x/a2)∨.... , onde as constantes a1, a2,... representam todos os indivíduos do domínio de
uma estrutura. Assim, esta regra pode ser entendida fazendo-se um paralelo com a regra
∨E, sendo que, ao invés de obtermos uma prova de β a partir de cada componente dessa
disjunção infinita, provamos β a partir de α tomando uma constante ‘a’ arbitrária, ou
melhor, que mostraremos ser arbitrária por satisfazer as restrições descritas acima.
Exemplos:
Prove:
∀xP(x) ∃xP(x)
∃x α β
.
.
.
[α(x/a)]
β
∃∃∃∃- E
∃xP(x)
∀xP(x)
33. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
33
Para provar a sentença ‘∃xP(x)’ podemos usar a sentença ‘P(a)’, aplicando a regra
do ∃ - I.
Neste passo a sentença ‘P(a)’ pode ser provada a partir da premissa ‘∀xP(x)’,
aplicando a regra do ∀ - E.
Neste ponto a prova está finalizada .
Prove:
∀x(P(x)→Q(x)),∀xP(x) ∀xQ(x)
∃xP(x)
∀xP(x)
P(a)
∃ - I
∃xP(x)
∀xP(x)
P(a)
∃ - I
∀xP(x) ∀ - E
∀x(P(x)→Q(x))
∀xP(x)
∀xQ(x)
34. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
34
Como a conclusão é uma sentença quantificada, tentaremos utilizar a regra ∀I. No
entanto, é importante não esquecermos de verificar se as restrições desta regra serão
satisfeitas ao completarmos a nossa tentativa de construção da prova.
Note que podemos inferir a sentença ‘Q(a)’ a partir das sentenças ‘P(a)’ e
‘P(a)→Q(a)’ usado a regra →E.
Neste passo podemos provar sentença ‘P(a)’ a partir da premissa ‘∀xP(x)’ aplicando
a regra do ∀-E.
Para obtermos a prova da sentença ‘P(a)→Q(a)’, podemos tentar usar a regra →I,
no entanto, neste caso podemos derivá-la a partir da premissa ‘∀x(P(x)→Q(x))’ usando a
regra ∀-E, gerando desta forma, uma prova mais simples do que se usássemos a primeira
tentativa.
∀x(P(x)→Q(x))
∀xP(x)
∀xQ(x)
Q(a) ∀∀∀∀ - E
∀x(P(x)→Q(x))
∀xP(x)
∀xQ(x)
Q(a) ∀∀∀∀ - E
P(a) P(a)→Q(a) →→→→ - E
∀x(P(x)→Q(x))
∀xP(x)
∀xQ(x)
Q(a) ∀∀∀∀ - E
P(a) P(a)→Q(a) →→→→ - E
∀xP(x) ∀∀∀∀ - E
35. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
35
Neste ponto a prova deve ser finalizada pois o topo de todos os ramos da árvore de
prova é composto apenas por premissas.
Prove:
~∃xP(x) → ∀x~P(x)
Nesta prova começaremos utilizando a regra → I, tomando como hipótese a
sentença ‘~∃xP(x)’.
Para provarmos a sentença ‘∀x~P(x)’ podemos utilizar a regra ∀ I, na sentença
‘~P(a)’.
~∃xP(x) → ∀x~P(x)
~∃xP(x) → ∀x~P(x)
→→→→ I
[~∃xP(x)]1
∀x~P(x)(1)
∀x(P(x)→Q(x))
∀xP(x)
∀xQ(x)
Q(a) ∀∀∀∀ - E
P(a) P(a)→Q(a) →→→→ - E
∀xP(x) ∀∀∀∀ - E ∀x(P(x)→Q(x)) ∀∀∀∀ - E
36. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
36
Neste ponto, podemos tentar provar a sentença ‘P(a)’ a partir da base de premissas e
hipóteses. No entanto, não existe qualquer regra que possa inferir a sentença ‘~P(a)’ a partir
da hipótese ‘[~∃xP(x)]’. Desta forma, devemos tentar uma prova indireta, usando a regra
‘RA’ e logo depois ⊥ I.
(2)
Para provar a sentença ‘∃xP(x)’ podemos usar a regra ∃ I na hipótese [P(a)].
(2)
Neste passo a prova está finalizada, pois todos os ramos da árvore contêm apenas
premissas ou hipóteses.
~∃xP(x) → ∀x~P(x)
→→→→ - I
[~∃xP(x)]1
∀x~P(x)(1)
~P(a)
∀∀∀∀ - I
~∃xP(x) → ∀x~P(x)
→→→→ - I
[~∃xP(x)]1
[P(a)]2
∀x~P(x)(1)
~P(a)
∀∀∀∀ - I
RA
⊥
⊥⊥⊥⊥ I
[~∃xP(x)]1
∃xP(x)
~∃xP(x) → ∀x~P(x)
→→→→ - I
[~∃xP(x)]1
[P(a)]2
∀x~P(x)(1)
~P(a)
∀∀∀∀ - I
RA
⊥
⊥⊥⊥⊥ I
[~∃xP(x)]1
∃xP(x)
∃∃∃∃ - I[P(a)]2
37. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
37
Prove:
∀x(F(x) ∧ G(x)) ∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
Inicialmente podemos tentar provar cada componente da conjunção, e depois aplicar
a regra do ∧I para inferir a conclusão.
Podemos provar a sentença ‘∀xF(x)’ com uma estratégia de síntese, usando a
sentença ‘F(a)’ e a regra ∀ I.
Como provar a sentença ‘F(a)’? Podemos inicialmente tentar uma estratégia de
síntese, no entanto, note que a sentença ‘F(a)’ e derivável da premissa ‘F(a)∧G(a)’ usando a
regra ∧∧∧∧ E.
∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
∀x(F(x) ∧ G(x))
∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
∧∧∧∧ - I
∀x(F(x) ∧ G(x))
∀xF(x) ∀xG(x)
∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
∧∧∧∧ - I
∀x(F(x) ∧ G(x))
∀xF(x) ∀xG(x)
F(a)
∀∀∀∀ - I
∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
∧∧∧∧ - I
∀x(F(x) ∧ G(x))
∀xF(x) ∀xG(x)
F(a)
∀∀∀∀ - I
F(a)∧G(a) ∧∧∧∧ - E
38. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
38
A sentença ‘F(a)∧G(a)’ pode ser obtida a partir da premissa ‘∀x(F(x)∧G(x))’
usando a regra ∀∀∀∀ E:
Analogamente, obtemos uma prova para o ramo direito.
Neste ponto a prova pode ser finalizada.
Prove:
∀x (P(x)→Q(x)), ∀x(Q(x)→R(x)) ∀x(P(x)→R(x))
∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
∧∧∧∧ - I
∀x(F(x) ∧ G(x))
∀xF(x) ∀xG(x)
F(a)
∀∀∀∀ - E
F(a)∧G(a)
∧∧∧∧ - E
∀x(F(x)∧G(x))
∀xF(x) ∧ ∀xG(x)
∧∧∧∧ - I
∀x(F(x) ∧ G(x))
∀xF(x) ∀xG(x)
F(a)
∀∀∀∀ - E
∀∀∀∀ - I
G(a)
F(a)∧G(a)
∧∧∧∧ - E
∀x(F(x)∧G(x))
F(a)∧G(a)
∧∧∧∧ - E
∀∀∀∀ - E
∀x(F(x)∧G(x))
∀x(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
39. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
39
Note que a conclusão pode ser derivada da premissa ‘P(a)→R(a)’ aplicando a regra
∀∀∀∀ - I.
2
A prova para a sentença ‘R(a)’, pode ser obtida a partir das sentenças ‘P(a)’ e
‘P(a)→Q(a)’ usando a regra →→→→E.
Neste passo podemos provar a sentença ‘R(a)’ utilizando a regra →→→→E nas sentenças
‘P(a)’ e ‘P(a)→R(a)’.
∀x(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
P(a)→Q(a) ∀∀∀∀ - I
∀x(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
[P(a)]1
P(a)→R(a) ∀∀∀∀ - I
R(a) →→→→ - I
∀X(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
[P(a)]1
P(a)→R(a) ∀∀∀∀ - I
R(a) →→→→ - I
Q(a) P(a)→R(a) →→→→ - E
(1)
40. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
40
Utilizando uma estratégia de análise podemos derivar a sentença ‘Q(a)’ a partir das
sentenças ‘[P(a)]1
]’ e ‘P(a)→Q(a)’.
Podemos provar a sentença ‘Q(a)→R(a)’ a partir da premissa ‘∀x(Q(x)→R(x))’
usando a regra ∀∀∀∀ E.
Neste passo podemos provar a sentença ‘P(a)→Q(a)’ a partir da premissa
‘∀x(P(x)→Q(x))’ usando a regra ∀∀∀∀ E.
∀X(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
[P(a)]1
P(a)→R(a) ∀∀∀∀ - I
R(a) →→→→ - I
Q(a) Q(a)→R(a) →→→→ - E
[P(a)]1
P(a)→Q(a) →→→→ E
∀x(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
[P(a)]
1
P(a)→R(a) ∀∀∀∀ - I
R(a) →→→→ - I
Q(a) Q(a)→R(a) →→→→ - E
[P(a)]
1
P(a)→Q(a) →→→→ E ∀x(Q(x)→R(x)) ∀∀∀∀ - E
∀x(P(x)→R(x))
∀x (P(x)→Q(x))
∀x(Q(x)→R(x))
[P(a)]1
P(a)→R(a) ∀∀∀∀ - I
R(a) →→→→ - I
Q(a) Q(a)→R(a) →→→→ - E
[P(a)]1
P(a)→Q(a) →→→→ E ∀x(Q(x)→R(x)) ∀∀∀∀ - E
∀x(P(x)→Q(x)) ∀∀∀∀ - E
41. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
41
A prova deve ser finalizada, pois o topo de todos os ramos é formado apenas por
hipóteses ou premissas.
Prove:
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
Para provar a sentença ‘∀x~P(x)→ ~∃xP(x)’ tentaremos usar a regra do →I gerando
como hipótese a sentença ‘∀x~P(x)’.
Neste passo a sentença ‘~∃xP(x)’ é uma sentença negada, e isso é um indicativo da
utilização da regra ⊥ I, gerando como hipótese a sentença ‘∃xP(x)’.
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
~∃xP(x) → I(1)
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
[∃xP(x)]2
~∃xP(x) → I(1)
⊥ ⊥ I(2)
42. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
42
Agora, devemos investigar e descobrir quais sentenças podem ser utilizadas para
caracterizar uma contradição. Podemos usar a hipótese ‘∀x~P(x)’, pois desta forma
precisaríamos provar apenas a sua negação ‘~(∀x~P(x))’.
Podemos tentar provar a sentença ‘~∀x~P(x)’ aplicando a regra ∃ E, o que
determina que devemos tomar como hipótese a sentença ‘P(a)’.
Agora o problema passa a ser como provar a sentença ‘~∀x~P(x)’ a partir da
hipótese P(a). Naturalmente, poderemos utilizar as outras duas hipóteses. Podemos seguir
uma estratégia de síntese, tentando aplicar a regra ~I. Isto determina que devemos tomar
como hipótese a sentença ‘∀xP(x)’.
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
[∃xP(x)]2
~∃xP(x) → I(1)
[∀x~P(x)]1
~(∀x~P(x)) ⊥ I
⊥ ~ I
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
[∃xP(x)]
2
[P(a)]
3
~∃xP(x) →→→→ I(1)
[∀x~P(x)]1
~∀x~P(x) ⊥⊥⊥⊥ I
⊥ ~ I
[∃xP(x)]
2
~∀x~P(x) ∃∃∃∃ - E
(2)
(3)
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
[∃xP(x)]
2
[P(a)]
3
~∃xP(x) →→→→ I(1)
[∀x~P(x)]1
~∀x~P(x) ⊥⊥⊥⊥ I
⊥ ~ I
[∃xP(x)]
2
~∀x~P(x) ∃∃∃∃ - E
(2)
⊥ ~ I
(3)
43. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
43
Neste passo, devemos novamente tentar encontrar sentenças contraditórias.
Podemos consultar a base de premissas e hipóteses em busca de uma sentença de tal modo
que a sua negação possa ser provada Neste caso podemos usar a hipótese ‘P(a)’ e tentar
provar a sua negação.
A sentença ‘~P(a)’ pode ser inferida a partir da premissa ‘∀x~P(x)’, usando a regra
∀∀∀∀ E.
Neste ponto a prova está finalizada.
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
[∃xP(x)]
2
[P(a)]
3
~∃xP(x) →→→→ I(1)
[∀x~P(x)]1
~∀x~P(x) ⊥⊥⊥⊥ I
⊥ ~ I
[∃xP(x)]
2
~∀x~P(x) ∃∃∃∃ - E
(2)
⊥ ~ I
(3)
[P(a)]3
~P(a) ⊥⊥⊥⊥ I
∀x~P(x)→ ~∃xP(x)
[∀x~P(x)]1
[∃xP(x)]
2
[P(a)]
3
~∃xP(x) →→→→ I(1)
[∀x~P(x)]1
~∀x~P(x) ⊥⊥⊥⊥ I
⊥ ~ I
[∃xP(x)]
2
~∀x~P(x) ∃∃∃∃ - E
(2)
⊥ ~ I
(3)
[P(a)]
3
~P(a) ⊥⊥⊥⊥ I
[∀x~P(x)]1
∀∀∀∀ E
44. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
44
Prove:
~∃x P(x) ∀x ~P(x)
Para provar a sentença ‘∀x ~P(x)’, podemos usar a regra ∀ I.
Para provar a sentença ‘~P(a)’ tentaremos aplicar a regra ~I, tomando como
hipótese a sentença ‘P(a)’.
~∃x P(x)
∀ x ~P(x)
~∃ x P(x)
∀ x ~P(x)
~P(a)
~∃x P(x)
[P(a)]
1
∀ x ~P(x)
~P(a)
⊥
∀∀∀∀ I
~I
∀∀∀∀ - I
45. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
45
Neste passo, devemos encontrar sentenças que podem formar uma contradição, para
isto podemos usar a premissa ‘~∃x P(x)’ e a sentença ‘∃x P(x)’.
Finalmente, inferimos a sentença ∃ x P(x) a partir da hipótese [P(a)]1
.
Prove:
~∀x P(x) ∃x~P(x)
Para provar a sentença ‘∃x ~P(x)’ podemos inicialmente tentar derivá-la da
sentença ‘~P(a)’ usando a regra ∃ I.
~∃x P(x)
[P(a)]
1
∀ x ~P(x)
~P(a)
⊥
∀∀∀∀ I
~I
~∃ x P(x)∃ x P(x) ⊥⊥⊥⊥ I
~∃x P(x)
[P(a)]
1
∀ x ~P(x)
~P(a)
⊥
∀∀∀∀ I
~I
~∃ x P(x)∃ x P(x) ⊥⊥⊥⊥ I
[P(a)]1
∃ I
∃x~P(x)
~∀x P(x)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
∃∃∃∃ I~P(a)
46. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
46
Como provar ‘~P(a)’? Novamente, tentaremos aplicar a regra ~I.
Podemos caracterizar a obtenção de uma contradição, aplicando a regra ⊥I,
utilizamos a premissa ‘~∀xP(x)’ e a tentamos provar a sentença ‘∀xP(x)’ .
Neste ponto ocorre um fato interessante, pois a sentença ‘∀xP(x)’ não pode ser
provada a partir da hipótese ‘P(a)’, isso ocorre devido as restrições da regra ∀ I, pois a
constante a não pode ocorrer em qualquer hipótese da qual a sentença ‘∀xP(x)’ dependa.
A forma correta de se realizar esta prova é feita abaixo:
∃x~P(x)
~∀x P(x)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[P(a)]1
∃∃∃∃ I~P(a)
⊥ ~I
⊥⊥⊥⊥ I
∀xP(x)~∀xP(x)
(1)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[P(a)]1
∃∃∃∃ I~P(a)
⊥ ~I
⊥⊥⊥⊥ I
∀xP(x)~∀xP(x)
[P(a)]1 ∀∀∀∀ I
ERRADO
(1)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[P(a)]1
∃∃∃∃ I~P(a)
⊥
~I(1)
47. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
47
Vamos realizar esta prova de uma forma um pouco diferente da tentativa anterior,
pois usaremos primeiramente a regra RA, tomando como hipótese a sentença ‘~∃x~P(x)’.
Neste ponto, podemos utilizar a premissa ‘~∀xP(x)’ e a sentença ‘∀xP(x)’ para
formar a contradição.
Podemos derivar a sentença ‘∀xP(x)’ a partir da sentença ‘P(a)’, visto que, a
constante a não ocorre em qualquer hipótese da qual ‘∀xP(x)’ dependa.
Como provar a sentença ‘P(a)’? Poderíamos tentar derivá-la a partir das premissas,
no entanto, isso não é possível, pois não existe qualquer premissa que possa contribuir
nesta tarefa. Contudo, podemos tentar uma prova indireta, tomando como hipótese a
sentença ‘~P(a)’.
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[~∃x~P(x)]1
⊥ RA(1)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[~∃x~P(x)]1
⊥ RA
~∀x P(x) ∀x P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
(1)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[~∃x~P(x)]1
⊥ RA
~∀x P(x) ∀x P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
P(a) ∀∀∀∀ I
(1)
48. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
48
Podemos utilizar a hipótese ‘~∃x~P(x)’ e a sentença ‘∃x~P(x)’ para formar a
contradição.
Podemos finalizar a prova derivando a sentença ‘∃x~P(x)’ a partir da hipótese
‘~P(a)’, usando a regra ∃ I.
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[~∃x~P(x)]1
[~P(a)]2
⊥ RA
~∀x P(x) ∀x P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
P(a)
∀∀∀∀ I
⊥
RA
(2)
(1)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[~∃x~P(x)]1
[~P(a)]2
⊥ ~I
~∀x P(x) ∀x P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
P(a)
∀∀∀∀ I
⊥
RA
[~∃x~P(x)]1
∃x~P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
(2)
(1)
∃x~P(x)
~∀x P(x)
[~∃x~P(x)]1
[~P(a)]2
⊥ ~I
~∀x P(x) ∀x P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
P(a)
∀∀∀∀ I
⊥
RA
[~∃x~P(x)]1
∃x~P(x)
⊥⊥⊥⊥ I
[~P(a)]2
(2)
∃∃∃∃ I
(1)
49. MÉTODO DE DEDUÇÃO NATURAL
49
Conclusão
A discussão do processo de busca por uma prova através de exemplos, considerando
a aplicação de estratégias simples como a análise e síntese, têm como principal intuito
propiciar ao aluno uma visão dinâmica deste processo, destacando a forma estruturada
como as provas são apresentadas no Método de Dedução Natural.
É importante ressaltar que ao propormos e discutirmos a aplicação de estratégias,
tentamos mostrar ao aluno um possível caminho a ser seguido. Contudo, não é obrigatório
aplicá-las, cada pessoa pode escolher como buscará construir uma prova. A utilização de
exemplos resolvidos e discutidos permite explicitar que a utilização das estratégias
propostas pode ser encarada como uma maneira de raciocinar ou proceder na construção de
uma prova.
Cremos que o texto é de fácil compreensão e pode ser utilizado pelos alunos de
forma autônoma, a fim de apoiar ou complementar as atividades desenvolvidas na
disciplina Lógica para a Ciência da Computação, que trata do assunto em questão.